MÉTODO DE HARDY - CROSS

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SECCIÓN 1: CÁLCULO DE REDES MALLADAS:

MÉTODO DE HARDY - CROSS

INTRODUCCIÓN

En este sistema de distribución, el agua puede alcanzar cualquier punto de la red como mínimo por dos caminos diferentes, consiguiéndose una garantía en el servicio considerable, la rotura de una tubería sólo afecta, mediante el cierre de válvulas oportunas, a una pequeña parte de la red, un tramo, además se obtiene un reparto de presiones más uniforme.

El sentido de circulación del flujo en las tuberías de estas redes, como hemos referido en la unidad 2, no es permanente, cambia con frecuencia, es necesario adoptar hipótesis simplificativas para abordar el problema real.

Existen diferentes métodos para su cálculo.

a). Método de Hardy - Cross

Es el procedimiento más utilizado para determinar los caudales circulantes en una red reticulada cuyos diámetros son conocidos, es necesario partir de diámetros supuestos y comprobar posteriormente los caudales y presiones de servicio. Fue desarrollado por Cross en 1935.

Para ello, se calcula un caudal corrector mediante un proceso iterativo, basándose en dos principios hidráulicos fundamentales, que tienen similitud con las famosas leyes de Kirchhoff en electricidad:

a). En un nudo, la suma algebraica de los caudales entrantes y salientes es igual a cero.

ΣQi = 0.

b). La suma algebraica de las pérdidas de carga en cada una de las líneas que componen la malla o retícula es nula. Σhr = 0.

Cualquier expresión hidráulica para el cálculo de hr puede expresarse en la fórma

2 r aQ

h = , a = K.L que viene expresada, si se emplea la fórmula de Chèzy – Kutter por:

2 5 2 2 r ·L·Q D · c · 64 h π = 2 r K·L·Q h = donde: ₂ ₂ ₅ D · c · 64 K π =

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También puede utilizarse la ecuación Darcy-Weisbach, λ es el coeficiente de fricción, que depende de la rugosidad absoluta, el diámetro y Reynold (k/D, Re):

5 2 2 r D g Q L 8 h π λ =

puede tomarse λ = 0,020 en todas las líneas o tramos, donde:

5 2 D g 8 K π λ =

Cualquiera que fuese la expresión de hr , la longitud del tramo o línea es un dato, L y K

pueden constituir una constante a = K· L, como hemos referido anteriormente.

2 r aQ

h =

Son siempre conocidos, la longitud, el diámetro y la rugosidad de cada uno de los tramos de tubería. Se suponen caudales circulantes en las mallas, partiendo de estos caudales mediante la fórmula que vamos a obtener se va corrigiendo hasta obtener los valores reales de los caudales en circulación.

En la malla representada en la figura 3.1 el caudal Q es conocido llega al nudo 1, se divide en cada rama Q1 y Q2, valores supuestos y que debemos de calcular. Establecemos

un convenio de signos arbitrario para el recorrido de los caudales, positivo para los caudales que circulan en sentido de las agujas del reloj y negativo al contrario.

fig.3.1

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Si Q1 y Q2 no son los correctos, hay que corregirlos para que lo sean, sea ∆Q la

correción, se tendrá que verificar:

hr1 - hr2 = a1 (Q1 + ∆Q)2 - a2 (Q2 - ∆Q)2 = 0

a1 (Q12 + 2.∆Q. Q1 + ∆Q2 ) - a2 (Q22 + 2.∆Q. Q2 + ∆Q2) = 0

Despreciando ∆Q2, por representar un valor pequeño con respecto a Q1 y Q2

Tendremos:

a1 (Q12 + 2.∆Q. Q1) - a2 (Q22 + 2.∆Q. Q2) = 0

a1 Q12 + 2.∆Q. a1.Q1 - a2 Q22 + 2.∆Q. a2 Q2 = 0;

a1 Q12 - a2 Q22 + 2.∆Q.( a1.Q1 + a2 Q2) = 0

Despejando ∆Q, que representa el valor a corregir en los caudales supuestos:

) Q a Q a ( 2 Q a Q a Q 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 − − − = ∆

CÁLCULO DE UNA RED MALLADA POR EL MÉTODO DE HARDY – CROSS

Para el cálculo de una red mallada, resumimos algunos de los conceptos ya expuestos y recomendamos leerse con detenimiento antes de resolver un ejercicio, especialmente el 3.2, cada uno de los puntos que a continuación se indican.

El estudio de una red mallada o reticular consiste, bien en determinar los caudales que circulan por sus diferentes líneas y las alturas piezométricas en sus nudos o conociendo los caudales y presiones de servicio, determinar los diámetros de las conducciones. Para ello es necesario tener en cuenta:

• En un nudo, la suma algebraica de los caudales entrantes y salientes es igual a cero. ΣQi = 0.

• La suma algebraica de las pérdidas de carga en cada una de las líneas que componen la malla o retícula es nula. Σhr = 0.

• Una vez trazada la red, se inicia el cálculo estableciendo caudales arbitrarios de forma que en cada nudo, los caudales entrantes y salientes sean igual a cero.

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• Se establece un criterio también arbitrario de signos. Normalmente se toma positivo el sentido de las agujas del reloj, de forma que caudales positivos indican que circulan en el sentido del convenio establecido y caudales negativos, en sentido contrario. El significado del signo es meramente físico.

• A cada línea se le asigna un coeficiente “a”, a = K.L que viene expresada, si se emplea la fórmula de Chèzy – Kutter por:

2 5 2 2 r ·L·Q D · c · 64 h π = Si hacemos: ₂ ₂ ₅ D · c · 64 K π =

invariable para cada valor de D, siendo sus valores los siguientes para m = 0,25:

D K D K 100 433 350 0,420 125 124 400 0,203 150 44,7 450 0,107 200 9,1 500 0,0604 250 2,66 600 0,0226 300 0,976

• También puede utilizarse la ecuación de Manning, o Darcy-Weisbach, donde λ(k/D, Re) es el coeficiente de fricción: 5 2 2 r D g Q L 8 h π λ =

puede tomarse λ = 0,018 en todas las líneas, donde:

5 2 D g 8 K π λ =

Cualquiera que fuese la expresión de hr , la longitud del tramo o línea es un dato, L y K

pueden constituir una constante a = K· L, como hemos referido anteriormente, en cierto modo constituye una expresión de una resistencia hidráulica en la línea o tramo , por tanto:

2 r aQ

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• El método consiste en compensar las alturas piezométricas o en compensar caudales. Normalmente, se suele realizar el cálculo haciendo la compensación de alturas piezométricas. Tanto en un caso como en otro es necesario establecer un proceso iterativo.

• Los diámetros de las conducciones se deben elegir de forma que la velocidad V esté comprendida entre 0,6 y 1,2 m/s.

• La expresión generalizada de la fórmula de Hardy – Cross es:

( )

∑ ∑ − − = ∆ _n ₁ i i n i i Q a n Q a Q , para n = 2,

(

)

∑ ∑ − = ∆ i i 2 i i Q a 2 Q a Q

El numerador representa la suma algebraica de las pérdidas de carga, si fuera nulo, ∆Q también lo sería, lo que indicaría que los caudales establecidos eran correctos. Por tanto, es necesario indicar un signo positivo o negativo en función del sentido asignado al caudal, como se ha referido anteriormente. El denominador indica una suma de valores absolutos, evidentemente el signo asignado no interviene.

• Realizada la primera iteración, se corrigen los caudales que puede hacerse al final de cada proceso o incluso, una vez realizada la primera corrección en la primera malla, afectar a los caudales establecidos.

• Corregidos los caudales, se inicia un nuevo proceso iterativo hasta obtener prácticamente

∆Q ≅ 0, momento en el que lo consideramos finalizado.

• El proceso se va efectuando en todas las mallas.

• Una vez que los caudales han quedado definidos, se calculan las presiones en todos los nudos, tal como se hizo en los problemas 2.1 y 2.2, teniendo en cuenta que la columna a· Q2/103, representa las pérdidas de carga.

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3.1. Calcular los caudales en cada una de las conducciones del siguiente esquema de distribución de agua, aplicando el método de Hardy – Cross, donde a representa la resistencia hidráulica. A B C D 30 l/s 50 l/s a = 1 a = 3 a = 4 a = 2 a = 5 Q = 150 Q = 70

Para iniciar al lector en el cálculo de redes malladas por el método de Hardy-Cross, hemos considerado oportuno dar calculado el término a que como hemos mencionado anteriormente vale: L · D · c · 64 L . K a ₂ ₂ ₅ π = = Solución:

Elijamos arbitrariamente los caudales indicados en la figura y apliquemos reiteradamente el método de Hardy – Cross.

A B C D Q = 70 a = 3 30 l/s 50 l/s Q = 30 a = 4 Q = 40 a = 5 Q = 80 a = 2 Q = 10 a = 1 Q = 150 I + II + Q = 70 PRIMER TANTEO TRAMO a Q aQ aQ2 TRAMO a Q aQ aQ2 AB 3 70 210 14700 BC 4 30 120 3600 AD 2 - 80 160 -12800 BD 1 - 10 10 - 100 BD 1 10 10 100 DC 5 - 40 200 - 8000 SUMA 380 2000 SUMA 330 - 4500 82 , 6 330 · 2 ) 4500 ( Q 63 , 2 380 · 2 2000 Q= − =− ∆ = − − = ∆

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En el segundo tanteo, restamos a los caudales establecidos arbitrariamente ∆Q, teniendo en cuenta que la conducción BD es común a las dos mallas, por tanto debemos realizar la corrección de ambos ∆Q que en este caso serán:

Malla I, tramo BD: 10 - 2,63 - 6,82 = 0,55 Malla II, tramo BD: -10 – 2,63 + 6,82 = - 0,55

Cambios de signo que corresponden al criterio establecido según sea la malla I o II.

SEGUNDO TANTEO TRAMO a Q aQ aQ2 TRAMO a Q aQ aQ2 AB 3 67,37 202,11 13616,15 BC 4 36,82 147,28 5422,85 AD 2 -82,63 165,26 -13655,43 BD 1 -0,55 0,55 -0,30 BD 1 0,55 0,55 0,30 DC 5 -33,18 165,9 -5504,56 SUMA 367,92 -38,98 SUMA 313,73 -82,01 13 , 0 73 , 313 · 2 ) 01 , 82 ( Q 053 , 0 92 , 367 · 2 ) 98 , 38 ( Q=− − = ∆ =− − = ∆ TERCER TANTEO TRAMO a Q aQ aQ2 TRAMO a Q aQ aQ2 AB 3 67,42 202,26 13636,37 BC 4 36,95 147,8 5461,21 AD 2 -82,71 165,42 -13681,9 BD 1 -0,473 0,473 -0,22 BD 1 0,473 0,473 0,22 DC 5 -33,05 165,25 -5461,51 SUMA 368,15 -45,31 SUMA 313,52 -0,52 00083 , 0 52 , 313 · 2 ) 52 , 0 ( Q 06 , 0 15 , 368 · 2 ) 31 , 45 ( Q=− − = ∆ = − − = ∆

Los caudales circulantes serán:

TRAMO Q (l/s) TRAMO Q (l/s) AB 67,48 BC 36,95 AD 82,65 DC 33,05 BD 0,53