Tema 2: Relaciones y funciones

(1)

´ Algebra

Araceli Guzm´

an y Guillermo Garro

Facultad de Ciencias UNAM

Semestre 2018-1

(2)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Relaciones y funciones

Los conceptos de relación y función son, sin duda alguna, de los más importantes dentro de las matemáticas modernas. La mayor parte de la investigación en matemáticas se centra en el estudio de relaciones y funciones, por lo cual, no ha de sorprender que estos conceptos sean de una gran generalidad. Hausdorff consideraba que el concepto de función es casi tan primitivo como el de conjunto, y qué decir del concepto de relación, el cual intuitivamente parece más esencial que el de función.

Fernando Hern´andez,Teor´ıa de conjuntos.

1. Antonio Lascurain,Algebra Superior, 2011. Bajar´ aqu´ı.

2. Carmen G´omez Laveaga. Algebra Superior, 2016. Bajar´ aqu´ı.

3. A. Bravo, H. Rinc´on y C. Rinc´on. Algebra superior, 2014. Bajar´ aqu´ı.

(3)

Relaciones y funciones

Los conceptos de relación y función son, sin duda alguna, de los más importantes dentro de las matemáticas modernas. La mayor parte de la investigación en matemáticas se centra en el estudio de relaciones y funciones, por lo cual, no ha de sorprender que estos conceptos sean de una gran generalidad. Hausdorff consideraba que el concepto de función es casi tan primitivo como el de conjunto, y qué decir del concepto de relación, el cual intuitivamente parece más esencial que el de función.

Fernando Hern´andez,Teor´ıa de conjuntos.

Referencias

1. Antonio Lascurain,Algebra Superior, 2011. Bajar´ aqu´ı.

2. Carmen G´omez Laveaga. Algebra Superior, 2016. Bajar´ aqu´ı.

3. A. Bravo, H. Rinc´on y C. Rinc´on. Algebra superior, 2014. Bajar´ aqu´ı.

(4)

Pares ordenadas. Producto cartesiano

SeanAyBconjuntos. Sia∈ Ayb ∈B, entonces elpar ordenadode aybes el conjunto

(a, b) :={{a},{a, b}} ∈℘(℘(A∪B)).

Elproducto cartesianodeAyBes el conjuntoA×Bde todos los pares ordenados

(a, b)tales quea∈Ayb∈B.

SiA=B, entonces escribimosA2 _{en lugar de}_A_×_A_.

Ejemplo

SeanA={1,2,3}yB={a, b}.

A×B={(a, b) :a∈A∧ b∈B}

={(1, a),(1, b),(2, a),(2, b),(3, a),(3, b)}.

Note que(1, a)∈A×B, pero(1, a)∈/A×B. El orden s´ı importa!

(5)

Ejemplo

Sean los intervalos cerrados de n´umeros reales:

[a, b] ={x∈R:a≤x≤b} y [c, d] :={x∈R:c≤x≤d}.

El producto cartesiano[a, b]×[c, d]tiene una representaci´on geom´etrica t´ıpica

(6)

Ejemplo

SeaA:={x∈R:|x|<1}. Note que

|x|<1 ⇔ −1< x <1.

De modo queAes el intervalo abierto(−1,1).

La representaci´on geom´etrica del producto cartesiano

A×R={(x, y) :−1< x <1 ∧ y∈R}

tiene también una representación geométrica t´ıpica.

(7)

El plano cartesiano

R

2

El producto cartesianoR2:=R×Res el conjunto de todas las parejas ordenadas(x, y) tales quex∈Ryy∈R

(8)

Relaciones y funciones

_Algebra´

La propiedad m´

as importante de las parejas ordenadas

Teorema : El orden s´ı importa

SeanAyBconjuntos. Para todosa, c∈Ay para todosb, d∈B,

(a, b) = (c, d)si y s´olo sia=cyb=d.

Demostraci´on.

[⇒]Supongamos que(a, b) = (c, d). Luego, por definici´on

(a, b) ={{a},{a, b}}={{c},{c, d}}= (c, d).

Por el principio de extensi´on, hay dos casos, a saber,

Caso I:{a}={c}y{a, b}={c, d}.

Caso II:{a}={c, d}y{a, b}={c}.

En cualquier caso,a=cyb=d.

{a}={c} ⇒ a=c,

∴ {a, b}={a, d} ⇒ b∈ {a, d}yd∈ {a, b}

⇒ a=by en cuyo casoa=b=c=d, o bien,b=d(y ya sabemos quea=c). Caso II:{a}={c, d}y{a, b}={c}.

{a}={c, d} ⇒a=c=d {a, b}={c} ⇒a=b=c.

De donde, obviamente,a=cyc=d.

[⇐]Trivial.

(9)

Relaciones y funciones

_Algebra´

La propiedad m´

as importante de las parejas ordenadas

Demostraci´on.

(a, b) ={{a},{a, b}}={{c},{c, d}}= (c, d).

{a}={c} ⇒ a=c,

∴ {a, b}={a, d} ⇒ b∈ {a, d}yd∈ {a, b}

⇒ a=by en cuyo casoa=b=c=d, o bien,b=d(y ya sabemos quea=c).

{a}={c, d} ⇒a=c=d {a, b}={c} ⇒a=b=c.

[⇐]Trivial.

(10)

Relaciones y funciones

_Algebra´

La propiedad m´

as importante de las parejas ordenadas

Demostraci´on.

(a, b) ={{a},{a, b}}={{c},{c, d}}= (c, d).

{a}={c} ⇒ a=c,

∴ {a, b}={a, d} ⇒ b∈ {a, d}yd∈ {a, b}

⇒ a=by en cuyo casoa=b=c=d, o bien,b=d(y ya sabemos quea=c).

{a}={c, d} ⇒a=c=d {a, b}={c} ⇒a=b=c.

[⇐]Trivial.

(11)

La propiedad m´

as importante de las parejas ordenadas

Demostraci´on.

(a, b) ={{a},{a, b}}={{c},{c, d}}= (c, d).

[⇐]Trivial.

(12)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Relaciones

Unarelaci´onentre los conjuntosAyB, es cualquier subconjunto del producto cartesiano A×B. SiR⊂A×By(a, b)∈R, algunas veces escribimosaRb. SiA=Bdecimos simplemente queRes una relaci´on sobreA.

Si(a, b)∈R, decimos quebes laimagenarespecto aR, y queaes lapreimagendeb respecto aR.

Eldominio de una relaci´on R ⊂ A×B, es el subconjunto DR ⊂ Ade todos los elementos deAque tienen imagen enBrespecto aR. Esto es:

DR={a∈A: (∃b∈B)(a, b)∈R}.

a∈DR⇔(∃b∈B)(a, b)∈R.

Laimagen de una relaci´on R⊂ A×B, es el subconjunto IR ⊂ B de todos los elementos deBque tiene preimagen enArespecto aR. Esto es:

IR={b∈B: (∃a∈A)(a, b)∈R}.

b∈IR⇔(∃a∈A)(a, b)∈R.

La relacióninversade una realciónR⊂A×B, es la relación sobreB×Adada por

R−1={(b, a)∈B×A: (a, b)∈A×B}.

(b, a)∈R−1⇔(a, b)∈R.

(13)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Relaciones

DR={a∈A: (∃b∈B)(a, b)∈R}.

IR={b∈B: (∃a∈A)(a, b)∈R}.

R−1={(b, a)∈B×A: (a, b)∈A×B}.

(b, a)∈R−1⇔(a, b)∈R.

(14)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Relaciones

DR={a∈A: (∃b∈B)(a, b)∈R}. Para todaa∈A,

IR={b∈B: (∃a∈A)(a, b)∈R}.

R−1={(b, a)∈B×A: (a, b)∈A×B}.

(b, a)∈R−1⇔(a, b)∈R.

(15)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Relaciones

DR={a∈A: (∃b∈B)(a, b)∈R}.

Para todaa∈A,

IR={b∈B: (∃a∈A)(a, b)∈R}.

R−1={(b, a)∈B×A: (a, b)∈A×B}.

(b, a)∈R−1⇔(a, b)∈R.

(16)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Relaciones

DR={a∈A: (∃b∈B)(a, b)∈R}.

Para todaa∈A,

IR={b∈B: (∃a∈A)(a, b)∈R}. Para todab∈B,

R−1={(b, a)∈B×A: (a, b)∈A×B}.

(b, a)∈R−1⇔(a, b)∈R.

(17)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Relaciones

DR={a∈A: (∃b∈B)(a, b)∈R}.

IR={b∈B: (∃a∈A)(a, b)∈R}.

R−1={(b, a)∈B×A: (a, b)∈A×B}.

(b, a)∈R−1⇔(a, b)∈R.

(18)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Relaciones

DR={a∈A: (∃b∈B)(a, b)∈R}.

IR={b∈B: (∃a∈A)(a, b)∈R}.

R−1={(b, a)∈B×A: (a, b)∈A×B}. Para todaa∈Ay todab∈B,

(b, a)∈R−1⇔(a, b)∈R.

(19)

Ejemplo

SeanA={a, b, c, d}yB={1,2,3,4,5}. Sea la relaci´on

R={(a,2),(a,4),(b,4),(d,5)}.

Tenemos entonces

DR={a, b, d} y IR={2,4,5}.

Y en este caso,

R−1={(2, a),(4, a),(4, b),(5, d)}.

b b b b b b b b b a b c d 1 2 3 4 5 A B R

(20)

Ejemplo

SeanA={a, b, c, d}yB={1,2,3,4,5}. Sea la relaci´on

R={(a,2),(a,4),(b,4),(d,5)}.

Tenemos entonces

DR={a, b, d} y IR={2,4,5}.

Y en este caso,

R−1={(2, a),(4, a),(4, b),(5, d)}.

b b b b b b b b b a b c d 1 2 3 4 5 A B

R−1

(21)

Ejemplo

EnZdefinimosRtal que

∀m, n∈Z: (m, n)∈R⇔(m >0)∧(m|n).

Algunos pares(m, n)deRson

(2,−6), (2,6), (3,−9), (3,9), ...

En este caso,

DR=Z+ y IR=Z.

Y por otro lado,

∀m, n∈Z: (m, n)∈R−1⇔(n >0)∧(n|m).

Algunos pares(m, n)deR−1_son

(−6,2), (6,2), (−9,3), (9,3), ...

(22)

Ejemplo

La relaci´onR⊂Z2

(23)

Ejemplo

La relaci´onR−1⊂Z2

(24)

Dos observaciones ´

utiles

Teorema

SiR⊂A×B,

(R−1)−1=R.

Demostraci´on.

(a, b)∈R⇔(b, a)∈R−1

⇔(a, b)∈(R−1)−1_.

Teorema

SiR⊂S⊂A×B,

R−1⊂S−1.

Demostraci´on.

(b, a)∈R−1⇒(a, b)∈R ⇒(a, b)∈S ⇒(b, a)∈S−1.

(25)

Composici´

on de relaciones

Dadas las relacionesR⊂A×B yS⊂B×C, definimos lacomposici´onde RyS como la relaci´on

S◦R={(a, c)∈A×C: (∃b∈B)(a, b)∈R∧(b, c)∈S}.

b b

a

A B

R

C

b

b c

S S◦R

aRb bSc

(26)

Ejemplo

Sean los conjuntos

A={−1,0,1}, B={1,3} y C={3,5},

y las relaciones

R={(−1,1),(1,1)} ⊂A×B y S={(1,3),(3,5)} ⊂B×C.

Entonces

S◦R={(−1,3),(1,3)}.

(27)

Composici´

on de relaciones

Teorema

SeanA,ByCconjuntos, y seanR⊂A×ByS⊂B×Crelaciones. Entonces

(S◦R)−1=R−1◦S−1.

b b

a

A B

R

C

b

b c

S

S−1 R−1

S◦R

(S◦R)−1₌_R−1_◦_S−1

aRb bSc

bR−1_a _cS−1_b

(28)

Composici´

on de relaciones

Teorema

SeanA,ByCconjuntos, y seanR⊂A×ByS⊂B×Crelaciones. Entonces

(S◦R)−1₌_R−1 ◦S−1.

Demostraci´on.

Para todoa∈Ayc∈C, tenemos,

(c, a)∈(S◦R)−1⇔(a, c)∈S◦R

⇔(∃b∈B)(a, b)∈R∧(b, c)∈S ⇔(∃b∈B)(b, a)∈R−1∧(c, b)∈S−1 ⇔(∃b∈B)(c, b)∈S−1∧(b, a)∈R−1 ⇔(c, a)∈R−1◦S−1.

(29)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Composici´

on de relaciones

Teorema : La composici´on de relaciones es asociativa

SeanA,B,C yDconjuntos, y seanR⊂A×B,S⊂B×C yT ⊂C×D. Entonces

(T◦S)◦R=T◦(S◦R).

Demostraci´on.

[⊂]Observamos primero queT◦S⊂B×D, as´ı que para todaa∈Ay todad∈D, si(a, d)∈(T ◦S)◦R, existir´a unb∈Btal que(a, b)∈Ry(b, d)∈T◦S; se sigue que habr´a unc∈Ctal que(b, c)∈Sy(c, d)∈T. Tenemos as´ı que(a, c)∈S◦Ry

(c, d)∈T. En consecuencia,(a, d)∈T◦(S◦R).

[⊃]Observamos primero queS◦R⊂A×C, as´ı que para todaa∈Ay todad∈D, si(a, d)∈T ◦(S◦R), existir´a unc∈Ctal que(a, c)∈S◦Ry(c, d)∈T; se sigue que habr´a unb ∈B tal que(a, b)∈ Ry(b, c) ∈S. Tenemos as´ı que (a, b)∈ Ry

(b, d)∈T◦S. En consecuencia,(a, d)∈(T◦S)◦R.

⊃

⊂

Note que

(T◦(S◦R))−1= (S◦R)−1◦T−1= (R−1◦S−1)◦T−1

((T◦S)◦R)−1=R−1◦(T◦S)−1=R−1◦(S−1◦T−1).

Y por otra parte,

(R−1◦S−1)◦T−1⊂R−1◦(S−1◦T−1).

De donde

(T◦(S◦R))−1

⊂((T◦S)◦R)−1_,

esto es

T◦(S◦R)⊂(T◦S)◦R.

(30)

Composici´

on de relaciones

SeanA,B,C yDconjuntos, y seanR⊂A×B,S⊂B×C yT ⊂C×D. Entonces

(T◦S)◦R=T◦(S◦R).

Demostraci´on.

[⊂]Observamos primero queT◦S⊂B×D, as´ı que para todaa∈Ay todad∈D, si(a, d)∈(T ◦S)◦R, existir´a unb∈Btal que(a, b)∈Ry(b, d)∈T◦S; se sigue que habr´a unc∈Ctal que(b, c)∈Sy(c, d)∈T. Tenemos as´ı que(a, c)∈S◦Ry

(c, d)∈T. En consecuencia,(a, d)∈T◦(S◦R).

[⊃]Observamos primero queS◦R⊂A×C, as´ı que para todaa∈Ay todad∈D, si(a, d)∈T ◦(S◦R), existir´a unc∈Ctal que(a, c)∈S◦Ry(c, d)∈T; se sigue que habr´a unb ∈B tal que(a, b)∈ Ry(b, c) ∈S. Tenemos as´ı que (a, b)∈ Ry

(b, d)∈T◦S. En consecuencia,(a, d)∈(T◦S)◦R.

Otra forma de probar

[

_⊃

]

asumiendo

[

_⊂

]

Note que

(T◦(S◦R))−1= (S◦R)−1◦T−1= (R−1◦S−1)◦T−1

((T◦S)◦R)−1=R−1◦(T◦S)−1=R−1◦(S−1◦T−1).

Y por otra parte,

(R−1◦S−1)◦T−1⊂R−1◦(S−1◦T−1).

De donde

(T◦(S◦R))−1

⊂((T◦S)◦R)−1_,

esto es

T◦(S◦R)⊂(T◦S)◦R.

(31)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Composici´

on de relaciones

SeanA,B,C yD conjuntos, y seanR⊂A×B,S⊂B×CyT ⊂C×D relaciones. Entonces

(T◦S)◦R=T◦(S◦R).

Pero la mejor forma de probar el teorema es...

(a, d)∈(T◦S)◦R⇔(∃b∈B)(a, b)∈R∧(b, d)∈T◦S

⇔(∃b∈B)(∃c∈C)(a, b)∈R∧((b, c)∈S∧(c, d)∈T) ⇔(∃c∈C)(∃b∈B)((a, b)∈R∧(b, c)∈S)∧(c, d)∈T ⇔(∃c∈C)((∃b∈B)(a, b)∈R∧(b, c)∈S)∧(c, d)∈T ⇔(∃c∈C)(a, c)∈S◦R∧(c, d)∈T

⇔(a, d)∈T◦(S◦R).

(32)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Composici´

on de relaciones

(T◦S)◦R=T◦(S◦R).

(a, d)∈(T◦S)◦R⇔(∃b∈B)(a, b)∈R∧(b, d)∈T◦S

⇔(∃b∈B)(a, b)∈B∧((∃c∈C)(b, c)∈S∧(c, d)∈T)

⇔(∃c∈C)(∃b∈B)((a, b)∈R∧(b, c)∈S)∧(c, d)∈T ⇔(∃c∈C)((∃b∈B)(a, b)∈R∧(b, c)∈S)∧(c, d)∈T ⇔(∃c∈C)(a, c)∈S◦R∧(c, d)∈T

⇔(a, d)∈T◦(S◦R).

(33)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Composici´

on de relaciones

(T◦S)◦R=T◦(S◦R).

(a, d)∈(T◦S)◦R⇔(∃b∈B)(a, b)∈R∧(b, d)∈T◦S

⇔(∃b∈B)(a, b)∈B∧((∃c∈C)(b, c)∈S∧(c, d)∈T) ⇔(∃b∈B)(∃c∈C)(a, b)∈R∧((b, c)∈S∧(c, d)∈T)

⇔(∃c∈C)((∃b∈B)(a, b)∈R∧(b, c)∈S)∧(c, d)∈T ⇔(∃c∈C)(a, c)∈S◦R∧(c, d)∈T

⇔(a, d)∈T◦(S◦R).

(34)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Composici´

on de relaciones

(T◦S)◦R=T◦(S◦R).

(a, d)∈(T◦S)◦R⇔(∃b∈B)(a, b)∈R∧(b, d)∈T◦S

⇔(∃b∈B)(a, b)∈B∧((∃c∈C)(b, c)∈S∧(c, d)∈T) ⇔(∃b∈B)(∃c∈C)(a, b)∈R∧((b, c)∈S∧(c, d)∈T) ⇔(∃c∈C)(∃b∈B)((a, b)∈R∧(b, c)∈S)∧(c, d)∈T

⇔(∃c∈C)(a, c)∈S◦R∧(c, d)∈T ⇔(a, d)∈T◦(S◦R).

(35)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Composici´

on de relaciones

(T◦S)◦R=T◦(S◦R).

(a, d)∈(T◦S)◦R⇔(∃b∈B)(a, b)∈R∧(b, d)∈T◦S

⇔(∃b∈B)(a, b)∈B∧((∃c∈C)(b, c)∈S∧(c, d)∈T) ⇔(∃b∈B)(∃c∈C)(a, b)∈R∧((b, c)∈S∧(c, d)∈T) ⇔(∃c∈C)(∃b∈B)((a, b)∈R∧(b, c)∈S)∧(c, d)∈T ⇔(∃c∈C)((∃b∈B)(a, b)∈R∧(b, c)∈S)∧(c, d)∈T

⇔(a, d)∈T◦(S◦R).

(36)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Composici´

on de relaciones

(T◦S)◦R=T◦(S◦R).

(a, d)∈(T◦S)◦R⇔(∃b∈B)(a, b)∈R∧(b, d)∈T◦S

⇔(∃b∈B)(a, b)∈B∧((∃c∈C)(b, c)∈S∧(c, d)∈T) ⇔(∃b∈B)(∃c∈C)(a, b)∈R∧((b, c)∈S∧(c, d)∈T) ⇔(∃c∈C)(∃b∈B)((a, b)∈R∧(b, c)∈S)∧(c, d)∈T ⇔(∃c∈C)((∃b∈B)(a, b)∈R∧(b, c)∈S)∧(c, d)∈T ⇔(∃c∈C)(a, c)∈S◦R∧(c, d)∈T

(37)

Composici´

on de relaciones

(T◦S)◦R=T◦(S◦R).

(a, d)∈(T◦S)◦R⇔(∃b∈B)(a, b)∈R∧(b, d)∈T◦S

⇔(∃b∈B)(a, b)∈B∧((∃c∈C)(b, c)∈S∧(c, d)∈T) ⇔(∃b∈B)(∃c∈C)(a, b)∈R∧((b, c)∈S∧(c, d)∈T) ⇔(∃c∈C)(∃b∈B)((a, b)∈R∧(b, c)∈S)∧(c, d)∈T ⇔(∃c∈C)((∃b∈B)(a, b)∈R∧(b, c)∈S)∧(c, d)∈T ⇔(∃c∈C)(a, c)∈S◦R∧(c, d)∈T

⇔(a, d)∈T◦(S◦R).

(38)

Clasificaci´

on de relaciones sobre un conjunto

A

SeaRuna relaci´on sobre un conjuntoA, i.e. R⊂A×A=A2_.

Resreflexiva⇔ ∀x∈A: (x, x)∈R.

Ressim´etrica⇔ ∀x, y∈A: (x, y)∈R⇒(y, x)∈R.

Resantisim´etrica⇔ ∀x, y∈A: (x, y)∈R∧(y, x)∈R⇒x=y.

Restransitiva⇔ ∀x, y, z∈A: (x, y)∈R∧(y, z)∈R⇒(x, z)∈R.

(39)

Ejemplo

SeaA={a, b, c, d, e, f, g, h}, y sea la relaci´on sobreA

R1={(a, b),(b, a),(c, c),(c, d),(c, h),(e, c),(f, f),(h, g)}

r s t R1

R2

R3

R4

Cr´edito imagenaqu´ı.

(40)

Ejemplo

R2={(a, a),(a, b),(b, a),(b, b),(c, c),(c, d),(c, e),(c, h),(d, c), (d, d),(e, e),(f, f),(g, g),(h, h),(h, g)}

r s t R1

R2 X

R3

R4

(41)

Ejemplo

R3={(a, a),(a, b),(b, a),(b, b),(c, c),(c, e),(c, g),(c, h),(f, f),(h, g)}

r s t R1

R2 X

R3 X

R4

(42)

Ejemplo

R4={(a, a),(a, b),(b, a),(b, b),(c, c),(d, d),(e, e),(e, g),(e, h),

(f, f),(g, e),(g, g),(g, h),(h, e),(h, g),(h, h)}

r s t

R1

R2 X

R3 X

R4 X X X

(43)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Ejemplo

SobrreRdefinimosRcon la sentencia

∀x, y∈R: (x, y)∈R⇔x−y∈Z.

Tenemos

1.Res reflexiva:

x∈R⇒x−x= 0∈Z.

2.Res sim´etrica:

(y, x)∈R⇒x−y∈Z⇒y−x=−(x−y)∈Z⇒(y, x)∈R.

3.Res transitiva:

(x, y)∈R∧(y, z)∈R⇒x−y∈Z∧y−z∈Z

⇒x−y+y−z∈Z

⇒x−z∈Z

⇒(x, z)∈R.

x∼y⇔(∃k∈Z)y=x+k

Representaci´on gr´afica deR

(44)

Ejemplo

SobrreRdefinimosRcon la sentencia

∀x, y∈R: (x, y)∈R⇔x−y∈Z.

Tenemos

1.Res reflexiva:

x∈R⇒x−x= 0∈Z.

2.Res sim´etrica:

(y, x)∈R⇒x−y∈Z⇒y−x=−(x−y)∈Z⇒(y, x)∈R.

3.Res transitiva:

(x, y)∈R∧(y, z)∈R⇒x−y∈Z∧y−z∈Z

⇒x−y+y−z∈Z

⇒x−z∈Z

⇒(x, z)∈R. Para caday∈R,

x∼y⇔(∃k∈Z)y=x+k

Representaci´on gr´afica deR

(45)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Ejemplo importante: divisibilidad

Simynson enteros, decimos quemdivide an, y escribimosm|n, si existe un entero ktal quen=mk.

Propiedades:

1.|es reflexiva:

m∈Z⇒m=m·1⇒m|m.

1| −1 y −1|1pero16=−1.

No obstante, |escasiantisim´etrica: Seanm ynenteros tales quem |nyn|m. Existen enteroskyk0 _{tales que}_n₌_mk_y_m₌_nk0_{. As´ı,}

n=mk= (nk0)k=n(kk0).

Entonceskk0 = 1, y por lo tantokyk0 tienen el mismo signo y|k|=|k0|= 1. De modo quen=mo bienn=−m.

(46)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Ejemplo importante: divisibilidad

Propiedades:

1.|es reflexiva:

2.|no es antisim´etrica:

1| −1 y −1|1pero16=−1.

Existen enteroskyk0 _{tales que}_n₌_mk_y_m₌_nk0_{. As´ı,}

(47)

Ejemplo importante: divisibilidad

Propiedades:

1.|es reflexiva:

2.|no es antisim´etrica:

1| −1 y −1|1pero16=−1.

No obstante, |escasiantisim´etrica: Seanm ynenteros tales quem |nyn|m. Existen enteroskyk0 tales quen=mkym=nk0. As´ı,

(48)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Ejemplo importante: divisibilidad

Propiedades:

3.|no es sim´etrica:

1|2 pero 2-1.

tales quen=mkyl=nk0_{. Luego}

l=nk0= (mk)k0=m(kk0).

De modo quem|l.

(49)

Ejemplo importante: divisibilidad

Propiedades:

3.|no es sim´etrica:

1|2 pero 2-1.

4. |es transitiva: Seanm, n, lenteros tales quem|nyn|l. Existen enteroskyk0

tales quen=mkyl=nk0. Luego

l=nk0= (mk)k0=m(kk0).

De modo quem|l.

(50)

Otras propiedades de la divisibilidad

Teorema

Para todo entero a,a 0 y1

a. Y

0

asi y s´olo sia= 0.

Demostraci´on.

0 =a·0ya= 1·a.

Teorema

Sia

byb6= 0, entonces|a| ≤ |b|.

Demostraci´on.

Sib=ak, entonces|b|=|a||k|. Sib6= 0, de hecho|k| ≥1. Luego|b| ≥ |a|.

Corolario

Siabyb

a, entonces|a|=|b|.

Teorema

Sia bya

centoncesa

xb+ycpara cualesquiera enterosxyy.

Demostraci´on.

Sib=akyc=ak0, entonces

xb+yc=a(xk+yk0).

Teorema

Siabentoncesacbc, para todoc. Y siacbcyc6= 0entoncesa

b.

Demostraci´on.

Sib=ak, entoncesbc=ack.

(51)

Lema de Euclides

Simynson enteros, entonces elmáximo común divisordemyn, es el número entero positivo

M CD(m, n) = (m, n) := max{d≥1 :dnydm}.

Los enterosmynsonprimos relativossi(m, n) = 1.

Teorema : Lema de Euclides

Sia

bcy(a, b) = 1, entoncesa c.

Demostraci´on.

Sikes un entero tal quebc=ak, entonces

b a·

c a=k.

Por lo que al menos uno de b a y

c

a es entero. Pero b

a no puede ser entero. As´ı que c a es un entero. Esto es,ac.

(52)

N´

umeros Primos

Un n´umero enterop >1esprimosi los ´unicos divisores positivos depson1yp.

Teorema

Sipes primo yp

mnentoncesp m´op

n.

Demostraci´on.

Supongamos quep6 |m. En particular, sidmentonces|d| 6=p. Luego,(m, p) = 1. As´ı que, por el Lema de Euclides,p

n.

(53)

Relaciones de equivalencia

Una relación R sobre un conjunto Aes de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. Algunas veces se escribe∼para denotar una relación de equivalencia. La expresiónx∼yse lee “xes equivalente ay”.

Six∈A, entonces laclase de equivalencia(relativa a∼) dexes el conjunto

K[x] ={y∈A:x∼y}.

Elconjunto cocienterelativo a∼es el conjunto

A_/∼={K[x] :x∈A}.

Esto es, el conjunto cociente es el de todas las clases de equivalencia relativas a∼.

Convenio

Será más cómodo usar[x]para denotar las clases de equivalencia.

(54)

Ejemplo: Recordemos

R={(a, a),(a, b),(b, a),(b, b),(c, c),(d, d),(e, e),(e, g),(e, h),

(f, f),(g, e),(g, g),(g, h),(h, e),(h, g),(h, h)}

Res reflexiva, sim´etrica y transitiva. Por tantoRes equivalencia. Adem´as

[a] = [b] ={a, b}, [c] ={c}, [d] ={d}, [e] = [g] = [h] ={e, g, h}, [f] ={f}.

(55)

Relaci´

on de congruencia

Sean >0entero. Dos n´umeros enterosaybsoncongruentes m´odulon, sin|a−b. Escribimos

a≡b(modn).

Teorema

La relaci´on de congruencia es de equivalencia.

Demostraci´on.

Reflexividad:

∀x∈Z:n|x−x= 0 Simetr´ıa:

a≡b(modn)⇔n|a−b ⇔b≡a(modn).

(56)

Relaci´

on de congruencia

Sean >0entero. Dos n´umeros enterosaybsoncongruentes m´odulon, sin|a−b. Escribimos

a≡b(modn).

Teorema

La relaci´on de congruencia es de equivalencia.

Demostraci´on.

Transitividad:

a≡b y b≡c(modn)⇒n|a−b y n|b−c ⇒n|(a−b) + (b−c) =a−c ⇒a≡c(modn).

(57)

Clases de equivalencia de la relaci´

on de congruencia

Seann >0un entero. Seax∈Z. Preferiblemente usamosxpara nombrar la clase de equivalencia dex(m´odulon). Para todo enteroy,

y∈x⇔y≡x(modn) ⇔n|y−x

⇔(∃k∈Z)y−x=nk

⇔(∃k∈Z)y=nk+x.

En consecuencia

x={nk+x:k∈Z}.

Algunos casos:

−2 ={...,−3n−2,−2n−2,−2,2n−2,3n−2, ...} −1 ={...,−3n−1,−2n−1,−1,2n−1,3n−1, ...}

0 ={...,−3n,−2n,−n,0, n,2n,3n, ...}

1 ={...,−3n+ 1,−2n+ 1,−n+ 1,1, n+ 1,2n+ 1,3n+ 1, ...}

2 ={...,−3n+ 2,−2n+ 2,−n+ 2,2, n+ 2,2n+ 2,3n+ 2, ...}

(58)

Clases de equivalencia de la relaci´

on de congruencia

En particular,

y∈n⇔(∃k∈Z)y=nk+n.

Pero,

y=nk+n=n(k+ 1).

Y desde luego,k+ 1∈Z⇔k∈Z. Por lo tanto,

y∈n⇔(∃k∈Z)y=nk+n⇔(∃k∈Z)y=nk.

Esto esn= 0.

Del mismo modo puede verificarse

n+ 1 = 1

n+ 2 = 2

. . .

2n= 0

2n+ 1 = 1

. . .

(59)

Clases de equivalencia de la relaci´

on de congruencia

Por otra parte,

y∈ −1⇔(∃k∈Z)y=nk−1.

Pero,

y=nk−1 =nk−n+ (n−1) = (k−1)n+ (n−1),

y desde luegok−1∈Z⇔k∈Z. Por lo tanto,

y∈ −1⇔(∃k∈Z)y=nk+ (n−1).

Esto es,n−1 =−1.

Del mismo modo puede verificarse

n−2 =−2

n−3 =−3

. . .

0 =−n

. . .

(60)

Relaciones y funciones

_Algebra´

Clases de equivalencia de la relaci´

on de congruencia

En general...

Teorema

Sean >0. Las únicas clases de equivalencia de la relación de congruencia módulo nson0,1,...,n−1.

Demostraci´on.

De acuerdo al algoritmo de la divisi´on de Euclides, para todoy∈Z, existe un enterok y un enteroxtales que

y=nk+x y 0≤x≤n−1.

Se sigue inmediatamente quey∈x.

Puede probarse:

a≡byc≡d(modn) ⇒ a+c≡b+d(mod n). a≡byc≡d(modn) ⇒ ac≡bd(mod n).

(61)

Clases de equivalencia de la relaci´

on de congruencia

En general...

Teorema

Sean >0. Las únicas clases de equivalencia de la relación de congruencia módulo nson0,1,...,n−1.

Demostraci´on.

De acuerdo al algoritmo de la divisi´on de Euclides, para todoy∈Z, existe un enterok y un enteroxtales que

y=nk+x y 0≤x≤n−1.

Se sigue inmediatamente quey∈x.

Aritm´

etica modular

Puede probarse:

a≡byc≡d(modn) ⇒ a+c≡b+d(mod n). a≡byc≡d(modn) ⇒ ac≡bd(mod n).

(62)

Clases de equivalencia y particiones

Teorema

Si∼es una relaci´on de equivalencia sobre un conjuntoA, entonces

1. ∀x∈A(x∈[x]).

2. ∀x, y∈A(x∼y⇔[x] = [y]).

Demostraci´on.

Prueba de 1.: Dado que∼es de equivalencia,x∼xpara todox∈A. Esto esx∈[x]

para todox∈A.

Prueba de 2.:

[⇒]Supongamos quex∼y. Seaz∈[x]. Entoncesz∼xy por tansitividad,z∼y, por lo quez∈[y]. Esto prueba que[x]⊂[y]. Pero por simetr´ıa, un argumento an´alogo muestra que[y]⊂[x].

[⇐]Si[x] = [y], se siguex∈[y]y por tantox∼y.

(63)

Clases de equivalencia y particiones

Dado un conjuntoA, decimos que un conjuntoQde subconjuntos deAes unapartici´on

deAsi cumple:

1. El vac´ıo no est´a enQ: ∀B∈ Q(B6=∅).

2. Los elementos deQson ajenos: ∀B, C∈ Q(B=6 C⇔B∩C=∅).

3. A=S Q.

Teorema

Si∼es una relaci´on de equivalencia sobreA, entonces el conjunto cocienteA_/∼

es una partición deA. Rec´ıprocamente, siQes una particón de un conjuntoA, si para todox, y∈A, defnimos la relación

x∼y⇔ ∃P∈ Q(x, y∈P),

entonces∼es de equivalencia, y el conjunto cociente esQ.

(64)

Funciones

Unafunciónde un conjuntoAen un conjuntoBes una relaciónf⊂A×Btal que para cadax∈A, existe un únicoy∈Btal que(x, y)∈f. En s´ımbolos,f es función si y sólo si

(∀x∈A)(∀y1, y2∈B)(x, y1)∈f∧(x, y2)∈f⇒y1=y2.

b b b b b b b b b a b c d 1 2 3 4 5 A B f

No es funci´on

b b b b b b b b b a b c d 1 2 3 4 5 A B f

S´ı es funci´on

(65)

Notaci´

on

Si(x, y)∈f, entonces escribimosy=f(x). Decimos queyes laimagendex(respecto af) y quexes lapreimagendey(respecto af).

Unaregla de correspondenciaes una f´ormulaf(x])tal que permite asignar a cadax∈A un ´unicoy=f(x)∈B.

Sifes una funci´on deAenB, generalmente escribimosf:A→B. El conjuntoAes eldominioyBes elcontradominiodef.

Note que para toda funci´on f : A → B, tenemos Df = A (el dominio de f es enteramente el conjuntoA), en tanto que

If ={y∈B:∃x∈A, y=f(x)} ⊂B.

Tambi´en usamos la notaci´on

If ={f(x) :x∈A} y y∈If ⇔ ∃x∈A(y=f(x)).

Dos funcionesf:A→Byg:C→Dson iguales si y s´olo si,A=C,B=Dy si para todax∈A,f(x) =g(x). Note en particular quef=g⇒If =Ig.

(66)

Ejemplo

SeanAyB conjuntos y seab ∈B. Entoncesf =A× {b}es una funci´on llamada funci´on constante.

Ejemplo

SiAes un conjunto, entoncesf ={(x, y)∈ A2 _:_x ₌_y_} _{es una funci´}_{on llamada}

funci´on identidad

Ejemplo

SiA⊂Bson conjuntos, la funcióniA ={(x, y)∈A×B:x=y}es una función llamadainclusión, usualmente denotada poriA:A ,→B.

Ejemplo

SiA⊂Bson conjuntos, la funci´onχA:B→ {0,1}, dada por

χA(x) = (

1 six∈A, 0 six /∈A,

es llamadafunci´on caracter´ısticadeA.

(67)

Otras funciones t´ıpicas: Funciones escalonadas

La funciónpisoómáximo entero menor que, es la funciónb·c:R→Zdada por

bxc= max{n∈Z:n≤x}, ∀x∈R.

(68)

Otras funciones t´ıpicas: Funciones escalonadas

La funcióntechoóm´ınimo entero menor que, es la funciónd·e:R→Zdada por

dxe= min{n∈Z:n≥x}, ∀x∈R.

(69)

Algunas propiedades de las funciones escalonadas

Teorema

Para todax∈R,

bxc ≤x <bxc+ 1

Demostraci´on.

De la definici´on es inmediato quebxc ≤x. Ahora, desde luegobxc ≤ bxc+ 1ybxc+ 1

es también un número entero, de modo que, nuevamente por la definición de la función piso,x <bxc+ 1.

Corolario

Para todax∈Ry todan∈Z,

bxc=n⇔n≤x < n+ 1.

(70)

Algunas propiedades de las funciones escalonadas

Teorema

Para todax∈Ry todan∈Z,

bx+nc=bxc+n.

Demostraci´on.

Dado quebxc+nes un entero ybxc+n≤x+n, se sigue que

bxc+n≤ bx+nc.

Por otro lado, sikes un entero tal quek≤x+n, entoncesk−n≤x, y por tanto k−n≤ bxc, de dondek≤ bxc+n. Luego,

bx+nc ≤ bxc+n.

(71)

Algunas propiedades de las funciones escalonadas

Teorema

Para todax∈R,

b2xc=bxc+

x+1 2

Demostraci´on.

Supongamos primero quex− bxc<1₂. Se tiene entonces

bxc ≤x≤x+1

2<bxc+ 1 y 2bxc ≤2x <2bxc+ 1.

En consecuencia,

b2xc= 2bxc y

x+1 2

=bxc,

y el teorema es inmediato.

(72)

Algunas propiedades de las funciones escalonadas

Teorema

Para todax∈R,

b2xc=bxc+

x+1 2

Demostraci´on.

Six− bxc ≥ 1 2, se tiene

bxc+ 1≤x+1

2 <(bxc+ 1) + 1 y 2bxc+ 1≤2x <2(bxc+ 1) = (2bxc+ 1) + 1.

De donde

x+1

2

=bxc+ 1 y b2xc= 2bxc+ 1.

De aqu´ı se sigue de inmediato la igualdad buscada.

(73)

Algunas propiedades de las funciones escalonadas

Teorema

Para todax≥0,

b√xc=bp bxcc.

Demostraci´on.

k=bp

bxcc ⇔k≤p

bxc< k+ 1 ⇔k2≤ bxc<(k+ 1)2 ⇔k2≤x <(k+ 1)2 ⇔k≤√x < k+ 1 ⇔ b√xc=k

(74)

Clasificaci´

on de funciones

Decimos que una funci´onf:A→Besinyectivasi

(∀x, x0∈A)f(x) =f(x0)⇒x=x0.

Decimos que una funci´onf:A→Bessobreyectivasi

(∀y∈B)(∃x∈A)y=f(x).

Decimos que una funci´onf:A→Besbiyectivasi es inyectiva y sobreyectiva.

b b b b b b b b b a b c d 1 2 3 4 5 A B f Inyectiva b b b b b b b a b c d 2 4 5 A B f Sobreyectiva b b b b b b b b a b c d 2 3 4 5 A B f Biyectiva

(75)

Composici´

on de funciones

Sif :A→Byg :B→C son funciones, entonces la composici´on def yg es la funci´ong◦f:A→Ctal que para todax∈A,

(g◦f)(x) :=g(f(x)).

Teorema

Sif:A→B,g:B→Cyh:C→Dson funciones, entonces

(h◦g)◦f=h◦(g◦f).

Demostraci´on.

Para todax∈A,

((h◦g)◦f)(x) = (h◦g)(f(x)) =h(g(f(x))) =h((g◦f)(x)) = (h◦(g◦f))(x)

(76)

Composici´

on de funciones inyectivas

Teorema

Sif:A→Byg:B→C son funciones inyectivas, entoncesg◦f:A→Ces inyectiva.

Demostraci´on.

Seanx, x0∈A. Entonces,

(g◦f)(x) = (g◦f)(x0)⇒g(f(x)) =g(f(x0)) ⇒f(x) =f0(x) ⇒x=x0.

(77)

Otro teorema importante

Teorema

Seanf:A→Byg:B→C funciones tales queg◦f :A→Bes inyectiva, entoncesf:A→Bes inyectiva.

Demostraci´on.

Seanx, x0∈A. Tenemos,

f(x) =f(x0)⇒g(f(x)) =g(f(x0))

⇒(g◦f)(x) = (g◦f)(x0) ⇒x=x0.

(78)

Composici´

on de funciones sobreyectivas

Teorema

Sif:A→Byg:B→Cson funciones sobreyectivas, entoncesg◦f:A→C es sobreyectiva.

Demostraci´on.

Seaz∈C. Comoges sobreyectiva, existey∈Btal quez=g(y). Perof es tambi´en sobre, as´ı que existe unx∈Atal quef(x) =y. As´ı entonces

z=g(y) =g(f(x)) = (g◦f)(x).

(79)

Otro teorema importante

Teorema

Seanf:A→Byg:B→Cfunciones tales queg◦fes sobreyectiva, entonces g:B→Ces sobreyectiva.

Demostraci´on.

Seaz∈C. Comog◦f es sobreyectiva, existe unx∈Atal que

(g◦f)(x) =g(f(x)) =z.

Pero de hecho,f(x)∈B.

(80)

Composici´

on de funciones biyectivas

Teorema

Sif:A→Byg:B→Cson funciones biyectivas, entoncesg◦fes biyectiva.

Teorema

Sif :A→Byg:B→Cson funciones tales queg◦f es biyectiva, entonces fes inyectiva yges sobreyectiva.

(81)

Funciones inversas

Seaf:A→Buna funci´on.

Decimos queftiene(funci´on) inversa por la derechasi existeg:B→Atal que

f◦g=IdB.

Decimos queftiene(funci´on) inversa por la izquierdasi existeh:B→Atal que

h◦f=IdA.

(82)

Funciones inversas

Ejemplo

SeanA={1,2}yB={0}y seaf:A→Btal que

f(1) =f(2) = 0.

Entoncesfes una funci´on, y las funcionesg, g0:B→Adadas por

g(0) = 1 y g0(0) = 2,

son inversas por la derecha def. En efecto:

(f◦g)(0) =f(g(0)) =f(1) = 0 y (f◦g0)(0) =f(g0(0)) =f(2) = 0.

Sin embargo,f no tiene inversa por la izquierda: En efecto, para cualquier funci´on h:B→A, se cumple que

(h◦f)(1) =h(f(1)) =h(0) =h(f(2)) = (h◦f)(2),

por lo queh◦f6=IdA.

(83)

Funciones inversas

Teorema

Una funci´onf:A→Bes inyectiva si y s´olo si tiene inversa por la izquierda.

Demostraci´on.

[⇒]Supongamos quef:A→Bes inyectiva. Elegimos alg´unx∗∈Aarbitrariamente.

Definimosh:B→Adada por

h(y) = (

x siy=f(x)

x∗ si(@x∈A)y=f(x).

Entoncesh◦f=IdA.

b b b b b b b b b A B

f:A→B

x∗

b

h:B→A

h(y) =x y=f(x)

(84)

Funciones inversas

Teorema

Una funci´onf:A→Bes inyectiva si y s´olo si tiene inversa por la izquierda.

Demostraci´on.

[⇐]Supongamos queh:B→Aes una inversa izquierda de f:A→B. Seanx1 y

x2enAtales quef(x1) =f(x2). Entonces, comoh◦f=IdA, tenemos,

x1=h(f(x1)) =h(f(x2)) =x2.

(85)

Funciones inversas

Teorema

(Con Axioma de Elección). Una funciónf :A→Bes sobre si y sólo si tiene inversa por la derecha.

Demostraci´on.

[⇒]Supongamos quef :A→Bes una funci´on sobre. Vamos a definir una inversa por la derecha del siguiente modo: Para caday∈B, dado quefes sobre,

Ay={x∈A:f(x) =y} 6=∅.

Elegimos entonces algúnxy ∈ Ay (aqu´ı es donde interviene el Axioma de Elección). Definimos as´ı una función g :B→ Atal queg(y) = xy, para caday ∈ B. Note entonces que para todoy∈B,

f(g(y)) =f(xy) =y.

(86)

Funciones inversas

Teorema

(Con Axioma de Elección). Una funciónf :A→Bes sobre si y sólo si tiene inversa por la derecha.

Demostraci´on.

[⇐]Supongamos queg :B→Aes una inversa derecha def :A→B. Siy ∈B, entonces tomamosx=g(y)∈A, de manera que

f(x) =f(g(y)) =y.

As´ı quef es sobre. (Aqu´ı no usamos el Axioma de Elecci´on).

(87)

Funciones inversas

Teorema

Si una funci´onf :A→Btiene inversa por la izquierdah:B→A, e inversa por la derechag:B→A, entoncesg=h.

Demostraci´on.

Seay∈B. Por hip´otesis,

h◦f=IdA y f◦g=IdB.

En particular,

y=f(g(y)).

Luego,

h(y) =h(f(g(y))) =g(y).

(88)

Funciones inversas

Decimos que una función f : A→ B tiene (función) inversa si existe una función f−1:B→Atal quef◦f−1=IdByf−1◦f=IdA.

Esto es,f tiene inversa si y s´olo si, tiene inversa por la izquierda y por la derecha.

Teorema

Una funci´onf:A→Btiene inversa si y s´olo si es biyectiva.

Se sigue de inmediato el teorema siguiente de unicidad de las funciones inversas.

Teorema

Si una funciónf:A→Btiene inversa, entonces ésta es única.