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e v = a 1 b a n b n.

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Academic year: 2021

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(1)Geometr´ıa Eucl´ıdea En lo que sigue vamos a estudiar el espacio eucl´ıdeo Rn , es decir, el espacio vectorial Rn dotado de su “ producto escalar ” usual, del cual se derivar´an todas las dem´as nociones: distancia, ´angulo, ´area, volumen , . . . . En la ense˜ nanza secundaria es habitual introducir previamente las nociones de “ ´angulo formado por dos semirectas ” y de sus razones trigonom´etricas, y despu´es utilizarlas para definir (primero en R2 y luego en R3 ) el producto escalar de dos vectores. Aqu´ı utilizaremos un camino distinto: definiremos el producto escalar sin utilizar la noci´on de ´angulo, y despu´es veremos que el ´angulo formado por dos vectores es una propiedad de esos dos vectores que se obtiene del producto escalar.. 1.. Producto escalar: m´ odulo de un vector. Definici´ on 1.1 Dados vectores e = (a1 , . . . , an ) y v = (b1 , . . . , bn ) en Rn , se define el producto escalar de e por v como el escalar e · v dado por la igualdad e · v = a1 b1 + · · · + an bn . Propiedades 1.2 El producto escalar de Rn tiene las siguientes propiedades (cuyas demostraciones se siguen f´acilmente de la definici´on): (a) Es bilineal (lineal en cada uno de sus dos argumentos): para cualesquiera vectores e, u, v ∈ Rn y cualesquiera escalares λ, µ ∈ R se cumplen (λe + µu) · v = λ(e · v) + µ(u · v). (linealidad en el primer argumento) ,. e · (λu + µv) = λ(e · u) + µ(e · v). (linealidad en el segundo argumento) .. (b) Es sim´etrico : para cualesquiera vectores e, v ∈ Rn se cumple e · v = v · e. (c) Es definido positivo : para todo vector e ∈ Rn tenemos e · e ≥ 0, siendo e · e = 0 si y solamente si e = 0. 1.3 (M´ odulo de un vector) En la recta real R un vector es lo mismo que un escalar, y la distancia de un vector λ ∈ R al origen de R es el “ valor absoluto ” de λ, es√decir, la ra´ız cuadrada no negativa del producto escalar de λ consigo mismo: d(0, λ) = |λ| = λ · λ . Sea ahora e = (a, b) un vector en el plano R2 . Aplicando la geometr´ıa elemental plana (para la cual los ejes coordenados son “ perpendiculares ” y en la que se cumple el teorema de. 1.

(2) 2. (0, b). 6.  *. r e = (a, b).  d |b|    |a| r -. (a, 0) Figura 1 Pit´agoras), de una r´apida inspecci´on de la Figura 1 se deduce f´acilmente que la distancia del origen de R2 al punto de R2 que el vector e define es el n´ umero real no negativo √ √ √ d = |a|2 + |b|2 = a2 + b2 = e · e . De nuevo, la distancia del origen a un vector (esto es, al punto que determina ese vector) es igual a la ra´ız cuadrada no negativa del producto escalar de dicho vector consigo mismo. En general, dado un vector e = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn , al ser e · e ≥ 0 se tiene que existe un u ´nico n´ umero real no negativo ∥e∥ tal que e · e = ∥e∥2 . Claramente, la expresi´on del escalar ∥e∥ en coordenadas es √ ∥e∥ = a21 + · · · + a2n . Dicho n´ umero real ∥e∥ se denomina m´odulo (´o norma) del vector e. El que el producto escalar sea definido positivo significa que se cumple ∥e∥ = 0. ⇐⇒. e = 0.. El escalar ∥e∥ representa la “ distancia ” del origen de Rn al punto e. Definiciones 1.4 Un vector e de Rn se dice que es unitario si su m´odulo es igual a 1. Dos vectores e, v ∈ Rn se dice que son ortogonales cuando e · v = 0. Es claro que el vector nulo es ortogonal a cualquier otro vector. Una base {e1 , . . . , en } de Rn se dice que es ortogonal si sus vectores son ortogonales dos a dos, esto es, si para cualesquiera ´ındices i, j ∈ {1, . . . , n} con i ̸= j se cumple ei · ej = 0. Una base ortonormal es una base ortogonal formada por vectores unitarios. Ejemplos 1.5 (a) Dados en Rn los vectores u1 = (1, 0, . . . , 0), u2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , un = (0, . . . , 0, 1), la familia {u1 , . . . , un } se conoce como “ base usual ” de Rn . Es inmediato comprobar que la base usual de Rn es ortonormal. (b) En R3 , la base formada por los vectores e1 = (1, 2, 0), e2 = (0, 0, −2) y e3 = (2, −1, 0) es ortogonal pero no es ortonormal. Vamos a dedicar el resto de esta secci´on a exponer y demostrar las propiedades fundamentales del producto escalar y del m´odulo. Hemos definido el m´odulo de los vectores a partir del producto escalar, y la primera propiedad que veremos nos dice c´omo expresar el producto escalar en t´erminos de m´odulos de vectores..

(3) 1. Producto escalar: m´odulo de un vector. 3. Lema 1.6 Para cualesquiera vectores e, v ∈ Rn se cumple ] 1[ e · v = ∥e + v∥2 − ∥e∥2 − ∥v∥2 . 2 Demostraci´ on. Por las propiedades del producto escalar tenemos ∥e + v∥2 = (e + v) · (e + v) = e · e + e · v + v · e + v · v = ∥e∥2 + 2(e · v) + ∥v∥2 , y basta despejar para terminar la demostraci´on. La demostraci´on de la siguiente propiedad es muy sencilla y no la haremos. Lema 1.7 Para todo vector e ∈ Rn y todo escalar λ ∈ R se cumple ∥λe∥ = |λ| ∥e∥ . 1.8 Sea e ∈ Rn un vector no nulo. Entonces ∥e∥ > 0 y por lo tanto podemos definir el vector 1 odulo es igual a 1: ∥e∥ e cuyo m´. 1 1. ∥e∥ e = ∥e∥ ∥e∥ = 1 . 1 Se dice que ∥e∥ e es la “ normalizaci´on ” del vector no nulo e. Si normalizamos todos los vectores de una base ortogonal, entonces es claro que obtenemos 3 una base ortonormal. Por √ {e1 , e2 , e3 } de R que aparece en el ejemplo √ ejemplo, para la base 1.5 (b) tenemos ∥e1 ∥ = 5, ∥e2 ∥ = 2 y ∥e3 ∥ = 5; por lo tanto los vectores ( ) ( ) v1 = √15 e1 = √15 , √25 , 0 , v2 = 12 e2 = (0, 0, −1) , v3 = √15 e3 = √25 , − √15 , 0 ,. son tales que {v1 , v2 , v3 } es base ortonormal de R3 . Definici´ on 1.9 De la relaci´on de ortogonalidad entre los vectores se obtiene la relaci´on de perpendicularidad entre las rectas: Dadas rectas r, s en Rn y vectores no nulos e, v ∈ Rn , tales que ⟨e⟩ es la direcci´on de r y ⟨v⟩ es la direcci´on de s, se dir´a que las rectas r y s son perpendiculares cuando los vectores e y v sean ortogonales. 1.10 En principio no es evidente que, en el plano, la definici´on dada coincida con nuestra noci´on geom´etrica-intuitiva de perpendicularidad. M´as adelante comprobaremos dicha coincidencia. Seguidamente demostraremos, de manera tremendamente sencilla, que para la noci´on de perpendicularidad que hemos dado es v´alido el “ teorema de Pit´agoras ”. Dado un tri´angulo ABC, podemos considerar sus lados como tres vectores de la forma e, v −−→ −−→ y e + v; basta tomar, por ejemplo, e = AB y v = BC, en cuyo caso (v´ease la Figura 2) −−→ −−→ −→ e + v = AB + BC = (B − A) + (C − B) = C − A = AC . En esta situaci´on, la “ longitud ” de un lado es el m´odulo del vector correspondiente a ese lado, y dos lados ser´an perpendiculares si los correspondientes vectores son ortogonales. En el ejemplo de la Figura 3, donde e y v son ortogonales, el mencionado teorema afirmar´a que el cuadrado del n´ umero real ∥e + v∥ es igual a la suma de los cuadrados de los n´ umeros reales ∥e∥ y ∥v∥..

(4) 4.  1r C. r *6   e + v v   r -r.  e +v. .  v . r AX XXX. eXXX z. r. e. B. Figura 2. Figura 3. Lema 1.11 (Teorema de Pit´ agoras) Para cualesquiera vectores e, v ∈ Rn se cumple ∥e + v∥2 = ∥e∥2 + ∥v∥2. ⇐⇒. e · v = 0.. Demostraci´ on. Basta tener en cuenta la igualdad ∥e + v∥2 = ∥e∥2 + ∥v∥2 + 2(e · v) que ya se utiliz´o en la demostraci´on del lema 1.6. 1.12 (Proyecci´ on ortogonal) Hagamos un alto en el repaso de las propiedades del producto escalar y del m´odulo para introducir una noci´on que nos ser´a muy u ´til. Fijemos en Rn un vector e ̸= 0. Se llama proyecci´on ortogonal de un vector v ∈ Rn sobre e, al vector u del subespacio vectorial generado por e que cumple que v − u es ortogonal a e (v´ease la Figura 4).  1 v  XX    XXX  v−u  XX  r X X ⟨e⟩ XX  X zX  X e u XX XX z XX. X X. Figura 4 Calculemos dicha proyecci´on ortogonal. Ser´a u = λe tal que 0 = (v − u) · e = (v − λe) · e = v · e − λ(e · e) y por lo tanto u=. ⇒. λ=. v·e , e·e. v·e e. ∥e∥2. Ejercicio 1.13 Sean e, v ∈ Rn tales que e ̸= 0. Pru´ebense las siguientes propiedades: (a) El vector v es ortogonal a e si y s´olo si la proyecci´on ortogonal de v sobre e es cero. (b) El vector v es proporcional a e si y s´olo si la proyecci´on ortogonal de v sobre e es el propio v. Ejercicio 1.14 Si B = {e1 , . . . , en } es una base ortogonal de Rn , entonces todo vector es suma de sus proyecciones ortogonales sobre los vectores de B : dado v ∈ Rn tenemos v · en v · e1 e1 + · · · + en , v= 2 ∥e1 ∥ ∥en ∥2.

(5) 1. Producto escalar: m´odulo de un vector. 5. es decir, las coordenadas de v en la base B son ( ) v · e1 v · en ,..., . ∥e1 ∥2 ∥en ∥2 Como consecuencia, si la base B es ortonormal, entonces las coordenadas de v en ella son (v · e1 , . . . , v · en ). Lema 1.15 (Desigualdad de Schwarz) Para cualesquiera vectores e, v ∈ Rn se cumple |e · v| ≤ ∥e∥ ∥v∥ , y se da la igualdad si y s´olo si e y v son linealmente dependientes. Demostraci´ on. Cuando e = 0 el enunciado es trivialmente cierto, as´ı que supongamos que es e ̸= 0 y consideremos la proyecci´on ortogonal u del vector v sobre e: u=. e·v e. ∥e∥2. Por una parte, como los vectores v − u y u son ortogonales, aplicando el teorema de Pit´agoras obtenemos ∥v∥2 = ∥(v − u) + u∥2 = ∥(v − u)∥2 + ∥u∥2 Por otra parte tenemos ∥u∥2 = Por lo tanto. |e · v|2 ≤ ∥v∥2 ∥e∥2. ⇒. ⇒. ∥u∥2 ≤ ∥v∥2 .. (e · v)2 |e · v|2 2 ∥e∥ = . ∥e∥4 ∥e∥2 |e · v|2 ≤ ∥e∥2 ∥v∥2 = (∥e∥ ∥v∥)2 ,. y tomando ra´ıces cuadradas positivas concluimos que |e · v| ≤ ∥e∥ ∥v∥. Ahora, si e y v son proporcionales, como estamos suponiendo que e es no nulo debe existir λ ∈ R tal que v = λe, y se cumple |e · v| = |e · (λe)| = |λ(e · e)| = |λ| ∥e∥2 = ∥e∥ |λ| ∥e∥ = ∥e∥ ∥λe∥ = ∥e∥ ∥v∥ . Rec´ıprocamente, si se da la igualdad |e · v| = ∥e∥ ∥v∥ tenemos ∥u∥2 =. |e · v|2 ∥e∥2 ∥v∥2 = = ∥v∥2 , ∥e∥2 ∥e∥2. y de la relaci´on ∥v∥2 = ∥(v − u)∥2 + ∥u∥2 se sigue que debe ser ∥(v − u)∥2 = 0, es decir, u = v. Aplicando (b) del ejercicio 1.13 concluimos que el vector v debe ser proporcional a e. Lema 1.16 (Desigualdad triangular ´ o desigualdad de Minkowsky) Para cualesquiera vectores e, v ∈ Rn se cumple ∥e + v∥ ≤ ∥e∥ + ∥v∥ ..

(6) 6. Demostraci´ on. Aplicando la desigualdad de Schwarz (lema 1.15) a la igualdad ∥e + v∥2 = 2 ∥e∥ + 2(e · v) + ∥v∥2 tenemos ∥e + v∥2 ≤ ∥e∥2 + 2|e · v| + ∥v∥2 ≤ ∥e∥2 + 2∥e∥ ∥v∥ + ∥v∥2 = (∥e∥ + ∥v∥)2 , y tomando ra´ıces cuadradas positivas obtenemos ∥e + v∥ ≤ ∥e∥ + ∥v∥. Lema 1.17 (Ley del paralelogramo) Para cualesquiera vectores e, v ∈ Rn se cumple ( ) ∥e + v∥2 + ∥e − v∥2 = 2 ∥e∥2 + ∥v∥2 . Demostraci´ on. Basta sumar las igualdades ∥e + v∥2 = (e + v) · (e + v) = ∥e∥2 + 2(e · v) + ∥v∥2 , ∥e − v∥2 = (e − v) · (e − v) = ∥e∥2 − 2(e · v) + ∥v∥2 , para obtener el enunciado. Observaciones 1.18 (a) La desigualdad triangular probada en el lema 1.16 afirma que la suma de las longitudes de dos de los lados de un tri´angulo es mayor o igual que la longitud del tercer lado (v´ease la Figura 2 en la p´agina 4). Es decir, “ de entre todos los caminos poligonales posibles entre dos puntos, el m´as corto es la l´ınea recta ”. (b) La ley del paralelogramo (lema 1.17) establece la relaci´on que hay entre las longitudes de los lados de un paralelogramo y las longitudes de sus dos diagonales. (H´agase el correspondiente dibujo.) Ejercicio 1.19 (Perpendicular com´ un) Dadas en Rn dos rectas r y s que se cruzan, existe una u ´nica recta de Rn que las corta y es perpendicular a ambas.. 2.. Subespacios ortogonales: perpendicularidad, ecuaciones. En el siguiente ejercicio se pide probar una propiedad muy u ´til cuya demostraci´on es sencilla. La utilizaremos despu´es para describir un m´etodo para obtener bases ortonormales. Ejercicio 2.1 Si v1 , . . . , vr son vectores de Rn no nulos y ortogonales dos a dos, entonces {v1 , . . . , vr } es una familia libre. 2.2 (M´ etodo de ortonormalizaci´ on de Gram-Schmidt) Dados vectores linealmente independientes e y v, si u es la proyecci´on ortogonal de v sobre e, entonces es f´acil ver que {e, v −u} es una base ortogonal del subespacio ⟨e, v⟩ generado por los vectores dados (util´ıcense los ejercicios 1.13 y 2.1). El m´etodo que veremos a continuaci´on consiste en generalizar a dimensi´on arbitraria lo que acabamos de decir en dimensi´on dos. Sea V un subespacio vectorial de Rn del que conocemos una base {e1 , . . . , em }, m = dim V . Denotemos v1 = e1 y definamos v2 = e2 + λv1 , donde λ se determinar´a de modo que v1 y v2 sean ortogonales: 0 = v1 · v2 = v1 · (e2 + λv1 ) = v1 · e2 + λ∥v1 ∥2. ⇒. λ=−. e2 · v 1 ∥v1 ∥2.

(7) 2. Subespacios ortogonales: perpendicularidad, ecuaciones. y por lo tanto v2 = e2 −. 7. e2 · v 1 v1 . ∥v1 ∥2. N´otese que v2 ̸= 0 porque al expresar v2 en la base {e1 , . . . , em } de V la coordenada correspondiente al vector e2 es igual a 1. El paso siguiente consiste en calcular v3 = e3 + λ1 v1 + λ2 v2 con las condiciones v3 · v1 = 0 y v3 · v2 = 0: 0 = v3 · v1 = e3 · v1 + λ1 ∥v1 ∥2 + λ2 (v2 · v1 ) = e3 · v1 + λ1 ∥v1 ∥2 , 0 = v3 · v2 = e3 · v1 + λ1 (v1 · v2 ) + λ2 ∥v2 ∥2 = e3 · v2 + λ2 ∥v2 ∥2 ; despejando en las anteriores igualdades obtenemos λ1 = −(e3 ·v1 )/∥v1 ∥2 y λ2 = −(e3 ·v2 )/∥v2 ∥2 , y por lo tanto e3 · v 1 e3 · v 2 v 3 = e3 − v1 − v2 . 2 ∥v1 ∥ ∥v2 ∥2 N´otese que v3 ̸= 0 porque al expresar v3 en la base de partida la coordenada correspondiente al vector e3 es igual a 1. Reiterando el proceso anterior obtenemos la familia de vectores {v1 , . . . , vm } dada por las f´ormulas v 1 = e1 , v i = ei −. i−1 ∑ ei · vk vk , ∥vk ∥2. i = 2, . . . , m .. k=1. Por construcci´on los vectores de dicha familia son no nulos y ortogonales dos a dos, de modo que del ejercicio 2.1 se sigue que {v1 , . . . , vm } es una familia libre V . Como dim V = m concluimos que {v1 , . . . , vm } es una base ortogonal de V . { } Por u ´ltimo, normalizando los vectores calculados obtenemos que v1 /∥v1 ∥, . . . , vm /∥vm ∥ es una base ortonormal de V . Ejercicio 2.3 Consid´erese en R3 la base formada por los vectores e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 0, 1) y e3 = (0, 1, 1). Obt´engase aplicando el m´etodo de Gram-Schmidt otra base de R3 que sea ortonormal. 2.4 Como consecuencia inmediata del m´etodo de ortonormalizaci´on de Gram-Schmidt se sigue que para todo subespacio vectorial (no nulo) V de Rn existen bases ortonormales. Definici´ on 2.5 Dado un subespacio vectorial V de Rn , el ortogonal de V es el conjunto V ⊥ de los vectores de Rn que son ortogonales a todos los vectores de V , V ⊥ := {e ∈ Rn : e · v = 0 para todo v ∈ V } . Es f´acil comprobar que V ⊥ es tambi´en un subespacio vectorial de Rn ..

(8) 8. Ejercicio 2.6 Sea V un subespacio vectorial de Rn . (a) Si {e1 , . . . , em } es un sistema de generadores de V , entonces dado v ∈ Rn tenemos: v ∈ V ⊥ si y s´olo si v · ei = 0 para i = 1, . . . , m. Es decir, se cumple V ⊥ = ⟨e1 ⟩⊥ ∩ · · · ∩ ⟨em ⟩⊥ . (b) Si F es otro subespacio vectorial de Rn tal que F ⊆ V , entonces V ⊥ ⊆ F ⊥ . Teorema 2.7 Para todo subespacio vectorial V de Rn se cumplen: (i) dim V + dim V ⊥ = n . (ii) V ∩ V ⊥ = 0 , V + V ⊥ = Rn . ( )⊥ (iii) V ⊥ = V . Demostraci´ on. N´otese que la primera parte de (ii) es trivial, pues si v ∈ V ∩ V ⊥ , entones v · v = 0 y por tanto debe ser v = 0. Denotemos m = dim V y r = n − m. Consideremos una base {e1 , . . . , em } de V que sea ortogonal (existe seg´ un 2.4), y tomemos vectores v1 , . . . , vr ∈ Rn tales que {e1 , . . . , em , v1 , . . . , vr } n es una base de R . Si aplicamos a esta base de Rn el m´etodo de Gram-Schmidt, entonces los m primeros vectores no var´ıan porque ya son ortogonales entre s´ı, y por lo tanto obtenemos una base ortogonal de Rn de la forma {e1 , . . . , em , v¯1 , . . . , v¯r }. En particular {¯ v1 , . . . , v¯r } es una ⊥ familia libre de vectores contenida en V (compru´ebese), de modo que si vemos la inclusi´on V ⊥ ⊆ ⟨¯ v1 , . . . , v¯r ⟩, entonces {¯ v1 , . . . , v¯r } ser´a una base de V ⊥ y quedar´an probado (i) y la segunda parte de (ii). Sea entonces e ∈ V ⊥ . Existir´an escalares α1 , . . . , αm , β1 , . . . , βr ∈ R tales que e = α1 e1 + · · · + αm em + β1 v¯1 + · · · + βr v¯r . Para cada ´ındice i ∈ {1, . . . , m}, como ei · e = 0 tenemos 0 = α1 (ei · e1 ) + · · · + αm (ei · em ) + β1 (ei · v¯1 ) + · · · + βr (ei · v¯r ) = αi (ei · ei ). ⇒. αi = 0. (porque ei ̸= 0) ,. y por lo tanto e = β1 v¯1 + · · · + βr v¯r ∈ ⟨¯ v1 , . . . , v¯r ⟩. Para terminar la demostraci´on del teorema probemos (iii). Aplicando dos veces (i) obtenemos ( )⊥ dim V ⊥ = n − dim V ⊥ = n − (n − dim V ) = dim V , ( )⊥ ( )⊥ y como trivialmente se cumple V ⊆ V ⊥ , concluimos que debe ser V = V ⊥ . El apartado (ii) del teorema 2.7 significa que cada vector de Rn se expresa de modo u ´nico ⊥ como suma de un vector de V y otro de V . Es decir, se cumple el siguiente importante resultado: Corolario 2.8 Con la notaci´on del teorema 2.7, dado un vector v en Rn existen vectores u ´nicos v1 ∈ V y v2 ∈ V ⊥ tales que v = v1 + v2 . De otro modo, dado v ∈ Rn existe un u ´nico vector u ∈ V con la propiedad v − u ∈ V ⊥ . Se dice que u es la proyecci´on ortogonal del vector v sobre el subespacio vectorial V ..

(9) 2. Subespacios ortogonales: perpendicularidad, ecuaciones. 9. Demostraci´ on. Sea v ∈ Rn . Como Rn = V +V ⊥ , existen v1 ∈ V y v2 ∈ V ⊥ tales que v = v1 +v2 . Supongamos que existen otros vectores v¯1 ∈ V y v¯2 ∈ V ⊥ cumpliendo v = v¯1 + v¯2 , es decir, v1 + v2 = v¯1 + v¯2 . Entonces v1 − v¯1 = v¯2 − v2 ∈ V ∩ V ⊥ = 0 , por lo que debe ser v¯1 = v1 y v¯2 = v2 . 2.9 Si V es un subespacio vectorial de Rn de dimensi´on 1 y e es un vector no nulo tal que V = ⟨e⟩, entonces la proyecci´on ortogonal de un vector v sobre el subespacio V es justamente la proyecci´on ortogonal de v sobre el vector e (v´ease el punto 1.12). Ya dijimos que la relaci´on de ortogonalidad entre los vectores determina la relaci´on de perpendicularidad entre las rectas (v´ease la definici´on 1.9). Generalicemos dicha relaci´on. Definiciones 2.10 Diremos que dos subespacios vectoriales de Rn son ortogonales si uno de ellos est´a contenido en el subespacio ortogonal del otro: dados V y F subespacios vectoriales de Rn , V y F son ortogonales si y s´olo si V ⊆ F ⊥ (⇔ F ⊆ V ⊥ ). Diremos que una recta r de Rn es perpendicular a una subvariedad af´ın no vac´ıa X de Rn cuando la direcci´on de r y la direcci´on de X sean subespacios vectoriales ortogonales. Observaci´ on 2.11 Caso trivial: cualquier recta es perpendicular a cualquier punto. Teorema 2.12 Dados en Rn una subvariedad af´ın no vac´ıa X y un punto P que no pertenece a X, existe una u ´nica recta r que cumple: (i) r pasa por P , (ii) r es perpendicular a X, (iii) r ∩ X ̸= ∅. En particular r ∩ X = Q es un punto (porque P ∈ r y P ∈ / X). La recta r se denomina perpendicular a X trazada desde P , y el punto de corte Q se conoce como pie de la perpendicular a X trazada desde P . Demostraci´ on. Denotemos por V la direcci´on de X y consideremos la subvariedad af´ın Y = P + V ⊥ . Las subvariedades X e Y tienen intersecci´on no vac´ıa porque sus direcciones cumplen V + V ⊥ = Rn , as´ı que la intersecci´on X ∩ Y es una subvariedad cuya direcci´on es igual a la intersecci´ on de las direcciones. Por lo tanto, como V ∩ V ⊥ = 0 la intersecci´on X ∩ Y debe ser un punto Q. Sea r la u ´nica recta que pasa por P y por Q (P ̸= Q porque P ̸∈ X y Q ∈ X ). Las propiedades (i) y (iii) del enunciado son trivialmente ciertas para r. Ahora, como P, Q ∈ P + V ⊥ debe ser r ⊆ P + V ⊥ , y en particular la direcci´on de r est´a contenida en V ⊥ , es decir, r es perpendicular a X. Veamos la unicidad de r. Sea s otra recta perpendicular a X que pasa por P y corta a X. Entonces la direcci´on de s est´a contenida en la direcci´on de Y , y como s e Y tienen en com´ un el punto P debe ser s ⊆ Y . Tenemos ∅ ̸= s ∩ X ⊆ Y ∩ X = Q. ⇒. s∩X =Q. y por lo tanto Q ∈ s. Como r y s tienen dos puntos distintos en com´ un debe ser s = r..

(10) 10. Notas 2.13 (a) Con la notaci´on del teorema anterior, cuando la subvariedad af´ın X es un subespacio vectorial V , el pie de la perpendicular a X trazada desde P es justamente la proyecci´on ortogonal de P sobre V (v´ease el corolario 2.8). (b) En el caso trivial en el que X es un punto, la perpendicular a X trazada desde P es la recta determinada por los dos puntos distintos P y X, y el pie de dicha perpendicular es el propio X. Ejercicio 2.14 Dados en Rn un punto P0 y un vector no nulo e, consid´erese la recta r = −−→ P0 + ⟨e⟩. Fijemos un punto P en Rn fuera de la recta y denotemos v = P0 P . Si u es la proyecci´on ortogonal de v sobre el vector e, entonces el pie de la perpendicular a r trazada desde P es Q = P0 + u, es decir v·e e. Q = P0 + ∥e∥2 2.15 (Sim´ etricos) Con la notaci´on e hip´otesis del teorema 2.12, se define el sim´etrico del punto P respecto de la subvariedad af´ın X como el u ´nico punto P ′ distinto de P con la siguiente ′ propiedad: la recta determinada por P y P es perpendicular a X y corta a X en el punto medio del segmento P P ′ . Es f´acil comprobar que se cumple: Si Q es el pie de la perpendicular a X trazada desde P , entonces P ′ = 2Q − P . Para terminar esta secci´on, veamos que la noci´on de ortogonalidad nos permite interpretar geom´etricamente las ecuaciones de una subvariedad af´ın de Rn . 2.16 (Ecuaciones impl´ıcitas en el espacio eucl´ıdeo Rn ) Sea X una subvariedad af´ın de Rn cuya direcci´on es un subespacio vectorial V . Sabemos que si conocemos, respecto de una base dada en Rn , unas ecuaciones impl´ıcitas de V y las coordenadas de un punto de X, entonces podemos obtener unas ecuaciones impl´ıcitas de X en la misma base. Por lo tanto veamos c´omo obtener ecuaciones de V . Supondremos fijada en Rn su base usual {u1 , . . . , un } (v´ease 1.5), que es una base ortonormal, y las ecuaciones que obtengamos ser´an respecto de ella . Esta base tiene la siguiente propiedad: dado un vector v = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn , sus componentes como elemento de Rn (esto es, la sucesi´on finita a1 , . . . , an de escalares) coinciden con sus coordenadas en la base usual, esto es, v = (a1 , . . . , an ) = a1 u1 + · · · + an un . Sea entonces V un subespacio de Rn de dimensi´on m y denotemos r = n − m = dim V ⊥ . Si conocemos una base {v1 , . . . , vr } de V ⊥ , entonces para un vector e ∈ Rn tenemos (v´ease el ejercicio 2.6) e∈V ⇐⇒ e · vi = 0 para todo i = 1, . . . , r . (1) Expresemos las condiciones anteriores en coordenadas. Pongamos e = (x1 , . . . , xn ) para un vector arbitrario de Rn . Si para cada i = 1, . . . , r tenemos vi = (ai1 , . . . , ain ), entonces la equivalencia (1) podemos expresarla como e∈V. ⇐⇒. ai1 x1 + · · · + ain xn = 0 para todo i = 1, . . . , r ..

(11) 2. Subespacios ortogonales: perpendicularidad, ecuaciones. 11. Por lo tanto, el vector e = (x1 , . . . , xn ) pertenece a V si y sistema de ecuaciones a11 x1 + · · · + a1n xn = 0 .. .. s´olo si sus coordenadas cumplen el    . (2)  . ar1 x1 + · · · + arn xn = 0. As´ı, (2) son unas ecuaciones impl´ıcitas de V . N´otese que ninguna de dichas ecuaciones es combinaci´on lineal del resto porque la familia {v1 , . . . , vr } es libre, de modo que el n´ umero de ecuaciones del sistema es igual a n − dim V , como cab´ıa esperar. Rec´ıprocamente, supongamos ahora que V es un subespacio vectorial de Rn del que conocemos unas ecuaciones impl´ıcitas como las (2), en las que ninguna de sus ecuaciones es combinaci´on lineal del resto. Si consideramos los r vectores vi = (ai1 , . . . , ain ) ,. i = 1, . . . , r ,. entonces, que (2) sean ecuaciones de V significa que V es el conjunto de vectores de Rn que son ortogonales al subespacio ⟨v1 , . . . , vr ⟩, es decir, V = ⟨v1 , . . . , vr ⟩⊥ . Como la familia {v1 , . . . , vr } es libre porque ninguna de las ecuaciones es combinaci´on lineal del resto, obtenemos dim V = dim⟨v1 , . . . , vr ⟩⊥ = n − dim⟨v1 , . . . , vr ⟩ = n − r = n − n´ umero de ecuaciones . Ejemplos 2.17 (a) Sea V un subespacio de dimensi´on 1 de R2 . Si conocemos un vector no nulo v = (a, b) que sea ortogonal a V , entonces la ecuaci´on impl´ıcita de V es ax + by = 0. Si r es una recta en R2 cuya direcci´on es V , entonces la ecuaci´on de r es de la forma ax + by = d para cierta constante d que se determina conociendo cualquier punto de r : dado P0 = (x0 , y0 ) en r ser´a d = ax0 + by0 . Si lo que conocemos es un vector e = (α, β) que define la direcci´on de la recta r (e es un vector director de r ), entonces es inmediato comprobar que v = (β, −α) es ortogonal a la direcci´on de r (v es un vector normal a r), de modo que la ecuaci´on de r ser´a de la forma βx − αy = d. (b) Sea ahora V un subespacio de dimensi´on 2 de R3 . Como dim V ⊥ = 1, cualquier vector no nulo u = (a, b, c) ortogonal a V define una base de V ⊥ y por tanto la ecuaci´on de V es ax + by + cz = 0. Si Π es un plano en R3 cuya direcci´on es V , entonces la ecuaci´on de Π es de la forma ax + by + cz = d para cierta constante d que se determina conociendo cualquier punto de Π : dado P0 = (x0 , y0 , z0 ) en Π ser´a d = ax0 + by0 + cz0 . Se dice que u es un vector normal al plano Π. Debido a que este vector determina la direcci´on del plano (dicha direcci´on es ⟨u⟩⊥ = V ), en algunos textos se dice que u es un vector director de Π. (Debe tenerse cuidado con el uso de esta terminolog´ıa: cuando se dice que u es un vector director de un plano Π de R3 , no se est´a queriendo decir que la direcci´on de Π es el subespacio ⟨u⟩, sino que la direcci´on de Π es ⟨u⟩⊥ .) M´as adelante veremos c´omo obtener un vector normal a un plano Π de R3 si se conoce una base de la direcci´on de Π. (c) En general, la ecuaci´on de un hiperplano H de Rn es de la forma a1 x1 + · · · + an xn = d donde u = (a1 , . . . , an ) es un vector (no nulo) normal a H, esto es, la direcci´on de H es el subespacio ⟨u⟩⊥ . } x−z = 2 Ejercicio 2.18 Sea r la recta de R3 de ecuaciones . Calc´ ulese el pie de la x+y = 1 perpendicular a r trazada desde el punto P0 = (1, 1, 1)..

(12) 12. Ejercicio 2.19 Sea a1 x1 + · · · + an xn = d la ecuaci´on de un hiperplano H de Rn y sea P = (α1 , . . . , αn ) un punto fuera de H. Si Q es el pie de la perpendicular al hiperplano H trazada desde el punto P , calc´ ulense las coordenadas de Q.. 3.. ´ Angulos y distancias. Definici´ on 3.1 Sean e y v vectores no nulos de Rn . Como ∥e∥ ∥v∥ ̸= 0, de la desigualdad de Schwarz obtenemos e·v ≤ 1; −1 ≤ ∥e∥ ∥v∥ por lo tanto, como la funci´on coseno establece una biyecci´on del intervalo cerrado [0, π] con el intervalo cerrado [−1, 1], tenemos que existe un u ´nico θ ∈ [0, π] cumpliendo cos θ =. e·v . ∥e∥ ∥v∥. El valor θ se llama medida en radianes del ´angulo (´o simplemente ´angulo ) formado por los vectores e y v, y lo denotaremos ](e, v) : ](e, v) = arc cos. e·v ∈ [0, π] . ∥e∥ ∥v∥. De la definici´on se sigue la igualdad e · v = ∥e∥ ∥v∥ cos ](e, v) .. (3). Nota 3.2 En la mayor´ıa de los libros de texto de bachillerato, la relaci´on (3) se utiliza para definir el producto escalar de dos vectores no nulos. 3.3 Dediquemos unas l´ıneas para comparar la definici´on de ´angulo que hemos dado, con la noci´on de ´angulo de la geometr´ıa plana que se estudia en primaria y secundaria. Comencemos observando que en la geometr´ıa elemental se definen las razones trigonom´etricas de los ´angulos del “ primer cuadrante ”: el ´angulo nulo y los ´angulos agudos (no el ´angulo recto). Dado un ´angulo α fuera de ese cuadrante, se le van quitando ´angulos rectos hasta que se llega a uno θ que es agudo (´o nulo si es m´ ultiplo del recto), y luego se aplica la “ regla de los cuadrantes ”: si para obtener θ hemos necesitado quitar un ´angulo recto, entonces α est´a en el segundo cuadrante y definimos cos α := − sen θ , sen α := cos θ ; etc. Sea ahora θ un ´angulo agudo. La propiedad que tiene θ por ser agudo es que siempre hay un “ tri´angulo rect´angulo ” del que es ´angulo en uno de sus v´ertices: los lados del tri´angulo que determinan el v´ertice del ´angulo recto son sus “ catetos ” y el tercer lado es su “ hipotenusa ”, de modo que el v´ertice de θ lo determinan la hipotenusa y uno de los catetos; dicho cateto se dice que es el “ contiguo ” a θ, y el otro es el cateto “ opuesto ” a θ. En esta situaci´on se definen cos θ :=. longitud cateto contiguo longitud hipotenusa. ,. sen θ :=. longitud cateto opuesto longitud hipotenusa. .. Que otro tri´angulo rect´angulo tenga a θ como uno de sus ´angulos significa, para la geometr´ıa elemental plana, que puede “ moverse ” hasta ponerlo sobre el primero de modo que se superpongan las respectivas hipotenusas y los respectivos catetos contiguos, en cuyo caso los.

(13) ´ 3. Angulos y distancias. 13. y.  .     . θ.  . u2 6.  -. u1. Figura 5. *6 v   v−e   . θ. e. -. x. Figura 6. respectivos catetos opuestos son paralelos (Figura 5). Del teorema de Thales se sigue que las definiciones dadas de cos θ y sen θ no dependen del tri´angulo rect´angulo considerado. Calculemos el coseno de ese mismo ´angulo θ con nuestra definici´on. Para ello representemos el plano real con sus ejes coordenados: el eje x (´o eje de abscisas) y el eje y (´o eje de ordenadas). Dichos ejes son perpendiculares para la geometr´ıa elemental plana. Si u1 = (1, 0), u2 = (0, 1) es la base usual de R2 , entonces el eje x es el subespacio vectorial generado por u1 y el eje y es el subespacio vectorial generado por u2 , por lo que los ejes coordenados tambi´en son perpendiculares seg´ un nuestra definici´on porque u1 · u2 = 0. Consideremos un tri´angulo rect´angulo que tenga a θ como uno de sus ´angulo, de modo que el v´ertice correspondiente a θ es el origen de coordenadas y el cateto contiguo est´a en la parte positiva del eje de abscisas (Figura 6). Si e y v son los vectores de R2 que determinan el cateto contiguo y la hipotenusa, respectivamente, entonces el cateto opuesto lo define el vector v − e y por lo tanto e y v − e son ortogonales: 0 = (v − e) · e = v · e − e · e ⇒ v · e = ∥e∥2 . De todo obtenemos cos ](e, v) =. ∥e∥2 ∥e∥ longitud cateto contiguo e·v = = = = cos θ . ∥e∥ ∥v∥ ∥e∥ ∥v∥ ∥v∥ longitud hipotenusa. En el ejercicio siguiente se describen las propiedades elementales de los ´angulos de vectores. Ejercicio 3.4 Dados vectores e, v ∈ Rn no nulos y escalares λ, µ ∈ R no nulos, se cumplen: (a) ](e, v) = π2 ⇔ e y v son ortogonales; (b) ](e, v) = 0 ⇔ existe α > 0 tal que e = αv; (c) ](e, v) = π ⇔ existe α < 0 tal que e = αv; (d) si λµ > 0 entonces ](e, v) = ](λe, µv); (e) si λµ < 0 entonces ](e, v) + ](λe, µv) = π. −→ −−→ \ = ](− Definiciones 3.5 Dados puntos distintos A, B, C en Rn denotaremos ABC BA, BC). \ = CBA \ es el ´angulo del tri´angulo ABC Si los tres puntos no est´an alineados diremos que ABC en su v´ertice B. Es claro c´omo debe ser la definici´on de ´angulo de un cuadril´atero en uno de sus v´ertices. Fijemos un tri´angulo ABC en Rn . Para cada vector e0 ∈ Rn podemos considerar el tri´angulo A′ B ′ C ′ que se obtiene trasladando el tri´angulo dado por el vector e0 , es decir, A′ = A + e0 , ′B′C ′. \ = A\ B ′ = B + e0 y C ′ = C + e0 , y es inmediato comprobar que se cumple ABC n Supongamos ahora que tenemos en R dos rectas distintas r, s, y sean u, v ∈ Rn tales que ⟨u⟩ es la direcci´on de r y ⟨v⟩ es la direcci´on de s. Definimos los ´angulos que forman las rectas.

(14) 14. r y s como los ´angulos ](u, v) ( = ](−u, −v) ) y ](u, −v) ( = ](−u, v) ). Seg´ un el ejercicio 3.4, dichos ´angulos no dependen de los vectores u y v que nos den las direcciones de r y s, y se cumple ](u, v) + ](u, −v) = π , por lo que basta conocer uno de ellos para determinar el otro. Adem´as, dado e0 ∈ Rn , si consideramos las rectas trasladadas, r′ = e0 + r y s′ = e0 + s, entonces r′ y r tienen la misma direcci´on, y s′ y s tienen la misma direcci´on, por lo que los ´angulos que forman las rectas r′ y s′ son iguales a los ´angulos que forman las rectas r y s. Notas 3.6 (a) De los dos ´angulos que determinan dos rectas, es usual que sea el menor de ellos el que se denomine “ ´angulo formado por las rectas ”. Es decir, se toman los ´angulos formados por rectas de modo que valoran en el intervalo cerrado [0, π2 ]. (b) En los libros de texto de secundaria se define el ´angulo formado por dos rectas solamente en el caso en que dichas rectas se cortan. 3.7 En Rn , un rect´angulo es un paralelogramo que tiene sus cuatro ´angulos rectos, y un rombo es un paralelogramo cuyos cuatro lados tienen igual longitud. Un cuadrado es un paralelogramo que es rect´angulo y rombo. Se cumple la siguiente reformulaci´on del teorema de Pit´agoras: “ un paralelogramo es un rombo si y s´olo si sus diagonales son perpendiculares ”. Ejercicio 3.8 Constr´ uyase un rombo (´o un rect´angulo) cuyos lados pasen por cuatro puntos dados de un plano. Hemos visto en las definiciones anteriores c´omo la noci´on de ´angulo entre dos vectores no nulos lleva de modo natural a la definici´on de ´angulo entre dos rectas. Vamos a definir, en el caso particular de R3 , el ´angulo formado por otras subvariedades afines. ´ 3.9 (Angulo entre recta y plano) Sean en R3 un plano Π y una recta r. Elijamos un vector u normal al plano y un vector v director de la recta de modo que ](u, v) ∈ [0, π2 ]. Entonces se define el ´angulo formado por la recta r y el plano Π como ](r, Π) :=. π − ](u, v) 2. (haga el lector un dibujo que ilustre la definici´on dada). ´ 3.10 (Angulo entre dos planos) Sean en R3 dos planos Π1 y Π2 . Elijamos un vector u1 normal al plano Π1 y un vector u2 normal al plano Π2 de modo que ](u1 , u2 ) ∈ [0, π2 ]. Entonces se define el ´angulo formado por dichos planos como ](Π1 , Π2 ) := ](u1 , u2 ) (de nuevo, haga el lector un dibujo que justifique la definici´on dada)..

(15) ´ 3. Angulos y distancias. 15. 3.11 Si, como dijimos al comienzo, el m´odulo de un vector representa la distancia del punto que determina dicho vector al origen, parece claro que la distancia de un punto a otro debe tomarse como el m´odulo del u ´nico vector que va desde el uno hasta el otro. Esta ser´a la definici´on de distancia que daremos a continuaci´on. De este modo, cuando en las p´aginas anteriores hemos hablado de la longitud de un lado de un tri´angulo o de un cuadril´atero, dicha longitud coincide con la distancia entre los dos v´ertices que determinan ese lado, como no pod´ıa ser de otra manera. Definici´ on 3.12 Dados puntos P, Q ∈ Rn se define la distancia de P a Q como el escalar d(P, Q) dado por la igualdad −−→ d(P, Q) := ∥P Q∥ = ∥Q − P ∥ . Tenemos as´ı sobre Rn la funci´on distancia eucl´ıdea, d : Rn × Rn → R (P, Q) 7→ d(P, Q) := ∥Q − P ∥ , la cual posee excelentes propiedades que describimos en el siguiente teorema. Teorema 3.13 Dados puntos P, Q, R ∈ Rn , un escalar λ ∈ R y un vector e ∈ Rn se cumplen: (i) (ii) (iii) (iv) (v). d(P, Q) ≥ 0; adem´as, d(P, Q) = 0 ⇔ P = Q. d(P, Q) = d(Q, P ) ( d es sim´etrica). d(P, Q) ≤ d(P, R) + d(R, Q) ( d cumple la desigualdad triangular). d(P + e, Q + e) = d(P, Q) ( d es estable por traslaciones). d(λP, λQ) = |λ| d(P, Q) ( d es absolutamente homog´enea).. Demostraci´ on. Todas las propiedades del enunciado se siguen f´acilmente de las propiedades del m´odulo. 3.14 Dado un conjunto no vac´ıo Z, una funci´on δ : Z × Z → R se dice que es una “ distancia ” sobre Z si tiene las propiedades (i), (ii) y (iii) del teorema 3.13, en cuyo caso el conjunto Z dotado de la funci´on δ se dice que es un “ espacio m´etrico ”. Por lo tanto, Rn dotado de la distancia eucl´ıdea d es un espacio m´etrico. Las propiedades (iv) y (v) dicen que la estructura m´etrica definida sobre Rn es compatible con la estructura de espacio vectorial (esto es, con la suma de vectores y el producto de escalares por vectores). La propiedad (v) de 3.13 es la versi´on eucl´ıdea del Teorema de Thales. Como en cualquier espacio m´etrico, en el espacio eucl´ıdeo Rn tenemos la noci´on de distancia entre dos conjuntos cualesquiera: Definici´ on 3.15 Dados dos subconjuntos no vac´ıos A y B de Rn , se define la distancia entre A y B como el n´ umero real no negativo d(A, B) := ´ınf{d(P, Q) : P ∈ A, Q ∈ B} ..

(16) 16. El n´ umero real d(A, B) existe, ya que todo conjunto no vac´ıo de n´ umeros reales que est´e acotado inferiormente tiene ´ınfimo, y el conjunto no vac´ıo {d(P, Q) : P ∈ A, Q ∈ B} est´a acotado inferiormente por 0. Nos interesa especialmente la distancia entre subvariedades afines de Rn . Veremos primero que el problema de calcular la distancia entre dos subvariedades afines se reduce a calcular la distancia de un punto a una subvariedad af´ın. Despu´es probaremos que el problema de calcular la distancia de un punto a una subvariedad af´ın se reduce a calcular la distancia entre dos puntos. Teorema 3.16 Sean X e Y subvariedades afines no vac´ıas de Rn . Si Z es la menor subvariedad af´ın que contiene a Y y es paralela a X, entonces cualquiera que sea P ∈ X se cumple d(X, Y ) = d(P, Z) . Demostraci´ on. Sean V la direcci´on de X, V¯ la direcci´on de Y y P¯ ∈ Y , en cuyo caso ser´a ¯ ¯ Y = P + V . La m´ınima subvariedad af´ın de Rn que contiene a Y y cuya direcci´on contiene a la direcci´on de X es Z = P¯ + (V¯ + V ). Ahora, dado P ∈ X, como todo punto de X es de la forma P − v con v ∈ V y todo punto de Y es de la forma P¯ + v¯ con v¯ ∈ V¯ , tenemos d(X, Y ) = ´ınf{d(P − v, P¯ + v¯) : v ∈ V, v¯ ∈ V¯ } = ´ınf{d(P, P¯ + v + v¯) : v ∈ V, v¯ ∈ V¯ } = ´ınf{d(P, P¯ + e) : e ∈ V¯ + V } = ´ınf{d(P, R) : R ∈ Z} = d(P, Z) , donde en la segunda igualdad hemos utilizado que la distancia d es estable por traslaciones (propiedad (iv) del teorema 3.13). Teorema 3.17 Sean en Rn una subvariedad af´ın no vac´ıa X y un punto P que no pertenece a X. Si Q es el pie de la perpendicular a X trazada desde P , entonces se cumple d(P, X) = d(P, Q) . Demostraci´ on. Si V es la direcci´on de X y consideramos la subvariedad af´ın Y = P + V ⊥ , entonces Q = X ∩ Y (v´ease la demostraci´on del teorema 2.12). Dado un punto R ∈ X tenemos: Q − R ∈ V (porque Q, R ∈ X) y P − Q ∈ V ⊥ (porque P, Q ∈ Y ), y por lo tanto (P − Q) · (Q − R) = 0. Aplicando el teorema de Pit´agoras obtenemos ∥P − R∥2 = ∥(P − Q) + (Q − R)∥2 = ∥P − Q∥2 + ∥Q − R∥2 ≥ ∥P − Q∥2 ,. (4). es decir, d(P, Q) ≤ d(P, R). Por lo tanto d(P, Q) = ´ınf{d(P, R) : R ∈ X} = d(P, X). Observaci´ on 3.18 En la demostraci´on del teorema 3.17 no s´olo se prueba que la distancia de P a X se alcanza en el punto Q. De las relaciones (4) se sigue tambi´en que Q es el u ´nico punto donde se alcanza dicha distancia: si R ̸= Q entonces ∥Q − R∥2 > 0, y por lo tanto ∥P − R∥2 > ∥P − Q∥2 , es decir, d(P, Q) < d(P, R)..

(17) ´ 3. Angulos y distancias. 17. 3.19 (Distancia de un punto a una recta) Consideremos en Rn una recta r = P0 + ⟨e⟩ y un punto P . Seg´ un el ejercicio 2.14, si P ̸∈ r, entonces d(P, r) = d(P, Q) donde Q = P0 +. (P − P0 ) · e e. ∥e∥2. La afirmaci´on anterior tambi´en es cierta cuando P es un punto de r, ya que por construcci´on del punto Q se cumple: P ∈ r ⇔ Q = P . 3.20 (Distancia de un punto a un hiperplano) Consideremos en Rn un hiperplano H del que conocemos un punto P0 y un vector u normal a su direcci´on, en cuyo caso ser´a H = P0 + ⟨u⟩⊥ . Si P es un punto que no est´a en H, entonces la perpendicular a H trazada desde P es la recta r = P + ⟨u⟩. El pie de dicha perpendicular ser´a Q = P + λu, donde λ se calcula con −−→ la condici´on Q ∈ H, esto es, cumpliendo que el vector P0 Q est´a en ⟨u⟩⊥ ( = direcci´on de H). Procediendo como en otras ocasiones obtenemos λ=−. (P − P0 ) · u ∥u∥2. ⇒. Por lo tanto d(P, H) = d(P, Q) =. Q=P −. (P − P0 ) · u u. ∥u∥2. |(P − P0 ) · u| , ∥u∥. igualdad que tambi´en es v´alida cuando P ∈ H. Si a1 x1 + · · · + an xn = d es la ecuaci´on de H y P = (λ1 , . . . , λn ), entonces u = (a1 , . . . , an ) es un vector normal a H tal que: P · u = a1 λ1 + · · · + an λn , P0 · u = d (porque P0 ∈ H) y √ ∥u∥ = a21 + · · · + a2n . De todo dicho se sigue la conocida f´ormula d(P, H) =. |a1 λ1 + · · · + an λn − d| √ . a21 + · · · + a2n. Ejemplos 3.21 (a) Si ax + by = d es la ecuaci´on de una recta r de R2 , entonces para todo punto P = (x0 , y0 ) se cumple d(P, r) =. |ax0 + by0 − d| √ . a2 + b2. (b) Si ax + by + cz = d es la ecuaci´on de un plano Π de R3 , entonces para todo punto P = (x0 , y0 , z0 ) se cumple d(P, Π) =. |ax0 + by0 + cz0 − d| √ . a2 + b2 + c2. Ejercicio 3.22 Consid´erense en R3 los puntos A = (1, 0, −1), B = (1, 0, 2), C = (0, 2, 0) y D = (1, −1, 0). Sea r la recta determinada por los puntos A y B, y sea s la recta determinada por los puntos C y D. Calc´ ulese la distancia entre las rectas r y s..

(18) 18. Ejercicios 3.23 Los siguientes enunciados se refieran al plano eucl´ıdeo R2 . Fijados un punto P0 ∈ R2 y un n´ umero real positivo α, se define la circunferencia de radio α centrada en el punto P0 como el lugar geom´etrico de los puntos de R2 cuya distancia a P0 es igual a α. Se denomina di´ametro de una circunferencia a toda recta que pasa por su centro. (a) Dados puntos distintos A y B, el lugar geom´etrico de los puntos P que cumplen d(P, A) = d(P, B) es una recta que se denomina mediatriz del segmento AB. (b) Las mediatrices de los tres lados de un tri´angulo se cortan en un punto que se llama circuncentro del tri´angulo. Existe una u ´nica circunferencia que pasa por los v´ertices del tri´angulo, la cual se denomina circunscrita al tri´angulo y tiene su centro en el circuncentro. (c) Las mediatrices de los catetos de un tri´angulo rect´angulo se cortan en el punto medio de la hipotenusa. En consecuencia, la circunferencia que tiene por di´ametro la hipotenusa pasa por el v´ertice del ´angulo recto. (d) Una circunferencia y una recta se cortan a lo sumo en dos puntos distintos. En consecuencia, si A, B, C son puntos distintos de una circunferencia C de la que AB es un di´ametro, entonces ABC es un tri´angulo rect´angulo cuya hipotenusa es AB. (e) Sea C una circunferencia y sea Q ∈ C. Dada una recta r que pasa por Q se cumple: Q = r ∩ C ⇔ r es perpendicular al di´ametro de C determinado por Q. Se deduce que existe una u ´nica recta que corta a C u ´nicamente en Q, la cual se llama tangente a C en Q. (f) Sean r y r′ rectas distintas que se cortan en un punto P0 . El lugar geom´etrico de los puntos P que cumplen d(P, r) = d(P, r′ ) est´a formado por dos rectas que se cortan perpendicularmente en P0 , las cuales se llaman bisectrices de r y r′ . (g) Sean r y r′ rectas paralelas distintas. El lugar geom´etrico de los puntos P que cumplen d(P, r) = d(P, r′ ) es una recta s, que es paralela a las rectas dadas y cumple d(r, s) = d(r′ , s). (h) Un punto P0 y un vector no nulo v definen la semirrecta s(P0 , v) = {P0 + λv : λ ≥ 0}. Dados vectores linealmente independientes v1 y v2 tenemos semirrectas distintas s(P0 , v1 ) y s(P0 , v2 ). Tomando los vectores de modo que ∥v1 ∥ = ∥v2 ∥, se llama “ bisectriz de las semirrectas ” s(P0 , v1 ) y s(P0 , v2 ) a la recta P0 + ⟨v1 + v2 ⟩. Los puntos de la bisectriz equidistan de las semirrectas, y adem´as el vector e = v1 + v2 cumple ](v1 , e) = ](v2 , e). (i) De los apartados anteriores se obtienen las nociones de “ bisectriz interior ” y “ bisectriz exterior ” en un v´ertice de un tri´angulo. Las tres bisectrices interiores de un tri´angulo se cortan en un punto llamado incentro del tri´angulo. Existe una circunferencia que es tangente a los tres lados del tri´angulo y tiene su centro en el incentro, la cual se denomina inscrita al tri´angulo. (j) Dado un tri´angulo, existen cuatro circunferencias que son tangentes a los tres lados del tri´angulo. Una de ellas es interior al tri´angulo (la circunferencia inscrita, que tiene su centro en el incentro), y las otras tres son exteriores al tri´angulo. Las u ´ltimas se dice que son exinscritas al tri´angulo, y sus centros reciben el nombre de exincentros del tri´angulo. Ejercicios 3.24 Sea ABC un tri´angulo. Se dice que ABC es is´osceles si dos de sus lados tienen igual longitud, en cuyo caso el tercer lado se denomina base del tri´angulo is´osceles. Se dice que ABC es equil´atero si sus tres lados tienen igual longitud. (a) Los dos ´angulos de la base de un tri´angulo is´osceles son iguales. (b) Los tres ´angulos de un tri´angulo equil´atero son iguales. (c) Los ´angulos opuestos de un paralelogramo son iguales, y la suma de los cuatro ´angulos de un paralelogramo es igual a 2π. (d) La suma de los tres ´angulos de un tri´angulo es igual a π..

(19) ´ 3. Angulos y distancias. 19. (e) La suma de las distancias de los puntos de la base de un tri´angulo is´osceles a los lados es constante. (f) La suma de las distancias de un punto “ interior ” de un tri´angulo equil´atero a los lados es constante. Vamos a terminar esta secci´on con la conocida definici´on de “ ´area de un paralelogramo ”. Definiciones 3.25 Se define la altura de un paralelogramo relativa a uno de sus lados como la distancia entre dicho lado y su lado opuesto: la altura del paralelogramo ABCD relativa al lado AB es −−→ d(C, r) = d(D, r) , donde r = A + ⟨ AB ⟩ . Se define el ´area del paralelogramo ABCD como el producto de la longitud de uno de sus lados por la altura relativa a ese lado. Veamos que esta definici´on no depende del lado que se tome. Fijado uno de sus v´ertices, por ejemplo A, existen vectores u ´nicos e y v que determinan el paralelogramo (Figura 7): B = A + e, C = B + v = A + (e + v) y D = A + v. Si Q es el pie de la B r 1X e  XX v. XXX Q r X z  1r C    B   

(20)  B h r X θ e X A XXX B   v XX zB r . D Figura 7 perpendicular al lado AB trazada desde D y h = d(D, Q), entonces el ´area del paralelogramo calculado con estos datos es ∥e∥ h = ∥e∥ ∥v∥ sen θ ,. θ = ](e, v) .. Si partimos de otro v´ertice distinto de A llegamos al mismo resultado porque ](e, v) = ](−e, −v), ](−e, v) = ](e, −v) y sen ](e, v) = sen ](−e, v). Por lo tanto: ´ Area del paralelogramo ABCD = ∥e∥ ∥v∥ sen ](e, v) .. (5). En general, dados vectores linealmente independientes e y v, se define el ´area del paralelogramo determinado por ellos como el n´ umero real positivo dado por la expresi´on de la parte derecha de la igualdad (5). Ejercicio 3.26 Una vez definida el ´area de un paralelogramo, ¿c´omo se define el ´area de un tri´angulo? ¿Cu´al ser´a la definici´on de ´area de un “ pol´ıgono plano ”?.

(21) 20. 4.. Producto vectorial. En toda esta secci´on trabajaremos en el espacio eucl´ıdeo tridimensional R3 , en el cual suele usarse la siguiente notaci´on para su base usual. ⃗i := (1, 0, 0) ,. ⃗j := (0, 1, 0) ,. ⃗k := (0, 0, 1) .. Comencemos dando una definici´on que necesitaremos. Definici´ on 4.1 Una aplicaci´on f : R3 → R es lineal si cualesquiera que sean los vectores 3 e, v ∈ R y los escalares λ, µ ∈ R se cumple f (λe + µv) = λf (e) + µf (v) . Ejemplos 4.2 (a) Fijado un vector v0 en R3 , la aplicaci´on “ multiplicar escalarmente ” por v0 es lineal: v0 · R3 −− → R e 7−→ v0 · e . Veamos que toda aplicaci´on lineal f : R3 → R es “ multiplicar escalarmente ” por alg´ un vector. Denotemos ( ) ( ) ( ) f ⃗i = a1 , f ⃗j = a2 , f ⃗k = a3 . y consideremos el vector v0 = (a1 , a2 , a3 ). Para un vector cualquiera e = x1⃗i + x2 ⃗j + x3 ⃗k = (x1 , x2 , x3 ) tenemos ( ) ( ) ( ) ( f (e) = f x1⃗i + x2 ⃗j + x3 ⃗k ) = x1 f ⃗i + x2 f ⃗j + x3 f ⃗k = x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = v0 · e . (b) Dados 3 vectores cualesquiera v1 , v2 , v3 de R3 , definimos el escalar [v1 , v2 , v3 ] por la igualdad [v1 , v2 , v3 ] := det A , siendo A la matriz cuadrada de orden 3 con coeficientes reales cuya columna j-´esima es el vector vj (j = 1, 2, 3). Ahora, fijados vectores v1 , v2 ∈ Rn la aplicaci´on [v1 , v2 , - ] : R3 −→ R e 7−→ [v1 , v2 , e] es lineal, ya que el determinante es lineal en cada columna (y en particular en la u ´ltima). ´nico vector en R3 , que denotaremos e×v, Definici´ on 4.3 Dados vectores e, v ∈ R3 , existe un u tal que la aplicaci´on lineal [e, v, - ] es igual a “ multiplicar escalarmente por e × v ” (v´eanse los ejemplos de 4.2). Es decir, e × v es el u ´nico vector de R3 que tiene la siguiente propiedad: para todo u ∈ R3 se cumple [e, v, u] = (e × v) · u . El vector e × v determinado un´ıvocamente por el par ordenado (e, v) se denomina producto vectorial de e por v (en ese orden)..

(22) 4. Producto vectorial. 21. Tenemos as´ı sobre R3 la operaci´on “ producto vectorial ” R3 × R3. ×. −→ R3. (e, v) 7−→ e × v . Proposici´ on 4.4 El producto vectorial tiene las siguientes propiedades: (a) Es una aplicaci´on bilineal : dados vectores e, u, v y escalares λ, µ se cumplen (λe + µu) × v = λ(e × v) + µ(u × v) , e × (λu + µv) = λ(e × u) + µ(e × v) . (b) Es anticonmutativo : e × v = − (v × e) para cualesquiera vectores e, v. (c) La condici´on necesaria y suficiente para que dos vectores e y v sean linealmente dependientes es que se cumpla e × v = 0. (d) Expresi´on anal´ıtica del producto vectorial : si e = (a1 , a2 , a3 ) y v = (b1 , b2 , b3 ), entonces

(23)

(24)

(25)

(26)

(27) ) (

(28)

(29) a a

(30)

(31) a a

(32)

(33) a a

(34)

(35) 2 3

(36)

(37) 3 1

(38)

(39) 1 2

(40) e×v =

(41) (6)

(42) ,

(43)

(44) ,

(45)

(46) .

(47) b2 b3

(48)

(49) b3 b1

(50)

(51) b1 b2

(52) Demostraci´ on. Para probar (a) y (b) basta tener en cuenta las propiedades de los determinantes: (a) significa que el determinante es lineal en cada columna, y (b) dice que si se intercambian dos columnas entonces el determinante cambia de signo. (c) Supongamos en primer lugar que e y v son vectores linealmente dependientes. Entonces para todo u ∈ R3 tenemos (e × v) · u = [e, v, u] = 0 . Tomando u = e × v obtenemos (e × v) · (e × v) = 0, es decir e × v = 0. Supongamos ahora que la familia {e, v} es libre. Entonces existe u ∈ R3 tal que {e, v, u} es base de R3 , es decir, existe un vector u tal que (e × v) · u = [e, v, u] ̸= 0. Por lo tanto debe ser e × v ̸= 0. (d) Sean e = (a1 , a2 , a3 ) y v = (b1 , b2 , b3 ). Recordemos que las coordenadas de e × v en la base ortonormal {⃗i ,⃗j , ⃗k } son ( ) (e × v) · ⃗i , (e × v) · ⃗j , (e × v) · ⃗k ) (v´ease 1.14). Calculemos, por ejemplo, la primera:

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58) a1 b1 1

(59)

(60)

(61)

(62) a b

(63)

(64) a a

(65)

(66) 2 3 2 2

(67)

(68)

(69)

(70)

(71)

(72) (e × v) · ⃗i = [e, v,⃗i ] =

(73) a2 b2 0

(74) =

(75)

(76) .

(77) =

(78)

(79)

(80) a3 b3

(81)

(82) b2 b3

(83)

(84)

(85) a3 b3 0

(86) Del mismo modo se calculan las otras dos coordenadas de e × v. Corolario 4.5 Para cualesquiera vectores e, v ∈ R3 se cumple ∥e × v∥2 = ∥e∥2 ∥v∥2 − (e · v)2 . Como consecuencia, si e y v son no nulos entonces ∥e × v∥ = ∥e∥ ∥v∥ sen ](e, v) ..

(87) 22. Demostraci´ on. Utilizando la expresi´on anal´ıtica del producto vectorial es f´acil comprobar la primera igualdad. Para la consecuencia basta observar que para dos vectores no nulos e y v el ´angulo ](e, v) valora en el intervalo [0, π], y por lo tanto sen ](e, v) ≥ 0. Nota 4.6 En algunos textos de bachillerato se toma la igualdad (6) como la definici´on del producto vectorial de dos vectores e = (a1 , a2 , a3 ) y v = (b1 , b2 , b3 ). Abusando de la notaci´on suele escribirse

(88)

(89)

(90)

(91)

(92)

(93)

(94)

(95)

(96) ⃗i ⃗j ⃗k

(97)

(98) a a

(99)

(100) a a

(101)

(102) a a

(103)

(104)

(105)

(106) 2 3

(107)

(108) 3 1

(109)

(110) 1 2

(111)

(112)

(113) e×v =

(114)

(115) i +

(116)

(117) j +

(118)

(119) k =

(120) a1 a2 a3

(121) .

(122) b2 b3

(123)

(124) b3 b1

(125)

(126) b1 b2

(127)

(128)

(129)

(130) b1 b2 b3

(131) Para una base {e1 , e2 , e3 } de R3 se cumple [e1 , e2 , e3 ] ̸= 0. En el caso Definici´ on 4.7 [e1 , e2 , e3 ] > 0 se dice que la base es “ positiva ” (´o “ directa ”, ´o que “ est´a orientada positivamente ”), y cuando [e1 , e2 , e3 ] < 0 se dice que la base es “ negativa ” (´o “ inversa ”, ´o que “ est´a orientada negativamente ”). ´niLema 4.8 Si e y v son dos vectores linealmente independientes, entonces e × v es el u co vector ortogonal al plano vectorial ⟨e, v⟩, cuyo m´odulo es igual al ´area del paralelogramo determinado por e y v, y tal que {e, v, e × v} es una base directa. Demostraci´ on. Veamos que e × v es un vector con las propiedades del enunciado. Se deja como ejercicio probar que es el u ´nico con esas propiedades. Es claro que e × v es ortogonal a e y a v : (e × v) · e = [e, v, e] = 0 = [e, v, v] = (e × v) · v . Tambi´en es claro que {e, v, e × v} es una base directa : por hip´otesis tenemos e × v ̸= 0 y por lo tanto [e, v, e × v] = (e × v) · (e × v) = ∥e × v∥2 > 0 . Por u ´ltimo, el corolario 4.5 dice justamente que ∥e × v∥ es igual al ´area del paralelogramo determinado por e y v (v´ease el punto 3.25). Nota 4.9 Cuando e y v son vectores linealmente independientes, en algunos textos de bachillerato se utilizan las propiedades que seg´ un el lema anterior caracterizan al vector e × v para definirlo. Si e y v son linealmente dependientes se define e × v = 0. Ejercicio 4.10 De la expresi´on anal´ıtica del producto vectorial se obtiene de modo inmediato que se cumplen ⃗k × ⃗i = ⃗j . ⃗i × ⃗j = ⃗k , ⃗j × ⃗k = ⃗i , Las anteriores igualdades se generalizan en el siguiente sentido : Si {e1 , e2 , e3 } es una base ortonormal de R3 , entonces e1 × e2 = e3 ,. e 2 × e3 = e1 ,. e 3 × e1 = e2. si la base es directa, y e1 × e2 = −e3 , si la base es inversa.. e2 × e3 = −e1 ,. e3 × e1 = −e2.

(132) 4. Producto vectorial. 23. Ejercicio 4.11 Cualesquiera que sean los vectores e, v, u, v¯, u ¯ ∈ R3 se cumplen : (a) (v × u) × e = (v · e)u − (u · e)v ; (b) identidad de Jacobi: (v × u) × e + (u × e) × v + (e × v) × u = 0 ; (c) identidad de Lagrange:

(133)

(134)

(135) v · v¯ u · v¯

(136)

(137)

(138) (v × u) · (¯ v×u ¯) =

(139)

(140) .

(141) v·u ¯ u·u ¯

(142) Observaci´ on 4.12 El corolario 4.5 es un caso particular de la identidad de Lagrange. Definici´ on 4.13 Dados vectores e, v, u ∈ R3 , se llama producto mixto de e, v y u (por ese orden) al escalar [e, v, u] = (e × v) · u . Las propiedades del producto mixto se siguen de las propiedades de los determinantes. Por ejemplo: [e, v, u + u′ ] = [e, v, u] + [e, v, u′ ] , [e, v, u] = − [e, u, v] = [u, e, v] , [λe, v, u] = λ [e, v, u] = [e, λv, u] . 4.14 (Volumen de un paralelep´ıpedo) Un paralelep´ıpedo en R3 es la figura determinada por tres vectores e, v, u linealmente independientes, como en la Figura 8. Tiene 6 caras (agrupadas en tres pares de caras paralelas), 8 v´ertices (cada uno de ellos est´a en tres caras), y 12 aristas (4 con la direcci´on de e, 4 con la direcci´on de v, y 4 con la direcci´on de u). Dos caras paralelas se dice que son opuestas una de la otra.   B· q · Q q····   u   e × v 6    v  A q. e.       -.       . Figura 8 Se llama altura del paralelep´ıpedo relativa a una de sus caras como la distancia entre dicha cara y su cara opuesta. Se define el volumen del paralelep´ıpedo como el producto del ´area del paralelogramo que determina una de las caras por la altura relativa a esa cara. Veamos c´omo expresar dicho volumen en funci´on de los vectores e, v, u. Consideremos la cara determinada por el plano A + ⟨e, v⟩. La altura relativa a esa cara es h = d(A, Q), donde Q es el pie de la perpendicular al plano B + ⟨e, v⟩ trazada desde A (ver la Figura 8). El valor cos ](e × v, u) ser´a positivo o negativo dependiendo del sentido del vector e × v (en el caso dibujado en la Figura 8 es positivo), as´ı que tomando su valor absoluto y aplicando el teorema de Pit´agoras al tri´angulo AQB obtenemos

(143)

(144)

(145) cos ](e × v, u)

(146) =. h . ∥u∥.

(147) 24. Por lo tanto volumen del paralelep´ıpedo = (´area del paralelogramo determinado por e y v) × h

(148)

(149)

(150)

(151) = ∥e × v∥ ∥u∥

(152) cos ](e × v, u)

(153) =

(154) ∥e × v∥ ∥u∥ cos ](e × v, u)

(155)

(156)

(157)

(158)

(159) =

(160) (e × v) · u

(161) =

(162) [e, v, u]

(163) . Es decir, el valor absoluto del producto mixto [e, v, u] es igual al volumen del paralelep´ıpedo determinado por los vectores e, v, u. Esto demuestra tambi´en que el volumen no depende de la cara utilizada. Adem´as de para calcular ´areas y vol´ umenes, el producto vectorial tiene otras aplicaciones. Terminaremos esta secci´on describiendo algunas de ellas. 4.15 (Vector director de una recta) Supongamos conocidas unas ecuaciones impl´ıcitas de una recta r de R3 , } a1 x + b1 y + c1 z = d1 ≡ r. a2 x + b2 y + c2 z = d2 El vector e = (a1 , b1 , c1 ) es ortogonal a la direcci´on de r porque e es normal al plano a1 x + b1 y + c1 z = d1 y r est´a contenido en dicho plano; del mismo modo, v = (a2 , b2 , c2 ) es ortogonal a la direcci´on de r. Por lo tanto el vector e × v es no nulo y define la direcci´on de la recta r (los planos no pueden ser paralelos y por lo tanto e y v son linealmente independientes). 4.16 (Vector normal a un plano) Si conocemos dos vectores linealmente independientes e y v que definen la direcci´on de un plano π de R3 , entonces e × v es un vector no nulo normal al plano π. 4.17 (Distancia de un punto a una recta) Sean en R3 un punto P y una recta r tales que P ̸∈ r. Supongamos que conocemos un punto P0 de r y un vector v que define la direcci´on de r (en particular ser´a r = P0 + ⟨v⟩). Si denotamos P1 = P0 + v, entonces P0 P1 P es un tri´angulo cuya altura h relativa al v´ertice P es justamente la distancia de P a r, h = d(P, r). Tenemos −−→ 1 1 −−−→ −−→ − P0 P1 h = ´area del tri´angulo = P0 P1 × P0 P , 2 2 −−−→ −−→ P0 P1 ×P0 P luego h = , es decir, −−→ − P0 P1 . −→ v × − P0 P . d(P, r) = ∥v∥ 4.18 (Distancia entre dos rectas que se cruzan) Consideremos en R3 dos rectas que se cruzan r = P + ⟨e⟩ y s = Q + ⟨v⟩. Por no ser paralelas el subespacio ⟨e, v⟩ tiene dimensi´on −−→ 2, y por no tener puntos en com´ un el vector P Q no pertenece a dicho subespacio. Es decir, −−→ que las rectas se crucen significa que los tres vectores e, v, P Q son linealmente independientes y por tanto definen un paralelep´ıpedo (Figura 9). Como la cara P + ⟨e, v⟩ del paralelep´ıpedo.

(164) 5. Problemas. 25.       . v  Qr.      s      v r. . e. P.       -. r. Figura 9 es igual al plano que contiene a r y es paralelo a s, del teorema 3.16 se sigue que la distancia de r a s es la altura del paralelep´ıpedo relativa a la cara P + ⟨e, v⟩. Ahora tenemos (v´ease el punto 4.14) volumen del paralelep´ıpedo = (´area del paralelogramo determinado por e y v) × (altura)

(165) [ −−→ ]

(166)

(167)

(168) e, v, P Q

(169) = ∥e × v∥ d(r, s) ,

(170) es decir d(r, s) =.

(171) [ −−→ ]

(172)

(173)

(174)

(175) e, v, P Q

(176) ∥e × v∥. .. 5.. Problemas. 5.1. En R3 , determ´ınense los valores de a, b y c para que las rectas r≡. x−1 y z+1 = = , a 1 b. s≡. x y+2 z = = , 2 3 1. t≡. x+1 y−2 z = = −1 2 c. sean perpendiculares. 5.2. En R3 , calc´ ulese de dos maneras distintas la distancia del punto P = (1, 2, 3) a la recta r≡. 5.3. En R3 , calc´ ulese de dos maneras distintas la distancia entre las rectas r≡. 5.4. x+1 y z−2 = = . −2 1 2. y−1 z−5 x+2 = = , 2 7 6. s≡. x y+1 z = = . −1 5 6. En R3 , determ´ınese la recta perpendicular com´ un a las rectas r≡. x−1 y z+1 = = , −2 1 3. s≡. x y−2 z−2 = = . 2 −1 3.

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