Algunas series e integrales con funciones trigonométricas

(1)

Algunas series e integrales con funciones

trigonométricas

Alfredo Villalobos1_{y Glenny García}2 1 _{Universidad del Zulia. Facultad de Ingeniería.} Centro de Investigación de Matemática Aplicada (C.I.M.A.)

Universidad Rafael Urdaneta. Facultad de Ingeniería Vereda del Lago, Avenida 2, El Milagro con calle 86, entrada Sur

2 _{Instituto Universitario de Tecnología de Maracaibo (I.U.T.M.). Coordinación de Matemáticas} Av. Principal. Urb. La Floresta. Maracaibo-Venezuela

Recibido 18-03-11 Aceptado 29-04-11

Resumen

En el presente trabajo se aplica una técnica sencilla para deducir algunas sumas de series que involucran funciones trigonométricas. A partir de dichos resultados, se obtienen algunas identidades y se calculan algunas integrales definidas.

Palabras clave: Series, funciones trigonométricas, identidades, integrales definidas.

Some series and integrals with trigonometric

functions

Abstract

In this work a simple technique is applied to deduce sums of the series involving trigonometric functions. These results are used to obtain some identities and to calculate some definite integrals.

Key words: Series, trigonometric functions, identities, definite integrals.

Nº 1 Julio - Diciembre 2011 ISSN: 2244 - 775X / Depósito legal pp 201102ZU3863

Introducción

En un trabajo anterior, Bassali [1] obtiene algunos resultados sobre ciertas series e integrales que

involucran δ_n y funciones trigonométricas, donde

(

)

1 3 5

2

1 2 4 6

2

n

_n

δ

=

⋅ ⋅ ⋅⋅⋅

−

⋅ ⋅ ⋅⋅⋅

En este trabajo se sigue la misma técnica usada en [1] para deducir, de manera sencilla, las sumas

de las series

0

cos

sen

n n

n

r

n

θ

∞

=







∑

(2)

Luego, se dan fórmulas de recurrencia que permiten ampliar los resultados.

También se obtienen valores de algunas integrales definidas con funciones trigonométricas. Las operaciones que se realizan con las series están justificadas por la convergencia uniformede las mismas.

Algunas series trigonométricas

Sean

(

)

(

)

0 0

,

n

cos y

,

n

sen

n n

C r

θ

∞

r

n

θ

S r

θ

∞

r

n

θ

= =

=

∑

=

∑

Entonces

Usando el resultado

se tiene que

de donde

Igualando las partes reales e imaginarias, queda

Elevando al cuadrado en ambas ecuaciones y sumando, se tiene

Entonces, resultan las fórmulas

(

)

0 2

0

1 cos

,

cos

,

1 1 2 cos

n

r

C r

r

n

r

θ

∞

=

−

=

<

−

+

∑

(1)

(

)

0 2

0

sen

,

sen

,

1 1 2 cos

n

r

S r

r

n

r

θ

∞

=

<

−

+

∑

(2)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0

0

,

cos

sen

n n

n in n

n n i n

C r

iS r

r

n

i

n

r e

θ

∞

θ

= ∞

=

+

=

+

=

∑

0

1 ,

1

n n

z

∞

=

<

−

∑

0 0

₁

1 ,

i

1 C iS

r

re

θ

+

=

<

−

0 0

2 2

0 0 0 0

1

1 _re

i

C iS

C

S

θ

−

=

+

(

)

0 0

2 2 2 2

0 0 0 0

1 r

cos

ir

sen

C

i

S

C

S

C

S

θ

−

=

−

+

(

)

2

0 0

2 2 2 2

0 0 0 0

1 cos

y

sen

C

_r

S

_r

C

+

S

(

= −

)

θ

C

+

S

=

θ

2

0 0

2 2 2 2

0 0 0 0

1 cos

y

sen

C

_r

S

_r

C

+

S

= −

(

θ

)

C

+

S

=

θ

2

0 0

2 2 2 2

0 0 0 0

1 cos

y

sen

C

_r

S

_r

C

+

S

= −

θ

C

+

S

=

θ

(

)

2 ₂ ₂ ₂

2 2

0 0

1 ₁

_r

_cos

_r

_sen

_{1 2 cos}

_r

C

+

S

= −

θ

+

θ

= −

θ

+

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0

0

,

cos

sen

n n

n in n

n n i n

C r

iS r

r

n

i

n

r e

θ

∞

θ

= ∞

=

+

=

+

=

∑

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0

0

,

cos

sen

n n

n in n

n n i n

C r

iS r

r

n

i

n

r e

θ

∞

θ

= ∞

=

+

=

+

=

∑

(3)

las cuales son dadas en [2, pág. 736].

Derivando respecto a r en (1) y (2), se tiene que

(

)

1

0 0

1

0 0

cos

,

cos

n n

C

_nr

_n

_{C r}

_nr

_n

_r

C

r

θ

r

∞ ∞

−

= =

∂

₌

_⇒

₌

∂

∑

∂

(3)

(

)

1

0 0

1

0 0

sen

,

sen

n n

S

_nr

_n

_{S r}

_nr

_r

S

r

θ

r

∞ ∞

−

= =

∂

₌

_⇒

₌

∂

∑

∂

(4)

Efectuando las derivadas, resultan

(

)

[

(

)

]

(

)

2

1 ₂ 2

1

1 cos

2 ,

cos

,

1 1 2 cos

n

r

C r

nr

r

θ

∞

=

−

=

<

−

+

∑

(5)

(

)

(

)

(

)

2

1 ₂ 2

1

1 cos

,

sen

,

1 1 2 cos

n

r

S r

nr

r

θ

∞

=

−

=

<

−

+

∑

(6)

las cuales también aparecen en [2, pág. 737]. Obsérvese que

(

)

2

2 0

2 2

1 1

1 cos

cos

n n

C

_{n n}

_r

_n

r

n r

n

nr

n

θ

∞

− =

∞ ∞

−

= =

∂

₌

₋

∂





=

_

−

_





∑

de donde

(

)

2 2 2 0

(

)

2 2 1

1

,

n

cos

,

n

C

C r

n r

n

r

C r

r

θ

∞

θ

=

∂

=

+

∂

∑

(7)

De igual forma

(

)

2 2 2 0

(

)

2 2 1

1

,

n

sen

,

n

S

S r

n r

n

r

S r

r

θ

∞

θ

=

∂

=

+

∂

∑

(8)

Efectuando, resulta

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

1

4 2 2 2 2 2

3 2

,

cos

1 cos

2 1

cos

2

2 ,

1 1 2 cos

n n

C r

n r

n

r

r r

_r

r

θ

∞

=

−

+

−

+

−

=

<

−

+

∑

(9)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

1

2 4 2 2

3 2

,

sen

1 6

sen

1 sen 2

,

1 1 2 cos

n n

S r

n r

n

r

_r

r

θ

∞

=

−

+

=

<

−

+

∑

(4)

Ahora,

(

)(

)

(

)

3

3 3 2 3

0 3

3 3

3 3 2

1 1 1

1

2 cos

3

2 cos

cos

3 cos

2 cos

n n

n n n

C

_{n n}

_n

_r

_n

_{n r}

_n

r

n r

n

n r

n

nr

n

θ

∞ ∞

− −

= =

∞ ∞ ∞

−

= = =

∂

=

−

=

−

+

∂





=

_

−

+

_





∑

de donde

(

)

(

)

(

)

3 3

1 3 3 0

2 1

3

,

cos

3 ,

2 ,

n n

C r

n r

n

C

r

C r

r

θ

∞

=

∂

=

+

−

∂

∑

(11)

Análogamente,

(

)

(

)

(

)

3 3

1 3

3 0

2 1

3

,

sen

3 ,

2 ,

n n

S r

n r

n

S

r

S r

r

θ

∞

=

∂

=

+

−

∂

∑

(12)

Se observa que, continuando con este proceso, es posible generalizar y obtener sumas de series

de la forma

(13)

Para ello, se usará el siguiente resultado [3]:

(

)(

)

(

)

1

1 2 n n 1 n

n 1 n

x x x x

x x

x

a x

−

a x a

−

_

−

=

+

_

+

donde

Aplicando el resultado anterior, se tiene

(

)

(

)

1

,

cos

sen

,

k k n

n k

C r

n

n r

n

S r

θ

∞

=



_



₌







∑

( )

1

2

3

1 2 3

1 , ,

i i j i j

i j k i j k

n

n n

a

x

a

x x

a

x x x

a

x x x

x

<

< <

= −

=

= −

∑





(

)(

)

(

)

1 2

1

k 1 k 2 k k 1 k

n n n n n

n k

n

a n

−

a n

−

a n a

−

(5)

con

( )

₁

(productos de los números 1, 1, 2, ,

1 tomados

a en orden creciente)

i i

k

a

i i

−

= −

∑



(14)

Es fácil ver en (14) que a_k = 0. De esta manera, se tiene que

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

0

1 2

1 2 1

1 1

2

2 1

1 1

1

2

1 cos

cos

,

k

k n

k n k

k k k n

k n k

k n k n

n n

k n n

k

n n

k

C

r

n n

n

n k

r

n

a n

a n r

n

n r

n

a

n r

a

n r

a

nr

C r

a

θ

∞ = ∞

− −

− =

∞ −

= =

∞ ∞

−

= =

∂

₌

₋

_{− +}

∂

=

+

=

+

=

+

∑



(

)

(

)

(

)

1

C

k−1

r

,

θ

+

a C

2 k−2

r

,

θ

+



+

a C r

k−1 1

,

θ

de donde

(

)

0 1

(

)

1 1

,

cos

,

1, 1

k k k n k

k k i k i

n i

C

C r

n r

n

r

a C

r

k

θ

∞

θ

− ₋

θ

= =

∂

=

−

∂

<

≥

∑

₍₁₅₎

Análogamente, se obtiene

(

)

0 1

(

)

1 1

,

k n

sen

k k k

,

k k i k i

n i

S

S r

n r

n

r

a S

r

θ

∞

θ

− ₋

θ

= =

∂

=

−

∂

∑

(16)

En las tablas No. 1 y No. 2, dadas al final del trabajo, se muestran los resultados hasta k = 5. Si se usa la identidad

(

)(

)

(

)

(

!

)

1

2

1 !

n

n n

n

n k

−

− + =

−



queda

(

)

0

!

_cos

!

k

k n

k n k

C

n

r

n

x

n k

θ

∞ =

∂

₌

∂

∑

−

lo cual también puede escribirse como

(

)

₍

₎

₀

0

! cos

,

1,

0 !

k m

m k

_r

_{m k}

C

_r

_k

m

θ

r

∞

=

+

₊

₌

∂

_<

_≥

∂

∑

(17)

(6)

Análogamente, se obtiene

(

)

₍

₎

₀

0

! sen

,

1,

0 !

k m

m k

_r

_{m k}

S

_r

_k

m

θ

r

∞

=

+

₊

₌

∂

_<

_≥

∂

∑

(18)

De (1) se deduce fácilmente que

2 2 1

1 1 2

cos

,

1 1 2 cos

n n

r

n

r

θ

∞

=

−

+

=

<

−

+

∑

(19)

Usando (2) y (19) en (6), se tiene

1 1 1

sen

1 2

cos

sen

2 sen

cos

n n n

nr

n

r

n

r

n

r

n

r

n

r

n

θ

∞ ∞ ∞

= = =

∞ ∞ ∞

= = =







=

_

_

+

_











=

_{+ }

_





∑

Efectuando el producto de Cauchy:

queda que

(

)

1

1 1 1 1

sen sen 2 n sen cos 1

n n n

n n n k

nr n

θ

r n

θ

n k

θ

r

∞ ∞ ∞

+

= = = =

 

= + _ − + _

 

∑

∑ ∑

Igualando coeficientes de las mismas potencias de r, resulta la nueva identidad trigonométrica

(

)

(

)

(

)

1

sen cos 1 sen 1 , 1, 2, 2

n k

n

n k n n

θ

=

− + = + =

∑

 (20)

Usando

en (20), se tiene

Pero, _2sen2_k

_θ

_{= −}_{1 cos2}_k

_θ

_{. Luego,}

1

1 1 1 1

,

n n n n k n k

n n n n

a b c c a b

∞ ∞ ∞ ∞

− +

= = = =

   ₌  ₌         

∑



∑

 

∑

 

∑



( ) ( )

( )

1

1 1 2

1

sen cos 1 1 sen 2

1

sen 1 2

n

n n

n k n

n

n k r n r n

nr n

θ θ θ

θ

∞ ∞

+

= = =

∞ +

=

 _{− +}  ₌ ₋

 

 

= +

∑ ∑

∑

(

)

(

)

(

)

cos

1 cos

sen

1 sen

sen 2

2sen cos

n k

n

k

n

k

θ

− +

=

+

=

( ) ( ) 2 ( )

1 1

1 cos 1 sen 2 sen 1 sen sen 1

2 2

n n

k k

n

θ

k

θ

n

θ

k

θ

n

θ

= =

+

∑

+ +

∑

= +

( ) ( ) ( )

( )

1 1

1_cos ₁ _{sen 2} _sen ₁ 1_sen ₁ _cos2

2 2 2

sen 1 2

n n

k k

n

n k n n k

n _n

θ θ θ θ θ

θ

= =

+ + + − +

= +

(7)

de donde se obtiene

₍₂₁₎

lo cual también resulta de [2, pág.637 (5)].

Integrales

Integrando en (1) entre 0 y π, se tiene

Pero,

Luego, resulta

(

)

(

)

2 0

1 cos _{independiente de ,} ₁ 1 2 cos

r d _{r r}

r r

π

θ θ π

θ

− ₌ _<

− + ⌠



⌡ (22)

Multiplicando en (1) por

cos

m

θ

(m fijo, m = 1, 2, … ) e integrando entre 0 y π, se tiene

Usando la propiedad de ortogonalidad

se obtiene

( )

2 0

1 cos cos _, _1, ₁ 1 2 cos 2 n

r _{n d} _r _r _n r r

π

θ θ _θ π θ

− ₌ _< _≥ − +

⌠ 

⌡ (23)

Multiplicando en (2) por senmθ (m fijo) e integrando en 0 y π, se tiene

Usando la propiedad de ortogonalidad

( ) 1

₍

₎

1 sen 2

tan 1 , 1, 2,

cos2

n

k n

k

n n

k θ θ

θ

=

+ =

∑

=

∑



(

)

2 0 0 ₀

1 cos cos

1 2 cos

n n

r d r n d

r r

π

_{θ θ}

θ θ

θ

∞ =

− =

− + ⌠

 ⌡

∑ ∫

0

,

0 cos

0,

1 n

n d

n

π

_π

θ θ

_{= }



=

≥



∫

(

)

2 0 0 ₀

1 cos cos cos cos

1 2 cos

n n

r m

r n m d d

r r

π

_θ

θ

θ θ

θ

∞ =

− =

− + ⌠

 ⌡

∑ ∫

0

0, cos cos

2,

m n

n m d

m n

π

θ θ θ π

≠ 

=  ₌ 

∫

2

1 0 ₀

sen sen sen sen

1 2 cos

n

r m

r n m d d

r r

π

π _θ _θ

θ θ θ θ

θ

∞

=

− + ⌠

 ⌡

∑ ∫

0

0,

sen sen

2,

m n

n

m d

m n

π

θ

θ θ

π

≠



= 

₌



(8)

se obtiene

1 2

0

sen sen

_,

_1,

₁

1 2 cos

2

n

_{n d}

_r

_n

r

π

θ

_θ

π

θ

−

=

<

≥

−

+

⌠



⌡

(24)

Las integrales (22), (23) y (24) se deducen de resultados dados en [2, pág. 414, 415]. Aplicando el mismo procedimiento en (15) y (16) resultan, respectivamente,

1 2

1 0

1 cos cos

1 2 cos 2

1, , 1

k k

n k k k i i k

i

r

n d r n a n

r r r

r k n

π

θ

π

θ

−

− −

=

∂  −  ₌  ₊ 

  _ _

∂  − +  _ _

< ≤ ⌠



⌡

∑

(25)

1 2

1 0

sen sen

1 2 cos 2

1, , 1

k k

n k k k i i k

i

r

n d r n a n

r r r

r k n

π

θ

π

θ

−

− −

=

∂   ₌  ₊ 

  _ _

∂  − +  _ _

< ≤ ⌠



⌡

∑

(26)

los cuales son resultados más generales.

Como casos particulares, para k = 1 se obtiene

(

)

[

]

(

)

2

1 2

2 0

1 cos 2 cos _, _{1; 1} 2

1 2 cos

n

r r n _d n _r _r _n r r

π

θ

_θ

π

θ

−

+ − ₌ _< _≥ − +

⌠  ⌡

₍₂₇₎

(

)

(

)

1 2 2 2

0

sen sen

_,

_{1; 1}

2 1

1 2 cos

n

_d

n r

_r

_n

r

π

θ

_θ

π

θ

−

=

<

≥

−

+

⌠



⌡

(28)

los cuales pueden deducirse de resultados dados en [2, pág. 414, 415].

Tabla No. 1

(

)

0 2

0

1 cos

, cos , 1 1 2 cos

n n

r

C r r n r

r r

θ

∞ =

−

= = <

− +

(9)

Tabla No. 2

(

)

0 2

0

sen

, sen , 1 1 2 cos

n n

r

S r r n r

r r

θ

∞ =

= = <

− +

∑

Referencias bibliográficas

1. Bassali, W.A.: “On certain infinite series and definite integrals involving 1 3 5 (2 1) 2 4 6 2n

n n

δ

⋅ ⋅ −

⋅ ⋅

=



 ”, Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia, Vol. 10, No. 2, (1987), 29-34.

2 Prudnikov, A. P., Brychkov, Yu. A. and Mariche, O. I.: “Integrals and Series”, Vol 1, Gordon and Breach Science Publishers, New York, (1988).

3. Bronshtein, I. y Semendiaev, K.: “Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes”, Editorial Mir, Moscú, (1982).