Ejercicios Unidad III
23. En un estudio de ruptura por torsión durante el tejido de tela (Technometrics, 1982: 63), se probaron 100 muestras de de hilo. Se determinó el número de ciclos de tensión a la ruptura para cada muestra de hilo, obteniéndose los datos siguientes:
a. Construya un histograma de frecuencias relativas con base en los intervalos de clase 0-˂100, 100-˂200,…, y comente acerca de las características del histograma.
b. Construya un histograma con base en los intervalos de clase siguientes: 0-˂50, 50-100, 100- 150, 150- 200, 200- 300, 300- 400, 400- 500, 500- 600 y 600- 900.
˂ ˂ ˂ ˂ ˂ ˂ ˂ ˂
c. Si las especificaciones de tejido requieren una resistencia a la ruptura de por lo menos 100 ciclos, ¿qué proporción de los especímenes de hilo de muestra sería considerada satisfactoria?
c) 79%
86 146 251 653 98 249 400 292 131 169
175 176 76 264 15 364 195 262 88 264
157 220 42 321 180 198 38 20 61 121
282 224 149 180 325 250 196 90 229 166
38 337 65 151 341 40 40 135 597 246
211 180 93 315 353 571 124 279 81 186
497 182 423 185 229 400 338 290 398 71
246 185 188 568 55 55 61 244 20 284
393 396 203 829 239 236 286 194 277 143 198 264 105 203 124 137 135 350 193 188
a. b.
Intervalos f fr Intervalos f fr
0 < 100 21 0.21 0 < 50 8 0.08
100 < 200 32 0.32 50 < 100 13 0.13
200 < 300 26 0.26 100 < 150 11 0.11
300 < 400 12 0.12 150 < 200 21 0.21
400 < 500 4 0.04 200 < 300 26 0.26
500 < 600 3 0.03 300 < 400 12 0.12
600 < 700 1 0.01 400 < 500 4 0.04
700 < 800 0 0 500 < 600 3 0.03
800 < 900 1 0.01 600 < 900 2 0.02
24. El conjunto de datos adjunto consiste en observaciones de resistencia al corte (Ib) de soldaduras de punto ultrasónicas hechas en un determinado tipo de lámina Alclad. Construya un histograma de frecuencias relativas con base en diez clases de igual amplitud con limites 4000, 4200,…. [El histograma tiene que concordar con el de “Comparison of Properties of Joints Prepared by Ultrasonic Welding and Other Means” (J. of Aircraft, 1983: 552-556).] Comente acerca de las características del histograma.
5434 4948 4521 4570 4990 5702 5241
5112 5015 4659 4806 4637 5670 4381
4820 5043 4886 4599 5288 5299 4848
5378 5260 5055 5828 5218 4859 4780
5027 5008 4609 4772 5133 5095 4618
4848 5089 5518 5333 5164 5342 5069
4755 4925 5001 4803 4951 5679 5256
5207 5621 4918 5138 4786 4500 5461
5049 4974 4592 4173 5296 4965 5170
4740 5173 4568 5653 5078 4900 4968
5248 5245 4723 5275 5419 5205 4452
5227 5555 5388 5498 4681 5076 4774
4931 4493 5309 5582 4308 4823 4417
5364 5640 5069 5188 5764 5273 5042
5189 4986
25. Una transformación de datos por medio de alguna función matemática,
como raíz de o 1/x, suele ofrecer un conjunto de números que tienen
propiedades estadísticas “más bonitas” que los datos originales. En particular, se podría
encontrar una función para la cual el histograma de valores transformados es más simétrico (o, incluso mejor, más parecido a una curva en forma de campana) que el de los datos originales. Por ejemplo, en el artículo “Time Lapse Cinematographic Analysis of Beryllium-Lung Fibroblast
Interactions” (Environ Research, 1983: 34-43) se muestran los resultados de experimentos diseñados para estudiar el comportamiento de determinadas células que hubieran sido
Intrevalos f fr
4000 < 4200 1 0.01 4200 < 4400 2 0.02 4400 < 4600 9 0.09 4600 < 4800 13 0.13 4800 < 5000 18 0.18 5000 < 5200 22 0.22 5200 < 5400 20 0.2 5400 < 5600 7 0.07 5600 < 5800 7 0.07 5800 < 6000 1 0.01
expuestas a berilio. Una
característica importante de la célula es su tiempo de interdivisión (TID). Los TID se
determinaron para una gran cantidad de células tanto en condiciones expuestas (tratamiento) como interpuestas (control). Los autores del artículo utilizaron una transformación logarítmica, es decir, valor transformado = log (valor original). Considere los siguientes datos representativos de TID.
TID log10
(TID) TID (TID)log10 TID log10 (TID)
28.1 1.45 60.1 1.78 21 1.32
31.2 1.49 23.7 1.37 22.3 1.35
13.7 1.14 18.6 1.27 15.5 1.19
46 1.66 21.4 1.33 36.3 1.56
25.8 1.41 26.6 1.42 19.1 1.28
16.8 1.23 26.2 1.42 38.4 1.58
34.8 1.54 32 1.51 72.8 1.86
62.3 1.79 43.5 1.64 48.9 1.69
28 1.45 17.4 1.24 21.4 1.33
17.9 1.25 38.8 1.59 20.7 1.32
19.5 1.29 30.6 1.49 57.3 1.76
21.1 1.32 55.6 1.75 40.9 1.61
31.9 1.5 25.5 1.41
28.9 1.46 52.1 1.72
Utilice intervalos de clase 10-˂20, 20-˂30,… para construir un histograma de los datos originales. Utilice intervalos 1.1-˂1.2, 1.2-˂1.3,… con el fin de hacer lo mismo para los datos transformados. ¿Cuál es el efecto de la transformación?
f fr % f fr %
10 < 20 8 0.2 20 1.1 < 1.2 2 0.05 5
20 < 30 14 0.35 35 1.2 < 1.3 6 0.15 15
30 < 40 8 0.2 20 1.3 < 1.4 7 0.175 17.5
40 < 50 4 0.1 10 1.4 < 1.5 9 0.225 22.5
50 < 60 3 0.075 7.5 1.5 < 1.6 6 0.15 15
60 < 70 2 0.05 5 1.6 < 1.7 4 0.1 10
70 < 80 1 0.025 2.5 1.7 < 1.8 5 0.125 12.5
total = 40 1 100 1.8 < 1.9 1 0.025 2.5
26. Se determinó el índice de claridad para los cielos sobre Bagdad para cada uno de los 365 días durante un determinado año (“Contribution to the Study of the Solar Radiation Climate of the Baghdad Environment”, Solar Energy, 1990: 7-12). En la tabla siguiente se dan los resultados.
a. Determine las frecuencias relativas y trace el histograma correspondiente.
c. Los días claros son aquellos para los que el índice es por lo menos 0.65. ¿Qué porcentaje de los días fueron claros?
clase frecuencia frecuencia
relativa porcentaje
0.15 < 0.25 8 0.021917808 2.191780822
0.25 < 0.35 14 0.038356164 3.835616438 0.35 < 0.45 28 0.076712329 7.671232877 0.45 < 0.50 24 0.065753425 6.575342466 0.50 < 0.55 39 0.106849315 10.68493151 0.55 < 0.60 51 0.139726027 13.97260274 0.60 < 0.65 106 0.290410959 29.04109589 0.65 < 0.70 84 0.230136986 23.01369863
0.70 < 0.75 11 0.030136986 3.01369863
total 365 1 100
b. 6.02739726
c. 26.02739726
27. En el artículo “Study on the Life Distribution of Microdrills” (J. of Engr.
Manufacture, 2002: 301-305) aparecen las observaciones siguientes, listadas en orden creciente, del tiempo de vida del taladro (número de agujeros que maquina un taladro antes de romperse) cuando se hacen agujeros en una cierta aleación de latón.
11 14 20 23 31 36 39 44 47 50
59 61 65 67 68 71 74 76 78 79
81 84 85 89 91 93 96 99 101 104
a. ¿Por qué no se puede basar una
distribución de frecuencia en los intervalos de clase 0-50, 50-100, 100-150, etcétera?
b. Construya una distribución de frecuencias y un histograma de los datos usando límites de clase 0, 50, 100,…, y comente acerca de características interesantes.
c. Construya una distribución de frecuencias e histograma de logaritmos naturales de las observaciones de tiempo de vida, y comente acerca de características
interesantes.
d. ¿Qué proporción de las observaciones de tiempo de vida en esta muestra son menores
que 100? ¿Qué proporción de las observaciones son por lo menos 200?
2.398 2.639 2.996 3.135 3.434 3.584 3.664 3.784 3.85 3.912 4.078 4.111 4.174 4.205 4.22 4.263 4.304 4.331 4.357 4.369 4.394 4.431 4.443 4.489 4.511 4.533 4.564 4.595 4.615 4.644 4.654 4.654 4.718 4.771 4.812 4.913 4.934 4.949 4.997 5.063 5.081 5.124 5.215 5.328 5.513 5.572 5.666 5.775 5.961 6.24
Intervalos f fr %
0 < 50 9 0.18 18
50 < 100 19 0.38 38 100 < 150 11 0.22 22 150 < 200 4 0.08 8 200 < 250 2 0.04 4 250 < 300 2 0.04 4 300 < 350 1 0.02 2 350 < 400 1 0.02 2
400 < 450 0 0 0
450 < 500 0 0 0
500 < 550 1 0.02 2
total = 50 1 100
Intervalos f fr %
2.398 < 2.947 2 0.04 4 2.947 < 3.496 3 0.06 6 3.496 < 4.045 5 0.1 10 4.045 < 4.594 17 0.34 34 4.594 < 5.142 15 0.3 30 5.142 < 5.691 5 0.1 10 5.691 < 6.24 3 0.06 6
28. Construya un diagrama de puntos y dígitos para la serie de tiempo adjunta. Los datos son mensuales y se obtuvieron durante el periodo 1985-1989. Cada valor es la radiación solar promedio en la banda de 385 a 530 nm como porcentaje de la
radiación total (“Global Energy in the Different Spectral Bands at Dhahran, Saudi Arabia”, J. Solar Energy Engr., 1991: 290-294). Comente acerca de características importantes de los datos.
20.9 19.6 20.4 20.3 20.8 20.6 20.5 20.4 19.9 19.8 19.5 20.2 16.5 18.3 18.7 19.6 20 20 19.5 19.6 19.1 18.8 18.3 17.6 17.2 17.8 18.7 19 19 18.6 18.8 19 18.5 18.3 17.5 16.9 17 17.8 18.1 18.8 18.9 18.9 19.1 18.8 18.4 17.8 17 16.8 17.9 18.4 19 19.4 19.7 19.5 19.5 19.5
19 18.7 18.1 17.9
Intervalos f fr %
16.5 < 17.05 5 0.083 8.333 17.05 < 17.6 2 0.033 3.333 17.6 < 18.15 8 0.133 13.33 18.15 < 18.7 7 0.117 11.67 18.7 < 19.25 16 0.267 26.67 19.25 < 19.8 10 0.167 16.67
19.8 < 20.35 6 0.1 10
20.35 < 20.9 6 0.1 10
29. Considere los datos siguientes acerca del tipo de dolencia (J = inflamación de las articulaciones, F = fatiga, B = dolor de espalda, M = debilidad muscular, C = tos, N = irritación de la nariz, O = otra) de sembradores de árboles. Obtenga frecuencias y las frecuencias relativas para las distintas categorías y trace un histograma. (Los datos son consistentes con los porcentajes proporcionados en el artículo
“Physiological Effects of Work Stress and Pesticide Exposure in Tree Planting by British Columbia Silviculture Workers”, Ergonomics, 1993: 951-961).
O O N J C F B B F O J O O M
O F F O O N O N J F J B O C
J O J J F N O B M O J M O B
O F J O O B N C O O O M B F
J O F N
f fr %
J 10 0.166666667 16.66666667
F 9 0.15 15
B 7 0.116666667 11.66666667 M 4 0.066666667 6.666666667
C 3 0.05 5
N 6 0.1 10
O 21 0.35 35
total
30. Un diagrama de Paretoes una variación de un histograma para datos categóricos que resultan de un estudio de control de calidad. Cada categoría representa un tipo diferente de producto que incumple las especificaciones o problema de producción. Las categorías están ordenadas de modo que la que tienen la frecuencia más grande aparezcan en el extremo izquierdo, luego la categoría con la segunda frecuencia más grande, y así sucesivamente. Suponga que se obtiene la siguiente información sobre discordancias en paquetes de circuitos: componente con fallas, 126; componente incorrecto, 210; soldadura insuficiente, 67; exceso de soldadura, 54; componente faltante, 131. Construya un diagrama de Pareto.
f fr %
componentes con falla 126 0.21428571 21.42857143 componente incorrecto 210 0.35714286 35.71428571 soldadura insuficiente 67 0.11394558 11.39455782 exceso de soldadura 54 0.09183673 9.183673469 componente faltante 131 0.22278912 22.27891156
33. En el artículo “The Pedalling Technique of Elite Endurance Cyclists” (Int. J. of Sport Biomechanics, 1991: 29-53) aparecen los siguientes datos de energía en una sola pierna con una alta carga de trabajo:
a. Calcule e interprete la media y la mediana de la muestra.
Media (x) = 192.57
Mediana= 189
b. Suponga que la primera observación fue 204 y no 244. ¿Cómo cambiarían la media y la mediana?
Media (x)= 189.71 Mediana= 189
c. Calcule una media recortada eliminando las observaciones mínima y máxima de la muestra. ¿Cuál es el porcentaje correspondiente de recorte?
El porcentaje es de 191
d. En el artículo también se proporcionan los valores de la energía de una sola pierna
para poca carga de trabajo. La media muestral para n = 13 observaciones fue = 119.8 (en realidad, 119.7692), y la observación decimocuarta, algo apartada, fue
122.6
xi xi - x (xi - x)²
1 160 -32.57 1060.8049
2 174 -18.57 344.8449
3 176 -16.57 274.5649
4 180 -12.57 158.0049
5 180 -12.57 158.0049
6 183 -9.57 91.5849
7 187 -5.57 31.0249
8 191 -1.57 2.4649
9 194 1.43 2.0449
10 200 7.43 55.2049
11 205 12.43 154.5049
12 211 18.43 339.6649
13 211 18.43 339.6649
14 244 51.43 2645.0449
Σ = 2696 Σ = 5657.4286
Varianza muestral = 435.1868154
Desviación estándar muestral = 20.86113169
34. Considere las siguientes observaciones acerca de la resistencia al corte, en MPa, de una unión pegada de cierta manera (tomadas de una gráfica del artículo
“Diffusion of Silicon Nitride to Austenitic Stainless Steel without Interlayers,”Metallurgical trans., 1993: 1835-1843):
22.2 40.4 16.4 73.7 36.6 109.9
30.0 4.4 33.1 66.7 81.5
a. Determine el valor de la media muestral.
b. Determine el valor de la mediana muestral. ¿Por qué es tan diferente de la media?
a. N=11, ∑x = 514.90, Ẋ= 514.90/11 = 46.81-“media”
b. Ẍ = () , n=11
4.4 16.4 22.2 30.0 33.1 36.6 40.4 66.7 73.7 81.5 109.9
Ẍ = 6 = “36.6”-mediana
c. 16.4 22.2 30.0 33.1 36.6 40.4 66.7 73.7 81.5 N=9, ∑x = 400.6, Ẋ= 400.6/9 = 44.51- “media” (1/11)= 9.1% para cada valor eliminado
35. Se determinó la presión mínima de inyección (psi) para ocho muestras distintas de moldeo por inyección de maíz con alto contenido de amilosa (la presión mayor corresponde a mayor dificultad de procesamiento), y se obtuvieron las siguientes observaciones (de “Thermoplastic Starch Blends with a Polyethyelene-Co-Vinyl Alcohol: Processability and Physical Properties”, Polymer Engr. And Science, 1994: 17-23):
15.0 13.0 18.0 14.5 12.0 11.0 8.9 8.0
a. Determine los valores de la media, mediana y media recortada al 12.5%, y compárelos.
b. ¿Por cuánto se podría incrementar la observación mínima de la muestra, que en la actualidad es 8.0, sin afectar el valor de la mediana muestral?
c. Suponga que se quieren obtener los valores de la media y la mediana muestrales cuando las observaciones se expresan en kilogramos por pulgada cuadrada (ksi), y no en psi. ¿Es necesario expresar de nuevo cada observación en ksi, o se pueden usar en forma directa los valores calculados en el inciso (a)? Sugerencia: 1kg = 2.2 lb
a. Ẍ= 110.4/8 = 12.55 media
(Una vez ordenados los datos de menor a mayor) mediana= (12+13)/2 = 12.5
media recortada al 12.5%= 74.4/6= 12.4
b. Se podría aumentar a cualquier número por debajo de 12.0
36. Una muestra de 26 trabajadores petroleros de una plataforma marina tomaron parte en un simulacro de evacuación, y se obtuvieron los siguientes datos de
tiempo(segundos) para terminar la evacuación (“Oxygen Consuption and Ventilation During Escape from an Off-shorePlatform”, Ergonomics, 1997: 281-292):
389 356 359 363 375 424 325 394 402
373 373 370 364 366 364 325 339 393
392 369 374 359 356 403 334 397
a. Trace un diagrama de tallo y hojas con los datos. ¿De qué manera esto hace pensar que están correlacionadas la media y la mediana muestrales?
b. Calcule los valores de la media y la mediana muestrales. Sugerencia
c. ¿Por cuánto se podría aumentar el tiempo máximo, que actualmente es de 424, sin afectar el valor de la mediana muestral? ¿En cuánto se podría disminuir este tiempo sin afectar el valor de de la mediana muestral?
d. ¿Cuáles son los valores de y x cuando als observaciones se expresan en minutos?
a.
32 55 33 49 34 35 6699 36 34469 37 03345 38 9 39 2347 40 23 41 42 4
b. Media= 9638/26 = 370.7
Mediana= (369+370)/2 = 369.50
c. El valor máximo es 424, por lo que podría agrandarse a cualquier numero y no afectaría, y para volverlo más chico solo bastaría con que fuera mayor a 369 ya que después de eso puede modificarse.
d. Media= (370.7 s)/(60 s) = 6.18 min
37. En el artículo “Snow Cover and Temperature Relationships in North América and Eurasia” (J. Climate and Applied Meteorology, 1983: 460-469) se emplearon técnicas estadísticas para relacionar la cantidad de capa de nieve en cada continente con la temperatura continental promedio. Los datos presentados incluyen los siguientes diez observaciones de la capa de nieve en octubre para Eurasia, durante los años 1970-1979 (en millones de km2):
6.5 12.0 14.9 10.0 10.7 7.9 21.9 12.5 14.5 9.2
¿Qué reportaría como valor representativo, o característico, de la capa de nieve en octubre para este periodo, y que motivó su elección?
12.01, por que este valor es la media o promedio aritmético de los datos.
38. Es común informar los valores de tensión arterial hasta los 5 mmHg más cercanos (100, 105,110, etc.). Suponga que los valores de tensión arterial reales para nueve individuos seleccionados al azar son:
118.6 127.4 138.4 130.0 113.7 122.0 108.3 131.5 133.2
a. ¿Cuál es la mediana de los valores de tensión arterial reportados?
b. Suponga que la tensión arterial del segundo individuo es 127.6 en lugar de 127.4 (un pequeño cambio en un solo valor). ¿Cómo afecta esto a la mediana de los valores reportados? ¿Qué indica lo anterior acerca de la sensibilidad de la mediana para redondear o agrupar los datos?
a.
108.3 113.7 118.6 122.0 127.4 130.0 131.5 133.2 138.4
X₁= mediana
X₁= (9+1)/2 = 5 → 127.4
b.
118.6 127.6 138.4 130.0 113.7 122.0 108.3 131.5 133.2
108.3 113.7 118.6 122.0 127.6 130.0 131.5 133.2 138.4
39. La propagación de grietas por fatiga, en diversas partes de las aeronaves, ha sido objeto de estudio amplio en años recientes. Los datos que aparecen a
continuación, consisten en tiempos de propagación (horas de vuelo/104) para
alcanzar un determinado tamaño de grieta en agujeros de sujeción propios de aeronaves militares (‘’statical Crack Propagation in Fastener Holes under Spectrum Loading,’’J. Aircraft, 1983: 1028-1032):
0.736 0.836 0.865 0.915 0.937 0.983 1.007
1.011 1.064 1.109 1.132 1.140 1.153 1.253 1.394
a. Calcule y compare los valores de la media y mediana muéstrales.
b. ¿En cuanto se podría reducir la observación muestral más grande sin afectar el valor de la media?
a.
Σxi= 15.535
Entonces
b.
Podría reducirse asta el valor de 1.011 que es uno de los valores de la mediana si se reduce por mas de este valor la media se vería afectada.
40. Calcule la mediana muestral, la media recortada al 25%, la media recortada al 10 % y la media muestral para los datos de concentración del ejercicio 27, y compare estas mediciones.
Mediana muestral=60.8
Media recortada al 25%= 59.3083
Media recortada al 10%= 58.3475
41. se selecciono una muestra de n=10 automóviles, y cada uno se sometió a una prueba de choque a una velocidad de 5 millas por hora. Si se denota que por S (éxito) un automóvil sin daños visibles y por F uno con daños, los resultados serian los siguientes.
S S F S S S F F S S
a. ¿Cuál es el valor de la proporción de muestras de éxitos x/n?
b. Sustituya cada S con un 1 y cada F con un 0. Luego calcule x¯ para esta muestra codificada numéricamente. ¿Cómo se compara x¯ con x/n?
c. Suponga que se decide incluir otros 15 automóviles en el experimento. ¿Cuántos de estos tendrían que ser S para obtener x/n=0.80 para la muestra total de 25 automóviles?
a.
b.
7/10 0 0.70 0 70% ambas respuestas arrojan el mismo resultado
c.
S/25 = 0.80 entonces S = (0.80)(25) = 20 total de éxitos es 20-7
=13 total de carros que debieron de ser exitosos en la prueba.
42. Si se agrega una constante c a cada x, en una muestra, obteniéndose yi=xi+c,
¿Cómo se relacionan la media y la mediana muestrales de las yi con la media y la
mediana de xi? compruebe sus conjeturas.
=
44. En el articulo ‘’Oxygen consumption During Fire Suppression: Error of Heart Rate Estimulation’’(Ergonomics 1991:1469-1474) aparecen los datos siguientes en la relación con el consumo de oxigeno (mL/Kg/min) para una muestra de diez bomberos que realizaron un simulacro de combate de incendio:
29.5 49.3 30.6 28.2 28.0 26.3 33.9 29.4 23.5 31.6
Calcule lo siguiente:
a. El intervalo de muestra
b. La varianza muestral s2 a partir de la definición(es decir, calcular primero las
desviaciones, luego elevarlas al cuadrado etc.)
c. La desviación estándar muestral
d. S2 usando el método breve.
a.
49.3-23.5=25.8
b.
Xi (X
i- (Xi- 2
29.5 -1.53 2.3409 870.25
49.3 18.27 333.7929 2430.49
30.6 -0.43 0.1849 936.36
28.2 -2.83 8.0089 795.24
28.0 -3.03 9.1809 784.00
26.3 -4.73 22.3729 691.69
33.9 2.87 8.2369 1149.21
29.4 -1.63 2.6569 864.36
23.5 -7.53 56.7009 552.25
Σx=310.3 Σ=0 Σ=443.801 Σ=10,072.41
Media = 31.03
c.
S=49.3112=7.0222
d.
=10,072.41 –
45. Se determino el valor del modulo de elasticidad, en GPa, de placas coladas que constan de ciertos sustratos inter metálicos, y se obtuvieron las siguientes
observaciones muéstrales (“Strength and Modulus of a Molybdenum-Coated Ti-25Al-10Nb-3U-1Mo Intermetallic”,J. of Materials Engr. And Performance, 1997: 46-50):
114.6 115.2 115.8 115.9 116.4
a. Calcule la media y las desviaciones respecto a la media.
b. Use las desviaciones que calculo en el inciso (a) para obtener la varianza y la desviación estándar muéstrales.
c. Calcule S2 con la fórmula de cálculo para el numerados S xx
d. Reste 100 de cada observación para obtener una muestra de valores
a.
Xi (Xi – media) (Xi – media)2
114.6 -0.98 0.9604
115.2 -0.38 0.1444
115.8 0.22 0.0484
115.9 0.32 0.1024
116.4 0.82 0.6724
Media = (114.6 +115.2 + 115.8 +115.9 +116.4) / 5 = 115.58
1.928
b.
S2= 1.928 / 4 = 0.482
S = 0.4821/2 = 0.6942
c.
Xi Xi2
114.6 13133.16
115.2 13271.04
115.8 13409.64
115.9 13432.81
116.4 13548.96
577.9 66795.61
S2 = (66795.61 – ((577.9)2 / 5)) / 4 = 0.482
d.
Xi Xi2
14.6 213.16
15.2 231.04
15.8 249.64
15.9 252.81
16.4 268.96
77.9 1215.61
S2 = (1215.61-((77.9)2 / 5)) / 4 = 0.482
S = 0.6942
46. Las siguientes mediciones de viscosidad estabilizada (cP) para especimenes de determinado grado de asfalto con 18% de hule se tomaron del articulo “Viscosity Characteristics of Rubber-Modofied Asphalts” (J. of Materials in Civil Engr., 1996: 153-156):
2781 2856 2888 2900 3013
a. ¿Cuáles son los valores de la media y la mediana muéstrales?
b. Calcule la varianza de la muestra con la formula de calculo. (Sugerencia: 1ro reste un número adecuado a cada observación)
a.
media = (2781 +2856 + 2888+ 2900+ 3013) / 5 = 2887.6
b.
Xi (Xi – media) (Xi – media)2
2781 -106.6 11363.56
2856 -31.6 998.56
2888 0.4 0.16
2900 12.4 153.76
3013 125.4 15725.16
14091.2
S2 = 14091.2 / 4 = 3522.8
47. Calcule e intérprete los valores de la media y la desviación estándar de la muestra para las siguientes observaciones de resistencia a la fractura (en MPa, tomados de una grafica en “Heat-Resistant Active Brazing of Silicon Nitride: Mechanical Evaluation of Braze Joints”; Welding J. agosto de 1997):
87 93 96 105 114 128 131 142 168
Media = (87 + 93 + 96 + 105+ 114 +128+ 131 + 142 +1680 / 9 = 118.2222
Xi Xi2
87 7569
93 8649
96 9216
105 11025
114 12996
128 16384
131 17161
142 20164
168 28224
S2 = (131388 – ((10642)/9)) / 8 = 699.9444
S = 699.94441/2 = 26.4564
48. En el ejercicio 36 de la sección 1.3, se presento una muestra de 26 tiempos de evacuación de trabajadores petroleros en un simulacro de emergencia. Calcule e interprete la desviación estándar de la muestra. (Sugerencia: Σxi = 9638 y Σx12 = 3
587 566)
S2 = (3587566 – ((96382)/26) / 25 = 593.3415
S = 593.34151/2 = 24.3586
49. En un estudio de la relación entre la edad y varias funciones visuales, por ejemplo, agudeza y percepción de profundidad, se informan las siguientes
observaciones sobre el área de la lamina esclerótica (mm2) de cabezas de nervios
ópticos humanos (“Morphometry of Nerve Fiber Bundle Pores in the Optic Nerve Head of the Human”, Experimental Eye Research, 1988: 559-568):
2.75 2.62 2.74 3.85 2.34 2.74 3.93 4.21 3.88 4.33 3.46 4.52 2.43 3.65 2.78 3.56 3.01
a. Calcule Σxi y Σxi2
b. Utilice los valores calculados en el inciso (a) para determinar la varianza s2 y la
desviación estándar x de la muestra.
a.
Xi Xi2
2.75 7.5625
2.62 6.8644
2.74 7.5076
3.85 14.8225
2.34 5.4756
3.93 15.4449
4.21 17.7241
3.88 15.0544
4.33 18.7489
3.46 11.9716
4.52 20.4304
2.43 5.9049
3.65 13.3225
2.78 7.7284
3.56 12.6736
3.01 9.0601
56.8 2624.3420
b.
S2 = (2624.3420-((56.82)/17) / 16 = 152.1601
S = 12.3353
50. En 1997, una mujer demando a un compañía fabricante de teclados para computadora, con el cargo de que el teclado era el causante de las lesiones
repetitivas por fatiga (Genessy v. Digital Equipment Corp.). Se adjudico una cantidad de alrededor de 3.5 millones de dólares por dolor y sufrimiento a causa de lesión, pero la corte revoco el fallo por ser una compensación poco razonable. Al tomar esta determinación, la corte identifico un grupo “normativo” de 27 casos similares y especifico una recompensa razonable como una dentro de 2 desviaciones estándar de la media de las recompensas en los 27 casos. Las 27 recompensas fueron (en miles de dólares) 37, 60, 75, 115, 135, 140, 149, 150, 238, 290, 340, 410, 600, 750,750, 1050, 1100, 1139, 1150, 1200, 1200, 1250, 1576, 1700, 1825 y 2000, de donde Σxi = 20 179 y Σxi2 = 24 657 511. ¿Cuál es la cantidad máxima posible que se
podría otorgar bajo la regla de 2 desviaciones estándar?
S2 = (24657511 – ((201792)/27))/26 = 368320.1652
51. En el articulo “A thin-Film Oxygen Uptake Test for the Evaluation of Automotive Crankcase Lubricants” (Lubric. Engr. 1984: 75-83) aparecen los siguientes datos del tiempo de oxidacion induccion (en minutes) para varios aceites comerciales;
a. Calcule la varianza muestral y la desviación estándar
b. Si las observaciones se volvieran a expresar en horas, ¿Cuáles serian los valores resultantes de la varianza y la desviación estándar de la muestra? Conteste sin volver a expresar en realidad las observaciones.
a.
Xi Xi2
87 7569
103 10609
130 1690
160 25600
180 32400
195 38025
132 17424
145 21025
211 44521
105 11025
145 21025
153 23409
152 23104
138 19044
87 7569
99 9801
119 14161
129 16641
2563 361992
S2 = (361992-((25632)/19))/18 = 903.1550
S = 903.15501/2 = 30.0525
b.
Serian las mismas, ya que solo transformamos las unidades, sin modificar su valor real; equivalencia.
52. Las 1ras 4 desviaciones con respecto a la media en una muestra de n=5 tiempos de reacción fueron 0.3, 0.9, 1 y 1.3, ¿Cuál es la quinta desviación respecto a la media? De una muestra para la cual estas sean las 5 desviaciones en relación con la media.
