CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA II
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA II
1.
Generadores y motores.
2.
Generadores.
3.
Motores.
4.
Ley de Ohm generalizada.
5.
Diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito.
6.
Rendimiento de un generador.
7.
Rendimiento de un receptor (motor).
8.
Leyes de Kirchhoff.
9.
Método de las mallas.
10. Principio de superposición.
11. Distribución de la energía eléctrica.
12. Circuitos eléctricos domésticos.
1. Generadores y motores.
En un circuito se pueden intercalar, además de resistencias, elementos activos tales como generadores y motores.
Los generadores (o pilas) son unos aparatos capaces de transformar energía no eléctrica en energía eléctrica, mientras que los motores transforman la energía eléctrica en energía mecánica, utilizable de mil formas diferentes: hacer girar el tambor de una lavadora, las aspas de un ventilador …
En ambos casos las cargas eléctricas han de circular por su interior atravesando diversos materiales conductores que opondrán cierta resistencia (resistencia interna) e, indefectiblemente, se calentarán transformando parte de la energía eléctrica en calor.
Esquema de un generador.
Un generador transforma energía no eléctrica en energía eléctrica que las cargas transportarán por el circuito. Como las cargas han de atravesar elementos materiales en el interior del generador, parte de la energía generada no saldrá al circuito y se disipa en la resistencia interna en forma de calor.
Esquema de un motor.
Un motor transforma energía eléctrica, que absorbe de la red, en energía no eléctrica que puede ser aprovechada para realizar distintos trabajos.
Como la corriente eléctrica debe circular en su interior a través de estructuras materiales, parte de la energía eléctrica absorbida no se aprovecha como energía mecánica, sino que se disipa como calor en su resistencia interna.
2. Generadores.
¿Cuánta energía es capaz de suministrar un generador a las cargas? Depende. Cada generador tiene unas especificaciones. La magnitud que determina la cantidad de energía que es capaz de suministrar se denomina fuerza electromotriz, Ɛ. Se define la fuerza electromotriz de un generador como la energía suministrada por unidad de carga:
Calor Energía no eléctrica
Energía eléctrica
Calor Energía eléctrica
Energía no eléctrica
La unidad de fuerza electromotriz (fem) S.I. es el voltio (V)
Más que la energía generada se usa la potencia del generador (Pg) o rapidez con
la cual es capaz de suministrar energía a las cargas:
La potencia consumida como calor en la resistencia interna del generador (r) viene dada por:
En consecuencia la potencial útil (Pu) la que sale al circuito será:
Esta potencia también se puede calcular a partir de la expresión:
donde V será la diferencia de potencial entre los bornes del generador.
3. Motores.
¿Cuánta energía eléctrica es capaz de transformar en energía mecánica un motor? Depende de una magnitud característica del motor llamada fuerza
contraelectromotriz, ´Ɛ . Se define la fuerza contraelectromotriz de un motor como la energía no eléctrica obtenida por unidad de carga:
La unidad de fuerza contraelectromotriz (fcem) S.I. es el voltio (V)
Más que la energía mecánica obtenida se usa la potencia del motor, potencia útil (Pu) o rapidez con la cual es capaz de suministrar energía mecánica:
La potencia consumida como calor en la resistencia interna del motor (r) viene dada por:
La potencia eléctrica absorbida de la red (Pabs) será:
Pg=W
t =Ɛ
⋅q t =Ɛ
⋅q t =Ɛ⋅I
Pr=I2⋅r
Pu=Pg−Pr=Ɛ⋅I−I2⋅r
Pu=I⋅V
V=Ɛ−I⋅r
Pr=I2⋅r Ɛ´=W
q
Pu=W
t =Ɛ ´⋅q t =Ɛ
´⋅q
t =Ɛ´⋅I
donde V será la diferencia de potencial entre los bornes del motor.
Por tanto la potencia mecánica obtenida o utilizable será:
Esta potencia también se puede calcular a partir de la expresión:
4. Ley de Ohm generalizada.
En la figura de la derecha tenemos un circuito formado por dos generadores (caracterizados por sus fem y sus resistencias internas), un motor (con su fcem y su resistencia interna y dos resistencias externas. Estos elementos están unidos por un conductor que teóricamente no presenta resistencia al paso de la corriente.
En este circuito se cumple el principio de conservación de la energía, de manera que la energía suministrada por los generadores se consume en producir energía mecánica en el motor y, además, se convierte en calor en las resistencias externas del circuito y en las internas de los generadores y del motor.
Sacamos factor común I·t
Simplificamos:
Pu=Pabs−Pr=I⋅V−I2⋅r
Pu=Ɛ´⋅I
V=Ɛ´+I⋅r
+
-+
-M
R2 R1
Ɛ1, r1
Ɛ2 , r2
+
-Ɛ‘ , rm
E suministrada=E consumida
E suministrada=Ɛ1⋅I⋅t+Ɛ 2⋅I⋅t
E consumida=I2⋅R1⋅t+I 2
⋅R2⋅t+I 2
⋅r1⋅t+I 2
⋅r2⋅t+Ɛ ´⋅I⋅t+I 2
⋅rm⋅t
Ɛ1⋅I⋅t+Ɛ 2⋅I⋅t=I2⋅R1⋅t+I2⋅R2⋅t+I2⋅r1⋅t+I2⋅r2⋅t+Ɛ ´⋅I⋅t+I2⋅rm⋅t
(Ɛ1+Ɛ 2)⋅I⋅t=(I⋅R1+I⋅R2+I⋅r1+I⋅r2+Ɛ ´+I⋅rm)⋅I⋅t
Agrupamos las fuerzas electromotrices y contraelectromotices en el primer miembro y los productos de las intensidades por las resistencias en el segundo. Además, sacamos la I factor común en el segundo miembro:
Despejamos la intensidad y obtenemos la expresión de la ley de Ohm generalizada para un circuito de corriente continua.
Para aplicar correctamente esta ley es necesario tener en cuenta las normas siguientes:
• Se elige arbitrariamente un sentido para la intensidad de corriente.
• En los generadores, las fem se consideran positivas si, al recorrer el circuito en el sentido asignado para la intensidad, el primer polo encontrado es el negativo. En caso contrario, las fem serán negativas.
• En los motores, las fcem siempre son negativas.
• Las resistencias son siempre positivas.
• Si al calcular la intensidad de corriente, el resultado obtenido es negativo, significa que el sentido de la intensidad es el contrario al elegido
inicialmente.
5. Diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito.
Consideremos un trozo de circuito representado en la figura de arriba. Aplicamos el principio de conservación de la energía. La energía suministrada por la corriente eléctrica al pasar del punto A al B y por el generador será igual a la consumida en la resistencia externa R, en las resistencias internas del generador ( r ) y del motor (r´) y a la energía mecánica producida en el motor.
Sacando factor común I·t y simplificando:
Ɛ1+Ɛ 2−Ɛ ´=I⋅(R1+R2+r1+r2+rm)
Ɛ1+Ɛ2−Ɛ ´ R1+R2+r1+r2+rm
=I=
∑
Ɛ∑
RM
A B
R
ε ε´
r r´
I
(VA−VB)⋅I⋅t+Ɛ⋅I⋅t=I
2
⋅R⋅t+I2⋅r⋅t+Ɛ ´⋅I⋅t+I2⋅r ´⋅t
Agrupando términos:
A la hora de aplicar esta ecuación, que es válida siempre que entre A y B circule una única intensidad, conviene tener en cuenta las siguientes normas:
• El sentido de A hasta B se considera siempre positivo.
• Si la corriente circula de A hasta B , su intensidad es positiva; y si lo hace en sentido contrario, negativa.
• Las resistencias son siempre positivas.
• El generador tendrá fem positiva si la corriente sale de él por el polo positivo. En caso contrario será negativa.
• Las fcem de los motores son siempre negativas. Casos particulares:
• Diferencia de potencial en los extremos de una resistencia externa.
No hay ni generador ni motor: r = 0; r´ = 0; = 0, ´= 0Ɛ Ɛ
• Diferencia de potencial en los bornes de un generador.
No hay ni motor ni resistencia externa. R = 0; r´= 0; ´= 0Ɛ
La diferencia de potencial en los bornes de un generador es inferior a su fuerza electromotriz.
(VA−VB)=I⋅(R+r+r ´)−(Ɛ −Ɛ ´)
(VA−VB)=I⋅
∑
R−∑
Ɛ(VA−VB)=I⋅
∑
R−∑
Ɛ(VA−VB)=I⋅R
(VA−VB)=I⋅
∑
R−∑
Ɛ(VA−VB)=I⋅r−Ɛ
• Diferencia de potencial en los bornes de un motor.
No hay ni generador ni resistencia externa. R = 0; r = 0; = 0Ɛ
La diferencia de potencial en los bornes de un receptor es superior a su fuerza contraelectromotriz.
6. Rendimiento de un generador.
La energía eléctrica total producida por un generador es:
Parte de ella (I2·r·t) se disipa en forma de calor en elinterior del propio generador
debido a su resistencia interna. Por tanto, la energía útil que el generador proporciona al resto del circuito es:
7. Rendimiento de un receptor (motor).
La energía útil de un motor será la energía mecánica producida:
Por otra parte, para hallar la energía total consumida por el motor habrá que sumarle a ésta la que se disipa en forma de calor en su resistencia interna (I2·r´·t),
resultando:
El rendimiento del motor vendrá dado por:
El rendimiento siempre es menor que uno. Es adimensional, es decir, no tiene unidades. Se suele expresar en tanto por ciento.
(VA−VB)=I⋅
∑
R−∑
Ɛ(VA−VB)=I⋅r ´−(−Ɛ ´)
(VA−VB)=I⋅r ´+Ɛ ´
Wtotal=Ɛ⋅I⋅t
Wútil=Ɛ⋅I⋅t−I2⋅r⋅t=(Ɛ −I⋅r)⋅I⋅t (VB−VA)=Ɛ−I⋅r
Wútil=(VB−VA)⋅I⋅t
η= Wútil
Wtotal=
(VB−VA)⋅I⋅t ε⋅I⋅t =
VB−VA ε
Wútil=Ɛ ´⋅I⋅t
Wtotal=Ɛ ´⋅I⋅t+I2
⋅r ´⋅t=(Ɛ ´+I⋅r ´)⋅I⋅t
η= Wútil
Wtotal= Ɛ
´⋅I⋅t
8. Leyes de Kirchhoff.
Cuando tenemos que resolver circuitos complicados, como el de la figura, en los que resulta imposible la aplicación de la Ley de Ohm, se recurre a dos leyes deducidas por el físico alemán Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887).
Definiciones.
RED. Es un conjunto de conductores, resistencias y generadores, unidos entre sí de forma arbitraria, de manera que por ellos circulan
corrientes de distintas intensidades.
NUDO. Es un punto de la red donde concurren más de dos conductores.
Un nudo no tiene por qué ser necesariamente un punto geométrico. Más bien podríamos decir que es aquella porción de la red cuyos puntos tienen el mismo potencial. Así, en la red de la figura son nudos los puntos B y E; el punto A tiene el mismo potencial que el B, y se trata del mismo nudo.
RAMA. Es la parte de la red comprendida entre dos nudos consecutivos y recorrida por la misma intensidad de corriente.
En la red son ramas los trayectos EDCB, BE y EFAB, recorridos, respectivamente por las intensidades I1, I2 e I3.
MALLA. Es todo circuito conductor cerrado que se obtiene partiendo de un nudo y volviendo a él, sin pasar dos veces por una misma rama.
En la red de la figura existen tres mallas: ABEFA, BCDEB y ABCDEFA.
En estas redes conocemos las fuerzas electromotrices de los generadores y los valores de las resistencias. Tenemos que calcular las intensidades.
Primera ley de Kirchhoff (regla de los nudos).
La suma algebraica de las intensidades de corriente que concurren en un nudo es igual a cero.
ε
1ε
2ε
3ε
4Esta ley surge como consecuencia de que en los nudos no puede haber acumulación de cargas eléctricas. Por lo tanto, la suma de las intensidades de corriente que se dirigen hacia un nudo debe de ser igual a la suma de las que se alejan; y si consideramos unas como positivas y otras como negativas se obtiene la expresión anterior, que no es otra cosa más que el principio de conservación de la carga eléctrica.
Segunda ley de Kirchhoff (regla de las mallas).
La suma algebraica de los voltajes consumidos en los elementos pasivos (resistencias) de una malla es igual a la suma algebraica de las fuerzas electromotrices que en ella se encuentran.
Aplicación práctica de las leyes de Kirchhoff.
1. Ponemos letras mayúsculas en los nudos y en los vértices de la red.
2. Dibujamos las intensidades de cada rama. Le asignamos un sentido, el que queramos. Esto no influye en el resultado, ya que si alguna intensidad sale negativa es porque su sentido es el opuesto al que inicialmente le habíamos asignado.
3. Si en la red existen n nudos, se aplica la primera ley de Kirchhoff a n-1 nudos cualesquiera (si hay 2 nudos, aplicamos la primera ley de Kirchhoff a uno de ellos). Consideramos positivas las intensidades de corriente que llegan al nudo y negativas las que salen de él.
4. Se aplica la segunda ley de Kirchhoff a todas las mallas independientes de la red. Estas mallas se determinan descomponiendo la red en mallas más sencillas, como si fueran las piezas de un rompecabezas.
Se elige como positivo un sentido de recorrido de la malla. Las intensidades y las fuerzas electromotrices que coincidan con el sentido elegido se
considerarán positivas y las que no lo hagan, negativas. Las fuerzas contraelectromotrices, en caso de que existan, serán negativas. Las resistencias se consideran siempre positivas.
Aplicando esto a la red de la página anterior: Red: ABCDEFA
Nudos: B y E.
Ramas: BAFE (I3), BE (I2), BCDE (I1)
Mallas: ABCDEFA , ABEFA Y BCDEB (las dos últimas son las mallas independientes que utilizaremos).
Primera ley de Kirchhoff. Elegimos un nudo, por ejemplo el B.
∑
Ii=0−I1−I2+I3=0
Segunda ley de Kirchhoff.
Malla ABEFA. Sentido positivo el ANTIHORARIO.
Malla BCDEB. Sentido positivo el HORARIO.
Para calcular las intensidades de la red habrá que resolver el sistema de ecuaciones formado por:
9. Método de las mallas.
Este método simplifica la resolución de redes, pues se obtiene un número de ecuaciones menor que utilizando las leyes de Kirchhoff. Consiste en aplicar la segunda ley de Kirchhoff a cada una de las mallas independientes de la red, considerando como incógnitas unas “intensidades de malla” IA, IB, IC, ..., que se
supone circulan a lo largo de todas las ramas que configuran la malla en cuestión, en un sentido que elegiremos arbitrariamente.
Una vez resuelto el sistema y obtenidos los valores de estas intensidades de malla, se pueden calcular inmediatamente la intensidad de una rama cualquiera como suma algebraica de las intensidades correspondientes a las mallas de las que forma parte dicha rama:
• Las ramas externas pertenecen a una sola malla, por lo que la intensidad de rama es igual a ± la intensidad de la malla a la que pertenece. Se considera el signo positivo si coinciden las referencias de las intensidades de rama y de malla. En caso contrario, el signo será negativo.
• Toda rama interna pertenece a dos mallas, y la intensidad de la misma vendrá dada por la suma algebraica de las intensidades de dichas mallas, que vendrán afectadas de signo más o menos, según que su sentido coincida o no con el de la rama.
∑
εi=∑
Ii⋅Riε2−ε3=−I2⋅R2−I3⋅R3
∑
εi=∑
Ii⋅Ri−ε1+ε2−ε4=−I1⋅R1−I2⋅R2
−I1−I2+I3=0
ε2−ε3=−I2⋅R2−I3⋅R3
En esta red tenemos tres mallas independientes:
• Malla ABFGA por la que circula la intensidad IA.
• Malla BEFB por la que circula la intensidad IB.
• Malla CDEBC por la que circula la intensidad IC.
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a cada malla: Malla ABFGA:
Malla BEFB: Malla CDEBC:
Resolviendo el sistema obtenemos: IA = 2 A; IB = 1 A; IC = 5 A
Las intensidades de rama serán:
• Rama BAGF I = IA = 2 A
• Rama FB I = IA + IB = 2 A + 1 A = 3 A
• Rama EF I = IB = 1 A
• Rama BE I = IB + IC = 1 A + 5 A = 6 A
• Rama EDCB I = IC = 5 A
10. Principio de superposición.
Si en una red existen varios generadores, la intensidad de corriente que circula por una rama cualquiera es igual a la suma algebraica de las producidas por cada generador actuando independientemente, es decir, sustituyendo los demás por sus resistencias internas. Como estas resistencias internas suelen ser muy pequeñas, y en la mayoría de los casos despreciables, es frecuente que los demás generadores se sustituyan por cortocircuitos (hilos conductores de resistencia nula).
IA
IB
IC
5⋅IA+3⋅IB=13
3⋅IA+5⋅IB+IC=16
El circuito de la izquierda se puede descomponer en dos circuitos independientes, cada uno de los cuales contiene un solo generador. En el circuito del centro se ha sustituido el generador de 32,4 voltios por una resistencia cuyo valor es el de la resistencia interna del generador. En el circuito de la derecha se ha sustituido el generador de 36 voltios por un cortocircuito, ya que dicho generador no tiene resistencia interna.
En cada uno de los circuitos independientes se puede hallar con facilidad las intensidades que circulan por cada rama. Basta aplicar la ley de Ohm y tener en cuenta las asociaciones de resistencias de cada uno de los circuitos.
I´1 = 6 A I´2 = -2 A I´3 = 4 A
I´´1 = 3,6 A I´´2 = 2,4 A I´´3 = 6 A
Aplicando el principio de superposición, resulta:
I1 = I´1 + I´´1 = 6 A + 3,6 A = 9,6 A
I2 = I´2 + I´´2 = -2 A + 2,4 A = 0,4 A
I3 = I´3 + I´´3 = 4 A + 6 A = 10 A
11. Distribución de energía eléctrica.
Transformadores eléctricos (corriente alterna).
Los transformadores eléctricos son máquinas estáticas que se emplean para transformar la energía eléctrica primaria en energía eléctrica secundaria, elevando o reduciendo la tensión o la intensidad de corriente alterna.
Su funcionamiento se basa en el principio de inducción electromagnética: “siempre que exista un variación de flujo electromagnético en un circuito estático o corte de flujo en un circuito en movimiento se genera una f.e.m.”. Por lo tanto, los
transformadores no pueden funcionar con corriente continua. La variación de flujo se produce debido al comportamiento de la corriente alterna.
Los transformadores constan de tres partes fundamentales:
I1 I
2 I 3
I´1 I´´
1
I´2 I´´
2
Chapas de hierro: lugar por donde circula el flujo magnético.
Bobinado primario: formado por N1
espiras o vueltas, que se conecta a la red. Bobinado secundario: formado por N2
espiras, en el que se genera una f.e.m.
El primario y el secundario están separados físicamente entre sí. La tensión del primario (V1) crea una intensidad (I1) y ésta genera un flujo magnético (Φ) que
circula por el núcleo. En el bobinado secundario se genera una f.e.m. O tensión (V2) debido a la variación del flujo magnético en el primario. Si se cierra el circuito
secundario con un receptor, habrá una corriente (I2).
Los núcleos se construyen en chapas de hierro muy finas (acero al silicio)
separadas mediante aislantes. El rendimiento de estos dispositivos ronda el 99%, por lo que consideramos que no hay pérdidas de energía ni de potencia. Se puede decir que la potencia de entrada P1 (en el primario) es igual a la potencia de salida
P2 (en el secundario).
El número de espiras del primario y del secundario son proporcionales a sus tensiones respectivas. Por tanto:
P1=P2
V1⋅I1=V2⋅I2
V1 V2
=I2
I1
=m(relación de transformación)
V1 V2
=I2
I1
=N1
Caída de tensión en el transporte de electricidad.
Para el transporte de la energía eléctrica, resulta muy rentable aumentar su voltaje y más tarde, cuando llegue a su destino, volver a reducirlo. De esta manera, se producen muchas menos pérdidas de potencia y energía durante el transporte, debido al efecto Joule.
Supongamos que hay que suministrar 1000 kW a una fábrica que dista 100 km del punto de suministro. Para ello se emplea un cable de aluminio con una sección de 400 mm2.
La resistencia que ofrece el cable es: R = ρ · L/S = 0,0278 Ω·mm2/m · 200000 m /
400 mm2 = 13,9 Ω.
Caso A. Si se eleva la tensión mediante un transformador hasta 10000 voltios, la intensidad que circularía por los conductores sería:
I = P/V = 1000000 w / 10000 v = 100 A.
La potencia perdida en forma de calor, debido a la resistencia de los cables sería:
P = I2 · R = (100 A)2 · 13,9 Ω = 139000 w = 139 kw
La potencia que llega a la fábrica es de 1000 kw – 139 kw = 861 kw, perdiéndose el 13,9 %.
Caso B. Ahora se eleva la tensión hasta los 100000 voltios. La intensidad que circula por el conductor sería:
I = P/V = 1000000 w / 100000 v = 10 A.
La potencia perdida en forma de calor, debido a la resistencia de los cables sería: P = I2 · R = (10 A)2 · 13,9 Ω = 1390 w = 1,39 kw
Cálculo de líneas.
Se trata de determinar qué sección mínima debe tener un cable para que las pérdidas de potencia o energía estén por debajo de un valor determinado.
A partir del dato de la pérdida de potencia o energía conocido, calculamos la intensidad que circula por el cable (P = V·I).
Aplicando la ley de Ohm (V=I·R) calculamos la resistencia del cable.
Aplicando ( R = ρ · L/S ) podemos calcular la sección de cable.
12. Circuitos eléctricos domésticos.
Los circuitos eléctricos de instalaciones domésticas suelen ser sencillos. Con objeto de que no se
produzcan sobrecalentamientos en los conductores, por efecto Joule, o en sus aislantes, el Reglamento
Electrotécnico de Baja Tensión (REBT) establece unas densidades de corriente máximas, tanto para
conductores aislados como desnudos,.
Densidad de corriente y cálculo de secciones.
La densidad de corriente (δ) es el cociente entre la intensidad de corriente que circula por un conductor y su sección.
δ = I / S
donde I = intensidad en A y S = sección en mm2.
En la tabla de la izquierda aparecen los distintos valores de la densidad de corriente, para conductores desnudos (sin aislante) en función del diámetro. Para cables con aislante se calcula mediante la fórmula:
ρ = resistividad a 20ºC
El valor de δ se sitúa entre 2 y 9 aproximadamente, disminuyendo ese valor a medida que aumenta su sección.
δA=δ⋅
√
1,759
