(2) SO�� LA brSTRIBUCION bE LOS VALOR�S �E UNA ruNCION. �Pl1ESENTA'DA POR mrA S�Bn:; 'b1;:; 'j)!p.!Cln�T 'LAOUNAB. por P.. Sunyer Balaguer. MéfhÓt'::ta presentada para aspirar al gradó en. 'de J)cctor. C:i.etlc:i.as Mat.emat.Lcas. ".
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(4) BIBLIOTECA DE LA UNIVERSITAT DE BARCELONA. 111111111111111111111111 1 11111 0700098934. SOBRE LA Dl,S-TMBUCIÚN DE LOS VALORES DE UNA SE; G�U �..:.. ...... l.,. ,1--1,. FUNCIÓN REPRESENTADA POR UNA SERIE DE DIRI CHLET LAGUNAR por F.. En. [9tio,,;1�t-;J.2] (1). serie de Notas' y Memorias. una. d� esta demostró que cuando la s81"ie de. función. lagunar, que. sea. entera 11 holomorf"a. la. función. el. en. Sunyer Halaguer. TaylQr,. circulo. el. autor. que repr-esenta. unidad,. suficientemente. es. toma la totalidad de los val0l"'es. finitos sin. PQsiblé la existencia i.'1 valor eXéepel.enal que, según. teorema d.e. Picard., puede pra,séntap;. l14a.4 de éxisteneia de' otros. -e as Os. y. una. el. tafflbien desapar'Elce la posibi. exeét¡eionales. en. GtrQs campos de. la téo'!"ia general. -. Luego t. en. Qt,ra Memoria. anteriores referentas. a. -. �13� -, e'xte:�l,tdi. 10s res.ul tados. las fune-iQne·g e1c'lte:ras. En. prim�r lugar cuanü,<>. teros. precisaban. rio:rmente obtenidos para las series de. nes de. unos. tln. intere$. teoremas de Polya y. en. en. eie:rt.G sentido 10S ante. Taylor.. Y. Mandelbrojt. en. Ségundo lugar. sobre las direccio. JuliL Como l'os rasul taiGs :re:f'erentas. lamenta. 'eran. eonvergent-e's'. a. las series de Dirichlet se. va1.id·$s para las ful1lciones enteras y para las series en. la totalidall del. (1, Lo;--�6���;-;;t;; fía del final tle' la. plano., evidentemente faltaban los. parent.esis angulares remi t.en. MemGria..1. .. doblé:. las sérles dé Diriehlet t.enian exp0nentes. los ul"timos resultados. completaban. las saries d$ Diri-. a. ehle,t. Esta éxtetlsi6n tQ'nia.�, además 4el l;l,li'$pi'o,. �. a. la. bibliogr:aifi.
(5) ! resu�tad08 para las funciones holomorfas dientes. mente. gi.da.. en. series. los teoremas para las. a.. el circulo. :bll>ettloria�. eáta. unidad'.. dé. un. semiplano'" correspon'". Taylor convergentes uní.ea. llenal' este vaefo. a. lo que 'va d1ri. a. :,. capitulo. En el. Es. en. 1. aJ.gúnQS, resul taiGa. doy. aut.ore� ''1. de otros. alguno de propio: que serviran para la d.emost.ración de 10$ teoremas. o6je·to. de es'te. eapitulo. En el nos. p1"&(11$3,. daremos sin. .jo. trabaJQ'. enunciaremos. 11. est.aban.. que 10. tree resultado$. e-n :fQnna me'". Meant1r-ta r l31. Estoá r·esultailos l<i)S. en la. demo-ertX'"aeión,y umeamente. para eeiltrar el tema y pal?tl dar. 1n<::1111«0. los he'. una. exposición. d,e. en. este traba dé. conjuntó,. la teoria'. E� w .. capítulQ. objeto demostNr doS. 111 ti�ne p0r. inpréeisa pueden Qauuc'iars& 'dic'iéndo-. qtté cuando es su:t:icienternente lB;_gt1nar. forma .'. de lbl"'ichlet Q.onvergente .. den :fin! tQ). el. conjunto. de·. $�mJ.plan(\\(la. puntos. orden. cia.· El.. 6'1\ la. cap! tille. te· para las. en. una.. IV. e-onti�t'le. la. seia1".l'.. dos que denomiD.a.1'nG'S lemas y. valor. un. respec. de eenvezgen.... d�mO's.tr&.(.ti6n d_. \1n resultad& semejan'". lo�. que. l�. ñ.'if'ereneia. su. coma lemas han aparecido. entre. denQml.nadós teG'retnas. no. les. se. result21-. pues mueheTs de los que. inte�$" en. teoremas interesantes en.. Memorlas prol;ias. s'i". de G·tpQS. o.. Unicamente la. aqui figuran auteres oe. tlistin<Úón. sirve para. inilicB.r qtte las denominados teoremas forman parte de la t:eoria te> de asta Memoria,. su�taiQS. su.,dl.iares. mientras que paz-a la. los lemas sil*Ven.. demost.raciÓn. de los. eular los rfl:ultadOs del a:tlt{)T den'Om1nad�s 4.4 Y 4.5 tné. ,.(1. ha esta-. .. ,. .. niO. .. Q.r--. da ord'eri in:fitdto.'. Creo convenient.e. en. .. �"ns:td�'il. ppsitiva. proximidai de cualqu:Lar punt<l del &je. :f'Wnce'tóne's. bleC!ido basandose. supuesta tia. f'UnCIOU. quü esta :r-�nei6n toma. 't.iene. $el"i�}. una. ... en un. finito cualquie:ra. (sin tl:xcepeión) to al.. teoremas qu-e. aqu:i. en. ella. primeros. lamas. como. En. obje. .... r,g,i.mIDI. parti'". .. 1.4, 3.5, 3.6,. parece tientn. 'Ull J.nter.es independiente de la aplicaeion.
(6) 3. que aqui les damos. Por. una. Memoria. de. publicación ,14i. proxima. .. -. pienso' pub�iea.rlos. y 10$ 4.4 Y '4.5. cano�ic�s. tos. [15]. Tsu'j'i. ré los product.os de. constrUimos. que. atra Mélnoria. capitul.o. la' que estudiª-. en. �l órden 'infinito. el. prine'ipalest. come resul.tados. -. en. para en. aparecerán en. 3.5 y 3.6. los lemas. ejemplo. IV d.,e esta. Memoria.. .. ,. Las' rela(dolleS f{x) respectivamente dé. a. cero.. prQduc.�. y lQS. como. es. o. O(g(x». .. r{x). y. exp�$iones. las. que tienden. eero. a. ::. o. significarán. (g{x». f(x)!g(x) queda aeotada. habitual que. Por lo tant$". cantidades aC0tadas. ::. t_ien.. 0. representa�. O(l} y cel.). ��respeetiv.a-. men.te. En la lliayQ!> parte li e esta. series de ando. s. Diriehlet,. no. indica. o. S. se. indique. signo, '%. Q. ¡J + (). a.lgun subindiee. explícit.amente.. por e.jemplG siempre. it-. e'. Finalmente,. $. no. =. n. eom(l). es. costumbre para. independiente se,re. la variable. vaya a:feetada por. aunque. Memoria,. (J + n. que. n. �. signo. Y' t tiene. o-. it y. a+. cu. é"nte-nderá. se. I. el mismo SU�. entandara que. se. it. 01.1'0. u. s. l.aa. $. ,. "=. v' +. i t'. 11. et.c.. pueüe term11'lar esta intrtb'dueción sin cumplir. ". el para mi agradable debar de dar las �. más. aféet.uosas. gracias.. ,. al Profesor Dr:.. José M., Orta quien ha aeraptado. figUrar. como. de esta Te'sis y dé' quien tantas ateneiones vengo recibiendo.. penerrte.
(7) 4. Capitul.o. Sea. l� 1,!",,:. tAn S. 1. .sucesión. una. de. números reales. no. negativos. tales que. o. }.. c:: '].. 'A o.c:::::. ::. .. condición O. la a. los. :=;.. 'Ao. en. •. .,.. .'0. ... < >- n",. <. ". lugar de. estudiaremos. la. posibilidad.. mino constante.. Representemos por N(x) <::. x" errtences siguiendo. D{x). función. ::. de densidad de la. a. [3]. ro. genera�idad. en las. se-riea. de existencia del ter'". el mayGr. Mand,elbrojt. >-n%. da mayor. restri�tiva�. ser. resultados que obtendremos, pues pel"luite suponer. de Dirieh�et que. I�n. 1im. número. n. tal que. llamaremos al cociente. N(x)/x. sueesi6n. � \1�'. y détlsidad. superior a. D':: 11m D(x), Finalmente llamare.mos densidad m�dia sUI,¡eriop. a. la. expresión. 11)\. $.= llm. Ffllr otra. f An � J}. por la. _. ya son. cr�o. x. int,eresant.e. eon()eidQs1-p�ro. que. .... N(1;,lt). ... .. ::. Evidentemente siempre. cesitaremós. 4e-fine la. densidad máxima de la mis. expresión. N(x). lim 1im' t-41 x..,Jm. L7). ..' .. sucesión. parte,Palya.. .. ma. (i J.D(t,lU).. -. se. tx. cumple D�D· ;:;;'15·. s-eñal.ar. los. t. Y aunque. no. los. ne. siguientes resultados qu.e. el ultimo raras vsees viene. e,xplieitamenl1li-.
(8) 5. te. señalado': l°. D�< e't·'�. Siempre. ....... ,. 2�. cantidad independiente para las cuales D si D·:::. do. sucesión',. y D. oo.. Lo. ... ..c 00. l.. :::. 0, entonees. D. Modificando. ligeramente. en esta. (J... de. la. trabajes. '\0::. ñ�<:::. que. unÍao. puede afirmarse. que. �(u). la. definición. de. Mandelbroj't. :::. Z. TI. =:. lA.. convergente para 11>. rr D�,. (l.. 1)'k. 3). Ahora de res. unos S6n. vamos. resultados de. )�!\k(r)e. (2n+1) J. ". -up. .. dr'. -=. TI. '1'If·p.._. LEMA 1.1.4.... ::. .¿. Stt. liI2n+2. �9n. casos. que estos. los. par-td cuLar-ea. casos. eap! tu los. particula. 111 y IV para. intare$a.n�. Si. -. .•. .13. en. son. 4edu;¡¡!e. .... h. Y... c2 n+1. 4'J. � A n+l A n'>--h>O .ª,2lj.de. siempre. ,,� j1. 'A/�- 't.r:-,.. Mandelbroj't,puesto. 3._ 3� Iil. debie. A -,. dem<i>strar los vesultaños que- nos. f3;;. como. r�l. y. 10$ qu:e tQnemos que utili�r. :De. que. "'n. dem(lstrar d'{�s ;lemas que. a. es. (1 +�)=2C2n+1z2n+1. '{7. l.. existén .sucesiones. O,. escpibi remos � suponHmdo. '"n. (1.1.2). iliclU$(). e. una. 00 �. !\k{Z). 1). puede aCQtarse por-. no. O.. =. la exist,Ql'lcia de. a. .. eo-ciente D/De. Por el contrario el. i'fonstant·e-fh. se. J. D(x). ��:rif:i..(:!Íl. ::. oex"'l'). (0< �<. 1).
(9) �og. Asimismo. de. Air. ,..4:�. O(. ::. lema. >�- f). 1trf. .,. ae. deduee. �. LEMA 1.1.B ... Si -. ':::. D(x) donq e. es. f3. una cQustante. O(x-p). O(u(f3 1)/�) .... lQg(Ul1{u» �on. c. constante. =:. �<l). ve'f'�fi.e!i. se. t. (O <. � cu. (f3-1) / f?>. independiente de k$. 1 2 .... En 9St..(:;1 ... número da:remos. el enuneia.do iie un resultado. nacido por desigualdad f'uruiaméntal de. MandelbroJt. Nose.tros. umcamellte para series de Di!"ichlet eonva'rgentes,. �ie$ eonvergenters tenemo:s que aplicarlo. quis1eramos eniinciarlo. en. e:ata. la :forma general de. en. lo daremos. pues sQlamente. Memoria.,. eo. a.. se. ya que si. Mand,elbrojt [a. 3�7.ÍJ. '.. tenitriamos que dar. trabaje su. sepie de d.etinici(�nes que. una.. y que para nuest-rQ. demostraaiÓll que. LENíA 1.2., ... Si la. :suC'�tdón,. rela:t.-ivamentc<i sencilla.. as.. { An � .tes ,Ae. dens!dad media, sl¡lpen:inT. .•. �"'> � .e>inita y. �i' la ·\i;.l:,.:;:¡r1i"t ��. ,�. y'. .... ,. ñ·. l�evarian muehu. Obj�t0 seria Lw1;il. No obstante daremos. EH�t.e caso. ¡;n. nos. 115. ..tJ!.(.) �$. unv'eme !l'l. un.. .. .... �. "'7.,.2. s. n. =¿_jU.& n. s,aiplflPO'. .f, Etll, la"totalidad 4e1. .... p1go). .. entonc$ls. en. cualguiar, �lre:nkO:. 1$. .... > so' 4:Q1, rrD�. lómR�etamentt) in�.erio:l'\ �Ü semil!l;mo .. -. .. .. .. $' .1&1. 9l!!. de .. .. 'eonvergen€.i§;,_. �ndste. un. pupto.
(10) 7. ... 10g1 fes") I >logl dkl )2ara todo valor k, _.¡. ,.. Oó §lt.la ,.R�rt�. ---�. Demostraa:i.ón. log(u1,(U». ... real de. so.. cualquier 'c{reulo c0:mpletamente inte'rior. En. ",-. lQg'!xk. -. .p.,¿. donde. -. _. Ak (-lo. '". semiplanQ dé eQnvergene-ia, la eOll'!lerg,enela será unií"ormé. to. en. ,el. al. Por lo tan. clreulo. (l.!.l). f. sQf.c.. -. s. u. >![�. si escribimos. �A. IYtIL .. _.. 1\n(s}. :fes). .... 2:d;e n. 1'1. S. C'. cualquier t >0 existir�,. par-a. .... E). m(. un. tal que para. m>m(6 ). se. ve;ri-. :Cica. Il\n(s) 1< t' en. el;roulo (1.2.1). la totalidad del. cIrculo (1.2.1). "... ,.. cp. ... una. según. ::. ió>. func-ión. fs que. "'". (s). �. (1.2.3). puaste. -. r. en. el. :E-(. 211+ 1). (s). eirculo. ... (n). t·. Cauchy. en. circulo. se. Y por lo tant,;o. la. todo. este. MnJ.. (e). r-s. .. (u. .;.. P )n. �. máximo de --_._--'_'-. .. .. -sol� P �u rts-,. � ---. l)nc 2n+l. ..... ho1omorfa en el. .'. es. .?,(. �. la f'emula a.e -. donde M. holomorfa. la s:tH"'le. (1.� 2). representará. i (6). fUnción. Por otra pa.l'''te para (!ua.lquiE.r¡". �. =. �. f Cs). en. (1.2.1). f. cumplen.
(11) 8. serie (1.,,2.2) es uni:t'armenH�nte ¿onv,ergent.e. en. (,1 ,203)., y. 1$.. !\n(s). ... en. virtud de. (1.1,tI 2) tendremos 'ti-. l � (s€». (1�2 4) .•. Por. consiguIente. t�:ma:nd.o <iin1. (l. 2.5). '�'ULk(U�M. tes). de. ':tuga.r. f R; (s o) I � u� (u) E. tendremQS. •. Corn& por otra parte -. ",. ,. (1.2.·6). .. R-'(S) -"ni. '. ==. r'*ls). .... :. A". '. 6. ("""'" \.'J"" � il. �. ,e. n'. 11. e. y. puest.o qua cuanda �. 111. ,;".¡. >k. ... (� .f.dnf! 6)". d�. (1.2.5). y. 1'1. se. tiene evid,-en'temente. .' ��AkS �Ldk/\k('i �k)e .. (1.2.6) :resulta. �l. ,. l. y. eeae. qlli�n. ente de m,. y. f�. que. (s€». ... ¿ak Ák. "lt). (,i. e. ,k. �. °1 <::: u� (o) B. el pritner ln:l,embrG d,e eSlta. 8 pne:iie. ser. tan. pequeña. desigualdao/es. independi. resulta final. .... se. quiera. en. que el moduLo de. 1'(s). en virtud de. (1.,2.4) aplica.da. �x:. cooo. .... m�nte'. 'f-. Cs.,,) u. Por lo. toma $U a. fes). tanta'. si $'. es. =.4tk 1\'. ... 'Al. (1 "k ). el punt:o de. máximG 'Valorf t�ndremQ$, (en lugar de aplicarla ,. I,.p( ti �),' .lo. a. '11;.. f\'L (') kU 'k" N. e"" \$0. -.. (l. �.' 1). �($»)t. j-A.K. s-: s. já �I ��,... -. o. ,_'.
(12) 9. se.a. o. .,. 'log( fía') l >10g1 dkJ que. es. �o que. forma. leg. Ak- l()g(a� (u) ). queriamos dernostFar*. 1.. ·3...... En este su. .\:, 00'". -. llúmer-o e-nuneiaremQ$. más precisa. que se ob"tiene. resulta..'to ,j.'3 Mi.llGUX. un. en.. sigu,iendo el razonamiento de. .. .. '. Cievanl:tnna i6"pag._lO�lcrl]1O t.1l'!á fuf.lci&n f(s) i,tol.():m(u��a !in !e� ;$l.�;rg14;;,e t s,� R. LEMA 1.,3.· Si. ve:t:it;iea,. ,en. ... �ft_tlil: mi§!!. c'lreulf'b¡ la. d!.s�.iYalAH.�,. lagf T,( s) t� l{i. .. "ti ami! e�.J!21a. euup' SJL�\!nya .9.,1};!, l?ar.:U��l.l? d¡,¡l. orlan 1lesa ". Y.. ,si,. .!l�\'! ,. la ei.�cll1'lfa:rene:ta �e,,: ... ü[. i. i. ". l=. s. '.... .. "1. lagl T( $) f� tendréInOlrhH. ea. � f'UttciQll �'1 wn@ ,a�j;.§laA ¡O;JIl. R�. ,.,._@. ..:::::. logf :f(s) J'_. (M. .... •. �. nUJt.a:r��. obtenerse tl:omr:l un corolario I!�. vamos. ,. 3. _,. ,.. •. $emifaja t. .. [J.>. ;B�. '1". $é!"�ri '1"" a. Caratheudor.y,. procedimiento. '} rr /2J s·. OJ f t}<. nittaeiones. s*,. :pueCle tltm'rQS trar. LF.NA �.4.- ,Si. ea. S. ,-,. erHln�ial'* y demostrar. un teorema de. sot�s 10 thllllG'straremQs por- otr.o. con estas. ,.._. �.. (:m< M). m. ;.. M. 1:.61.- El lema que aftOT.a. ,Yo. , ........ -.- J. N, (. g:f�rculO 1 s,� 'F< R;. .t�40. Sea. S la. .'. y. podria. pero ne. r. ..... .. 0,. ,tf. ,el. la�tunsl-�L.:r($). e'8. h.9�Glnorfa 'l ¡in. seNS,. verifica. ,. .<. ". l()gf 'f(s) I la s �_iQ ��< �. W. I. eWif;j_a¡ �" ... .se. H. oymplif>�t llal"!! o: A.qf�gl\�telll�tl¡e :e�Q;x:i!!a !' ce�� I. l. re 143 ". lar. u>. ..
(13) 10 1. 1 � a (H. _. l.og. •. r::;-:-:.f. -. I fe s ). Dem�s't�a,eión.de. O'I.{w). La.. lagl. :función w). la parte l"'eal de. es. fe log 2) I ). e-u. + .. -. �. 1. e. .... i1�. Greeri del. que tiene por. o:. Log] f{ log 2' I. semiplano m. (w)<:: pelo. el. (don. H. Vio viene. punto. -,. expresión. 4ada por la. -. ::::. g(W�\1ll0,H). .Iw. 1og. �. donde. Wo. rep��g�+Ita.el canjugadQ. el. circulo I zl.¿_ 1,. punto z=O 292. ... 294) pued_€en. de S'". q,ue verifica. lGg. un. interior,. 1. ; :r�.. Woe' eonÍ'orme de la semifaja S sob�. so= lag. 2. corresponda. utilizado por MillQUX. r-aaona..miento. curva que. eorresponda. su:r:ic:ii9nt,em�nt<? proxima. para p. O'. I. punto :ti. demost.rarse que la. tiene. su. dEl. d.e modo qu� el.. Siguiendo. ... w.. Wa. l"é.presntac.ión. Efectuemos la. + ... . .. Vi'". I. ,. 2H. ..... ::::log(l. .... 2(1. la. a. ricien.temente proxi,ma. a. C�l�,. I s]. pag.. =. r con-. 1, la part&. r) >. .... los puntos de S" .�. para los cuales. Por lo tanto. [5,. al. lf!.. cumplen. o-. su. es. desi.gualdad. 2. g ( El, a o ' S) >-:'log·. .. _::t1". 1. dondB. � so=. tunci6n. de Gp.e�n de. S�gún. el. según,. 2. log. la. semifaja �. El. dicho?. y donde. que 'tiene 1'0.1". g(s,so.S). ea. la. polo el punto so.. principio de Lindél'Of:r (véase 1'01- ej.amplo. Nevanlinna. -. -. L6,.pag. 46�). si f(s). que <in esta misma. es una. semif'aja. g(log f(s), log y por 1'0 ln€nt.e. hemos. +. tatltQ,. proxima. a. en. fUnción holomor:ra y sin. logff(s)l<::. f{So)'. se.. clh"'llple.. en S. tal. R, tendl"emos. H)� g{s, 80,S). los punt.os de S·. eteFQ". cel"OS. opara los euales. es. suficiente. ....
(14) 11. 1. 1. ,. log. -. .. I fes) I o. sea. la. 1.. conclusión. -=. 2(H. .... 10g1. del lema.. +. ). :r(so) f ±. -. e-a-. ..es .;.'t-. .... l-ogl :r(so) I. t.
(15) 12. Capitulo. Según. hemi;1$. 2.10' �. Ir. indicad0. imtrodu(i:<lión,. en La. lo �olamen:t8 f,::nunc.ial��mos tres, tGGl"emas que demcrstramQS �frtl"aS Memorias anteriGY'\as. ,131'. fin. a. eap1tu. este. $'R. en una. de. ..... nu. d� ��ntrar los tres teorem,as. ,_. -. cap! tul.os siguientth!t. de 10$. objeto. dentt"o d� la te:Gria. Aaté$ de dlar lG$ �tlan0:iaih,s d;'0b�'O'$ 4.a:r Me. inteNsa señs.lar P��Ot qUé. iefinialo.nes,t los �.nu:neiaaQS: serán dados. a. 'fin de. aJ,gunas det"inieione$�. complicar- demasiaiJ.Q esta,s. eapi tule. lo,s t!'(ts 'tet'yrinUaS 4e �$te. d�. en tU'la f:Qnna menes,. no. general... gens:ral. que la que. _. (tn la. Memo .... :figara. cia, antes eitada. una. fi:1nción. Sup. I f(. cr+. cualql1ier valor real. de. S�a. f'( s). e,n'téi""a que. it)'. =. tenga las siguientes prGpiedai. M( (J', f).c:.en. --ro <t<+oo. par-a. taia 1)9r. una. lidad dela ne�. Hitt.. mante. a. $'s:ta. iefir4e �l G1Ilaen. 0�itecn (R). (R) igual. pa.ni�lllar toda t'U.n0ión. en. serit.\} llla Diriehlét e.bsolut�n�nte. plano.,. t�¡nliipá. [81. u(. de la. propiedad),.. e-n la tota. Para esta e-lase de funeiQ'". peyr esté �n611iv() se 1.lama habitual. (q.u:�. ,'$iguicelite. conve:rgente'. r'epresen. LH,. forrt1&J. tunei6n fe s). es. dé orden. a1,. p. M o , f) ---,-. larg 19;9 {. 1im. .. --'. ....... p. _.�. ��. o__,.. 00,. .'. .. ... (J. s:. De lnod'o, mO. les. �n '9'tl. tQa0 el lo. $�ejanté rep1"e$-enl,a:nde: po'!". tlltabaja las fajair. $ucesivg suprimiremos. tand.era). 1. y. semifaja:$. la. <p.. la. se�an. :faja MM.ZOtltal (ce siempre horizonta. palabra h�riz()tltal q\t.. se. $obre�l1'".
(16) 13. t <. \:J.. rf �1 '1 <. .. y. ij. pOniéMQ M ( (7. ,�. .�. f). :::. o{. el orden. (R). 1'(s). de. +. (.T. it.). +. t.< L�. «:. ·\1e1ltl1"a' iie'filliil� l�H,)�. �.. 4-. log lag Me m...._·. C1. ,4) ,f). t. �. ... 0= ¡ ü-+- co. ..;. ,,_,. "._. ts. Del mismo raoda que la teoria d.� l[¡M�. el. en. fas. y dt!i modo pa-recide al que n�-sG'tros tlStm1QS. Taylol?'!t. o-api tu 10 sigui�nte. ¡¡¡_ par-a los. semi:plano-,. �. en un. funei0t1eS entepas represen. enanáo. 'Gf."de:nea. fitnei6n. dft 'o,rden dél si.C'ui:�ll:te mGdé-� 1,&, ��. P ¡. hol()moz. puede prtléiSá.r' la' noción. se. f <.00. de las funci.one.s. (cr) sQrá llamada ,. tadas por �r-i�s dé. f. .¡,. ,(. �aja. én la. 11"(. SUp. ..,. un. ,. orden. un preeiSM€)'f si. P ( (T O>. lim. íllnei,¡'n, :r(S) se:rá. y ent{¡)ne�s iu 1& ,. (a) ¡:r:: (,),,,. d� tipo A del Ol'den (1\). precisado. 1'" :Log M ( G' ,,�I. l:im. ". '. ér4 .ee ... ,. (cT-). 1�. -=. .... e":)) tU) (:¡' '. s ,era,. if�;uá,1m�nt;e la t'tttroió,I!t fCs). en. cp. de tipo A del "ra.�n. (R) pr-eci. .... si .«'/'. '. ... m-111. _. _. cr �'-__ ....,..,....GD .. Ceom'o ,. 1. si. ............ $aA(;) f. P. .. p (O-). ,e. 11m. f,. :¡:;. ir4enes CR},. en. el. en:. 10" G. rr. tf ,�t) '. 1lfl\V ' .. .. ... """,A". -. -. .. é"". t� t dj V \�. tran�lettl$�. 10 $uees·ivo,. .. -. -. ¡. r;--. ;. A. de: esta Memoria solo nos .cupaf"éIIiOS de. stt�l';bú.remO-$ la (R). y los. -. 11ama�mos sim·. p,lem�nte- brii'é:t.tes. ".
(17) �4. FinalRliiRte91a. notación rle. .. le PGr una .. -. '.. (. ,. §l.erl§. '_. ..... 'Qónvergente (1)' �Il. <. 4,. sucasl�t1. r. �. r.. ,. p 'l. P. �(.(J ip ,f-a) >. �s. :rE011mKA :!.� ,Q'iT. a.e �:'ÍU.1I.\!"'�. de:. tiw. JfI p,. G$. .JI >. 1 ael. sufici. .. a... �;';'i_' {ti-)1t. la {1.�ns1.dad.. t. An+1 "'n) >0" ..... para que. sea. �ualc¡u.ieI"a q1i6. se-a. sat!$:feeha. B1. l. f. 'Ii'. máxima. s:e. c,oua:idera la densidad. enun�iaJ» y dqmoet:rv �l. _?ea_:f( s). una.. Iun,eión. me. s1guien:ttH. entera que. puede rep,reaentar. tn:i�eri� ,tia Diricl111$!t. '.. """. )1. ,s. n.. �. �«ne. (1). Puest'0 que. cauvengenei-a. y. en. ..... t. ...... posible'. rr,«. p. m'�.tna D veritiqtl;Et. J.,i:rn(. ($in u(;1e�ih). a. laga:r' de. s\1per-iO'r,-'. f. :faja.. 617,. Bl. de:Jlende "ull;I.c�e:t}�e ,d,q P en. ,.. n a. f A��. it� ii'�11!�dail. ¡:r4!�. dia,. �. Da<la una. depende u._nieamente. da. r. Si. .. �. lwIi. f (ü)... e� valor :f1nite de. dQnd$. gu�, l)uedQ reta:Et,§entar-. todo el plaM y que 4$ de orden. D ¿. !on'le. .,. ,. -. 'j roio:¡. �,n. ente que la. <!. capituló. di! Dirichlf:,t. !. prea,i:;Mo. pañe O � o- ¿::x d,E}. S¡9aF.fs)tll.la. �naiÓll, �ntAPa. ..... Orden. en éste. -. TEOREMAIlf. '$n la. recntaniiiÓ,$. ce�s. -. n6111et'G. �J". rep�\�sentará.. n(x'rp,f). todó. e$:te. trabajO'. se. $Upo-ne. D�<. eonv�rrg:eneia a'b,�.mlt1:ta e'oineide�,. \';'l.i. las absei$aG de.
(18) "15. convergent.e.. y. ... p (u)... Agn, pree1#adQ ente gua la. ·toda el plano. "e11. Dada una fala,. SUt§slón ? An$ \. .. te. donde. lim(. ,�sitt Gxee;pe�ón'. a.. ,. it¡ .. donde. B2. -}. _"'". .. ",,_ a.. .. ,4,.'. .. f'". .;1.'. �7. U'. ;¡; 't. :a(. ·. ..... e. "sea. ">. -:. de. p. 2.2 .... Cuando la función. >. JT/P". 1 del. al':. ,es sufiei. ::. h>O,'. cualquiera que. RQa Que. sea. satisfecha. ). V(d¡;..-:·. S!el>!rt4-e unieatnénte,. d, tipo. $llipe?io:r' j}4t' t 'VePit"isue. ,me:dia. 4-.,. Ya. l... f. .a..llelll!�a. "11+1- An). ¡j e d�pel.l'd� unic·sente. de, f ,h. �l valor fin! to. de. cf. tléu.i4:a4. J'. 'ñ·'<L}.l-. de orden. es. que. 'D.. D2. ;,h y:. ép. •. de orden. es. intinit.e,. es. deo.ir cuando. .... �. loO" �. lQg _. .J.:lli. � (7. es. posible. V U(,-.;'t f ) Di. -fJ·. _::. U. -. ():).. 4--�". hallar. una. f'uncién. creciente W( ú) tal que. no. ,. Vi. ( I tr:. \. \. 1. �( ()) 1&1> MC. ,,-t,��leglog -,. W(. ). «;. I w«T) ,1+0(1.). (J.:f). ::. 1. Cr). y e:nt0Jl.Ces- el eoc'iente. prO") se. ::. l�g. w( CJ). demostraeion llama. orden de la función fes) de orden infinito.· La -. de la existencia de' estGs ordenes &0.. ea$'i igual. a. la que daremos al. puede. verse. principio. los órd.enes dce las ronci,0.n�5 holomQ:rfas. en. ea. del. 0'>. -. 1-1st. y. eap1:tulo. 0,: JI que. sigue·. un. eur... IV ¡ma para ea �ste. mis"".
(19) ·16. lito. semiplano. sen de. orden infinit0c.,. .eiars.e:. Con esta. definición. puede. enun.... ·. ' ... .. .. .. ,. ,. .. .,. .. TEOREMAIII.....Se.a :fes). una.. .'. ,.. . .. t)ln(d.6n. ent.era. .. .. �. 91ill RH:e4c� reRre§�ll':" ... �. tarse por. una. StQrie (le. .Dirj._chlet .... � 'd'. .�. ,. }\IiS. ne. ��DV!ltgent�.:en .to�!�eJl iJ,�O, X.' gue,.es_ !le ,orden, il'1i,!Ñ-':'Q p (ü ). Si t "11J 1/(/(/t/i' is: D(") OC}.. p) (O;;¿_}3 <.1) l!m< An+f'" An' > 0,. .la.. .. .. A. .. ..... ==. eepci6n). cF. �uale$9Ui$�a gue.s$an la.' fati!. ent·onee.s ,. resulta, _. -..-. l1m. cr�oo. log n(O-. ,p t:f·a) .. -. .,.'". .. -.. _',. lag' w( cr). ._'C::. ,. 1,e-. y el.. Vs,!0:X::. finito. a. (sin,. ex'".
(20) 17. Capitulo III. 3. l.... S&&. f(_s). funaién repre-sentad.a .por. una. una s�rié de.. Diri. .... ehlet. 2. dn e�'!tnf!l 0->0;. .. convergente. en. el. .. stmi.plane),puest-o. en. todo este. trabajo. sup.oRemos. ,. qUé.: la' déftsida4 llí�dia. $'up.e-:titi� le .. que. .. .. ta:n:to tambi'fi!ll;. <H)!>iadG. en UM. J). -c <iO-. ewnple. se. .Mot.a al. pie. será. no. a,e conv�t"genei,a. Pa. tod .. valo!" de (T > O. S'n. verifle:a. j}:&.¿;: QO t. y que. cap!tu le ant��iort. del. el. semipla. SU,. �t.<+'oo. 1 f( o: +. it). J. .'. eomparando la. definición del orden de Ri tt para las. definición e:orrlente. [ 8J. para las fUnciones holomor:ras en el. con. tr > O 1)-00- la. :r. 1Im. +. .log ..M( tl,f). lag. -. lGg(l/O'). .. (J>. <:. 00. en. por di ver-saa razones. ,.íli. dir·eme's que la ;función. Q¡ mientras. (1' Evidentemente--. 1. { t. .". .... .. tr.40. p. en. $xprNi0n. ..... f. la. eireul,Q unf,. dAd.". resulta natural. definir e,l orien te R1tt de 1.a función f(.s). $:emiplano. pa-. ). exi&\i�. funciones enteras representadas por series de Diriehlet. Cuattdó. ré. eO,nvergencia ab$f)lut.a. Por consiguiellte,.. de. .... �1 semiplalló. 1Q. 'p.Ql". vix-ud del resultad.o que hemQs. pagina. de. li1I( o ,:f"):r.. Entonces. t. f P'D. S. que si. lugar. de. prefiel"G. e:::. 00. log(l/(T) lo. la. es. de' I\)�én fin! to en el. funci'n O'orresponiliente. podría escribirse. priméro.. .... $e'". log OJ pero ..
(21) 18. r-?l de orden itt!"�ll.d:t"Q. f)n. el mi$mo. 3.2..- cu�a� fes). semiplanCh,. a� ordan fini.t-o. 0S. pued$ demostrar faci,i,. SQ. .... ment� <iue tAml.d�n �a el caso qu.e' e·atamos· est.udlu4,1) Etx1ste. puede llalla'PSi'! orden preeisatio �. que. pl"opi.edatlea;,. p{ �'7). een. 1m O-�$. (3.2.2). 0(0). litnt P (. 0') log(l/ 0-). �. P. (k ü) log( ilk. cr)l. l�g. ?(fr) lt( crt:t)� (11 (J). ., finalm�mé que para.. \\tna. sueesiit! inf1.ni'ta, de valé:l'&s. En.. se. de. igua.ldad. suc'esión. una.. { 0i j. en. ::=�,«_llj)S. '::i..! :f).. M(. 1 .0g'.1/ (.. de va�ores. .,-. ..Ji'. P. iI un. valor. ve. 1.al q\l-e para O .z; o <. log l&g M( JI'. CJ .�}. oIftI";JIe<;iPt:c$JJ#"""fl".-:'� <. .p. log{l/(/) En el. (3 R.4) ... caso. a) esc'ribi.l'eMo$. ""'( u. (j). ::. p lq. k,. '..' m�a. o<tJ7i:.. 4e. Cf qu� tieni. de' cr ta.les que. ... .>. rr. :;:. (3.2.3).'. O y que. b) existe. 0,. caSGSJ. .. C)"1=. signo. efeQ\cGt pueden pr�setltane dos. a} exi$ten 1im. el. eumple. :;. o-�. (3,2.3). cerro,. las siguient..es--. lim,(C(f,lc'o-) log(ll (/» ¡. =p,. J. t'"..,... a. ,or4an,. ,. .(3.2.1). de. un. rr l�g log Me '. 1. "",. fJ.1. .'. .'. log(l/Ú)-. Vo. ,.
(22) 19. (3,.2.5). do,ndé. (véase. (0'"). P. continna,. log log. ejemplo. no. max. (1"'>-0. lOg'3x=log por. e. [h(Of). .... log3(l/OJ). 10153(1/0")]. -. Entonces dadas las propiedades de M(. x.. RittrSI). resulta de (3.2.4). dé�reeiel1t.1!: y que 11m. p {o->. =. p.. JI. (3..2.5) que. Por Qtra. ü,f'). p (0""). es. partet resulta. tambien rapidament.e que. lag y que existe una. igualdd. en. M (l7. sucesi&n. que. t. f) -s, ( 1/ o- ) tiende. a. p ( O"). eel"O que satisface al.. signo. de. esta ultima formula.. Finalme:nte de (3.2.5) resuJ:ta tambien :faeilmente. p (crl). -. ¡. P ( 0") s: log3 ( 11 o:. -. co:« (TJ). lOSg( 1/0- ). y por 10 tanto. o:f 'r(. 1 tr-:c. )_. -. ..... O"log(ll Cí)lOg2(11. P (O-)log(l/(/). .;o.. o-. ). P (kCí)lOg(l/kVrSlog(l/ér) (logS(l/kO"") .... y de teda. lim�P (<T)lOg(l/O") En el caso. .... =. O. F<kO"')log(l/k 0")1. b) e'séribil"emos. ;:. Plog'. lOg3(lP)�. P (k O")log. esto se Q(itduce. lim(CTf I( cr) l{íg(tllJ) ). -. k.. k,. .;.
(23) h«(t }. lag lag M(O"), 1') '. ::. O". ,. '_' ___.-----. max. '?. 10g( 1/ (71). a. y. P( o : ".0<max l}l( O) (J�a y por razonamientos. que el orden. cipio. de este. semejant.es. precisado. p (o-). a. los del. tiene las. .... ,1ogS(1/o-')1 a). caso. se. deduce aáimistno. propieilaites señaladas. al. prin�. illD'Uli:'"fi).. 3.3.'" S�3.. �(J). módulQ del t,erminG máximo de. el. A (CT) el expone'nte máxit,no que corresponde. rl,..( &"'). max]. ti. ll�O. n. a. � U)�.. o. sea. r.r. _)1. ,. =. la serie. "ns. ::.2 il ne'". ;f< s). 1I. lOB3(11 (7). +,. len. y .... ).. ( 0-) Entonees. ::. max. n. r�EFe§�ntablQ �n LJ.Jaismo, ... por. �d ne. a. conV�I"gente para. >0. >. tr » o lá. siguiente':. ...". n+l. funcibn. n. -es. .>. holomorfa en et. ,serie de. semiR1ano a-. > O. l>ir:tch1u. .. y_ cy.;2:QS ". " '\. Jil'la... ). (J". en:::: fA( cr ). ).& n. ..... �n. el. � fes) B!a fUnoi6n. �. Si. 1 dnl. cuando. puede damostrars'e. LEMA 3.3.y. �. -h. ea;Ronentes ,!cri:f'l!i!an. l.a,. condicign. 70. ,.. de Ql"aan. P. >-. O Y. d9. ·ofilen. yreeisado. f,(O"). l' ,. ,.
(24) 21. t!3':ndr�m.()g. A ( O" ) � (l. +. ( 1) ). o. lQg t« 0") I:hn' Ij. Demostra.c-ión..... de. f). En. '". f'(. '. 1". ':. p { (}). (1/ o. o-�o. fí). ". prime-r lugar resulta. casi evidente la validez. las relaei0nes. 10g. t)). (-«. la \11 tima. ==. l;ag. � Uf). oesiglla.1dad. 'tiesto que suponemos. o. ). .... sr. la. j. .... r. )\(X)iE�:::. �(C'r). es. cuenta. en.. Por Qtra. rJ. por. igualdad. un. de un valo.r de tí. 0(1». se. +. 0(1». parte,. de. f. la. �. :::. n ... )\ (01),. >0,. resulta. sigue. o(1»2. P o:. ( )+1. +1(1/0"). .. "'11+1- }\n-?'::Ja. eondición. va.]31�r qué detA;rrmiIlB.remQS. -. M(. ,. :r)=. se. n. e. se. deduce. .. (n 1+ 1). n<An/h'. desigualdades. errtonees son evidentes las. n -==. deduce. po,steriormante;y definamos nI. �� V. �J dIe. de tod.o lo cual. por lo tanto. P(cr/2). (2/ t:r). .. +. (). .J:.. o-. ,. f tí-) (1/17) (. .. +. crec.ieute para.. .. {\(U)".f:(l. <. partir '.. no. (3.2.2). ". �. a. a /2�(1. ,. Sea. definició'!l del orde'n p"eisado. V( O) crece infinitamente 0xpresión (1/ CJ). "(x)dx: el. función. una. A( CíJ y teniendo. f( C7) { 1/ cr}. �. �. °0. como. ( a t f). de la.. C1c. ). _. M. o:1). GigiJ.e. P >0,. «. >\ (x ) dx� lo!,. euanae t7 -O,. de m$do MarLotano. .. Vl (j) + J. (11 0") (. log. 11m. 1\. y. P+ 1. _. :::. ".. 0-""0' lQp; M ( a. 2. f,t ( 0-). +. 2: I die n. ")¡j>�. '1. _� n. �.
(25) ea. Gú. (3.3. 1). 'J!{. (T .t'h". (1). fU.. P' ¿ (J, ). -. ... 1. ... \ .. :2. h(..... e. n¡)(.,... (. ( 4 q) s:¡-t( 0-). f· h \. 1 +. Q( 1) '\. .. -. --. ..... 1 +. ,.,._. ... -. •. h(. .... u'". .. para. el. case dttl (1rd�n '�inito que �$tamos. minarsé pOl?. 171. ::. O"/a. y. entGlleea dá las. M{ Ut:t) �. �. �;?'''''.,. j. rJ1) J. COM1d'&¡;-�Q 171 ,puede uetel'-. deaigua�daaes (3. 3. �). fí v}O( (l/ú) P(rr)+l.). FQr l� ta�'Q'en l�� Pt�ntQs don4�. lag M{ o- ti). taMNmOg, puesto (3.3"_2). y como quie� qu�. r( b"). p >0',. q11$. log fl{ (}). (11 (J'). ;:. =. (1. ..... Q(l» lflg M(O' t:r). ==. (1. eCO') 0(1» (110). .... siempre M(Cí ,:f)�(l/O) p(V). log/-4():510g. las (3.3.2) demuestt*an la s�gunaa afirmaeión del l.ema. .• .... 2.4,. $$. en la.. $1. \/7>'0" semi.faJa el.. 1\,. '. repr�$éntamos p0�. L.l. la. •. t I,_""v(:i -. .). derirri 015.1'1 dE! ,or,iien y d$ orden pHctsado 51.18't1 tuimos }JI ( ti. y. ti"). por 1Jl (. qUéda !'a. Ll. cr-;; t1 ,<It'). =. t. SUP tl< fi. t:fe o- +. ie:f·:i.nid-O el 'Ol"'fJ.é'n y �l oran p'r'fH!isade. t. en una. s:emifaja cualq'Uire. •. Con aEttas definiei.!JJnes y tenie'ndo o�tlen. 1 t). preeisafl.e,'e1.. lema 1.A. LEMA li1IIii 3:.4 ..... Séa.. p�rmi te f'(s) _una. en. euel�ta :las. propied.ades. !lelDlQs'tr8il'" f�ilm&nte '.1. tungión. h21�nH':)Jl>fa. y,. del. S"1gul.ell:te. sino (f.ergs,. en '".
(26) �3·. ,;L� .�djml�l;!. f< cr) de¡�. s.. .�, �$t�. .:::;. �. { o: >0.. IT/2 j l<�l@. ót'llel'l. <. O Y. p>. Ord'�M pree�ti:;üo.. ·mf§,mll, s�mi!§!Sal\ Jl1léa�!fla ,.1� :f)t1i'!i&r} .l/f(s) serA .4;é !�:. ... ... i.f$mt�Ja 's�=. Jm ,la. p,..?,¡. I ti. ",. f o: > e,. rr/4',� J:. l �t <. � la. Dt�ama eu:mp!ive. ,. r.i ,. "1. (T)' Pt'O)+l. .;5; C:(U l.Qg _..:., I i'(a) 1. e ,4'SJlna.. 1�1lP.�. eon¡tMte.lagml!r!&1!i: -tattibién p'tittde l!liJ.uneialí'se. E-s;"�e l�ína. apl.ieaei�lm:e$ resulta mil: tDl.! ,. _. �.41.'". '*. .. éG_ila.;. .. S"X 9-. r".. $11., .la S· e.S. i� _. s:e. _. .'. ,. __. _'/:f."('d').. .... ... p >1. t):r4e#, !. .. _. -;I;.J¡;.. mi,M-. llA..a�,�'�il 'fM�¡Qm�t-f'a ,y.:li!l:.,e::rss. !.� f(s). p( ""le .e"".,:t.0"""e:e·t;>o, � f'�'" la,-A!"n1l{�l1 '-''i=",�i,¡"" _A,oM.w .. f$rm3. qtu� en. algunas. itfi, ot�a. e'p'.. ,la. ,. !�if_"la. 1,. ... .. .. L 4� Q,:r�l�ll pr�eiji!ttQ. a..... ·,-ord""!l '¡,!H. s?';,�á, �)�-" .¡.,...._�. �. �Ulnpli�'r",. ... .. ... !s.'''',. �. >. 01,. _.. ,J. __. .... 1 ,·e.n. ',". ... l.a S l. _-. .'�. \. éh. '.. _1II!I<'·�r. ,',. lQg. �, .t1l.ID'. ,. s ·1·/.(;i>.) :M,'( 0'.-"�11. j¡:-. -',. .. -"7i/O:)p(a"r�r. a-�o. 1)6me,.st:r.ae{�1l.·- tTniaamente. > o.. d"em�st.rarem.os la t'Ql'm& iie� lema. 3,.4.. .. pues la.. 3.41 sigue. Si.. e'l1. p�eisaaG. 0:1. «:. la. f ( 0-). de la anterie'r".. senfi:ra�. ¡. é�l�. B: la. qu:iere. flitnetbn. :tin. p>. O Y de orden. (To tal que para O. <. O"{). X<o tantQ. I tf'::::. i$ 'erd(¡fDi. dee!r. que _xut$. legJ :fts 1.) i S (11 0;). ,Gt'. �$. )[/2 �. (t:pl.1eantlG. (eQ:8&. qua. El1 lema 1 .• 4. $i�pra. p(CT) ar�'e� "i.ueña,pue,s (l/O") :J:. será.. a.. P. (f). fes). P:Qs-�.ble. (a16 sl� y. a. la. para. inf�inltatr1enteJeu�dQ. s_l:faja. {(]. '>-. 0;,. O{ -su:r-icientslllenté cr�). ;p". ..... e.
(27) 24 1. lag. ,. .... � 2. ft(s)r. 't (1/ {i). ,... 1. I. ei1t"'". 1 +. P &f ).. logl :(lGg. 2'. "". (l.f)f. f. o:. ,.' .... 1. e_f'J".¡. ... tr. ,i. "".. la. oen. CT.,. :::. aonl,L1ci6n. ü/2,. la. de que sE:. f ti. [er> �'. desigualdad anterinr. logl :f(log .e:. �/4j.. 2. -. 0'1) I. Ahora si. elegimG$. dará inmadiat3.menté". nos. \. teniendo. ,. en cuenta. ,. las. propiedades 4e lQS ordenes pre'cisados ,. '. 1. P(O-)+l. _. ,k0g'. I f'(;lj'$.. .. cíll ()). para $<9 S·.. �. 5.'int�riores. a. &!ID Sea la. ria sUpt\)nemos. { en% �+ ibn �. semifaja. ql;!�, !(s). viene. absolutamente aQ.1'1.v�rg�nte:. sucesión. i en � tiene. t"". t. So:c:. todos. <!Yl'! sus. '\. o-. qUé. =:. O, f t.f.s. aH'>. la. suee-sión. f tl< }Tj. f a» .¡.,. :p@pres�ntada. d� :r(s). d� los cer-os. .Da6:Q que.. en est.a. Memo. por una eérie de Dlrf{chlllZ,'t. $1 ,semiplanQ (). éS evidente. 0,. >. Q.ue la. puntos de acOOJUJ.aciÓ'n sobre el segmento. '>. Jfj ... Dé:ri.nam.�s,. n(x). como,. eal númerO' ti� puntos. cn. tales. X-f y supongamos qn�. loS' n(x) 11m .�-_�"'e+ x�o lag( l/x}. ..-. ,,'. ,. (e. 1. '. <: 00. ). ,. De estG puede d.d'tlcirs� la (lx.istencia. de. una. ,. .. '. ,. función p. (x) 1. mon�. .. tona. "JI tal que. (s. •.. 5.. 1). 11m x->o. (3 5.2). l.im. ... �Q. :::. P1 ::: e +. leg{lIx) rxp'lx) _1 n{x) �. (3��5. 3). el. � (x). a. cerro.. :::. o. (1.I;K)�(X). signo de igu.a.ldad sient'lo valido. tiend1i. 1. en una. sueeai6n. de valores d.e x que.
(28) 25. H. Entant'JSS si :p. �a. un. pes! tivo. Gnt�ro. , '. (lrl) li!, �. (1. ,e:. tl;)e:n>(u ,. .,. + .... +. -. >'. e y. up. ) -, p. rep1"$senta s� faetQ1' p'r1:rnariG dé tq�1$�'$t:ras.s. S,�. pu�de cGnstruir e-l si .... guiente pr.oaucto �anonieo .. =. Q(8). 2� ) rr En{ -\$. :::. +. o. que. faneibn h�lom{'�f'ii.. s��a una. P,a:ra. p�Gbal" al'ta d.el. e. n. I. a). o.. en. pO$ibilidad. basta de1!l:0stvar que al producto. segttndG mierJ.Jr-o � d$ la &l1't.altLiol" 19ual.dad. vaFgente. eualqU.i�l'"; ¡:;{;·eintQ eénooo int.epiott. e.A. ea lll'rll!or-meménte eo-n. .... a un. (J" >. semiplano. O.,.. Y pcax"a. ello tl$ suficiente ve� qtle � ,"1"'.;.1.1. ¿a�' que tambien. c�. pue,de :escribil"se (lO I. tJ+.l. \. r-. )-,Q. 4n(x)<. 00. u'. ¡ntegrand�. (3.5.3). por ,part�eJ.t y t<irtleM'o. y de. e.n cuenta. ,. p>. e. resu:lt.a c¡ue-. ,.. qt1�. l1rn(xP+l:n(x». ::. e'n. virtud d� ,. Ot. $é. (3,.5.1),. sigile. que baa-. un. tal g_ue. 't,a demostaa1" qua. r� xPn(x)dX< ,. JI,. €O. _.. o. y pl.1e$t�) Q)lte pa�a. i:f. le"" Xe.. v�rltica 'n,(x). s� Sé. =. las. tl'efiniciQ3D.e$ ooaterl.ol"es e·xiste. etnplflj O.,. es,. f, (x)<:. P. .1J. 1; Y. un. Xl. su:fieiente tlemostr� qua �/). )1. o. lo cual ea ·evidénte.. +. 1,1, -l.;:t,"::::. X. �I..X. ClO). Xo. tal que $;1 x>". lCl. Sé,.
(29) 26. I. Q(s). Una V,"¡2! Ben�.i)$t;l"fj.lto que. �Wlíl.C·ial' y. ho1.emerfa. E'tS. �a. a >. 0,. "amos. a. imno$t.ra�:. a. .'. sñ�w. �i ') (x) li!M las i1'"9l2.1@aai." �/f (3",5.3»)J; % $,f. '1'1r ,.. (-3 t !P.�j'!Lte.3. LEfM. 3�,5c.·. .... .. (3.5.Ji!) i!. log! Q(s) l.. _. O( (ll o·). =. .. ... sin (,3,,5.1). te. k. r:í. ü)}. n.p.� Etc:. S .•. �.-. ,,_.. o.. n$m{JJstraeih.- Se.gin por. defir-dci.ón. la. (vease. '1111'+1. l�gJE.(u)is�� p + fuf. 1. ,tl.omé 11. �tmstat;tt$' que' iep�nde ttn.lcamente dfif Pt tendifUlQ"S. s:s U1'ift. f'o,'. I. '.. .".. :6. \ \.. ,. \. J. j. _. .. -,'. ,_.. te1!ieni1e. ...·_A. eU�G. ). -+. .. SUpelÍga:rftOs .. 'L_". .... t'L'*i(7() �. J". ,. \�l \ V. -:. i�}. t. �.. h��. .'. iin(x_ �. !. \. /. .. (j. 1)(11. Ji. r1". C1}P"1J �n(l!)b:j u. se. obtiflln$ mati.!an"te. <f"dtlit-e qu� 11m. en. .. '9.. ,�.'. .....,1. desigualdad. 1. .. .. ,. (I!j;. \. l� ñ�l.(P la :ultima.. h. ,... \y. ía-+''X l J�)C \ j. b,.�?J.( tl( u. :�. :_�. \. \. �. / .. _.<\/:"1.�.: .'. !. .. /' logt Q($) ,. \t¡\le,·. Y' pues\.9 que. --'. -. .. ". y. Q(s}. f161). -aj&mpl-O V8.11r011. (3..5.4). de.. ,:c1Jhln(x). ahora q'�� O' ea. .::. O.. .. ... -.. ,...,). .. �-' ex) loi"ji' J", 6t) -x '!. Entotl:eee- t.nél1"�mG$'. l'. .. o. int.e�ión. x> :e. �. e. -"2''':''''' .. p$r. partes. /'. $ú.í'ie1�ilatemem$ prv,xima. 0""j! ""_,x<-,,(/-,..�J+l"'* ,. una. a e&1'"O. para.
(30) I. 21. fr. -. II(r. JI. xPn(x)i:x4_. )('. _. 1. -. D. o. 2 �. "�-f (x) ti"'"-L. ««. !. 11 _\& ;. (p'". J. 1. il x),:p"'"r(x)-x Xv){x)lea "'.. ..". -f'(X). I. I. J�. (30 5 4). De esto y de las. 2xP+l-�(x) =. ----.....:. P. 1. -. &:. T�su;lt(9. finalmente. .... h2p+2IP. 10g1 Q(s) f�. .... -t. -...�'. + ". 1.)" '. ,. l.. -. 0(..,.) 11. ,. i». (1/ cr). :P -e. o. sea. la afirmación �r:¡l lema. 3.6l1'- El lema que. sigue dará. una. acotaci6n inferior. .le?te.eióTl se,.,.á únicamente válida. Natural.mente est.a. •. pequeños e11'eulo,$. centrados. en. lO$:. para. Q(s).. al exterior de unos. en". ,-. ,',.... f. !LEMA 3.6""" <C... (2an)". .. 4. ;¡. �,l e'¡j1$ra:2!. con. Ji". ,g. ". ,193 !eQla�rm§ g:J.reulQl!. ,las mismas eondie1o}1$s que. en. fI �. 't cn :b. s ,,;. illemEfv3� 5". se. ver.ifi-. ss 1. �og. BaI:.� sE. '. ::. "Q(s)f. 0((1/. So.. Demost!*aciÓJl. ... Evidentemente¡. -. 1. lo". '". (2. 1 \(8 �e:\\1. ..,.. �. -. IQ(IIi'i. j -·'\Üleg �\� eJ ,-"'1. "'". "-. ,. i) (í) I�«(/ log( 11 (T ». r. 2� '. ... ¿_'log '�. I. �. (�a. '\. 'l /'(2lP·Ogl·�l� /tC1 1I ... '. "". donde. ./�U}$e. éxt.1e,nde. a. todos 10$ valorE't$ de. n. tales que. J.
(31) 28. 12a+; ¡ �l/2 s. v. ':;:::� .r"-_,. l. a. f/./. n·. ..... ·s. '"'. .. {iJi. 2a. 1 Aplicando. fuf<.: 1/2". 1. n.... -. s+e. n. <.112. Taylo�. el desar'l1JltLo en s�I�:i,e de. log( 1. a. u) 1. cuando. .... podremos eacrlbir -. J. �\.1. logfED(u) f r� 21uf r··-t '". y por lo. tanto". (. �, .:1eg,� ¿ f (1.)1. 1. (3.69,1). I. í2a. '\1,1 ¡-TI", enl. ,.. +. \8. \. t :. i?.a'�I. ¡. 1. /. \. I. \,. ·-10€:1 E-))I' '''':_,' \ \",,+,., 1. +. S. .,. en. f,P+l)\ �l. -. t. (3.6.2). ,�. e-n¿ U). Por E)t�a parta :oo>!r·.'ltnos 6'Scribir. ,. I. o{�.. ... /. \.... donde K puede t{)lJlarse. -'n' .. I. .. die o;¡. slog. independient.e. ;." '". -. '. n. l'. I. "n. K. +. .-. 8'. .... e. .. de. n. IV'. 2�'�. n. y de. ft. +. ..... i I. .. I. s.. (. Al i:xte.rior de los p1h}UeOOB cl.l'culós. ..... ��'. .. ti. ,... eni. c-:o.(. 2an). °+4. .. es. j. rificará -. I. (3,.,6.3). donde. S +. log". Kl. t.ambién. es. s. '. .... e.. n ""'.. Vn. l'. l'. �Kib(�. +. 10g(11 O). n. y de e.. .. indepfiooienté. dt!. ,. '. Teniendo. (3ftS.2). JI {l,é'. r;-. en cuente. (3-.6.3). son. que cuando. supe-l:'Iio.res. :_). .. �O los. ti una. $égt!l'1Llos miembl"GS de. �onstantes pO$itivas,. su. ve-.
(32) 29. .. .. ,... .. pr-oducto mult:tpll.�a{l@ y PO];"! LO. suma.,. .. ...,... '. por una alerta co:n.stante fitnta es mayor que su. tal1to;. (3$6� 1) '. (3.,6.,�). de. I. {Seó.3}. 'JI. $.9. sigue. i. J (3.6.4). 10g. y como,,'. Elog{¡n. 1.. /" ::;. TQi;)T O(. vi!n{)S. .. 0n. $. '. ¡�Z.6.,4) sigue. de. S. 7..... tp+l ;;;. So.". a. lema. t. 8.5t. lel..�a �l.6 qUfi. quel"iamos aemo,$t�ar-. ... r -t(.s) /Q(.s)J �($). ite loa. 10$ m1ale$ Slt.pc¡rllemOS fO!'madc Q(.SJ. .n una. �ll. Se. SAllllitaja lnt.e'f'ior. y la función. eartJs a.e. ab"j eto. se�' muy trtíl paN. vamos a ft�5traí* un lema que nos. s�acesi611'� en�. la. f. ant.ti's ileo aemes't,rá)'J leOS atas teoremas. co_criendo el or'!l&11 de Il. pGr.Aient�. \. 10g(,1I O»). ( tLI (J J)� (o-) )". B"t'11?mac1�n tlel. la. d�'twininar el. <treeimi<tntG d$ la. O. e. en. Finalm*1'ít1i!:f;. e,apttu:to. ita este. ',;.':;-;;:. ,.......:11::::-". 2,. p+l. f. demost:racibn del. la. 2a.. __,. ,2�,. 2�. (le). PI. f(s) inw:riQNIJ. a. eorl'"$,s'" a. Se e.on. 9". ,LEMA 3 7c.- lira e1!l!.9!.ii�r 1(Ull:§cO so=. ()o+ ito(C'on fJ(J suf�ei..ente'" m�nte, ¡!sIn.u) E!�����gU1. te. �$. ��1fai'j� S1:: t (J> 0,. f tf<: �),i ),f1ol?-4e � <JTr;Utl!4.,,��r;¡lH._y;1 r6t'(��!W!;¡�&trió!Llaw ¡a7wl0J?' al 10, .c1&§ Son ... la! siguienú;s Rr(.rlidadf!�n .. [. !.. 19. 1'.. .... P. '.. ..... ...... e.o,:nti�lle el 'J)12nto S'..,.. $11 !u interi.:or y. "'""'!:if. ,1. 2� Los. ,JI. 1,'. __. _.:'. ... Jti. �,,8. L. I!'I. -.',. ldi! l1P. venet;.�� �11 �l:. in1;erior ... de _J:2a.. ... elreu¡os. t '1 s-enl::::. A}. r. S. .. (2�)' *�). ,. �L. . .. 3@. La _. lo� 'bld b tl.� ,f;'. ,6. los l$llo,§ ho,tizot!lta1:.�s @tlafae:&. __ ........ 4_.·_'. 0-. '. .1IItJ. '(iM.. ".. ... -. ¡. ':". reL. Deraostraeión,,""' 'La. suma de 10$ diátn.$t.rQs a.(J e�lltros tien�n. ttn�,. abscisa inferior a. x es. �. iI. :tgaal. los a:. a. ........ circulas. b=o( Of.}). cuyos.
(33) ,. ;. 'o. ¡'. 2. J. x. _.. ":Zdn(x) -= 2 (b. 4). +. .De esta.. rá el. se. tiene. ). la. r.'1l.. a. en... obtener. x2. i. f'. �J. o. \. g(x2}.. dx):; ) se'. sigue, faeil-. precise por. ea menos. �l nám�ro sigulent.e. Por 10 tanto,. e-st,ableee;rl.o;. pero. lo pa.rece. no. m--as- p:r-ecl8o. ihwcGtrnelón. ::.�. una. compren�ión más. del. c'M'1tulo sigtJ.iel'1t&,. Además. faeil y. seguitl.a",!rent.e. que parezca lo. de este. �apida la. es mueho. CfJ.ut.r-al"J/f.o". m-ientras que el método .. ". pC'd1du apl1.carló al orden in:f'inito. hemos. no. consigui�trte". de la. primer. teorema ... dtamost.racián. d�ostracióR del. más. pues. permitirá. 11,e1 resultado. teorema. IV, qUe d!t. fae'!l que la 4·e1 teorema V. a pe ...... ultima la daremos solamen. est.a. te. e$qt(�mat.icamente.. de. .fln.:!tiJln h�lomor:fa In el !H�m.ip!.96ü'> � -r:»: .1 Y .t\� Qr§len. p,..!���a.'lG P (J ) gr.dva. fl'. ,§i· e,_ !liste $em�plano la TEORmA IV.-. ;::.� :f(s). una. ... r. _. �. tunc'ión Rgede ��p!"e$-eutl!l'''se '2Qr gna ,:Gris. ae lliric}l1et convergente ... '> L...:. d e 11. 2'. e'. n". M�illsesi61't �-€!._l."iQS t>n,gnt�:te.s ,y"t!t�SP ,.. ... -. A �. )\ ..... """"'1 oU,"f -. ihn:w.e.. 11 Z. �. n. >. h. -/3 »)3 <. e. D('A.. O'. §�,_'t :eQnatan:te�". 8(1. .... dem&etr�i6l1 del primevo. tdgue el mis. _.. Por. mo�traremon. I \. "!apttule {\i�l.iente,. el. vr�. --:. el. resultado. sar- dé. o. ,. -f. los diámetros. suma, de. que """'os. <ment�e qu�. {le. 9r�en i�;tlto (}/�n. /f/N)7. ::;;. .;(. af)roo�t"ra(d.�n d�l resultado qu� 4a�s para las tuneio'". eUX"$.o que la. nos. n(x ) ax. parece qU6 ea e�bsu1"V.o en. I. a,lftl lema 3-.7". r-e su 1 tado. pl"limera vista. ?--we. x. conceptos que el q'l1� da�t"$emcs. tr'�s. mo. .•. aaote.e:i6n �.& la. 3. 8.- El. a. 6'..t..s. �o. mente el fmuncnado. It. .'. I. ¡. r. _. h. .'. )(. I. f' +A. :. .. ,. f. 30. ¡¡ !Ji además "'". l·,. ). :=. 0(\. f !&t.i@f'ace. fp. -+. p. 1.) (1. ). ). (o�. a. � r� p. ,.'. 1-'.c: �). O;.
(34) 31. núme-ro n(x,a). Entonces &1. do!. .cttr9"�_;i. 1'($.)'-2 .s'.!mt�ni4.p�. �n. la pat't! .. a». de'. x. .la sEmri.t'�.i!. valor f'init.o. L. (; >-. O,. j t. verificará J&!:il cualsuicr. tal < b 3. -. .{:sine;&e.!p_.gi!:V...t.. &. '. :. 'llm(xe x. -i ( x ) ....... n(x"a)j >0.. -70. D,emos�raci6n.-. primer lüga:r resulta evidcen1.e que medlantA. En. un. ca�b1(¡ üe v,�rlable puede suponemt}, sin pe1"llida de gen�ralida4 que la. sem1faja lema 1 ... que lnttn�v1ene $U -al teC'l'ema es la. 2" teniendo. cualqu;.er tirá. circulo. punto s". un. f. s. en. Sol. -. «:. al eual. u >. 0, intéI"ior-. a�. cumple la desigualdad. logff'(s')t >log'�'kJ -Ak O-o'". .8i ahora. ele6-,,;1'II)S. }�. semiplano. al. .. (S�91). aplicando i¡ll. ñ·'::: O., resulta. cuenta qti� -en :este caso. en. Ento-r�es. SQ"". u>. que en. 0" 'exis. ... lo/t(\k·· l\}g(u�(li». ... igual al va,le!' Que rinde máximo la expt:>esión. \. logl dkl. A�. -. (T. �. i!fi.,'. "te:nd 1'"_08. ,.,. h. (3.8.2}. lOg! r(.�")i. :ft. >10,gr(�) log/\k" log(u�(u»., ... La. primera afl.Nla<,,:1ón d�l lema 3 •. 3 junto,. eon. el lema 1.1!.A. permit�. es. cl"ibi.r. logi\�",. O. (f' (0;)+1). (U�). (l.-n-E). ¿,(m. don.de. E. tiende. 9.. ... ._. -tant,tl,. lema. 3·.3 sr t�nieMo ser. tan. de. ..... se. en. quiera,. slt, existe una. sucesión. d-e. seganda. a:finnaei6n. «el. .el caso que estatlQg estudiando se. deduce f'aeilmente que (.. &emilaja. permite esc:r-:ibir. ... •.. como. nos. 1· ) /p,. (3.8 2) aplicar.Ldo la cuerrta que. en. p¿q,ut:m. (,(3 ,. ( 1.C'/g\u�� tu} )& Ctt. Por lQ. lema l_LB. AiL.emás 01. ... 0-..... ( 3. G."') .. puede. 0:;;. ee�o. pUl'lt.os1. en. J. sn'5 tales. que. (5'V1.�O. y. u. la.
(35) 32. "1. (;3 8",.IJ:). lime. ... Por. interiores. ¡-(. �-. �z,) log '. f(s ) f ) >H n. ... L,l'n. -. .. ..... '. 0.. -. si la snces i6n. eeooiguienté,. e.. la. {en � de. los. de. ceros. :fes). a. -. semifaja So" verifiea -. �;r. 1,. f i�. .' p(x) í�( x) x, a) :::; (l/x)) '�1 n(x,sJ:::;(l/x. I. r f.. p¡ (x). donde .. función. "'s una. cU1IIpl.e (3. 5.1). monotena que. (3. 5. 2) Y. y. .'. que tletel"lRinaI'f)U10S. poater101''!l1entA� y si f','l'mamos el product�G '. '-. moa hecho en 3",5. Y."ét"nlt,,�á F(S). ea!'e{!tara de. pa:rti y'. eet-os. de un. va lo l'. (3.8.5). de. lo�� ,F( $,..)". Hl. es. gido piira. >n {. � ccns tant.e. Q(s). ,construir. lí (r). ..;.ue. a. '. -. .. 0,. f.�( cr). satist"ace. de p éle. .... a. .,�H. :��<;.�-, v:». Hl. sigue. que,a parti1' dét. se. tí ( {��}. ti1 , Ver.�). ..... ¡'-. (1/0f (3,f·8.5). cumplirá. depende U!dea:r3e�(!\$ del. valor. (1/(J�14(:¡. lit;¡¡. •.. ,. supongamos <rilé. ... __. (3 8.,6). f" o:;� ). �. P. entonces de. y el l-ema :3.5 se. n. �. dond�. aJ/Q{g). -. S'2,ji' S(ferjn (3.3.4). (!"t'l.. ha. función. q'J\e la. (t(s). 1;:. ��. Q(s)1-'. un valor de n,. se. cunt. p�e. lag! lo cnal en. P{Sn) l>. pe-rm:!:te a-firn'hi_'r. Re(l/(¡). que la. función F(s). S· de ordst'l- �f¡i!jll� suporior. ... l.gual. . '. .. o. supc'ri erSi. 11. p. I. 'ap11:oamQS. (. 0-. a.. ). +. r \. �:; (u:i). O. ig.lal. a. .."... l()g. H2/,I ( 10g(1.1. no se. qu�. P (j ). anula en. y de ord-en. un� secesión. ". ¡. �. F{s-)' el lema 3. 41 �sulta que. tle punt-o-s. 1'Zn':i: �+ i�n 5. es. precisadO. en. la. semi_faja. r. existe. B.Q. tal que. xn-"O. y. S. ....
(36) 3:3. �. :'�. f>!x.",)-l t rs. .. J_,oU)i �. xn'. ... ..I.og l'. �'. .t'. \. •. 1',,!,. Xn ) 1 < -.ua<". (� �IS. Almedo:r d�: �ada punto z.,.,. eGr1Sidel�amos �l circulé Dado que los pllílt'OS 'V--slor de. son. �. c1rC"<llos. los. Gn. tanto, la función F( s). lo. ciwueia ". JI. n. �(.�')-. en una -curva. '*. ... ,... Cl.TeU.!.O. ,. ss. \in.. (3�ale-7). G,...=�l f s. :.�. ,. !nt�t't-()rt}s. a. la. ..... semifaJa. S a.. $�rán 'totaL-:nente inte"icl'es. no Sé. que dsl. al'U.tla. punt&. �n. --. '. la. a. la. puesto que est.a, desigualdad Por otra parte". tir t).'2. las. se. cumple. en el. propi1!daiies,. logi ?(g}f< H4(l!Xn}. ,<. ... ::. e. ,'1. $'. I ,�,. n. de. pe� ). -. Z,. 3'*. f�x.n. n. (2.8.9). cualquier:!;'. y para ". '. ". So'. y por. En CODSt!t,..,. 'eent.ro.. F. f(¡¡¡) ., los lemas 3.6 y 3,.7 en. ,al. log(l/�).. '. 1.3 ;)ennit� d�d'tud¡� de <1,.8.7) y (3.a.8) Que. un va1o'r dl'it. cl.ft!u16. de un. vel,i:'::''!ea. (3.8.8). El leilt&. 01:",. p (xn)-1. •.. se. X�/2);. eireunre�n<:ia. permiten d.duci�. rec0-rdan<10, !íU�str'a eupo-siei(m (30ei-8 5), que. Gn. 1<. e <.'unrp l'. lGgf F{s) le -H�(l/Xr,.). c1.reul.G. n. partir. ningún circulo Gn•. zn llega hasta,. z;. ¿). < $� �. ,. lngl F(�) i'<. >. oepor. pequ&oo. que. sea). pa�. a. en. el. c\.�ple. "'lIS{l/xtl). IJ(xn)-1 •. ,. #�. yra.hora. supcn-ewos que. .. l!m( 1/0-). G(lY)_ p(') +1 =D. eump'le (3.8.6) ,los. ,heohos basta. eemé. con. mayer mG'tivo. aqui. 8'0ft. validos., Por lo t�"t aplicando de nuevo el lema 3.5. de. se. :r'a�onamiento-s. .'. ¡.
(37) 34. (3.8.9) resulta. en. lOj�, ;t's>l�. a. g,'n y. palatir. d�. un. .... l'l. �(l/xn) 2-. -. .. valor de. n.. '". .. apli.eaoi6n. 3i h�emoji una nu�va_ para un valo;p de k. '�.. P (lt ) 1. H5. .,. (3.8.,10). del. lema .1.• 2 al. eonstazi't,$<j; t�nd_r�mc;)s. Q.u�. en. :>'. :lo�T t(Q� ) l on. existe. '1\. un,. log'. '>. :f's�) f. S) (P _ex(3+ n. t. 1) I p.. .... .. "-2. -. la. >O. suficientemont.e. (3�8... 10). "". Hef.1Q;S. peq_u�a,. .Ue¡g\--¡.t!Q. a. l :i.m'" .... por 1-0 tanto., esta. (3¡.8.� 11). la. 3(1... f3- ) /p. est.a etl. <. n. r. -. 1, para. C'o-n'tradieeión. eon. esta eon'tl;1afJ:ie<tión suponiendo que. -n(:t:,m,). (li;;�'tx),. ". ,. .... i. n(_�eJ. �. O. -,. .... �(xl !7'--Oí... (l/;g) sea é:l. t�Ol'ema. eontr-tUlie-eión iemues�ra qué-. 1:L�. o. punte .... /". 10-g(�t-0 L(�""¿ J}. ... H�)'. puesta que, S��,¡C1 las l'd.-P{;tfH�.i$ del. t. y. '\l"irtu¿l del lema 1 .. 1.,'13. ($.8.11). y. �+. tal que. Sl�. r. y. circulo. t.•o�ema-q. ,3. �),.- D-t;:1 t.e-ot"·$-tn� que v&m&S a enuneiar darmno$ solamertté l.a ldea.. getl{n�al. d� l.a. d�mo.st::ra;(!16n.y. c·omple-U t.er;lria 'i. muria. tantas. Que -. erlun.eiar·_. -veces eitada. en. pu:es. (1.8J. de lílUliV() l.Q$ .. p�inci;pai�s.. Ul1 auPS'o'. sémejante (si' bien. .cfjcn. s-e. demostración,. lemas eont.e:nid0$. 1- de ,la ellal hem(;')S. Además 8�Sim. teoremas. x"eali·dad. paI'a dar l.a.. \I"&%"'�,. va�!adion$s. la. enun�.ia4G. -en. la g�,. UJS t�as. demos.tracioo �egu,1ria. de- bastanw. imp�a:neia:). ".
(38) �� t.tI�. a. TEOREMA V.-. ,¡. §.!I 'l(a)·. ... f.'$9c!6n hc0100lOr.:t:.!.. una.. �9 .J�rjlEt! p -::> 1 �_,J:n:.�!?l} .ir..��Yf�Q .. .. p «(T). �. jll... ... el¡L !l_sc:nni¡lano (.J> O. en. �st.e. _ssmip;L!no la. tult,. '. ;ei6n.. I. fl3l. P1felti'ol·ia a'"frtedieh�.. la u.e los teONtil&:s ae mi.. Dir1Qlwt couyerssnte. .. '. .. f. ....... "'.r¡ f�,. >. ,. ,. .�. '. .... ). ./\. 11 X. f5. 1. ,.",,". ·trl-l. �'l. '<,. 4>'n·::;;;. '. f\rl�. !l!eé§ión."qj! l.o:$. e�.�!. yertfiga. dGnite l®;.. dond�. e n. ,. .... D(!\). u.... "'-"'0 '.". OO\'�). :::. (0< f�l.) .>. };011ftl,ante��. ,l:';. ai, Ji.q.if-náf¡i. _. p .sat.i�tacJi ". (. (l-p)/p< p, b1ntc:neGs si n.. (x"a) r�ges�nta e',l �1tt .. �. --. .. ve�if�,camt. finito, d�. �4. ti,. :Wf!.í:!. &l1J{s. �:,tta). "n/xl-(�'. �,4'. .. ... v,en!oS't:racJ.on ..... ,*. .. n. da. �. :f(s). a. -. CQnt.�eni-. a;a:. ... ,. -. 11;.0)<:- 'b > JT / f l' f s. .,.. i. t.J >-. x. funció'n F(z) a. pC'$�.r de. lagunar1tefiá.rl. unas. no. "1.,. ,. > o.. �. esc"1�';'ü:lmor:. bJ.. F(-z). 1.1./. -. (. n. ,'. x-o. X +.. -!�. ""NL�""',��. ti; _)'-. :. -. .. .'". oqa15,iuier, vaZL9.t tirio di to Y:Rara (!wa1w!er vI.J.$r. ... z. .... -. f3)<' p. ir¡i.n )gxe6'Oeió,�). .... iI.. entollC!es la. ... .... --'. JJt� �n, el dq!l'!l;�o_q_e.�1n1g.t) .¡g¡;_ §9. .. 1; (l. .J.14ri�.J:.q. "�!t�.!l -. .. u·'". .. -�........... p. +. 1""( �.&.... i t�). =. en la. f�ja. '. 11'. lyl< b>rc/f. po4erse repres�ntar- por. propiedaa�.rs. .!¿al1. semaj.al"it.e.s. C1�1 pl.a.ao de las una. a,. sel"ie de Di�riehl$t. Vas de las :f'unél.OneS -'. que ili'l.ttfrv:hm�:n. ftll la. :p�t;ir&e. con. sección. variaciones ruás. G. I y II ·:te mi Memcfria menOr-l. impo!'tant.es. ¡l�. c;.ue. pueden. lo-s 'Pa�on¡m¡iantQs. re-. &f'�t... .-. tuados para. de:mostr�q;" '"uno. de los téoremas al11. c()nten:t:los. liS,. te'orema.
(39) 36. 2,. sr,.. que corresponde al teoremaII 4e esta Memoria.. Observaci6n.- Que el teorema V. es. más precis'o. que el IV. evi. es. den.te por varios ,conceptos:. l' La condición (1-. 3( 1. que la. 2' eercs. 've. f-;) / J3. El. p. ángulo. n(x"a). se. v'rtic(!!. cuyo. referia. central tambi'l'l esta sobre el. 3'. peri.or. pequeña. ángulo :pl'Óximo. al. que. eje. sea. ,esta. a una. de. en. �l. $je. de. a. n.(x,a) 11. a. a. S$. la. la semi:ra. no (x"a). pesar de. g. fron. como. semifaja. v6rtiee será siempre interior. los. conver. .cGnverge.ncia.. Pero. la anchura de la. al que afirma al teoNma IV para. apartado 29•. refiere. semi:raja cuyo punto. El cre�imiento que afirma el teorema V para. .. rest�ictiva. es menos. de ceros del teorema V Sé. no(x,a). inmedia:tatneJ\te por. del teorema V. 1 del teorema IV.. .... en un. mientras que. parte del. el. <. n6mero. contenidos. gencia, tera,. -. �)I �<. e. 10. ... es su. dicho. $11.
(40) sr. IV. Capitulo. 4.l.� CUando el orden dé :feS). infinito construiremos. es. una. fun. .... .. eión cuyo crecimiento será retr..ta¡@I*r M( u.,f).. De modo. Sea. Jf. )D(w. semeJan�e. aeot.arl superiormente. y que. Hio-ag [2}.. lo que hace K.L.. el. tt1neión definida �el siguiente i'fl0do:. una. cp (x). ::. 1. Cf(l). ::. 22. x� O. para. 1. �eribiead;-' Xl'". 1 Y. O. ltg". Xy,'" x"...l+. supond-rem-os. 'f(�2). 2. n. ('1'. ,-((x�):= 11. ,. ..... ,". -. ( n" 1). 2. -i J 't't»: 1 11 1 ..... =. 11. 2. .. mientras que para ta.. definición. de. 1" Si A. 39. (_". r (x). (p (x) 1. o/ex. es una. +. �x. �,. esta. /. (x). En virt.u4 de. Cf (x). supond1.'"e'mo$ que. l�. +. ,,(1». la ppopie,aad. eión inversa de.f1n1da por v(. fCx). �A. función er6lciente par4\.. )�(l. es. lineal.. Con. eo.. '. x. 2'::0.,. 1(x).. $&ganda)p·a.ra Cf71. 1<",». ::. ::. existirá. la fnne. x.. PongamQS. üJ leg lag 1« ( 9 f) ). g(. Entonces para vuor de. u,. ) = "1' 01,' (l!. u.c:::. q;-,.. es. ful'1c-ión tiene las siguient.es propiedade,Sl. +¿Cl/n2) ent()�e." Sh. ,. 1!�. ::. "n-l. O). dQnd,� g(. max. O-'�-O'. D;} >1,. --. '('. lag' 1/'. ü\. J. tlef'inamos U(. <7). como. el máximo. 1.
(41) 38. (4.1.1). 1i\cia. _ w.. ,r ........ ''1. t.,.,. 1:1«1/ u-). J. rr. def'inie'ión. esta J. ecf'eetQ·� sea o: una �xisten�i� dtt e-ste. y de. g( u). '11. U(ú) s:eñ. l��. eanti4ai que rin4:e. -. la. (llül». ... ��.J,. Ser\ín En. V(g(¡,.I». +. valor. un,a. mnimo. 1.&. 4e o:. .xpl"$$i� (4.1.1),. cp (x). evidente dadas las p:rt)piedatles de. e$. valor, O; p?óximo' a'. Sea 8.bbra un. fUnción eentinua. v y que. ve pi ti que. .. u'1. (4 1.2) ... é:n. primer> lugar. <. C!;. resulta taeil demostl'a.f' que. (40,1.3). tiC. o;>?!:. U( u)". ytm, segado lugar';t si representamoS! por. '{( (l/�). +. V(g'(. �(f( (l/u). +. v(g(v./». U(I'1>. (4,.1.,4). cr:. ::. un. 0.;1». ..... valor l.a1. que U -1 (iJ1<../T"' (,i'l). (l/{�). -. t_ntlre1.'lO-$. ti( CJ). (110»). sea. I. 'v{g'(o- » dé esta.. (4.1.3) 11 (4.1..4). ((((110") «. '!I 'cGmOlI!'. .... .... v(g(O")). /�. lf'hd. ,e$' una. ..,. (l/O). Cl/u1)r6ucO:;):f. demO'strado que. es. hemos, supuesto. 0:,. vf!'rifiea. Ahora demos%ratte:mos que . ' .'. (l/vi). (p«1I0'1)+v(g«(7}»_(1/O)). fU::neih oontinua para tédo el sepento donde. aef'inida) haos. .. 2:v(g(o{). .... resul.'ta. ta. p$�amO$ pues que. I. _}. _',. .. U(. C). es. CGntl11ua. a 1.a. ea. continua. a. izqui.rl,Q. es". pu. (4.1.'a)., también. (J-. '1 és �n ",alQ1!' p�nmG ,. a. U. la dpecha. Su. ,'oí. pero que verit"'... que. ... Vi/er' ;. I. o. ....
(42) 39. Igual. qu'$ aatel"iomant.e 'f'ésulta �a�il. {1{O:f)�tr(U) C(P«l/ Cf) y. además". ,si CY:¡. .$uficlentflfm'6rttt1 p'l"Oxima. 'es. U ( a )". r«ÚO_;). U(o;». dfi'ls ult.itrtas. la deNcha., Que. Por etra. medf.atam.&ll'té. es:. .... v. (g'(oll). desigualdatl�$. _atd:_-.x�. le) que. ��dmt. parte. la. Sé. pUfJi$ deos'trar,. a ,�e�(il. En.. U( 0-). .8. continua. a. faltaba para demost.rar. e:féetél'. sea. 4e. U( CT) muestra in. ... M ( I.::;- él f). que existe una. suoeld.&n. de valor$'s de o- que. Entonces def1n:_�s a). t.f «tl0·1). ::. lQg �og Me O-,�t').. u·un valor'. taa. pr<imo. a. C'tl?G eomo. Sé. quiera,. valor tal qUé. g( a). .... ,�. log log If(. (5,,1).. CQmo él.8 pequeño v:a1or. v(t1(V». la" exi-S'tencia 4& es1'". Ü. d$f'in1eién. pal'a los cualee. y s. o- e: (J"" un. U(. d$finiciol'l. de. {j-Ut. tt( 0-). te. i:& l.a. (1Ió1).. ... 4,_\1$s't�a!l que. U( u-) 2:: g( C7 ) >-:-108 14g. ti.sde. f. �onti_a. es. pc&í"O. cr. �sigu:e im.a iatament'é. ae. , e;st.as. (1/0-\);. lB. a. que. !. l.. -. QJle. "1(1((7)). '*'. d�mo$tt'aXJ. "ffa�-er. -. se. (l/v). :::.. tal qUé u/¿. tr. 1'(0"")9. sigUe imetiatament... iLe la 4efinieion. h Pé-oo, por é't.ra pái:t"te para e��e- valop 0-) 4:ebe. cUmplittse. l1(V ¡). ==. g{U \) ;. 1-.
(43) 40. J. pues si nQ. eumplieraf. se. }",'. �. decir si. es. U( v) >g(C¡,i),. ;'. resultaria que exi.stiria un O. U«(.]I) =cf({l/ul). JI..:::. o-Ita! que. v(g(o-"». +. C1/0'"J)),::>g(a'),.. .... y por lo tanttí. (1/(.))),+ v(g(OÍ)) o. y per-. SO ((l/a"). ::.. contrariamente. a.. rr. Ahora. l/Do. !. (.;. Si. bien,. f( (l/U'''). v(t1({.r». ... (l/u),. si. (Y). un. '*'. valor. los que. suficientemente. es. 1. no. 1.0. -). U(O ). (7'puede. t�a.do la. -. pequeñajO dicho. propiedadéS. puede peJl'teneeer. a. los. =. ex1sta."1eia. de. de otre. r:p (x). modo,si. demuestran. posibles intervalos. en. ello&. en. g(U)/log(l/O"). tanto, i"'rl. g(v ). :::. 10g log. t<,ornar "aloreíJ tan. Finalmen:tEtt. tal que. (1/1.7».,. 'lag lag M(U ,f). }lue'sto que. 15(0'». �. ,j. sufieient.emente grande las. consta.nte,. 1'01'". '9' ,eao. (l/ü). tr"!«: (JI). V(U(D-). j. es. -. 1. la de-mostraciun est.a terminada. J:lupongamos pues (r � o:. vi. rapiiiament� que sr. es. +. definición. de o:',. la. r-r =. v(U(O'». +. existira. consiguiente. ¡(Olll). 1:. (lIO'"IJ) > (llo.J). sea. g( o"¡». .. .... 4,e la vatn()S. 111. v. pequeños. suee$ión. que a. (,,1 ,i ) ; eome. nos. demostrar que si. se. quie're¡. interesa... hemos demos'".
(44) 41 111 -=-+--. (Ji. U(. U. u). Sé tiene. U(n'")«l v..¡. oll»U( �).. +. v. '_. Bsto resulta �ael1ménte 6i �ol'.lSideramos que de ].a definición $:$. de, UC tY) ,. $igue. (4.1¡;.5). u( 0"1)-::;;. ,. de la. pFopiedatl.. r « 11Oj) 39 ite. +. v(l1( 0-» 'Y d'e. (f("). ... (11 U»". éf(v(U(a»). t. t1(u)'. resulta de. (4.1.5). co{veu((}» T �. U(OJ� f. que. es. 1'0 que lt.'n. +. 1)<:::. .. • T(v(U(ú»)). .... 0(1). )U(O'),. '1\4111-1_0.' demostraz-,.. c�nsecuGneia) si. esC'ribimos. w( <T) habremos ih¡fi.nido. una. ;. flU{cr). función paraa. > O. qtte. (1/<7). :::. [\'1(0:)]0(1). y que poniendo 1. ,1. ..._. =-+. C;; satisface. (1. -. (5. 1 ---. __. lag W(ü). a. w� )� (W(CT )] y que además v,&rifica. l+o( 1). continua,. na. eraeiente y tal.
(45) 42. }Ji (. log dónde él signo de l.o-r&S de O". igualdad. que tiende. a. [J. ,-:r) .;s W(. (J) �.. eutl1ple para. $6. Entonces. eero.,. una. suces'ión infinita de. va. pordendo. 16A' w( 0'). P (O"). =. l<>gel/v). diremos qU:é f'{s) es dé orden infinito. p(. (T). en. semiplano 0.>0.. el. 4. 2.... CO"n. las mismas notadi-ones que en 3.,:3 tendremo$. ,,( 0'"). (1. log W'( (j) ,. o. ...s. (7. \ �«(J}d. o-. .:;:(1. ... ,) a:1. 0(1) )W( Cr.), 1. sea. )\(. (). �[W( crD 1+0(1)'&1. �tMii� Por ot.ra. e-ont.inuan siemlo. parteJ pues� que las condiciones sobre. vUidáS,.. la. (. 1\(. \. _t:J{). 1 +. 1. .... +. �(l�. h(Oj'" O). h. continua cumplieMO$e para él orden inf'inito. \. ). igual. que' lo hacia para.. el fin! to. Para 10-$ valores que verifican. log M{ se. Ü ,?_f). =. V( fY). cumplen. log f"{ O) �log Me o, f) y PQP. del 3.3. déSigualflad. (. M( 0".1)..c. f-L( u). {>n5. =. W( 0") =(1. consiguiente 'Podremos anunciar-. +. 0(1» log ti.( O}.
(46) 43. LEttlA. 4.2.a. Se.ra 1'11 :r(s):!;na. tt1neión hglomarf'a qn. >0 1 -representable. en. ,. !l miSl11o_ ,or. serie. una. el semiRlamo. �! Diriehl_et .. eonver'" ... 8:!nt_a �4. .L:.>.. �-Ans. nQ. aRO,'tlel':1te.s_.'V�n:·ifi.�an. ti.. f.3!'llllS. �§ de o!ien. ,il'l.tiniio. CJ). pe. ,. _la. _spn4.i.c16�. fn.rl- "n�h ;:>-0. M 1(8). 0->'0, .fl v�rtricaran. en. ¡. A( 0-) "'-. -,. ,. Ifrñ c-�. 4.3.,. e16n 4.,". ...,. log M 0-) -. ,. :. -,'. :::. -. l{)g Jle crtt�). _. log ¡;,L( tr'I -. �. J..J.m �",j¡, ,0. __. ,_. se. 1 .1t,. ':=. '. ,. W( (T). Con las mismas notaeiQne:s que. fitn�ié W( c;}. la. ]1+0(1). �[W( (7). SU,$,titUYé. 3.4, si. $n. la M( u "f) pQ.r la.. ót"'deaes int'ini1.0s e «(r). mifaja.. notacionesf apli,nando. l!Ué4e. demóstrar fl:l !eme". LEMA 4. 3 ... 1n�t!tia. S. =:. e11 una se. ,el lema 1.4. s.e'. siguiente.. 1''(S). �P". �. ... M(o;.,L1 ,"f. �btena.�(1jS la defi.nie!(Ul de léJS Con es'tas d$f'ini.eiones 'JI. detini-. en la. una.,. f cr > 0" ,tJ <::){ /2'5. flLqc.iórt "1_0r&11.. ¡!-,Ji. x:.. Pl·FAIID. c"e.rsa. en ,la ,,... a,. • .. .At ,o�d$n., i�i:m:t. p (0-) e'!l.,@stEJ. Jll�SllUl,Jl�¡df_áa. s·�_' i o: >-0Í' r tI <¡TI4- 3 Sé v€!,ri.fiea. ¡. ('. •.. ,. i!1ror&�s. ea. loa. Ó'. ,. l$gf 1/1'(s) r � [vH ull1+o(1) también. FoSt.:e lema. pueáe. enunciarse. �n. la fom1at, I. IJJtA. J&. 4.31,. s l· gue en la. ..... Sea. una. runeiqp. ,l101om·orfa. S'·' tit;je grden 1nt1mt_o'. y:. sin cero! sta. e< U).. 118. f!mira-. En:tq�,e@: §e _etnl'lpJ.e�. (Í.
(47) ". 44. I log log lH o- .s, l/.f) 11m o-�o' lag W{ é» u. o. ,. ','. __. '. 4. 4n�. eanonie:o,. -. Co.n las l'lQtacÍ'ones de 3., 5. vamos. a.. construir. pero al contrario d-e 1& que &ucedia alli el. rá fijo", sino qü� 1;,'ariara. Q(6)". 2a_. I. n-. I. ,"'1'. un. product·o. número p. no. se. ie'cir, escribirem.os. con tl,,' es. \. .. -,. �nl�"�). y para. tletel1mlna? el valor le tes. '>.1.. :::...-. supQ'sieione-sl: Existe. en. Pn. fUne1.ón de 11, haremos 1a1 siguien. una. funeión. ,le. A ü:;»)3/2. P¡ (x. ) que tienie al inflnito. cuando �O 11 tal (1lle. (4.4 1). "11(_,. e. .... 1. �,. 7iJ. \. ( .� '1og( i/x) ). (). I. \. AtJemás, definiendo que. anSXt. como. en 3.5. n(x) por el máxime 'Valor de. n. tal. $UpenQ.¡aemcg que. n;. log. Pr. n (x). < 1 .•. (x) log(l/x}. Entonces dete"!'minar�.mos. Pn. eomla. el máxime entero tal que. Pn�' �(an)' y demostraremQ3 elJ. {en!:!. �+ ibn �'8 gna �ll®8ión, de puntos. interiCM" u '>: O� f tf< n. � x.....gl!rvos Runtos de acqmulagión 1'*$.1 a la sémif2.,ia So= t �st.an fiebre la ree� cr:: O,. Si ej(x) tiene las prooie4Cfd&! seña1ada� LEMA 4.A:. .•. -. §!. '.. ... en. este. núm&�,'t :¡_ Bi. ¡ara. un. e. ,tal.�sm.. 0<..8<1.". ¡e v,!l'ifiea.
(48) 45.. (4.4. 2). llli. �. i.og »(,,). .. ..... '.. .. x""o. e. <. ,. PI (x) log (l(x). '¡p:topges. eJ." ara4ue1211 Q(s). slc 'V1aX�l". .ds:n1},! Pn ss. sn't;era m�e :y<!tifig;!. Pn�'t(�»): ,. hQl_Gtt�l.et',l· 1:,.' So'. aMia ·�.11Y: 't!m.AAm�»te. §'f!. 4en4§ w1 (cr). (11. :. 'DemostZJacd.6n.. .".. H que pa:ra. eualq\\:ler valor. --. \. ..... .#{. e. (Vl1«(Jl/(1 r1»1.7). ". ". �. Según DenJ� [lj,tlñate. ..... ts�Q�ón· ..... tlna. ,$&', ·lb en :r verlf1.g", ... .. logtQ.(slf ú) í.¡(o-:). erB .. de- p l'. eualqu1er. una. eanstante numerica. val.Q'r de. u. ",. cumpla. logf Ep (11) f� 11ra! P+l�, FQr l.Q t8.nto \Í ;)q. ... ". f'". .'.. �. 10lf1 Q(tI) 1. I. 1!il. JI>". -. .. ". ),f. ax. (T \ (__,. x,1. .... .•... ,o' '. ,. 1:. �. ((-). 2112'j"\'. ". J. n(U). ... '. ,. '7,f. "!I. .en. .. í. le. {,. '(-t. [1(.). Vil""tui(. té:. ,. 2' ,'x) n(x) -. '. ,. '. ,. Cf, (x). .... x. (4:.4 1) •.. (7' !. .. '.. dn(X)�. _)I. ¡}. 1 í 2H.jo\ff)J. .. .. f. ,_, F. f;.,). ;,...... {J ,..,.. ../"_. ,. ", ". :te. ,jI) ( ( "2lt"X J. ,(j \ .... ?1I. 4-. �. Itn()l!). l. ,"�. logf Q($) f ::::.-o{l.) J.(J 'r. (4.. 4..2) Nsultaz-.A 'finalmente. y. fI x1. ..... :1. 1 --;.r \.. xel! (x}log(2X! ü) )dx,. V. I. )'�.ou. 2;;(X) (Di (X)) a/�(�) ti..,. .. 10'0".. {l/lt) g�4tx�-i"". __. -c,. dx'. .r: �:::. .¡.. '1""';» t ""-1/"\' ). o'�E\lJl tb:. , ". ·.