x1 + 1 x4-2x3-6x2-2x y = i -. Resp.: y = x 2-x-2 (x2-x-2y

Texto completo

(1)

130 CÁLCULO D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L Y en v i r t u d de la f ó r m u l a (4), obtenemos:

p'

cotg p. = — = a, es decir, p. = arccotg a = const. P

Ejercicios

Partiendo de la definición de derivada, hallar las derivadas de las fun-ciones: 1 1 1. y = x3. Resp.: 3x2. 2. y = —. Resp.: - —. 1 1 _ 1 3. y B V x Resp.: — — . 4. y = Resp.: 2 V x Vx 2xVx 5. y = sen2 x. Resp.: 2 sen x eos x. 6. y = 2x2 - x Resp.: 4x - 1.

Determinar las tangentes de los ángulos que forman con el eje positivo de las x las líneas tangentes a las curvas:

7. y = x3; a) Cuando x = 1. Resp.: 3. b) Cuando x = - 1 . Resp.: 3; construir la gráfica.

8. y = — . a) Cuando x = —. Resp.: - 4 . b ) Cuando x = 1. Resp.: - 1; x 2

construir la gráfica.

— " 1 nr 9. y = Vx cuando x = 2. Resp.: — V2.

7 ' 2

Hallar las derivadas de las funciones: 10. y = x* + 3x2 - 6. Resp.: y ' = 4x3 + 6x. 11. y = ó x3 - x2. Resp.: y' = 18x2 - 2x. x ' x2 • 5x< 2x 12. y = - x. Resp.: y = - 1. a + b a - b a + b a — b x3 - x2 + 1 3x2 - 2x 13. y = . Resp.: y' = . x2 2x

14. y = 2ax3 h c. Resp.: y' = 6ax2 .

b b 7 _5_ 5 3 15. y = 6 xT + 4 x2 + 2x. Resp.: y' = 2 1 xT + 1 0 xT+ 2. _ 1 V T 1 1 16. y = V3x + ^ ' x + —. Resp.: y' = — + — — . x 2Vx 3>^x2 x1 (x + iy Mx + lHx-l) 17. y = - — . Resp . y1 ; . x~ 2x~ 18. y DERIVADA Y D I F E R E N C I A L 131 x m x2 n2 _ 1 m 2x 2n2 m <• _ * III ¿.II + - + - , + -2- R e sP -: / = r + T — r -x «2 x2 m x2 n2 x1 _ _ 2 1 1 19. y = ^ x2 - 2</x + 5. Resp.: V = — — — . 3 ^x Vx ax2 b 5 1 3 _ 1 1 _ 1 20. y = —— + — — — . Resp.: y' = —axi bx 2 + — x *. 'v'x x V x v.x 3 2 6 21. y = (1 + 4 x3) ( l + 2x2). Resp.: y' = 4 x ( l + 3x + 10x3). 22. y = x(2x - l ) ( 3 x + 2). Resp.: y' = 2(9x2 + x - 1). 23. y = (2x - l ) ( x2 - 6x + 3. Resp.: y' = 6x2 - 26x + 12. 2x< 4 x3( 2 b2- x2) 24. y = . Resp.: y' = b2 - x2 (b2 - x 2)2 • a — x 2a 25. y = . Resp.: y ' = -a + x (a + xY '3 /2(3 + /2) 2<¡. / ( O = -. Resp.: / ' ( / ) = 1 + t1' " (1 + t2)2 ' u x <s + 4^ r, (s + 2)(s + 4) 27. /(s) = — . Resp.: f ( 5 ) = . • s + 3 (s + 3? x1 + 1 x4 - 2x3 - 6x2 - 2x + 1 28. y = — — i -. Resp.: y = x2- x - 2 (x2-x-2Y 29. y = . Resp.: >' = i x'" - a'" {Xm _ a-yt 30. y = (2x2 - 3)2. Resp.: y' = 8x(2x2 - 3). 31. y = {x2 + a2)K Resp.: y = 10x(x2 + a2)4. 32. y = Vx2 + a2. Resp.: y' = 33. y = (a + x ) V a - x. Resp.: y' = V x T + f lJ a - 3x 2 V Ü - X 1 (1 - x)VT - x 2x2 - 1 1 + 4x2 3->- y = — • Resp.: y' = xVTTx2" *~- ' 3 • x2(l + x2)2 36. y = -f/x2 + í + T Resp.: y' = — ' + 1 - . 3^(x2 + x + l )2

(2)

x + V x

132 CALCULO D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L

37. y = (1 + Vx?. Resp.: y ' = ( 1 * ^ = ) '

39. y = sen2 x. Resp.: y ' = sen 2x.

40. y = 2 sen x + eos 3x. Resp.: y ' = 2 eos x - 3 sen 3x.

41. y = tg. ( « + * ) . Resp.: y' =cos2(^ + ¿ j )

-sen x 1 42. y = . Resp.: y = 1 + eos x 1 + eos x

43. y = sen 2x eos 3x. Resp.: y' = 2 eos 2x eos 3x - 3 sen 2x sen 3x. 44. y = cotg2 5x. Resp.: y ' = - 10 cotg 5x esc2 5x.

45. y = t sen t + eos t. Resp.: y ' = r eos f.

46. y = sen3 t eos f. Resp.: y ' = sen2 í (3 eos2 t — sen2 / ) .

a sen 2x 47. y = a Veos 2x. Resp.: y' = — V eos 2x

O <t> <I> 48. r = a sen3 —. Resp.: r' = a sen2 — eos —.

3 • 3 3

x x

i , / * '* )

tg — + cotg — 2x eos x + sen2 x I tg — + cotg — 45). y = 1 L . R e Sp .: y = _ , \ 2—'

x 7 x2 sen2 x

(

X \ X X

1 — eos2 y j . Resp.: y' = 2a sen3 — eos —.

51. y = — t g2 x. Resp.: y ' = tg x se2 x. 52. y = ln eos x. Resp.: y = - tg x. 33. y = ln tg x. Resp.: y' =

sen 2x 54. y = ln sen2 x. Resp.: y' = 2 cotg x.

l

s * -

1 D

5». y = . Resp.: y = sen x + eos x. SC X « * / 1 + sen r . 1 56. y = ln \ . Resp.: y' = V 1 - ¿en Í ' eos x DERIVADA Y D I F E R E N C I A L 1 133 5 7. y = i nt g ( ^ + | ) . R e s p , v ^ - i ^ .

58. y = sen (x + a) eos ( x + a). Resp.: y ' = eos 2 (x + 2). eos (ln x) x se2 ( l n x ) 59. f(x) = sen ( l n x ) . Resp.: f(x) = 60. / ( x ) = tg ( l n x ) . Resp.: / ' ( x ) = X >

61. / ( x ) = sen (eos x ) . Resp.: f'(x) = sen x eos (eos x ) . 1 • ' " dr u < 62. r = — t g3 $ - tg $ + 4>. Resp.: = tg* <t>.

3 dí> 63. / ( x ) = (x cotg x )2. Resp.: / ' ( x ) = 2x cotg x (cotg x - x esc2 x ) .

a 64. y = ln (ax + b). Resp.: y ' = 65. y = log( < (x2 + 1). Resp.: y' = 66. y = l n - . Resp.: y = ax + b 2x ( x2 + l ) ln a 1 - x r 1 - x' 2x — eos x 67. y = log3 (x2— sen x ) . Resp.: y' =

1 + x2 4x 68. y = ln . Resp.: y' = ( x2 — sen x ) l n 3 1 - x* 2x + 1 69. y = ln (x2 + x). Resp.: y ' = 70. y = ln ( x3 - 2x + 5). Resp.: y' = x2 + x 3x2 - 2 x3 - 2x + 5 71. y = x ln x. Resp.: y' = ln x + 1. 3 l n2 x 72. y = l n3 x. Resp.: y' = . x 1 73. y = ln (x + V I + x2) . Resp.: y' = 74. y = ln (ln x ) . Resp.: y ' = V I + x2 1 x ln x . : f ( * ) = T

— . . . . \

i + x _ . . . . ÍO. / ( x ) = Jr,

y/

T .

(3)

C Á L C U L O D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L 76. Vx 2 + 1 - x n 2 W = l n v x * - i+x * R e s p": m • - " " v l ^ • 77. y a + Va2 + xf Va2 + x2 = Va2 + x2 - a l n . Resp.: y' 78. y = ln (x + V~cM- a2) -81. 87. x V"x2~Ta2 79. y = -Resp.: y' = eos x 1 x „ 1 : + — ln tg —. Resp.: y = — . 2 sen2 x 2 2 sen3 x x Vx2 T a2" sen x 1 + sen2 x 80. y = — • Resp.: y' = 2 eos2 x 2 eos3 x

y = i - t g2 x + ln eos x. Resp.: y' = tg3 x. 82. y = e « . Resp.: y' = ae<".

y = e*x+5. Resp.: y' = 4e4 x+5. 84. y = a*1. Resp.: 2xa<2 l n a. y = Resp.: y' = 2(x + 1)7*,+2* l n 7. y = ca 2-x'. Resp.: y' = — 2xca'-*J l n c. y = aeV*. Resp.: y' = r = a ' °8. Resp.: >VT 2 V T dr ain e ln a i. r = a0. Resp.: r = a8 l n a. d9 = e* (1 - x2) . Resp.: y = ex (1 - 2x - x2) . ex - 1 „ 2c« Resp.: y = 92. y = ln e* + 1 1 + e -. Resp.: y' = (e» + l )2 1 1 + e* a * 1 f_ _ * y = ( C - e •»). Resp.: y' = y (ef l + e • ) .

y = esenx Resp.: y' = es e n* eos x. y =a'«n*. Resp.: y' = na1' n x se2 nx l n a.

y = ec o s 1 sen x. Resp.: y' = ecosx (eos x - sen2 x). y = l n sen x. Resp.: y' = e* (ctg x + l n sen x). y = x"es c n*. Resp.: y' = x"-lescnx (n + x eos x). y = x*. Resp.: y' = xx (ln x + 1). DERIVADA Y D I F E R E N C I A L 135 101. y = xtnx. Resp.: y' = x1"1"1 l n x2. 102. y = e*'. Resp.: y' = e* (1 + l n x)x*. , . , í = ( i ) " - . R e s p , >. = „ ( £ ) " ( . + . „ ¿ ) . / sen x - \ 104. y = x5 c n x. Resp.: xs e n x I — 1- l n x eos x J .

105. y = (sen x><. Resp.: (sen x >l( l n sen x + x cotg x ) .

106. y = (sen x)l'x. Resp.: y' = (sen x ) ' »x( l + sec2 x l n sen x ) .

1 - e* e2-» 1 107. y = t g - . Resp.: y' = -1 + e* (1 + e*)2 l - e* eos2 1 + ex eos V1 - 2* 108. y = sen V I - 2X. Resp.: y = _ _ _ — 2X l n 2 2V1 - 2X 109. y = 10* 'Í * Resp.: y' = 10* •« x l n 10 ( tg x + — - — J . \2 x /

. Calcular las derivadas de las siguientes funciones hallando previamente sus logaritmos: V (x- l )2 P 7 3 V (x - l )2 \ x2 + 1 x - i J : m y = (x +

i>3vTx-=TF

Resp, v .=

( x

+

i m T 3 2 j r

x ^ ( x - 3)2 ^ ( x - 3)2 / 3 3 __2 \ X \x + 1+4 ( x - 2 ) 5 ( x - 3 ) J ' , . , ( * + l )2 , (x + l)(5x2 + 14x + 5) 112. y = — . Reso ' v = (x + 2)3(x + 3)< P y (x + 2)<(x + 3)5 113. y = fczjy Resp ; y = - 161x2 + 4 8 0 x - 271 -</{%- 2^{x - 3 )7 60^(x - l )3V ( x - 2 ) ^ ( x - 3) x(l + x2) n 1 1 + 3x2 -2x* m

-

v =

T í ^ r -

R e s p

-

: y = 10 (1 - X2)2

115. y = x\a + 3x)3(a - 2xY. Resp.: y' = 5x4(a + 3x)2(a - 2x)(a2 + 2ax - 12x2). 116. y = aresen —. Resp.: y' =

117. y = (arasen x)2. Resp.: y' =

a Va2 - x2 2 aresen x

(4)

136 CÁLCULO D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L 118. y = arctg {x* + 1). Resp.: y = y - — + iy. 2* „ , 2 119. y = arctg — - j - . Resp.: y = J - J — . - 2x 120. y = arceos (x2) . Resp.: y' = , — - j = = r 2x arceos x , _ ( x + V I - x2 arceos x) 121. y = Resp.: y = — i - = ' x x2 V1 - x2 122. y = aresen t ± L . Resp.: y' = - = ^ = = f . x

123. y = xVa2 - x2 + a2 aresen —. Resp.: y' = 2Va2 - x2.

124. y = V a2 - x2 + a aresen i Resp.: y' = ^ / v + a du 1 125. u = arctg . Resp.: a + x 1 — av dv 1 + v2 1 x V T x2 + 1 126. y = —— arctg . Resp.: y' = V T 1 - x2 x* + x2 + J x 127. y = x aresen x. Resp.: y ' = aresen x +

128. / ( x ) = arceos ( l n x ) . Resp.: f'(x) =

-yJX^x2

1

129. / ( x ) = aresen V sen x. Resp.: f ( x ) =

x V 1 — l n2 x eos x 2 V sen x — sen2 x

V

I - eos x i n . _ 1 (0 < x < Tt). Resp.: y' = —. 1 + eos x 2 earctg x 131. y = earctg x. Resp.: y' = 1 + x2 gJC g-x 2 l. y = arctg . Resp.: y ' = e'

+

e-< ln x

I . y = jaresen x, Resp.: y' = ¿aresen * ^ aresen X +

V I - x2

. „ , eos x ( + 1 en los cuadrantes 1.° y 4.° 134. x = aresen (sen x). Resp.: y = - • = , , , ,

eos x j - 1 en ios cuadrantes 2.° y 3.°

DERIVADA Y D I F E R E N C I A L 4 sen x 4 135. y = arctg . Resp.: y' = 3 + 5 eos x 5 + 3 eos x a A / x — a 2a3 136. y = arctg — h l n \ . Resp.: y = . x V j + a x4 - a4 \_ , / 1 + * \ 1 ~ . x2 137. y = l n - — arctg x. Resp.: y' = - . V 1 - x / 2 1 - x4 3x2 1 x* + 1 138. y = — — — + l n V 1 + x2 + arctg x. Resp.: y' = 3*J c . r * x< + x* ' 1 , x + 1 1 2x - 1 m y =

T

Vx

2

-ZTTT

+

7T

a r c t g

" T T '

R e s p

-

: y

=

, 1 + x V"2~+ x2 . x v ' T w 4 V T 110. y = l n — 7 = + 2 arctg -. Resp.: y' = . 1 - x V 2 + x2 6 1 - x2 v * 1 + x* x2" - 1 2« | x I» 141. y = arceos . Resp.: y ' = -x2" + 1 r x(x2" + l )

Derivación de funciones implícitas: ¿ y Calcular , si: dx dy 2p 142. y2 = 4px. Resp.: = . 143. x2 + y2 = a2. Resp. dx y dy b2x 144. b2x2 + a2y2 = a2b2. Resp.: . dx a2y dy 2a 145. y3 - 3y + 2ax = 0. Resp.: 1 1 " dy . / y 146. x2 + y2 = aT Resp.: —— = i / -2 -2 -2 147. x3 + y3 = a3. Resp.: dx dy 148. y2 - 2xy + b2 = 0. ~ ax 3(1 - y2) dx""" "

V

x 3 <*> \ y I

7-dx y — x dy ay — x2 149. x ' + y3 - 3axy = 0. Resp.: = dx y2 — ax

(5)

138 CÁLCULO D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L dy 1 + y sen (xy)

151. eos (xy) = x. Resp.: = dx x sen (xy)

dy ":,'•• - - .;:' " Hallar para las funciones dadas p a r a m é t r i c a m e n t e :

dx

dy b 152. x = a eos t, y = b sen t. Resp.: = cotg t.

dx a

dy t 153. x = a(t - sen / ) ; y = a{l - eos f). Resp.: = cotg —.

dx 2 dy b

154. x = a eos3 /; y — b sen3 t. Resp.: = tg /.

dx a lat Sat2 dy 2t 155. x = - ; y = -• Resp.:

1 + 1 + t2 dx 1 - t2

du

156. u = 2 ln cotg s, v = tg s + cotg s. D e m u é s t r e s e que = tg 2s. ds

Hallar las tangentes de los ángulos que forman con el eje positivo de las x las líneas tangentes a las curvas:

1 V T

157. -x = eos í, y = sen í en el punto x = — —, y = —y. Construyase la grá-1

fica. Resp.: ——. V T

vi"

158. x = 2 eos t, y = sen í en el punto x = 1, y = . Construyase la grá-1

fica. Resp.:

2 2 V3

159. x = a(t - sen ?), y = a ( l - eos t) cuando t = —. Construyase la grá-fica. Resp.: 1.

160. x = a ees3 t, y = a sen3 t cuando t = —. Construyase la gráfica. Res-4

puesta: — 1.

161. Un cuerpo lanzado al vacío, formando con la horizontal un á n g u l o a, describe, por acción de la gravedad, una curva ( p a r á b o l a ) cuyas

ecua-gt2

ciones son x = v0 eos at, y --= v„ sen af (g = 9,8 m / s2) . Sabiendo que a = b0*( i»0 = 50 m/seg, determinar la dirección del movimiento cuandu: 1) / = 2 seg; 2) t = 7 seg. Construir la gráfica.

Resp • 1) tg <p, = 0,948, cp, = 43° 30'; 2) tg q>2 = - 1,012, <p2 = + 134' 7'.

DERIVADA Y D I F E R E N C I A L 139 Hallar las diferenciales de las funciones siguientes:

162. y = (a2 - x2)5. Resp.: dy = - 10x(a2 - a2)4 dx. , xdx 163. y = V 1 + x2. Resp.: dy = • V 1 + x2 164. y = y t g3 x + tg x. Resp.: dy = se4 x dx. x ln x , , . ' „ . ln x dx 165. y = - — j - + ln (1 - x ) . Resp.: dy = — - . i - x ( l - xy

Calcular los incrementos y diferenciales de las funciones:

166. y = 2x2 - x cuando x = 1, Ax = 0,01. Resp.: Ay = 0,0302, dy = 0,03. 167. Dada y = x3 + 2x. Hállese Ay y dy cuando x = - 1, Ax = 0,02.

Respues-ta: Ay = 0,098808, dy = 0,1.

u n n

168. Dada y = sen x. Hállese dy cuando x = —, Ax = —. Resp.: dy = — =

= 0,00873. 3 1 8 36

V T i 169. Sabiendo que sen 60° = —— = 0,866025; eos 60° = —, hallar los valores

aproximados de sen 60* 3' y sen 60° 18'. Comparar los resultados con datos tabulares. Resp.: sen 60" 3 ' = 0,866461; sen 60* 18' » 0,868643. 170. Hallar el valor aproximado de tg 45° 4'30". Resp.: 1,00262.

171. Sabiendo que log1 0 200=2,30103, hallar el valor aproximado de loe,0 200.0. Resp.: 2,30146.

Derivadas de diversas ó r d e n e s .

172. y = 3x3 - 2x2 + 5x - 1. Hallar y". Resp.: 18x - 4. _ 42 JL

173. y = V x3. Hallar y". Resp.: x 5. 125 174. y = x6. Hallar y<6>. Resp.: 6!.

C M(M + 1 ) C

175. y = . Hallar y". Resp.: x" x"+2 176. y = V a2 - x2. Hallar y". Resp.:

-177. y = 2 V x . Hallar y<4>. Resp.:

-a2

(a2 - x2) V a2 - x2 15

178. y = ax2 + bx + c. Hallar y'". Resp.: 0. 179. ,{x) = ln (x + 1). Hallar P ( x ) . Resp.:

(6)

140 CÁLCULO D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L

180. y = tg x. Hallar y'". Resp.: 6 sec4 x - 4 sec2 x.

181. y = l n sen x. Hall ar y'". Resp.: 2 ctg x cosec2 x.

182. / (X) = Vsec 2x'. Hallar f\x). Resp.: / " ( * ) = 3 [f(x)V - /(*)•

183. y = -y^y- Hallar /<4>(x). Resp.: {l^x)S

-q cPp 4a3

184. p = (q2 + a2) arctg - . Hallar — . Resp.: (q2 - q2 y •

• « i _ i _ d^y y 185. y = y (e- + e Hallar — . Resp.:

186. y = eos ax. Hallar y<">. Resp.: a" eos f ax+Wy J .

187. y = a*. Hallar y<">. Resp.: ( l n a"Ja*.

( n - D ! 188. y = l n (1 + x ) . Hallar y<»>. Resp.: ( - 1 ) " - ' — - .

(1 + x ) "

1 - x n! 189. y = . Hallar y<">. Resp.: 2 ( -

1)"-1 + x (1)"-1 + x>'

+

«

190. y = e'x. Hallar y( , l ). Resp.: ex(x + n).

( n - 1)! 191. -y = x " - ' l n x. Hallar y'"». Resp.: .

x

192. y = sen2 x. Hallar y<">. Resp.: - 2"-' eos ^ 2x + y n j •

193. y = x sen x. Hallar yM. Resp.: x sen ^ x + y H ^ - n eos |

194. Si y = e* sen x, d e m u é s t r e s e que y " — 2y' + 2y = 0.

cP-y 4a2

195. y2 = 4ax. Hallar . Resp.: .

dx2 y3 ¿P-y d3y b* 3b*x 196. bx2 + a2y2 = a2b2. Hallar — y — . Resp.: ; . dx2 dx} a2y3 a*ys d2y r2 197. x2 + y2 = r2. Hallar — - . Resp.: -. dx2 y3 d3y

198. y2 - 2xy = 0. Hallar . Resp.: 0.

dx3

d3p 2(5 + 8p2 + 3p«)

199. p s t g (<p + p). Hallar . Resp.: — .

dy1 p8

DERIVADA Y D I F E R E N C I A L 141

200. sec <p • eos p = C. Hallar — - . Resp.:

(Pp t g2 p - t g2 <p

dep2 ' t g3 p

¿Py (1 - e**'j(e* - ey)

201. M + x =2e>' + y. Hallar — . Resp, ^ + ^

d2y 2a3xy

202. y3 + x3 - 3ÍIXV = 0. H a l l a r — — . Resp.: - — - .

7 dx2 ( y2 - a x)3

(Py 1

203. x = a ( í sten f ) , y = a ( l eos í). Hallar ——. Resp.:

-dx2 4a sen4

( T )

(Py

204. x = a eos 2i, y = b sen2 /. D e m u é s t r e s e que = 0.

dx2

d3y 3 eos í

205. x = a eos f, y = a sen f. Hallar . Resp.: -dx

3 a2 sen5 í

d2» cP-'+i

206. D e m u é s t r e s e que —— (sh x ) = sh x; (sh x) = ch x.

dx2" . d x2 n + I

Ecuaciones de la tangente y de la normal. Longitudes de la subtangente y de la subnormal.

207. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva

y = x3 - 3x2 - x + 5 en el punto M ( 3 , 2). Resp.: tangente 8x - y - 22 = 0;

normal x + 8y - 19 = 0.

208. Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal, así como las

longi-tudes de la subtangente y subnormal de la circunferencia x2 + y2 = r2

en el punto M(x\, y¿). Resp.: tangente x x i + yyi = r2; normal Xiy —

- y,x = 0; sT = \ —

; SN

— I

x\

209. Demostrar que la subtangente correspondiente a un punto arbitrario

de la p a r á b o l a y2 = 4px queda dividida por el vértice en dos partes

iguales y que la subnormal es constante e igual a 2p. Construir la grá-fica.

210. Hallar la e c u a c i ó n de la tangente en el punto AÍ(X|, y j ) : a) A la elipse

x2 y2 xxi yy, x2 v2 — + — = 1. Resp.: + = 1. b ) A la h i p é r b o l e — = 1. a2 b7 a? h- a2 b2 xxx yy, Resp.: = 1. a2 b2

211. Hallar la ecuación de la tangente y de la normal a la curva de Agnesi

y - — en el punto donde x = 2a. Resp.: tangente x + 2v = 4a;

4a2 + x2

(7)

142 CÁLCULO D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L

212. Demostrar que la normal a la curva 3y = 6x - 5x3 en el punto

M ( 1, y J, pasa por el origen de las coordenadas.

213. Demostrar que la tangente a la curva ( ~~ ) + ( ) = 2 e n e l Pu n t 0

x y M(a, b) viene dada por la ecuación — H = 2.

a b

214. Hallar la ecuación de la tangente a la p a r á b o l a y2 = 20x que forma con el eje Ox un ángulo de 45°. Resp.: y = x + 5 [en el punto (5, 10)]. 215. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia, paralelas a

la recta 2x + 3y = 6. Resp.: 2x + 3y ± 26 = 0.

216. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola 4x2 - 9y2 = 36, per-pendiculares a la recta 2y + 5x = 10. Resp.: no existen tales tangentes. 217. Demostrar que el segmento de tangente a la hipérbola xy = m,

com-prendido entre los ejes de coordenadas, queda dividido por el punto de tangencia en dos partes iguales.

L — —

218. Demostrar que el segmento de tangente a la astroide x3 + y3 = a3, com-prendido entre los ejes de coordenadas, tiene longitud constante. 219. Hallar el ángulo a de corte de las curvas y = ax e y = bx. Respuesta:

ln a — ln b

tg a = . 1 + l n a • ln b

220. Hallar las longitudes de la subtangente, subnormal, tangente y normal de la cicloide x = a(9 — sen 9), y = a ( l — eos 9) en el punto en que

•K _

9 = —. Resp.: sT = a; sN = a; T = a V 2; A/ = a V 2 .

221. Hallar los valores sT, sN, T y N para la hipocicloide de x = 4a eos3 /, sen4 t

y = 4a sen3 t. Resp.: sT = - 4a sen2 / eos t; sN = - 4a ; T = eos / = 4a sen2 t; N = 4a sen2 t tg t.

Problemas diversos

Calcular las derivadas de las funciones: sen x 1 / TZ x \ 222. y = — ln tg — Resp.: y' = -2 eos2 x 2 \ 2 / eos1 1 1 223. y = aresen —. Resp.: y' = x r

'

I x I V x2 - 1 sen x 224 y = aresen (sen x ) . Resp.: y' =

I sen x DERIVADA Y D I F E R E N C I A L 143 a - b rctg I 1 2 l a - b x \ 225. y = — 7 - — • arctg — — - tg - (a > 0, b > 0). v a2 — b2 \ + b 2 / Resp.: y' = a + b eos x 226. y = x . Resp.: y' = -—¡ 227. y = aresen v 1 — x2. Resp.: y' = — •—¡ • • » | x | V1 - x2

228. De las f ó r m u l a s para calcular el volumen y la superficie de la esfera

4 dv . . .

v = — i t r3 y s = izr2, se deduce que = s. Explicar el significado géo-3 dr m é t r i c o de este resultado. Hallar la relación análoga entre el área del círculo y la longitud de la circunferencia.

229. En el triángulo ABC, el lado a se expresa en función de los otros dos lados b, c y el ángulo A formado por estos ú l t i m o s , mediante la fór-mula a = V b2 — c2 — 2bc eos A. Siendo invariable b y c, a es función

da

del ángulo A. Demostrar que = ha, donde ha es la altura del

trian-do

guio correspondiente a la base a. Interpretar el significado g e o m é t r i c o de este resultado.

230. Empleando el concepto de diferencial, interpretar el origen de las fór-b fór-b m u í a s aproximadas v a2 + b = a -\ -v^a3 + b » a -\ donde \b\

2a 3a 1 1

es un n ú m e r o p e q u e ñ o , en c o m p a r a c i ó n con a.

231. E l p e r í o d o de oscilaciones de un p é n d u l o es T = n ^ ~• ¿Oué influencia tiene sobre el error, al calcular el valor del p e r í o d o T, un error del 1 % cometido al medir:

1) la longitud del p é n d u l o /; 2) la aceleración de la fuerza de la gravedad g? Resp.: 1) * — %; 2) = — %.

232. La tractriz tiene la propiedad de que en cada uno de sus puntos, el segmento de tangente T es de longitud constante. Demostrar esto:

1) dada la ecuación de la tractriz: fl a _ Va2 - y2 x = V a2 - y2 + ln J (a > 0);

2 a + V a2 — y2 2) dadas las ecuaciones p a r a m é t r i c a s :

t

x = a ( l n tg — + eos / ) , y = a sen t.

233. Demostrar que la función y = Cxe~x + C2e-2x satisface la ecuación y + 3y' + 2y = (Cj y C2 son constantes).

(8)

144 CÁLCULO D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L

234. Suponiendo que y = ax sen x, z = e* eos x, demostrar que

y" = 2z, z" = - 2y.

235. Demostrar que la función y = sen (m aresen x) satisface la ecuación (1 - x2) y" - xy + m2y = 0.

y

236. Demostrar que si (a - bx)ex = x, se tiene:

Figure

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