UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
Mecánica de Fluidos I Examen 100913
Una placa plana de anchura L y longitud innita, oscila perpendicularmente a si misma en presencia de otra paralela, de modo que la distancia entre ambas es h(t) conocida, conh∼H L y t∼1/ω, siendo ω una frecuencia de oscilación conocida.
Ambas placas están separadas por un líquido de densidad ρ y viscosidad µ constantes. La presión en los bordes de la placa es pa y los efectos de las fuerzas másicas son despreciables. Las ecuaciones que permiten determinar el movimiento del líquido entre las placas son
∂u ∂x+ ∂v ∂y = 0, (0≤x≤L; 0≤y≤h), ρ∂u ∂t +ρ u∂u ∂x+v ∂u ∂y =−∂p ∂x +µ ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 , ρ∂v ∂t +ρ u∂v ∂x+v ∂v ∂y =−∂p ∂y +µ ∂2v ∂x2 + ∂2v ∂y2 . Se pide:
1.- Orden de magnitud del tiempo característico tc.
2.- Orden de magnitud de la velocidad característica transversal vc. 3.- Orden de magnitud de la velocidad característica longitudinal uc.
4.- Orden de magnitud del término convectivo en la ecuación de cantidad de movimiento longitudinal (según x).
5.- Orden de magnitud del término no estacionario en la misma ecuación del apartado anterior. 6.- Orden de magnitud del término viscoso en la ecuación de cantidad de movimiento según x. 7.- Orden de magnitud del término no estacionario en la ecuación de cantidad de movimiento transversal (según y).
8.- Orden de magnitud del término convectivo en la ecuación del apartado anterior.
9.- Orden de magnitud del término viscoso en la ecuación de cantidad de movimiento según y.
En los apartados que siguen a continuación, supongan queρωH2/µ1, y simpliquen las ecuaciones de cantidad de movimiento de acuerdo con ello.
11.- Orden de magnitud de los incrementos transversales de presión,4Hp
12.- De acuerdo con los resultados de los apartados 10 y 11 anteriores ¾a qué se reduce la ecuación de cantidad de movimiento transversal en primera aproximación?.
13.- Utilizando la ecuación de cantidad de movimiento segúnx, ya simplicada, se puede determinar la velocidad longitudinal u. Escriban las condiciones de contorno que hay que imponer para determinar dicha velocidad.
14.- Utilizando la ecuación de cantidad de movimiento del apartado 13, determinen la velocidad longi-tudinalu(y, h, ∂p/∂x, µ).
15.- Con la ecuación de la continuidad se puede determinar la velocidad transversal v. Escriban las condiciones de contorno que hay que imponer para determinar dicha velocidad.
16.- A través de la ecuación de la continuidad, determinen la velocidad transversalv y, h, ∂2p/∂x2, µ. 17.- A través de la ecuación del apartado anterior, obtengan la ecuación que permite determinar la distribución de presiones.
18.- Condiciones de contorno que hay que imponer a la ecuación que permite determinar la distribución de presiones.
19.- Obtengan la distribución de presiones p−pa=F(x, L, h, dh/dt, µ).
20.- Fuerza vertical F ejercida por el líquido sobre la placa superior (tengan en cuenta que es una fuerza por unidad de longitud, ya que la geometría es bidimensional).
SOLUCIÓN
1.- De la expresión deh se tiene tc∼1/ω. 2.- vc∼dh/dt=ωH(df /d(ωt))∼ωH. 3.- De la ecuación de la continuidad se tiene
uc∼vc L H ∼ωL
4.- De acuerdo con la relación anterior los dos sumandos del término convectivo son del mismo orden y tales que ρ u∂u ∂x+v ∂u ∂y ∼ ρu 2 c L ∼ρω 2L
5.- ρ∂u/∂t∼ρuc/tc∼ρω2L, del mismo orden que el término convectivo.
6.- En el término viscoso, el primer sumando es despreciable frente al segundo, de modo que µ ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 ≈µ∂ 2u ∂y2 ∼ µuc H2 ∼ µωL H2
La relación entre los términos convectivos y no estacionario con respecto a los viscosos es ρω2L µωL/H2 ∼ ρωH2 µ 1 7.- ρ∂v∂t ∼ρvc/tc∼ρω2H 8.- ρ u∂v∂x+v∂v∂y
∼ρvc2/H ∼ρω2H. Como anteriormente los términos convectivos y no estacionario son del mismo orden.
9.- µ ∂2v ∂x2 +∂ 2v ∂y2 ≈µ∂∂y2v2 ∼µvc/H2 ∼µω/H.
La relación entre los términos convectivos y no estacionario con respecto a los viscosos es ρω2H
µω/H ∼ ρωH2
µ 1.
De acuerdo con esto, las ecuaciones de cantidad de movimiento se reducen a 0 =−∂p ∂x +µ ∂2u ∂y2, y 0 =− ∂p ∂y+µ ∂2v ∂y2.
10.- De la ecuación de cantidad de movimiento segúnx se obtiene4Lp∼µucL/H2∼µωL2/H2. 11.- De la ecuación de cantidad de movimiento transversal se tiene4Hp∼µvc/H∼µω.
12.- El cociente entre ambos incrementos de presión es 4Hp 4Lp ∼ µω µωL2/H2 ∼ H L 2 1.
Como los incrementos transversales de presión son pequeños comparados con los longitudinales, la ecuación de cantidad de movimiento transversal se sustituye por decir que la presión apenas varía con y.
13.- Las condiciones de contorno para la velocidad son:u= 0 en y= 0 e y=h.
14.- Como pno depende dey en primera aproximación, la ecuación de cantidad de movimiento según x puede integrarse con respecto a y para dar
u= 1 2µ ∂p ∂xy 2+C 1y+C2,
donde las constantesC1 yC2 se obtienen de imponer las condiciones de contorno del apartado anterior
u= 0 eny = 0 ey=h, lo que proporciona u= 1
2µ ∂p
∂xy(y−h).
15.- Las condiciones de contorno que debe cumplir la velocidad transversal sonv = 0en y = 0, junto con v = dh/dt en y = h. Sin embargo la ecuación de la continuidad sólo necesita una condición. Al hacer que se cumpla la segunda de las condiciones, se obtiene una ecuación para determinar la presión, como se ve a continuación.
16.- De la ecuación de la continuidad se tiene ∂v ∂y =− ∂u ∂x =− 1 2µ ∂2p ∂x2y(y−h), lo que proporciona v=− 1 2µ ∂2p ∂x2 y3 3 − y2h 2 , donde se ha impuesto la condición v= 0 eny= 0.
17.- Dado que en y = h debe ser v = dh/dt, sustituyendo esta condición en la ecuación anterior se tiene dh dt = h3 12µ ∂2p ∂x2.
18.- Las condiciones de contorno de la ecuación anterior son:p=pa en x= 0 y en x=L. 19.- Integrando la ecuación con las condiciones anteriores, se obtiene
p−pa= 6µ h3
dh
dtx(x−L).
20.- La fuerza vertical por unidad de longitud perpendicular al plano de la gura es F = ˆ L 0 (p−pa)dx=−µL 3 h3 dh dt.
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Mecánica de Fluidos I Examen 10092013
Dos placas semi-innitas situadas en el mismo plano, están a una distancia ` una de otra, formando una
ranura bidimensional. Por la parte inferior de la placa y aguas arriba de la ranura, circula una corriente supersónica de un gas ideal (γ = 1,4)con número de Mach M∞ = 2, presión p∞ y temperatura T∞. Por la parte superior de la placa, y también aguas arriba de la ranura, se tiene el mismo gas en reposo a la presión
pa< p∞y temperatura T∞.
Como consecuencia de la depresión existente en la ranura, parte del ujo que circula por la parte inferior de la placa, se incorpora a la parte superior de la misma. En el puntoA(véase gura) se forma una expansión
cuya última característica forma un ángulo de 10º con la horizontal, y una línea de discontinuidad tangencial que separa al gas en reposo del que pasa de la parte inferior a la superior. Aguas abajo del punto B la
corriente está adherida a la placa, formándose una expansión a un lado de la placa y una onda de choque al otro lado. Se pide:
1.- Número de MachMR en la ranura.
2.- Relación de presionespa/p∞ para que la última característica de la expansión de vértice enA, forme los 10º con la horizontalAB citados anteriormente.
3.- DirecciónαR de la corriente en la ranura, medida desde la líneaAB de las placas.
4.- Gasto másico adimensionalgpRgT∞/(p∞`), por unidad de envergadura de las placas, que se incorpora a la parte superior de las mismas.
5.- Número de Mach MBS de la corriente horizontal a la placa, inmediatamente aguas abajo del punto B y en la parte superior de la placa.
6.- Relación de presionespBS/p∞ en la misma región del apartado 5. 7.- Relación de temperaturasTBS/T∞ en la misma región del apartado 5.
8.- Número de MachMBI de la corriente horizontal a la placa, inmediatamente aguas abajo del punto B y en la parte inferior de la placa.
9.- Relación de presionespBI/p∞ en la misma región del apartado 8. 10.- Relación de temperaturasTBI/T∞ en la misma región del apartado 8.
SOLUCIÓN
Como el Mach incidente es 2, el ángulo entre la primera característica y la corriente incidente es de 30º. Esto es α = arcsen(1/M) = arcsen(1/2) = 30º. De acuerdo con esto, el ángulo que forma la primera
característica con la vertical a la placa es de 60º. Como la última característica forma 10º con la línea de la placa, el ángulo del abanico de la expansión 4θ = 90−60−10 = 20º. Con las tablas de expansión de
Prandtl Meyer se tiene
M α (º) θ (º) δ (º) 2 30 86.38 26.38 4θ= 20 2.53 23.3 106.38 39.71 4δ= 13,33 3.18 18.32 124.83 53.04
De modo que el Mach en la ranura es MR = 2,53 y el ángulo de inclinación de la corriente con respecto a la dirección de las placas es αR = 39,71−26,38 = 13,33º. Esta corriente, en el entorno del punto B tiene girar, por la parte superior, un ángulo adicional en forma de expansión de 13.33º. Por lo tanto, en la tabla anterior tendríamos un valor nal de δ= 39,71 + 13,33 = 53,04º, lo que corresponde a un número de Mach MBS= 3,18.
Dado que a través de las expansiones se conservan las magnitudes de remanso, de las relaciones
T T0 = 1 +γ−1 2 M 2 −1 y p p0 = 1 +γ−1 2 M 2 −γγ−1 , se tiene: T∞ T0 = 0,5556; TR T0 = 0,4386; TBS T0 = 0,3309, p∞ p0 = 0,1278; pR p0 = 0,0559; pBS p0 = 0,0208,
y de acuerdo con estos valores se obtiene
TR T∞ = 0,7894; TBS T∞ = 0,5956, pR p∞ = pa p∞ = 0,4374; pBS p∞ = 0,1628,
ya que las presionespRypa coinciden, por conservarse la presión a través de la supercie de discontinuidad tangencial que parte deA.
El gasto másicog por unidad de envergadura de la placa, está dado por
g=ρRvR`senαR=ρ0a0 ρR ρ0 vR aR aR a0 `senαR= (ρ0a0`senαR)MR 1 +γ−1 2 M 2 R −2(γγ+1−1) = 0,0492ρ0a0`, y dado que ρ0a0 = p0 RgT0 p γRgT0= p0 √ γ p RgT0 = pp∞ RgT∞ √ γ p0 p∞ r T∞ T0 = 6,9010pp∞ RgT∞ ,
se tiene g= 6,9010×0,0492pp∞` RgT∞ = 0,3396pp∞` RgT∞ .
Con la solución obtenida hasta aquí se da la respuesta a las preguntas: 1.- Número de Mach en la ranuraMR= 2,53.
2.- Presiónpa de la parte superior de la placapa/p∞= 0,4374.
3.- La direcciónαR de la corriente en la ranura es igual al ángulo que se deecta la corriente en la primera expansión,αR= 13,33º.
4.- Gasto másico adimensional gpRgT∞/(p∞`) == 0,3396. 5.- Número de MachMBS = 3,18.
6.- Relación de presionespBS/p∞= 0,1628. 7.- Relación de temperaturasTBS/T∞= 0,5956.
La corriente que continúa por la parte inferior de la placa, debe girar un ánguloαRpara mantenerse paralela a la misma. Se forma una onda de choque oblicua con Mach incidenteM1 =MR= 2,53y una deexión de la corrienteδ=αR= 13,33º. De las tablas de ondas de choque oblicuas se obtiene: β= 34,82º yM2=MBI =
1,97. El número de Mach normal incidente a la onda esM1n=MRsenαR= 1,44: Con este valor deM1n, de
las tablas de ondas de choque normales se obtiene:p2/p1 =pBI/pa= 2,268yT2/T1=TBI/TR= 1,284. Con estos valores se obtiene
pBI p∞ = pBI pa pa p∞ = 2,268×0,4374 = 0,9920, TBI T∞ = TBI TR TR T∞ = 1,284×0,7894 = 1,014.
Las respuestas al resto de las preguntas son: 8.- Número de MachMBI = 1,97.
9.- Relación de presionespBI/p∞= 0,9920. 10.- Relación de temperaturasTBI/T∞= 1,014.
