Matemáticas 3. Guía del docente. Roberto Villaseñor Spreitzer Víctor Manuel García Montes José Luis Hernández Palomino. prohibida su venta

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Matemáticas 3

Guía del docente

ta

Roberto Villaseñor Spreitzer

Víctor Manuel García Montes

José Luis Hernández Palomino

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(3)

Matemáticas 3

Guía para el docente

(4)

Presentación

Matemáticas 3. Ser mejor. Guía para el docente es un material de apoyo para su práctica diaria a partir del libro del alumno. Tiene el propósito de acompañarlo,

apoyarlo y orientarlo en su labor en el salón de clases.

Esta guía le ofrece los siguientes recursos:

• Dosificaciones por trimestre

• Sugerencias didácticas por cada secuencia

• Notas para el docente

• Exámenes por trimestre

• Rúbricas de evaluación

• Cuadros de evidencias

• Bibliografía

Con esta guía pretendemos crear un espacio de reflexión y estudio sobre las matemáticas, en el que los maestros adquieran una visión de la enseñanza basada en el

razo-namiento matemático mediante la resolución de problemas, más que en los procedimientos de simple repetición y memorización. Descartamos la búsqueda mecánica de

respuestas y apostamos por la formulación de conjeturas, la verificación lógica y matemática de los resultados para aprovechar el error como parte del proceso de aprendizaje

de los estudiantes.

(5)

Índice

Presentación ... 2

Conozca su guía ... 5

Dosificaciones ... 7

Trimestre

1

Secuencia 1. Determina y usa los criterios

de divisibilidad (2, 5 y 10) ... 11

Secuencia 2. Determina y usa los criterios de

divisibilidad (3, 4 y 6) ... 14

Secuencia 3. Determina y usa los números primos ... 16

Secuencia 4. Usa técnicas para determinar

el mcm y el MCD ... 18

Secuencia 5. Formula expresiones de segundo grado

para representar propiedades del área de figuras

geométricas (I) ... 20

Secuencia 6. Formula expresiones de segundo grado

Secuencia 8. Resuelve problemas mediante la formulación

y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas

(factorización) ... 26

Secuencia 9. Resuelve problemas mediante la formulación

y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas

(fórmula general) ... 28

Secuencia 10. Modela y resuelve algebraicamente

una situación de variación cuadrática ... 32

Trimestre

2

Secuencia 11. Analiza y compara diversos tipos

de variación ... ...35

Secuencia 12. Analiza la variación cuadrática,

tabular, gráfica y algebraicamente ... ...38

Secuencia 13. Análisis de situaciones problemáticas

asociadas a fenómenos de la física y otras disciplinas ...40

(6)

Índice

Secuencia 15. Construye polígonos semejantes ...43

Secuencia 16. Determina criterios de semejanza

de triángulos ...45

Secuencia 17. Usa criterios de semejanza de

triángulos ...46

Trimestre

3

Secuencia 18. Formula y justifica el teorema de

Pitágoras ...50

Secuencia 19. Usa el teorema de Pitágoras ...52

Secuencia 20. Relaciones entre los ángulos y cocientes

de los lados de un triángulo rectángulo ...56

Secuencia 21. Uso de razones trigonométricas para

resolver problemas ...58

Secuencia 22. Compara la tendencia central y

dispersión de dos conjuntos de datos ...60

Secuencia 23. Distingue eventos singulares, no

singulares y mutuamente excluyentes ...63

Secuencia 24. Calcula la probabilidad de ocurrencia

de dos eventos mutuamente excluyentes ...64

Secuencia 25. Analiza las condiciones para que un

juego de azar sea justo ...65

Exámenes trimestrales ... 69

Rúbricas ... 79

Cuadros de evidencias ... 82

Bibliografía para el profesor ... 85

(7)

38

Trimestre 2

Secuencia 12. Analiza la variación cuadrática, tabular, gráfica y algebraicamente. Lección 12. ¡Queremos pastel!

Aprendizajes esperados:

Analiza y compara diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

Semanas 19 y 20 (10 sesiones) 50 min. por sesión pp. 111-120 Cuaderno, calculadora, computadora con hoja de cálculo, papel cuadriculado y regla.

Inicio

En esta lección los alumnos parten de la expresión verbal de una situación, tienen que identificar las dos cantidades variables de la situación, para luego generar datos y organizarlos en una tabla. A partir de la tabla trazarán una gráfica que refleje la relación funcional entre las cantidades variables, y habrán de reconocer el tipo de variación de que se trata. Pero luego tienen que dar un paso más: empezar a utilizar literales para obtener la expresión algebraica que represente la situación.

Resuelva dudas, pero proporcione el espacio necesario para que –trabajando por equipos– logren llegar a la expresión algebraica. Es importante el intercambio de experiencias entre equipos, y reconocer que ya se han logrado diferentes formas de representar la situación: verbalmente, por medio de una tabla, una gráfica y algebraicamente.

Desarrollo

Puede ser necesario proporcionar a su grupo oportunidades adicionales para pasar de unas a otras formas de representación de una relación cuadrática, antes de seguir adelante. Con este fin, formule otros problemas, o utilice alguno de los casos de la sección ¡A practicar!

Se empieza a trabajar con relaciones de variación cuadrática, del tipo y = ax2 + c. Así mismo, se introducen problemas que no surgen de ningún contexto específico, cotidiano o familiar para el alumno; este recurso permite que en problemas inicialmente planteados en un contexto, se extiendan los intervalos de variación de las cantidades, y poder así trazar gráficas más completas.

Para describir una relación funcional cuadrática, se van introduciendo y aplicando los conceptos de simetría, vértice, máximo y mínimo, intervalos donde es creciente o decreciente. Estos, junto con el manejo de las diferentes representaciones, permiten visualizar toda la información que reúne una relación de este tipo. En estos aspectos también proporcione a su grupo tanta práctica y ejercitación como sean posibles. Observe que cuando el término de segundo grado de una relación cuadrática tiene signo negativo –en la expresión algebraica–, en la gráfica las ramas de la curva se extienden hacia abajo y el vértice es un máximo; sucede lo contrario si el signo del término de segundo grado es positivo.

Cierre

Es importante que los alumnos siempre identifiquen en cada nueva situación, cuáles son las cantidades variables que se relacionan entre sí, y de qué naturaleza es la variación, antes de pasar a cualquier otra operación.

Aclare todas las dudas sobre procedimientos. También en esta lección es recomendable el trabajo por equipos siempre que posible. Lo más relevante de la lección es el trabajo con relaciones de variación funcional y las diferentes formas de representarlas; a algunas de ellas, cuyas gráficas son curvas, ya se les identifica y es posible caracterizarlas por medio de nuevas herramientas de análisis. El tema es muy amplio y continúa en las lecciones siguientes.

Conozca

su guía

A continuación, le mostramos el propósito de cada una de las secciones que integran Matemáticas 3. Ser mejor. Guía para el docente.

Dosificación

Lección Contenido Aprendizaje esperado Tema Eje Página del libro

del alumno

1. Para no dividir Determina y usa los criterios de divisibilidad (2, 5 y 10)

Determina y usa los criterios de divisibilidad y los números primos.

Número 12 2. Para no perder

tiempo en dividir Determina y usa los criterios de divisibilidad (3, 4 y 6) 20 3. Los primos Determina y usa los números primos 30

Unos minutos para pensar

Evaluación formativa Evaluación PISA

Dosificaciones por trimestre Se hace referencia al trimestre, secuencia y lección. Se indican los aprendizajes esperados de las secuencias.

Sugerencias didácticas por cada secuencia y lección.

Le sugerimos la semana en la que puede planear y organizar el trabajo en el aula.

Se indican las páginas del libro del alumno.

Materiales didácticos que le ayudarán a impartir su clase. Presenta pautas para

desarrollar el trabajo en el aula en tres momentos.

En la sección Unos minutos para pensar encontrará información complementaria y útil para su práctica docente.

(8)

a su labor docente.

71 1. La gráfica siguiente representa la distancia recorrida en cada

momento por tres automóviles que realizaron el mismo viaje:

• ¿En qué orden llegaron los automóviles al destino?

a) A, B, C b) A, C, B c) C, A, B d) Llegaron al mismo tiempo

• ¿Cuál automóvil hizo todo el viaje a velocidad constante? a) El A b) El B c) El C d) Ninguno

• ¿Cuándo fue mayor la velocidad del automóvil B? a) Entre 30 y 60 min b) Entre 60 y 90 min c) Entre 90 y 110 min d) Entre 110 y 150 min

• ¿Cuál automóvil aceleró durante una parte de su viaje? a) El A b) El B c) El C d) Ninguno

• ¿Cuál automóvil aceleró durante todo el viaje? a) El A b) El B c) El C d) Ninguno

2. En la escuela hay un torneo de futbol rápido. Al iniciar cada

partido, todos los jugadores de un equipo tienen que saludar a todos los miembros del otro.

• Encuentra la expresión algebraica que relaciona el total de salu dos y con el número de jugadores x de uno de los equipos, y donde el otro equipo tiene dos jugadores menos. a) y=2x² b) y=2(x-2)² c) y=x² (x-2) d) y=x²-2x

• ¿Cuál de las siguientes gráficas representa esta relación? a) Examen 2 To ta l d e s alu do s Tiempo (minutos) D ist an ci a(k m)100 80 60 40 20 20 40 60 80 100 120 140 160 A B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 80 60 40 20

Numero de jugadores 1er equipo

69

Nombre del evaluado: Fecha:

Cuadro de evidencias

Fecha Actividades / ProductosCriterios de evaluación Observaciones Calificación

Total Promedio

79

Rúbrica

Redacte los indicadores de logro con base en los aprendizajes esperados del trimestre 1.

Nombre del evaluado: Fecha:

Trimestre 1 Indicadores de logro

Aprendizajes esperados Destacado Satisfactorio Suficiente Insuficiente Determina y usa los criterios de divisibilidad y los números primos.

Usa técnicas para determinar el mcm y el MCD. Formula expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras geométricas y verifica la equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente. Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.

86

Bibliografía consultada

Brousseau, G. (1986). Fundamentos y métodos de la didáctica de la matemática. Argentina: Facultad de matemática, astronomía y física. Universidad Nacional de Córdoba.

Batanero, Ma. Del C. et al. (1996). Razonamiento combinatorio. Madrid: Síntesis. Eves, Howard (1969). Estudio de las geometrías. México: UTEHA. Rivaud, Juan J. (1981). Trigonometría. México: Limusa.

Zubieta, G. et al., (2000). Geometría dinámica. Enseñanza de las matemáticas con tecnología. México: SEP. Vélez, D. y Varela, O., (2014). El descubrimiento de los números negativos. Medellín: Universidad de Antioquia. PDF en http://bibliotecadigital.udea.edu.co/bitstream/10495/3121/6/VelezBotero_2014_Descubrimientonumerosnegativos.pdf Mayor, J., Suengas, A., y González-Marqués, J. (1993). Estrategias Metacognitivas. Aprender a aprender y aprender a pensar. Madrid: Editorial Síntesis Psicología.

Fernando Alonso, et al., (1993). Ideas y actividades para enseñar álgebra, España: Editorial Síntesis.

Sitios de consulta https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/2730749.pdf https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=2748780 www.sinewton.org/numeros/ https://es.khanacademy.org/ https://www.vitutor.com/index.html

Exámenes por trimestre

con reactivos que evalúan los aprendizajes esperados.

Cuadros de evidencias

con los que podrá obtener información valiosa del desempeño de los alumnos.

Rúbricas de evaluación

que incluyen una serie de indicadores que permiten ubicar el grado de desarrollo de los conocimientos de los alumnos.

Bibliografía. Se recomiendan

materiales de consulta que podrá consultar para profundizar en los temas y mejorar sus alternativas de evaluación.

85

Bibliografía para el profesor

Bello, I. (1999). Álgebra elemental. S/d: International Thomson Editores. Colegio Nacional de Matemáticas (2008). Matemáticas simplificadas. (Segunda edición). México: Pearson. Courant, R. y Robbins, H. (1962). ¿Qué es la matemática? Madrid: Aguilar. Díaz G. J., Batanero, M. C. y Cañizares, M. J. (1996). Azar y probabilidad. Madrid: Síntesis. De la Peña, J. A. (1999). Álgebra en todas partes. México: Fondo de Cultura Económica.

De la Peña, J. A. (Compilador). (2002). Algunos problemas de la educación en matemáticas en México. México: Siglo XXI-UNAM. Editorial Planeta (1992). Nueva Enciclopedia Temática Planeta. Matemáticas. Barcelona: Planeta. Fendel, D., Resek, D., Alper, L. y Fraser, S. (1997). Interactive Mathematics Program. Berkeley: Key Curriculum Press. Filloy, E. (1998). Didáctica e historia de la geometría euclidiana. México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Filloy, E. (Coordinador) (2003). Matemática educativa. Aspectos de la investigación actual. México: Fondo de Cultura Económica-Cinvestav. Grupo Azarquiel (1993). Ideas y actividades para enseñar álgebra. Madrid: Síntesis.

Gustafson, D. R. (1997). Álgebra intermedia. S/d: International Thomson Editores. Guillén, G. (1991). El mundo de los poliedros. Madrid: Síntesis.

Orton, A. (2003). Didáctica de las matemáticas. Madrid: Ediciones Morata-Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Parra, C. y Saiz, I. (Compiladoras) (1994). Didáctica de las matemáticas. Aportes y reflexiones. Buenos Aires: Paidós. Secretaría de Educación Pública (2011). Programas de Estudio 2011. Educación básica. Secundaria. Matemáticas. México. Socas, M. M., Camacho, M., Palarea, M. M. y Hernández, J. (1996). Iniciación al álgebra. Madrid: Editorial Síntesis. Triola, M. F. (2006). Estadística. (Novena edición). México: Pearson.

(9)

Dosificación

Lección

Contenido

Aprendizaje esperado

Tema

Eje

Página del libro

del alumno

1. Para no dividir

Determina y usa los criterios de divisibilidad

(2, 5 y 10)

Determina y usa los criterios de

divisibilidad y los números primos.

Número

Número,

álgebra y

variación

12

2. Para no perder

tiempo en dividir

Determina y usa los criterios de divisibilidad (3,

4 y 6)

20

3. Los primos

Determina y usa los números primos

30

4. El mínimo y el

máximo

Usa técnicas para determinar el mcm y el MCD

Usa técnicas para determinar el

mcm y el MCD.

38

5. Expresión matemática Formula expresiones de segundo grado para

representar propiedades del área de figuras

geométricas (I)

Formula expresiones de segundo

grado para representar propiedades

del área de figuras geométricas

y verifica la equivalencia de

expresiones, tanto algebraica como

geométricamente.

Patrones,

figuras

geométricas

y expresiones

equivalentes

47

6. Modelos recortados

Formula expresiones de segundo grado para

representar propiedades del área de figuras

geométricas (II)

53

7. Modelos

matemáticos I

Resuelve problemas mediante la formulación y

solución intuitiva de ecuaciones cuadráticas

Resuelve problemas mediante la

formulación y solución algebraica

de ecuaciones cuadráticas.

Ecuaciones

63

8. Modelos

matemáticos II

Resuelve problemas mediante la formulación y

solución algebraica de ecuaciones cuadráticas

(factorización)

(10)

Dosificación

Lección

Contenido

Aprendizaje esperado

Tema

Eje

Página del

libro del

alumno

11. Entre carreras y

curvas

Analiza y compara diversos tipos de

variación

Analiza y compara diversos

tipos de variación a partir de sus

representaciones tabular, gráfica y

algebraica, que resultan de modelar

situaciones y fenómenos de la física y

de otros contextos.

Funciones

Número,

álgebra y

variación

102

12. ¡Queremos pastel!

Analiza la variación cuadrática, tabular,

gráfica y algebraicamente

111

13. En caída libre

Análisis de situaciones problemáticas

asociadas a fenómenos de la física y

otras disciplinas

121

14. Para cruzar el río

Forma general de la expresión algebraica

de la variación cuadrática. Características

y relación con la solución de ecuaciones

Diferencia las expresiones algebraicas

de las funciones y de las ecuaciones.

Patrones, figuras

geométricas

y expresiones

equivalentes

130

15. Iguales, pero no

tanto

Construye polígonos semejantes

Construye polígonos semejantes.

Determina y usa criterios de semejanza

de triángulos.

Figuras y cuerpos

geométricos

Forma,

espacio y

medida

139

16. Reglas de semejanza Determina criterios de semejanza de

triángulos

146

17. Semejanza aplicada

Usa criterios de semejanza de triángulos

156

(11)

Lección

Contenido

Aprendizaje esperado

Tema

Eje

Página del

libro del

alumno

18. Pitágoras

Formula y justifica el teorema de

Pitágoras

Formula, justifica y usa el teorema de

Pitágoras.

Magnitudes y

medidas

Forma,

espacio y

medida

166

19. Más sobre Pitágoras

Usa el teorema de Pitágoras

175

20. Triángulos

rectángulos, lados y

ángulos

Relaciones entre los ángulos y cocientes

de los lados de un triángulo rectángulo

Resuelve problemas utilizando las

razones trigonométricas seno, coseno

y tangente.

Figuras y cuerpos

geométricos

183

21. Trigonometría

Uso de razones trigonométricas para

resolver problemas

195

22. ¿Dónde están los

más altos?

Compara la tendencia central y

dispersión de dos conjuntos de datos

Compara la tendencia central (media,

mediana y moda) y dispersión (rango

y desviación media) de dos conjuntos

de datos.

Estadística

Análisis de

datos

202

23. ¿Qué quieres ver?

Distingue eventos singulares, no

singulares y mutuamente excluyentes

Calcula la probabilidad de ocurrencia

de dos eventos mutuamente

excluyentes.

Probabilidad

211

24. ¿Cuál es tu música?

Calcula la probabilidad de ocurrencia de

dos eventos mutuamente excluyentes

217

25. En busca de la

equidad

Analiza las condiciones para que un

juego de azar sea justo

225

Dosificación

(12)

Unos minutos

para pensar

Propósitos de la enseñanza de

las matemáticas

La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria tiene

en-tre sus propósitos, transmitir a los alumnos una parte importante

del acervo cultural de la humanidad. Asimismo, debe propiciar el

desarrollo de nociones y conceptos que les sean útiles para

com-prender su entorno y resolver problemas de la vida real, al mismo

tiempo que les proporciona los conocimientos y las habilidades de

pensamiento y razonamiento necesarios para avanzar en el

estu-dio de las matemáticas, así como para acceder al conocimiento de

otras disciplinas. Es importante que el estudio de las matemáticas

desarrolle en el alumnado la apreciación por su propio trabajo

per-sonal y el de los demás.

Además de los objetivos anteriores, la enseñanza de las

matemá-ticas en la escuela secundaria tiene como propósito fundamental

el desarrollo de las habilidades operatorias, de comunicación y de

descubrimiento en los estudiantes. Para cumplir con este

propósi-to, las actividades en clase deberán permitir:

Adquirir seguridad y destreza en el empleo de técnicas y

pro-cedimientos básicos a través de la solución de problemas.

Reconocer y analizar los distintos aspectos que componen un

problema.

Elaborar conjeturas, comunicarlas y validarlas.

Reconocer situaciones análogas (es decir que, desde un punto

de vista matemático, tienen una estructura equivalente).

Escoger o adaptar la estrategia que resulte adecuada para la

solución de un problema.

Comunicar estrategias, procedimientos y resultados de

mane-ra clamane-ra y concisa.

Prever y generalizar resultados.

Desarrollar gradualmente el razonamiento deductivo.

El aprendizaje de las matemáticas y la

solución de problemas

Para apreciar las matemáticas no basta con contemplar sus

resul-tados, sino que hay que involucrarse con ellas, hacerse preguntas e

intentar responderlas. Así, un aprendizaje significativo de las

mate-máticas no puede reducirse a la memorización de hechos,

defini-ciones y teoremas, ni tampoco a la aplicación mecánica de ciertas

técnicas y procedimientos.

Un problema es algo más que una ocasión para ejercitar los

pro-cedimientos aprendidos. Un problema debe dar a los alumnos la

oportunidad de explorar las relaciones entre nociones conocidas

y utilizarlas para descubrir o asimilar nuevos conocimientos, los

cuales a la vez servirán para resolver nuevos problemas. Ésta es

esencialmente la naturaleza de la actividad matemática.

Los alumnos deberán involucrarse activamente en todas las fases

por las que pasa la solución de un problema, desde el

plantea-miento mismo, la producción de las primeras conjeturas y su

dis-cusión, hasta la redacción de la solución.

Tomado y adaptado con fines educativos de:

SEP, (1994). Libro para el maestro. Educación secundaria.

Matemáticas.

(13)

Trimestre 1

Secuencia 1. Determina y usa los criterios de divisibilidad (2, 5 y 10).

Lección 1. Para no dividir

Aprendizajes esperados:

Determina y usa los criterios de divisibilidad y los números primos.

Semana 1 (5 sesiones)

50 min. por sesión

pp. 12-19

Cuaderno, calculadora.

Inicio

Los criterios de divisibilidad son reglas mediante las cuales se puede anticipar si un número natural es divisible o no entre otro número natural. Los criterios de divisibilidad entre 2, 5 y 10 pueden ser formulados por los propios alumnos al resolver las situaciones planteadas en las que puedan observar regularidades en cuanto a las cifras que componen los números, por ejemplo, establecer que todos los números que son divisibles entre cinco terminan en cero o en cinco.

Las demostraciones de los criterios de divisibilidad entre 2, 5 y 10, necesariamente requerirían su intervención y pueden resultar poco comprensibles para los alumnos, por tanto no es conveniente invertir tiempo y esfuerzo a este aspecto. En cambio, una vez que los alumnos muestren cierta habilidad para decidir si un número es o no divisible entre 2, 5 y 10, que tengan claridad sobre los conceptos de múltiplo y divisor, así como del conjunto de divisores de un número, se pueden plantear preguntas que les permitan hacer conjeturas, buscar ejemplos o contraejemplos y algunas generalizaciones.

(14)

Secuencia 1. Determina y usa los criterios de divisibilidad (2, 5 y 10).

Lección 1. Para no dividir

Desarrollo

En Para arrancar, la intención didáctica es que los alumnos se den cuenta que para resolver el problema es necesario determinar qué número es divisible entre 40 y 60 (el mínimo común múltiplo de 40 y 60) para poder armar prismas cuadrangulares que tengan 120 cm por lado. Es importante asegurar que los alumnos comprenden el problema, es decir, se trata de armar prismas con los contenedores de 40 cm x 60 cm, en cuya base se pueden acomodar 6 contenedores de 3 x 2, como se muestra en seguida.

Como se puede observar, se inicia con una situación que implica anticipar si un número natural es divisible o no entre otro número natural.

En la sección Reto, asegúrese de que los alumnos no hagan los cálculos por escrito, deje que ellos piensen por un momento, se puede guiar con las preguntas siguientes: ¿Cuántas charolas de tres pescados de pueden empacar? ¿Más de 100 charolas? ¿Entre 90 y 100 charolas? ¿Entre 80 y 89 charolas?

Lo anterior permitirá que los alumnos realicen cálculos mentales, por ejemplo, 3 × 100 = 300

Una vez que los alumnos han resuelto el problema, es importante socializar sus cálculos y procedimientos; para ello, no es necesario que todos los equipos expongan sus resultados y procedimientos, es suficiente que sean dos o tres equipos que tengan errores y aciertos y distintos procedimientos para que esto permita que todos los alumnos se den cuenta de sus errores y aciertos y, de esta forma, se logren los aprendizajes con sentido.

En la sección ¡A practicar! encontrará varios problemas que le permitirán ir evaluando los conocimientos alcanzados por los alumnos, es decir, al momento de socializar los distintos procedimientos y resultados, podrá dar cuenta de qué dificultades aún presentan algunos alumnos. Esto le permitirá tomar algunas decisiones de repaso o alguna tarea en específico para que se apropien de los conocimientos que implican el aprendizaje esperado.

Vista

superior

(15)

Trimestre 1

Secuencia 1. Determina y usa los criterios de divisibilidad (2, 5 y 10).

Lección 1. Para no dividir

Cierre

Es muy importante asegurar que los alumnos reconozcan que estos criterios de divisibilidad son reglas mediante las cuales se puede anticipar si un número natural es divisible o no entre otro número natural dando como resultado otro número natural, sobre todo cuando se tienen cantidades grandes.

Un problema que se podría plantear es el siguiente:

¿Es verdadero que la suma de tres números naturales consecutivos cualesquiera, siempre es divisible entre 3? Con respecto a esta pregunta, si los alumnos prueban a sumar grupos de tres números naturales consecutivos y observan que el resultado es múltiplo de tres, esto da entrada a otra pregunta: ¿Cómo podemos estar seguros de que esta propiedad se cumple para cualquier grupo de tres números consecutivos? Con su ayuda, los alumnos podrán llegar a la representación algebraica de tres números naturales consecutivos y a la suma de estos números: x + x + 1 + x + 2.

El proceso de análisis no termina con la representación anterior, es necesario simplificarla (3x + 3) y concluir que ésta, siendo x un número natural cualquiera, representa un múltiplo de tres. Cabe hacer notar que el uso del lenguaje algebraico cobra sentido en este caso para generalizar una propiedad aritmética, dado que no es suficiente con mostrar muchos ejemplos que confirman tal propiedad.

Este trabajo puede profundizarse al explorar lo que sucede con la suma de dos y cinco números naturales consecutivos cualesquiera, ¿siempre es divisible por el número de sumandos?

(16)

Secuencia 2. Determina y usa los criterios de divisibilidad (3, 4 y 6).

Lección 2. Para no perder tiempo

Aprendizajes esperados:

Determina y usa los criterios de divisibilidad y los números primos.

Semana 2 (5 sesiones)

50 min. por sesión

pp. 20-29

Cuaderno, calculadora.

Inicio

En esta lección se da continuidad a los criterios de divisibilidad, en particular, se trata de establecer los criterios de divisibilidad entre 3, 4 y 6. Al igual que en la primera lección, los criterios de divisibilidad entre 3, 4 y 6, pueden ser formulados por los propios alumnos al resolver las situaciones planteadas en las que puedan observar regularidades en cuanto a las cifras que componen los números, por ejemplo, establecer que todos los números que son divisibles entre 2 y 3, son divisibles entre 6.

Una vez que los alumnos hayan completado los criterios de divisibilidad es importante que ellos mismos investiguen si esos criterios son válidos, para ello se sugiere que usen su calculadora para hacer divisiones y que comprueben si el resultado es un número natural.

Desarrollo

En general, si bien un propósito de la secuencia es estudiar los criterios de divisibilidad, también es importante que cuando no recuerden o no conozcan el criterio, los alumnos recurran a estrategias de cálculo mental para saber si un número es divisible entre otro. Vale la pena tomar esto en cuenta a lo largo de la secuencia.

Para responder las preguntas en las secciones Reto y Un nuevo reto, los alumnos pueden recurrir a diferentes procedimientos, por ejemplo:

Escribir la sucesión 3, 6, 9, 12,… hasta llegar al número que necesitan.

Usar estrategias de descomposición de números; lo pueden hacer mentalmente o apoyándose en el registro de pasos u operaciones intermedias. Por ejemplo, para 567 una manera es:

450 es múltiplo de 3, porque 3 × 150 = 450.

Para 567, a 450 le faltan 117. Habría que investigar si 117 es múltiplo de 3. 90 es múltiplo de 3. Quedan 117 – 90 = 27

27 es múltiplo de 3.

Por lo tanto, 567 es múltiplo de 3.

Hacer la división entre 3. Tendrán que hacerlo con lápiz y papel porque una de las restricciones es que no usen calculadora.

El criterio de divisibilidad entre 3 es muy diferente a los estudiados, porque en los criterios de divisibilidad anteriores los alumnos se fijan en la última cifra (para el 2, 5 y 10) o en las últimas dos cifras (para el 4), mientras en este criterio las últimas cifras no dan información. Lo que se tiene que hacer es sumar las cifras y si el resultado es múltiplo de 3, entonces el número es múltiplo de 3 o, dicho de otra manera, es divisible entre 3.

Es difícil que los alumnos por sí mismos establezcan el criterio de sumar las cifras para identificar a un múltiplo de 3. Es por ello que se opta por presentar una serie de afirmaciones para que los alumnos las analicen. En este punto sí pueden usar calculadora para verificar cuáles afirmaciones son verdaderas, esto es con el propósito de agilizar esta parte del trabajo.

(17)

Trimestre 1

Secuencia 2. Determina y usa los criterios de divisibilidad (3, 4 y 6).

Lección 2. Para no perder tiempo

Cierre

En algunos criterios de divisibilidad no basta con fijarse en la cifras de las unidades de los números, algunas veces hay que fijarse en más cifras o hacer cálculos. Es el caso de los criterios de divisibilidad entre 3, 4 y 6.

La razón de enseñar este criterio, aun cuando los estudiantes no podrán establecerlo por sí mismos, es porque es muy útil para factorizar un número en sus factores primos. En cuanto al criterio de divisibilidad entre 4, es probable que para los alumnos resulte

difícil descubrir el criterio sólo a partir de observar los múltiplos de este número, por ello es conveniente incluir una lista de afirmaciones para que las analicen. Esta lista de afirmaciones es una ayuda para que descubran cuál o cuáles características tienen los múltiplos de 4 y también tiene el propósito de que los alumnos se den cuenta que varias de esas afirmaciones son equivalentes. Por ejemplo, las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1296 es múltiplo de 4.

A 1296 se le puede sacar dos veces mitad y el resultado es un número natural.

Al dividir 1296 entre 4, el resultado es natural y el residuo es 0.

Las últimas dos cifras de 1296 son múltiplos de 4.

1296 se puede obtener al multiplicar 4 por un número natural.

Es importante que observen que todos los múltiplos de 4 también son múltiplos de 2 pero no todos los múltiplos de 2 son múltiplos de 4.

Es muy recomendable proponer o mostrar la estrategia de descomposición de números si al monitorear el trabajo de los alumnos o durante la confrontación de resultados aquélla no aparece.

(18)

Secuencia 3. Determina y usa los números primos.

Lección 3. Los primos

Aprendizajes esperados:

Determina y usa los criterios de divisibilidad y los números primos.

Semana 3 (5 sesiones)

50 min. por sesión

pp. 30-37

Cuaderno, calculadora.

Inicio

Con respecto al Reto, la regla de dar un tiempo limitado para que marquen los múltiplos del número que haya salido en el dado tiene el propósito de que los alumnos sientan la necesidad de recordar los criterios de divisibilidad para marcar rápidamente los números que son múltiplos (o divisibles) del que les salió en el dado.

Desarrollo

En la sección Un nuevo reto, al trabajar la actividad, los alumnos iniciarán su estudio de un concepto nuevo para ellos: número primo. Para ello se eligió el método denominado “Criba de Eratóstenes” donde los alumnos van tachando ciertos números y los que quedan son los números primos.

Al término de esta actividad se sugiere una puesta en común donde se comparen los resultados obtenidos y queden bien establecidos cuáles son los números primos del 1 al 100. Estos números serán consultados varias veces en las sesiones siguientes, incluso, de ser posible puede hacerse la tabla en tamaño grande y colocarla en un lugar visible dentro del salón de clases para que los alumnos la consulten cuando lo requieran.

Será importante que los alumnos definan los números primos como aquellos que tienen exactamente dos divisores: el 1 y ellos mismos. El 1, al tener sólo un divisor no es número primo.

En la sección Un reto más, el juego propiciará que los alumnos apliquen varios de los conceptos que han estudiado. En las instrucciones se demanda que los alumnos identifiquen los números primos, pues está prohibido decirlos. Es muy difícil que un alumno memorice los números primos que hay del 2 al 100, entonces, ¿cómo puede cumplir el alumno con esta restricción? Hay dos caminos:

1. Pueden analizar los números que piensan decir para ver si tienen un divisor diferente de 1 y de ellos mismos. Por ejemplo, es probable que para los alumnos sea difícil recordar si el número 51 es primo, pero se espera que recuerden que 5 + 1 = 6, esto significa que 6 es múltiplo de 3, por lo tanto no es primo.

2. Si se observa que a los alumnos les está costando trabajo decir un número que no sea primo, entonces, se puede permitir que vean la tabla que construyeron en la sesión anterior (Criba de Eratóstenes). Al observar cuáles son números primos (para no decirlos) también tiene un carácter de práctica y repaso. En una segunda ocasión que jueguen se les puede pedir que ya no miren el cuadro de números primos y traten de aplicar lo que han aprendido.

(19)

Trimestre 1

Secuencia 3. Determina y usa los números primos.

Lección 3. Los primos

La segunda instrucción también implica un trabajo de aplicación de los criterios y de cálculo mental al descomponer un número en una multiplicación. Para esta parte del trabajo puede permitir a los alumnos que anoten los factores en un papel y que brevemente analicen si ésta es la multiplicación que quieren usar o tienen otra con más factores para que ganen más puntos. Una vez que hayan dicho que sí es la que quieren usar se puede comprobar con una calculadora si es correcta y anotar el número de puntos igual al número de factores propuestos.

Como se dará un punto por cada factor, se espera que los estudiantes se esmeren en tratar de tener el mayor número de factores, esto se logra si se usan sólo factores primos. En la actividad del inciso a) de la página 34, se continúa el trabajo de descomposición en factores y se introduce un nuevo concepto: números compuestos como aquellos que no son primos y que pueden descomponerse en factores primos.

Cierre

De manera implícita se trabaja una propiedad muy importante de los números compuestos: Cualquier número compuesto puede descomponerse en factores primos y esta descomposición es única. También se inicia la descomposición de un número en el producto de sus factores primos, por ejemplo:

60 = 2 × 2 × 3 × 5

Es importante que los alumnos se familiaricen con esta representación de un número y que analicen, por ejemplo, que 2, 3 y 5 son divisores de 60 pero también lo son los números que se obtienen al multiplicar dos o más de ellos, por ejemplo, también son divisores de 60:

El 4 porque se obtiene de 2 × 2

El 6, se obtiene de 2 × 3

El 12, se obtiene de 2 × 2 × 3

(20)

Secuencia 4. Usa técnicas para determinar el mcm y el MCD.

Lección 4. El mínimo y el máximo

Aprendizajes esperados:

Usa técnicas para determinar el mcm y el MCD.

Semanas 4 y 5 (10 sesiones)

50 min. por sesión

pp. 38-46

Cuaderno, calculadora.

Inicio

Es importante aclarar que en este acercamiento al máximo común divisor y al mínimo común múltiplo, no se espera, de ninguna manera, que al principio los alumnos utilicen algún algoritmo para calcularlos. Por el contrario, al resolver estos problemas enlistando los divisores o los múltiplos y eligiendo el máximo o el mínimo según se indique, dotará de sentido a lo que es el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo aunque sea más laborioso, al menos al principio es más significativo para los alumnos porque comprenden lo que están haciendo.

Desarrollo

Con la finalidad de diversificar tanto los procesos de cálculo como los de aplicación de los conceptos de mínimo común múltiplo (mcm) y Máximo Común Divisor (MCD), la descomposición de números en el producto de los factores primos es una buena alternativa.

En la sección Un nuevo reto es muy probable que los alumnos resuelvan el problema listando los múltiplos de cada uno de los números involucrados e identificando visualmente el número buscado que en este caso es 60.

5: 10 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60 4: 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60

3: 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60

En la sección Un reto más, de la página 40, los números involucrados son mayores a los

anteriores, por lo que se sugiere permitirse que usen una calculadora para encontrar los múltiplos debido a que puede resultar muy laborioso hacer los cálculos para hallarlos y los alumnos podrían perderse en la operatoria y descuidar el aspecto conceptual que es lo que se pretende trabajar al resolver estos problemas. Por otra parte, es poco probable que los alumnos usen algún algoritmo para el cálculo del mínimo común múltiplo, quizás, aunque no forma parte del programa, los alumnos lo aprendieron en la primaria. Por ello, es fundamental resolver las pistas que se dan, ya que tienen la intención de introducir una forma de calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números a través de la descomposición de factores primos.

Para reafirmar este procedimiento, conviene analizar detenidamente la sección

Formalización.

La sección Otro reto, tiene el propósito de que los alumnos calculen el Máximo Común Divisor a través de la descomposición en factores primos.

(21)

Trimestre 1

Secuencia 4. Usa técnicas para determinar el mcm y el MCD.

Lección 4. El mínimo y el máximo

Cierre

Una de las dificultades que suelen encontrar los alumnos al resolver problemas con algún contexto real es que desconocen el contexto o no comprenden lo que se pide. Se recomienda una lectura grupal de los problemas, en la cual se invite a algunos alumnos a explicar con sus palabras lo que se plantea en el problema y tratar de asegurarse de que todos entienden lo que se pide.

En la sección ¡A practicar! se podrá constatar si los alumnos comprenden la diferencia de estos dos conceptos, sin embargo, cabe aclarar que no se trata de que los alumnos dominen los algoritmos. No obstante, se deja a criterio del docente enseñar otros algoritmos diferentes a los que se proponen en la lección.

(22)

Secuencia 5. Formula expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras geométricas (I).

Lección 5. Expresión matemática

Aprendizajes esperados:

Formula expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras geométricas y verifica la equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente.

Semana 6 (5 sesiones)

50 min. por sesión

pp. 47-52

Cuaderno, calculadora.

Inicio

El propósito principal de esta lección es que los alumnos formulen distintas expresiones algebraicas que representen procedimientos de cálculo del área de figuras compuestas y establezcan sus equivalencias. Por ejemplo, el problema del inciso c) de la sección Reto, en el que se trata de expresar el área de la figura compuesta por tres cuartos de un círculo y un cuadrado. La fórmula expresada en lenguaje algebraico 3/4 π x²+ x² es una expresión algebraica que sintetiza el procedimiento de cálculo del área de esta figura compuesta.

Desarrollo

Para el desarrollo de esta lección, la discusión y socialización de las expresiones son esenciales, pues promueven la determinación de las variables en juego. El propósito es que los alumnos obtengan distintas expresiones correctas para un mismo problema y que determinen las que son equivalentes. No se espera que el profesor “enseñe” las expresiones algebraicas y que los alumnos las “apliquen”, sino de que los alumnos exploren, elaboren conjeturas y busquen formas de validarlas.

En la sección Para arrancar la intención es que los alumnos recuperen los conocimientos adquiridos en grados anteriores sobre el cálculo de áreas de distintas figuras.

En la sección Reto empieza el trabajo en el que implica que los alumnos usen la noción de expresiones algebraicas equivalentes que se ha venido trabajando desde primer grado: dos expresiones para calcular el área son equivalentes si expresan distintas formas de calcular el área de la misma figura. Por ejemplo: 34 πx2+x2=x2 ( 34 π+1).

En la puesta en común, es conveniente aprovechar para socializar la diversidad de soluciones.

Cierre

En la sección ¡A practicar!, es muy probable que surjan distintas expresiones y que tal vez no sean equivalentes. Para validarlas, conviene asignarle valores a las variables para verificar que representan el mismo valor numérico, de lo contrario, no son expresiones equivalentes. Se puede hacer una discusión grupal en la que se comparen y justifiquen los procedimientos de cálculo del área que representan las distintas expresiones algebraicas. Este es un buen momento para seguir trabajando aspectos de la operatividad algebraica. Si no aparecen distintas expresiones, es conveniente proponer algunas de ellas y discutirlas en plenaria.

En los casos que se presentan en el inciso c), a diferencia de lo anterior, en ésta se parte de la expresión algebraica que modela el área y se trata de construir figuras compuestas. Para reforzar esta parte, sería conveniente proponer que los alumnos encuentren expresiones equivalentes, como por ejemplo:

n (n + 4)= ?

4x² + 2x= ? 2x² + x= ? 2a² + ab= ?

(23)

Unos minutos

para pensar

¿Cómo organizar una secuencia didáctica que incluya el uso de calculadora?

Primera etapa: Proposición de situaciones problema que generen el uso de diferentes tipos de funciones en el proceso de modelación

matemática (el uso de materiales como la cuerda, compás, elásticos, ..., y calculadora son primordiales en esta etapa). Con la cuerda o

compás es posible construir una primera aproximación a la representación gráfica de la situación. Ello permite que los estudiantes

desa-rrollen, primeramente, el concepto de covariación (ver Carlson, 2002). Al mismo tiempo, los estudiantes pueden ser capaces de

propor-cionar una predicción sobre el comportamiento aproximado de la función desde un punto de vista gráfico (predicción construida a

tra-vés de un proceso manual utilizando la cuerda o compás). Ello proporciona al estudiante elementos de control (en el sentido de Saboya

et al., 2006) que en los procesos algebraicos largos, generalmente se cometen errores; y, al utilizar la calculadora, el estudiante se enfrenta

a una representación producto de su proceso algebraico y a una representación gráfica producto de su “proceso manual” (utilizando la

cuerda o compás); si no coinciden, el estudiante se encontrará frente a un conflicto cognitivo. Resolver este conflicto permitirá al

estu-diante avanzar en sus procesos de aprendizaje (ver ejemplo del caminante más adelante en este documento). Una vez trabajadas estas

situaciones en clase, es posible pasar a la siguiente etapa. De hecho, la metodología que nosotros hemos seguido desde hace varios años

para las dos primeras etapas es la metodología ACODESA (ver Hitt, 2007, Hitt et al., 2008, González-Martín et al., 2008). En un ambiente

de aprendizaje colaborativo, debate científico y de autorreflexión, proporcionamos a los estudiantes un ambiente de aprendizaje desde

el punto de vista de una teoría sociocultural.

Tomado y adaptado con fines educativos de: https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/ARTICULOS_V10_N1_2009/

PLANIFICACION_ACTIVIDADES/Planificacion_de_actividades.pdf

(24)

Secuencia 6. Formula expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras geométricas (II).

Lección 6. Modelos recortados

Aprendizajes esperados:

Formula expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras geométricas y verifica la equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente.

Semanas 7 y 8 (10 sesiones)

50 min. por sesión

pp. 53-62

Cuaderno, calculadora.

Inicio

Los aspectos algorítmicos del álgebra no van separados del proceso de modelación. Esto es, se propone que los alumnos vayan aprendiendo a operar con expresiones algebraicas a medida que sean necesarias en la resolución de problemas. Es por ello que la adición y sustracción de polinomios se inicia con el apoyo de modelos geométricos.

Siempre que se trabajen temas algebraicos es conveniente insistir en que los alumnos interpreten, simbolicen y manipulen las variables incluidas en los problemas.

La intención didáctica de esta lección es que los alumnos obtengan distintas maneras de calcular y representar el área de figuras geométricas y que busquen formas para determinar su equivalencia. Las expresiones que se obtienen son de primero y segundo grados, y de una o más literales.

Desarrollo

Es conveniente que, en el momento que lo considere adecuado, recuerde algunas de las convenciones de uso del lenguaje algebraico, como las del uso del símbolo de multiplicación y de los exponentes: 2 x a = 2a, y a x a = a². También, conforme vaya siendo necesario, puede ser conveniente recordar el uso de los paréntesis y la jerarquía de operaciones, debido a que pueden presentarse algunos “errores de ambigüedad” como la falta de paréntesis al escribir a x a + 2, en lugar de a x (a + 2) o a(a + 2).

Por otra parte, interesa resaltar que, en el cálculo de áreas, las expresiones algebraicas equivalentes representan distintas formas de calcular el área de las mismas figuras. En la sección Un nuevo reto, los alumnos pueden formular distintas expresiones algebraicas, como x x x + 2, o x(x + 2). Nuevamente, es importante que se discutan grupalmente los errores de ambigüedad que se pueden generar cuando no son atendidas las convenciones. En caso de que lo considere conveniente, puede introducir una tabla de valores para comparar los valores que toman las expresiones x2 + 2x, x x x + 2, y x(x + 2) y descartar a x x x + 2 como una forma válida de representar el área de la figura. El uso de las tablas de valores es un buen recurso didáctico como medio de validación de la equivalencia de expresiones algebraicas.

En la sección Un reto más los alumnos obtendrán, mediante el uso de un modelo geométrico, una factorización de lo que tradicionalmente se llama trinomio cuadrado perfecto. Si lo considera adecuado, puede introducir este nombre técnico pero no se recomienda promover la memorización de las reglas mecánicas tradicionales (conocidas como las reglas de los productos notables). En cambio, es importante hacer énfasis en la variedad de expresiones algebraicas equivalentes que se pueden obtener y en el uso del modelo geométrico para hacer multiplicaciones y factorizaciones.

(25)

Trimestre 1

Secuencia 6. Formula expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras geométricas (II).

Lección 6. Modelos recortados

Algunos alumnos pueden requerir de ayuda para establecer que x2 + x + x + x + x + 4 = x2 + 4x + 4. Es recomendable recurrir al contexto de áreas para hacerlo, por ejemplo, x + x + x + x corresponde a la suma de las áreas de los 4 rectángulos de altura 1 y base x, que juntos forman un rectángulo de altura 4 y base x, cuya área es igual a 4x. O simplemente, sumar 4 veces x es igual a 4x. Es recomendable socializar y discutir las explicaciones que los estudiantes dan para este tipo de simplificaciones de términos.

En los problemas planteados en el inciso b) se pide expresar x2 – a2 como un producto de dos factores: la base por la altura del rectángulo que se forma al reacomodar las piezas de la configuración geométrica del problema. Tradicionalmente, la expresión x2 – a2 suele llamarse diferencia de cuadrados.

Cierre

En la sección ¡A practicar! la primera actividad en que se pide dibujar un rectángulo cuya área se represente con la expresión algebraica x(2x+4) es probable que algunos alumnos tengan problemas para representar geométricamente el lado de longitud 2x + 4, que puede ser dibujado de distintas maneras, como x + x + 4, y 2x + 4. Las siguientes figuras presentan estas dos formas de dibujarlo:

Las dos maneras de construir el rectángulo dan lugar a distintas expresiones algebraicas equivalentes para el área, como x2 + x2 + 4x y 2x2 + 4x, respectivamente, para los rectángulos de arriba.

x

x

x

2x

x

(26)

Secuencia 7. Resuelve problemas mediante la formulación y solución intuitiva de ecuaciones cuadráticas.

Lección 7. Modelos matemáticos I

Aprendizajes esperados:

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.

Semanas 9 y 10 (10 sesiones)

50 min. por sesión

pp. 63-70

Cuaderno, calculadora.

Inicio

En la sección Para arrancar se plantean varios problemas en forma de adivinanzas de números. Tienen la ventaja de que la relación entre el enunciado del problema y la traducción al lenguaje algebraico es muy directa, de manera que es probable que los alumnos puedan formular ecuaciones y resolverlas por tanteo.

Si los alumnos no formulan ecuaciones y tratan de encontrar mentalmente el número buscado será difícil que lo logren, conviene sugerir que formulen una ecuación y que se apoyen en ella para hacer los cálculos.

Por lo pronto quedará pendiente el hecho de que algunas ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, más adelante se tratará este contenido. Si en algún equipo encuentran ambas soluciones o si un equipo encuentra una de ellas y otro equipo la otra, en la puesta en común se podrá concluir que al parecer las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones y que en el transcurso de las otras sesiones de esta secuencia seguirán trabajando al respecto.

Desarrollo

En la sección Reto, se introduce a la resolución de ecuaciones de segundo grado, mediante el uso de las propiedades de la igualdad, básicamente apoyados en la idea de que si en una igualdad se efectúa la misma operación, con los mismos números, en los dos miembros de la ecuación, se conserva la igualdad.

Se espera que para resolver las ecuaciones planteadas los alumnos se apoyen en lo que saben de las ecuaciones de primer grado. En este caso se trata de ecuaciones incompletas a las que les falta el término lineal, por ejemplo, x2+1 = 5.

En caso de que los alumnos muestren dificultad se puede preguntar: “¿Qué podemos hacer para eliminar el 1 del primer miembro?” Si alguien dice que hay que pasarlo al segundo miembro con signo contrario, conviene insistir en que expliquen cuál es la operación que se está realizando en ambos miembros, porque esto les permite entender cómo se simplifica una ecuación.

Lo que resulta nuevo al resolver ecuaciones de segundo es la necesidad de extraer raíz cuadrada, una vez que se tiene la ecuación x2 = 4. También en este caso es importante hacer explícita la extracción de raíz cuadrada en ambos miembros √x2 = √4 , de donde se obtiene x = ±2, puesto que (+2)2=4 y (−2)2=4.

Las preguntas que se plantean tienen la finalidad de que los alumnos reflexionen sobre tres aspectos que son importantes al resolver ecuaciones de segundo grado. √

(27)

Trimestre 1

Secuencia 7. Resuelve problemas mediante la formulación y solución intuitiva de ecuaciones cuadráticas.

Lección 7. Modelos matemáticos I

El primero es que cuando x es igual a la raíz cuadrada de un número negativo, la ecuación no tiene solución en el conjunto de números que se usan en este nivel escolar.

El segundo es el doble signo de la raíz, lo que hace que muchas ecuaciones de segundo grado tengan dos soluciones.

El tercero es la equivalencia. Desde la primera sesión se habló de equivalencia de expresiones algebraicas y ahora de equivalencia de ecuaciones. Es importante insistir en este aspecto siempre que sea oportuno. Dos expresiones algebraicas que son equivalentes, como 2x(x + 2) y 2x² + 4x, tienen el mismo valor numérico. Dos ecuaciones que son equivalentes, como x² + 1 = 5 y x² = 4, tienen la misma solución.

En la sección Un nuevo reto es muy importante analizar las ecuaciones que formulan los alumnos para ver si efectivamente traducen el texto del problema.

Cierre

La sección Un reto más, se centra en el estudio de las ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0; conviene retomar el trabajo que se realizó en la lección 6 con las dimensiones del rectángulo, al tratar de factorizar las ecuaciones que se proponen. Hay que insistir en la búsqueda del factor común y luego dividir entre éste a cada término de la ecuación.

Para los alumnos puede resultar complicado pasar de la ecuación factorizada a las soluciones de la ecuación. Cuando se tiene, por ejemplo, x (3x − 2) = 0 y se dice: Si x = 0, entonces x1=0

Si 3x – 2 = 0, entonces 3x = 2 y x = 23

La primera parte de ambas expresiones se explica por la propiedad que dice: Si el producto de dos o más factores es cero, al menos uno de ellos es cero. Tal vez sea necesario poner algunos ejemplos con números, como 3 × 5 × 2 × 0 × 9 = 0.

Cuando se dice si x = 0, se está suponiendo que el primer factor es cero. Cuando se dice si 3x – 2 = 0, se está suponiendo que el segundo factor es cero.

La segunda parte de ambas expresiones es resolver las ecuaciones que se generan. En el primer caso, x = 0, ya está resuelta la ecuación. En el segundo caso, 3x – 2 = 0, hubo que resolverla para encontrar la segunda solución que es x = 23 .

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Secuencia 8. Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas (factorización).

Lección 8. Modelos matemáticos II

Aprendizajes esperados:

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.

Semanas 11 y 12 (10 sesiones)

50 min. por sesión

pp. 71-78

Cuaderno, calculadora.

Inicio

En segundo grado se estudió el tema de los tipos de solución que pueden tener los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. En esta lección, los alumnos amplían la noción de solución al contexto de las ecuaciones cuadráticas otro avance conceptual, relacionado con el anterior; consiste en solucionar ecuaciones diferentes a las lineales, lo cual se relaciona con el número de soluciones.

Esta lección se centra en la resolución de ecuaciones completas con el método de factorización.

El primer paso para resolver una ecuación de segundo grado es escribirla en su forma general, si es que no está escrita en esta forma: ax2 + bx + c = 0.

Desarrollo

En la sección Para arrancar se plantea una situación problemática muy relacionada con el trabajo algebraico realizado en lecciones anteriores con modelos geométricos. En este problema se trata de establecer la ecuación que relaciona los datos del problema.

Es fundamental apoyar a los alumnos para traducir del lenguaje natural al lenguaje algebraico, ya que es una de las habilidades poco trabajadas. Esta habilidad es fundamental para que el alumno pueda modelar matemáticamente y resolver problemas. Por ello, en la puesta en común es importante dar el tiempo suficiente para analizar las distintas respuestas y que los alumnos las confronten entre ellos, y que argumenten por qué consideran que su respuesta es correcta.

En la sección Reto, es muy probable que a los alumnos les cueste trabajo comprender acertijo que se plantea, por lo que es necesario plantear preguntas clave sobre el problema. Por ejemplo, “¿de qué trata el problema?” También se sugiere pedir a los alumnos que analicen detenidamente la sección de Pistas, ya que en esta parte, las preguntas que se plantean pretenden hacer reflexionar al alumno y que pueda resolver el problema. Cabe aclarar que en esta lección se introducen las técnicas algebraicas de factorización para usar la literal y encontrar la solución o soluciones de la ecuación; sin embargo, no se espera que los alumnos aprendan los nombres de los productos notables, ni que estudien la clasificación de las expresiones cuadráticas, como tampoco todas las formas de factorización de los productos notables. Se busca que en situaciones sencillas (como expresiones cuadráticas con coeficientes enteros que se factorizan como producto de binomios lineales de una incógnita), los alumnos sepan que se puede recurrir a la factorización.

Una segunda dificultad puede ser la de encontrar las soluciones de la ecuación a partir de la forma factorizada. Es conveniente insistir en que dichas soluciones se calculen resolviendo las dos ecuaciones lineales que se generan al igualar a cero cada factor. Poco a poco se darán cuenta de que las soluciones son los opuestos de los números que aparecen en la forma factorizada.

(29)

Trimestre 1

Secuencia 8. Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas (factorización).

Lección 8. Modelos matemáticos II

Cierre

Es recomendable abrir espacios para la ejercitación de las técnicas algebraicas de solución, las cuales están despegadas del contexto de las situaciones problemáticas, pero sin que sean estos momentos de ejercitación los que predominen en el tratamiento del tema. Además, una vez encontrado el número (o números) que soluciona(n) la ecuación, se debe sustituirlos en la ecuación como una manera de comprobar su validez.

La etapa de comprobación se debe propiciar para promover en los estudiantes la perseverancia para llegar a una respuesta válida, revisando sus procesos de resolución, en caso de no haber resuelto la ecuación cuadrática de manera exitosa.

Se sugiere pedir a los alumnos que trabajen en equipos y decidan su estrategia. Posteriormente, en una discusión en grupo, con usted como moderador, pida a los alumnos que comparen las estrategias y comenten su pertinencia, así como sus ventajas y desventajas.

(30)

Secuencia 9. Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas (fórmula general).

Lección 9. Fórmula poderosa

Aprendizajes esperados:

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas.

Semanas 13 y 14 (10 sesiones)

50 min. por sesión

pp. 79-87

Cuaderno, calculadora.

Inicio

En esta lección se introduce el uso de la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado. Hay que empezar con que los alumnos sepan identificar los valores de a, b y c y junto con esto que sepan sustituirlos en la fórmula. Suele haber dificultad para sustituir b cuando es un número negativo. En el caso del término -4ac, conviene pedirles que encierren los valores en paréntesis para que no se confundan al hacer la multiplicación.

Desarrollo

Siempre que los alumnos resuelven una ecuación de segundo grado completa, conviene pedirles que traten de factorizarla, porque este procedimiento es más directo. Sólo en caso de que se les dificulte la factorización podrán recurrir a la fórmula general.

Quizás la dificultad más fuerte al usar la fórmula general está en efectuar las operaciones, pero este problema se soluciona con la práctica.

En la sección Para arrancar la intención es que los alumnos les cueste trabajo factorizar para encontrar las raíces de la ecuación, es decir, ahora se trata de que los alumnos se den cuenta que el método de factorización se vuelve complicado para ciertas ecuaciones completas. Vale la pena que en plenaria se reflexione que aunque se puede factorizar una ecuación cuadrática, muchas veces no es tan sencilla como las que se plantean.

En la sección Un nuevo reto, la intención es que los alumnos desarrollen la factorización para escribir la ecuación o viceversa, esto les permitirá poner el juego los conocimientos adquiridos en las lecciones anteriores y que ello no sea un obstáculo para resolver las ecuaciones por factorización.

En la sección Formalización se plantea resolver ecuaciones en las que ya no es posible hacerlo a través de la factorización. Cuando los alumnos intenten resolverlas por la fórmula general, es muy probable que algunos calculen la raíz negativa sin considerar el signo; en ese caso, puede pedirse que hagan la comprobación con la calculadora, que marcará como error; entonces se aprovechará esto para explicar que la raíz cuadrada de un número negativo pertenece a otro conjunto de números llamados imaginarios.

(31)

Trimestre 1

Secuencia 9. Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas (fórmula general).

Lección 9. Fórmula poderosa

La discusión generada acerca de la relación que los alumnos encuentren entre el discriminante y las soluciones deben encauzarse a determinar tres tipos de soluciones: Discriminante Tipo de solución

b2 -4ac > 0 Dos raíces reales, por ejemplo: (3, 7), (-5, 3.2), (√5, 0), (4, -4) etcétera.

b2 -4ac = 0 Solución única (dos raíces iguales). Por ejemplo: (3, 3), (-2, -2), etcétera.

b2 -4ac < 0 Sin solución dentro del conjunto R de los números reales, es decir,

su solución es imaginaria. Por ejemplo ((5 + 4 i) /6, (5 – 4 i)/6). Este contenido queda fuera de este nivel educativo.

Aunque es posible resolver por por factorización la mayoría de las ecuaciones, los números se prestan para proponer el uso de la fórmula general, misma que deberá ser explicada y puesta en práctica con muchos otros ejemplos. Para ello, es necesario explicar que la forma general de las ecuaciones cuadráticas es ax² + bx + c = 0, donde a ≠ 0 y a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática.

Luego, formalizar los términos de la ecuación de segundo grado, que se nombran como se indica en la siguiente tabla:

ax2 bx c Término de segundo grado o cuadrático Término de primer grado o lineal Término independiente Esto llevará a los alumnos a identificar los valores a, b y c; que usarán en la aplicación de la fórmula general que es:

x= –b ± b2 – 4ac

2a

(32)

Secuencia 9. Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones cuadráticas (fórmula general).

Lección 9. Fórmula poderosa

Para reafirmar lo anterior se puede proponer a los alumnos que organicen en una tabla las ecuaciones y que determinen los valores de a, b y c y resuelvan las ecuaciones usando la fórmula general. Ejemplo:

Ecuación a b c

2x2 + 2x + 3 = 0 5x2 + 2x = 0 36x – x2 = 62

En la siguiente sesión conviene retomar el trabajo que hayan hecho los alumnos porque es muy probable que cometan errores en las sustituciones de los valores de a, b y c en la fórmula, y hay que hacer las aclaraciones que sean necesarias. Por ejemplo, el significado del +/- y el hecho de que el valor del discriminante indica si la ecuación tiene una solución, dos soluciones o ninguna, en los números reales.

Cierre

Es necesario ofrecer a los alumnos numerosas oportunidades de plantear y resolver problemas que se modelen con ecuaciones cuadráticas. Si bien muchas de estas ecuaciones se pueden resolver por tanteo o mediante la factorización, hay otras cuya solución se dificulta con tales procedimientos. Para esos casos conviene que los alumnos conozcan la fórmula general y que la sepan usar con soltura, aunque por las dificultades que entraña, su deducción se hará más adelante, en el bachillerato.

Con el fin de mostrar el significado de las ecuaciones cuadráticas como modelo de situaciones y problemas, y su doble solución, se sugiere seguir la secuencia de actividades planteadas en la lección.

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