Boletín Temas 1 y 2 P 1

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Boletín Temas 1 y 2

Cargas puntuales: fuerza, campo, energía potencial y potencial electrostático

1. La expresión~F= 1 4πε0 q1q2 |~r1−~r2|2 ~r1−~r2 |~r1−~r2|representa:

a) La fuerza electrostática que la cargaq1ejerce sobre la cargaq2. b) La fuerza electrostática que la cargaq2ejerce sobre la cargaq1.

c) Tanto a) como b) son correctas. d) Ninguna de las anteriores. 2. La expresión~E= 1 4πε0 q |~r1−~r2|2 ~r1−~r2 |~r1−~r2| representa:

a) El campo electrostático creado en el punto~r1por la cargaq, situada en el punto~r2. b) El campo electrostático creado en el punto~r2por la cargaq, situada en el punto~r1.

c) Tanto a) como b) son correctas. d) Ninguna de las anteriores.

3. Considérese la integral de línea del campo electrostático entre los puntos~r1y~r2de la figura:

I= Z P2

P1 ~E·d~r. El valor deI es:

a) Mayor a lo largo de Cbque de Ca, ya que el camino de integración Cbtiene mayor longitud.

b) Mayor a lo largo de Caque de Cb, ya que los tramos ascendentes del camino Cbtienden a cancelar a los descendentes, resultando en un valor muy pequeño de la integral.

c) Igual a lo largo de Caque de Cb. 4. La expresiónV= 1

4πε0

q

|~r2−~r1|representa:

a) El potencial electrostático en el punto~r2debido a la cargaq, situada en el punto~r1. b) El potencial electrostático en el punto~r1debido a la cargaq, situada en el punto~r2.

c) Tanto a) como b) son correctas. d) Ninguna de las anteriores.

5. Comparar la fuerza de atracción gravitatoria entre dos electrones (F =Gmeme/r2 conG =6,672×10−11 N·m2/kg2) con la fuerza de repulsión eléctrica entre los mismos, sabiendo que la carga del electrón ese = 1,602×10−19Cy su masame=9,1095×10−31kg.

6. Calcular el trabajo que hay que realizar para acercar una cargaq=2µC desde un punto muy alejado (infi-nito) de una cargaq0=3µC hasta una distanciad=6 mm deq0.

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7. Un sistema está formado por dos cargas puntuales,q1= +125µC yq2= −64µC, situadas respectivamente en los puntos de coordenadas (0, 3) m y (0, 0) m. (a) Determinar el módulo de la fuerza con la que se atraen dichas cargas. (b) Obtener la fuerza,~F, que ejercen sobre una tercera cargaQ = +1µC situada en el punto (4, 0) m. Realizar un dibujo de la fuerza ejercida por cada carga sobreQ y de la fuerza total resultante. (c) Si partiendo del reposo en el punto (4, 0) se deja libre la cargaQ, calcular el trabajo que realiza la fuerza total ejercida porq1 yq2sobreQ así como la velocidad final que adquiere cuando alcanza el infinito (punto muy lejano deq1yq2) si su masa es de 2 gramos.

8. Dos cargas puntuales q1=5µC yq2=2µC se encuentran situadas en los puntosP1(0, 4) m y P2(3, 0) m, respectivamente.a)Calcular el vector fuerza electrostática que actúa sobre cada una de las cargas, así como el valor del vector campo electrostático en el puntoP3(3, 4) m.b)Si partiendo del reposo en el puntoP2se deja libre la cargaq2de forma que se mueva sometida a la interacción con la carga fijaq1, calcular el valor máximo que alcanzará su velocidadv2(en módulo) si su masa esm=0,04 g.

9. Sea una cargaq= +1 mC situada en el origen de coordenadas. Determinar: (a) el campo electrostático ge-nerado en un punto cualquiera de coordenadas (x,y,z); (b) la forma de la superficie de potencial constante (equipotencial) conV =45 MV así como la ecuación matemática de la misma; (c) el módulo de la fuerza ejer-cida sobre una cargaQ= +1µC situada en dicha superficie (d) y el trabajo realizado por el campo sobreQ en dos casos: (d.1) si se desplaza desde dicha superficie hasta la superficie equipotencial conV=20 MV y (d.2) si se desplazase desde la superficie de 45 MV hasta el infinito (r→ ∞).

10. Para acercar una cargaq2desde el infinito hasta una cierta distanciadde otra cargaq1de igual signo fue necesario un trabajo de 0,12 J.(a)¿Qué trabajo adicional debemos realizar si desde dicha posición queremos ahora acercarla más, hasta reducir la distancia a un tercio de su valor (esto es, hasta una distanciad/3)?(b) Sa-biendo queq1=4µC y que el módulo del campo eléctrico queq1 crea en la posición final deq2es de 400 kV/m, calcular el valor deq2 y el módulo de la fuerza que se ejercen mutuamente las cargas en su posición final (distanciad/3).(c)Calcular también el módulo del campo eléctrico total creado por ambas cargas en el punto medio entre ellas.

11. Dos cargas puntuales de igual valor,q, se encuentran dispuestas en los puntos de coordenadas (a, 0) y (−a, 0) (a) Calcular el potencial y el campo eléctrico generado por dichas cargas en un punto cualquiera de la parte positiva del ejey. (b) Aproximar las expresiones obtenidas en (a) para puntos del eje ymuy lejanos del origen de coordenadas despreciandoa2frente ay2, y comprobar que se transforman en las correspondientes a una carga de valor 2q(carga total del sistema) situada en el origen de coordenadas.

12. Repetir los apartados (a) y (b) del problema anterior suponiendo que las cargas tienen distinto signo, es decir, una carga positivaq colocada en (−a, 0) y otra negativa,−q, en (a, 0). (c) Determinar el trabajo que de-bemos realizar para, manteniendo la carga positiva fija, alejar la negativa hasta puntos muy lejanos (x→ +∞); ¿qué trabajo realiza la fuerza eléctrica atractiva ejercida por la carga fija durante este proceso?

Campo creado por distribuciones continuas de carga (*)

13. Considérese un anillo de radioRcargado uniformemente con una densidad de carga constanteλ(carga por unidad de longitud). Obtener el campo electrostático creado por dicho anillo en un punto de su eje situado a una distanciazde su centro.

14. (*)Usando el resultado del problema 13, calcular el campo electrostático creado por un disco de radioRy densidad de carga constanteσ(carga por unidad de superficie) en un punto de su eje situado a una distanciaz

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15. Usando el resultado del problema 14, calcular el campo electrostático creado por un plano infinito con densidad de carga constanteσ(carga por unidad de superficie) en cualquier punto del espacio.

16. (*)Considérese una barra de longitud 2l cargada uniformemente con una densidad de carga constanteλ (carga por unidad de longitud). Obtener el campo electrostático en un punto del plano medio de la barra situa-do a una distanciar del centro de la barra.

17. Usando el resultado del problema 16, calcular el campo electrostático creado por un hilo infinito con den-sidad lineal de carga constanteλen un punto situado a una distanciardel mismo.

Ley de Gauss (*)

18. Calcular el campo electrostático en cualquier punto debido a una esfera de radioRque posee una densi-dad de cargaρconstante en todo su volumen.

19. Calcular el campo electrostático en cualquier punto debido a un cilindro infinitamente largo de radioR

que posee una densidad de cargaρconstante en todo su volumen. Comentar el resultado obtenido en relación con el resultado del ejercicio 17.

20. (*)Calcular el campo electrostático en cualquier punto debido a una lámina plana de espesorhy extensión infinita que posee una densidad de cargaρconstante en todo su volumen. Comentar el resultado obtenido en relación con el resultado del ejercicio 15.

21. (*)Calcular el campo electrostático en cualquier punto debido a una esfera de radioRque posee una den-sidad de carga dada porρ(r)=n+33ρ0(r/R)n, dondeρ0es constante,r es la distancia al centro de la esfera y

n≥ −2.

22. (*)Calcular el campo electrostático en cualquier punto debido a un cilindro infinitamente largo de radioR

que posee una densidad de carga dada porρ(r)=n+22ρ0(r/R)n, dondeρ0es constante,r es la distancia al eje del cilindro yn≥ −1.

Campos electrostáticos uniformes

23. Sea un campo electrostático uniforme~E= −5 ˆikV/m. (a) Obtener el valor de la diferencia de potencial,

VAVB, entre un punto cualquiera (A) y el origen de coordenadas (B). A la vista del resultado obtenido, ¿cuáles serían pues las superficies equipotenciales? (b) ¿Cuánto caería el potencial si nos moviésemos una distancia de 3 m siguiendo una línea de campo?, ¿y si nos moviéramos la misma distancia pero formando un ángulo de 60o con las líneas de campo?

24. En una región del espacio se tiene un campo eléctrico uniforme orientado en el sentido positivo del ejexy de móduloE=4000 V/m. Una cargaq=2×10−6C se mueve bajo la acción del campo desde el puntoA(0, 0, 0) hastaB(3, 4, 5) m. Calcular la variación de energía cinética que experimenta dicha carga.

25. Un protón se mueve con una energía cinética de 8×10−16J en sentido contrario al campo electrostático uniforme en el que está inmerso y cuya magnitud esE=200 kV/m. Calcular la distancia que recorre el protón hasta detenerse. (Dato:e=1,6×10−19C).

26. Una partícula con carga positiva de 2 nC realiza una trayectoria en el planox ydesde el origen de coor-denadas hasta el punto (10, 3) mm en un campo~E=1, 5ˆjkV/m. ¿Cuánto varía su energía potencial en dicho

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recorrido (indique claramente si aumenta o disminuye)?

27. Un electrón (me=9,1×10−31kg ye=1, 6×10−19C) es lanzado con una velocidad de 2×106m/s

paralela-mente a las línea de un campo eléctrico uniforme de 5000 V/m. Determine: (a) la distancia recorrida cuando su velocidad ha disminuido a 0, 5×106m/s; (b) la variación de energía potencial que tiene lugar en ese recorrido. 28. Sea un campo el eléctrico uniforme de valor~E=Eˆj (E >0). (a) Indicar cómo son las líneas de campo y dibujarlas en el planox y. (b) Explicar cómo son las superficies equipotenciales y calcular la diferencia de po-tencialVAVBentre dos puntosAyBde coordenadas (xA,yA) y (xB,yB) respectivamente. (c) Si en un instante, que tomamos comot=0, colocamos en reposo en el origen de coordenadas una partícula positiva de cargaq

y masam, ¿cuánto vale la aceleración (vector) de la partícula? ¿cuál será su vector velocidad y su posición en un instantetposterior? (d) ¿cuánto varía (indique claramente si aumentan o disminuyen) su energía potencial y cinética en dicho intervalo de tiempo? ¿cuánto varía la suma de ambas energías?

29. Un electrón que viaja a una velocidad inicial de módulov0=1 Mm/s penetra perpendicularmente a un campo electrostático uniforme de 2 kV/m como se indica en la figura. Transcurrido 10 ns atraviesa la zona de campo. (a) Determinar la anchura de la zona de campo y cuánto se habrá desviado el electrón de la dirección inicial con la que penetró. (b) Calcular el incremento de la energía cinética del electrón que tiene lugar durante su paso por la zona de campo.

Conductores y Condensadores

30. En la figura se representan dos conductores en equilibrio electrostático. Sea∆V12la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 y∆V34la diferencia de potencial entre los puntos 3 y 4. Señalar cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:

a) ∆V12=∆V34.

b) ∆V12>∆V34, pues el campo eléctrico en la región entre los puntos 1 y 2 es muy intenso debido a la proximidad entre ambos conductores.

c) ∆V34>∆V12, pues la diferencia de potencial entre dos puntos viene dada por la integral de línea del campo electrostático a lo largo de un camino que une ambos puntos y se observa que los puntos 3 y 4 están separados una distancia mayor que los puntos 1 y 2.

31. Sobre una esfera conductora de radio 10 cm se deposita una carga positiva de 20µC. Calcular, una vez alcanzado el equilibrio electrostático, el módulo del campo eléctrico a una distancia del centro de la esfera igual a la mitad de su radio.

32. Teniendo en cuenta que el campo electrostático en el exterior de una esfera conductora con cargaQ es igual al que crearía una carga puntual de valorQ situada en el centro de la esfera, calcular la capacidad de un conductor esférico en función de su radio.

33. En un campo electrostático uniforme de móduloE=10 V/m se introduce un cilindro conductor de longi-tudL=1, 5 m con su eje paralelo al campo. Una vez alcanzado el equilibrio electrostático, calcular la diferencia de potencial entre los extremos del cilindro.

34. Sabiendo que el campo de ruptura del aire es de 3 MV/m, calcular la carga máxima que puede poseer una esfera metálica de radio 9 cm antes de que se produzca la ruptura dieléctrica del aire que la rodea y la consecuente corriente de descarga.

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35. Un conductor aislado en equilibrio electrostático tiene una determinada cargaQ. Si se aumenta su carga a 2Q, su capacidad:

a) Aumenta al doble. b) Disminuye a la mitad.

c) No varía.

d) En general, no tiene que cumplirse ninguna de las anteriores.

36. Un condensador plano tiene una capacidadC0en vacío. Si se introduce entre sus placas un dieléctrico de permitividad relativa (o constante dieléctrica)εr la capacidad del condensador:

a) No varía.

b) Aumenta en una cantidadεr, es decir,C=C0+εr.

c) Aumenta en un factorεr, es decir,C=C0εr.

d) Disminuye en una cantidadεr, es decir,C=C0−εr.

e) Disminuye en un factorεr, es decir,C=C0/εr.

f ) En general, no tiene que cumplirse ninguna de las anteriores.

37. Entre las placas de un condensador plano paralelo se tiene un campo eléctrico de móduloE=2500 V/m. Sabiendo que la distancia entre placas esd=0,002 m y que la carga de su placa positiva esQ=15×10−6C, calcular su capacidad.

38. Se construye un condensador plano de placas paralelas mediante dos chapas metálicas de 1 m2separadas 1 cm. Determinar: (a) la capacidad del condensador en vacío; (b) la constante dieléctrica relativa del material que debería colocarse entre las placas si se desea aumentar su capacidad para que sea de 10 nF; (c) la energía almacenada en cada caso (con y sin dieléctrico) si se fija un potencial de 100 V entre placas.

39. Se desea construir un condensador plano de 1 nF utilizando dos chapas metálicas de área 0,01 m2. (a) Calcular la distancia que debe haber entre placas si están separadas por aire. ¿Cuál sería el voltaje máximo que podemos aplicar entre placas sin que haya ruptura dieléctrica, teniendo en cuenta que el campo eléctrico de ruptura en el aire es de 3MV/m? ¿Cuál sería, pues, la energía máxima que podría almacenar sin que se produzca ruptura dieléctrica? (b) Repetir los cálculos anteriores si en lugar de aire colocásemos entre placas como dieléctrico vidrio con una constante dieléctrica 5ε0y siendo su campo de ruptura de 15 MV/m.

40. Se dispone deN condensadores idénticos de capacidadC. Al conectarlos todos ellos en paralelo y todos ellos en serie, la capacidad equivalente que se obtiene es:

a) Ceq=NCen serie yCeq=C/Nen paralelo. b) Ceq=NCen paralelo yCeq=C/Nen serie.

c) Ceq=NCen ambos casos. d) Ceq=C/N en ambos casos.

41. Las capacidades de los condensadores de la figura están expresadas enµF. (a) Determinar la capacidad equivalente entre los puntosxey; (b) si la carga en la placa izquierda del condensador de 5µF es de+120µC, encontrar el valor de la diferencia de potencial entre los puntosxya.

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Figuras

C

a

C

b

Problema 3 zona de campo

Problema 29 1 2 3 4 Problema 30

x

y

3

5

4

4

4

2

3

a

Problema 41

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