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CARPETA DE TRABAJO EPISTEMOLOGÍA DE LA MATEMÁTICA Y SU VINCULACIÓN CON LAS ÁREAS PRODUCTIVAS TECNOLÓGICAS. Carpetas de Formación Continua (FE-EMVAP)

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CARPETA DE TRABAJO

EPISTEMOLOGÍA DE LA

MATEMÁTICA Y SU VINCULACIÓN

CON LAS ÁREAS PRODUCTIVAS

TECNOLÓGICAS

(Documento de Trabajo)

Carpetas de Formación Continua

(FE-EMVAP)

Ámbito: Formación Especialidad

Cuatrimestre: Primer

Especialidad: Educación en Matemática y

en

Áreas

Productivas

Tecnológicas

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2

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

© De la presente edición:

Colección: CARPETAS DE FORMACIÓN CONTINUA

EPISTEMOLOGÍA DE LA MATEMÁTICA Y SU VINCULACIÓN CON LAS ÁREAS PRODUCTIVAS TECNOLÓGICAS

CARPETA DE TRABAJO

Coordinación

Viceministerio de Educación Superior de Formación Profesional / Dirección General de Formación de Maestros /

Equipo de Formación Docente Continua

Equipo de Redacción y Dirección

Unidad Especializada de Formación Continua – UNEFCO Av. Víctor Paz Estensoro Nº 227

Tarija-Bolivia Telf.: 66-44416 Fax: 66-42805

www.minedu.gob.bo www.unefco.edu.bo

Cómo citar este documento:

Ministerio de Educación (2011). Epistemología de la Matemática y su Vinculación con las Áreas Productivas Tecnológicas. Carpeta de Trabajo. UNEFCO Tarija-Bolivia.

Diseño & Impresión UNEFCO

La venta de este documento está prohibida. Denuncie al vendedor a la Dirección General de Formación de Maestros, Telf. 2440815 o a la Unidad Especializada de Formación Continua, unefco@unefco.edu.bo.

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PRESENTACIÓN

El Ministerio de Educación, en el marco de la Constitución Política del Estado, la Ley de la Educación 070 ―Avelino Siñani - Elizardo Pérez‖ y el Sistema Plurinacional de Formación de Maestros, ha priorizado la implementación de acciones formativas para maestras/os normalistas del Nivel Secundario del Sistema Educativo Plurinacional, para mejorar la calidad de la educación en dicho nivel, que por mucho tiempo no se benefició con formación continua; en este sentido, el Programa de Especialización y Actualización de Maestros de Secundaria (PEAMS) ha sido estructurado con dos componentes: especialización y actualización.

La ―especialización‖ es una formación intensiva que tiene como objetivo el de ―Brindar formación especializada a maestras/os normalistas que habiendo sido formados para primaria o inicial ejercen como docentes en áreas del nivel de educación secundaria, mediante procesos de formación centrados en aspectos disciplinares y de didácticas específicas, tomando en cuenta las necesidades reales del Sistema Educativo Plurinacional así como las nuevas políticas sociales y educativas del país que prevén la universalización de la educación secundaria, con el fin de garantizar la solvencia profesional de estos maestros/as y la calidad de la educación de todos los estudiantes de este nivel‖.

Este componente es de régimen especial y transitorio. Los/as docentes que accedan a los cursos de especialización recibirán una certificación para el ejercicio de las especialidades del nivel secundario, según una normativa especial indicada en la Resolución Ministerial Nº 121/2010. El programa es financiado por el Ministerio de Educación y ejecutado por la Unidad Especializada de Formación Continua (UNEFCO), bajo la modalidad semipresencial. El PEAMS, tiene previsto el desarrollo de materiales de apoyo en una Colección denominada ―Carpetas de Formación Continua‖, la misma que contempla una ―Carpeta de Trabajo‖ y un ―Cuadernillo de Actividades‖ para cada uno de los 16 módulos de las 6 especialidades contempladas. Dicho material está organizado en unidades temáticas que siguen una secuencia sistemática para favorecer el proceso de aprendizaje de las/los participantes, cuyo contenido no sólo es un recurso para fortalecer conocimientos y orientaciones pedagógico-didácticas sino una forma de ampliar la conciencia sobre el mundo y la sociedad.

Sobre la base de estos Documentos de Trabajo (versiones en construcción colectiva), tutores/as del PEAMS podrán añadir y/o adecuar contenidos y estrategias formativas de acuerdo a cada contexto. Invitamos a tutores y participantes de todo el país a contribuir con observaciones y sugerencias para mejorar y enriquecer posteriores ediciones (unefco@unefco.edu.bo).

Fernando Carrión J. - Director General UNEFCO

“Compromiso social y vocación de servicio: Maestras/os

forjadores de la Revolución Educativa”

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ÍNDICE GENERAL

PRESENTACIÓN ÍNDICE GENERAL

DATOS GENERALES DE LACARPETA ... 1

Introducción ... 1

Objetivos holístico de área/especialidad ... 1

Objetivo holístico de la Carpeta ... 1

UNIDAD 1: CIENCIA DE LA MATEMÁTICA Y SU VINCULACIÓN CON ÁREAS PRODUCTIVAS ... 18

1.1 Historia de la matemática ... 18

1.1.1. Introducción ... 18

1.1.2 Las matemáticas en la antigüedad ... 18

1.1.3 Las matemáticas en Grecia... 19

1.1.4. Las matemáticas aplicadas en Grecia ... 20

1.1.5 Las matemáticas en la edad media ……….…...21

1.1.6. Las matemáticas en al mundo islámico……….……..21

1.1.7. Las matemáticas en el renacimiento……….…...22

1.1.8 Avances en el siglo XVII………...22

1.1.9 Situación en el siglo XVIII……….23

1.1.10 Las matemáticas en el siglo XIX………..24

1.1.11 Las matemáticas actuales……….….25

1.1.12 El primer libro de matemáticas en América………...26

1.1.13 Utilidad de las matemáticas………..27

1.2 Interpretación de la matemática……….28

1.3 Situaciones cotidianas relacionadas con la matemática……….……….….. 29

1.3.1 La matemática y la realidad………..…..29

1.3.2 Construcción y oficios domésticos en la construcción de viviendas………...31

1.3.3 En la industria……….31

1.3.4 comercio………..…...31

1.4 Relación de la matemática con otras aéreas……….…….34

Resumen de la unidad ... 36

Lecturas complementarias ... 36

UNIDAD 2: DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA DESDE UNA PERSPECTIVA CRÍTICAS ... ... 2

Objetivos de la unidad ... 2

2.1. Definición de la Matemática. ... 2

2.2. ¿Para que aprender Matemática? ... 3

2.3. Como se realiza el proceso enseñanza-aprendizaje de la Matemática ... 3

2.3.1.Profesor/a estudiante ... 3

2.4. Objetivos a alcanzar en el curso de matemática………...4

2.4.1. Importancia de los objetivos en el proceso de enseñanza-aprendizaje.……….….6

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2.5.1. Área cognoscitiva del estudiante……….………8

2.5.2. Área afectiva del estudiante……….………9

2.5.3. Quienes intervienen en los procesos de enseñanza-aprendizaje……….10

2.5.4. Logros en el proceso de enseñanza-aprendizaje……….…...12

2.6. Perfil del profesor(a)………... 13

2.6.1. Competencias del profesor (a)………... 14

2.6.2. Misión del profesor(a)……….. 14

2.6.3. Profesor-estudiante. Misión-práctica………. 14

2.6.4. Componentes básicos de la didáctica de la matemática……….…...15

Resumen de la unidad ... 16

Lecturas complementarias ... 16

UNIDAD 3: CONJUNTO DE NÚMEROS ... 38

Objetivos de la unidad ... 38 3.1. Reseña histórica ... …..38 3.1.1. Números naturales……….…….…..40 3.1.2. Números enteros……….………….….41 3.1.3. Números racionales……….……….41 3.1.4. Números Irracionales……….…….……..42 3.1.5. Números reales……….…….………43

3.1.5.1. Propiedades de los números reales………..………..43

3.1.5.2. Intervalos………..….……….45

3.1.5.3jercicios de intervalos...48

Resumen de la unidad………..49

Lecturas Complementarias………..49

UNIDAD 4: LA NATURALEZA NOS ENSEÑA GEOMETRIA PLANA ……… ..50

Objetivos de la unidad………....…50

4.1. Introducción a la geometría………...50

4.2. Perímetro y área de figuras geométricas planas………..…52

4.3. Ejercicios de perímetro y área………...54

Resumen de la unidad……….56

Lecturas Complementarias……….57

Bibliografía ... 58

Bibliografía consultada en Internet………..….59

Glosario de términos……….……….…..59

ANEXOS

Lectura I……….……….60

Lectura II……….………..……..65

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DATOS GENERALES DE LA CARPETA

INTRODUCCIÓN

Dentro de la problemática de la enseñanza – aprendizaje de la matemática, un aspecto fundamental que debe ser considerado por todos los que nos ocupamos de su estudio, es el adecuado equilibrio entre la teoría y la práctica, es decir en el conocimiento y aplicación conceptual de la matemática.

La presente carpeta constituye especialmente un material de apoyo al trabajo del maestro/a. Su propósito es contribuir a mejorar el proceso de enseñanza - aprendizaje. Su contenido muestra aspectos que el participante del PEAMS debe fijar, y sobre todo enfatizar en la resolución de ejercicios, desarrollando habilidades y destrezas en el área para transmitir a sus estudiantes dichos saberes, y hacer que ellos sientan un gusto por esta rama y consideren a la matemática puedes convertirse en un instrumento para la resolución de problemas en la vida cotidiana de las personas.

OBJETIVO HOLÍSTICO DE ÁREA

Caracterizamos el Área de Especialidad de Educación en Matemática y en áreas productivas tecnológicas, como una ciencia exacta, en el marco del Sistema Educativo Plurinacional, identificando la concepción de cada una de las ciencias que la constituyen como la geometría, cálculo, estadística y las estructuras algebraicas y las matemáticas aplicadas, para la comprensión del sustento teórico y la operativización en el currículo y la práctica educativa y capaz de desarrollar la capacidad de razonamiento en el ser humano bajo los lineamientos de la Nueva ley Educativa Elizardo Pérez Avelino Siñani.

OBJETIVO HOLÍSTICO DE LA CARPETA

Caracterizamos la epistemología de la matemática, para la comprensión de la lógica de la enseñanza y el aprendizaje, que contribuya a la reflexión profesional de éstos procesos, para la optimización de la práctica educativa para beneficio de sus estudiantes, internalizando las características y propiedades del conjunto de números, de la noción de perímetro y área de figuras geométricas planas, desde los lineamientos de la Nueva ley Educativa Elizardo Pérez Avelino Siñani.

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UNIDAD 1: CIENCIA DE LA MATEMÁTICA Y SU

VINCULACIÓN

CON

LAS

ÁREAS

PRODUCTIVAS

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Conocemos la historia de las matemáticas, desde la antigüedad, pasando por Grecia, sus características en la edad media, el mundo islámico, las matemáticas en el renacimiento, sus avances en el siglo XVII y su situación en el siglo XVIII y el siglo XIX, hasta la actualidad, junto a su utilidad.

Interpretamos a las matemáticas para su aplicación, y su relación con la vida cotidiana y su vinculación con otras áreas.

1.1. HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.

En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica —ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

Trataremos la evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su desarrollo histórico.

En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños Prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

Las Matemáticas en la Antigüedad

Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones. Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las

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8 sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100…), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas… de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (:), junto con la fracción, para expresar todas las fracciones. Por ejemplo, era la suma de las fracciones y (...). Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado. Del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14).

El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10.

Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2, seguido por el del 27 y terminado con el del 10, representaba 2 × 602 + 27 × 60 + 10.

Este sistema, denominado sexagesimal (base 60), resultaba tan útil como el sistema decimal (base 10).

Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. También obtuvieron una buena aproximación de f.

Las Matemáticas en Grecia

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.

En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomista Demócrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una pirámide, e Hipócrates de Cos, que descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el famoso problema de la cuadratura del círculo

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9 (construir un cuadrado de área igual a un círculo dado). Otros dos problemas bastante conocidos que tuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más complicados que la regla y el compás. Sin embargo, hubo que esperar hasta el siglo XIX para demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden resolver utilizando solamente estos dos instrumentos básicos.

A finales del siglo V a.C., un matemático griego descubrió que no existe una unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos cantidades es inconmensurable. Esto significa que no existen dos números naturales m y n cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado y la diagonal. Dado que los griegos sólo utilizaban los números naturales (1, 2, 3…), no pudieron expresar numéricamente este cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este número, f, es lo que hoy se denomina número irracional).

Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, también escribió tratados sobre óptica, astronomía y música. Los trece libros que componen sus elementos contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo IV a.C., en áreas tan diversas como la geometría de polígonos y del círculo, la teoría de números, la teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes.

El siglo posterior a Euclides estuvo marcado por un gran auge de las matemáticas, como se puede comprobar en los trabajos de Arquímedes de Siracusa y de un joven contemporáneo, Apolonio de Perga. Arquímedes utilizó un nuevo método teórico, basado en la ponderación de secciones infinitamente pequeñas de figuras geométricas, para calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir de las cónicas. Éstas habían sido descubiertas por un alumno de Eudoxo llamado Menaechmo, y aparecían como tema de estudio en un tratado de Euclides; sin embargo, la primera referencia escrita conocida aparece en los trabajos de Arquímedes.

También investigó los centros de gravedad y el equilibrio de ciertos cuerpos sólidos flotando en agua. Casi todo su trabajo es parte de la tradición que llevó, en el siglo XVII, al desarrollo del cálculo. Su contemporáneo, Apolonio, escribió un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de base para el estudio de la geometría de estas curvas hasta los tiempos del filósofo y científico francés René Descartes en el siglo XVII.

Después de Euclides, Arquímedes y Apolonio, Grecia no tuvo ningún geómetra de la misma talla.

Los escritos de Herón de Alejandría en el siglo I d.C. muestran cómo elementos de la tradición aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lógicas de los grandes geómetras. Los libros de Diofante de Alejandría en el siglo III d.C. continuaron con esta misma tradición, aunque ocupándose de problemas más complejos. En ellos Diofante encuentra las soluciones enteras para aquellos problemas que generan ecuaciones con varias incógnitas. Actualmente, estas ecuaciones se denominan diofánticas y se estudian en el análisis diofántico.

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10 Las Matemáticas aplicadas en Grecia

En paralelo con los estudios sobre matemáticas puras hasta ahora mencionados, se llevaron a cabo estudios de óptica, mecánica y astronomía. Muchos de los grandes matemáticos, como Euclides y Arquímedes, también escribieron sobre temas astronómicos. A principios del siglo II a.C., los astrónomos griegos adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de fracciones y, casi al mismo tiempo, compilaron tablas de las cuerdas de un círculo. Para un círculo de radio determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en función del ángulo central correspondiente, que crecía con un determinado incremento. Eran similares a las modernas tablas del seno y coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometría. En la primera versión de estas tablas —las de Hiparco, hacia el 150 a.C.— los arcos crecían con un incremento de 7°, de 0° a 180°. En tiempos del astrónomo Tolomeo, en el siglo II d.C., la maestría griega en el manejo de los números había avanzado hasta tal punto que Tolomeo fue capaz de incluir en su Almagesto una tabla de las cuerdas de un círculo con incrementos de ° que, aunque expresadas en forma sexagesimal, eran correctas hasta la quinta cifra decimal.

Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver problemas con triángulos planos y se introdujo un teorema —que recibe el nombre del astrónomo Menelao de Alejandría— para calcular las longitudes de arcos de esfera en función de otros arcos. Estos avances dieron a los astrónomos las herramientas necesarias para resolver problemas de astronomía esférica, y para desarrollar el sistema astronómico que sería utilizado hasta la época del astrónomo alemán

Johannes Kepler.

Las Matemáticas en la Edad Media

En Grecia, después de Tolomeo, se estableció la tradición de estudiar las obras de estos matemáticos de siglos anteriores en los centros de enseñanza. El que dichos trabajos se hayan conservado hasta nuestros días se debe principalmente a esta tradición. Sin embargo, los primeros avances matemáticos consecuencia del estudio de estas obras aparecieron en el mundo árabe.

Las Matemáticas en Mundo Islámico

Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde sus orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la península Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de "ciencias extranjeras". Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones de particulares, escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticos griegos e indios.

Hacia el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los estudiosos musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre otros avances, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales. En el siglo XII, el matemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. El matemático

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11 árabe Al-JwDrizm-; (de su nombre procede la palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros es el origen de la palabra álgebra) desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número de términos. Los geómetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron las investigaciones de Arquímedes sobre áreas y volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría de las cónicas a la resolución de problemas de óptica. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao. Estas trigonometrías no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta la publicación del De triangulis omnimodis (1533) del astrónomo alemán Regiomontano.

Finalmente, algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones. Los países europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las traducciones. Los trabajos de los árabes, junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron los principales responsables del crecimiento de las matemáticas durante la edad media. Los matemáticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron principalmente en fuentes árabes para sus estudios.

Las Matemáticas durante El Renacimiento

Aunque el final del periodo medieval fue testigo de importantes estudios matemáticos sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue hasta principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático de trascendencia en Occidente. Era una fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Este hallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta búsqueda la que a su vez generólos primeros trabajos sobre la teoría de grupos a finales del siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés Évariste Galois a principios del XIX.

También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos y algebraicos. El matemático francés François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.

Avances en el Siglo XVII

Los europeos dominaron el desarrollo de las matemáticas después del renacimiento.

Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las matemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el descubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper); su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simon Laplace a decir, dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado la vida.

La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde la época medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los

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12 estudios de la antigüedad clásica. La obra Las aritméticas de Diofante ayudó a Fermat a realizar importantes descubrimientos en la teoría de números. Su conjetura más destacada en este campo fue que no existen soluciones de la ecuación an + bn = cn con a, b y c enteros positivos si n es mayor que 2.

Esta conjetura, conocida como último teorema de Fermat, ha generado gran cantidad de trabajos en el álgebra y la teoría de números.

En geometría pura, dos importantes acontecimientos ocurrieron en este siglo. El primero fue la publicación, en el Discurso del método (1637) de Descartes, de su descubrimiento de la geometría analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra (desarrollada desde el renacimiento) para investigar la geometría de las curvas (Fermat había hecho el mismo descubrimiento pero no lo publicó). El Discurso del método, junto con una serie de pequeños tratados con los que fue publicado, ayudó y fundamentó los trabajos matemáticos de Isaac Newton hacia 1660. El segundo acontecimiento que afectó a la geometría fue la publicación, por el ingeniero francés Gérard Desargues, de su descubrimiento de la geometría proyectiva en 1639. Aunque este trabajo fue alabado por Descartes y por el científico y filósofo francés Blaise Pascal, su terminología excéntrica y el gran entusiasmo que había causado la aparición de la geometría analítica retrasó el desarrollo de sus ideas hasta principios del siglo XIX, con los trabajos del matemático francés Jean Victor Poncelet.

Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos. Este trabajo no fue publicado, pero llevó al científico holandés Christiaan Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado en el Ars coniectandi (1713) del matemático suizo Jacques Bernoulli. Tanto Bernoulli como el francés Abraham De Moivre, en su Doctrina del azar de 1718, utilizaron el recién descubierto cálculo para avanzar rápidamente en su teoría, que para entonces tenía grandes aplicaciones en pujantes compañías de seguros.

Sin embargo, el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666.

Newton se basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval. Unos ocho años más tarde, el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en el cálculo.

Situación en el Siglo XVIII

Durante el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII, los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Jean y Jacques Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Gaspard Monge la geometría descriptiva. Joseph Louis Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica en su gran obra Mecánica

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13 analítica (1788), en donde se pueden encontrar las famosas ecuaciones de Lagrange para sistemas dinámicos. Además, Lagrange hizo contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de ‗el Newton francés.

El gran matemático del siglo XVIII fue el suizo Leonhard Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. Sin embargo, el éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuarla falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton estaba basada en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraica y basada en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.

Las Matemáticas en el Siglo XIX

En 1821, un matemático francés, Augustin Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Julius W. R. Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales, a partir de los números racionales, que todavía se enseña en la actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantor y Karl T. W. Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Un problema más importante que surgió al intentar describir el movimiento de vibración de un muelle — estudiado por primera vez en el siglo XVIII— fue el de definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Joseph Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales.

Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, los matemáticos del siglo XIX llevaron a cabo importantes avances en esta materia. A principios del siglo, Carl Friedrich Gauss dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Bernhard Riemann.

Otro importante avance del análisis fue el estudio, por parte de Fourier, de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas. Éstas se conocen hoy como series de Fourier, y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Además, la investigación de funciones que pudieran ser iguales a series de Fourier llevó a Cantor al estudio de los conjuntos infinitos y a una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor, que fue considerada como demasiado abstracta y criticada como "enfermedad de la que las matemáticas se curarán pronto", forma hoy parte de los fundamentos de las matemáticas y recientemente ha encontrado una nueva aplicación en el estudio de corrientes turbulentas en fluidos.

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Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo fue la geometría no euclídea. En esta geometría se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a ésta. Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de la controversia que su publicación pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos y publicados por separado por el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski y por el húngaro János Bolyai. Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas en su forma más general por Riemann, con su descubrimiento de las múltiples paralelas.

En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se le han encontrado también aplicaciones en física. Gauss es uno de los más importantes matemáticos de la historia. Los diarios de su juventud muestran que ya en sus primeros años había realizado grandes descubrimientos en teoría de números, un área en la que su libro Disquisitiones arithmeticae (1801) marca el comienzo de la era moderna. En su tesis doctoral presentó la primera demostración apropiada del teorema fundamental del álgebra. A menudo combinó investigaciones científicas y matemáticas. Por ejemplo, desarrolló métodos estadísticos al mismo tiempo que investigaba la órbita de un planetoide recién descubierto, realizaba trabajos en teoría de potencias junto a estudios del magnetismo, o estudiaba la geometría de superficies curvas a la vez que desarrollaba sus investigaciones topográficas.

De mayor importancia para el álgebra que la demostración del teorema fundamental por Gauss fue la transformación que ésta sufrió durante el siglo XIX para pasar del mero estudio de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos. Un paso importante en esa dirección fue la invención del álgebra simbólica por el inglés George Peacock.

Otro avance destacado fue el descubrimiento de sistemas algebraicos que tienen muchas propiedades de los números reales. Entre estos sistemas se encuentran las cuaternas del matemático irlandés William Rowan Hamilton, el análisis vectorial del matemático y físico estadounidense Josiah Willard Gibbs y los espacios ordenados de n dimensiones del matemático alemán Hermann Günther Grassmann. Otro paso importante fue el desarrollo de la teoría de grupos, a partir de los trabajos de Lagrange. Galois utilizó estos trabajos muy a menudo para generar una teoría sobre qué polinomios pueden ser resueltos con una fórmula algebraica.

Del mismo modo que Descartes había utilizado en su momento el álgebra para estudiar la geometría, el matemático alemán Felix Klein y el noruego Marius Sophus Lie lo hicieron con el álgebra del siglo XIX. Klein la utilizó para clasificar las geometrías según sus grupos de transformaciones (el llamado Programa Erlanger), y Lie la aplicó a una teoría geométrica de ecuaciones diferenciales mediante grupos continuos de transformaciones conocidas como grupos de Lie. En el siglo XX, el álgebra se ha aplicado a una forma general de la geometría conocida como topología.

También los fundamentos de las matemáticas fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés George Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854) y por Cantor en su teoría de conjuntos. Sin embargo, hacia finales del siglo, se descubrieron una serie de paradojas en la teoría de Cantor. El matemático inglés Bertrand Russell encontró una de estas paradojas, que afectaba al propio concepto de conjunto.

(15)

15 Los matemáticos resolvieron este problema construyendo teorías de conjuntos lo bastante restrictivas como para eliminar todas las paradojas conocidas, aunque sin determinar si podrían aparecer otras paradojas —es decir, sin demostrar si estas teorías son consistentes. Hasta nuestros días, sólo se han encontrado demostraciones relativas de consistencia (si la teoría B es consistente entonces la teoría A también lo es). Especialmente preocupante es la conclusión, demostrada en 1931 por el lógico estadounidense Kurt Gödel, según la cual en cualquier sistema de axiomas lo suficientemente complicado como para ser útil a las matemáticas es posible encontrar proposiciones cuya certeza no se puede demostrar dentro del sistema.

Las matemáticas Actuales

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era catedrático en Gotinga, el hogar académico de Gauss y Riemann, y había contribuido de forma sustancial en casi todas las ramas de las matemáticas, desde su clásico Fundamentos de la geometría (1899) a su Fundamentos de la matemática en colaboración con otros autores. La conferencia de Hilbert en París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que empezaba. Estos problemas, de hecho, han estimulado gran parte de los trabajos matemáticos del siglo XX, y cada vez que aparecen noticias de que otro de los "problemas de Hilbert" ha sido resuelto, la comunidad matemática internacional espera los detalles con impaciencia.

A pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que Hilbert no pudo imaginar fue la invención del ordenador o computadora digital programable, primordial en las matemáticas del futuro. Aunque los orígenes de las computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el siglo XVII, fue Charles Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó una máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendo una lista de instrucciones (programa) escritas en tarjetas o cintas. La imaginación de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue hasta la invención del relé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la computación programable a gran escala se hizo realidad.

Este avance ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se ha convertido en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a varios problemasmatemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el problema topológico de los cuatro colores propuestos a mediados del siglo XIX. El teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa, con la condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores. Este teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran capacidad de cálculo en la Universidad de Illinois (Estados Unidos).

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo

(16)

16 nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.

El primer libro de matemáticas en América

En el siglo XVI, Europa era el centro del conocimiento matemático mundial y las matemáticas occidentales empezaron a expandirse por el globo, exportando casi siempre por los

ministerios jesuitas.

El primer libro de matemáticas impreso en el nuevo mundo fue el sumario compendio de las quentas de plata y oro, por el hermano Juan diez freyle, un pequeño compendio comercial publicado en la ciudad de México en 1556.

He aquí las computaciones de la época:

978. 875=855 750, utilizado el algoritmo llamado ―per copia‖, ya que la disposición de los números parase una copa, y 114 400 / 26= 4 400, utilización el algoritmo‖de la galería‖, porque es parecido a un barco.

875 \ 978 00 726 460 12 56 95 0 300 63 54 1 14400 4400 4 5 26666 4 3 222 855 750

Los problemas del Sumario tratan de cambios de monedas (maravedíes a pesos, ducados a coronas...) y otros problemas prácticos, pero también hay problemas en teoría de números y álgebra. D. E. smith, en su history of mathematics, dice:‖Si se tiene en cuenta que en esa época solo dos tratados de algebra habían salido de las prensas europeas, quedan mucho más claro el mérito y la importancia de la publicación del sumario en el nuevo continente‖.

Utilidad de las matemáticas

E.P Wigner, de la universidad de princeton, premio Nobel de fisica, dice:―la enorme utilización de las matemáticas es algo que linda con lo misterioso y que no tiene explicación racional‖.

Albert Einstein también se pregunta: ―¿Cómo explicar que las matemáticas, un producto de la mente humana, independiente de la experiencia, se adapte tan admirable bien a los objetos de la realidad?‖

En efecto, no es fácil comprender lo que Richard Hamming, un contemporáneo experto en información, llama ―la eficacia inexplicable de las matemáticas abstractos inventados sin ninguna intención utilitaria y que encontraron aplicaciones a veces inesperadas.

(17)

17 Los griegos desarrollaron las secciones cónicas unos 400 años antes de nuestra era; unos 2000 años después, kepler demostro que las trayectorias de los planetas son elipses y galileo descubrió que las trayectorias de los proyectiles son parábolas.

Las geometrías no euclidianas se inventaron sin pensar en ninguna aplicación práctica; y sin embargo Eisntein se sirvió de una de ellas para formar la teoría de la relatividad.

El matemático francés Evarister Galois desarrollo la teoría, un tema de matemática pura que llego un instrumento importante en la física de las partículas.

La teoría de números una rama de las matemáticas que parecía agotada cobra hoy nueva vida con ayuda de las computadoras y encuentra aplicaciones importantes en la criptografía. Estos ejemplos son efectivamente impresionantes, pero lo son mucho menos si se consideran dos hechos.

1. La enorme cantidad de matemáticas que nunca tuvo y nunca tendrá aplicaciones en el mundo real.

2. El éxito relativo de las matemáticas aplicadas a las ciencias (físicas, química, biología), no pueden hacernos olvidar el su fracaso relativo en otras actividades humanas tales como la economía, predicción del tiempo, la sociología, psicología ablando de las utilidad de la matemática dicen Davis y hersh en su obra the mathematical experience:

3. Para un astronomía o un físico, las matemáticas son útiles porque son el idioma de las ciencias, para un ingeniero civil son útiles porque facilitan la construcción de puentes, para un profesor de matemáticas son útiles puesto que le permite recibir su paga mensual para un editor ya que le permiten vender libros

1.2. INTERPRETACIONES DE LA MATEMÁTICA

La matemática como interpretación humana de la naturaleza El poeta utiliza sus rimas.

Un poeta

Un econometrista

El econometrista utiliza la estadística.

El poeta

El econometrista

Analizan un evento

(18)

18 Esta interpretación

La poesía nació de la tensión interna que lleva al hombre a captar y transmitir algunos aspectos de la Naturaleza como él los percibe, de una manera representativa, como una interpretación simbólica - por medio de palabras – de lo emotivo.

La matemática nació de la necesidad humana de precisar y transmitir algunos aspectos de la Naturaleza de una manera representativa, como una interpretación simbólica de lo mensurable.

La matemática como creatividad humana – teórica

La matemática no se limita a satisfacer la necesidad de dar una interpretación simbólica de una realidad, sino que:

Encuentra un método de desarrollo. Tiene expansión libre.

Alcanza puntos de vista cada vez más elevados, abstractos y generales.

Un matemático puede Del poeta Del econometrista Es una interpretación nacida del hombre

Crear un modelo simbólico a partir de una realidad, que le permita interpretarla, obtener resultados y volver a esa realidad;

Ampliar una teoría ya elaborada obteniendo nuevos resultados dentro de ella;

Formular un conjunto de axiomas que le permitan, mediante un proceso de deducción, llegar a caracterizar un sistema o una estructura.

(19)

19 Se hace necesario proponer y trabajar actividades dentro y fuera de la matemática que permitían a los alumnos la aproximación, estimación, interpretación y representación de información a través de representaciones numéricas y verbales.

1.3.

SITUACIONES

COTIDIANAS

RELACIONADAS

CON

LA

MATEMÁTICA

La matemática y la realidad

Una persona disponible de bs. 1500 y desea comprar con ellos, en una venta de hortalizas, cierta cantidad de tomates. Ella escoge y cuenta 37 tomates, los cuales quiere comprar con el dinero disponible para tal fin. Como los tomates son diferentes en tamaño y peso, y además se los vende por kilos y no por unidad, el vendedor procede a pesarlos, resultando 2,45 kilogramos. Existen una gama de problemas más complejos e interesantes relacionados con el tema de compra y venta de productos alimenticios que, por ejemplo, pueden ser trabajados a partir del 8º grado de la escuela básica y para los cuales se requiere de la elaboración de modelos de optimización lineal.

Simplificación de la situación: comprar cierta cantidad de tomates según el peso en kg. Planteamiento de la pregunta: ¿alcanzar los 1500 bs. Para la compra de los tomates?

Volviendo al ejemplo ilustrativo, el (la) comprador(a) no puede cancelar con los 1500bs. Los 37 tomates escogidos. Él o ella puede, en todo caso, tomar algunas acciones con el objetivo de intentar resolver finalmente el problema.

Habría las siguientes alternativas de acción: Regresar cierto número de tomates, Tratar de conseguir al dinero suficiente,

Comprar esa misma cantidad, pidiendo al vendedor un crédito. Llegar a un acuerdo con el vendedor sobre el precio de los tomates,

Preguntar en otra venta de hortalizas o en otro lugar donde tengan el producto, Comprar otro producto como sustituto.

Condiciones

El precio a pagar está determinado proporcionalmente por la cantidad del alimento seleccionado.

Normalmente en la compra de pequeñas cantidades, en el comercio al detalle, no se hace rebajas.

En el ejemplo, la situación de partida s reduce a los siguientes resultados. Los 37 tomates seleccionados que desea comprar la persona con sus 1500 bolívares tienen un peso de 2 kilos y 450 gramos. Se observa que hasta el momento no se ha señalado el precio de los tomates por kilógramo, lo cual es una información básica que puede ser obtenida por el vencedor o que sencillamente aparecerá indicada en alguna lista de precios. Ese caso, cada kilo cuesta bs. 800.

(20)

20 En el ejemplo se presenta una relación lineal entre los resultados medidas (cantidad de tomates expresados en kilogramos) y el precio por cada kilogramo. De esta manera, se puede determinar el mismo mediante una función lineal. Aquí juegan los maestros y profesores un papel muy importante desde el punto de vista didáctico para hacer comprender la complejidad de esa relación de dependencia lineal.

Volviendo al ejemplo, el modelo matemático es la función lineal y = px donde y representa el precio a pagar, p el precio por cada kilogramo de tomates, x el resultado obtenido al pesarlos. La función definida de esa manera tiene carácter descriptivo y predictivo.

Construcción de viviendas y oficios domésticos

Las viviendas familiares y multifamiliares, se requiere de la matemática, y en especial de la geometría. Esto se observa en la gran variedad de elementos geométricos correspondientes a los techos, habitaciones, fachadas espacios abiertos y cerrados, lugares de esparcimiento, cálculo de la pintura necesaria, distribución de los muebles ubicación de las lámparas, entradas de energía eléctrica, construcción de entradas y jardines , siembra de árboles. En organizar y arreglar caminos, medir terrenos, calcular el área de montañas y zonas verdes para su protección, hacer y pintar ornamentos, analizar y medir al tamaño y peso de piedras y árboles, y en elaborar todo tipo de objetos de metal madera necesaria en el hogar y el trabajo.

En la industria

Hay que tomar consideración que la industria, conjuntamente la agricultura, representa la base del bienestar y desarrollo de los pueblos. La matemática puede contribuir especialmente al impulso y conocimiento de muchos aspectos industriales y tecnológicos que deberían ser estudiados en la EB y en la EMDP. En Educación para el trabajo, con el soporte geometría y al matemática en general, alumnos tienen que construir engranes de metal o de madera, comparar y medir esferas y ruedas de acuerdo a sus características y funciones, y trabajar con los tipos y formas de tubos de metal y plástico (agua, gas y petróleo).

Los metales

Con los carros observamos una gran variedad de elementos geométricos de diferente dificultad, podemos desarrollar formas aerodinámicas; comparar la cilindrada de motores; probar las reflexiones, los faros; optimizar los caminos de transporte; y programar los movimientos de los robots para la industrialización. Con el embalaje, encontramos una inmensa variedad de actividades que requieren de la geografía, tales como la elaboración de tipos de cartones y demás materiales para empaque y almacenamiento, comparación y elaboración de los tamaños y formas de los embalajes, determinación del volumen y las consecuencias de la producción de basura, y mecanismo de reciclaje de los objetos desechados.

(21)

21 Comercio

En el comercio y transporte: en la producción es importante que los alumnos simulen situaciones como; carga y transportar muebles y demás objetos en caros de diferentes tamaños, adquirir bolsas y recipientes para el almacenamiento y transporte de líquidos, especialmente para bebidas; medir contenedores para el transporte de alimentos secos y mercancías, tales como azúcar, café, hierro, cacao y demás sustancias para el consumo humano; calcular el costo de papel y demás materiales necesarios para el empaque, y su optimización en cuanto a espacio y costos, conocer los planos de las ciudades, así como mapas de regiones del país, para determinar los caminos óptimos de transporte; compara vías aéreas y marítimas en el país, analizar las construcciones de bicicletas y demás medios de transporte no automotores; todos ellos son espacios fructíferos para discutir ventajas y desventajas.

Un profesor decide construir, conjuntamente sus alumnos y otros profesores, un acuario en la escuela. Esta idea se puede convertir en un proyecto muy interesante y de larga duración, ya que son muchos los problemas que se tienen enfrentar y resolver hasta lograr, exitosamente, un acuario lo suficientemente grande como para colocar una buena variedad y cantidad de peces, sin que ellos presenten problemas de espacio. Algunos de los aspectos que se debe tener presente son los siguientes: tamaño del acuario, cantidad de agua, costo de los siguientes. Tamaño del acuario, cantidad de agua, costo de los materiales, cantidad de peces que pueden convivir juntos, temperatura del agua, con qué frecuencia se tiene que limpiar el agua, con qué frecuencia se tiene que limpiar el agua. Entre muchas otras variables incluyentes de importancia.

Si tú eres profesor, tienes que reflexionar tarde o temprano políticamente sobre tus propias experiencias y con ello tomar conciencia que tú también actúas siempre políticamente. Esto significa que, cuando empecemos a trabajar como pedagogos, necesariamente deberemos tomar conciencia de nuestro papel como políticos. Por lo tanto sostengo como algo muy importante que en un seminario sobre la formación de profesores ha de tomarse en consideraciones la dimensión política de la educación y la enseñanza. ¿Pero qué es lo que se hace y se habla en los seminarios dirigidos a la formación de maestros y profesores?. Uno coloca el acento en los métodos y las técnicas. Mientras más se insiste, sin embargo, en los métodos y en las técnicas de enseñanza, de esta manera se aparta aún más a un segundo plano la dimensión política de la educación y la enseñanza….Si yo por ejemplo como profesores de matemática elemental en una escuela Básica le sugiero a mis alumnos que hagan la siguiente actividad: ustedes tienen 10.000$ y los llevo al banco donde obtendrán 3% por concepto de intereses, ¿Cuánto dinero tendrás dentro de seis meses? Algunos piensan que es solamente una actividad de cálculo, pero realmente esa tarea tiene algo que ver con política e ideología pregunta capitalista, en tal sentido tú le suministras a tus alumnos la representación del valor capitalista. Yo les pregunto a ustedes: ¿Dónde está la neutralidad de la aritmética?

El proceso actual de internacionalización del conocimiento, por el contrario, exige de quienes preocupamos por la educación matemática, un movimiento más activo y participativo de la sociedad conjuntamente el desarrollo tecnológico, que debería tener como principal objetivo buscar y brindarle solución a los problemas que afectan a los pueblos, fundamentalmente a los pueblos oprimidos como las comunicaciones indígenas de Latinoamérica.

(22)

22 Hay quienes sospechan que la población joven y adulta presenta pocas dificultades en el tratamiento matemático de situaciones de la vida cotidiana, lo cual habría que investigar: se dice que ellos poseen mecanismos y estrategias altamente eficientes en el manejo de cantidades, precios, estimaciones, longitudes, etc., ya que están familiarizados con los objetos y elementos de la vida diaria. En muchos casos pueden resolver tareas con una alta precisión, pero fracasan en la escuela con la matemática más elemental. Sobre este tema se han desarrollado muchos trabajos interesantes en latinoamericana, concretamente en Brasil. Entre los autores conocidos que han realizado investigaciones de esta naturaleza podemos mencionar a Mora.

Los cálculos independientes que hacen los niños y la población en general en su vida cotidiana, y que son olvidados normalmente por la escuela permiten el significado de muchas ideas matemáticas.

El conjunto de pasos del cálculo que da, en cuando al contenido matemático se refiere, de manera significativa en quien resuelve el problema, mientras que en la escuela el conocimiento significativo envuelto en las cosas que se está haciendo, en la mayoría de los casos se pierde. Estamos en presencia de una matemática descontextualizada y no solamente, como plantea Brousseau (1994:65) de un profesor descontextualizado.

Una joven calcula el precio de 10 cocos, cada uno los cuales cuesta 35 cruzeiros, sumando mentalmente 105 cruzeiros tres veces y agregando 3 más, en vez multiplicar por 10.En un trabajo reciente presenta otros ejemplos de cálculos realizados por vendedores callejeros de las de Brasil. Para calcular la diferencia 46-18, uno de los vendedores dice. ―primero quito 6 de este número (46) y después quito doce más. Así he quitado 18 en total. La respuesta es 28‖. Entre muchos otros ejemplos, veamos también la siguiente forma de sumar 790 + 470. ―cero más cero igual a cero. Nueve (de 790) menos 3 igual a 6, y 3 más 7 (de 470) es 10 y 10 más 6 igual a 16. Cuatro menos 1 es 3, 3y más 7 es 10 diez más 1 es 12‖.

Que cada individuo, de acuerdo a su experiencia, inertes, necesidad, motivación, conocimiento y dificultad contextual, desarrollo sus propios mecánicos y procedimientos para la solución de un determinado problema. La escuela, nuestra escuela, necesita aprender de la cotidianidad del mundo para poder generar resultados satisfactorios en la educación matemática.

Parece ser que el rendimiento matemático presentado por los alumnos en cada una de las actividades es directamente proporcional al grado de familiaridad y confianza que tiene los individuos con el objeto concreto o con las características de la situación de la vida cotidiana presente. En la mayoría de los casos, los conocimientos las habilidades de los niños y jóvenes no son estructurados de la misma forma lógica y secuencial como se da la presentación del conocimiento matemático en la escuela.

Cuando se trabaja por ejemplo con el tema ―dinero‖, observamos claramente la contradicción entre esa secuencia lógica del conocimiento y la experiencia cotidiana. Vemos que los niños bolivianos, por ejemplo, pueden contar y reconocer la magnitud que representa cantidades como bs. 20, bs. 50, bs. 100, bs. 500 y hasta 1000, sin que ellos hayan trabajado en la ―escuela‖ con un ―conjunto‖ de números mayor que 20.

(23)

23 Esa capacidad de los alumnos para percibir el significado de situaciones matemáticas se manifiesta en los trabajos realizados con el tema ―dinero‖, y en el manejo de los números decimales que normalmente se empieza a enseñar en la segunda etapa de la EB.

1.4. RELACIÓN DE LA MATEMÁTICAS CON OTRAS ÁREAS

EJEMPLO DE FOTOGRAFIAS CON OTRAS AREAS

La

matemática relacionada con la astronomía

(24)

24 La matemática relacionada con la computación. Utiliza el sistema binario.

La matemática relacionada en la construcción de puentes se necesita del teorema de Pitágoras.

(25)

25

RESUMEN DE LA UNIDAD

La presente unidad, contempla la historia de la Matemática desde su origen hasta la actualidad y la relación de la matemática con otras áreas, sus características, su importancia, su aplicación su utilidad en la vida cotidiana, etc. Entre los autores más destacados encontramos a Carl Friedrith Gauss, apodado el ―Príncipe de la Matemática‖, se refería a la matemática como la ―reina de las ciencias‖ Moya (2009), nos dice que ―Todos los seres humanos necesitamos de la Matemática‖

LECTURAS COMPLEMENTARIAS

Cirujanos y maestros en el siglo XXI

(Adrian Paenza, 2005) Una historia interesante para pensar es la siguiente: supongamos que un cirujano de principios del siglo XX, fallecido alrededor de 1920, se despertara hoy y fuera traslado al quirófano de un hospital moderno (aquellos a los que tienen acceso para cuidar de su salud las personas con alto poder adquisitivo, generando una desigualdad que escapa al motivo al de este libro, pero que no por eso ignoro.)

Vuelvo al quirófano. Supongamos que en la cama de operación hay un cuerpo anestesiado al que están operando a con la tecnología actual más moderna.

¿Qué haría el tal cirujano? ¿Qué sensaciones tendría? Claramente, el de un humano no cambio. En ese lugar no habría problemas. El problema lo encontraría en las ―Técnicas quirúrgicas‖, el ―aparataje‖ que las circundan, ―el instrumental‖ y la ―batería de tests‖ que estarían a proposición del cuerpo de médicos que están en esa sala. Eso sí sería una diferencia. Posiblemente, el viejo cirujano se quedaría‖ admirado‖ de lo que ve y completamente‖fuera del cirujano‖. Le explicarían el problema del paciente, y seguro que lo entendería. No tendría problemas en comprender el diagnóstico (al menos, en la mayoría de los casos). Pero la operación en si misma le resultaría totalmente inaccesible, inalcanzable. Ahora cambiemos la profesión. Supongamos que lugar de un cirujano que vivió y murió en el primer cuarto del siglo XX, resucitamos a un maestro de esos tiempos. Y lo llevamos, no a una sala de operaciones, sino al teatro de un maestro: una sala en donde se dictan clases. A una escuela ¿tendría problemas de comprensión? ¿Entendería de lo que están hablando? ¿Comprendería las dificultades que presenta los alumnos? (No me refiero a los trastornos de conducta, si no a los problemas inherentes a la compresión propiamente dicha.)

Posiblemente, la respuesta es que sí, que el maestro de otros tiempos no tendría problemas en comprender y hasta podría, si al tema era de su especialidad hace un siglo, acercase al pizarrón, tomar la tiza y seguir él con la clase casi dificultades.

MORALEJA; la tecnología cambio mucho el abordaje de ciertas disciplinas, pero no tengo claro que lo mismo se haya producido con los métodos y programas de enseñanza. Mi duda es: si elegimos no cambiar nada no hay problemas: Si evaluamos que lo que se hace desde hace un siglo es lo que queremos hacer hoy.

(26)

26

UNIDAD 2: DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA DESDE UNA

PERSPECTIVA CRÍTICA

La primera unidad reúne todo un conjunto de definiciones de la matemática, la importancia de esta, el rol del estudiante junto a su maestro/a y el desarrollo del proceso enseñanza– aprendizaje y finalmente la didáctica que facilitará la transmisión de conocimientos prácticos a sus estudiantes, elevando así la calidad educativa de los estudiantes del nivel secundario.

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Comprendemos y reflexionamos acerca de las definiciones de la matemática, relacionada proceso enseñanza-aprendizaje, a sus objetivos, las necesidades de aprendizaje del estudiante y cómo este afecta la parte cognoscitiva y afectiva, además de los componentes personales que intervienen en el aprendizaje (mestro/a y estudiante) y los componentes básicos de la didáctica de la matemática que se requiere para el trabajo de aula.

2.1 DEFINICIÓN DE LA MATEMÁTICA

Las Matemáticas o la matemática, ―es una ciencia que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos) (Real academia Española, 2010:23). Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico.

Pero encontramos a otros autores que nos dan las siguientes definiciones:

 La matemática es el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo. Galileo Galilei ( autor , año)

 Es la reina de las ciencias, y la aritmética es la reina de las matemáticas. Carl Gauss,

 La matemática es la ciencia de las cosas evidentes e introvertibles. Feliz Klein.  La matemática no es la ciencia de la cantidad. Aristóteles.

 La matemática es la ciencia del orden y la medida. René Descartes.  La matemática es la ciencia de lo que es claro de por sí. G. Jacobi.  La matemática es la ciencia que obtiene conclusiones necesarias.

(27)

27

2.2 ¿PARA QUÉ APRENDER MATEMÁTICA?

Dado el contexto en que desarrollamos nuestra labor pedagógica, nos damos cuenta de la importancia de hacer accesible la matemática a todos. La sociedad requiere de personas preparadas para resolver, explorando y creando problemas de la realidad. En las distintas áreas, se requiere de ciertos contenidos y habilidades matemáticas para desenvolverse con destreza.

Es decir, aprendemos matemática para poder utilizarla y resolver situaciones problemáticas de la vida diaria e insertamos de manera creativa en la sociedad.

La matemática debe estar al servicio de las personas como un aporte para su crecimiento personal.

2.3. ¿CÓMO ES EL PROCESO DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE DE

LA MATEMÁTICA?

Debemos tomar en cuenta que la matemática es: Un modo de pensar

Un campo de exploración de la naturaleza Un campo de creación humana

Un lenguaje simbólico Profesor/a y estudiante

El proceso enseñanza-aprendizaje, no se puede llevar a cabo sin la presencia del estudiante, el cual presenta dos posturas

- Aun considerando como competente a su profesor.

- Responde a la enseñanza de la matemática…

- Con aversión hacia ella por considerarla ―árida‖ …

- ¿se debe esto a que la matemática es en sí árida y difícil, o a la forma en que se realiza el proceso enseñanza-aprendizaje?

(28)

28 En la actualidad se sigue presentando estas dos situaciones:

Situación A Situación B

PROFESOR/A Y ESTUDIANTES PROFESOR/A Y ESTUDIANTES El profesor/a:

Da definiciones y principios. Escribe fórmulas.

Las deduce.

Explica la forma de manejarlas. Resuelve ejercicios como ejemplos.

Deja otros ejercicios para ser resueltos por los alumnos.

Menciona algunas aplicaciones…

Los estudiantes:

Copian en sus cuadernos. Preguntan dudas.

Hacen preguntas como: ¿Cuándo es el examen mensual?

Inician una reflexión sobre un

fenómeno o situación propuestos. Utilizan algunos símbolos que les

permite formar un modelo matemático de este fenómeno.

Dentro del modelo obtienen resultados Retornan al fenómeno ya mejor

comprendido.

1.4. OBJETIVOS A ALCANZAR EN CURSO DE MATEMÁTICA

Cuando profesores y estudiantes iniciamos un curso de matemática empezamos a recorrer un camino, pero….

… ¿sabemos a dónde queremos llegar? ¿Qué actitud tomamos

frente al programa escolar?

Nos preocupa fundamentalmente cubrirlo en su totalidad No lo tomamos en cuenta

Nos detenemos a pensar cómo vamos a utilizarlo para llevar a nuestros alumnos a un verdadero aprendizaje de la Matemática

Tal vez esperamos que nuestros estudiantes:

Entiendan las aplicaciones Aprueben el curso

Sean influidos por el estudio de la Matemática en su formación personal

Comprendan la importancia de la Matemática en el desarrollo de la vida moderna

Correlacionen sus conocimientos de Matemáticas con otras áreas de aprendizaje

Y los estudiantes A su vez esperan Del curso…

Que sea algo interesante

Que se les aclare para qué sirve la Matemática Que el curso termine pronto porque no le gusta

Tanto estudiantes como maestros/as, tienen ideas diferentes acerca de lo que desean alcanzar durante el curso

Referencias

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