Ondas Electromagnéticas

Texto completo

(1)

Ondas Electromagnéticas

Ecuaciones de Maxwell y campos electromagnéticos con variación

temporal

Fernando D. Quesada Pereira

1

1Grados de Ingeniería Telemática y de Sistemas de Telecomunicación

Departamento de Tecnologías de la Información y las Comunicaciones Universidad Politécnica de Cartagena

(2)

Índice de Contenidos

1

Introducción

2

Definición de campo eléctrico y magnético

3

Ecuaciones de Maxwell

Fuentes rotacionales y divergentes

Ley de Conservación de la carga

4

Sistemas de coordenadas y fuentes

Sistemas de coordenadas y operadores

Fuentes de carga y de corriente

5

Ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo

Teorema de Poynting

6

Materiales en presencia de campos variables

7

Teorema de Poynting en el dominio de la frecuencia

Campos electromagnéticos con variación sinusoidal

8

Unidad de Solución

(3)

Punto de partida de la asignatura

Análisis hecho en Sistemas y Circuitos

Hasta ahora sólo se han estudiadocircuitos sin variación espacialcomo bobinas, condensadores y resistencias.

Lacorriente y la tensión sólo dependian del tiempo(i(t),v(t)), y no de las variables espaciales.

Se realizaba también unanálisis fasorial, estudiando los circuitos en frecuencia tras la aplicación de latransformada de Fourier (T.F.)(se estudia en Sistemas Lineales).

v(t) →V(ω) (Relación tiempo-frecuencia mediante T.F.)

i(t) →I(ω) (Relación tiempo-frecuencia mediante T.F.)

(4)

Punto de partida de la asignatura

Análisis en Ondas Electromagnéticas

Los fenómenos eléctricos no tienen lugar en un punto del espacio, sino en un volumen o región de éste. Se comienzan aintroducir las variaciones con las coordenadas espacialesde los fenómenos eléctricos. En lugar de medir voltios (V) para la tensiónse miden voltios por metro(V/m) para elcampo eléctrico(E ).~

v(t)(Vol) → ~E(x,y,z,t) (V/m) (Intensidad de Campo eléctrico) En cuanto a laintensidad de corriente, ésta pasa de medirse en amperios a medirse enamperios por metroA/m, se trata de la(intensidad de campo magnéticoH)~.

i(t)(Amp) → ~H(x,y,z,t) (A/m) (Intensidad de Campo magnético)

(5)

Definición de campo eléctrico

Campo Eléctrico

Dirigidoa partir de la fuerza

(Newton) que experimentan

dos cargas entre sí. La fuerza tiene una determinadadirección. El campo eléctrico (y también el magnético) es unamagnitud vectorial

(campos de fuerzas). La fuerza entre dos cargas viene ejercida por laley de Coulomb.

q1

q2

r ˆ

er

Figura:Ley de Coulomb (fuerza entre cargas).

~

F = q1q2 4πǫ0r2

ˆ

er

Campo eléctricocomo fuerza por unidad de carga en cada punto del espacio:

~ E= ~F q2 = q1 4πǫ0r2 ˆ er Se defineǫ0≈1/(36π)10 −9como lapermitividad

(6)

Definición de Campo Magnético

Campo magnético

El campo magnético se define de manera similar al eléctrico (es también una magnitud vectorial). La magnitud fundamental es ladensidad de campo magnético o flujo magnéticoB~.

El flujo magnéticose mide en (Weber/m2).

La fuerza a la que está sometida una carga q en un campo electromagnético es: ~

F=q(~E+ ~v× ~B) (Newton) Fuerza elestrostática y de Lorentz ~

v= |~vev es elvector velocidad de la carga, siendoˆev el vector unitario en la

dirección de movimiento y|~v|la magnitud de la velocidad. El campo magnético se relaciona con el flujo magnético como:

~ H= 1 µ0 ~ B (A/m) µ0=4π10

−7es lapermeabilidad del vacíoo constante magnética del vacío (H/m) (Henrios por metro).

(7)

Ecuaciones de Maxwell

Ecuaciones de Maxwell

Fueron formuladas en 1873James Clerk Maxwell, sintetizan el trabajo de

investigadores como Ampere, Faraday o Gauss, y el suyo propio.

Elformalismo matemático actual más simple

fue introducido porOliver Heavisidede 1885 a 1887.

La teoría de Maxwellpredecía la existencia de ondas electromagnéticas, lo cual fue probado experimentalmente por Hertz. Introducimos cantidad conocida como

densidad de campo eléctrico o flujo eléctrico: ~

D= ǫ0~E ; (C/m2) De nuevo una magnitud vectorial

(imprescindibledominar el análisis vectorial).

Figura:James Clerk Maxwell

(8)

Índice de Contenidos

1

Introducción

2

Definición de campo eléctrico y magnético

3

Ecuaciones de Maxwell

Fuentes rotacionales y divergentes

Ley de Conservación de la carga

4

Sistemas de coordenadas y fuentes

Sistemas de coordenadas y operadores

Fuentes de carga y de corriente

5

Ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo

Teorema de Poynting

6

Materiales en presencia de campos variables

7

Teorema de Poynting en el dominio de la frecuencia

Campos electromagnéticos con variación sinusoidal

(9)

Fuentes rotacionales y divergentes

En todo campo de fuerzas vectorial existendos tipos de fuentes: rotacionales y divergentes.

Fuentes rotacionales

Las fuentes de carácterrotacional ha-cen girar el campo(∇ × ~A, rotacional de una función vectorial).

Figura:Concepto de rotacional. La fuente rotacional para el campo eléctrico es la variación del campo magnético con el tiempo(ley de Fara-day):∇ × ~E= −∂~B

t.

Fuentes divergentes

Las fuentes de carácterdivergente ha-cen converger y diverger al campo(∇ · ~

A, divergencia de una función vectori-al).

Figura:Concepto de divergencia. Lacarga es la fuente divergente para el campo eléctrico. Se tiene que ∇ · ~

D = ρ, siendoρla densidad de carga (C/m3si es volumétrica)

(10)

Fuentes rotacionales y divergentes

Figura:Carga como fuente divergente del campo eléctrico

Fuentes del campo magnético

Las fuentes rotacionales para el campo magnético:

∇ × ~H= ~Jv (Ley de Ampere) ~

Jv es densidad de corriente

volumétrica A/m2(existen tres tipos diferentes de corriente eléctrica). Lascargas magnéticasserían las fuentes de tipo divergente para el campo magnético.No existen en la naturaleza, siendo normalmente ρm =0:

(11)

Tipos de Corriente Eléctrica

Tipos de corriente eléctrica

~JiCorriente de conducción ocasionada por el movimiento de cargas en el metal (tipo de corriente de circuitos).

~JcCorriente de convección correspondiente al movimiento de cargas en el vacío (ej. tubos de vacío de televisiones antiguas).

~JdCorriente de desplazamiento generada de forma inducida por una variación temporal del campo eléctrico (ej. condensadores).~Jd=∂~∂Dt (A/m

2).

Término introducido por Maxwell en sus ecuaciones. ∇ × ~H= ~Ji+ ~Jc+

∂ ~D

t ley de Ampere distinguiendo corrientes

(12)

Ecuaciones de Maxwell

Ecuaciones de Maxwell

Sintetizando se llega a

cuatro ecuaciones

conocidas como las

ecua-ciones de Maxwell y que describen todas las interacecua-ciones eléctricas y

magnéticas:

∇ × ~

E

= −

∂~

B

t

Ley de Faraday

∇ × ~

H

=

∂ ~

D

t

+ ~

J

Ley de Ampere

∇ · ~

D

= ρ

e

Ley de Gauss

∇ · ~

B

=

0

Los campos electromagnéticos dependen tanto de las

coordenadas

es-paciales

como del

tiempo

.

(13)

Ley de Conservación de la carga

Deducción

Se deduce comocombinación de las ecuaciones de Maxwell. Si se toma la divergencia de la ley de Ampere tenemos:

∇ · (∇ × ~H) = ∇ ·∂ ~D

t + ∇ · ~Jv

La divergencia de un rotacional es siempre cero:∇ · (∇ × ~H) =0, por lo que resulta:

∂(∇ · ~D)

t + ∇ · ~Jv =0 De la ley de Gauss sabemos que∇ · ~D= ρv, por lo que:

∂ρv

t + ∇ · ~Jv =0

Lavariación temporal de la carga se debe a que está semovido fuera de la región

(14)

Interpretación de la ley de variación de la carga

Integramos la ley de conservación en una región cerrada donde existan cargas:

S

V

ρ ~

J

Figura:Cargas dentro de un volumen V delimitado por una superficie S.

Desarrollo

Z V ∇ · ~JVdV+ Z V ∂ρVt dV =0 Tras la aplicación delteorema de Gaussla

integral de volumen de la divergencia se transforma en unaintegral de superficie:

Z S ~ JV·d~S= ∂ ∂t  − Z V ρvdV 

Donde el primer término de la igual es la corriente I total que sale por la superficie S (flujo), mientras que el segundo es la variación carga total Q en el volumen V .

I= dQ

dt

Lavariación de la carga es la corriente co-mose estudió en sistemas y circuitos.

(15)

Índice de Contenidos

1

Introducción

2

Definición de campo eléctrico y magnético

3

Ecuaciones de Maxwell

Fuentes rotacionales y divergentes

Ley de Conservación de la carga

4

Sistemas de coordenadas y fuentes

Sistemas de coordenadas y operadores

Fuentes de carga y de corriente

5

Ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo

Teorema de Poynting

6

Materiales en presencia de campos variables

7

Teorema de Poynting en el dominio de la frecuencia

Campos electromagnéticos con variación sinusoidal

(16)

Sistema de coordenadas cartesiano

Localización en Cartesianas

z y z p

Figura:Sistema de coordenadas cartesiano.

Vector de posición

~

R=xˆex+yeˆy+zeˆz

En este caso los vectores directores unitarios(ˆex,eˆyez) no cambian de di-rección sea cual sea el punto P que consideremos.

Losdiferenciales de longitud, superfi-cie y volumen quedan de la forma en los casos más simples:

d~l=dxxˆ;d~l=dyyˆ;d~l=dzzˆ

d~S=dxdyˆz;dS~ =dxdzˆy;d~S=dydzxˆ

(17)

Sistema de coordenadas cilíndrico

Localización en

cilíndricas

z y z p ˆ ˆ eϕ ˆ ez ρ ϕ Figura:Sistema de coordenadas cilíndricas

Vector de posición

~ R= ρˆeρ+ ϕˆeϕ+zzˆ

La coordenada ϕno es una distancia sino un ángulo. El vector unitario ˆeϕ no es una con-stante puesto que su dirección cambia (el mó-dulo si que es siempre 1 al ser unitario). Lo mis-mo sucede con el vector unitarioˆeρ.

Losdiferencialesde longitud, superficie y volu-men quedan de la forma en los casos más sim-ples:

d~l=dρˆeρ;d~l= ρdϕˆeϕ;d~l=dzˆz

d~S=dρdzeˆϕ;d~S= ρdϕdzˆeρ;d~S= ρdρdϕˆz dV = ρdρdϕdz

(18)

Sistema de coordenadas esférico

Localización en esféricas

z y z p ˆ er ˆ ˆ r ϕ θ Figura:Sistema de coordenadas esféricas.

Vector de posición

~ R=rˆer+ ϕˆeϕ+ θˆeθ

Las coordenadasϕ yθ son ángulos y no dis-tancias, mientras que ˆer,eˆϕ yˆeθ no son con-stantes, pues su dirección cambia con el punto donde nos encontremos.

Losdiferencialesde longitud, superficie y volu-men quedan de la forma en los casos más sim-ples:

d~l=drˆer;d~l=r sinθdϕˆeϕ;d~l=r dθ ˆθ d~S=r2sinθdϕdθˆeρ;d~S=r sinθdrdϕˆeθ; d~S=rdr dθ ˆϕ

(19)

Operador rotacional en los distintos sistemas

coordenados

Cartesianas

∇ × ~

A

=

ˆ

ex

ˆ

ey

ˆ

ez

∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z

A

x

A

y

A

z

Cilíndricas

∇ × ~

A

=

ˆ eρ ρ

e

ˆ

ϕ ˆ ez ρ ∂ ∂ρ ∂ ∂ϕ ∂ ∂z

A

ρ

ρ

A

ϕ

Az

esféricas

∇ × ~

A

=

ˆ er r2sinθ ˆ eθ r sinθ ˆ eϕ r ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂ϕ

A

r

rA

θ

r sin

θ

A

ϕ

(20)

Operador gradiente y divergencia en los distintos

sistemas coordenados

Cartesianas

∇φ = ∂φ ∂xˆx+ ∂φ ∂yˆy+ ∂φ ∂zzˆ ∇ · ~A= ∂Axx + ∂Ayy + ∂Azz

Cilíndricas

∇φ = ∂φ ∂ρˆeρ+ 1 ρ ∂φ ∂ϕˆeϕ+ ∂φ ∂zˆz ∇ · ~A= 1 ρ ∂ ∂ρ(ρAρ) + 1 ρ ∂Aϕ ∂ϕ + ∂Azz

esféricas

∇φ = ∂φ ∂rˆer+ 1 r ∂φ ∂θˆeθ+ 1 r sinθ ∂φ ∂ϕˆeϕ ∇ · ~A= 1 r2 ∂ ∂r(r 2 Ar) + 1 r sinθ ∂ ∂θ(sinθAθ) + 1 r sinθ ∂Aϕ ∂ϕ

(21)

Fuentes de carga volumétricas, superficiales y lineales

Densidad volumétrica de carga ρv(C/m3) ρv V Q=R VρvdV

Figura:Carga distribuída en un

volumen

Densidad superficial de carga

ρs(C/m2)

ρs

Q=R SρsdS

Figura:Carga distribuída en un

superficie

Densidad lineal de carga

ρl(C/m)

ρl Q=R

lρldl

(22)

Densidad de corriente volumétrica y superficial

Si una

densidad tiene carácter vectorial

se convierte en

densidad de

flujo

(flujo total que atraviesa una sueperficie o línea)

Densidad volumétrica de

corriente

~Jv(A/m2 ) ~Jv I=R S~JvdS~

Figura:Corriente en un volumen.

Densidad superficial de

corri-ente

~Js(A/m) ~Js I=R l~Js· ˆendl dl ˆ en

Figura:Corriente en un superficie d~l = ˆendl

Densidad lineal de corriente

(no existe)

En un hilo no hay densidad de corriente. Sólo puede haber corriente que circula por el hilo.

(23)

Índice de Contenidos

1

Introducción

2

Definición de campo eléctrico y magnético

3

Ecuaciones de Maxwell

Fuentes rotacionales y divergentes

Ley de Conservación de la carga

4

Sistemas de coordenadas y fuentes

Sistemas de coordenadas y operadores

Fuentes de carga y de corriente

5

Ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo

Teorema de Poynting

6

Materiales en presencia de campos variables

7

Teorema de Poynting en el dominio de la frecuencia

Campos electromagnéticos con variación sinusoidal

(24)

Ecuaciones de Maxwell en el tiempo

Ec. Maxwell completas

∇ × ~E= −∂~Bt ∇ × ~H= ~Jv+ ∂ ~Dt ∇ · ~D= ρv ∇ · ~B=0

Añadimos laecuación de continuidad: ∇ · ~Jv+

∂ρvt =0

Las magnitudes dependen del tiempo (t) y el espacio (x,y,z) aunque no lo pongamos. Los campos están acopla-dos (no se puede obtener por separa-doE y~ ~H).

Obtención del vector de Poynting

Combinamos las ecuaciones de Maxwell. Multiplicamos la ley Faraday porH y la de~ Ampere porE :~ ~ H· (∇ × ~E) = −~H·∂~Bt ~ E· (∇ × ~H) = ~E· ~Jv+ ~E· ∂ ~Dt Aplicando la identidad de la divergencia del producto vectorial y utilizando las dos ecua-ciones anteriores: ∇ · (~E× ~H) = ~H· (∇ × ~E) − ~E· (∇ × ~H) ∇ · (~E× ~H) = −~H·∂~Bt − ~E· ~Jv− ~E· ∂ ~Dt ~

E× ~H es conocido como elvector de Poynt-ing.

(25)

Vector de Poynting

Vector de Poynting

~

S(t) = ~E(t) × ~H(t)Poynting El módulo |~S(t)|indica la can-tidad de potencia que lleva el campo, mientras que la direc-ción nos dice hacia donde va esa potencia (propagación de la

energía).

∇· ~S= −~H·∂~B

∂t − ~E·~Jv− ~E· ∂ ~D

∂t

Corrientes de excitación y de conducción

➳ En un sistema pueden existir corrientes que son fuentes de campo (estas corrientes son producidas por ungenerador) para generar energía

electromagnética. Se llamancorrientes impresas o de excitación(~Jex).

➳ Asimismo, pueden existircorrientes de conducción

(circulan por una resistencia y provocan que la energía se transforme en calor) o deconvección.

~

Jv= ~Jex+ σ~E ~

E· ~Jv= ~E· ~Jex+ σ(~E· ~E) = −Sp+Sq ➳ El término~E· ~Jexrepresenta la densidad de potencia

que se convierte enenergía electromagnética. ➳ σ(~E· ~E)es la densidad de potencia electromagnética

que se convierte encalor disipadoo enotras formas

de energía(energía necesaria para acelerar cargas en

(26)

Vector de Poynting

Términos de energía almacenada

∇ · ~S+ ~H·∂~Bt + ~E·

∂ ~D

t =SpSq

Desarrollando el término del campo magnético~B= µ~H:

∂ ∂t(~H· ~B) = µ ∂ ∂t(~H· ~H) = µ ∂ ~Ht · ~H+ µ~H· ∂ ~Ht =2µ~H· ∂ ~Ht =2H~· ∂~Bt

De forma que y también para el campo eléctrico: ~ H·∂~Bt = ∂ ∂t ~H· ~B 2 ! ; E~·∂ ~Dt = ∂ ∂t ~E· ~D 2 !

➥ Ladensidad de energía almacenada por el campo eléctricoes:

Wde= ~

E· ~D

2

➥ Ladensidad de energía almacenada por el campo magnéticoes:

Wdm= ~

H· ~B

2

(27)

Vector de Poynting

Balance de potencias

∇ · ~S+∂Wdet + ∂Wdmt =SpSq ; ∇ · ~S+ ∂ ∂t(Wde+Wdm) =SpSq Integrando en un volumen para hallar la potencia total:

Z V ∇ · ~S dV+ ∂ ∂t Z V (Wde+Wdm)dV = Z V (SpSq)dV

Aplicando el teorema de Gauss: Z S ~ S·d~S+ ∂ ∂t Z V (Wde+Wdm)dV = Z V (SpSq)dV R

S~S·dS~ . Es elflujo de potencia que atraviesa la región Va través de su superficie S.

R

V(Wde+Wdm)dV . Es laenergía almacenada total del campo eléctrico y magnético. El término∂/∂t representa la variación de esta energía con el tiempoy da la potencia almacenada por el campo eléctrico y magnético. R

V(SpSq)dV . Es la densidad de potencia. Representa elbalance de potencia total entre laenergía eléctrica que se genera y la que se pierde en forma de calor.

(28)

Vector de Poynting

Ley de conservación de la energía

Z

V

Sp

dV

=

Z

V

Sq

dV

+

t

Z

V

(

W

de

+

W

dm

)

dV

+

Z

S

~

S

·

d

~

S

R

V

S

p

dV

.

Potencia electromagnética que generamos con

corrientes externas

( por ejemplo, tubo de microondas

alimentado con corriente continua)

R

V

S

q

dV

.

Potencia disipada

transformada en calor o en otro tipo

de energía.

∂ ∂t

R

V

(W

de

+

W

dm

)

dV

.

Potencia que almacenan los campos

eléctricos y magnéticos.

R

S

~

S

·

d

~

S

.

Potencia que atraviesa la superficie

(sale por las

paredes).

(29)

Vector de Poynting

Figura:Horno Microondas

Interesa que la

potencia que

salga al exterior sea pequeña

R

S

~

S

·

d

~

S

0 y que la

disipada

sea máxima

R

V

S

q

dV

↑↑

.

Figura:Antena

Interesa que la

potencia que

salga al exterior sea grande

R

S

~

S

·

d

~

S

↑↑

y que la

disipada

sea mínima

R

(30)

Ejemplo de aplicación de la ley de conservación de la

energía

Circuito bajo estudio

Tomamos una resistencia y la conectamos a un gen-erador. a I l ˆ z σ

Figura:Resistencia conectada a un generador En elcaso magnetostáticose permite que ∂ρ/∂t para tener I constantes y así aplicar el teorema de Poynting.

Suponemos corrientes constantes I y Consideramos variaciones pequeñas de tiempo (∂

t →0) para usar la situación de

magnetostática.

Análisis del circuito

Ladensidad volumétrica de cor-rienteque circula por la superfi-cie será:

~J= I

πa2eˆz (A/m 2

)

Elcampo eléctricose calcula fá-cilmente a partir de la relación ~J= σ~E :

~

E= I

(31)

Aplicación de la ley de conservación de la energía

Análisis del circuito

El campo magnético se halla mediante laley de Ampere.

a ρ

ˆ z Figura: Campo magnético en el interior aplicando la ley de Ampere

I ~

H· d~l=Ienc

La corriente que atraviesa la superficie definida por el círculo es:

Ienc=

I

πa2πρ 2

(A)

Obtención del campo magnético

Además~A=Azeˆz y por tanto~B= ∇ × ~A,

por lo queH~ = Hϕ(ρ)ˆeϕ. Elcampo mag-nético es constante en la integración:

Ienc=Hϕ2πρ ; I πa2πρ 2 =Hϕ2πρ Hϕ= Iρ 2πa2 ; H~ = Iρ 2πa2eˆϕ Calculamos ahora elvector de Poynting ~ S= ~E× ~H= I σπa2(ˆez× ˆeϕ) Iρ 2πa2 ~ S= I 2ρ σ2(πa2)2(ˆez× ˆeϕ) = I2ρ σ2(πa2)2(−ˆeρ) El módulo da la densidad de potencia que entra a la resistencia y la dirección por dónde entra.

(32)

Aplicación de la ley de conservación de la energía

Interpretación vector de Poynting

Figura:Potencia radial en la resistencia

➥ La potencia no sigue el mismo camino que la corriente.

➥ Lapotencia entra de forma radiala la resistencia.

➥ La corriente crea los campos E y~ ~

Hnecesarios para que exista trans-porte de potencia.

Aplicación teorema de Poynting

∇ · (~E× ~H) = −~H·∂~B

t − ~E· ~J− ~E·

∂ ~D

t Si∂/∂t→0 tenemos∇·(~E× ~H) = −~E·~J. Integramos en un volumen que encierra la resistencia:

S V V0

Figura:Volumen que encierra a la resistencia

(33)

Aplicación de la ley de conservación de la energía

Teorema de Poynting

Z V ∇ · (~E× ~H)dV = − Z V ~ E· ~J dV

Aplicando el teorema de la divergencia (Gauss): Z S (~E× ~H) ·d~S= − Z V0 ~ E· ~J dV

EL primer término es la potencia que entra en la región. En el segundo término

~J sólo existe dentro de la resistencia.

Tenemos unintercambio de energía electromagnética en energía calorífica.

Z V0 ~ E· ~J dV= I σπa2 I πaa 2 L= I 2 σπa2L

Energía disipada

La resistencia de un hilo cilíndrico

es:

R

=

1

σ

L

π

a

2

La potencia que entra se disipa en

la resistencia es:

Z

V0

~

E

· ~

J dV

=

R I

2

Existe una

conversión de energía

electromagnética en calor

disipa-do en una resistencia

.

(34)

Materiales con campos que cambian con el tiempo

Características

En losconductores existen cargas libresque circulan si aplicamos un campo eléctrico.

Undieléctrico no tiene cargas librespor lo que la conductividad es ceroσ →0. Loscargas positivas (protones) y negativas (electrones) están ligadas entre sí

por fuerzas moleculares. Los electrones orbitan alrededor de los protones fuertemente ligados por fuerzas moleculares y no pueden viajar libremente. Si aplicamos uncampo eléctricola carga negativa se ve sometida a una fuerza contraria a la positiva y ambas se separan una distancia d formándosedipolos eléctricos.

+

Figura: Cargas ligadas mediante fuerzas moleculares

+

d Ea

Figura: Dipolo Eléctrico (aumenta la permitividad del dieléctricoǫǫr)

(35)

Campo eléctrico en dieléctrico

Vector momento dipolar

~

P

Si no existen dipolos eléctricos en las moléculas se cumple:

~

D= ǫ0E~

Losdipolos producen uncampo eléctri-co adicional. Si el momento dipolar es ~

P(C/m2) (momento dipolar por unidad de volumen):

~

D= ǫ0E~+ ~P

~

P es el efecto de millones de dipolos que se forman en el interior del dieléc-trico. Para dieléctricos lineales se puede asumir que ~P es proporcional al campo total:

~

P= ǫ0χeE~ χees lasusceptibilidad eléctrica

Permitividad relativa

ǫ

r

La densidad de campo eléctrico

es:

~

D

= ǫ

0

~

E

+ ǫ

0

χ

e

E

~

= ǫ

0

E

~

(

1

+ χ

e

)

Si

D

~

= ǫ~

E :

ǫ

= ǫ

0

(

1

+ χ

e

)

ǫ

ǫ

0

=

1

+ χ

e

= ǫ

r

ǫ

r

es la

constante dieléctrica

relativa

.

~

D

= ǫ

0

ǫ

r

~

E

= ǫ~

E

(36)

Materiales magnéticos

Características

➳ En este caso también existenelectrones orbitando alrededor del núcleoatómico. ➳ El efecto más importante en un material magnético es lacorriente asociada al

movimiento del electrón.

➳ Loselementosque producen importantes corrientes a nivel atómico se denomi-nanmagnéticos.

➳ Salvo los materiales magnéticos permantes todos estosdipolos magnéticos es-tan desordenadosde forma que losefectos magnéticos se cancelan.

➳ Al aplicar uncampo magnético los dipolos magnéticos se ordenan.

+

Figura: Electrones orbitando alrededor del núcleo atómico

+

Ii

Figura: Lazo de corriente en una molécula

Ii

ˆ

en

Figura: Esquema eléctrico del lazo

(37)

Susceptibilidad magnética y momento dipolar

magnético

Aumenta campo magnético

➳ Los dipolos magnéticos al or-denarse producen un campo mag-nético adicional.

➳ La magnetización o el momento dipolar magnética se expresa como

~

M = χmH, siendo~ χm la susceptibil-idad magnética.

➳ En los materiales lineales la mag-netización es proporcional al campo magnético.

➳ Con sólo corrientes reales el flu-jo magnético se calcula como ~B = µ0~H. Con los la infinidad de lazos de corriente se produce el campo mag-nético adicional.

Permeabilidad relativa

µ

r

~

B= µ0(~H+ ~M) = µ0(1+ χm)~H

Tenemos queµ = µ0(1+ χm)con lo que ~ B= µ~H. µ = µ0(1+ χm) µ µ0 = (1+ χm) = µr

µr es lapermabilidad relativa del medio. ~

B= µ0µrH~

(38)

Efecto de campos cambiantes con el tiempo

Variación temporal del campo eléctrico

✔ Si el campo varía con el tiempo, los electrones tratan de seguir al campo, pero estaspartículas tienen inerciay si elcampo varía muy rápidamentelas particulas

no pueden seguir instantáneamente al campo.

✔ El flujo de campoD depende de instantes anteriores con respecto del material o~

medio. ~ D(x,y,z,t) = Z t −∞ ǫ(x,y,z,t− τ )~E(x,y,z, τ )dτ

✔ Se puedeinterpretar como un sistema linealen el que introducimos una intensi-dad de campo eléctricoE y vemos la densidad de flujo que aparece en el dieléc-~ trico.

~

D(x,y,z,t) = ǫ(x,y,z,t) ∗ ~E(x,y,z,t) ✔ Se trata de unaconvolución en el tiempo.

✔ Parasimplificar el análisis podemos tomar transformadas de Fouriery estudiar el problema en el dominio de la frecuencia.

~

(39)

Efecto de campos cambiantes con el tiempo

Pérdidas en el dieléctrico

➳ Al tratarse de una transformada de Fourierǫ(x,y,z, ω)es ahora un complejo.

ǫ(x,y,z, ω) = ǫ′

(x,y,z, ω) −jǫ′′

(x,y,z, ω)

➳ ǫes laconstante dieléctrica complejaque en general depende de la frecuencia.

µω,mmω Infrarrojo Visible ω ǫ′

ǫ′′

Figura: Pérdidas en función de la frecuencia ➳ Vemos que siǫ′

es constanteǫ′′ =0. ➳ ǫ′′

(40)

Efecto de campos cambiantes con el tiempo

Tangente de pérdidas dieléctrica

➥ Definiremos latangente de pérdidas(tanδe= ǫ ′′ ǫ′). ǫ = ǫ′ −jǫ′′ = ǫ′  1−jǫ ′′ ǫ′  = ǫ′ (1−j tanδe)

➥ δes lafase de la constante dieléctrica compleja. ➥ Sino hay pérdidasentoncesǫ′′

=0 y tanδ =0,δ =0. ➥ También se define la constante dieléctrica relativa:

ǫ′ = ǫ0ǫr

ǫ0→ Permitividad del vacío.

ǫr→ Constante dieléctrica relativa.

(41)

Efecto de campos cambiantes con el tiempo

Tangente de

pérdi-das magnética tan

δ

m

Con la permeabilidad sucede algo similar que con la permitividad. µ = µ0µr(1−j tanδm) µ′ = µ0µr y además tanδm= µ ′′ µ′ (fase de la permeabilidad compleja)

Ecuaciones de Maxwell en el dominio de la

fre-cuencia (

t

→ ω

)

∇ × ~E= −jω~B ∇ × ~H= ~J+jω~D ~ B= µ~H ~ D= ǫ~E

✔ ~E ,~D,B,~ H y~ ~J sonvectores complejos.

✔ µyǫson complejaspor ser la Transformada de Fouri-er deǫyµen el tiempo.

Se añade además laecuación de continuidad. ∇ · ~J+jωρ =0 Ecuación de continuidad

(42)

Efecto de campos cambiantes con el tiempo

Efecto de las corrientes

Suponemos que existen corrientes externas~Jextque crean el campo

eléctrico y magnético. Además existen corrientes de conducción (también pueden existir de convección).

~J= ~Jext+ σ~E

Sustituyendo en la ley de Ampere: ∇ × ~H=jωǫ~E+ ~Jext+ σ~E

Sacando factor común: ∇ × ~H=jω~E  ǫ + σ jω  + ~Jext

Constante dieléctrica total

✔ Se define laconstante dieléctrica total

ǫT como:

ǫT = ǫ −j σ ω ✔ Si el dieléctrico es con pérdidas:

ǫT = ǫ ′ −jǫ′′ −jσ ω ǫT = ǫ ′ −jǫ′′ +σ ω 

✔ La tangente de pérdidas queda:

tanδeq= ǫ′′

+σ ω ǫ′

(43)

Efecto de campos cambiantes con el tiempo

Ley de Ampere modificada

Podemos escribir teniendo en cuenta lo anterior la ley de Ampere

como sigue:

∇ × ~

H

= ~

Jext

+

j

ωǫ

T

E

~

En

ǫ

T

están todos los efectos de pérdidas en el dieléctrico y en

los conductores.

La

~

J

ext

ahora son las

fuentes que generan los campos

electromagnéticos

.

Los demás fenómenos están incluidos en la constante compleja

ǫ

T

.

A veces se utiliza

~

J

ext

= ~

J como las verdaderas fuentes, y

los

demás efectos están dentro de

ǫ

T

(corriente de desplazamiento,

(44)

Teorema de Poynting en el dominio frecuencial

Planteamiento

Partimos de las leyes de Faraday y de Ampere.

∇ × ~E= −jωµ~H

∇ × ~H=jωǫ~E+ ~Jext+ σ~E

Tomando el conjugado en la ley de Ampere. ∇ × ~H∗ = −jωǫ∗~ E∗ + ~Jext+ σ~E

Haciendo el producto escalar de la ley de Faraday porH~∗y de la ley de Ampere conjugada porE :~

~ H∗ · (∇ × ~E) = −jωµ (~H· ~H∗ ) ~ E· (∇ × ~H∗ ) = −jωǫ∗ (~E· ~E∗ ) + ~Jext· ~E+ σ (~E· ~E ∗ )

Teorema de Poynting en el

dominio frecuencial

∇ · (~E× ~H∗ ) = ~H∗ (∇ × ~E) − ~E· (∇ × ~H∗ )

Sustituyendo las relaciones previas se tiene: ∇ · (~E× ~H∗ ) = −jωµ(~H· ~H∗ ) +jωǫ∗~ E· ~E∗ − ~Jext· ~E− σ(~E· ~E ∗ )

(45)

Índice de Contenidos

1

Introducción

2

Definición de campo eléctrico y magnético

3

Ecuaciones de Maxwell

Fuentes rotacionales y divergentes

Ley de Conservación de la carga

4

Sistemas de coordenadas y fuentes

Sistemas de coordenadas y operadores

Fuentes de carga y de corriente

5

Ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo

Teorema de Poynting

6

Materiales en presencia de campos variables

7

Teorema de Poynting en el dominio de la frecuencia

Campos electromagnéticos con variación sinusoidal

(46)

Campos con variación temporal armónica

Campos sinusoidales

Casomuy importanteen electromagnetismo y para el ingeniero de telecomunicaciones. Trabajamos condos componentesaunque en un caso general existiran tres compo-nentes.

~

A(t) =Axcos(ωt+ αxez+Aycos(ωt+ αyey ~

B(t) =Bxcos(ωt+ βxex+Bycos(ωt+ βyey

La amplitud de cada componente varía sinusoidalmente con una amplitud y fase

cualquiera usando exponenciales complejas. ~ A(t) =RenAxejαxejωt o ˆ ex+Re n Ayejαyejωt o ˆ ey

Definimos ahora elfasor vector complejo: ~ A=Axejαxeˆx+Ayejαyˆey ~ A(t) =RenAxejαxeˆx+Ayejαyˆey  ejωto ~ A(t) =Ren~A ejωto=Ren(~Ar+j~Ai)ejωt o

=Ren(~Arcosωt− ~Aisinωt) +j(~Arsinωt+ ~Aicosωt) o

~

(47)

Campos con variación temporal armónica

Campos sinusoidales

Hay que tener en cuenta las relacions z+z

=2z,~A(t) =Re[~Aejωt] =~Aejωt+~Aejωt

2 .~A se trata de unfasor complejo. Del mismo modo procedemos para el campo vectorial~B(t).

~ B(t) =RenBxejβxejωt o ˆ ex+Re n Byejβyejωt o ˆ ey ~ B(t) =RenBxejβxˆex+Byejβyˆey  ejωto y el vector fasor complejo toma la forma:

~ B=Bxejβxˆex+Byejβyˆey Luego: ~ B(t) =Ren~B ejωto=~Be jωt+ ~Bejωt 2 Vamos a calcular elproducto escalarde estos dos vectores:

s(t) = ~A(t) · ~B(t) =~Ae jωt+ ~Aejωt 2 · ~ Bejωt+ ~Bejωt 2 s(t) =1 4h~A· ~B ∗ + ~A∗ · ~B+ ~A· ~B ej2ωt+ ~A∗ · ~Bej2ωti

(48)

Campos con variación temporal armónica

Campos sinusoidales

Volvemos a tener ser la suma de un complejo y el conjugado: s(t) = 1 2Re{~A· ~B ∗ } +1 2Ren~A· ~B e j2ωto

Se tiene por una parte unvalor constante (valor medio)y por otra unaseñal de frecuencia doble. El velor medio vale:

Sm=

1

2Re{~A· ~B} Se puede definir la cantidad compleja:

S=1 2(~A· ~B

) =Sr+jSi

Laparte real es el valor medio. Si es unapotenciasabemos que laparte imaginaria está relacionada con la potencia reactiva. Del mismo modo puede demostrarse que

para señales sinusoidales: ~ S(t) = ~A(t) × ~B(t) ; ~Sm= 1 2Re{~A× ~B ∗ }

(49)

Campos con variación temporal armónica

Campos sinusoidales

En términos de los campos electromagnéticos: ~ S(t) = ~E(t) × ~H(t) ; ~Sm= 1 2Re{~E× ~H ∗ }

El término anterior corresponde a ladensidad de potencia transmitida por los campos

~ E yH~. ~ S(t) = ~E(t) × ~H(t) =1 2Re{~E× ~H ∗ } +1 2R{(~E× ~H)e j2ωt } t |~S(t)| Sm

Figura:Variación de la potenciaen función del tiempo con unafrecuencia doble que los campos.

(50)

Campos armónicos y vector de Poynting

Vector de Poynting

Vamos a definir ahora elvector de Poynting~S= 1 2(~E× ~H

).E y~ ~H son fasores, luego son vectores complejos. Se ve que~S es un vector complejo.

~

S= ~Sr+j~Si

Sr, parte real . Sumódulo da el valor mediode la densidad de potencia. Es la densidad

depotencia activa. Su dirección indica hacia donde viaja la potencia.

Si, parte imaginaria . Da la densidad depotencia reactiva.

Trabajando con fasores sabemos que el valor medio o parte real toma el valor: ~

Sr=1 2Re{~E× ~H

)

La expresión anterior da la densidad depotencia media o activa que están transportanto los campos.

~

J

S V

(51)

Campos armónicos y vector de Poynting

Teorema de Poynting

Como antes vamos aintegrar el teorema de Poynting en un volumen arbitrario. 1 2 Z V ∇ · (~E× ~H∗ )dV = −jωµ Z V 1 2~H· ~HdV+jωǫ∗ Z V 1 2~E· ~EdV −1 2 Z V ~Jext· ~E dV− σ Z V 1 2 ~ E· ~EdV

Para poder obtenervalores medios de potencia se ha multiplicado toda la ecuación anterior por 1/2. Aplicando el teorema de la divergencia, la primera integral puede reducirse a una integral de superficie.

1 2 Z S (~E× ~H∗ ) ·d~S= −jωµ Z V 1 2H~ · ~HdV +jωǫ∗ Z V 1 2E~ · ~EdV −1 2 Z V ~ Jext· ~E dV− σ Z V 1 2 ~ E· ~EdV Elprimer término es la potencia total que atraviesa la superficie S.

(52)

Campos armónicos y vector de Poynting

Teorema de Poynting

Lapotencia totalque atraviesa la superficie seráactiva y reactiva. Sé quela potencia activa es la potencia útilque puede usarse para ser consumida por misequipos. Luego tengo interés en hallar la potencia media o activa en la expresión anterior. Sé que la potencia media o activa es la parte real de la potencia compleja, luego:

1 2Re Z S (~E× ~H∗ ) · d~S  = −1 2Re Z V jωµ(~H· ~H∗ )dV  +1 2Re Z V jωǫ∗ (~E· ~E∗ )dV  −1 2Re Z V ~Jext· ~E dV  −1 2Re Z V σ(~E· ~E∗ )dV  Peroµ = µ′ −jµ′′ yǫ = ǫ′ −jǫ′′ ,ǫ∗ = ǫ′ +jǫ′′ . La parte realǫ′ , µ′

tiene que ver con la potencia reactiva que llevan los campos. Finalmente se obtiene,

1 2Re Z S (~E× ~H) · d~S  = −1 2 Z V ωµ′′ (~H· ~H∗ )dV−1 2 Z V ωǫ′′ (~E· ~E∗ )dV −1 2Re Z V ~Jext· ~E dV  −1 2 Z V σ(~E· ~E∗ )dV

(53)

Campos armónicos y vector de Poynting

Teorema de Poynting

Pm(ext)= − 1 2Re Z V ~Jext· ~E dV 

Valor medio de la potencia generada Pm(ext)= 1 2Re Z S (~E× ~H∗ )dS~+1 2 Z V [ωµ′′(~H· ~H∗ ) + ωǫ′′(~E· ~E∗ ) + σ(~E· ~E∗ )]dV 

El valor medio de lapotencia electromagnética que generoo biensale por las paredeso biense disipa en forma de calordebido a las pérdidas que pueden ser por ǫ′′, porµ′′o por conductividad finitaσ. Laintegral de superficiede la ecuación corresponde a lapotencia activa que atraviesa la superficie(sale por las paredes). Esta ecuación la podemos escribir como:

Pm(ext)= 1 2Re Z S (~E× ~H∗ ) · dS~+ω 2 Z V h µ′′(~H· ~H∗ ) + ǫ′′+σ ω(~E· ~E ∗ )idV  El términoǫ′′T =  ǫ′′+σ ω 

corresponde a lapotencia perdida debida aǫ′′y la conductividad finita. Por ejemplo, los pollos dentro del microondas tienenǫ′′yσ, y por tanto se calientan.

(54)

Principio de unicidad de solución

Planteamiento

Usando elteorema de Poyntingpodemos demostrar launicidad de solución de las ecua-ciones de Maxwell.Si encontramos una solucióna las ecuaciones de Maxwell,esa es la solución única. Consideremos un volumen que encierra las corrientes~J.

~

J S V

Figura:Volumen para la aplicación del teorema de Poynting El teorema de Poynting puede escribirse así:

∇ · (~E× ~H∗ ) = −jωµ ~H· ~H∗ +jωǫ∗ +jσ ω ~E· ~E ∗ − ~J∗ · ~E Dondeǫ = ǫ′−jǫ′′ yǫ∗

= ǫ′+jǫ′′. Por otro lado tenemosǫT = ǫ −jσω = ǫ ′ −jǫ′′+σ ω  y ǫ∗ T = ǫ ∗ +jσ ω= ǫ ′ +jǫ′′+σ ω  . La permitividadǫT = ǫ ′ Tjǫ ′′ T, dondeǫ ′ T = ǫ ′ yǫ′′T = ǫ ′′ +σ ω.

(55)

Principio de unicidad de solución

Desarrollo

~

J son las corrientes que producen los campos electromagnéticos, mientras que las demás corrientes de pérdidas están enǫT. Integrando en el volumen:

Z S (~E× ~H∗ ) · d~S= −jωµ Z V ~ H· ~HdV+jωǫT Z V ~ E· ~EdV− Z V ~ J~ E dV Para hallar la potencia media o activa multiplico por(1/2)y hallamos la parte real:

1 2Re ( Z ′ S (~E× ~H∗ ) ·dS~ ) = 1 2Re Z V jωµ(~H· ~H∗ )dV  +1 2Re Z V jωǫT(~E· ~E ∗ )dV  −1 2 Z V ~ J∗ · ~E dV 

El último término es lapotencia media generada por las corrientes(Pm(ext)). 1 2Re Z S (~E× ~H∗ )d~S  = −ω 2 Z V h µ′′(~H· ~H∗ ) + ǫ′′T(~E· ~E ∗ )idV+Pm(ext) Pm(ext)= 1 2Re Z S (~E× ~H∗ )d~S+ω 2 Z V h µ′′(~H· ~H∗ ) + ǫ′′T(~E· ~E ∗ )idV 

(56)

Principio de unicidad de solución

Desarrollo

Suponemos que existendos campos distintos que son soluciónen mi recinto(~E1, ~H1)y

(~E2, ~H2). Entonces van a satisfacer las ecuaciones de Maxwell:

∇ × ~E1= −jωµ~H1

∇ × ~H1= ~J+jωǫTE~1

∇ × ~E2= −jωµ~H2

∇ × ~H2= ~J+jωǫTE~2 Restamos ambas ecuaciones:

∇ × (~E1− ~E2) = −jωµ(~H1− ~H2)

∇ × (~H1− ~H2) =jωǫT(~E1− ~E2) Vemos que elcampo totales:

~

ET= ~E1− ~E2

~

HT= ~H1− ~H2

También es solución de las ecuaciones de Maxwell, aunque ahora no son producidas por ninguna corriente exterior.

∇ × ~ET= −jωµ~HT ∇ × ~HT=jωǫT~ET

(57)

Principio de unicidad de solución

Desarrollo

Al no existir ninguna corriente que genere los campos se cumple: Pm(ext)=0. Por tanto, 1 2Re Z S (~ET× ~HT) ·d~S  = −ω 2 Z V h µ′′(~H· ~HT) + ǫ ′′ T(~ET· ~ET) i dV d~S= ˆendS S V

Figura: Vector normal a la superficie que encierra el volumen (ˆen) Pero, por la conocida propiedad del producto mixto y atendiendo a la figura:

1 2 Z S (~ET× ~HT) ˆendS= 1 2 Z S (~en× ~ET) · ~HTdS= 1 2 Z S (~HT× ˆen) · ~ETdS Conocemos lascomponentes tangenciales de los campos en la superficieS.

ˆ en× ~E1 S= A Condición de contorno

(58)

Principio de unicidad de solución

Desarrollo

SiE~2es solución válidaen la superficie S

debesatisfacer la misma condición de

contorno: ˆ en× ~E2 S=A ˆ en× (~E1− ~E2) S=0 ˆ en× ~ET S=0

Vemos comose anulan las componentes

tangenciales del campo eléctrico total.

Por tanto, Z Sen× ~E) · ~HdS=0

Desarrollo

Si conocemos las componentes tangen-ciales del campo magnético, entonces:

ˆ en× ~HT S=0 Z S (~H∗ × ˆen) · ~ETdS=0 En cualguier casola integral es ceroy en-tonces: Z V h µ′′(~HT· ~HT) + ǫ ′′ T(~ET· ~ET) i dV =0 Siµ′′ >0,ǫ′′T >0, además(~HT· ~HT) >0 y(~ET· ~E

T) >0, entonces la integral sólo puede ser cero si~ET =0 yH~T =0, luego ~

E1= ~E2yH~1= ~H2.

Si conocemos las componentes tangenciales del campo eléctrico o magnéticoen una

superficie entonces las ecuaciones de Maxwell tienenuna sóla solución. Podemos estar seguros que si encontramos una solución es la única y la buena.

Figure

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