Estimación en multiplicación y división
Una vez los estudiantes han adquirido experiencia con elredondeo de números y se sienten cómodos con estimación en adición y sustracción, parece ser que el aprender a estimar en multiplicación y división es tan sólo un paso pequeño. Sin embargo esto no es del todo cierto. A medida que a los estudiantes se les pida que hagan sólo un estimado global, la estimación en la multiplicación y la división es comparable con la estimación en adición y sustracción.. Esto cambia cuando está envuelta una estimación más refinada y a los estudiantes se le pide indicar la magnitud de la desviación. Esta diferencia tiene que ver principalmente con el hecho de que los efectos de redondeo no están tan claros de la multiplicación y en la división porque las desviaciones y la falta de precisión aumentan. Un efecto de esto es que se hace más difícil entender que tipo de redondeo resulta en los mejores estimados. Esto es especialmente cierto cuando muchos números deben ser redondeados en un problema simple. En este punto, los estudiantes han entrado al terreno de una práctica matemática más diestra. Aprender a estimar en multiplicación y división es un proceso que va más allá de la escuela primaria.
De todos modos, se espera que todo estudiante de escuela primaria alcance la fase de estimación por regla directa en multiplicación y división con problemas donde solamente un número tiene que ser redondeado. En general, la estimación en problemas de división es más difícil que en la multiplicación. Por consiguiente, la división se asociará mejor con una multiplicación continua.
Estimación informal en multiplicación y división
La fase de estimación informal en multiplicación y división es el primer tipo de estimación en problemas de multiplicación y división que está presente dentro de la comprensión de los estudiantes. Durante esta fase, los problemas son escritos de tal manera que los números redondos utilizados para el cálculo son relativamente obvios. La regla del redondeo aún no se aplica de forma
explícita. Además las preguntas se presentan de manera que el calculo global es suficiente.. Esto significa que las preguntas serán usualmente de una de las siguientes: – ¿Hay suficientes?
– ¿Puede ser esto correcto?
Este tipo de estimación en multiplicación y división solo requiere el calculo exacto con números redondeados. ó
– 6 × 1500 es 9000 ó
2 × 1500 es 3000 y 3 × 3000 es 9000, por consiguiente he ahorrado suficientes puntos – 5000 ÷ 5 es 1000 ó
1000 × 5 es 5000,
por consiguiente "casi 1000" es la mejor respuesta. El problema anterior parece ser simple, pero si los niños quieren usar esta forma de cálculo con números enteros, ellos tendrán una base sólida en el área de redondeo de números. Si no han llegado a esta fase, entonces probablemente se atascaran en la próxima.
El nivel de razonamiento que se necesita para este tipo de problemas no debe ser menospreciado. Esto se ha demostrado mediante la siguiente conversación con un estudiante de grado 5 acerca de los precios para 7 letras ornamentales.5
> Nuevo: Cucharas expreso, 1495 puntos cada una. He ahorrado 10,000 puntos.
¿Tengo suficientes puntos para comprar 6 cucharas? > Se vendieron 4985 boletos de lotería.
El costo de cada boleto es de 5 euros.
¿Cuántos boletos se vendieron aproximadamente? a. casi 1000
b. casi 750 c. casi 500
Maestro: "Si Arlette compra la letras, le costarán 28 euros en total?”
Eveline: “… Si...7 veces 3 es 21 y si le añades 90 centavos, tendrás casi 28 euros. Quizás un poquito más de 28." Maestro: "¿Un poco más de 28?"
Eveline: “"Eso creo"
Nicole,otra estudiante de otra clase de grado 5, responde la misma pregunta en forma diferente.6 . Ella sabe que las siete letras costarán menos de 28 euros.
Nicole: "7 veces 4 es 28. Pero debe ser 7 veces 3. 95 y eso es menos que 4 euros. Así es que utilizar 4 como el precio es suficiente."
Para su compañera Maddy, la discusión acerca de la estimación —con alguna guía del maestro—la conduce a una estrategia práctica para determinar la respuesta exacta. Maestro: “¿Son suficientes 100?”
Esto hace que Maddy se ría y conteste: “Si.” Maestro: “¿Son suficientes 50 euros ?” Sin pensarlo Maddy contesta que si. Maestro: “¿28 son suficientes?” Maddy: “Creo que si .”
Maestro: “¿Son suficientes 21 euros?” Maddy contesta inmediatamente: “No.” Maestro: ¿”Son suficientes 27 euros?”
Maddy: “Uh…no… ah …si… no es suficiente. . Porque si multiplico 7 por 3 son 21 euros.”
Entonces Maddy dice: "Todavía faltan 95 centavos. Asumamos que he guardado eso. Entonces redondeo a un
euro. Multiplico ese euro por 7. Eso es 7 euros. Entonces se añade 21 más 7 y eso es 28. Pero aún tienes demasiado. Multiplico 5 centavos por 7, y eso es 35, así es que se resta 35 centavos. A ver, eso son 27.65 euros.”
Otro estudiante de la misma clase formula su método práctico de cálculo en una forma más breve.
Patrick: “Si primero multiplico 7 veces 4 que es 28… uh … eso es 28 euro. En este punto he colocado 7 veces 5 centavos demás, así es que resto esta cantidad.”
Estimación con regla dirigida en multiplicación y división
El próximo paso es aplicar la regla de redondeo a la estimación en multiplicación y división. Trabajar de acuerdo a éstas recetas es necesario si los números enteros usados con el cálculo ya no son tan obvios como el caso de los siguientes problemas.
Durante la discusión del siguiente problema, se comparan las varias estimaciones. En este momento la clase discute >Las letras ornamentales cuestan 3.95 euros cada una. Arlette compra
siete letras para colocarlas en la puerta de su dormitorio. Aproximadamente ¿cuánto le costaron?
> Hay varios tipos de letras ornamentales.
Letras demadera: 3.85 euro each
Letras de cobre: 5.35 euro each
Letras en plástico: 2.55 euro each
ANNEKE compra seis letras paraponerlas enla puerta de su dormitorio
Calcula cuánto le costará su nombre en los diferentes tipos de letra. Puedes calcular con euros enteros.
que tipo de redondeo es el más adecuado para las diferentes cantidades.
La pregunta para redondear 2. 55 euro es un asunto aparte. De acuerdo a la regla de redondeo, esta cantidad debe ser redondeada hacia arriba pero redondear esta cantidad a 2.50 también es posible.
Cuando escogen un método para redondear, los niños deben decir si el estimado va ser mayor o menor de la respuesta exacta. Existen dos tipos de cualificaciones para el estimado: el cualitativo "arriba-abajo" y el cuantitativo "cuánto más arriba-abajo". Este último puede conducir a un método práctico para determinar la respuesta exacta, pero esto es posible para la mayoría de los estudiantes de la escuela primaria sólo si se redondea un solo número en problemas de división y multiplicación.
El ajuste del estimado es mucho más difícil si varios números tienen que ser redondeados en los problemas. El siguiente problema es un ejemplo de esto.
De primera intención esto aparenta ser un problema de estimación simple. Sin embargo se hace más difícil cuando se le preguntó a los estudiantes si el estimado es más bajo o más alto el calculo exacto de 18 x 32. La siguiente ilustración muestra que el estimado es mayor a la respuesta precisa. Esta aplicación se provee como información de trasfondo. No se puede esperar que los niños entiendan esta forma de razonar.
Si 18 sillas se redondea a 20 y 32 se redondea a 30 entonces una hilera de 2 unidades de ancho ser remueve de un rectángulo 18 x 32, mientras que una hilera de 2 unidades de ancho se le añade a la base del rectángulo. Esta hilera que se remueve del lado derecho del rectángulo es mas corta que la que se añade en la base.
Si piensas con mayor profundidad acerca de estos dibujos, se hará obvio que la desviación de la respuesta precisa se hace más pequeña a medida que la multiplicación se hace más "cuadrada".
Este problema hace evidente que la estimación algunas veces aparenta ser simple, cuando ciertamente es difícil. Los problemas de multiplicación y división donde varios números deben ser redondeados excede los niveles del programa de la escuela primaria. No obstante, el hecho de que los estudiantes algunas veces llegan a un buen estimado es usualmente el resultado de los números específicos que se han usado. Esto se muestra en el problema a continuación donde la regla de redondeo que requiere que los números sean redondeados al número entero más próximo conduce un estimado razonable cercano a la respuesta exacta.
>En el auditorio hay 18 hileras con 32 sillas cada una. Aproximadamente, ¿cuántas sillas hay en total?
30 20
32 18
>La caja de un camión mire 8.92 metros de largo, 2.09 metros de ancho y 2.89 metros de alto. ¿Cuál es la mejor manera para estimar el volumen de esta caja?
A. 8 × 2 × 2 m3 = 32 m3 B. 9 × 2 × 2 m3 = 36 m3 C. 9 × 2 × 3 m3 = 54 m3 D. 9 × 3 × 3 m3 = 81 m3
Pero con la próxima versión del problema, esto no sería necesariamente el caso.
Si se utiliza con este problema, el enfoque estándar resulta en una desviación relativamente grande. Después de todo, esto se debe a que dos de los números fueron redondeados hacia arriba (8.62 y 2.55). Los mejores estudiantes podrían sugerir que un número se redondea hacia arriba y otro hacia abajo.
Otro método apropiado que es más obvio es redondear 8. 62 hacia arriba,:2. 09 hacia abajo y convertir 2.55 en 2.50. La estimación se puede hacer entonces multiplicando 9 x 2 x 2.5 ó 9 x 5. Este último método queda fuera de la
y marca la transición a la estimación flexible.
Estimación flexible en multiplicación y división
Sólo algunos estudiantes de escuela primaria serán capaces de aprender este método más refinado de estimación en multiplicación y división.
Ajustando el proceso del redondeo
Algunos estudiantes descubrirán que la mejor forma de estimación en multiplicación-como en la adición-puede ser obtenido si el redondeo toma lugar en direcciones opuestas (un número se redondea hacia arriba y el otro hacia abajo). Con la división sin embargo, es mejor redondear el dividendo y el divisor en la misma dirección. Este es el mismo el principio de redondeo utilizado en sustracción. Como en la sustracción, donde la distancia debe de mantenerse lo más constante posible, en la división la relación entre el dividendo y el divisor debe ser mantenida lo más constante posible. Sin embargo, los estudiantes deben notar que esta regla sólo aplica a los números que no difieren demasiado en magnitud.
Ajustando el redondeo de números
En vez de redondear al número más próximo, es también posible redondear a un número próximo familiar o conocido con el cual sea fácil calcular.
De esta manera las repuestas a los problemas > 7312 ÷ 23
≈
> 3963 × 23
≈
> 27 × 48≈
no pueden ser estimados calculando – 7000 ÷ 20
– 4000 × 20 – 30 × 50
pero también, por ejemplo, calculando – 7500 ÷ 25
– 4000 × 100 ÷ 4
– 13 × 100 (dividiendo en dos y duplicando).
Estos ejemplos demuestran que los estudiantes más diestros en aritmética mental pueden llegar a sus propias >La caja del camión tiene 8. 62 m de largo, 2.09 m de ancho y 2.55 m
de alto. ¿Cuál será la mejor manera de estimar el volumen de este espacio para carga?
A. 8 × 2 × 2 m3 = 32 m3 B. 9 × 2 × 2 m3 = 36 m3 C. 9 × 2 × 3 m3 = 54 m3 D. 8 × 2 × 3 m3 = 48 m3 C E D SLO
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A finales de grado 5, los estudiantes pueden estimar problemas de división y multiplicación hasta diez mil, donde ellos puedan redondear de acuerdo al procedimiento estándar. Al finalizar el grado 6, los estudiantes pueden usar la estimación en problemas de multiplicación y división con números hasta el millón y pueden decidir por su cuenta cuál es el método más práctico para el redondeo. Para problemas donde solamente hay que redondear un número ellos también pueden determinar si la repuesta estimada es mayor o menor que la respuesta exacta. Algunos niños serán capaces de estimar la magnitud de la desviación y podrá utilizar esta información para aplicar estrategias de redondeo más refinadas.
Si los niños están familiarizados con el redondeo de números y utilizar la estimación en adición y substracción, ellos pueden gradualmente hacer la transición para usar la estimación con multiplicación y división (o con multiplicación continua). Para llegar hasta este punto, los estudiantes teóricamente necesitan las mismas destrezas que en la estimación para adición y sustracción. Los problemas utilizados deben fomentar el uso de la estimación, los números deben de acomodarse para el redondeo y la repuestas estimadas deben de ofrecer suficiente certeza de manera que el calculo exacto no tiene que ser utilizado. Porque la estimación en la multiplicación y división requiere buenas destrezas de calculo con números enteros, los estudiantes deben tener una buena base en esta área. Ellos deben estar especialmente diestros en el área de aritmética mental con números con ceros.
Sin embargo, comparado con la estimación en suma y resta, estimar en problemas de multiplicación y división es mucho más difícil. Durante las primeras dos fases del proceso de aprendizaje, donde los números son seleccionados de tal manera que puedan ser redondeados de manera estándar, esta diferencia no es tan dramática Para la mayoría de los niños la fase de estimación informal y con regla dirigida de multiplicación y división está dentro de su alcance. El ajustar el estimado y modificar el proceso de redondeo es más difícil. Esta fase de estimación flexible con multiplicación y división es solamente posible para algunos estudiantes.
