Dinmica global de ciertos modelos epidemiolgicos

ANALES UU

de la Universidad Metropolitana

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INVITADO DE ANALES

Dinámica global de ciertos modelos

epidemiológicos

MARCOS LIZANA Departamento de Matemáticas Universidad de Los Andes

En este trabajo se da una descripción completa y unificada de la dinámica del modelo SIRS cuando H (I,S) = kSq, con k> O, q> O, el cual en particu-lar incluye el caso bilineal.

Introducción

Los modelos epidemiológicos ocupan un papel relevante en la actualidad, ya que éstos describen el comportamiento de alguna enfermedad y proveen información para el control de dichas enfermedades, para evitar así su propa-gación en una población. Tales modelos son adecuados tanto para la mayoría de las enfermedades transmitidas por bacterias o parásitos intestinales, como para la mayoría de las enfermedades venéreas, incluyendo la gonorrea. Hay casos, como por ejemplo el SIDA, que todavía están en estudio por razones obvias y han recibido en los últimos años gran atención. Un bosquejo de los avances más recientes de los epidemiológicos se explican en [1].

La intención de este trabajo, está concentrada en aspectos puramente matemáticos, claro que las respuestas obtenidas en éste, tienen claramente significados biológicos coherentes, pero no ahondaremos en este punto.

Concretamente en nuestro trabajo, se analiza el modelo SIRS, estudiado en [3], el cual viene descrito por el siguiente sistema de ecuaciones diferencia-les ordinarias:

S=—IH(I,S)—Sb+yR+B(N)

(1) I = —H(I,S)—(b +v)I

Supondremos que todas las constantes que figuran en (1) son positivas. Donde / representa a la población de los infectados, S a los susceptibles y R a los recuperados; H(I,S) es la rata de incidencia por individuo infectado, b es la tasa de mortalidad per capita; y B(N) es una función no negativa de clase C' y representa la tasa de natalidad, siendo _{N= S+I+R. Supondremos también} que todos los recién nacidos son susceptibles, y que la función H verifica las siguientes condiciones: H(I,O)= O, VI E R y 011 /

as

> O. Esta última condi- ción refleja el requerimiento biológico intuitivo que la tasa de incidencia sea una función creciente respecto al número de susceptibles. Más adelante elegi- remos una función concreta para la tasa de incidencia.

Sumando las tres ecuaciones en (1) obtenemos:

S' + /' + R' = —b(S + I + R)+ B(N) (2)

Así la ecuación que describe el crecimiento de la población viene dada por: N' = B(N)— bN

Como B E C 1 entonces las soluciones de (2) existen y son únicas, local-mente. De aquí en adelante supondremos que la ecuación (2) posee un punto crítico A/0 asintóticamente estable. Esta suposición es razonable ya que de no existir un punto de equilibrio asintóticamente estable, estaríamos en presencia de un crecimiento indetenible de la población o frente a su extinción. Ambas situaciones no reflejan una situación biológicamente razonable. Nos restringi-remos a estudiar el comportamiento de las soluciones (1) sobre el plano

S + I + R = No >O

En [3] se hizo un análisis de las bifurcaciones de codimensión dos. Sin embargo allí no se da respuesta como es la dinámica del modelo _SIRS cuan-

do la tasa de incidencia es H(/, s) = kSq con k > O, q > O. En el caso que

q = 1, caso bilineal, Hethcote en [2] mostró que el único punto de equilibrio no

trivial era global-asintóticamente estable en el interior del primer octante.

En este trabajo concretamente damos una descripción completa y unifica-da de la dinámica del modelo SIRS cuando H(I,S)= kSq, con k> O, q > O, la cual incluye el caso bilineal.

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Estudio preliminar del modelo

SIRS

En este trabajo, nos restringiremos a estudiar el comportamiento de las

soluciones (1) sobre el plano S + I + R= No >O. Sin pérdida de generalidad

podemos suponer que N0=1, ya que en el caso contrario normalizamos S, 1, R de modo que:

S

I R

S= , I = R —

No

No

No

Así, el sistema (1) se reduce a:

=

* (1 , — — +

b

ir =

* (i ,

— (

b + v)i

( 3 ) l?' = vi — (b + y),R,

donde

+ + i?=1, H * H(N o i , N o S).

De aquí en adelante supondremos que estas transformaciones ya fueron realizadas y omitiremos el símbolo A sobre las variables del sistema. Además,

como estamos estudiando la dinámica del sistema (3) sobre el plano

S + / + R = 1, nuestro problema se reduce a estudiar el sistema bidimensional

siguiente:

S'= — IH (I , S) — (b + y)S — y I + (y + b)

(4) I' = IH (I , S) — (b + v)I

Con el fin de simplificar el número de parámetros que figuran en el sistema (4) introduciremos las siguientes transformaciones:

T (b + v)t, I (T) = I (t), R(T) = R(t), S (T) = S (t),

1 y

+

b y o- =

Una vez realizadas las transformaciones el sistema (4) puede representar-se como sigue:

= u III(' , S) — I

S=o- IH(I,S)—aS—/3I+a

( 5 )

donde ( • ) representa la derivada con respecto a la nueva escala de tiempo _T De aquí en adelante supondremos que las transformaciones ya fueron realiza-das y omitiremos las barras sobre las variables S, 1 y

R.

En el siguiente lema mostraremos que la dinámica relevante del modelo

SIRS

está concentrada en un subconjunto acotado del primer cuadrante del plano, lo cual a su vez muestra que el problema está bien planteado bioló-gicamente.

Lema 1. El conjunto 12 = S)E R 2 : S O, / > O, S + / < 1 es positiva-

mente invariante bajo el flujo inducido por (5).

Prueba.

Denotemos por U(t) = (I(t),S(t)) a la única solución ns-prolon-gable del sistema (5) definida sobre el intervalo [0,b) tal que U(0) _{E 12, donde}

o denota al interior del conjunto a Probemos que U(t) e 12, Vt E [0, b).

Supongamos que existe t* E [0, b), tal que U(t*) S2 . Entonces se pre-sentan los siguientes casos:

Caso 1: Supongamos

que Use escapa de 12 a través del eje I. Entonces existe

t > 0, tal que

_{U(t) = (I(t),S(t)) = (Io}

,O) y ,(t) O. De (5) se sigue

que

_(t)—

_{Io + = {)/(1— 10+ b]l (b + v) >}

_{O ya que O} /0 1.

Contradicción.

Caso 2: Teniendo

en cuenta que el eje S es invariante bajo el flujo inducido por (5), se sigue que U no puede abandonar 12 a través de dicho eje.

a

1

1+/3 ( 7 )

trivial A2 = a

1 1

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Caso 3: Supongamos que la solución u se escapa a través de la recta S + I

= 1, esto quiere decir que existe t > ci tal que R(t) = O con R O. Pero

de la tercera ecuación de (1) se obtiene que R (t)=vi(t) > O. Contradicción.

Así, hemos probado que U(t) E 12,Vt E [O, b). Como 12 es compacto, se sigue que, b = +00 lo cual prueba que 12 es positivamente invariante.

El modelo

SIRS

con

H(l;s)= k.Sq, k> 0, q > O

De aquí en adelante supondremos que p = 1 y q>0. Como veremos más adelante en este caso podremos describir la dinámica global del modelo resul-tante.

Si, p= 1 y q>0, entonces el sistema que describe al correspondiente modelo SIRS viene dado por:

c/ Sq — / = (/, S)

(6) = —c/ S q — — + a = F2 (/, S)

donde c = Icor; y la ecuación para la obtención de los puntos críticos no

trivia-les del sistema (6) es:

Resumiendo tenemos que:

i) Si, c E (0,1], entonces el sistema (6) posee un único punto de equilibrio, a

saber: A l = (0,1)

ii) Sic > 1, entonces (6) posee dos equilibrios, el trivial Al = (0,1) y uno no

Proposición 2

a) Si c E (0,1], _{entonces el punto de equilibrio Al = (0,1) es local — asintóticamente}

estable.

b) Si c =1, el punto A l = (0,1) pasa por una bifurcación silla — nodo.

c) Si c > 1, los puntos Al = (0,1) , A2 = (I* ,S*) son un punto de silla y local — asintóticamente estable, respectivamente.

Prueba. Denotemos por

F =

(F1 , F2) . La parte a) y b) son una consecuencia

directa del hecho que:

aF, A

r c-1

o

_

ax

c—

fi —a

En este caso el polinomio característico viene dado por: P(2) = (2 — c + 1)(2 + a).

Para probar la parte c) es suficiente notar que:

(8)

traza DF (A 2 ) = [ * * +

ax S det

aF

(A2) = (1 + fi) / *

Dx S *

Usando el criterio de Routh-Hurwitz, obtenemos lo deseado.

Lema 3. Si el sistema (6) tiene una órbita co - periódica no constante

_y,

entonces

y es orbital asintóticamente estable.

Prueba. Sea

9(0 = (I (t), R(t))

una solución w - periódica del sistema (6).

En-tonces se tiene que:

DF

(9 1(0) 1 = (9(t))0t), Dx

lo cual implica que 9' es una solución o - periódica del sistema variacional. Luego un multiplicador característico del sistema variacional:

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y' OF

Y =

(9(0)Y,

ex

es pi =1. El otro multiplicador característico p 2 se determina a partir de la

fórmula de Liouville

P1

p2 = exp 'c°

divF (9(t))dt =

exp

traza aF

_ax

( 9(t)dt.

Así, obtenemos que

p

₂

= exp

traza

eF

(9(t)dt.

ex

Mostremos que O < p 2 < 1. En efecto, es fácil calcular que

traza

2F

(9(0 = cSq -1- o- q K I Sq -1 -a

ex

De (6) se sigue que: /1/ = cSq -1 .Luego integrando, obtenemos

traza

eF

(9(t))dt =

I(t)Sq -1 (t)dt - a dt

Teniendo en cuenta que

I(t)

(t)dt = ln(/(co))- ln(/(0))= O

y que

I(t) y S(t)

son funciones no- negativas para todo

t >

0, obtendre-mos que

OF

traza

((o(t))dt < -aw < O.

ex

Lo cual prueba que 0 < p 2 < 1, lo cual a su vez prueba que c es orbital asintóticamente estable, ver [5] teorema 2.1, pag. 217.

Observación I. Notemos que la proposición anterior es válida también en el caso general

H(I,S)= Sq , k>0 , , q>0 ;

suponiendo que p —1 < a

En efecto, como

, S) = cI P Sq — I , F2 (/, S) = c/PS — ot,S — 13I + a ,

entonces

aF,=cpiP-'

_ax

sq -1=

p+ p -1,

aF2

= -cgIP Sq-1 - a

I

ax

Luego

r

o traza —aF

(9(0)dt =

p r -dt + r (p - pdt - qc

ax

cokp -1) - 0.

El siguiente Teorema es el resultado principal de este trabajo.

Teorema 4

a) Si O < c < 1, entonces Al = (0,1) , es global asintóticamente estable en

a

b) Si c > 1 entonces Al = (0,1) es un punto de silla, cuya variedad estable yace sobre el eje S. El punto

A l =

(1*, S*)es global asintóticamente estable en el

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Prueba. Mostremos a). Para esto es suficiente ver que la función

9(0 = A1 , Vt E R, es global asintóticamente estable. Esto es:

1) 9(0 es estable y

o

2) ep

e

/-1,

V(t,P) —> 40 (t), t ---> + 00 , donde y(., p),

2)

denota a la única

solución de (6), tal que y(0, p) = p.

Supongamos que 9(t) no es asintóticamnete estable. Entonces existe

O

p* e /-2 tal que y(t, p*) no tiende a 9(0, cuando t —> +00 . Denotemos

por y p * la órbita correspondiente a la solución y(., p*) . Como S2 es com-

pacto y positivamente invariante, entonces y p± * es acotada y en conse-

cuencia co p* # 0 , compacto, conexo y dist(y(t, p*), c o p* )-> O, t ---> +00.

Como el único punto de equilibrio del sistema (6) es A l y hemos supuesto

que y(t , p*) —> A l t —> +00 se sigue que Al E cop * . Luego, por el Teorema de

Poincaré-Bendixson ca p * es una órbita periódica de (6). Como estamos en el plano dicha órbita periódica debe contener en el interior de la región que ella acota al menos un punto crítico del sistema. El cual debe ser un punto de equilibrio no trivial, ya I/ es positivamente invariante. Lo cual es una

contradic-ción.

Probemos b). Supongamos que A2 = (/*, S*) no es global asintóticamente

P E

es-

table.

table. Es decir existe * /-1 y una solución y(., p*) , con 1,y(0, p*) = p*, tal

que yi(t , p*) no tiende a Al cuando t —> +00 . Sea

r p *

la órbita

correspondien-te a la solución, y(., p*) . Como 1-1 es compacto y positivamente invariante,

En este caso el sistema sólo tiene dos puntos críticos A1 = (0,1) A g = (I* ,S*)

El punto A, no puede pertenecer a cop* ya que A, es una silla y su variedad

estable está sobre el eje S; por hipótesis _{A2 Cop*}

Luego, por Teorema de Poincaré-Bendixson cop * es una órbita periódica, la cual por el Lema 2.1 es orbital asintóticamente estable y, por ende, es única. Es claro que A2 debe estar contenida en la región acotada por la órbita periódica. Lo cual es una contradicción ya que A2 es local asintóticamente estable.

Conclusión

La dinámica del modelo SIRS con H(/, S) = kSq , k> 0, q > 0 es la mis-ma que el caso bilineal.