Nota técnica
Introducción
El problema para cuantificar la avenida de diseño es la falta de datos hidrométricos. El reemplazo de gasto por intensidad de lluvia reduce el problema, pero no lo eli-mina, ya que las series pluviográficas largas también escasean, por lo que se ha recurrido a transponer regionalmente las relaciones intensidad-duración-periodo de retorno (I-d-T) utilizando algunos métodos empíricos como ecuaciones de F.C. Bell y fórmula de Cheng-Lung Chen, entre otros. Vinculando paramétricamente la función dato de estaciones
Contraste y análisis espacial de parámetros de un
modelo intensidad-duración-frecuencia
Enrique Campos-Campos Leobardo Alejandro Quiroga
Universidad Juárez Autónoma de Tabasco, México
José Hernández-Vargas
Universidad Popular de la Chontalpa, México
El dimensionamiento de las obras hidráulicas se basa en la avenida de diseño. Su evaluación estadística puede requerir de datos hidrométricos o pluviográficos. Debido a la escasez de ambos, una solución ha sido utilizar regionalmente la información pluviométrica, generalmente más densa. Con este criterio se han desarrollado algunas relaciones empíricas I-d-T entre la intensidad I, la duración d y el periodo de retorno T, tal como el modelo desarrollado en Argentina, que cumple con dos condiciones básicas: prevé su transferencia analítica desde el pluviógrafo en que se originó hasta la red pluviométrica asociada, y preserva el fundamento de los métodos estadísticos y la practicidad de los empíricos habituales para tal fin. La propuesta se sustentó en el concepto de factor de frecuencia, planteando el procedimiento para el caso log-normal. De los cuatro parámetros del modelo, uno resultó aproximadamente constante, quedando la incertidumbre de si podría ser de carácter universal. Para probar lo anterior y, al mismo tiempo la precisión del modelo en el pronóstico de lluvias de diseño, se aplicó en el estado de Tabasco, México, considerando 14 pluviógrafos, deduciendo por extensión la relación I-d-T en 54 estaciones pluviométricas. Los resultados muestran que también aquí el modelo tiene errores menores que el convencional, aun cuando no cumple con la hipótesis log-normal. El parámetro en análisis resultó espacialmente variado, por lo que se concluye que el modelo ajustado a la zona es de cuatro parámetros y constituye una alternativa para el diseño de obras hidráulicas en la región.
Palabras clave: algoritmo DIT, modelo Sherman, factor de frecuencia, relaciones I-d-T, función de distribución log-normal, transposición de curvas.
pluviográficas con las de la red pluviométrica, Caamaño y García (1999) desarrollaron en Argentina un modelo intensidad-duración-periodo de retorno llamado DIT, combinando los dos enfoques: empírico y teórico, logrando mejorar las perspectivas de extrapolación pues se combinan las ventajas de las metodologías conven-cionales, sean estadísticas o empíricas, adoptando la distribución log-normal de acuerdo con el análisis de datos experimentales como modelo teórico.
la función a un puesto pluviométrico, sus parámetros sufren una alteración debida a la peculiaridad climática de cada lugar. Dicho modelo tiene cuatro parámetros y al parecer uno de ellos resultó casi constante, pero no tuvieron suficientes evidencias para considerarlo de carácter universal.
En este trabajo se plantea y aplica la ecuación semiempírica DIT. Con la finalidad de probar la variación espacial de uno de sus parámetros y al mismo tiempo su eficiencia en el pronóstico de lluvias de diseño, para el estudio se disponía de los datos de lluvia de 14 pluviógrafos y 54 pluviómetros del estado de Tabasco, México.
El modelo se compara con algunos métodos empíricos: Chen, Chen modificado por Hernández, Bell y Sherman. En el caso de las ecuaciones de Chen y Chen modificado por Hernández, se usaron coeficientes propios de la zona obtenidos a través de optimización. Se calculó la altura de lluvia con cada método. Para el modelo DIT se dedujo por extensión la relación I-d-T en las estaciones pluviométricas. Finalmente los resultados obtenidos se contrastaron con los valores observados.
Planteo del modelo I-d-T
Caamaño y García (1999) desarrollaron un modelo intensidad-duración-frecuencia (I-d-T) llamado DIT. Asumiendo que las láminas de lluvia de cualquier duración son log-normales y tiene la forma siguiente:
In idT = A.φy – B.δy + C (1)
donde:
id,T = intensidad de la lluvia para una duración d y periodo
de retorno T.
φy = 2.584458(ln T)0. 375 – 2.252573 = factor de frecuencia
para la función de distribución de probabilidad (FDP) log-normal.
δy = (ln d)q = variable independiente en función de la
duración de la lluvia y del parámetro q. d = duración de la lluvia.
T = periodo de retorno.
El algoritmo tiene cuatro parámetros: A, B, C y el exponente q.
Los parámetros se obtienen de la siguiente forma: haciendo una regresión lineal múltiple entre la variable dependiente id,T y las independientes φy y δy. El parámetro
q se obtiene de maximizar el coeficiente de correlación r en la regresión. Se lleva a cabo la regresión para varios valores de q hasta encontrar el que corresponda al máximo valor de r.
La transposición de las curvas I-d-T con el modelo DIT de las estaciones pluviográficas a las pluviométricas se hace de la siguiente manera: calibrado DIT para un pluviógrafo, para lo cual basta con sustituir dos datos estadísticos (de los logaritmos de láminas diarias máximas), la media μ y la desviación estándar σ de la primer serie, por los de la segunda, μ’ y σ’. El reemplazo se efectúa en los parámetros C y A de la ecuación (1) ajustada para el pluviógrafo y se obtienen los correspondientes C’ y A’ del pluviómetro sin nueva calibración.
A’ = A – σ + σ’ C’ = C –μ +μ’
El modelo DIT (ecuación 1) es una combinación de los métodos empíricos y analíticos, lo que mejora las perspectivas de extrapolación, ya que cuenta con las ventajas de ambos. De los primeros: la operatividad analítica e incluir desde un principio las tres variables, mientras que los analíticos proporcionan soporte conceptual, por lo que se puede considerar como un método semiempírico desarrollado con base en el factor de frecuencia caso log-normal (Caamaño y García, 1997), calibrado en la provincia de Córdoba de la República Argentina, considerando siete estaciones pluviográficas, dividiendo dicha zona en siete áreas homogéneas con base en lluvia media, cota y distancia a las estaciones pluviográficas, para finalmente extrapolar las curvas I-d-T resultantes.
Aplicación del modelo DIT
Aquí se aplicó el modelo DIT, suponiendo que puede lograr un buen ajuste, aunque las muestras no provengan de una distribución log-normal, tal como sucedió en la región Argentina. Considerando 14 pluviógrafos y 54 pluviómetros localizados en estado de Tabasco, México, los datos pluviográficos (intensidades de lluvias máximas, para duraciones entre 5 y 120 minutos) se obtuvieron en el Servicio Meteorológico Nacional y la lluvia máxima en 24 horas en la Comisión Nacional del Agua (CNA).
La zona de estudio está ubicada en el sureste de la república mexicana, entre las coordenadas geográficas 18° 39’ y 17° 15’ de latitud norte; 91° 00’ de longitud oeste. Abarca una superficie de 24,747 km2 y representa el 1.3%
Se realizó el análisis estadístico de la información pluviográfica y pluviométrica disponible procediendo de la siguiente manera: se formaron series anuales con las intensidades máximas para las duraciones 5, 10, 15, 30, 60, 80, 100, 120 y 180 minutos y 24 horas. Se obtuvieron relaciones teóricas I-d-T para cada una de las 14 estacio-nes pluviográficas y para las diferentes duracioestacio-nes, ajustando a los datos diferentes distribuciones de probabilidad, tales como log-normal de II y III parámetros, gamma de II parámetros, Gumbel, Pearson tipo III, log-Pearson tipo III y general de valores extremos. Siguiendo la metodología descrita en Kite (1988), Trujillo et al. (2002) y Ramachandra (2000), determinando los parámetros por el método de momentos de probabilidad pesada (MPP), la bondad del ajuste se verificó con la prueba del error cuadrático medio (Trujillo, 1999), resultando el mejor ajuste con la general de valores extremos (GVE). Antes se probó la calidad de la información aplicando pruebas de homogeneidad, aleatoriedad e independencia, y valores singulares, tales como Mann Whitney, iteración, Hatanaca, Wald Wolfowitz, correlación ordenada y Grubbs Beck descritas en Campos (1987) y Trujillo (1999), obteniéndose resultados satisfactorios en la mayoría de las muestras analizadas.
Ajustado el modelo DIT, se hizo la transferencia de la información hacia las estaciones pluviométricas, para lo cual se dividió la región en zonas homogéneas, aplicando el criterio de los polígonos de Thiessen y los métodos estadísticos, como el basado en la teoría de los intervalos de confianza (González et al., 2001) y el de Wiltshire (Wiltshire, 1986).
Comparación de resultados
Para evaluar la eficiencia del modelo semiempírico DIT, se comparó con algunos métodos empíricos, realizando ajustes de correlación lineal simple y elaborando gráficas de valores observados contra valores calculados con la ecuación de interés, a fin de observar la dispersión de los puntos alrededor de una línea de ajuste perfecto. Una medida matemática de esta dispersión se obtuvo al calcular el coeficiente de correlación r y también se determinó un error promedio absoluto E entre valores observados y calculados. Es decir, el módulo de la diferencia entre los valores calculados y los observados, dividido por los valores observados (ilustraciones 1 y 2). Para cada método y todas las duraciones analizadas se estimaron los errores promedios E y el coeficiente de correlación r (cuadro 2), así como los errores hacia arriba (+) y hacia abajo (–) de los valores observados. En el cuadro 3 se presentan las desviaciones máximas (+) y mínimas (–).
Los modelos empíricos contrastados fueron Cheng-Lung Chen (Chen, 1983), con parámetros propios de la zona; Chen modificado por Hernández (Hernández, 1991); ecuación de F.C. Bell (Bell, 1969), y la tradicional relación de Sherman (Aparicio, 1989) utilizada en México. En el caso de la ecuación de Chen modificada por Hernández, se utilizó la relación entre lluvias de un día, de acuerdo con Genovez y Pegoraro (2001). Los valores observados se toman de la función teórica que mejor se ajustó a las series, en este caso, la GVE.
En el cuadro 2 se observa que el modelo DIT supera en más del 70% al convencional de Sherman
Cuadro 1. Características de las estaciones climatológicas (pluviógrafos).
Núm. Estación Coordenadas Precipitación media Periodo de Años
climatológica Latitud Longitud anual, mm observación
1 Boca del Cerro 17-25-24 91-29-42 2,324.40 1951-1983 29
2 Cárdenas 17-59-30 92-23-24 1,979.90 1959-1983 25
3 Dos Patrias 17-36-48 92-47-54 3,041.10 1951-1973 22
4 Jalpa de Méndez 18-10-18 93-03-42 1,851.50 1962-1977 16
5 Las Peñitas 17-24-30 93-27-00 3,172.00 1962-1983 22
6 Macuspana 17-45-24 92-36-18 2,356.40 1964-1983 20
7 Paredón 17-45-48 93-23-06 2,356.00 1965-1982 13
8 Presa Malpaso 17-11-00 93-34-00 2,200.00 1959-1982 21
9 Pueblo Nuevo 17-52-42 92-52-18 2,028.30 1951-1984 30
10 San Joaquín 17-35-00 93-03-00 3,640.00 1962-1979 18
11 San Pedro 17-46-02 91-09-18 1,571.20 1968-1978 9
12 Salto de Agua 17-34-00 92-21-00 3,245.00 1962-1984 23
13 Teapa 17-33-48 92-57-06 3,455.90 1962-1983 22
Ilustración 1. Valores Id,T estimados con la distribución general
de valores extremos y con la ecuación de Sherman para 5 ≤ d ≤
30 minutos y 5 ≤ T ≤200 años.
Cuadro 2. Errores promedio y coeficientes de correlación al aplicar diferentes métodos empíricos I–d–T y el semiempírico DIT.
C.L. Chen Sherman Chen-Hernández F.C. Bell Modelo DIT
d, min Parámetros obtenidos Parámetros obtenidos
5 14.14 0.77 99.65 0.61 14.90 0.78 63.09 0.82 17.47 0.79
10 10.34 0.88 69.87 0.71 14.31 0.81 48.52 0.88 20.73 0.82
15 10.41 0.92 57.53 0.80 14.15 0.85 36.96 0.89 19.72 0.91
30 9.57 0.93 42.92 0.81 12.95 0.90 16.71 0.92 17.27 0.77
60 3.83 0.99 32.92 0.87 9.16 0.91 5.97 0.96 10.51 0.81
80 5.71 0.97 30.79 0.87 10.59 0.88 6.77 0.93 9.16 0.73
100 7.05 0.96 29.26 0.89 10.69 0.89 6.81 0.95 7.86 0.71
120 9.75 0.93 35.23 0.79 11.58 0.89 8.68 0.94 11.08 0.68
1,440 9.12 0.94 5.32 0.99 21.97 0.74
E, % r E, % r E, % r E, % r E, % r
2 ≤ T ≤ 200 años
Ilustración 2. Valores Id,T estimados con la distribución general
de valores extremos y con el modelo DIT para 5 ≤ d ≤ 30 minutos y 5 ≤ T ≤ 200 años.
Cuadro 3. Desviaciones máximas (Dmáx) y mínimas (Dmín) presentadas por los diferentes métodos empíricos I-d-T y el semiempírico DIT.
C.L. Chen Sherman Chen-Hernández F.C. Bell Modelo DIT
d, min Parámetros obtenidos Parámetros obtenidos
Dmáx Dmín Dmáx Dmín Dmáx Dmín Dmáx Dmín Dmáx Dmín
2 ≤ T ≤ 200 años
5 138.41 -127.26 887.89 0.00 97.73 -152.39 345.38 0.00 150.64 -62.25
10 107.48 -55.41 544.48 -8.71 102.64 -51.91 248.81 0.00 123.92 -33.26
15 93.38 -43.57 397.65 -14.69 114.73 -40.70 206.95 0.00 97.21 -28.33
30 58.13 -30.40 277.06 -23.40 56.37 -39.78 86.66 -5.94 80.10 -49.29
60 10.98 -17.44 171.82 -15.59 52.04 -31.10 23.90 -34.12 29.43 -55.06
80 21.34 -21.60 136.49 -12.40 47.05 -33.06 31.67 -47.71 25.02 -73.94
100 10.31 -35.70 111.34 -9.68 44.15 -29.44 18.78 -33.06 21.79 -82.28
120 19.60 -37.42 139.25 -6.96 41.47 -29.09 18.19 -31.05 24.70 -79.75
para todas las duraciones; con respecto al método de Chencon parámetros propios de la zona, que fue el de mejor aproximación, se aprecian diferencias de 10% para duraciones entre 5 y 60 minutos y del 4% para las duraciones de 80 a 120 minutos. El método de Chen modificado por Hernándezsupera al de F.C. Bell y al DIT para duraciones de 5 a 30 minutos; mientras que para duraciones de 60 a 120 minutos, F.C. Bell supera a Chen modificado por Hernández y modelo DIT.
En las ilustraciones 1 y 2 se observa también el mejor desempeño del modelo DIT con relación al de Sherman y de manera similar resultó para gráficas de otras duraciones.
Con respecto al cuadro 3, se aprecia que la mejor aproximación corresponde al método de Chen con parámetros propios de la zona y la peor para el de Sherman. En el intervalo de 5 a 30 minutos los métodos de Chen modificado por Hernández y modelo DIT, excepto el de F.C. Bell, se aproximan al de Chen, con parámetros propios de la zona; mientras que para las duraciones de 60 a 120 minutos sucede lo contrario, aproximándose el de F.C. Bell y alejándose los de Chen modificado por Hernández y modelo DIT.
Del anterior análisis comparativo, colocando cada método en orden decreciente de mejor resultado se tiene: para duraciones de 5 a 30 minutos, C.L. Chen, Chen modificado por Hernández, modelo DIT, F.C. Bell y Sherman. Para duraciones de 60 a 120 minutos, C.L. Chen, F.C. Bell, modelo DIT, Chen modificado por Hernándezy Sherman.
Conclusiones
En el estado de Tabasco, el parámetro q no presentó valores constantes, variando de 6/3 a 8/3, donde el 57% de las estaciones analizadas corresponde a 7/3, mientras que en Argentina los sitios analizados presentaron valores próximos a 5/3, excepto una de 7/3, por lo que el modelo se considera de cuatro parámetros.
El modelo DIT superó en todas las duraciones al convencional de Sherman y se obtuvieron resultados aproximados a los otros métodos, no obstante que las muestras no provienen de una distribución log-normal.
Presentando los métodos aplicados, en orden decreciente de mejor aproximación, resulta:
• Para duraciones 5 ≤ d ≤ 30 minutos: C.L. Chen, Chen modificado por Hernández, modelo DIT, F.C. Bell y Sherman. Para duraciones 60 ≤ d ≤ 120 minutos: C.L. Chen, F.C. Bell, modelo DIT, Chen modificado por Hernándezy Sherman.
Se puede considerar como un método alternativo para estimar curvas I-d-T con buena precisión, aun cuando las muestras no sigan una distribución log-normal.
Recibido: 04/07/2006 Aprobado: 31/10/2006
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Abstract
CAMPOS-CAMPOS, E., QUIROGA, L.A. & HERNÁNDEZ-VARGAS, J. Contrast and spatial analysis of the parameters of an intensity-duration-frequency model. Hydraulic engineering in Mexico (in Spanish). Vol. XXII, no. 3, July-September, 2007, pp. 149-154.
The dimensioning of hydraulic structures is based on the design flood. Its statistical evaluation can require hydrographic or pluviographic data. Due to the shortage of both, the solution has been to use regional pluviometric information, which is generally denser. With this criterion, some empirical I-d-T relations have been developed between intensity i, duration d and period of return T. Such as the model developed in Argentina, which fulfills two basic conditions: it anticipates its analytical transfer from the pluviograph in which it was originated to the associated pluviometric network, and preserves the basic principles of the statistical methods and the skillfulness of the empirical ones. The proposed methodology was based on the frequency factor concept, adapting the procedure for the log-normal case. One of the four parameters of the model was approximately constant, leaving the uncertainty whether it could be universal in character. In order to prove this and at the same time test the accuracy of the model in the prognosis of design rain. It was applied in the state of Tabasco, Mexico, considering 14 pluviographs, deducing by extension the I-d-T relation in 54 pluviometric stations. The results show that also here, the model has smaller errors than the conventional method, even though it does not fulfill the log-normal hypothesis. The parameter in analysis was spatially varied. It is therefore concluded that the model fitted to the zone has four parameters and constitutes an alternative for the design of hydraulic structures in the region.
Keywords: DIT algorithm, Sherman model, frequency factor, I-d-T relations, log-normal distribution function, transposition of curves.
Dirección institucional de los autores:
M.I. Enrique Campos-Campos
Profesor-investigador (DAIA).
Universidad Juárez Autónoma de Tabasco, Nardos 217, colonia Villa Las Flores, 86010 Villahermosa, Tabasco, México, teléfono: + (52) (993) 353 0015, [email protected]
M.I. Leobardo Alejandro Quiroga
Profesor-investigador (DAIA).
Universidad Juárez Autónoma de Tabasco, Carretera Cunduacán-Jalpa, kilómetro 2, Tabasco, México,
teléfono: + (52) (993) 312 9008, [email protected]
M.I. José Hernández-Vargas
Profesor-investigador (UPCH). Universidad Popular de la Chontalpa,
R/a Paso y Playa, kilómetro 2, carretera Cárdenas-Huimanguillo, Cárdenas, Tabasco, México,
