Sistemas Electrónicos de Control. Curso 2013/ Tema 2. Análisis de Servosistemas

(1)

Sistemas Electrónicos de Control

Curso 2013/2014-1

Tema 2. Análisis de Servosistemas

(2)

Contenido

1. Retroacción ... 4

1.1 Lazo retroactivo básico. Notación ... 4

1.2 Ventajas de usar retroacción (con ganancia de lazo elevada) ... 5

1.2.1 Desensibilización/robustez frente a variaciones de la planta ... 5

1.2.2 Rechazo/atenuación de las perturbaciones ... 6

1.2.3 Cambio de la dinámica (estabilización y aumento del ancho de banda) ... 6

1.2.4 Mejora de la linealidad (reducción de la distorsión no lineal) ... 6

1.3 Inconvenientes de la retroacción ... 7

1.3.1 Debido a la ganancia elevada del lazo ... 7

1.3.2 Debido a la inclusión del sensor ... 7

1.4 Limitaciones de la retroacción ... 8

1.5 Otras configuraciones de control ... 8

2. Relación entre el lazo abierto y el lazo cerrado (I) ... 11

2.1 Respuesta frecuencial en coordenadas polares. Ábacos de Hall ... 11

2.2 Respuesta frecuencial en escala logarítmica. Ábaco de Nichols/Black ... 14

2.3 Ejercicio resuelto ... 17

3. Relación entre el lazo abierto y el lazo cerrado (II) ... 21

3.1 Polos y ceros. Lugar geométrico de las raíces (LGR) de Evans ... 21

3.2 Pasos para el trazado del LGR de Evans ... 22

3.3 Ejercicios resueltos ... 30

4. Análisis de estabilidad ... 37

4.1 Criterio de Routh-Hurwitz ... 37

4.2 Criterio de Nyquist ... 42

4.3 Márgenes de estabilidad ... 47

4.3.1 Margen de ganancia (MG) y margen de fase (MF) ... 47

4.3.2 Margen de módulo (M) y margen de retardo () ... 48

5. Análisis del comportamiento ... 57

5.1 Precisión (estática)... 57

5.1.1 Constantes de error estáticas (régimen permanente)... 57

5.1.2 Tipo de sistema ... 57

5.1.3 Determinación de las constantes de error a partir del lazo y del servo ... 58

5.1.4 Principio del modelo interno ... 60

5.2 Integrales de error (dinámico) ... 60

5.2.1 Tabla de integrales cuadráticas ... 61

6. Análisis de sensibilidad y robustez ... 71

6.1 Funciones de sensibilidad ... 71

6.1.1 Definiciones ... 71

6.1.2 Aspectos de cálculo ... 72

6.1.3 Aplicación de S(j) al cálculo de errores de regulación (perturbaciones) ... 72

6.1.4 Aplicación de S(j) al cálculo de errores en el seguimiento (señales de mando) ... 72

6.1.5 Sensibilidad. Relación entre S y L-1_{... 73}

6.1.6 Ejercicios resueltos ... 74

6.2 Incertidumbre y robustez ... 83

6.2.1 Cómo modelar la incertidumbre de la planta. Familia de plantas ... 83

(3)

6.2.4 Comportamiento ... 92

7. Extensión del análisis clásico ... 95

7.1 Efecto de las no linealidades (saturación) ... 95

7.2 Efecto de la discretización (Ts) ... 95

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1. Retroacción

1.1 Lazo retroactivo básico. Notación

La Fig. 1 muestra un lazo retroactivo con un grado de libertad (un único controlador).

Fig. 1. Lazo retroactivo básico de un grado de libertad Señales:

r: señal de referencia, consigna o set-point e: señal de error

u: señal de control o esfuerzo de control d: señal de perturbación o ruido (disturbance) y: señal de salida o respuesta del servo v: ruido de medida

Funciones de transferencia:

Función de lazo:

L

(

s

)



C

(

s

)

G

(

s

)

Función diferencia de retorno:

F

(

s

)



1 

L

(

s

)

Función de sensibilidad (función de transferencia en lazo cerrado desde r a e):

)

(

1

1 )

(

)

(

)

(

s

L

s

R

s

E

s

S





Función de sensibilidad complementaria (función de transferencia en lazo cerrado de r a y):

)

(

1 )

(

)

(

)

(

)

(

s

L

s

L

s

R

s

Y

s

T





Función de esfuerzo de control (función de transferencia en lazo cerrado desde r a u):

)

(

)

(

)

(

1 )

(

)

(

)

(

)

(

C

s

S

s

L

s

C

s

R

s

U

s

T

_u







Cuando hablamos del lazo o del lazo abierto nos referimos a L(s); cuando decimos el servo o el lazo cerrado nos estamos refiriendo a T(s).

Puesto que el sistema es lineal, la salida del servo es la superposición del efecto de todas las señales de entrada:

Tv

GSd

Tr

y

v

L

d

L

G

r

L

y

















1

C(s) G(s) controlador planta r e u _y d v + + + + + _

(5)

Las especificaciones básicas que debe cumplir el servo son las siguientes: 1) Estabilidad. En el sentido BIBO (bounded input bounded output)

2) Seguimiento de las señales de consigna (tracking): Para tener y  r, interesa que T1. Ello es equivalente a tener L>>.

3) Rechazo de las perturbaciones: Para tener y  r a pesar de la presencia de d, interesa que S<<. Ello es equivalente a tener L>>.

4) Insensibilidad al ruido de medida: Para que el ruido de medida v no se refleje en la salida, interesa que T<<, para ello el lazo debe ser pequeño L<<.

La especificación 4) entra en contradicción con las especificaciones 2) y 3). Este dilema se resuelve mediante la conformación del lazo L (loopshaping) a diferentes frecuencias:

 A bajas frecuencias (BF) se fuerza a que el lazo sea grande L>> a fin de asegurar el tracking y el rechazo de perturbaciones. En los servosistemas la banda de interés suele ser las bajas frecuencias.

 A frecuencias intermedias, alrededor del crossover (frecuencia a la cual L=1, es decir, L=0dB), se fuerza a que la pendiente de L sea suave (-20dB/dec) a fin de evitar problemas de estabilidad.

 A altas frecuencias (AF) se fuerza a que el lazo sea pequeño L<< a fin de evitar la influencia del ruido de medida y otros efectos parásitos (incertidumbre del modelo de la planta).

1.2 Ventajas de usar retroacción (con ganancia de lazo elevada)

Los efectos deseables del uso de la retroacción son los siguientes:

1) Desensibilización frente a la incertidumbre en el modelo de la planta. 2) Desensibilización frente a perturbaciones aditivas.

3) Modificación de la dinámica. 4) Mejora de la linealidad.

Estos efectos se consiguen en mayor grado si se aumenta la ganancia del lazo. Sin embargo, un aumento excesivo de ésta puede provocar problemas de inestabilidad y saturación de los actuadores. Veamos los efectos con más detalle:

1.2.1 Desensibilización/robustez

frente a variaciones de la planta

Considerar el sistema retroactivo de la Fig. 2. La función de transferencia en lazo cerrado viene dada por

)

(

)

(

1 )

(

)

(

)

(

)

(

s

H

s

G

s

G

s

R

s

Y

s

T





.

Los siguientes dos casos muestran cómo la retroacción desensibiliza las características de la transmisión:

+

-

G(s)

H(s)

R(s)

E(s)

Y(s)

Fig. 2. Robustez

(6)

Diseño inverso y robusto. Si la ganancia de lazo

L s

( )



G s H s

( ) ( )

es tal que L j(



) , entonces

_T

(

_j

_

)

_

_H

1

(

_j

_

)

_{. La conclusión es que (si el sistema es estable) el servo se comporta}

como

_H

1

(

_s

)

_{independientemente de los valores que tome G(s). Como H(s) puede implementarse}

fácilmente con alta precisión, se consigue realizar una T(s) exacta a pesar de la incertidumbre en el modelo de G(s) o de sus propiedades desfavorables (no lineales y/o variantes con el tiempo). El diseño

_T

(

_s

)

_

_H

1

(

_s

)

_{recibe el nombre de diseño robusto con relación a la incertidumbre en el}

modelo de la planta.

Seguimiento robusto. En el caso de retroacción unitaria, H = 1, se tiene

( )

1 ( )

E s

R s

G s





. Si ( )

G j



 entonces

E

(s

)



y, por tanto,

Y s

( )



R s

( )

, lo que es lo mismo,

T

(

s

)



1

.

Nota: Es importante notar que estos dos resultados sólo se cumplen en el caso de sistemas estables y en la gama de frecuencias en que G j(



) .

1.2.2 Rechazo/atenuación de las perturbaciones

En general, las perturbaciones se describen mediante una señal w, determinista o aleatoria, que afecta de manera aditiva a la salida del servo (ver figura). Su efecto sobre la salida y viene dado por

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1 )

(

D

s

S

s

D

s

G

s

Y







, siendo S(s) la

función de sensibilidad de Bode.

+ - G(s) R(s) E(s) Y(s) D(s) + +

Fig. 3. Rechazo de perturbaciones

Si G j(



) , el efecto de la perturbación d(t) se ve fuertemente reducido a la salida.

1.2.3 Cambio de la dinámica (estabilización y aumento del ancho de banda)

Es otra consecuencia de L j(



) . Para hacerlo más intuitivo supongamos que H = constante. En este caso T  constante dentro de la gama de frecuencias en que L j(



) . Diseñar L(s) es lo que se conoce como conformación del lazo (loopshaping).

Notar que la retroacción ni añade ni quita polos con respecto al número de polos que teníamos en lazo abierto. Al cerrar el lazo y ajustar su ganancia lo que hacemos es mover los polos del lazo abierto a otras posiciones. En el caso de mover los polos en lazo abierto que estaban en el semiplano derecho del plano complejo al semiplano izquierdo, lo que se consigue es estabilizar al sistema. En el caso de alejar los polos del lazo del eje imaginario lo que conseguimos es aumentar el ancho de banda (velocidad de respuesta) del sistema.

1.2.4 Mejora de la linealidad (reducción de la distorsión no lineal)

Con la retroacción, además de la robustez, se pueden obtener otros efectos beneficiosos, entre ellos el de la mejora de la linealidad.

(7)

Como hemos visto, si L j(



) ,

T

 H

1 y, por tanto, si H(s) es lineal (fácilmente realizable), el servo lo es a pesar de las alinealidades de la planta.

1.3 Inconvenientes de la retroacción

Hasta aquí se ha evidenciado que la retroacción permite obtener resultados muy útiles. No obstante también presenta algunos inconvenientes:

1.3.1 Debido a la ganancia elevada del lazo

Desestabilización: Los sistemas retroactivos con ganancia de lazo elevada presentan una serie de propiedades tales como mejora de su linealidad, aumento de su banda pasante, rechazo de las perturbaciones y robustez frente a la incertidumbre en el modelo de la planta. La condición supuesta en todas ellas es que el sistema es estable. Por desgracia los servos, incluso los que son estables para cierta ganancia, pueden tornarse inestables si ésta es aumentada (y, a veces, reducida). La inestabilidad se produce debido a que la señal retroalimentada es excesiva o su fase (timing) es inadecuada.

El tema de la inestabilidad será motivo de estudio detallado próximamente, pero conviene adelantar algunas ideas de cómo superar el dilema:

a) En general, se trata de relacionar la ganancia del lazo con la estabilidad del servo y

b) Obtener consecuencias para diseñar servos de manera que el lazo sea lo más elevado posible a la vez que preserve la estabilidad.

El estudio de la estabilidad se realizará con los siguientes instrumentos:

a) En sistemas lineales invariantes con el tiempo (SLI). Búsqueda de condiciones suficientes y necesarias (Routh, Nyquist,...)

b) En sistemas no lineales (SNL). Teorema de la ganancia pequeña. Es muy general, pero sólo presenta condiciones suficientes y sólo es aplicable a servos con ganancias pequeñas (las deseamos elevadas) conduciendo a diseños excesivamente conservadores.

Saturación: A veces una ganancia de lazo elevada aunque no produzca inestabilidad sí genera señales elevadas (sobre todo a la entrada de la planta) dando lugar a fenómenos no lineales, en particular la saturación que, al reducir la ganancia efectiva, degrada la calidad de las prestaciones del servo.

1.3.2 Debido a la inclusión del sensor

Efecto del error de medida: Al requerir un sensor, se añade un coste adicional al diseño (a veces muy importante) y además, se introduce error en la información sobre la salida, lo que implica pérdida de precisión en el servo,

)

(

)

(

1 )

(

)

(

V

s

G

s

G

s

Y

_N







. + - G(s) R(s) E(s) Y(s) V(s) + +

Fig. 4. Ruido de medida

Comentario: La expresión anterior indica que V tiene el mismo efecto que R, dentro de su banda pasante, por lo que resulta difícil atenuar su efecto sin sacrificar las ventajas. La única solución es reducir V usando un sensor de calidad.

(8)

1.4 Limitaciones de la retroacción

1) Las especificaciones del servo han de ser realistas, es decir, han de tener en cuenta las limitaciones físicas de los componentes, en particular el ancho de banda y la máxima amplitud de la señal de control u(t).

2) La ganancia y la fase no son independientes (están relacionadas por los Teoremas de Bode) y, por tanto, las especificaciones de la ganancia del lazo repercuten en la fase aumentando el riesgo de inestabilidad.

3) En los sistemas de control con un grado de libertad (1 DOF, 1 degree of freedom), la S(s) (función de sensibilidad) y la T(s) (transmitancia del servo, también llamada función de sensibilidad complementaria) no son independientes sino que se cumple que S(s) + T(s) = 1, por lo que no se pueden especificar independientemente. Para poder especificar independientemente S y T hay que recurrir a las estructuras con 2 DOF.

En este tema se presentan los instrumentos de análisis de los sistemas retroactivos de un grado de libertad. Todos estos instrumentos se aplican sobre el lazo abierto L y su aplicación nos da información sobre el lazo cerrado T.

1.5 Otras configuraciones de control

La retroacción es la configuración de control básica. Por ejemplo, la Fig. 5 corresponde al sistema de control automático para la orientación de una antena que debe apuntar a un determinado satélite geoestacionario. La función de transferencia de la planta incluye la dinámica dominante de la antena junto con el amplificador de potencia y el motor que constituyen los actuadores. El sensor se considera ideal. ) 5 )( 1 ( 5   s s s U a Gc(s) E + R

Fig. 5. Lazo retroactivo básico

Sin embargo, a fin de aumentar las prestaciones del sistema de control, en la práctica se admiten algunas variaciones y la retroacción se puede combinar con otras configuraciones.

Por ejemplo, es posible añadir lazos auxiliares tal y como se muestra en las siguientes figuras. La Fig. 6 muestra el caso de lazo auxiliar tacométrico. La inclusión del tacómetro sirve para mejorar la respuesta transitoria del servo.

) 5 )( 1 ( 5   s s s U a kTs E + R ₊

(9)

En la Fig. 7, el control en cascada dispone de un controlador para cada lazo. La variable principal (ángulo) se controla mediante el lazo exterior (principal o primario). Su salida es la referencia para el lazo de velocidad. Y la salida del regulador de velocidad hace de referencia al lazo de corriente. El lazo externo es el más lento. La sintonización de cada lazo es muy simple, y se ajusta de dentro afuera. Este tipo de configuración de control es el más usado en accionamientos industriales.

5 1 . 0  s 5 1  s 1 50  s 5 1  s s 1 5 1  s D1 I a k1 k2 k3 + - + D2  + + D3 + + - - R + + +

Fig. 7. Compensación en cascada

También es posible hacer retroacción de las variables de estado. Siguiendo con el ejemplo, podemos mejorar aún más el control si añadimos un nuevo lazo correspondiente a la tercera variable de estado (de fase en este caso), es decir, la aceleración. El sensado de la aceleración se hace de manera indirecta sensando la corriente del motor (que, a través del par, determina y es proporcional a la aceleración). 5 1 . 0  s 5 1  s 1 1  s 5 1  s s 1 5 1  s I a k1 k2 k3 -  - - R ₊ 5 Tm1 Tm2 10 U

Fig. 8. Retroacción de las variables de estado

En muchas ocasiones la retroacción (feedback) se combina con el control anticipativo (feedforward). En la Fig. 9, con objeto de compensar el efecto de las perturbaciones (si son medibles) se añade un corrector GF(s) de manera que la transmitancia 1

w m

T T

. Para facilitar la implementación, el corrector debe ser realizable, es decir no debe tener más ceros que polos, así por ejemplo podemos tomar

( )

(

5)

50

5 (

50)

F

s

G s

s







.

(10)

Fig. 9. Feedforward de las perturbaciones

En la Fig. 10 con objeto de acelerar el efecto de la señal de mando se establece un nuevo paso de R

a a mediante un nuevo corrector GF2 de manera que este nuevo paso presente una ganancia  1.

Aquí vuelve a aparecer el problema de la realización, hay que tomar una GF2 realizable.

) 5 )( 1 ( 5   s s s U a kc = 1 E + R ₊ GF2(s) +

Fig. 10. Feedforward de la señal de mando

Finalmente, para tener libertad de fijar las especificaciones se adopta la configuración de la figura, añadiendo un prefiltro al lazo principal. Se puede interpretar de varias maneras: 1) Libertad para fijar independientemente T y S; y 2) Fijación de polos y ceros.

) 5 )( 1 ( 5   s s s U a Gc(s) E + R GPF(s)

(11)

2. Relación entre el lazo abierto y el lazo cerrado (I)

Objetivo: Inferir el efecto que tienen las modificaciones en L(j) o L(s) (lazo abierto) sobre T(j)

o T(s) (lazo cerrado) sin tener que calcular este último de forma explícita. El motivo radica en que, en general, los compensadores/controladores a calcular se sitúan en serie (cascada) con el resto de componentes del lazo y, por tanto, su efecto sobre L(j) o L(s) es directo.

2.1 Respuesta frecuencial en coordenadas polares. Ábacos de Hall

El ábaco de Hall es un ábaco que se sitúa sobre la representación en coordenadas polares (diagrama de Nyquist) de la respuesta frecuencial del lazo (abierto) L(j). Para cada frecuencia i, la

intersección del diagrama polar de L(ji) y el ábaco de Hall nos dice cuánto vale el módulo del lazo

cerrado |T(ji)| y la fase en lazo cerrado



T

(

j



i

)

.

Hay dos ábacos: el directo que se sitúa sobre la representación de L(j), y el inverso que se sitúa sobre la representación de L-1_(j).

A continuación se indican las fórmulas para el trazado del ábaco. Éste consiste en una serie de círculos M de módulo del lazo cerrado constante y una serie de círculos N de fase de lazo cerrado constante. 1) Polar directo:

(

)

(

)

(

1 )

(

)

(



M

N

j

L

j

L

j

T









2) Polar inverso:

1 )

(

1 )

(

₁





_



j

L

j

T

(los círculos de

M = cte

se construyen representando los lugares donde

L

1

₍

j

_

₎



₁



cte

₎

L(j1) 1+L(j1) -1 1 L-1_(j_ 1) 1+L-1_(j_ 1) -1 1 Directo Inverso

Fig. 12. Construcción ábacos de Hall

3) Cálculo de los lugares geométricos de M (módulo) y N (fase) constantes del servo.

Los lugares de M constante son círculos de radio

1

2

_

M

y centrados en _        ,0 1 2 2 M M :

(12)

M constante:





₂ ₂ 2 2 2 2 2

)

1 (

))

(

Im(

1 ))

(

Re(























M

j

L

M

j

L



si M  1,

2

1 ))

(

Re(

L

j







, si M = 1.

Los lugares de N constante son círculos de radio

2

1

4

1 













N

y centrados en













N

2

1 ,

2

1

: N constante: 2 2 2

2

1

4

1

2

1 ))

(

Im(

2

1 ))

(

Re(

























_











_

N

j

L

j

L



4) Ábacos resultantes: -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -2 j -1.5 j - j -0.5 j 0 0.5 j j 1.5 j |M| = 1.2 |M| = 1 |M| = 0.6 |M| = 0.707  = -300 -270 -180 -120 -90 -70 -60 -50 -40 -30 -20

Fig. 13. Ábaco de Hall (polar directo).

-3 -2 -1 0 1 2 -2 j -1.5 j -1 j -0.5 j 0 0.5 j j 1.5 j 2 j |T| = 0.5 |T| = 2.0 |T| = 0.6 |T| = 1.0 |T| = 0.7 = -30º = -60º = -90º  = -150º  = -180º

(13)

Ejemplo 1. Interpretación del ábaco de Hall. La siguiente figura muestra en rojo el diagrama polar de la función de lazo

)

100

6 )(

10 (

1000

)

(

₂





s

L

y en gris los círculos de módulo M del

ábaco de Hall directo.

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Re [ L (j



)] M = 1.2 M = 1.4 M = 1.6 M= 2.0 L (j



)] M= 1.0 M= 3.0 M= 5.0 M = 0.8 M = 0.4 M = 0.5 M = 0.6 M = 0.35 Mr = 3.02 b = 16.33   = 13.57 r = 11.65  = 10.75  = 10.09  = 0  = 5.56  = 7.96  = 9.00  = 9.61 Im [

La superposición del diagrama polar de L(j)=G(j)H con los círculos de módulo constante, nos da información sobre el módulo de la respuesta frecuencial del lazo cerrado

H

j

G

j

G

j

T

)

(

1 )

(

)

(







, con H 1.

La siguiente figura muestra en coordenadas cartesianas el módulo del servo.

0 5 10 15 20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5  [rad/s] T (j ) | b = 16.33 r = 11.65 Mr = 3.02 0.35 |

(14)

Notar que el ancho de banda b es la frecuencia a la cuál el módulo vale 0.7 veces la ganancia en

continua (es decir, la frecuencia a la cual la potencia a caído a la mitad). Puesto que en continua (=0) el módulo del servo vale M=0.5, el ancho de banda será la frecuencia a la cual el lazo intersecta el círculo de valor M=0.70.5=0.35. Esta es b=16.33rad/s.

Notar que la frecuencia de resonancia r es la frecuencia a la cual el diagrama de Nyquist del lazo

intersecta con el círculo M de mayor magnitud (y el valor de la resonancia es precisamente dicho valor de M).

2.2 Respuesta frecuencial en escala logarítmica. Ábaco de Nichols/Black

Objetivo: El objetivo es el mismo del caso anterior pero ahora a partir de los diagramas de Bode de

L(j), más fáciles de estimar que los polares. Para ello se usan las coordenadas (logarítmicas) de fase y ganancia. A partir de ahí, y con ayuda de los nuevos ábacos de M y N constantes (modificados según la correspondiente transformación de coordenadas), se puede estimar la respuesta en lazo cerrado T(j).

Comentarios:

 Las ecuaciones de los lugares geométricos (M, N) no tienen la elegancia sencilla del ábaco de Hall. Mediante la transformación de coordenadas,

)

(

)

(

)

(

1 )

(

)

(















M

j

L

j

L

j

T

;

1 a

jb

u

jv

a

jb



_{ }

 

; 



_L_ej j L( ) Lugar geométrico de (u, v) con a = constante:

2 2 2

2

1

1 2(1

)

2(1

)

a

u

v

a



_





_

_







_





_











,

Lugar geométrico de (u, v) con b = constante:





2 2 2

1

2

2 u

v

b













_



_



_

_









resultan ser:

Ecuación curvas de M = constante:

1 2 2

sin

cos

1













































L

M



Ecuación curvas de N = constante:





cos sin    L tg N

 El efecto de un compensador en serie se ve muy claramente en Bode (y bastante bien en estos nuevos ejes) facilitando así la determinación del controlador por loopshaping.

(15)

6 db 12 db 4 db 3 db 2 db 1 db 0.5 db 0.25 db 8 4 -4 0 -12 -8 -16 -20 -24 -28 12 16 20 24 28 32 -26 0 -2 40  -2 20  -2 00  -18 0 -16 0 -14 0 -1 20  -1 00  -80  -60  -40  -20  _0 -2 80  -2 db -3 db -4 db -5 db -6 db -9 db -1 80  -18 db -24 db -12 db -3 00  -0.5 db -1 db 0 db -2 -5 -10 -20 -30 -9 0

(16)

Ejemplo 2. Interpretación del ábaco de Nichols. Las siguientes figuras muestran la interpretación del ábaco de Nichols para el mismo lazo del ejemplo anterior.

Diagrama fase-ganancia de

)

100

6 )(

10 (

1000

)

(

₂





s

L

y ábaco de Nichols -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 Fase de L(j



) [grados] 10dB 1dB 2dB 0dB -3dB -6dB -9dB  = 67.3  = 35.1 M ódul o de L( j



) [d B ] -20dB -40dB -200º -150º -100º -50º -250º -20º 6dB  = 46.8 -70º -230º -300º -120º -280º  = 9.0  = 10.7 r= 11.6 Mr= 9.54  = 13.6 b = 16.3  = 22.5  = 7.1 _{ = 0.1} Diagrama de Bode de

)

(

1 )

(

)

(



j

L

j

L

j

T





10 0 101 102 103 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 100 101 102 103 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0



[rad/s]



[rad/s] M ódul o [ dB ] Fa se [ gr ad os] Mr = 9.54 r = 11.6 b = 16.3 -9dB

(17)

2.3 Ejercicio

resuelto

Ejercicio 1. Dada la respuesta del lazo de un servo con H=1,

30 -30 -20 -10 0 10 20 -10dB 2dB 4dB 6dB 8dB 10dB -1dB -3dB 0dB -20dB -70 -50 -100 -120 -150 -200 -230 -250 -280 -300  = 0.70  = 0.95  = 1.13  = 1.43  = 1.66  = 2.2  = 2.88  = 4.41  0 -300 -250 -200 -150 -100 -50 M a gn it ud de G (j  ) [ d B] Fase de G(j) [grados]   se pide:

1) Representar punto a punto y a escala el diagrama de Bode de la magnitud del lazo cerrado |T(j)| indicando el valor de Mr, r, b y T(0).

2) Si se excita T(s) con una señal r(t)=2sen(1.13t) determinar la frecuencia y la amplitud de la salida y(t) una vez extinguido el transitorio. Ídem con r(t)=2sen(4.41t).

Solución:

1) El ábaco de Nichols sobre la representación fase-ganancia del lazo abierto nos da la siguiente información del lazo cerrado:

 0.7 0.95 1.13 1.43 1.66 2.2 2.88 4.41

|T(j)|dB 2 4 6 10 6 -3 -10 -20

Resonancia: Se busca el círculo M de mayor magnitud que toca el lazo. En nuestro caso es el círculo 10dB y el lazo lo toca a frecuencia 1.43rad/s. Así pues, en el lazo cerrado, la resonancia viene definida por Mr=10dB y r=1.43rad/s.

Ganancia en continua T(0): A frecuencia 0 el lazo tiene un módulo infinito, una fase de -90° y, en consecuencia, toca el círculo de 0dB (ello indica que el lazo tiene un integrador), así pues, en lazo cerrado la ganancia en continua es T(0)=0dB.

Ancho de banda a -3dB: Puesto que la ganancia en continua es 0dB el ancho de banda hay que buscarlo en el círculo de -3dB (0dB-3dB=-3dB). En nuestro caso el ancho de banda del servo es 2.2rad/s.

(18)

0.1 0.2 0.4 1 2 4 10  dB 10 5 0 -5 -10 -15 -20 T(0)=0dB Mr=10dB r=1.43rad/s _b_=2.2rad/s 2)

r(t)=2sin(1.13t)  y(t)=4sin(1.13t-1) puesto que T(j1.13) dB6 



1 y 6dB en lineal es 2

r(t)=2sin(4.41t)  y(t)=0.2sin(4.41t-2) puesto que T(j4.41)20dB



2 y -20dB en lineal es 0.1

Ejercicio 4. Ábaco de Nichols.

1) Considerar un servo con retroacción unitaria cuya ganancia de lazo es L(j



) LejL . Así,

el servo es ) ( 1 ) ( ) (



j L j L j T 

 . Se pide demostrar que la ecuación que cumplen los lugares M de ganancia del servo constante M  T(j



) cte

es la siguiente: 0 1 cos 1 2 2 2 2 2 2      M M L M M L



_L

2) Considerar un servo con ganancia de lazo

) 40 )( 4 ( 1600 ) (    s s s s L . Se pide:

(a) Representar su respuesta frecuencial en un diagrama fase-ganancia (Nota: para ello puede ser útil bosquejar antes el diagrama de Bode).

(b) En la representación anterior, usar el ábaco de Nichols para determinar las siguientes características del servo: ganancia en continua, resonancia y ancho de banda (a -3dB).

(c) A partir del ábaco de Nichols, y a partir de unos cuantos puntos, bosquejar los diagramas de Bode del servo.

(19)

L L j _L _j_L e L j L(



) L  cos



 sin



Así, el módulo del servo queda como



L



L L L L L L L L L L L L L L M j T





2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos cos 2 1 sin cos 1 sin cos ) (          2 2 2 cos 2 1 L L L M L   



0 cos 2 2 2 2 2 2 _ _L _M _ _L _M _ _L _ M



_L 0 ) 1 ( cos 2 2 2 2 2 _ _L _M _ _M _ _L _ M



_L 0 cos 1 2 1 2 2 2 2 2      M L L M M M L



c.q.d.

2) En primer lugar se traza el diagrama de Bode del lazo y se toman algunos puntos (frecuencia, ganancia en dB y fase en grados) que nos servirán para trazar el diagrama fase-ganancia del lazo.

Con los puntos de la tabla anterior se traza el diagrama fase-ganancia del lazo. A partir de la superposición del ábaco de Nichols con el diagrama fase-ganancia del lazo podemos sacar las siguientes conclusiones:  (rad/s) |L(j)|dB (j) 0.2 0.4 1 2 4 6 10 20 30 34 28 20 13 5 0 -9 -20 -30 -94º -96º -105º -120º -135º -150º -175º -200º -210º

(20)

(a) La ganancia en continua del servo es |M(0)|=0dB (como ya era de esperar puesto que el lazo presenta un integrador).

(b) El círculo M de magnitud más grande que toca el lazo es el círculo rotulado 6dB y ello ocurre a la frecuencia 6rad/s. Por tanto, el valor de la resonancia del servo será Mr=6dB y la frecuencia de resonancia

del servo será r=6rad/s (notar que es muy cercana a la frecuencia de crossover del lazo, es decir, a la frecuencia a la cual el lazo vale 0dB). (c) Para buscar el valor de la frecuencia correspondiente al ancho de banda a -3dB hay que buscar el círculo M de valor (ganancia en continua del servo) - 3dB. En nuestro caso, puesto que la ganancia en continua es 0dB, basta con buscar a qué frecuencia intersectan el lazo y el círculo M de valor -3dB. Esta frecuencia está un poco antes de 10rad/s. Por tanto, concluimos que el ancho de banda del servo es b=9.5rad/s.

Finalmente, nos fijamos en el resto de círculos M (de módulo) y N (de fase) del ábaco a cada una de las frecuencias que hemos rotulado y, de ahí, sacamos los puntos necesarios para bosquejar los diagramas de Bode del servo.

 (rad/s) |M(j)|dB (j) 0.2 0.4 1 2 4 6 10 20 30 0 0.1 0.2 0.7 3 6 -6 -20 -28 0º -2.5º -5.5º -12º -35º -85º -165º -195º -210º

(21)

3. Relación entre el lazo abierto y el lazo cerrado (II)

3.1 Polos y ceros. Lugar geométrico de las raíces (LGR) de Evans

Objetivo: Ver gráficamente cómo evolucionan los polos del servo (lazo cerrado) al variar un parámetro del lazo (abierto). En general, este parámetro es la amplificación k, aunque también puede ser un polo (p) o un cero (z).

El trazado rápido (aproximado) del LGR es de una gran ayuda para estudiar los polos dominantes, residuos y estabilidad, y para diseñar controladores sencillos.

Trazado del LGR:

Preliminares. En primer lugar hay que expresar el denominador del servo (ecuación característica) en la forma estándar:

0 )

(

)

(

1 



s

D

s

N

k

, con k>0.

El lugar geométrico de las raíces (LGR) es la solución gráfica de la ecuación anterior. Muestra todos los valores “s” (lugares) que la satisfacen.

Resolver la ecuación característica es equivalente a resolver las siguientes dos ecuaciones que reciben el nombre de condición modular y condición argumental respectivamente:

0 )

(

)

(

1 



s

D

s

N

k



1 )

(

)

(

_

_

s

D

s

N

k























argumental

condición

180 )

(

)

(

modular

condición

1 )

(

)

(

s

D

s

N

k

s

D

s

N

k

Comentarios:

(a) El número de ramas del LGR es igual al número de polos del lazo (raíces de D(s)). Notar que la retroacción no añade ni quita polos. El lazo cerrado tiene el mismo número de polos que el lazo abierto, sólo que cambiados de sitio.

(b) Cada rama del LGR empieza en un polo del lazo abierto (raíces de D(s)) y termina en un cero del lazo abierto (raíces de N(s)):

 Origen (k=0):

0 (

)

(

)

0 (

)

0 )

(

)

(

1 





D

s



kN

s



_₀



D

s



s

D

s

N

k

_k  Final (k=): 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ) ( ) ( 1         s N s N k s D s D s N k k

(c) Si k es la ganancia del lazo, kN(s)/D(s) coincide con el lazo L(s). Pero si el parámetro para el cual vamos a dibujar el LGR es otro, por ejemplo un polo p, el numerador y el denominador que quedan N’(s) y D’(s) no tienen nada que ver con L(s):

(22)

)

(

'

)

(

'

1 s

D

s

N

p



, con p>0.

Las ramas irán de las raíces de D’(s) (polos) a las raíces de N’(s) (ceros).

(d) Analogía electrostática: Para ayudar en el trazado de las trayectorias es útil imaginar que los polos y ceros son cargas de distinto signo: Las cargas de igual signo se repelen y las de signo distinto se atraen. Así, los polos se repelen y los ceros atraen a los polos.

(e) El LGR también sirve para hallar las raíces de polinomios.

3.2 Pasos para el trazado del LGR de Evans

Los pasos para el trazado son:

Paso 1) Tramo sobre el eje real: Hay LGR si a la derecha hay un número impar de polos y ceros.

Paso 2) Asíntotas: Cuando en la función de transferencia N(s)/D(s) hay más polos que ceros finitos ello significa que los ceros que faltan están en el infinito. Los polos correspondientes a estos ceros tendrán que viajar al infinito. Las ramas al infinito siguen unas rectas asintóticas que se definen indicando su origen (centroide) y su pendiente (fase):

 Centroide: Z P z p A

_N

V









 Fase: Z P

N

n









180 

, ( n = 1, 3, 5…)

donde Vp y Vz son el valor de los polos y los ceros, y NP y NZ son el número de polos y de ceros

finitos.

Paso 3) Punto de emergencia (o de incidencia) del (al) eje real: Cuando la k() es máxima (mínima). A veces es aconsejable determinarlo de manera numérico-gráfica aproximada. Además, las ramas (si son dos) emergen perpendicularmente al eje real.

Paso 4) Punto de cruce del eje imaginario: Se determina aplicando el criterio de Routh o resolviendo la ecuación característica para s=j.

Paso 5) Ajustes

(a) Ángulo de salida (llegada) desde (hacia) los polos (ceros) complejos: Se aplica la condición angular a un punto cercano a dicho polo (cero).

(b) Parametrización: Se asigna la k a un punto del LGR, mediante la aplicación (gráfica) de la condición modular.

(23)

Ejemplo 3. Lugar geométrico de las raíces de Evans. Considerar el servo de la figura, ) 2 )( 1 ( 4   s s s k +

Se desea conocer cuáles serán los polos del servo para cada uno de los valores de k entre 0 e infinito. El LGR nos da esta información de manera gráfica en el plano complejo.

Paso 0) En primer lugar hay que expresar el denominador del servo como

0 )

2 )(

1 (

4

1 



s

k

.

A continuación, hay que situar los polos y ceros de la función que multiplica a k en el plano complejo. En nuestro caso solo hay tres polos: 0, -1 y -2.

Ahora ya se pueden aplicar las reglas de trazado: Paso 1) Eje real:

Hay LGR entre - y -2 (puesto que a la derecha de – hay un número impar de raíces, hay 3 polos). No hay LGR entre -2 y -1 (puesto que a la derecha de –2 hay un número par de raíces, hay 2 polos). Hay LGR entre -1 y 0 (puesto que a la derecha de –1 hay un número impar de raíces, hay 1 polo). No hay LGR entre 0 y + (puesto que a la derecha de 0 hay un número par de raíces, hay 0).

-2 -1 0

Paso 2) Asíntotas: Hay que calcularlas puesto que los tres polos van a viajar al infinito, que es donde se encuentran sus tres ceros correspondientes.

Centroide:



  

1

0

3

2

1

0 _

_















z p z p A

N

V



Fases: ___              60 300 , 180 , 60 180 z p A N N i



-2 -1 0 +60º -60º +180º

(24)

Paso 3) Eje real: Punto de emergencia o de incidencia. En nuestro caso será de emergencia, puesto que, a medida que k aumente, los dos polos en -1 y 0 se acercarán el uno al otro por el eje real, se juntarán y, a continuación se separarán (emergerán) para viajar al infinito.

Puesto que estamos en el eje real, se sustituye s= en la ecuación del LGR:

0

4

2

3

0

4 )

2 )(

1 (

0 )

2 )(

1 (

4

1 _

_

_

_

_

3

_

2

_

_



k



k



k



Justo en el punto de emergencia es donde la k (de todas las k's que cumplen la ecuación anterior) es máxima. Por ello, podemos hacer











































57 .

1 0962

.

0

42 .

0

2

6

3

4

1

2

3

4

1

3 2 2



k

El punto de emergencia es el primero puesto que, por la aplicación del Paso 1), sabemos que -1.57 no pertenece al lugar de Evans.

Paso 4) Eje imaginario. Cruce: Esta regla la tenemos que aplicar puesto que, dadas las asíntotas, sabemos que dos polos van a atravesar el eje imaginario. De manera análoga a la regla anterior, ahora hay que sustituir el valor s=j en la ecuación del LGR:

0

4

2

3

0

4 )

(

2 )

(

3 )

(

_j

_

3

_

_j

_

2

_

_j

_

_

_k

_

_

_

_j

_

3

_

_

2

_

_j

_

_

_k

_

_

_j

Podemos plantear dos ecuaciones, una par la parte real y otra para la imaginaria. Así, basta con resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

real:

_

3 _

2

_

4 _k

_

0

imag.:

_

_

3

_

2 _

_

0

El cruce se produce a k=3/2,



 2. Paso 5) Ajustes: No son necesarios

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 j 

(25)

Ejemplo 4. Lugar geométrico de las raíces de Evans. Considerar el servo de la figura, ) 4 3 ( 1 2_{ s}_ s s k +

El servo (función de transferencia en lazo cerrado) viene dado por:

)

4

3 (

1

1 )

4

3 (

1 )

(

2 2





s

k

s

k

s

M

.

Se desea conocer cuáles serán los polos del servo para cada uno de los valores de k entre 0 e infinito.

Paso 0) En primer lugar hay que expresar el denominador del servo (ecuación a resolver) como

0 )

4

3 (

1

₂





s

k

.

El LGR es la solución a esta ecuación. A continuación, hay que situar los polos y ceros de la función que multiplica a k en el plano complejo. En nuestro caso solo hay tres polos: 0,

3 .

1

5 .

1 

j



.

Paso 1) Eje real:

Hay LGR entre - y 0 puesto que a la derecha de – hay un número impar de raíces: hay 1 polo. (Notar que tener en cuenta el par de polos complejos conjugados no cambia el resultado puesto que no afectan a la paridad de raíces a un lado y otro de ellos)

-2 -1 0 1.3j -1.3j -1.5 j 

Paso 2) Asíntotas: Hay que calcularlas puesto que los tres polos van a viajar al infinito, que es donde se encuentran sus tres ceros correspondientes.

Centroide:



  

1

3

0

3

3 .

1

5 .

1

3 .

1

5 .

1

0 _



_

_



















j

N

V

z p z p A



(26)

Fases: ___              60 300 , 180 , 60 180 z p A N N i



Notar que la fase 300° es equivalente a 60° con lo que no hace falta buscar más múltiplos impares. Otra forma de verlo es que, puesto que tenemos 3 polos, como mucho habrá tres asíntotas.

-2 -1 0 1.3j -1.3j -1.5 j  +60º -60º +180º

Paso 3) Eje real: Punto de emergencia o de incidencia. Esta regla no es necesario aplicarla puesto que los dos polos complejos conjugados no van a incidir en el eje real.

Si tuviéramos dudas se podría aplicar, pero entonces el resultado obtenido no sería coherente con el resto de reglas (saldrían puntos que no pertenecen al Evans según lo obtenido en el primer paso o bien saldrían números complejos).

Paso 4) Eje imaginario. Cruce: Esta regla la tenemos que aplicar puesto que, dadas las asíntotas, sabemos que dos polos van a atravesar el eje imaginario. Hay que sustituir el valor s=j en la ecuación del LGR:

0

4

3

0 )

(

4 )

(

3 )

(

_j

_

3

_

_j

_

2

_

_j

_

_

_k

_

_

_

_j

_

3

_

_

2

_

_j

_

_

_k

_

_

_j

Podemos plantear dos ecuaciones, una par la parte real y otra para la imaginaria. Así, basta con resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

real:

_

3 _

2

_

_k

_

0

imag.:

_

_

3

_

4 _

_

0

El cruce se produce a k=12,



2.

Paso 5) Ajustes: Podemos calcular el ángulo de salida del polo p=-1.5+j1.3. Para ello, consideramos un punto muy cercano al polo (marcado como un cuadrado) y vemos cuánto tiene que ser su fase  para que el cuadradito pertenezca al LGR, es decir, cuánto tiene que ser su fase para que la suma de todas las fases sea -180°.

(27)

-2 -1 0 1.3j -1.3j -1.5 j  ~90º  ~140º



 



       0 90 140 180 50 ) (





p

Así pues, el ángulo de salida del polo p es -50° (y el del polo p* es +50°. Notar que siempre el LGR es simétrico respecto al eje real). El LGR definitivo es:

0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 j  -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Ejemplo 5. Lugar geométrico de las raíces de Evans. Considerar el servo de la figura,

) 1 ( 3   s s s k +

El servo (función de transferencia en lazo cerrado) viene dado por:

)

1 (

3

1 )

1 (

3 )

(





s

k

s

k

s

M

.

Así pues, la ecuación a resolver (cuáles serán los polos del servo para cada uno de los valores de k entre 0 e infinito) es:

(28)

0 )

1 (

3

1 



s

k

.

El LGR no es otra cosa que la solución gráfica de la ecuación anterior.

Paso 0) En primer lugar hay que situar los polos y ceros de la función que multiplica a k en el plano complejo. En nuestro caso hay un cero finito (-3) y dos polos (0 y -1).

Paso 1) Eje real:

Hay LGR entre - y -3 puesto que a la derecha de – hay un número impar de raíces: hay 1 cero y 2 polos. No hay LGR entre -3 y -1 porque a la derecha de -3 hay un número par de raíces (hay 2 polos). Hay LGR entre -1 y 0 puesto que a la derecha de -1 hay un número impar de raíces (hay un polo)

-3 -2 -1 0

j



Paso 2) Asíntotas: No hace falta calcularlas. Uno de los ceros es finito (una rama terminará en él) y el cero que está en el infinito ya tiene su rama dibujada (es la que va de -3 a ).

Paso 3) Eje real: Punto de emergencia o de incidencia. Tenemos un punto de emergencia y un punto de incidencia. A medida que k aumente, los dos polos se acercarán hasta juntarse, ahí se separarán (emergencia), viajarán por el plano s y volverán a entrar en el eje real (incidencia) a fin de que uno de ellos acabe en -3 y el otro en .

Los puntos de emergencia/incidencia son sobre el eje real, por tanto, la ecuación a resolver es la ecuación característica del servo particularizada sobre el eje real, es decir, tomando s



.

0 )

1 (

3

1 



s

k



0 )

1 (

3

1 





k



_

2

_

_

_

_k

_

_

_k

3 _

0

Vamos a buscar el máximo local y el mínimo local de k sobre el eje real



:

3 )

(

2









k



















3 

0

3

6

3

1

2 )

(

2 2 2 2





















d

dk























)

de

local

(mínimo

incidencia

899 .

9

45 .

5 )

de

local

(máximo

emergencia

101 .

0

55 .

0

3

6

2

k



(29)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

j



incidencia emergencia

Paso 4) Eje imaginario. Cruce: No hace falta aplicar esta regla puesto que las ramas no cruzarán el eje imaginario.

Paso 5) Ajustes: No hacen falta pero se podría usar la condición argumental en algún punto del trazado para determinar si la representación es correcta.

El LGR final es: -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 j 

Nota: Para obtener la k para un par de polos conjugados dominantes con =0.7 hay que aplicar la condición modular al punto indicado en la figura siguiente:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 j  45°

(30)

3.3 Ejercicios

resueltos

Ejercicio 2. Lugar geométrico de las raíces de Evans. Dada la planta

)

3 )(

2 (

1 )

(





s

G

, se trata

de controlarla mediante las dos configuraciones indicadas:

c k G(s) ) 16 4 (_s2_{ s}_ kc G(s)

ajustando, en ambos casos, kc de manera que el sistema global tenga unos polos dominantes con  = 0.7. Se pide:

1) Dibujar, para cada caso, el lugar geométrico de las raíces. 2) Determinar la kc de cada diseño (para  =0.7).

3) Comparar ambas situaciones desde el punto de vista de la sensibilidad de las raíces dominantes. 4) Deducir el concepto de "ceros de anclaje".

Solución: Primer LGR:

0 )

3 )(

2 (

1

1 



s

k

.

Se dibujan a escala 1:1 el eje real () y el imaginario (j) del plano complejo s y se sitúan los ceros y polos. En nuestro caso hay 3 polos: 0, -2 y -3. A continuación se aplican las reglas de trazado: (1) Eje real: Hay LGR entre - y -3. No hay LGR entre -3 y -2. Hay LGR entre -2 y 0. No hay LGR entre 0 e . (2) Asíntotas: Centroide:

 

1.67 3 5 0 3 3 2 0 __ __        



z p z p A N N V V



Ángulos:               60 60 , 180 0 3 180 180 i i N N i z p A



(3) Punto de emergencia del eje real (s = ):

_k

_

_





3

_

5 

2

_

6 





3

2

_

10 _

6 

_

0 





d

dk

_

78 .

0

55 .

2

2 , 1

_









78 .

0 



e



,

_

_



(

_

0 .

78 )

3

_

5 (

_

0 .

78 )

2

_

6 (

_

0 .

78 )



_

2 .

11

e

k

(4) Punto de cruce del eje imaginario (s = j):

 

j



3



5  

j



2



6  

j





k



0

         0 6 0 5 3 2



j j k 







6 



2 .

45

, k 30

(31)

(5) Ajustes: No son necesarios -10 -8 -6 -4 -2 0 2  -6j -4j -2j 0 2j 4j 6j j e=-0.78 ke=2.11 a=-1.67 c=2.45 kc=30

Para determinar la k que consigue =0.7 hay que aplicar la condición modular al punto de cruce entre el LGR y la recta de ángulo 135°. El producto del módulo de los vectores es:

5 .

3

9 .

2

4 .

1

9 .

0 







D

N

D

k

Segundo LGR: 0 ) 3 )( 2 ( 16 4 1 2       s s s s s k .

Se dibujan a escala 1:1 el eje real () y el imaginario (j) del plano complejo s y se sitúan los ceros y polos. En nuestro caso hay 3 polos: 0, -2 y -3 y 2 ceros:



2 

j

3 .

46

. A continuación se aplican las reglas de trazado:

(1) Eje real: Hay LGR entre - y -3. No hay LGR entre -3 y -2. Hay LGR entre -2 y 0. No hay LGR entre 0 e .

(2) Asíntotas: No hacen falta

(3) Punto de emergencia del eje real (s = ):

16

4

6

5 )

(

₂ 2 3









k

(32)



4 6



0 96 160 62 8 2 2 2 3 4         



d dk _ 85 . 0 54 . 2 23 . 6 3 . 2 4 , 3 , 2 , 1      j





85 .

0 



e



, 0.157 16 ) 85 . 0 ( 4 ) 85 . 0 ( ) 85 . 0 ( 6 ) 85 . 0 ( 5 ) 85 . 0 ( 2 2 3             e k

(4) Punto de cruce del eje imaginario (s = j): No hace falta

(5) Ajustes: Ángulo de llegada a los ceros





_z 90

 

 7490120



180 



_z 18019414 -10 -8 -6 -4 -2 0 2  -6j -4j -2j 0 2j 4j 6j j e=-0.85 ke=0.157

Para determinar la k que consigue =0.7 hay que aplicar la condición modular al punto de cruce entre el LGR y la recta de ángulo 135°. El producto del módulo de los vectores es:

22 .

0

3 .

4

2 .

3

9 .

2

4 .

1

9 .

0 _







N

D

k

El segundo diseño es menos sensible: grandes variaciones de k no mueven demasiado los polos de sitio, en particular cerca de los dos ceros, de ahí el nombre “ceros de anclaje”.