Sobre la distribución de los valores de una función representada por una serie de Dirichlet lagunar

(1)Sobre la distribución de los valores de una función representada por una serie de Dirichlet lagunar Ferran Sunyer i Balaguer. ADVERTIMENT. La consulta d’aquesta tesi queda condicionada a l’acceptació de les següents condicions d'ús: La difusió d’aquesta tesi per mitjà del servei TDX (www.tdx.cat) i a través del Dipòsit Digital de la UB (diposit.ub.edu) ha estat autoritzada pels titulars dels drets de propietat intel·lectual únicament per a usos privats emmarcats en activitats d’investigació i docència. No s’autoritza la seva reproducció amb finalitats de lucre ni la seva difusió i posada a disposició des d’un lloc aliè al servei TDX ni al Dipòsit Digital de la UB. No s’autoritza la presentació del seu contingut en una finestra o marc aliè a TDX o al Dipòsit Digital de la UB (framing). Aquesta reserva de drets afecta tant al resum de presentació de la tesi com als seus continguts. En la utilització o cita de parts de la tesi és obligat indicar el nom de la persona autora.. ADVERTENCIA. La consulta de esta tesis queda condicionada a la aceptación de las siguientes condiciones de uso: La difusión de esta tesis por medio del servicio TDR (www.tdx.cat) y a través del Repositorio Digital de la UB (diposit.ub.edu) ha sido autorizada por los titulares de los derechos de propiedad intelectual únicamente para usos privados enmarcados en actividades de investigación y docencia. No se autoriza su reproducción con finalidades de lucro ni su difusión y puesta a disposición desde un sitio ajeno al servicio TDR o al Repositorio Digital de la UB. No se autoriza la presentación de su contenido en una ventana o marco ajeno a TDR o al Repositorio Digital de la UB (framing). Esta reserva de derechos afecta tanto al resumen de presentación de la tesis como a sus contenidos. En la utilización o cita de partes de la tesis es obligado indicar el nombre de la persona autora.. WARNING. On having consulted this thesis you’re accepting the following use conditions: Spreading this thesis by the TDX (www.tdx.cat) service and by the UB Digital Repository (diposit.ub.edu) has been authorized by the titular of the intellectual property rights only for private uses placed in investigation and teaching activities. Reproduction with lucrative aims is not authorized nor its spreading and availability from a site foreign to the TDX service or to the UB Digital Repository. Introducing its content in a window or frame foreign to the TDX service or to the UB Digital Repository is not authorized (framing). Those rights affect to the presentation summary of the thesis as well as to its contents. In the using or citation of parts of the thesis it’s obliged to indicate the name of the author..

(2) SO�� LA brSTRIBUCION bE LOS VALOR�S �E UNA ruNCION. �Pl1ESENTA'DA POR mrA S�Bn:; 'b1;:; 'j)!p.!Cln�T 'LAOUNAB. por P.. Sunyer Balaguer. MéfhÓt'::ta presentada para aspirar al gradó en. 'de J)cctor. C:i.etlc:i.as Mat.emat.Lcas. ".

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(4) BIBLIOTECA DE LA UNIVERSITAT DE BARCELONA. 111111111111111111111111 1 11111 0700098934. SOBRE LA Dl,S-TMBUCIÚN DE LOS VALORES DE UNA SE; G�U �..:.. ...... l.,. ,1--1,. FUNCIÓN REPRESENTADA POR UNA SERIE DE DIRI CHLET LAGUNAR por F.. En. [9tio,,;1�t-;J.2] (1). serie de Notas' y Memorias. una. d� esta demostró que cuando la s81"ie de. función. lagunar, que. sea. entera 11 holomorf"a. la. función. el. en. Sunyer Halaguer. TaylQr,. circulo. el. autor­. que repr-esenta. unidad,. suficientemente. es. toma la totalidad de los val0l"'es. finitos sin. PQsiblé la existencia i.'1 valor eXéepel.enal que, según. teorema d.e. Picard., puede pra,séntap;. l14a.4 de éxisteneia de' otros. -e as Os. y. una. el. tafflbien desapar'Elce la posibi­. exeét¡eionales. en. GtrQs campos de. la téo'!"ia general. -. Luego t. en. Qt,ra Memoria. anteriores referentas. a. -. �13� -, e'xte:�l,tdi. 10s res.ul tados. las fune-iQne·g e1c'lte:ras. En. prim�r lugar cuanü,<>. teros. precisaban. rio:rmente obtenidos para las series de. nes de. unos. tln. intere$. teoremas de Polya y. en. en­. eie:rt.G sentido 10S ante­. Taylor.. Y. Mandelbrojt. en. Ségundo lugar. sobre las direccio­. JuliL Como l'os rasul taiGs :re:f'erentas. lamenta. 'eran. eonvergent-e's'. a. las series de Dirichlet se­. va1.id·$s para las ful1lciones enteras y para las series en. la totalidall del. (1, Lo;--�6���;-;;t;; fía del final tle' la. plano., evidentemente faltaban los. parent.esis angulares remi t.en. MemGria..1. .. doblé:. las sérles dé Diriehlet t.enian exp0nentes. los ul"timos resultados. completaban. las saries d$ Diri-. a. ehle,t. Esta éxtetlsi6n tQ'nia.�, además 4el l;l,li'$pi'o,. �. a. la. bibliogr:aifi.

(5) ! resu�tad08 para las funciones holomorfas dientes. mente. gi.da.. en. series. los teoremas para las. a.. el circulo. :bll>ettloria�. eáta. unidad'.. dé. un. semiplano'" correspon'". Taylor convergentes uní.ea­. llenal' este vaefo. a. lo que 'va d1ri­. a. :,. capitulo. En el. Es. en. 1. aJ.gúnQS, resul taiGa. doy. aut.ore� ''1. de otros. alguno de propio: que serviran para la d.emost.ración de 10$ teoremas. o6je·to. de es'te. eapitulo. En el nos. p1"&(11$3,. daremos sin. .jo. trabaJQ'. enunciaremos. 11. est.aban.. que 10. tree resultado$. e-n :fQnna me'". Meant1r-ta r l31. Estoá r·esultailos l<i)S. en la. demo-ertX'"aeión,y umeamente. para eeiltrar el tema y pal?tl dar. 1n<::1111«0. los he'. una. exposición. d,e. en. este traba­ dé. conjuntó,. la teoria'. E� w .. capítulQ. objeto demostNr doS. 111 ti�ne p0r. inpréeisa pueden Qauuc'iars& 'dic'iéndo-. qtté cuando es su:t:icienternente lB;_gt1nar. forma .'. de lbl"'ichlet Q.onvergente .. den :fin! tQ). el. conjunto. de·. $�mJ.plan(\\(la. puntos. orden. cia.· El.. 6'1\ la. cap! tille. te· para las. en. una.. IV. e-onti�t'le. la. seia1".l'.. dos que denomiD.a.1'nG'S lemas y. valor. un. respec­. de eenvezgen.... d�mO's.tr&.(.ti6n d_. \1n resultad& semejan'". lo�. que. l�. ñ.'if'ereneia. su. coma lemas han aparecido. entre. denQml.nadós teG'retnas. no. les. se. result21-. pues mueheTs de los que. inte�$" en. teoremas interesantes en.. Memorlas prol;ias. s'i". de G·tpQS. o.. Unicamente la. aqui figuran auteres oe­. tlistin<Úón. sirve para. inilicB.r qtte las denominados teoremas forman parte de la t:eoria te> de asta Memoria,. su�taiQS. su.,dl.iares. mientras que paz-a la. los lemas sil*Ven.. demost.raciÓn. de los. eular los rfl:ultadOs del a:tlt{)T den'Om1nad�s 4.4 Y 4.5 tné. ,.(1. ha esta-. .. ,. .. niO. .. Q.r--. da ord'eri in:fitdto.'. Creo convenient.e. en. .. �"ns:td�'il. ppsitiva. proximidai de cualqu:Lar punt<l del &je. :f'Wnce'tóne's. bleC!ido basandose. supuesta tia. f'UnCIOU. quü esta :r-�nei6n toma. 't.iene. $el"i�}. una. ... en un. finito cualquie:ra. (sin tl:xcepeión) to al.. teoremas qu-e. aqu:i. en. ella. primeros. lamas. como. En. obje. .... r,g,i.mIDI. parti'". .. 1.4, 3.5, 3.6,. parece tientn. 'Ull J.nter.es independiente de la aplicaeion.

(6) 3. que aqui les damos. Por. una. Memoria. de. publicación ,14i. proxima. .. -. pienso' pub�iea.rlos. y 10$ 4.4 Y '4.5. cano�ic�s. tos. [15]. Tsu'j'i. ré los product.os de. constrUimos. que. atra Mélnoria. capitul.o. la' que estudiª-. en. �l órden 'infinito. el. prine'ipalest. come resul.tados. -. en. para en. aparecerán en. 3.5 y 3.6. los lemas. ejemplo. IV d.,e esta. Memoria.. .. ,. Las' rela(dolleS f{x) respectivamente dé. a. cero.. prQduc.�. y lQS. como. es. o. O(g(x». .. r{x). y. exp�$iones. las. que tienden. eero. a. ::. o. significarán. (g{x». f(x)!g(x) queda aeotada. habitual que. Por lo tant$". cantidades aC0tadas. ::. t_ien.­. 0. representa�. O(l} y cel.). ��respeetiv.a-. men.te. En la lliayQ!> parte li e esta. series de ando. s. Diriehlet,. no. indica. o. S. se. indique. signo, '%. Q. ¡J + (). a.lgun subindiee. explícit.amente.. por e.jemplG siempre. it-. e'. Finalmente,. $. no. =. n. eom(l). es. costumbre para. independiente se,re. la variable. vaya a:feetada por. aunque. Memoria,. (J + n. que. n. �. signo. Y' t tiene. o-. it y. a+. cu­. é"nte-nderá. se. I. el mismo SU�. entandara que. se. it. 01.1'0. u. s. l.aa. $. ,. "=. v' +. i t'. 11. et.c.. pueüe term11'lar esta intrtb'dueción sin cumplir. ". el para mi agradable debar de dar las �. más. aféet.uosas. gracias.. ,. al Profesor Dr:.. José M., Orta quien ha aeraptado. figUrar. como. de esta Te'sis y dé' quien tantas ateneiones vengo recibiendo.. penerrte.

(7) 4. Capitul.o. Sea. l� 1,!",,:. tAn S. 1. .sucesión. una. de. números reales. no. negativos. tales que. o. }.. c:: '].. 'A o.c:::::. ::. .. condición O. la a. los. :=;.. 'Ao. en. •. .,.. .'0. ... < >- n",. <. ". lugar de. estudiaremos. la. posibilidad.. mino constante.. Representemos por N(x) <::. x" errtences siguiendo. D{x). función. ::. de densidad de la. a. [3]. ro. genera�idad. en las. se-riea. de existencia del ter'". el mayGr. Mand,elbrojt. >-n%. da mayor. restri�tiva�. ser. resultados que obtendremos, pues pel"luite suponer. de Dirieh�et que. I�n. 1im. número. n. tal que. llamaremos al cociente. N(x)/x. sueesi6n. � \1�'. y détlsidad. superior a. D':: 11m D(x), Finalmente llamare.mos densidad m�dia sUI,¡eriop. a. la. expresión. 11)\. $.= llm. Ffllr otra. f An � J}. por la. _. ya son. cr�o. x. int,eresant.e. eon()eidQs1-p�ro. que. .... N(1;,lt). ... .. ::. Evidentemente siempre. cesitaremós. 4e-fine la. densidad máxima de la mis. expresión. N(x). lim 1im' t-41 x..,Jm. L7). ..' .. sucesión. parte,Palya.. .. ma. (i J.D(t,lU).. -. se. tx. cumple D�D· ;:;;'15·. s-eñal.ar. los. t. Y aunque. no. los. ne­. siguientes resultados qu.e. el ultimo raras vsees viene. e,xplieitamenl1li-.

(8) 5. te. señalado': l°. D�< e't·'�. Siempre. ....... ,. 2�. cantidad independiente para las cuales D si D·:::. do. sucesión',. y D. oo.. Lo. ... ..c 00. l.. :::. 0, entonees. D. Modificando. ligeramente. en esta. (J... de. la. trabajes. '\0::. ñ�<:::. que. unÍao. puede afirmarse. que. �(u). la. definición. de. Mandelbroj't. :::. Z. TI. =:. lA.. convergente para 11>. rr D�,. (l.. 1)'k. 3). Ahora de res. unos S6n. vamos. resultados de. )�!\k(r)e. (2n+1) J. ". -up. .. dr'. -=. TI. '1'If·p.._. LEMA 1.1.4.... ::. .¿. Stt. liI2n+2. �9n. casos. que estos. los. par-td cuLar-ea. casos. eap! tu los. particula­. 111 y IV para. intare$a.n�. Si. -. .•. .13. en. son. 4edu;¡¡!e. .... h. Y... c2 n+1. 4'J. � A n+l A n'>--h>O .ª,2lj.de. siempre. ,,� j1. 'A/�- 't.r:-,.. Mandelbroj't,puesto. 3._ 3� Iil. debie. A -,. dem<i>strar los vesultaños que- nos. f3;;. como. r�l. y. 10$ qu:e tQnemos que utili�r. :De. que. "'n. dem(lstrar d'{�s ;lemas que. a. es. (1 +�)=2C2n+1z2n+1. '{7. l.. existén .sucesiones. O,. escpibi remos � suponHmdo. '"n. (1.1.2). iliclU$(). e. una. 00 �. !\k{Z). 1). puede aCQtarse por-. no. O.. =. la exist,Ql'lcia de. a. .. eo-ciente D/De. Por el contrario el. i'fonstant·e-fh. se. J. D(x). ��:rif:i..(:!Íl. ::. oex"'l'). (0< �<. 1).

(9) �og. Asimismo. de. Air. ,..4:�. O(. ::. lema. >�- f). 1trf. .,. ae. deduee. �. LEMA 1.1.B ... Si -. ':::. D(x) donq e. es. f3. una cQustante. O(x-p). O(u(f3 1)/�) .... lQg(Ul1{u» �on. c. constante. =:. �<l). ve'f'�fi.e!i. se. t. (O <. � cu. (f3-1) / f?>. independiente de k$. 1 2 .... En 9St..(:;1 ... número da:remos. el enuneia.do iie un resultado. nacido por desigualdad f'uruiaméntal de. MandelbroJt. Nose.tros. umcamellte para series de Di!"ichlet eonva'rgentes,. �ie$ eonvergenters tenemo:s que aplicarlo. quis1eramos eniinciarlo. en. e:ata. la :forma general de. en. lo daremos. pues sQlamente. Memoria.,. eo­. a.. se­. ya que si. Mand,elbrojt [a. 3�7.ÍJ. '.. tenitriamos que dar. trabaje su. sepie de d.etinici(�nes que. una.. y que para nuest-rQ. demostraaiÓll que. LENíA 1.2., ... Si la. :suC'�tdón,. rela:t.-ivamentc<i sencilla.. as.. { An � .tes ,Ae. dens!dad media, sl¡lpen:inT. .•. �"'> � .e>inita y. �i' la ·\i;.l:,.:;:¡r1i"t ��. ,�. y'. .... ,. ñ·. l�evarian muehu. Obj�t0 seria Lw1;il. No obstante daremos. EH�t.e caso. ¡;n. nos. 115. ..tJ!.(.) �$. unv'eme !l'l. un.. .. .... �. "'7.,.2. s. n. =¿_jU.& n. s,aiplflPO'. .f, Etll, la"totalidad 4e1. .... p1go). .. entonc$ls. en. cualguiar, �lre:nkO:. 1$. .... > so' 4:Q1, rrD�. lómR�etamentt) in�.erio:l'\ �Ü semil!l;mo .. -. .. .. .. $' .1&1. 9l!!. de .. .. 'eonvergen€.i§;,_. �ndste. un. pupto.

(10) 7. ... 10g1 fes") I >logl dkl )2ara todo valor k, _.¡. ,.. Oó §lt.la ,.R�rt�. ---�. Demostraa:i.ón. log(u1,(U». ... real de. so.. cualquier 'c{reulo c0:mpletamente inte'rior. En. ",-. lQg'!xk. -. .p.,¿. donde. -. _. Ak (-lo. '". semiplanQ dé eQnvergene-ia, la eOll'!lerg,enela será unií"ormé. to. en. ,el. al. Por lo tan­. clreulo. (l.!.l). f. sQf.c.. -. s. u. >![�. si escribimos. �A. IYtIL .. _.. 1\n(s}. :fes). .... 2:d;e n. 1'1. S. C'. cualquier t >0 existir�,. par-a. .... E). m(. un. tal que para. m>m(6 ). se. ve;ri-. :Cica. Il\n(s) 1< t' en. el;roulo (1.2.1). la totalidad del. cIrculo (1.2.1). "... ,.. cp. ... una. según. ::. ió>. func-ión. fs que. "'". (s). �. (1.2.3). puaste. -. r. en. el. :E-(. 211+ 1). (s). eirculo. ... (n). t·. Cauchy. en. circulo. se. Y por lo tant,;o. la. todo. este. MnJ.. (e). r-s. .. (u. .;.. P )n. �. máximo de --_._--'_'-. .. .. -sol� P �u rts-,. � ---. l)nc 2n+l. ..... ho1omorfa en el. .'. es. .?,(. �. la f'emula a.e -. donde M. holomorfa. la s:tH"'le. (1.� 2). representará. i (6). fUnción. Por otra pa.l'''te para (!ua.lquiE.r¡". �. =. �. f Cs). en. (1.2.1). f. cumplen.

(11) 8. serie (1.,,2.2) es uni:t'armenH�nte ¿onv,ergent.e. en. (,1 ,203)., y. 1$.. !\n(s). ... en. virtud de. (1.1,tI 2) tendremos 'ti-. l � (s€». (1�2 4) .•. Por. consiguIente. t�:ma:nd.o <iin1. (l. 2.5). '�'ULk(U�M. tes). de. ':tuga.r. f R; (s o) I � u� (u) E. tendremQS. •. Corn& por otra parte -. ",. ,. (1.2.·6). .. R-'(S) -"ni. '. ==. r'*ls). .... :. A". '. 6. ("""'" \.'J"" � il. �. ,e. n'. 11. e. y. puest.o qua cuanda �. 111. ,;".¡. >k. ... (� .f.dnf! 6)". d�. (1.2.5). y. 1'1. se. tiene evid,-en'temente. .' ��AkS �Ldk/\k('i �k)e .. (1.2.6) :resulta. �l. ,. l. y. eeae. qlli�n. ente de m,. y. f�. que. (s€». ... ¿ak Ák. "lt). (,i. e. ,k. �. °1 <::: u� (o) B. el pritner ln:l,embrG d,e eSlta. 8 pne:iie. ser. tan. pequeña. desigualdao/es. independi. resulta final. .... se. quiera. en. que el moduLo de. 1'(s). en virtud de. (1.,2.4) aplica.da. �x:. cooo. .... m�nte'. 'f-. Cs.,,) u. Por lo. toma $U a. fes). tanta'. si $'. es. =.4tk 1\'. ... 'Al. (1 "k ). el punt:o de. máximG 'Valorf t�ndremQ$, (en lugar de aplicarla ,. I,.p( ti �),' .lo. a. '11;.. f\'L (') kU 'k" N. e"" \$0. -.. (l. �.' 1). �($»)t. j-A.K. s-: s. já �I ��,... -. o. ,_'.

(12) 9. se.a. o. .,. 'log( fía') l >10g1 dkJ que. es. �o que. forma. leg. Ak- l()g(a� (u) ). queriamos dernostFar*. 1.. ·3...... En este su. .\:, 00'". -. llúmer-o e-nuneiaremQ$. más precisa. que se ob"tiene. resulta..'to ,j.'3 Mi.llGUX. un. en.. sigu,iendo el razonamiento de. .. .. '. Cievanl:tnna i6"pag._lO�lcrl]1O t.1l'!á fuf.lci&n f(s) i,tol.():m(u��a !in !e� ;$l.�;rg14;;,e t s,� R. LEMA 1.,3.· Si. ve:t:it;iea,. ,en. ... �ft_tlil: mi§!!. c'lreulf'b¡ la. d!.s�.iYalAH.�,. lagf T,( s) t� l{i. .. "ti ami! e�.J!21a. euup' SJL�\!nya .9.,1};!, l?ar.:U��l.l? d¡,¡l. orlan 1lesa ". Y.. ,si,. .!l�\'! ,. la ei.�cll1'lfa:rene:ta �e,,: ... ü[. i. i. ". l=. s. '.... .. "1. lagl T( $) f� tendréInOlrhH. ea. � f'UttciQll �'1 wn@ ,a�j;.§laA ¡O;JIl. R�. ,.,._@. ..:::::. logf :f(s) J'_. (M. .... •. �. nUJt.a:r��. obtenerse tl:omr:l un corolario I!�. vamos. ,. 3. _,. ,.. •. $emifaja t. .. [J.>. ;B�. '1". $é!"�ri '1"" a. Caratheudor.y,. procedimiento. '} rr /2J s·. OJ f t}<. nittaeiones. s*,. :pueCle tltm'rQS trar. LF.NA �.4.- ,Si. ea. S. ,-,. erHln�ial'* y demostrar. un teorema de. sot�s 10 thllllG'straremQs por- otr.o. con estas. ,.._. �.. (:m< M). m. ;.. M. 1:.61.- El lema que aftOT.a. ,Yo. , ........ -.- J. N, (. g:f�rculO 1 s,� 'F< R;. .t�40. Sea. S la. .'. y. podria. pero ne. r. ..... .. 0,. ,tf. ,el. la�tunsl-�L.:r($). e'8. h.9�Glnorfa 'l ¡in. seNS,. verifica. ,. .<. ". l()gf 'f(s) I la s �_iQ ��< �. W. I. eWif;j_a¡ �" ... .se. H. oymplif>�t llal"!! o: A.qf�gl\�telll�tl¡e :e�Q;x:i!!a !' ce�� I. l. re 143 ". lar. u>. ..

(13) 10 1. 1 � a (H. _. l.og. •. r::;-:-:.f. -. I fe s ). Dem�s't�a,eión.de. O'I.{w). La.. lagl. :función w). la parte l"'eal de. es. fe log 2) I ). e-u. + .. -. �. 1. e. .... i1�. Greeri del. que tiene por. o:. Log] f{ log 2' I. semiplano m. (w)<:: pelo. el. (don­. H. Vio viene. punto. -,. expresión. 4ada por la. -. ::::. g(W�\1ll0,H). .Iw. 1og. �. donde. Wo. rep��g�+Ita.el canjugadQ. el. circulo I zl.¿_ 1,. punto z=O 292. ... 294) pued_€en. de S'". q,ue verifica. lGg. un. interior,. 1. ; :r�.. Woe' eonÍ'orme de la semifaja S sob�. so= lag. 2. corresponda. utilizado por MillQUX. r-aaona..miento. curva que. eorresponda. su:r:ic:ii9nt,em�nt<? proxima. para p. O'. I. punto :ti. demost.rarse que la. tiene. su. dEl. d.e modo qu� el.. Siguiendo. ... w.. Wa. l"é.presntac.ión. Efectuemos la. + ... . .. Vi'". I. ,. 2H. ..... ::::log(l. .... 2(1. la. a. ricien.temente proxi,ma. a. C�l�,. I s]. pag.. =. r con-. 1, la part&. r) >. .... los puntos de S" .�. para los cuales. Por lo tanto. [5,. al. lf!.. cumplen. o-. su­. es. desi.gualdad. 2. g ( El, a o ' S) >-:'log·. .. _::t1". 1. dondB. � so=. tunci6n. de Gp.e�n de. S�gún. el. según,. 2. log. la. semifaja �. El. dicho?. y donde. que 'tiene 1'0.1". g(s,so.S). ea. la. polo el punto so.. principio de Lindél'Of:r (véase 1'01- ej.amplo. Nevanlinna. -. -. L6,.pag. 46�). si f(s). que <in esta misma. es una. semif'aja. g(log f(s), log y por 1'0 ln€nt.e. hemos. +. tatltQ,. proxima. a. en. fUnción holomor:ra y sin. logff(s)l<::. f{So)'. se.. clh"'llple.. en S. tal. R, tendl"emos. H)� g{s, 80,S). los punt.os de S·. eteFQ". cel"OS. opara los euales. es. suficiente. ....

(14) 11. 1. 1. ,. log. -. .. I fes) I o. sea. la. 1.. conclusión. -=. 2(H. .... 10g1. del lema.. +. ). :r(so) f ±. -. e-a-. ..es .;.'t-. .... l-ogl :r(so) I. t.

(15) 12. Capitulo. Según. hemi;1$. 2.10' �. Ir. indicad0. imtrodu(i:<lión,. en La. lo �olamen:t8 f,::nunc.ial��mos tres, tGGl"emas que demcrstramQS �frtl"aS Memorias anteriGY'\as. ,131'. fin. a. eap1tu. este. $'R. en una. de. ..... nu­. d� ��ntrar los tres teorem,as. ,_. -. cap! tul.os siguientth!t. de 10$. objeto. dentt"o d� la te:Gria. Aaté$ de dlar lG$ �tlan0:iaih,s d;'0b�'O'$ 4.a:r Me. inteNsa señs.lar P��Ot qUé. iefinialo.nes,t los �.nu:neiaaQS: serán dados. a. 'fin de. aJ,gunas det"inieione$�. complicar- demasiaiJ.Q esta,s. eapi tule. lo,s t!'(ts 'tet'yrinUaS 4e �$te. d�. en tU'la f:Qnna menes,. no. general... gens:ral. que la que. _. (tn la. Memo .... :figara. cia, antes eitada. una. fi:1nción. Sup. I f(. cr+. cualql1ier valor real. de. S�a. f'( s). e,n'téi""a que. it)'. =. tenga las siguientes prGpiedai. M( (J', f).c:.en. --ro <t<+oo. par-a. taia 1)9r. una. lidad dela ne�. Hitt.. mante. a. $'s:ta. iefir4e �l G1Ilaen. 0�itecn (R). (R) igual. pa.ni�lllar toda t'U.n0ión. en. serit.\} llla Diriehlét e.bsolut�n�nte. plano.,. t�¡nliipá. [81. u(. de la. propiedad),.. e-n la tota­. Para esta e-lase de funeiQ'". peyr esté �n611iv() se 1.lama habitual­. (q.u:�. ,'$iguicelite. conve:rgente'. r'epresen­. LH,. forrt1&J. tunei6n fe s). es. dé orden. a1,. p. M o , f) ---,-. larg 19;9 {. 1im. .. --'. ....... p. _.�. ��. o__,.. 00,. .'. .. ... (J. s:. De lnod'o, mO. les. �n '9'tl. tQa0 el lo. $�ejanté rep1"e$-enl,a:nde: po'!". tlltabaja las fajair. $ucesivg suprimiremos. tand.era). 1. y. semifaja:$. la. <p.. la. se�an. :faja MM.ZOtltal (ce­ siempre horizonta­. palabra h�riz()tltal q\t.. se. $obre�l1'".

(16) 13. t <. \:J.. rf �1 '1 <. .. y. ij. pOniéMQ M ( (7. ,�. .�. f). :::. o{. el orden. (R). 1'(s). de. +. (.T. it.). +. t.< L�. «:. ·\1e1ltl1"a' iie'filliil� l�H,)�. �.. 4-. log lag Me m...._·. C1. ,4) ,f). t. �. ... 0= ¡ ü-+- co. ..;. ,,_,. "._. ts. Del mismo raoda que la teoria d.� l[¡M�. el. en. fas. y dt!i modo pa-recide al que n�-sG'tros tlStm1QS. Taylol?'!t. o-api tu 10 sigui�nte. ¡¡¡_ par-a los. semi:plano-,. �. en un. funei0t1eS entepas represen­. enanáo. 'Gf."de:nea. fitnei6n. dft 'o,rden dél si.C'ui:�ll:te mGdé-� 1,&, ��. P ¡. hol()moz. puede prtléiSá.r' la' noción. se. f <.00. de las funci.one.s. (cr) sQrá llamada ,. tadas por �r-i�s dé. f. .¡,. ,(. �aja. én la. 11"(. SUp. ..,. un. ,. orden. un preeiSM€)'f si. P ( (T O>. lim. íllnei,¡'n, :r(S) se:rá. y ent{¡)ne�s iu 1& ,. (a) ¡:r:: (,),,,. d� tipo A del Ol'den (1\). precisado. 1'" :Log M ( G' ,,�I. l:im. ". '. ér4 .ee ... ,. (cT-). 1�. -=. .... e":)) tU) (:¡' '. s ,era,. if�;uá,1m�nt;e la t'tttroió,I!t fCs). en. cp. de tipo A del "ra.�n. (R) pr-eci. .... si .«'/'. '. ... m-111. _. _. cr �'-__ ....,..,....GD .. Ceom'o ,. 1. si. ............ $aA(;) f. P. .. p (O-). ,e. 11m. f,. :¡:;. ir4enes CR},. en. el. en:. 10" G. rr. tf ,�t) '. 1lfl\V ' .. .. ... """,A". -. -. .. é"". t� t dj V \�. tran�lettl$�. 10 $uees·ivo,. .. -. -. ¡. r;--. ;. A. de: esta Memoria solo nos .cupaf"éIIiOS de. stt�l';bú.remO-$ la (R). y los. -. 11ama�mos sim·. p,lem�nte- brii'é:t.tes. ".

(17) �4. FinalRliiRte91a. notación rle. .. le PGr una .. -. '.. (. ,. §l.erl§. '_. ..... 'Qónvergente (1)' �Il. <. 4,. sucasl�t1. r. �. r.. ,. p 'l. P. �(.(J ip ,f-a) >. �s. :rE011mKA :!.� ,Q'iT. a.e �:'ÍU.1I.\!"'�. de:. tiw. JfI p,. G$. .JI >. 1 ael. sufici. .. a... �;';'i_' {ti-)1t. la {1.�ns1.dad.. t. An+1 "'n) >0" ..... para que. sea. �ualc¡u.ieI"a q1i6. se-a. sat!$:feeha. B1. l. f. 'Ii'. máxima. s:e. c,oua:idera la densidad. enun�iaJ» y dqmoet:rv �l. _?ea_:f( s). una.. Iun,eión. me­. s1guien:ttH. entera que. puede rep,reaentar­. tn:i�eri� ,tia Diricl111$!t. '.. """. )1. ,s. n.. �. �«ne. (1). Puest'0 que. cauvengenei-a. y. en. ..... t. ...... posible'. rr,«. p. m'�.tna D veritiqtl;Et. J.,i:rn(. ($in u(;1e�ih). a. laga:r' de. s\1per-iO'r,-'. f. :faja.. 617,. Bl. de:Jlende "ull;I.c�e:t}�e ,d,q P en. ,.. n a. f A��. it� ii'�11!�dail. ¡:r4!�. dia,. �. Da<la una. depende u._nieamente. da. r. Si. .. �. lwIi. f (ü)... e� valor :f1nite de. dQnd$. gu�, l)uedQ reta:Et,§entar-. todo el plaM y que 4$ de orden. D ¿. !on'le. .,. ,. -. 'j roio:¡. �,n. ente que la. <!. capituló. di! Dirichlf:,t. !. prea,i:;Mo. pañe O � o- ¿::x d,E}. S¡9aF.fs)tll.la. �naiÓll, �ntAPa. ..... Orden. en éste. -. TEOREMAIlf. '$n la. recntaniiiÓ,$. ce�s. -. n6111et'G. �J". rep�\�sentará.. n(x'rp,f). todó. e$:te. trabajO'. se. $Upo-ne. D�<. eonv�rrg:eneia a'b,�.mlt1:ta e'oineide�,. \';'l.i. las absei$aG de.

(18) "15. convergent.e.. y. ... p (u)... Agn, pree1#adQ ente gua la. ·toda el plano. "e11. Dada una fala,. SUt§slón ? An$ \. .. te. donde. lim(. ,�sitt Gxee;pe�ón'. a.. ,. it¡ .. donde. B2. -}. _"'". .. ",,_ a.. .. ,4,.'. .. f'". .;1.'. �7. U'. ;¡; 't. :a(. ·. ..... e. "sea. ">. -:. de. p. 2.2 .... Cuando la función. >. JT/P". 1 del. al':­. ,es sufiei­. ::. h>O,'. cualquiera que. RQa Que. sea. satisfecha. ). V(d¡;..-:·. S!el>!rt4-e unieatnénte,. d, tipo. $llipe?io:r' j}4t' t 'VePit"isue. ,me:dia. 4-.,. Ya. l... f. .a..llelll!�a. "11+1- An). ¡j e d�pel.l'd� unic·sente. de, f ,h. �l valor fin! to. de. cf. tléu.i4:a4. J'. 'ñ·'<L}.l-. de orden. es. que. 'D.. D2. ;,h y:. ép. •. de orden. es. intinit.e,. es. deo.ir cuando. .... �. loO" �. lQg _. .J.:lli. � (7. es. posible. V U(,-.;'t f ) Di. -fJ·. _::. U. -. ():).. 4--�". hallar. una. f'uncién. creciente W( ú) tal que. no. ,. Vi. ( I tr:. \. \. 1. �( ()) 1&1> MC. ,,-t,��leglog -,. W(. ). «;. I w«T) ,1+0(1.). (J.:f). ::. 1. Cr). y e:nt0Jl.Ces- el eoc'iente. prO") se. ::. l�g. w( CJ). demostraeion llama. orden de la función fes) de orden infinito.· La -. de la existencia de' estGs ordenes &0.. ea$'i igual. a. la que daremos al. puede. verse. principio. los órd.enes dce las ronci,0.n�5 holomQ:rfas. en. ea. del. 0'>. -. 1-1st. y. eap1:tulo. 0,: JI que. sigue·. un. eur... IV ¡ma para ea �ste. mis"".

(19) ·16. lito. semiplano. sen de. orden infinit0c.,. .eiars.e:. Con esta. definición. puede. enun.... ·. ' ... .. .. .. ,. ,. .. .,. .. TEOREMAIII.....Se.a :fes). una.. .'. ,.. . .. t)ln(d.6n. ent.era. .. .. �. 91ill RH:e4c� reRre§�ll':" ... �. tarse por. una. StQrie (le. .Dirj._chlet .... � 'd'. .�. ,. }\IiS. ne. ��DV!ltgent�.:en .to�!�eJl iJ,�O, X.' gue,.es_ !le ,orden, il'1i,!Ñ-':'Q p (ü ). Si t "11J 1/(/(/t/i' is: D(") OC}.. p) (O;;¿_}3 <.1) l!m< An+f'" An' > 0,. .la.. .. .. A. .. ..... ==. eepci6n). cF. �uale$9Ui$�a gue.s$an la.' fati!. ent·onee.s ,. resulta, _. -..-. l1m. cr�oo. log n(O-. ,p t:f·a) .. -. .,.'". .. -.. _',. lag' w( cr). ._'C::. ,. 1,e-. y el.. Vs,!0:X::. finito. a. (sin,. ex'".

(20) 17. Capitulo III. 3. l.... S&&. f(_s). funaién repre-sentad.a .por. una. una s�rié de.. Diri. .... ehlet. 2. dn e�'!tnf!l 0->0;. .. convergente. en. el. .. stmi.plane),puest-o. en. todo este. trabajo. sup.oRemos. ,. qUé.: la' déftsida4 llí�dia. $'up.e-:titi� le .. que. .. .. ta:n:to tambi'fi!ll;. <H)!>iadG. en UM. J). -c <iO-. ewnple. se. .Mot.a al. pie. será. no. a,e conv�t"genei,a. Pa. tod .. valo!" de (T > O. S'n. verifle:a. j}:&.¿;: QO t. y que. cap!tu le ant��iort. del. el. semipla­. SU,. �t.<+'oo. 1 f( o: +. it). J. .'. eomparando la. definición del orden de Ri tt para las. definición e:orrlente. [ 8J. para las fUnciones holomor:ras en el. con. tr > O 1)-00- la. :r. 1Im. +. .log ..M( tl,f). lag. -. lGg(l/O'). .. (J>. <:. 00. en. por di ver-saa razones. ,.íli. dir·eme's que la ;función. Q¡ mientras. (1' Evidentemente--. 1. { t. .". .... .. tr.40. p. en. $xprNi0n. ..... f. la. eireul,Q unf,­. dAd.". resulta natural. definir e,l orien te R1tt de 1.a función f(.s). $:emiplano. pa-. ). exi&\i�. funciones enteras representadas por series de Diriehlet. Cuattdó. ré­. eO,nvergencia ab$f)lut.a. Por consiguiellte,.. de. .... �1 semiplalló. 1Q. 'p.Ql". vix-ud del resultad.o que hemQs. pagina. de. li1I( o ,:f"):r.. Entonces. t. f P'D. S. que si. lugar. de. prefiel"G. e:::. 00. log(l/(T) lo. la. es. de' I\)�én fin! to en el. funci'n O'orresponiliente. podría escribirse. priméro.. .... $e'". log OJ pero ..

(21) 18. r-?l de orden itt!"�ll.d:t"Q. f)n. el mi$mo. 3.2..- cu�a� fes). semiplanCh,. a� ordan fini.t-o. 0S. pued$ demostrar faci,i,. SQ. .... ment� <iue tAml.d�n �a el caso qu.e' e·atamos· est.udlu4,1) Etx1ste. puede llalla'PSi'! orden preeisatio �. que. pl"opi.edatlea;,. p{ �'7). een. 1m O-�$. (3.2.2). 0(0). litnt P (. 0') log(l/ 0-). �. P. (k ü) log( ilk. cr)l. l�g. ?(fr) lt( crt:t)� (11 (J). ., finalm�mé que para.. \\tna. sueesiit! inf1.ni'ta, de valé:l'&s. En.. se. de. igua.ldad. suc'esión. una.. { 0i j. en. ::=�,«_llj)S. '::i..! :f).. M(. 1 .0g'.1/ (.. de va�ores. .,-. ..Ji'. P. iI un. valor. ve. 1.al q\l-e para O .z; o <. log l&g M( JI'. CJ .�}. oIftI";JIe<;iPt:c$JJ#"""fl".-:'� <. .p. log{l/(/) En el. (3 R.4) ... caso. a) esc'ribi.l'eMo$. ""'( u. (j). ::. p lq. k,. '..' m�a. o<tJ7i:.. 4e. Cf qu� tieni. de' cr ta.les que. ... .>. rr. :;:. (3.2.3).'. O y que. b) existe. 0,. caSGSJ. .. C)"1=. signo. efeQ\cGt pueden pr�setltane dos. a} exi$ten 1im. el. eumple. :;. o-�. (3,2.3). cerro,. las siguient..es--. lim,(C(f,lc'o-) log(ll (/» ¡. =p,. J. t'"..,... a. ,or4an,. ,. .(3.2.1). de. un. rr l�g log Me '. 1. "",. fJ.1. .'. .'. log(l/Ú)-. Vo. ,.

(22) 19. (3,.2.5). do,ndé. (véase. (0'"). P. continna,. log log. ejemplo. no. max. (1"'>-0. lOg'3x=log por. e. [h(Of). .... log3(l/OJ). 10153(1/0")]. -. Entonces dadas las propiedades de M(. x.. RittrSI). resulta de (3.2.4). dé�reeiel1t.1!: y que 11m. p {o->. =. p.. JI. (3..2.5) que. Por Qtra. ü,f'). p (0""). es. partet resulta. tambien rapidament.e que. lag y que existe una. igualdd. en. M (l7. sucesi&n. que. t. f) -s, ( 1/ o- ) tiende. a. p ( O"). eel"O que satisface al.. signo. de. esta ultima formula.. Finalme:nte de (3.2.5) resuJ:ta tambien :faeilmente. p (crl). -. ¡. P ( 0") s: log3 ( 11 o:. -. co:« (TJ). lOSg( 1/0- ). y por 10 tanto. o:f 'r(. 1 tr-:c. )_. -. ..... O"log(ll Cí)lOg2(11. P (O-)log(l/(/). .;o.. o-. ). P (kCí)lOg(l/kVrSlog(l/ér) (logS(l/kO"") .... y de teda. lim�P (<T)lOg(l/O") En el caso. .... =. O. F<kO"')log(l/k 0")1. b) e'séribil"emos. ;:. Plog'. lOg3(lP)�. P (k O")log. esto se Q(itduce. lim(CTf I( cr) l{íg(tllJ) ). -. k.. k,. .;.

(23) h«(t }. lag lag M(O"), 1') '. ::. O". ,. '_' ___.-----. max. '?. 10g( 1/ (71). a. y. P( o : ".0<max l}l( O) (J�a y por razonamientos. que el orden. cipio. de este. semejant.es. precisado. p (o-). a. los del. tiene las. .... ,1ogS(1/o-')1 a). caso. se. deduce aáimistno. propieilaites señaladas. al. prin�. illD'Uli:'"fi).. 3.3.'" S�3.. �(J). módulQ del t,erminG máximo de. el. A (CT) el expone'nte máxit,no que corresponde. rl,..( &"'). max]. ti. ll�O. n. a. � U)�.. o. sea. r.r. _)1. ,. =. la serie. "ns. ::.2 il ne'". ;f< s). 1I. lOB3(11 (7). +,. len. y .... ).. ( 0-) Entonees. ::. max. n. r�EFe§�ntablQ �n LJ.Jaismo, ... por. �d ne. a. conV�I"gente para. >0. >. tr » o lá. siguiente':. ...". n+l. funcibn. n. -es. .>. holomorfa en et. ,serie de. semiR1ano a-. > O. l>ir:tch1u. .. y_ cy.;2:QS ". " '\. Jil'la... ). (J". en:::: fA( cr ). ).& n. ..... �n. el. � fes) B!a fUnoi6n. �. Si. 1 dnl. cuando. puede damostrars'e. LEMA 3.3.y. �. -h. ea;Ronentes ,!cri:f'l!i!an. l.a,. condicign. 70. ,.. de Ql"aan. P. >-. O Y. d9. ·ofilen. yreeisado. f,(O"). l' ,. ,.

(24) 21. t!3':ndr�m.()g. A ( O" ) � (l. +. ( 1) ). o. lQg t« 0") I:hn' Ij. Demostra.c-ión..... de. f). En. '". f'(. '. 1". ':. p { (}). (1/ o. o-�o. fí). ". prime-r lugar resulta. casi evidente la validez. las relaei0nes. 10g. t)). (-«. la \11 tima. ==. l;ag. � Uf). oesiglla.1dad. 'tiesto que suponemos. o. ). .... sr. la. j. .... r. )\(X)iE�:::. �(C'r). es. cuenta. en.. Por Qtra. rJ. por. igualdad. un. de un valo.r de tí. 0(1». se. +. 0(1». parte,. de. f. la. �. :::. n ... )\ (01),. >0,. resulta. sigue. o(1»2. P o:. ( )+1. +1(1/0"). .. "'11+1- }\n-?'::Ja. eondición. va.]31�r qué detA;rrmiIlB.remQS. -. M(. ,. :r)=. se. n. e. se. deduce. .. (n 1+ 1). n<An/h'. desigualdades. errtonees son evidentes las. n -==. deduce. po,steriormante;y definamos nI. �� V. �J dIe. de tod.o lo cual. por lo tanto. P(cr/2). (2/ t:r). .. +. (). .J:.. o-. ,. f tí-) (1/17) (. .. +. crec.ieute para.. .. {\(U)".f:(l. <. partir '.. no. (3.2.2). ". �. a. a /2�(1. ,. Sea. definició'!l del orde'n p"eisado. V( O) crece infinitamente 0xpresión (1/ CJ). "(x)dx: el. función. una. A( CíJ y teniendo. f( C7) { 1/ cr}. �. �. °0. como. ( a t f). de la.. C1c. ). _. M. o:1). GigiJ.e. P >0,. «. >\ (x ) dx� lo!,. euanae t7 -O,. de m$do MarLotano. .. Vl (j) + J. (11 0") (. log. 11m. 1\. y. P+ 1. _. :::. ".. 0-""0' lQp; M ( a. 2. f,t ( 0-). +. 2: I die n. ")¡j>�. '1. _� n. �.

(25) ea. Gú. (3.3. 1). 'J!{. (T .t'h". (1). fU.. P' ¿ (J, ). -. ... 1. ... \ .. :2. h(..... e. n¡)(.,... (. ( 4 q) s:¡-t( 0-). f· h \. 1 +. Q( 1) '\. .. -. --. ..... 1 +. ,.,._. ... -. •. h(. .... u'". .. para. el. case dttl (1rd�n '�inito que �$tamos. minarsé pOl?. 171. ::. O"/a. y. entGlleea dá las. M{ Ut:t) �. �. �;?'''''.,. j. rJ1) J. COM1d'&¡;-�Q 171 ,puede uetel'-­. deaigua�daaes (3. 3. �). fí v}O( (l/ú) P(rr)+l.). FQr l� ta�'Q'en l�� Pt�ntQs don4�. lag M{ o- ti). taMNmOg, puesto (3.3"_2). y como quie� qu�. r( b"). p >0',. q11$. log fl{ (}). (11 (J'). ;:. =. (1. ..... Q(l» lflg M(O' t:r). ==. (1. eCO') 0(1» (110). .... siempre M(Cí ,:f)�(l/O) p(V). log/-4():510g. las (3.3.2) demuestt*an la s�gunaa afirmaeión del l.ema. .• .... 2.4,. $$. en la.. $1. \/7>'0" semi.faJa el.. 1\,. '. repr�$éntamos p0�. L.l. la. •. t I,_""v(:i -. .). derirri 015.1'1 dE! ,or,iien y d$ orden pHctsado 51.18't1 tuimos }JI ( ti. y. ti"). por 1Jl (. qUéda !'a. Ll. cr-;; t1 ,<It'). =. t. SUP tl< fi. t:fe o- +. ie:f·:i.nid-O el 'Ol"'fJ.é'n y �l oran p'r'fH!isade. t. en una. s:emifaja cualq'Uire­. •. Con aEttas definiei.!JJnes y tenie'ndo o�tlen. 1 t). preeisafl.e,'e1.. lema 1.A. LEMA li1IIii 3:.4 ..... Séa.. p�rmi te f'(s) _una. en. euel�ta :las. propied.ades. !lelDlQs'tr8il'" f�ilm&nte '.1. tungión. h21�nH':)Jl>fa. y,. del. S"1gul.ell:te. sino (f.ergs,. en '".

(26) �3·. ,;L� .�djml�l;!. f< cr) de¡�. s.. .�, �$t�. .:::;. �. { o: >0.. IT/2 j l<�l@. ót'llel'l. <. O Y. p>. Ord'�M pree�ti:;üo.. ·mf§,mll, s�mi!§!Sal\ Jl1léa�!fla ,.1� :f)t1i'!i&r} .l/f(s) serA .4;é !�:. ... ... i.f$mt�Ja 's�=. Jm ,la. p,..?,¡. I ti. ",. f o: > e,. rr/4',� J:. l �t <. � la. Dt�ama eu:mp!ive. ,. r.i ,. "1. (T)' Pt'O)+l. .;5; C:(U l.Qg _..:., I i'(a) 1. e ,4'SJlna.. 1�1lP.�. eon¡tMte.lagml!r!&1!i: -tattibién p'tittde l!liJ.uneialí'se. E-s;"�e l�ína. apl.ieaei�lm:e$ resulta mil: tDl.! ,. _. �.41.'". '*. .. éG_ila.;. .. S"X 9-. r".. $11., .la S· e.S. i� _. s:e. _. .'. ,. __. _'/:f."('d').. .... ... p >1. t):r4e#, !. .. _. -;I;.J¡;.. mi,M-. llA..a�,�'�il 'fM�¡Qm�t-f'a ,y.:li!l:.,e::rss. !.� f(s). p( ""le .e"".,:t.0"""e:e·t;>o, � f'�'" la,-A!"n1l{�l1 '-''i=",�i,¡"" _A,oM.w .. f$rm3. qtu� en. algunas. itfi, ot�a. e'p'.. ,la. ,. !�if_"la. 1,. ... .. .. L 4� Q,:r�l�ll pr�eiji!ttQ. a..... ·,-ord""!l '¡,!H. s?';,�á, �)�-" .¡.,...._�. �. �Ulnpli�'r",. ... .. ... !s.'''',. �. >. 01,. _.. ,J. __. .... 1 ,·e.n. ',". ... l.a S l. _-. .'�. \. éh. '.. _1II!I<'·�r. ,',. lQg. �, .t1l.ID'. ,. s ·1·/.(;i>.) :M,'( 0'.-"�11. j¡:-. -',. .. -"7i/O:)p(a"r�r. a-�o. 1)6me,.st:r.ae{�1l.·- tTniaamente. > o.. d"em�st.rarem.os la t'Ql'm& iie� lema. 3,.4.. .. pues la.. 3.41 sigue. Si.. e'l1. p�eisaaG. 0:1. «:. la. f ( 0-). de la anterie'r".. senfi:ra�. ¡. é�l�. B: la. qu:iere. flitnetbn. :tin. p>. O Y de orden. (To tal que para O. <. O"{). X<o tantQ. I tf'::::. i$ 'erd(¡fDi. dee!r. que _xut$. legJ :fts 1.) i S (11 0;). ,Gt'. �$. )[/2 �. (t:pl.1eantlG. (eQ:8&. qua. El1 lema 1 .• 4. $i�pra. p(CT) ar�'e� "i.ueña,pue,s (l/O") :J:. será.. a.. P. (f). fes). P:Qs-�.ble. (a16 sl� y. a. la. para. inf�inltatr1enteJeu�dQ. s_l:faja. {(]. '>-. 0;,. O{ -su:r-icientslllenté cr�). ;p". ..... e.

(27) 24 1. lag. ,. .... � 2. ft(s)r. 't (1/ {i). ,... 1. I. ei1t"'". 1 +. P &f ).. logl :(lGg. 2'. "". (l.f)f. f. o:. ,.' .... 1. e_f'J".¡. ... tr. ,i. "".. la. oen. CT.,. :::. aonl,L1ci6n. ü/2,. la. de que sE:. f ti. [er> �'. desigualdad anterinr. logl :f(log .e:. �/4j.. 2. -. 0'1) I. Ahora si. elegimG$. dará inmadiat3.menté". nos. \. teniendo. ,. en cuenta. ,. las. propiedades 4e lQS ordenes pre'cisados ,. '. 1. P(O-)+l. _. ,k0g'. I f'(;lj'$.. .. cíll ()). para $<9 S·.. �. 5.'int�riores. a. &!ID Sea la. ria sUpt\)nemos. { en% �+ ibn �. semifaja. ql;!�, !(s). viene. absolutamente aQ.1'1.v�rg�nte:. sucesión. i en � tiene. t"". t. So:c:. todos. <!Yl'! sus. '\. o-. qUé. =:. O, f t.f.s. aH'>. la. suee-sión. f tl< }Tj. f a» .¡.,. :p@pres�ntada. d� :r(s). d� los cer-os. .Da6:Q que.. en est.a. Memo­. por una eérie de Dlrf{chlllZ,'t. $1 ,semiplanQ (). éS evidente. 0,. >. Q.ue la. puntos de acOOJUJ.aciÓ'n sobre el segmento. '>. Jfj ... Dé:ri.nam.�s,. n(x). como,. eal númerO' ti� puntos. cn. tales. X-f y supongamos qn�. loS' n(x) 11m .�-_�"'e+ x�o lag( l/x}. ..-. ,,'. ,. (e. 1. '. <: 00. ). ,. De estG puede d.d'tlcirs� la (lx.istencia. de. una. ,. .. '. ,. función p. (x) 1. mon�. .. tona. "JI tal que. (s. •.. 5.. 1). 11m x->o. (3 5.2). l.im. ... �Q. :::. P1 ::: e +. leg{lIx) rxp'lx) _1 n{x) �. (3��5. 3). el. � (x). a. cerro.. :::. o. (1.I;K)�(X). signo de igu.a.ldad sient'lo valido. tiend1i. 1. en una. sueeai6n. de valores d.e x que.

(28) 25. H. Entant'JSS si :p. �a. un. pes! tivo. Gnt�ro. , '. (lrl) li!, �. (1. ,e:. tl;)e:n>(u ,. .,. + .... +. -. >'. e y. up. ) -, p. rep1"$senta s� faetQ1' p'r1:rnariG dé tq�1$�'$t:ras.s. S,�. pu�de cGnstruir e-l si .... guiente pr.oaucto �anonieo .. =. Q(8). 2� ) rr En{ -\$. :::. +. o. que. faneibn h�lom{'�f'ii.. s��a una. P,a:ra. p�Gbal" al'ta d.el. e. n. I. a). o.. en. pO$ibilidad. basta de1!l:0stvar que al producto. segttndG mierJ.Jr-o � d$ la &l1't.altLiol" 19ual.dad. vaFgente. eualqU.i�l'"; ¡:;{;·eintQ eénooo int.epiott. e.A. ea lll'rll!or-meménte eo-n. .... a un. (J" >. semiplano. O.,.. Y pcax"a. ello tl$ suficiente ve� qtle � ,"1"'.;.1.1. ¿a�' que tambien. c�. pue,de :escribil"se (lO I. tJ+.l. \. r-. )-,Q. 4n(x)<. 00. u'. ¡ntegrand�. (3.5.3). por ,part�eJ.t y t<irtleM'o. y de. e.n cuenta. ,. p>. e. resu:lt.a c¡ue-. ,.. qt1�. l1rn(xP+l:n(x». ::. e'n. virtud d� ,. Ot. $é. (3,.5.1),. sigile. que baa-. un. tal g_ue. 't,a demostaa1" qua. r� xPn(x)dX< ,. JI,. €O. _.. o. y pl.1e$t�) Q)lte pa�a. i:f. le"" Xe.. v�rltica 'n,(x). s� Sé. =. las. tl'efiniciQ3D.e$ ooaterl.ol"es e·xiste. etnplflj O.,. es,. f, (x)<:. P. .1J. 1; Y. un. Xl. su:fieiente tlemostr� qua �/). )1. o. lo cual ea ·evidénte.. +. 1,1, -l.;:t,"::::. X. �I..X. ClO). Xo. tal que $;1 x>". lCl. Sé,.

(29) 26. I. Q(s). Una V,"¡2! Ben�.i)$t;l"fj.lto que. �Wlíl.C·ial' y. ho1.emerfa. E'tS. �a. a >. 0,. "amos. a. imno$t.ra�:. a. .'. sñ�w. �i ') (x) li!M las i1'"9l2.1@aai." �/f (3",5.3»)J; % $,f. '1'1r ,.. (-3 t !P.�j'!Lte.3. LEfM. 3�,5c.·. .... .. (3.5.Ji!) i!. log! Q(s) l.. _. O( (ll o·). =. .. ... sin (,3,,5.1). te. k. r:í. ü)}. n.p.� Etc:. S .•. �.-. ,,_.. o.. n$m{JJstraeih.- Se.gin por. defir-dci.ón. la. (vease. '1111'+1. l�gJE.(u)is�� p + fuf. 1. ,tl.omé 11. �tmstat;tt$' que' iep�nde ttn.lcamente dfif Pt tendifUlQ"S. s:s U1'ift. f'o,'. I. '.. .".. :6. \ \.. ,. \. J. j. _. .. -,'. ,_.. te1!ieni1e. ...·_A. eU�G. ). -+. .. SUpelÍga:rftOs .. 'L_". .... t'L'*i(7() �. J". ,. \�l \ V. -:. i�}. t. �.. h��. .'. iin(x_ �. !. \. /. .. (j. 1)(11. Ji. r1". C1}P"1J �n(l!)b:j u. se. obtiflln$ mati.!an"te. <f"dtlit-e qu� 11m. en. .. '9.. ,�.'. .....,1. desigualdad. 1. .. .. ,. (I!j;. \. l� ñ�l.(P la :ultima.. h. ,... \y. ía-+''X l J�)C \ j. b,.�?J.( tl( u. :�. :_�. \. \. �. / .. _.<\/:"1.�.: .'. !. .. /' logt Q($) ,. \t¡\le,·. Y' pues\.9 que. --'. -. .. ". y. Q(s}. f161). -aj&mpl-O V8.11r011. (3..5.4). de.. ,:c1Jhln(x). ahora q'�� O' ea. .::. O.. .. ... -.. ,...,). .. �-' ex) loi"ji' J", 6t) -x '!. Entotl:eee- t.nél1"�mG$'. l'. .. o. int.e�ión. x> :e. �. e. -"2''':''''' .. p$r. partes. /'. $ú.í'ie1�ilatemem$ prv,xima. 0""j! ""_,x<-,,(/-,..�J+l"'* ,. una. a e&1'"O. para.

(30) I. 21. fr. -. II(r. JI. xPn(x)i:x4_. )('. _. 1. -. D. o. 2 �. "�-f (x) ti"'"-L. ««. !. 11 _\& ;. (p'". J. 1. il x),:p"'"r(x)-x Xv){x)lea "'.. ..". -f'(X). I. I. J�. (30 5 4). De esto y de las. 2xP+l-�(x) =. ----.....:. P. 1. -. &:. T�su;lt(9. finalmente. .... h2p+2IP. 10g1 Q(s) f�. .... -t. -...�'. + ". 1.)" '. ,. l.. -. 0(..,.) 11. ,. i». (1/ cr). :P -e. o. sea. la afirmación �r:¡l lema. 3.6l1'- El lema que. sigue dará. una. acotaci6n inferior. .le?te.eióTl se,.,.á únicamente válida. Natural.mente est.a. •. pequeños e11'eulo,$. centrados. en. lO$:. para. Q(s).. al exterior de unos. en". ,-. ,',.... f. !LEMA 3.6""" <C... (2an)". .. 4. ;¡. �,l e'¡j1$ra:2!. con. Ji". ,g. ". ,193 !eQla�rm§ g:J.reulQl!. ,las mismas eondie1o}1$s que. en. fI �. 't cn :b. s ,,;. illemEfv3� 5". se. ver.ifi-. ss 1. �og. BaI:.� sE. '. ::. "Q(s)f. 0((1/. So.. Demost!*aciÓJl. ... Evidentemente¡. -. 1. lo". '". (2. 1 \(8 �e:\\1. ..,.. �. -. IQ(IIi'i. j -·'\Üleg �\� eJ ,-"'1. "'". "-. ,. i) (í) I�«(/ log( 11 (T ». r. 2� '. ... ¿_'log '�. I. �. (�a. '\. 'l /'(2lP·Ogl·�l� /tC1 1I ... '. "". donde. ./�U}$e. éxt.1e,nde. a. todos 10$ valorE't$ de. n. tales que. J.

(31) 28. 12a+; ¡ �l/2 s. v. ':;:::� .r"-_,. l. a. f/./. n·. ..... ·s. '"'. .. {iJi. 2a. 1 Aplicando. fuf<.: 1/2". 1. n.... -. s+e. n. <.112. Taylo�. el desar'l1JltLo en s�I�:i,e de. log( 1. a. u) 1. cuando. .... podremos eacrlbir -. J. �\.1. logfED(u) f r� 21uf r··-t '". y por lo. tanto". (. �, .:1eg,� ¿ f (1.)1. 1. (3.69,1). I. í2a. '\1,1 ¡-TI", enl. ,.. +. \8. \. t :. i?.a'�I. ¡. 1. /. \. I. \,. ·-10€:1 E-))I' '''':_,' \ \",,+,., 1. +. S. .,. en. f,P+l)\ �l. -. t. (3.6.2). ,�. e-n¿ U). Por E)t�a parta :oo>!r·.'ltnos 6'Scribir. ,. I. o{�.. ... /. \.... donde K puede t{)lJlarse. -'n' .. I. .. die o;¡. slog. independient.e. ;." '". -. '. n. l'. I. "n. K. +. .-. 8'. .... e. .. de. n. IV'. 2�'�. n. y de. ft. +. ..... i I. .. I. s.. (. Al i:xte.rior de los p1h}UeOOB cl.l'culós. ..... ��'. .. ti. ,... eni. c-:o.(. 2an). °+4. .. es. j. rificará -. I. (3,.,6.3). donde. S +. log". Kl. t.ambién. es. s. '. .... e.. n ""'.. Vn. l'. l'. �Kib(�. +. 10g(11 O). n. y de e.. .. indepfiooienté. dt!. ,. '. Teniendo. (3ftS.2). JI {l,é'. r;-. en cuente. (3-.6.3). son. que cuando. supe-l:'Iio.res. :_). .. �O los. ti una. $égt!l'1Llos miembl"GS de. �onstantes pO$itivas,. su. ve-.

(32) 29. .. .. ,... .. pr-oducto mult:tpll.�a{l@ y PO];"! LO. suma.,. .. ...,... '. por una alerta co:n.stante fitnta es mayor que su. tal1to;. (3$6� 1) '. (3.,6.,�). de. I. {Seó.3}. 'JI. $.9. sigue. i. J (3.6.4). 10g. y como,,'. Elog{¡n. 1.. /" ::;. TQi;)T O(. vi!n{)S. .. 0n. $. '. ¡�Z.6.,4) sigue. de. S. 7..... tp+l ;;;. So.". a. lema. t. 8.5t. lel..�a �l.6 qUfi. quel"iamos aemo,$t�ar-. ... r -t(.s) /Q(.s)J �($). ite loa. 10$ m1ale$ Slt.pc¡rllemOS fO!'madc Q(.SJ. .n una. �ll. Se. SAllllitaja lnt.e'f'ior. y la función. eartJs a.e. ab"j eto. se�' muy trtíl paN. vamos a ft�5traí* un lema que nos. s�acesi611'� en�. la. f. ant.ti's ileo aemes't,rá)'J leOS atas teoremas. co_criendo el or'!l&11 de Il. pGr.Aient�. \. 10g(,1I O»). ( tLI (J J)� (o-) )". B"t'11?mac1�n tlel. la. d�'twininar el. <treeimi<tntG d$ la. O. e. en. Finalm*1'ít1i!:f;. e,apttu:to. ita este. ',;.':;-;;:. ,.......:11::::-". 2,. p+l. f. demost:racibn del. la. 2a.. __,. ,2�,. 2�. (le). PI. f(s) inw:riQNIJ. a. eorl'"$,s'" a. Se e.on. 9". ,LEMA 3 7c.- lira e1!l!.9!.ii�r 1(Ull:§cO so=. ()o+ ito(C'on fJ(J suf�ei..ente'" m�nte, ¡!sIn.u) E!�����gU1. te. �$. ��1fai'j� S1:: t (J> 0,. f tf<: �),i ),f1ol?-4e � <JTr;Utl!4.,,��r;¡lH._y;1 r6t'(��!W!;¡�&trió!Llaw ¡a7wl0J?' al 10, .c1&§ Son ... la! siguienú;s Rr(.rlidadf!�n .. [. !.. 19. 1'.. .... P. '.. ..... ...... e.o,:nti�lle el 'J)12nto S'..,.. $11 !u interi.:or y. "'""'!:if. ,1. 2� Los. ,JI. 1,'. __. _.:'. ... Jti. �,,8. L. I!'I. -.',. ldi! l1P. venet;.�� �11 �l:. in1;erior ... de _J:2a.. ... elreu¡os. t '1 s-enl::::. A}. r. S. .. (2�)' *�). ,. �L. . .. 3@. La _. lo� 'bld b tl.� ,f;'. ,6. los l$llo,§ ho,tizot!lta1:.�s @tlafae:&. __ ........ 4_.·_'. 0-. '. .1IItJ. '(iM.. ".. ... -. ¡. ':". reL. Deraostraeión,,""' 'La. suma de 10$ diátn.$t.rQs a.(J e�lltros tien�n. ttn�,. abscisa inferior a. x es. �. iI. :tgaal. los a:. a. ........ circulas. b=o( Of.}). cuyos.

(33) ,. ;. 'o. ¡'. 2. J. x. _.. ":Zdn(x) -= 2 (b. 4). +. .De esta.. rá el. se. tiene. ). la. r.'1l.. a. en... obtener. x2. i. f'. �J. o. \. g(x2}.. dx):; ) se'. sigue, faeil-. precise por. ea menos. �l nám�ro sigulent.e. Por 10 tanto,. e-st,ableee;rl.o;. pero. lo pa.rece. no. m--as- p:r-ecl8o. ihwcGtrnelón. ::.�. una. compren�ión más. del. c'M'1tulo sigtJ.iel'1t&,. Además. faeil y. seguitl.a",!rent.e. que parezca lo. de este. �apida la. es mueho. CfJ.ut.r-al"J/f.o". m-ientras que el método .. ". pC'd1du apl1.carló al orden in:f'inito. hemos. no. consigui�trte". de la. primer. teorema ... dtamost.racián. d�ostracióR del. más. pues. permitirá. 11,e1 resultado. teorema. IV, qUe d!t­. fae'!l que la 4·e1 teorema V. a pe ...... ultima la daremos solamen­. est.a. te. e$qt(�mat.icamente.. de. .fln.:!tiJln h�lomor:fa In el !H�m.ip!.96ü'> � -r:»: .1 Y .t\� Qr§len. p,..!���a.'lG P (J ) gr.dva. fl'. ,§i· e,_ !liste $em�plano la TEORmA IV.-. ;::.� :f(s). una. ... r. _. �. tunc'ión Rgede ��p!"e$-eutl!l'''se '2Qr gna ,:Gris. ae lliric}l1et convergente ... '> L...:. d e 11. 2'. e'. n". M�illsesi61't �-€!._l."iQS t>n,gnt�:te.s ,y"t!t�SP ,.. ... -. A �. )\ ..... """"'1 oU,"f -. ihn:w.e.. 11 Z. �. n. >. h. -/3 »)3 <. e. D('A.. O'. §�,_'t :eQnatan:te�". 8(1. .... dem&etr�i6l1 del primevo. tdgue el mis­. _.. Por. mo�traremon. I \. "!apttule {\i�l.iente,. el. vr�. --:. el. resultado. sar- dé. o. ,. -f. los diámetros. suma, de. que """'os. <ment�e qu�. {le. 9r�en i�;tlto (}/�n. /f/N)7. ::;;. .;(. af)roo�t"ra(d.�n d�l resultado qu� 4a�s para las tuneio'". eUX"$.o que la. nos. n(x ) ax. parece qU6 ea e�bsu1"V.o en. I. a,lftl lema 3-.7". r-e su 1 tado. pl"limera vista. ?--we. x. conceptos que el q'l1� da�t"$emcs. tr'�s. mo. .•. aaote.e:i6n �.& la. 3. 8.- El. a. 6'..t..s. �o. mente el fmuncnado. It. .'. I. ¡. r. _. h. .'. )(. I. f' +A. :. .. ,. f. 30. ¡¡ !Ji además "'". l·,. ). :=. 0(\. f !&t.i@f'ace. fp. -+. p. 1.) (1. ). ). (o�. a. � r� p. ,.'. 1-'.c: �). O;.

(34) 31. núme-ro n(x,a). Entonces &1. do!. .cttr9"�_;i. 1'($.)'-2 .s'.!mt�ni4.p�. �n. la pat't! .. a». de'. x. .la sEmri.t'�.i!. valor f'init.o. L. (; >-. O,. j t. verificará J&!:il cualsuicr. tal < b 3. -. .{:sine;&e.!p_.gi!:V...t.. &. '. :. 'llm(xe x. -i ( x ) ....... n(x"a)j >0.. -70. D,emos�raci6n.-. primer lüga:r resulta evidcen1.e que medlantA. En. un. ca�b1(¡ üe v,�rlable puede suponemt}, sin pe1"llida de gen�ralida4 que la. sem1faja lema 1 ... que lnttn�v1ene $U -al teC'l'ema es la. 2" teniendo. cualqu;.er tirá. circulo. punto s". un. f. s. en. Sol. -. «:. al eual. u >. 0, intéI"ior-. a�. cumple la desigualdad. logff'(s')t >log'�'kJ -Ak O-o'". .8i ahora. ele6-,,;1'II)S. }�. semiplano. al. .. (S�91). aplicando i¡ll. ñ·'::: O., resulta. cuenta qti� -en :este caso. en. Ento-r�es. SQ"". u>. que en. 0" 'exis­. ... lo/t(\k·· l\}g(u�(li». ... igual al va,le!' Que rinde máximo la expt:>esión. \. logl dkl. A�. -. (T. �. i!fi.,'. "te:nd 1'"_08. ,.,. h. (3.8.2}. lOg! r(.�")i. :ft. >10,gr(�) log/\k" log(u�(u»., ... La. primera afl.Nla<,,:1ón d�l lema 3 •. 3 junto,. eon. el lema 1.1!.A. permit�. es­. cl"ibi.r. logi\�",. O. (f' (0;)+1). (U�). (l.-n-E). ¿,(m. don.de. E. tiende. 9.. ... ._. -tant,tl,. lema. 3·.3 sr t�nieMo ser. tan. de. ..... se. en. quiera,. slt, existe una. sucesión. d-e. seganda. a:finnaei6n. «el. .el caso que estatlQg estudiando se. deduce f'aeilmente que (.. &emilaja. permite esc:r-:ibir. ... •.. como. nos. 1· ) /p,. (3.8 2) aplicar.Ldo la cuerrta que. en. p¿q,ut:m. (,(3 ,. ( 1.C'/g\u�� tu} )& Ctt. Por lQ. lema l_LB. AiL.emás 01. ... 0-..... ( 3. G."') .. puede. 0:;;. ee�o. pUl'lt.os1. en. J. sn'5 tales. que. (5'V1.�O. y. u. la.

(35) 32. "1. (;3 8",.IJ:). lime. ... Por. interiores. ¡-(. �-. �z,) log '. f(s ) f ) >H n. ... L,l'n. -. .. ..... '. 0.. -. si la snces i6n. eeooiguienté,. e.. la. {en � de. los. de. ceros. :fes). a. -. semifaja So" verifiea -. �;r. 1,. f i�. .' p(x) í�( x) x, a) :::; (l/x)) '�1 n(x,sJ:::;(l/x. I. r f.. p¡ (x). donde .. función. "'s una. cU1IIpl.e (3. 5.1). monotena que. (3. 5. 2) Y. y. .'. que tletel"lRinaI'f)U10S. poater101''!l1entA� y si f','l'mamos el product�G '. '-. moa hecho en 3",5. Y."ét"nlt,,�á F(S). ea!'e{!tara de. pa:rti y'. eet-os. de un. va lo l'. (3.8.5). de. lo�� ,F( $,..)". Hl. es. gido piira. >n {. � ccns tant.e. Q(s). ,construir. lí (r). ..;.ue. a. '. -. .. 0,. f.�( cr). satist"ace. de p éle. .... a. .,�H. :��<;.�-, v:». Hl. sigue. que,a parti1' dét. se. tí ( {��}. ti1 , Ver.�). ..... ¡'-. (1/0f (3,f·8.5). cumplirá. depende U!dea:r3e�(!\$ del. valor. (1/(J�14(:¡. lit;¡¡. •.. ,. supongamos <rilé. ... __. (3 8.,6). f" o:;� ). �. P. entonces de. y el l-ema :3.5 se. n. �. dond�. aJ/Q{g). -. S'2,ji' S(ferjn (3.3.4). (!"t'l.. ha. función. q'J\e la. (t(s). 1;:. ��. Q(s)1-'. un valor de n,. se. cunt­. p�e. lag! lo cnal en. P{Sn) l>. pe-rm:!:te a-firn'hi_'r. Re(l/(¡). que la. función F(s). S· de ordst'l- �f¡i!jll� suporior. ... l.gual. . '. .. o. supc'ri erSi. 11. p. I. 'ap11:oamQS. (. 0-. a.. ). +. r \. �:; (u:i). O. ig.lal. a. .."... l()g. H2/,I ( 10g(1.1. no se. qu�. P (j ). anula en. y de ord-en. un� secesión. ". ¡. �. F{s-)' el lema 3. 41 �sulta que. tle punt-o-s. 1'Zn':i: �+ i�n 5. es. precisadO. en. la. semi_faja. r. existe. B.Q. tal que. xn-"O. y. S. ....

(36) 3:3. �. :'�. f>!x.",)-l t rs. .. J_,oU)i �. xn'. ... ..I.og l'. �'. .t'. \. •. 1',,!,. Xn ) 1 < -.ua<". (� �IS. Almedo:r d�: �ada punto z.,.,. eGr1Sidel�amos �l circulé Dado que los pllílt'OS 'V--slor de. son. �. c1rC"<llos. los. Gn. tanto, la función F( s). lo. ciwueia ". JI. n. �(.�')-. en una -curva. '*. ... ,... Cl.TeU.!.O. ,. ss. \in.. (3�ale-7). G,...=�l f s. :.�. ,. !nt�t't-()rt}s. a. la. ..... semifaJa. S a.. $�rán 'totaL-:nente inte"icl'es. no Sé. que dsl. al'U.tla. punt&. �n. --. '. la. a. la. puesto que est.a, desigualdad Por otra parte". tir t).'2. las. se. cumple. en el. propi1!daiies,. logi ?(g}f< H4(l!Xn}. ,<. ... ::. e. ,'1. $'. I ,�,. n. de. pe� ). -. Z,. 3'*. f�x.n. n. (2.8.9). cualquier:!;'. y para ". '. ". So'. y por. En CODSt!t,..,. 'eent.ro.. F. f(¡¡¡) ., los lemas 3.6 y 3,.7 en. ,al. log(l/�).. '. 1.3 ;)ennit� d�d'tud¡� de <1,.8.7) y (3.a.8) Que. un va1o'r dl'it. cl.ft!u16. de un. vel,i:'::''!ea. (3.8.8). El leilt&. 01:",. p (xn)-1. •.. se. X�/2);. eireunre�n<:ia. permiten d.duci�. rec0-rdan<10, !íU�str'a eupo-siei(m (30ei-8 5), que. Gn. 1<. e <.'unrp l'. lGgf F{s) le -H�(l/Xr,.). c1.reul.G. n. partir. ningún circulo Gn•. zn llega hasta,. z;. ¿). < $� �. ,. lngl F(�) i'<. >. oepor. pequ&oo. que. sea). pa�. a. en. el. c\.�ple. "'lIS{l/xtl). IJ(xn)-1 •. ,. #�. yra.hora. supcn-ewos que. .. l!m( 1/0-). G(lY)_ p(') +1 =D. eump'le (3.8.6) ,los. ,heohos basta. eemé. con. mayer mG'tivo. aqui. 8'0ft. validos., Por lo t�"t aplicando de nuevo el lema 3.5. de. se. :r'a�onamiento-s. .'. ¡.

(37) 34. (3.8.9) resulta. en. lOj�, ;t's>l�. a. g,'n y. palatir. d�. un. .... l'l. �(l/xn) 2-. -. .. valor de. n.. '". .. apli.eaoi6n. 3i h�emoji una nu�va_ para un valo;p de k. '�.. P (lt ) 1. H5. .,. (3.8.,10). del. lema .1.• 2 al. eonstazi't,$<j; t�nd_r�mc;)s. Q.u�. en. :>'. :lo�T t(Q� ) l on. existe. '1\. un,. log'. '>. :f's�) f. S) (P _ex(3+ n. t. 1) I p.. .... .. "-2. -. la. >O. suficientemont.e. (3�8... 10). "". Hef.1Q;S. peq_u�a,. .Ue¡g\--¡.t!Q. a. l :i.m'" .... por 1-0 tanto., esta. (3¡.8.� 11). la. 3(1... f3- ) /p. est.a etl. <. n. r. -. 1, para. C'o-n'tradieeión. eon. esta eon'tl;1afJ:ie<tión suponiendo que. -n(:t:,m,). (li;;�'tx),. ". ,. .... i. n(_�eJ. �. O. -,. .... �(xl !7'--Oí... (l/;g) sea é:l. t�Ol'ema. eontr-tUlie-eión iemues�ra qué-. 1:L�. o. punte .... /". 10-g(�t-0 L(�""¿ J}. ... H�)'. puesta que, S��,¡C1 las l'd.-P{;tfH�.i$ del. t. y. '\l"irtu¿l del lema 1 .. 1.,'13. ($.8.11). y. �+. tal que. Sl�. r. y. circulo. t.•o�ema-q. ,3. �),.- D-t;:1 t.e-ot"·$-tn� que v&m&S a enuneiar darmno$ solamertté l.a ldea.. getl{n�al. d� l.a. d�mo.st::ra;(!16n.y. c·omple-U t.er;lria 'i. muria. tantas. Que -. erlun.eiar·_. -veces eitada. en. pu:es. (1.8J. de lílUliV() l.Q$ .. p�inci;pai�s.. Ul1 auPS'o'. sémejante (si' bien. .cfjcn. s-e. demostración,. lemas eont.e:nid0$. 1- de ,la ellal hem(;')S. Además 8�Sim. teoremas. x"eali·dad. paI'a dar l.a.. \I"&%"'�,. va�!adion$s. la. enun�.ia4G. -en. la g�,. UJS t�as. demos.tracioo �egu,1ria. de- bastanw. imp�a:neia:). ".

(38) �� t.tI�. a. TEOREMA V.-. ,¡. §.!I 'l(a)·. ... f.'$9c!6n hc0100lOr.:t:.!.. una.. �9 .J�rjlEt! p -::> 1 �_,J:n:.�!?l} .ir..��Yf�Q .. .. p «(T). �. jll... ... el¡L !l_sc:nni¡lano (.J> O. en. �st.e. _ssmip;L!no la. tult,. '. ;ei6n.. I. fl3l. P1felti'ol·ia a'"frtedieh�.. la u.e los teONtil&:s ae mi.. Dir1Qlwt couyerssnte. .. '. .. f. ....... "'.r¡ f�,. >. ,. ,. .�. '. .... ). ./\. 11 X. f5. 1. ,.",,". ·trl-l. �'l. '<,. 4>'n·::;;;. '. f\rl�. !l!eé§ión."qj! l.o:$. e�.�!. yertfiga. dGnite l®;.. dond�. e n. ,. .... D(!\). u.... "'-"'0 '.". OO\'�). :::. (0< f�l.) .>. };011ftl,ante��. ,l:';. ai, Ji.q.if-náf¡i. _. p .sat.i�tacJi ". (. (l-p)/p< p, b1ntc:neGs si n.. (x"a) r�ges�nta e',l �1tt .. �. --. .. ve�if�,camt. finito, d�. �4. ti,. :Wf!.í:!. &l1J{s. �:,tta). "n/xl-(�'. �,4'. .. ... v,en!oS't:racJ.on ..... ,*. .. n. da. �. :f(s). a. -. CQnt.�eni-. a;a:. ... ,. -. 11;.0)<:- 'b > JT / f l' f s. .,.. i. t.J >-. x. funció'n F(z) a. pC'$�.r de. lagunar1tefiá.rl. unas. no. "1.,. ,. > o.. �. esc"1�';'ü:lmor:. bJ.. F(-z). 1.1./. -. (. n. ,'. x-o. X +.. -!�. ""NL�""',��. ti; _)'-. :. -. .. .'". oqa15,iuier, vaZL9.t tirio di to Y:Rara (!wa1w!er vI.J.$r. ... z. .... -. f3)<' p. ir¡i.n )gxe6'Oeió,�). .... iI.. entollC!es la. ... .... --'. JJt� �n, el dq!l'!l;�o_q_e.�1n1g.t) .¡g¡;_ §9. .. 1; (l. .J.14ri�.J:.q. "�!t�.!l -. .. u·'". .. -�........... p. +. 1""( �.&.... i t�). =. en la. f�ja. '. 11'. lyl< b>rc/f. po4erse repres�ntar- por. propiedaa�.rs. .!¿al1. semaj.al"it.e.s. C1�1 pl.a.ao de las una. a,. sel"ie de Di�riehl$t. Vas de las :f'unél.OneS -'. que ili'l.ttfrv:hm�:n. ftll la. :p�t;ir&e. con. sección. variaciones ruás. G. I y II ·:te mi Memcfria menOr-l. impo!'tant.es. ¡l�. c;.ue. pueden. lo-s 'Pa�on¡m¡iantQs. re-. &f'�t... .-. tuados para. de:mostr�q;" '"uno. de los téoremas al11. c()nten:t:los. liS,. te'orema.

(39) 36. 2,. sr,.. que corresponde al teoremaII 4e esta Memoria.. Observaci6n.- Que el teorema V. es. más precis'o. que el IV. evi­. es. den.te por varios ,conceptos:. l' La condición (1-. 3( 1. que la. 2' eercs. 've. f-;) / J3. El. p. ángulo. n(x"a). se. v'rtic(!!. cuyo. referia. central tambi'l'l esta sobre el. 3'. peri.or. pequeña. ángulo :pl'Óximo. al. que. eje. sea. ,esta. a una. de. en. �l. $je. de. a. n.(x,a) 11. a. a. S$. la. la semi:ra. no (x"a). pesar de. g. fron­. como. semifaja. v6rtiee será siempre interior. los. conver­. .cGnverge.ncia.. Pero. la anchura de la. al que afirma al teoNma IV para. apartado 29•. refiere. semi:raja cuyo punto. El cre�imiento que afirma el teorema V para. .. rest�ictiva. es menos. de ceros del teorema V Sé. no(x,a). inmedia:tatneJ\te por. del teorema V. 1 del teorema IV.. .... en un. mientras que. parte del. el. <. n6mero. contenidos. gencia, tera,. -. �)I �<. e. 10. ... es su­. dicho. $11.

(40) sr. IV. Capitulo. 4.l.� CUando el orden dé :feS). infinito construiremos. es. una. fun. .... .. eión cuyo crecimiento será retr..ta¡@I*r M( u.,f).. De modo. Sea. Jf. )D(w. semeJan�e. aeot.arl superiormente. y que. Hio-ag [2}.. lo que hace K.L.. el. tt1neión definida �el siguiente i'fl0do:. una. cp (x). ::. 1. Cf(l). ::. 22. x� O. para. 1. �eribiead;-' Xl'". 1 Y. O. ltg". Xy,'" x"...l+. supond-rem-os. 'f(�2). 2. n. ('1'. ,-((x�):= 11. ,. ..... ,". -. ( n" 1). 2. -i J 't't»: 1 11 1 ..... =. 11. 2. .. mientras que para ta.. definición. de. 1" Si A. 39. (_". r (x). (p (x) 1. o/ex. es una. +. �x. �,. esta. /. (x). En virt.u4 de. Cf (x). supond1.'"e'mo$ que. l�. +. ,,(1». la ppopie,aad. eión inversa de.f1n1da por v(. fCx). �A. función er6lciente par4\.. )�(l. es. lineal.. Con. eo.. '. x. 2'::0.,. 1(x).. $&ganda)p·a.ra Cf71. 1<",». ::. ::. existirá. la fnne. x.. PongamQS. üJ leg lag 1« ( 9 f) ). g(. Entonces para vuor de. u,. ) = "1' 01,' (l!. u.c:::. q;-,.. es­. ful'1c-ión tiene las siguient.es propiedade,Sl. +¿Cl/n2) ent()�e." Sh. ,. 1!�. ::. "n-l. O). dQnd,� g(. max. O-'�-O'. D;} >1,. --. '('. lag' 1/'. ü\. J. tlef'inamos U(. <7). como. el máximo. 1.

(41) 38. (4.1.1). 1i\cia. _ w.. ,r ........ ''1. t.,.,. 1:1«1/ u-). J. rr. def'inie'ión. esta J. ecf'eetQ·� sea o: una �xisten�i� dtt e-ste. y de. g( u). '11. U(ú) s:eñ. l��. eanti4ai que rin4:e. -. la. (llül». ... ��.J,. Ser\ín En. V(g(¡,.I». +. valor. un,a. mnimo. 1.&. 4e o:. .xpl"$$i� (4.1.1),. cp (x). evidente dadas las p:rt)piedatles de. e$. valor, O; p?óximo' a'. Sea 8.bbra un. fUnción eentinua. v y que. ve pi ti que. .. u'1. (4 1.2) ... é:n. primer> lugar. <. C!;. resulta taeil demostl'a.f' que. (40,1.3). tiC. o;>?!:. U( u)". ytm, segado lugar';t si representamoS! por. '{( (l/�). +. V(g'(. �(f( (l/u). +. v(g(v./». U(I'1>. (4,.1.,4). cr:. ::. un. 0.;1». ..... valor l.a1. que U -1 (iJ1<../T"' (,i'l). (l/{�). -. t_ntlre1.'lO-$. ti( CJ). (110»). sea. I. 'v{g'(o- » dé esta.. (4.1.3) 11 (4.1..4). ((((110") «. '!I 'cGmOlI!'. .... .... v(g(O")). /�. lf'hd. ,e$' una. ..,. (l/O). Cl/u1)r6ucO:;):f. demO'strado que. es. hemos, supuesto. 0:,. vf!'rifiea. Ahora demos%ratte:mos que . ' .'. (l/vi). (p«1I0'1)+v(g«(7}»_(1/O)). fU::neih oontinua para tédo el sepento donde. aef'inida) haos. .. 2:v(g(o{). .... resul.'ta. ta. p$�amO$ pues que. I. _}. _',. .. U(. C). es. CGntl11ua. a 1.a. ea. continua. a. izqui.rl,Q. es". pu­. (4.1.'a)., también. (J-. '1 és �n ",alQ1!' p�nmG ,. a. U. la dpecha. Su. ,'oí. pero que verit"'... que. ... Vi/er' ;. I. o. ....

(42) 39. Igual. qu'$ aatel"iomant.e 'f'ésulta �a�il. {1{O:f)�tr(U) C(P«l/ Cf) y. además". ,si CY:¡. .$uficlentflfm'6rttt1 p'l"Oxima. 'es. U ( a )". r«ÚO_;). U(o;». dfi'ls ult.itrtas. la deNcha., Que. Por etra. medf.atam.&ll'té. es:. .... v. (g'(oll). desigualdatl�$. _atd:_-.x�. le) que. ��dmt. parte. la. Sé. pUfJi$ deos'trar,. a ,�e�(il. En.. U( 0-). .8. continua. a. faltaba para demost.rar. e:féetél'. sea. 4e. U( CT) muestra in. ... M ( I.::;- él f). que existe una. suoeld.&n. de valor$'s de o- que. Entonces def1n:_�s a). t.f «tl0·1). ::. lQg �og Me O-,�t').. u·un valor'. taa. pr&ltimo. a. C'tl?G eomo. Sé. quiera,. valor tal qUé. g( a). .... ,�. log log If(. (5,,1).. CQmo él.8 pequeño v:a1or. v(t1(V». la" exi-S'tencia 4& es1'". Ü. d$f'in1eién. pal'a los cualee. y s. o- e: (J"" un. U(. d$finiciol'l. de. {j-Ut. tt( 0-). te. i:& l.a. (1Ió1).. ... 4,_\1$s't�a!l que. U( u-) 2:: g( C7 ) >-:-108 14g. ti.sde. f. �onti_a. es. pc&í"O. cr. �sigu:e im.a iatament'é. ae. , e;st.as. (1/0-\);. lB. a. que. !. l.. -. QJle. "1(1((7)). '*'. d�mo$tt'aXJ. "ffa�-er. -. se. (l/v). :::.. tal qUé u/¿. tr. 1'(0"")9. sigUe imetiatament... iLe la 4efinieion. h Pé-oo, por é't.ra pái:t"te para e��e- valop 0-) 4:ebe. cUmplittse. l1(V ¡). ==. g{U \) ;. 1-.

(43) 40. J. pues si nQ. eumplieraf. se. }",'. �. decir si. es. U( v) >g(C¡,i),. ;'. resultaria que exi.stiria un O. U«(.]I) =cf({l/ul). JI..:::. o-Ita! que. v(g(o-"». +. C1/0'"J)),::>g(a'),.. .... y por lo tanttí. (1/(.))),+ v(g(OÍ)) o. y per-. SO ((l/a"). ::.. contrariamente. a.. rr. Ahora. l/Do. !. (.;. Si. bien,. f( (l/U'''). v(t1({.r». ... (l/u),. si. (Y). un. '*'. valor. los que. suficientemente. es. 1. no. 1.0. -). U(O ). (7'puede. t�a.do la. -. pequeñajO dicho. propiedadéS. puede peJl'teneeer. a. los. =. ex1sta."1eia. de. de otre. r:p (x). modo,si. demuestran. posibles intervalos. en. ello&. en. g(U)/log(l/O"). tanto, i"'rl. g(v ). :::. 10g log. t<,ornar "aloreíJ tan. Finalmen:tEtt. tal que. (1/1.7».,. 'lag lag M(U ,f). }lue'sto que. 15(0'». �. ,j. sufieient.emente grande las. consta.nte,. 1'01'". '9' ,eao. (l/ü). tr"!«: (JI). V(U(D-). j. es. -. 1. la de-mostraciun est.a terminada. J:lupongamos pues (r � o:. vi. rapiiiament� que sr. es. +. definición. de o:',. la. r-r =. v(U(O'». +. existira. consiguiente. ¡(Olll). 1:. (lIO'"IJ) > (llo.J). sea. g( o"¡». .. .... 4,e la vatn()S. 111. v. pequeños. suee$ión. que a. (,,1 ,i ) ; eome. nos. demostrar que si. se. quie're¡. interesa... hemos demos'".

(44) 41 111 -=-+--. (Ji. U(. U. u). Sé tiene. U(n'")«l v..¡. oll»U( �).. +. v. '_. Bsto resulta �ael1ménte 6i �ol'.lSideramos que de ].a definición $:$. de, UC tY) ,. $igue. (4.1¡;.5). u( 0"1)-::;;. ,. de la. pFopiedatl.. r « 11Oj) 39 ite. +. v(l1( 0-» 'Y d'e. (f("). ... (11 U»". éf(v(U(a»). t. t1(u)'. resulta de. (4.1.5). co{veu((}» T �. U(OJ� f. que. es. 1'0 que lt.'n. +. 1)<:::. .. • T(v(U(ú»)). .... 0(1). )U(O'),. '1\4111-1_0.' demostraz-,.. c�nsecuGneia) si. esC'ribimos. w( <T) habremos ih¡fi.nido. una. ;. flU{cr). función paraa. > O. qtte. (1/<7). :::. [\'1(0:)]0(1). y que poniendo 1. ,1. ..._. =-+. C;; satisface. (1. -. (5. 1 ---. __. lag W(ü). a. w� )� (W(CT )] y que además v,&rifica. l+o( 1). continua,. na. eraeiente y tal.

(45) 42. }Ji (. log dónde él signo de l.o-r&S de O". igualdad. que tiende. a. [J. ,-:r) .;s W(. (J) �.. eutl1ple para. $6. Entonces. eero.,. una. suces'ión infinita de. va­. pordendo. 16A' w( 0'). P (O"). =. l<>gel/v). diremos qU:é f'{s) es dé orden infinito. p(. (T). en. semiplano 0.>0.. el. 4. 2.... CO"n. las mismas notadi-ones que en 3.,:3 tendremo$. ,,( 0'"). (1. log W'( (j) ,. o. ...s. (7. \ �«(J}d. o-. .:;:(1. ... ,) a:1. 0(1) )W( Cr.), 1. sea. )\(. (). �[W( crD 1+0(1)'&1. �tMii� Por ot.ra. e-ont.inuan siemlo. parteJ pues� que las condiciones sobre. vUidáS,.. la. (. 1\(. \. _t:J{). 1 +. 1. .... +. �(l�. h(Oj'" O). h. continua cumplieMO$e para él orden inf'inito. \. ). igual. que' lo hacia para.. el fin! to. Para 10-$ valores que verifican. log M{ se. Ü ,?_f). =. V( fY). cumplen. log f"{ O) �log Me o, f) y PQP. del 3.3. déSigualflad. (. M( 0".1)..c. f-L( u). {>n5. =. W( 0") =(1. consiguiente 'Podremos anunciar-. +. 0(1» log ti.( O}.

(46) 43. LEttlA. 4.2.a. Se.ra 1'11 :r(s):!;na. tt1neión hglomarf'a qn. >0 1 -representable. en. ,. !l miSl11o_ ,or. serie. una. el semiRlamo. �! Diriehl_et .. eonver'" ... 8:!nt_a �4. .L:.>.. �-Ans. nQ. aRO,'tlel':1te.s_.'V�n:·ifi.�an. ti.. f.3!'llllS. �§ de o!ien. ,il'l.tiniio. CJ). pe. ,. _la. _spn4.i.c16�. fn.rl- "n�h ;:>-0. M 1(8). 0->'0, .fl v�rtricaran. en. ¡. A( 0-) "'-. -,. ,. Ifrñ c-�. 4.3.,. e16n 4.,". ...,. log M 0-) -. ,. :. -,'. :::. -. l{)g Jle crtt�). _. log ¡;,L( tr'I -. �. J..J.m �",j¡, ,0. __. ,_. se. 1 .1t,. ':=. '. ,. W( (T). Con las mismas notaeiQne:s que. fitn�ié W( c;}. la. ]1+0(1). �[W( (7). SU,$,titUYé. 3.4, si. $n. la M( u "f) pQ.r la.. ót"'deaes int'ini1.0s e «(r). mifaja.. notacionesf apli,nando. l!Ué4e. demóstrar fl:l !eme". LEMA 4. 3 ... 1n�t!tia. S. =:. e11 una se­. ,el lema 1.4. s.e'. siguiente.. 1''(S). �P". �. ... M(o;.,L1 ,"f. �btena.�(1jS la defi.nie!(Ul de léJS Con es'tas d$f'ini.eiones 'JI. detini-. en la. una.,. f cr > 0" ,tJ <::){ /2'5. flLqc.iórt "1_0r&11.. ¡!-,Ji. x:.. Pl·FAIID. c"e.rsa. en ,la ,,... a,. • .. .At ,o�d$n., i�i:m:t. p (0-) e'!l.,@stEJ. Jll�SllUl,Jl�¡df_áa. s·�_' i o: >-0Í' r tI <¡TI4- 3 Sé v€!,ri.fiea. ¡. ('. •.. ,. i!1ror&�s. ea. loa. Ó'. ,. l$gf 1/1'(s) r � [vH ull1+o(1) también. FoSt.:e lema. pueáe. enunciarse. �n. la fom1at, I. IJJtA. J&. 4.31,. s l· gue en la. ..... Sea. una. runeiqp. ,l101om·orfa. S'·' tit;je grden 1nt1mt_o'. y:. sin cero! sta. e< U).. 118. f!mira-. En:tq�,e@: §e _etnl'lpJ.e�. (Í.

(47) ". 44. I log log lH o- .s, l/.f) 11m o-�o' lag W{ é» u. o. ,. ','. __. '. 4. 4n�. eanonie:o,. -. Co.n las l'lQtacÍ'ones de 3., 5. vamos. a.. construir. pero al contrario d-e 1& que &ucedia alli el. rá fijo", sino qü� 1;,'ariara. Q(6)". 2a_. I. n-. I. ,"'1'. un. product·o. número p. no. se­. ie'cir, escribirem.os. con tl,,' es. \. .. -,. �nl�"�). y para. tletel1mlna? el valor le tes. '>.1.. :::...-. supQ'sieione-sl: Existe. en. Pn. fUne1.ón de 11, haremos 1a1 siguien­. una. funeión. ,le. A ü:;»)3/2. P¡ (x. ) que tienie al inflnito. cuando �O 11 tal (1lle. (4.4 1). "11(_,. e. .... 1. �,. 7iJ. \. ( .� '1og( i/x) ). (). I. \. AtJemás, definiendo que. anSXt. como. en 3.5. n(x) por el máxime 'Valor de. n. tal. $UpenQ.¡aemcg que. n;. log. Pr. n (x). < 1 .•. (x) log(l/x}. Entonces dete"!'minar�.mos. Pn. eomla. el máxime entero tal que. Pn�' �(an)' y demostraremQ3 elJ. {en!:!. �+ ibn �'8 gna �ll®8ión, de puntos. interiCM" u '>: O� f tf< n. � x.....gl!rvos Runtos de acqmulagión 1'*$.1 a la sémif2.,ia So= t �st.an fiebre la ree� cr:: O,. Si ej(x) tiene las prooie4Cfd&! seña1ada� LEMA 4.A:. .•. -. §!. '.. ... en. este. núm&�,'t :¡_ Bi. ¡ara. un. e. ,tal.�sm.. 0<..8<1.". ¡e v,!l'ifiea.

(48) 45.. (4.4. 2). llli. �. i.og »(,,). .. ..... '.. .. x""o. e. <. ,. PI (x) log (l(x). '¡p:topges. eJ." ara4ue1211 Q(s). slc 'V1aX�l". .ds:n1},! Pn ss. sn't;era m�e :y<!tifig;!. Pn�'t(�»): ,. hQl_Gtt�l.et',l· 1:,.' So'. aMia ·�.11Y: 't!m.AAm�»te. §'f!. 4en4§ w1 (cr). (11. :. 'DemostZJacd.6n.. .".. H que pa:ra. eualq\\:ler valor. --. \. ..... .#{. e. (Vl1«(Jl/(1 r1»1.7). ". ". �. Según DenJ� [lj,tlñate. ..... ts�Q�ón· ..... tlna. ,$&', ·lb en :r verlf1.g", ... .. logtQ.(slf ú) í.¡(o-:). erB .. de- p l'. eualqu1er. una. eanstante numerica. val.Q'r de. u. ",. cumpla. logf Ep (11) f� 11ra! P+l�, FQr l.Q t8.nto \Í ;)q. ... ". f'". .'.. �. 10lf1 Q(tI) 1. I. 1!il. JI>". -. .. ". ),f. ax. (T \ (__,. x,1. .... .•... ,o' '. ,. 1:. �. ((-). 2112'j"\'. ". J. n(U). ... '. ,. '7,f. "!I. .en. .. í. le. {,. '(-t. [1(.). Vil""tui(. té:. ,. 2' ,'x) n(x) -. '. ,. '. ,. Cf, (x). .... x. (4:.4 1) •.. (7' !. .. '.. dn(X)�. _)I. ¡}. 1 í 2H.jo\ff)J. .. .. f. ,_, F. f;.,). ;,...... {J ,..,.. ../"_. ,. ", ". :te. ,jI) ( ( "2lt"X J. ,(j \ .... ?1I. 4-. �. Itn()l!). l. ,"�. logf Q($) f ::::.-o{l.) J.(J 'r. (4.. 4..2) Nsultaz-.A 'finalmente. y. fI x1. ..... :1. 1 --;.r \.. xel! (x}log(2X! ü) )dx,. V. I. )'�.ou. 2;;(X) (Di (X)) a/�(�) ti..,. .. 10'0".. {l/lt) g�4tx�-i"". __. -c,. dx'. .r: �:::. .¡.. '1""';» t ""-1/"\' ). o'�E\lJl tb:. , ". ·.