Indice basado en potencia para la comparación de robots paralelos

(1)

´

_{Indice Basado en Potencia para la}

Comparaci´

on de Robots Paralelos

Juan David L´

opez Guti´

errez

Universidad de los Andes Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica

Bogot´a, Colombia 2014

(2)

´

_{Indice Basado en Potencia para la}

Comparaci´

on de Robots Paralelos

Juan David L´

opez Guti´

errez

Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al t´ıtulo de: Magister en Ingenier´ıa Mec´anica

Director:

Carlos Francisco Rodr´ıguez Herrera, PhD

L´ınea de Investigación: Dinámica de Robots Grupo de Investigación:

Grupo de investigación en automatización para la producción (GIAP)

Universidad de los Andes Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica

Bogot´a, Colombia 2014

(3)

Don’t only practice your art, but force your way into its secrets; art deserves that, for it and knowledge can raise man to the Divine.

(4)

Agradecimientos

A mis pap´as y mi hermano por su apoyo incondicional.

A Carlos Francisco y a Luis, por su apoyo y consejos dentro y fuera de la universidad. A Ana por estar siempre pendiente de m´ı.

(5)

v

Resumen

Un nuevo ´ındice de desempe˜no basado en potencia es presentado, para ser utilizado en una

metodolog´ıa de comparaci´on de robots paralelos. Este ´ındice cuantifica que tanto de la

poten-cia que se le introduce a un mecanismo se convierte en movimiento. Generalmente, n´umero

de condicionamiento de la matriz Jacobiana y los elipsoides de manipulabilidad son

utiliza-dos como ´ındices para cuantificar la relaci´on de fuerza o velocidad entre el efector final y

las uniones en donde se aplica la fuerza generalizada de entrada. Sin embargo estos ´ındices

son sensible a las dimensiones de la entrada y la salida, ya que est´an basados en la matriz

Jacobiana, por lo que no puede ser utilizado para la comparaci´on de diferentes tipos de

es-tructuras. Para para superar el inconveniente de la incompatibilidad dimensional se plantea

el concepto de potencia reactiva para poder cuantificar las p´erdidas que se presentan en un

robot y, con base en este concepto, se define el ´Indice de Potencia Reactiva (IPR). El ´ındice

propuesto es utilizado como funci´on objetivo en la dise˜no de una estructura paralela para

una aplicaci´on dada. Los resultados obtenidos muestran que el ´ındice propuesto permite la

optimizaci´on de diferentes tipos de estructuras paralelas, al igual que su comparaci´on,

lo-grando as´ı, la selecci´on de la mejor estructura para la aplicaci´on propuesta.

Palabras clave: Robots Paralelos, Cinemática de Robots, Dinámica de Robots, Índices de Desempeño Cinetoestáticos, Índices de Desempeño Dinámicos, Diseño de Robots.

Abstract

A new performance index based on power is presented, to be used in a methodology for the comparison of parallel robots. This index quantifies how much of the power that is introdu-ced to manipulator is transformed into motion. Generally, the conditioning number of the Jacobian matrix and the manipulability ellipsoids are used as indices to quantify the force or speed relationship between the end effector and the input joints. However, these indices are sensitive to the dimensions of the input and the output, since they are based on the Jacobian matrix, therefore can not be used for the comparison of different types of structures. In order to overcome the drawback of the dimensional incompatibility the concept of reactive power is presented to quantify the losses that occur in a robot and, based on this concept, the Reac-teve Power Index is presented (IPR) is defined. The proposed index is used as a objective function in the design of a parallel structure for a given application. The results show that the proposed index allows the optimization of different types of parallel structures, as well as their comparison, achieving the selection of the best structure for the proposed application.

Keywords: Parallel Manipulators, Robot Kinematics, Robot Dynamics, Kinetostatic Performance Indices, Dynamic Performance Indices, Robot Design.

(6)

Contenido

Agradecimientos IV

Resumen V

Contenido VII

Lista de Figuras IX

Lista de Tablas X

Lista de S´ımbolos XI

1. INTRODUCCI ´ON 1

2. POTENCIA REACTIVA 4

2.1. Potencia Activa . . . 4

2.1.1. Velocidad . . . 4

2.1.2. Fuerzas activas generalizadas . . . 5

2.1.3. Potencia activa . . . 5

2.2. Potencia Reactiva . . . 6

3. ´INDICE DE POTENCIA REACTIVA PARA MECANISMOS SIMPLES 8 3.1. ´Indice de Potencia Reactiva para Mecanismos Simples (IPRMS) . . . 8

3.2. Aplicaci´on . . . 8

3.2.1. Entrada lineal / Salida lineal . . . 9

3.2.2. Entrada rotacional / Salida lineal . . . 13

3.3. Fuerza Interna . . . 18

3.3.1. Definici´on . . . 18

3.3.2. Aplicaci´on: Mecanismo 5 Barras . . . 20

4. ´INDICE DE POTENCIA REACTIVA GLOBAL 24 4.1. ´Indice de Potencia Reactiva Global (IPRG) . . . 24

4.2. Aplicaci´on . . . 25

4.2.1. Plataforma 3RPS . . . 26

(7)

Contenido vii

4.3. Discusi´on de resultados . . . 29

5. CASO DE ESTUDIO 32 5.1. S´ıntesis Estructural . . . 32

5.1.1. An´alisis Cinem´atico . . . 33

5.1.2. An´alisis Din´amico . . . 34

5.2. S´ıntesis Dimensional . . . 37

5.3. Resultados . . . 39

6. CONCLUSIONES 44

(8)

Lista de Figuras

1-1. Esquema actual de dise˜no de robots paralelos. . . 2

1-2. Esquema propuesto para el dise˜no de robos paralelos. [21] . . . 2

3-1. Mecanismo Empujador Lineal. . . 9

3-2. Representación gráfica de la velocidad del mecanismo Empujador Lineal y las fuerzas que actúan sobre su efector final. . . 10

3-3. IP RM S y V M para el mecanismo Empujador Lineal. . . 11

3-4. Mecanismo Exprimidor. . . 12

3-5. Representación gráfica de la velocidad del mecanismo Exprimidor y las fuerzas que actúan sobre su efector final. . . 12

3-6. IP RM S y V M para el mecanismo Exprimidor. . . 13

3-7. Mecanismo Biela-Manivela. . . 14

3-8. Representación gráfica de la velocidad del mecanismo Biela-Manivela y las fuerzas que actúan sobre su efector final. . . 15

3-9. V M y IP RM S para el mecanismo Biela-Manivela. . . 16

3-10.Mecanismo de retorno r´apido de Whitworth. . . 16

3-11.Representación gráfica de la velocidad del mecanismo de retorno rápido de Whitworth y las fuerzas que actúan sobre su efector final. . . 17

3-12.V M y IP RM S para el mecanismo de retorno r´apido de Whitworth. . . 18

3-13.Esquemas de una mano rob´otica. . . 19

3-14.Mecanismo de 5 Barras . . . 20

3-15.Caracter´ısticas de mecanismo de 5 Barras. . . 21

3-16.Velocidad y fuerza generalizada de los actuadores del mecanismo de 5 barras. 22 3-17.Fuerza interna y fuerza reactiva del mecanismo de 5 barras. . . 23

3-18.´Indice de Potencia Reactiva para cada cadena cinem´atica del mecanismo de 5 barras. . . 23

4-1. Trayectoria del efector final. . . 25

4-2. Plataforma 3RPS. . . 26

4-3. IPRG1 y IPRG2 para la plataforma 3RPS. . . 28

4-4. N´umero de condicionamiento y manipulabilidad para la plataforma 3RPS. . 28

4-5. Plataforma 3RRS. . . 29

(9)

Lista de Figuras ix

4-7. N´umero de condicionamiento y manipulabilidad para la plataforma 3RRS. . 30

5-1. S´ıntesis estructural para el casi de estudio. . . 33

5-2. Cadena cinem´atica de la plataforma 3RRS . . . 35

5-3. Esquema general del modelo de SimMechanics . . . 37

5-4. Esquemas de las cadenas cinem´aticas de los diferentes robots paralelos. . . . 38

5-5. Velocidad de los actuadores. . . 39

5-6. Potencia activa de los actuadores. . . 40

5-7. Velocidad reactiva. . . 40

5-8. Fuerza reactiva. . . 41

5-9. Potencia reactiva. . . 41

5-10.´Indices de Potencia Reactiva Global. . . 42

(10)

Lista de Tablas

3-1. Caracter´ısticas del mecanismo de 5 barras. . . 21

4-1. Caracter´ısticas de la plataforma 3RPS. . . 27

4-2. Caracter´ısticas de la plataforma 3RRS. . . 29

5-1. Caracter´ısticas del algoritmo gen´etico. . . 39

5-2. Resumen de la s´ıntesis dimensional. . . 40

5-3. Caracter´ısticas geom´etricas de la s´ıntesis del robot 3RPS. . . 42

(11)

Lista de s´ımbolos

En esta secci´on se incluyen los s´ımbolos generales (con letras latinas y griegas) y abreviaturas utilizadas a lo largo de este documento.

S´ımbolos con letras latinas

S´ımbolo T´ermino

di Longitud de la i-´esima cadena cinem´atica de la plataforma 3RP S.

fi i-´esima fuerza de contacto.

b

f Fuerza Reactiva.

g Aceleraci´on debido a la gravedad.

I Tensor de inercia del efector final.

J Matriz jacobiana.

J(x) Funci´on objetivo del algoritmo de optimizaci´on.

l1i Longitud del cuerpo 1 de la i-´esima cadena cinem´atica de la plataforma 3RRS.

l2i Longitud del cuerpo 2 de la i-´esima cadena cinem´atica de la plataforma 3RRS.

m Masa del efector final.

b

N Marco de referencia inercial.

P Potencia activa.

b

P Potencia Reactiva.

qi i-´esima coordenada generalizada.

R Fuerzas que act´uan sobre un punto P.

A_RB _{Matriz de rotaci´}_{on del marco B al marco A.}

S Sistema simple no holon´omico.

ui i-´esima velocidad generalizada.

vP Velocidad lineal del punto P.

(12)

parcial-xii Lista de Tablas

x Variable de dise˜no del algoritmo de optimizaci´on.

S´ımbolos con letras griegas

α Angulo de entrada de una cadena cinem´´ atica.

γ ´Indice de Potencia Reactiva para Mecanismos Simples.

Γ1 ´Indice de Potencia Reactiva Global 1.

Γ2 ´Indice de Potencia Reactiva Global 2.

κ N´umero de condicionamiento de la matriz Jacobiana.

τ Fuerza generalizada.

$ Manipulabilidad.

ϕd Trayectoria de prueba deseada.

ωi i-´esima velocidad angular parcial.

ω Velocidad angular del cuerpo B con respecto al cuerpo A,

Abreviaturas

Abreviatura T´ermino

3RP S 3 cadenas cinemáticas con uniones Rotacional, Prismática actuada y Esférica, cada una.

3RRS 3 cadenas cinem´aticas con uniones Rotacional actuada, Rotacional y Esf´erica, cada una.

GDL Grado de Libertad.

IPRMS ´Indice de Potencia Reactiva para Mecanismos Simples.

IPRG ´Indice de Potencia Reactiva Global.

(13)

1 INTRODUCCI ´

ON

El dise˜no de robots o manipuladores paralelos es un campo de estudio que ha aumentado

debido a las ventajas que estos poseen con respecto a los robots seriales o antropom´orficos,

ya que al repartir la carga ´util entre las varias cadenas cinem´aticas cerradas que componen

los brazos se obtiene un sistema m´as ligero y con menor inercia, lo cual permite disminuir la

potencia de los actuadores y lograr un control m´as preciso. Autores como Merlet [17] y Gogu

[8] plantean que el dise˜no conceptual de un robot paralelo puede dividirse en dos etapas: la

primera es la s´ıntesis estructural, que consiste en determinar el arreglo de los componentes

y el tipo de uni´on entre ellos. La segunda es la s´ıntesis dimensional, en esta se determinan

las longitudes de los componentes y su ubicaci´on en el espacio.

Se han adelantado estudios sobre la s´ıntesis estructural de robots paralelos y, como se

men-cion´o anteriormente, en la mayor´ıa de trabajos la selecci´on de la mejor estructura se hace

con base en la experiencia o en la combinaci´on de uniones que permitan los mismos grados

de libertad (de ahora en adelante llamado GDL) de robots paralelos comunes, por ejemplo la plataforma de 6 GDL Stewart-Gough y el Robot Delta de 3 GDL [7]. Solo muy pocos

trabajos hacen un estudio sistem´atico para poder seleccionar la estructura del robot paralelo

que mejor se ajuste a los requerimientos del problema. Ejemplos de estudios sistem´aticos son

el de Gogu [8], [9], en donde plantea un algoritmo basado en transformaciones lineales para generar estructuras con diferentes uniones pero que posean la misa conectividad, movilidad

y redundancia. Tambi´en se destaca el trabajo realizado por Alejandro Villaveces [21] en la

Universidad de los Andes, donde eval´ua ´ındices de desempe˜no para seleccionar la estructura

que mejor se ajuste para el desarrollo de un simulador de una embarcaci´on.

Por otro lado, la s´ıntesis dimensional se realiza mediante la evaluaci´on de ´ındices de

desem-pe˜no, en donde los m´as utilizados son aquellos que se basan en la matriz Jacobiana, como por

ejemplo el n´umero de condicionamiento de la matriz Jacobiana [8], [9], [20] que representa

la calidad de transmisi´on de fuerza y velocidad para una posici´on del robot paralelo y el

elipsoide de manipulabilidad [17], el cual ilustra la tendencia de movimiento del efector final sobre su eje de coordenadas dadas una entrada unitaria en las uniones actuadas.

La metodolog´ıa de dise˜no de robots paralelos utilizada actualmente se muestra en la

Figu-ra1-1, en donde se selecciona una estructura con base en la experiencia y esta es optimizada

para que maximice uno o algunos ´ındices de desempe˜no, como ya se mencion´o

anteriormen-te. La razón para no hacer un estudio sistemático para la selección de las estructuras de los robots paralelos radica en que los ´ındices mencionados anteriormente, junto con otros que

(14)

calcu-2 1 INTRODUCCI ´ON

WůĂƚĂĨŽƌŵĂĚĞ ĚŝƐĞŹŽſƉƚŝŵŽ ^1Ed^/^

/DE^/KE>

^ĞůĞĐĐŝſŶĚĞ ůŽŶŐŝƚƵĚĞƐǇ ƵďŝĐĂĐŝſŶĚĞƵŶŝŽŶĞƐ

s>h/ME ^DWHK

1ŶĚŝĐĞĚĞ ĚĞƐĞŵƉĞŹŽ WƌŽďůĞŵĂĚĞ

ĂƉůŝĐĂĐŝſŶ

^1Ed^/^ ^dZhdhZ>

^ĞůĞĐĐŝſŶĚĞƵŶĂ ĞƐƚƌƵĐƚƵƌĂƉŽƌ ŝŶƚƵŝĐŝſŶŽĞǆƉĞƌŝĞŶĐŝĂ

Figura 1-1: Esquema actual de dise˜no de robots paralelos.

lar auto vectores, auto valores o determinantes, el resultado ser´a una mezcla de unidades

lineales y rotacionales, que f´ısicamente es inconsistente y no representa comparativamente el comportamiento de los manipuladores. Adicionalmente, para manipuladores en donde la matriz Jacobiana no es cuadrada, algunos ´ındices no son viables dimensionalmente. Es por esta raz´on

Por los inconvenientes que se generan al utilizar los ´ındices basados en la matriz Jacobiana se

han planteado ´ındices que pueden relacionar tanto las uniones prism´aticas como las uniones

rotacionales, estos ´ındices est´an basados en la potencia. Por ejemplo Wang [22] plantea un

´ındice que relaciona la potencia que entrega cada pata con la potencia final que recibe el

efector final para poder hacer una evaluaci´on de la transmisibilidad de movimiento y de

fuerza en el manipulador. Se destaca el trabajo de Alejandro Villaveces [21], en donde se

plantea una metodolog´ıa para el dise˜no de robots paralelos mostrada en la Figura 1-2. La

metodolog´ıa plantea tres diferentes etapas, realizadas secuencialmente:

1. S´ıntesis Estructural:Generación de diferentes estructuras para una aplicación dada. 2. S´ıntesis Dimensional: Optimización de las diferentes estructuras planteadas para

encontrar las longitudes caracter´ısticas que minimicen el ´ındice de desempe˜no.

3. Evaluación de Desempeño: Selección de la estructura con mejor ´ındice de desem-peño.

^1Ed^/^ ^dZhdhZ>

'ĞŶĞƌĂĐŝſŶĚĞ ůƚĞƌŶĂƚŝǀĂƐ

WůĂƚĂĨŽƌŵĂĚĞ ĚŝƐĞŹŽſƉƚŝŵŽ

^1Ed^/^ /DE^/KE>

^ĞůĞĐĐŝſŶĚĞ ůŽŶŐŝƚƵĚĞƐǇ ƵďŝĐĂĐŝſŶĚĞƵŶŝŽŶĞƐ

s>h/ME ^DWHK

1ŶĚŝĐĞ ŽŵƉĂƌĂƚŝǀŽ

^>/ME >D:KZ W>d&KZD

WƌŽďůĞŵĂĚĞ ĂƉůŝĐĂĐŝſŶ

Figura 1-2: Esquema propuesto para el dise˜no de robos paralelos. [21]

Sin embargo, estos nuevos ´ındices se basan en la potencia luego solo tienen en cuenta la fuerza o momento que genera movimiento en el efector final del manipulador [10], [6], es por esto que se busca plantear un ´ındice que no solo relacione las fuerzas activas sino que

(15)

3

Ya se han venido haciendo estudios con respecto a este tema y se han propuesto s´ımiles

con la potencia el´ectrica reactiva [15], [5] sin embargo en este trabajo se pretende realizar

un acercamiento desde el punto de vista dinámico, partiendo de la formulación dinámica de

Kane y las fuerzas no contributivas [10] y el concepto de fuerza interna utilizado para el control de fuerza de robots cooperativos para el movimiento de objetos [19], [18], [4]. Este

trabajo presenta una metodolog´ıa de comparaci´on de robots paralelos basada en un ´ındice

de potencia reactiva. Para esto, se define la potencia reactiva, como una forma de cuantificar

las p´erdidas que se producen en un mecanismo y, seguidamente, se plantea el ´ındice de

desempe˜no (IPRMS) relacionando la potencia reactiva con la potencia activa de mecanismos

planares de 1 GDL y compar´andolo con la ventaja mec´anica. Posteriormente se introduce el

concepto de fuerza interna para validar los resultados obtenidos con el ´ındice propuesto y a

continuaci´on se plantea el ´ındice de desempe˜no global (IPRG) para robots paralelos, el cual

es comparado con la el n´umero de condicionamiento de la matriz Jacobiana. Por ´ultimo, se

presenta un caso de estudio en donde se ejemplifica la utilizaci´on del ´ındice propuesto dentro

de la metodolog´ıa planteada para la selecci´on del mejor robot paralelo para una aplicaci´on

(16)

2 POTENCIA REACTIVA

En esta secci´on se plantea el concepto de Potencia Reactiva a partir de las ecuaciones de

movimiento de Kane [10], este concepto cuantifica la cantidad de perdidas que se presentan en un mecanismo expresadas en potencia. En primer lugar se define la Potencia Activa como

la proyecci´on de las fuerzas generalizadas sobre la velocidad lineal o velocidad rotacional, y

luego, con los conceptos planteados por Kane, se introduce la velocidad reactiva y la fuerza reactiva.

2.1. Potencia Activa

Si se tiene un sistema simple no holon´omico S el cual tiene n grados de libertad en un

marco de referencia inercial Nb, el movimiento de cualquier punto y cuerpo que pertenezca

a S se puede expresar utilizan dos diferentes tipos de cantidades escalares. El primer tipo

son las coordenadas generalizadas (qi, . . . , qn), las cuales son el m´ınimo n´umero de escalares

necesarios para expresar el movimiento de todo el sistema S. El segundo tipo de cantidades

escalares son las rapideces generalizadas, las cuales, si se escogen adecuadamente, pueden

hacer que las velocidades lineales de puntos del sistemaS o velocidades angulares de cuerpos

r´ıgidos deSpuedan ser expresadas de formas que resultan ventajosas al momento de plantear

las ecuaciones de movimiento. Estas cantidades est´an definidas de la siguiente manera:

ur, n X

i=i

Yriq˙i+Zr r= 1, . . . , n (2-1)

En donde Yri y Zr son funciones deq1, . . . , qn y el tiempo.

2.1.1. Velocidad

Teniendo las rapideces generalizadas del sistema, la velocidad angular,ω, enNb de un cuerpo

r´ıgido B que pertenece a S y la velocidad lineal, v, en Nb de un punto P de S se pueden

(17)

2.1 Potencia Activa 5

ωB =

n X

i=i

ωiui+ωt (2-2)

vP =

n X

i=i

viui+vt (2-3)

Donde ωi, vi para (i= 1, . . . , n), ωi y vi son funciones de las coordenadas generalizadas y

del tiempo. El vector ωi se denomina i-´esima velocidad angular parcial de B en Nb y vi se

denomina i-´esima velocidad parcial deP enNb. Estos vectores muestran el cambio de la

velo-cidad del punto P y la velocidad angular deB respecto a un cambio en ˙qi, respectivamente,

luego estos vectores van en la direcci´on de movimiento del puntoP y del cuerpo B.

2.1.2. Fuerzas activas generalizadas

El vector resultante de todas las fuerzas que act´uan sobre un punto Pi de un cuerpo S

est´a definido por:

R_,

n X

i=1

fi (2-4)

En donde fi corresponde a las fuerzas de contacto (por ejemplo, las fuerzas de fricci´on) y

a las fuerzas de desplazamiento (por ejemplo, fuerzas gravitacionales, fuerzas magn´eticas,

y as´ı sucesivamente). De todas estas fuerzas que act´uan sobre Pi, solo unas contribuyen al

movimiento, estas son llamadas fuerzas activas generalizadas y se definen como:

Fr , n X

i=1

vPi

r ·Ri r= 1, . . . , n (2-5)

Se puede observar que de todas las fuerzas R, solo aquellas que est´an proyectadas sobre el

vector que determina el movimiento del cuerpo (velocidad parcial), producen movimiento.

2.1.3. Potencia activa

La potencia es la raz´on con la que cambia la energ´ıa de un sistema en el tiempo, suponiendo

que todos los elementos son r´ıgidos y que las fuerzas inerciales son significativamente m´as

grandes que las fuerzas debido a los pesos de los elementos, la potencia del sistema est´a dada

por:

(18)

6 2 POTENCIA REACTIVA

2.2. Potencia Reactiva

As´ı como de todo el conjunto de fuerzas que act´uan sobre un sistemaShay unas que

contribu-yen al movimiento, hay otras que no tienen contribuci´on en las fuerzas activas generalizadas

Fr. (de hecho, es por esto raz´on que estas ´ultimas son llamadas activas). Por ejemplo las

fuerzas de contacto que son ejercidas por una superficie a las part´ıculas del cuerpo S no

contribuyen a Fr. Como se desea conocer el efecto de las fuerzas no contributivas, Kane [10]

plantea una forma de poner en evidencia el efecto de estas dentro de la formulaci´on din´amica

y es introducir una velocidad generalizada relacionada a esta fuerza en particular. Al

intro-ducir esta velocidad generalizada se est´a permitiendo que se cree una velocidad parcial para

el punto donde se est´a aplicando la fuerza no contributiva, esto quiere decir que el producto

de la ecuaci´on (2-5) no es cero.

Lo que se hace entonces, es permitir que ciertos puntos de S tengan una velocidad lineal

o que cuerpos tengan velocidades angulares que es imposible que tengan. Esto no afecta la

formulación dinámica ni el resultado final ya que no se están introduciendo nuevas

coor-denadas generalizadas. Al formar las expresiones de las nuevas velocidades generalizadas y

velocidades parciales, estas quedan expresadas en t´erminos de las coordenadas generalizadas

del sistema. De esta forma no se permite que el sistema tenga m´as grados de libertad de los

posibles. Con base en lo anterior se plantean las siguientes definiciones para poder llegar al

t´ermino de Potencia Reactiva.

Definición 1 (Velocidad Reactiva, v)_b Proyección de la velocidad relativa del elemento anterior al eslabón final sobre una recta perpendicular a la velocidad de salida del eslabón final.

Para poner en evidencia las fuerzas que no contribuyen al movimiento, se introduce una

velocidad parcial que van en la direcci´on en donde no hay movimiento, es decir perpendicular

a la velocidad de salida del eslab´on final. Una vez se tiene esta velocidad, se puede incluir la

fuerza que no contribuye al movimiento por medio de la relaci´on mostrada en (2-5).

Definici´on 2 (Fuerza Reactiva,bf) Proyecci´on de todas las fuerzas ejercidas por los

esla-bones adyacentes al eslabón final sobre un vector unitario que va en dirección de la Velocidad Reactiva (Definición 1).

Por último, se plantea la definición de Potencia Reactiva, utilizando la misma relación mos-trada en (2-6).

Definici´on 3 (Potencia Reactiva, Pb ) Potencia desarrollada en cierto instante de

tiem-po dada la expresi´on:

b

(19)

2.2 Potencia Reactiva 7

Esta definición de Potencia Reactiva permite cuantificar las fuerzas de reacción que actúan

sobre el efector final, de una manera tal, que puede ser comparada f´acilmente y

dimensio-nalmente consistente con otros eslabones sin importar el tipo de movimiento de este ´ultimo

(20)

3 ´INDICE DE POTENCIA REACTIVA

PARA MECANISMOS SIMPLES

En esta secci´on se plantea el ´Indice de Potencia Reactiva para Mecanismos Simples (de

ahora en adelante llamado IPRMS) a partir de las definiciones de potencia activa y potencia

reactiva planteadas en la Secci´on 2. Se entiende como mecanismo simple un mecanismo

planar de 1 Grado de Libertad, en donde se tiene una entrada y una salida.

3.1. ´Indice de Potencia Reactiva para Mecanismos

Simples (IPRMS)

Este ´ındice muestra la relaci´on que existe entre el eslab´on de entrada con el efector final,

relacionando la Potencia Reactiva, que de alguna manera representa las p´erdidas del

me-canismo, con la Potencia Activa de entrada o que se le suministra a un mecanismo simple planar que posee una entrada y una salida.

Definición 4 (Índice de Potencia Reactiva Mecanismos Simples, γ ) IPRMSRazón entre la Potencia Reactiva de salida del sistema y la Potencia Activa de entrada al sistema.

γ = Pb

(3-1)

Un valor de cero de este ´ındice quiere decir que el sistema no tiene perdidas y que toda la potencia que se le suministra al mecanismo es transformada en potencia de salida, mientras

que un valor del ´ındice de uno significa que toda la potencia de entrada se est´a convirtiendo

en reacci´on y el mecanismo est´a en un estado de singularidad.

3.2. Aplicaci´

on

Para verificar la validez del ´ındice propuesto, IPRSM, se hace el an´alisis de dos tipos de

(21)

3.2 Aplicaci´on 9

entrada y su efector final tienen el mismo tipo de movimiento (lineal/lineal). Seguidamente

se hace el an´alisis del tipo de mecanismos en donde el eslab´on de entrada y el efector final

tienen diferentes tipos de movimiento (rotacional/lineal). El ´ındice propuesto se compara

con la Ventaja Mec´anica para mostrar su validez.

3.2.1. Entrada lineal / Salida lineal

Empujador Lineal

El primer mecanismo a estudiar es el .Em_{pujador Lineal”que se muestra en la Figura} _3-1_.

ܣ

ݔ

ݕ

ܰ

෡

ߙ

ܨ

_௢௨௧

ܣ

ܤ

ܨ

_௜௡

݈

_ଵ

݈

_ଶ

ܥ

ܤ

ܥ

Figura 3-1: Mecanismo Empujador Lineal.

En este mecanismo, el cilindro A est´a unido al marco inercial Nb mediante una uni´on

rota-cional, el vástago B está unido al cilindro mediante una unión prismática, es en esta unión

donde se genera el movimiento de entrada. Por último el eslabón de salida C está unido al

vástago mediante una unión rotacional, el movimiento de este cuerpo está restringido a solo

un movimiento lineal. En la Figura3-2se muestra el pol´ıgono de velocidades del mecanismo

as´ı como los vectores de fuerza que act´uan sobre el efector final.

En la Figura 3-2a se puede observar la direcci´on de los vectores de velocidad de salida y

velocidad reactiva y en la Figura 3-2a se observan los vectores de fuerza de salida y fuerza

reactiva. Con base en estos vectores se hace el an´alisis de las magnitudes de las velocidades

del mecanismo, Ecuación (3-2), y el análisis de las magnitudes de las fuerzas que actúan

sobre el eslab´on final, mostrado en la Ecuaci´on (3-3).

|vB/A|= ˙αl1 (3-2a)

|vout|=

|vC/B|

sinα =

|vin|

sinα (3-2b)

(22)

10 3 ´INDICE DE POTENCIA REACTIVA PARA MECANISMOS SIMPLES

௢௨௧

஻

஺

ൗ

஼

஻

ൗ

(a) Pol´ıgono de velocidad.

ܨ

௢௨௧

݂መ

ܨ

௜௡

(b) Fuerzas Actuando sobre el efector final.

Figura 3-2: Representación gráfica de la velocidad del mecanismo Empujador Lineal y las fuerzas que actúan sobre su efector final.

|Fout|=|Fin|sinα (3-3a)

|bf|=|F_in|cosα (3-3b)

Habiendo obtenido las magnitudes _bv,bf y F_out se puede encontrar la Potencia Reactiva.

b

P =bf·v_b

=|Fin|cosα|Vin|cosα

=Pincos2α

(3-4)

Ahora se hace la comparaci´on entre la V M y el IP RM S.

V M = Fout

Fin

= Finsinα

Fin

= sinα (3-5)

γ = Pb

= Pincos

2_α

= cos2α (3-6)

De acuerdo a la Figura 3-3 se observa que el IP RM S proporciona la misma informaci´on

que la V M, ya que en el punto en el que la Ventaja Mec´anica es m´axima, es decir cuando

se transmite la mayor cantidad de fuerza el efector final, el ´ındice es m´ınimo, es decir no se producen p´erdidas en el efector final con respecto al eslab´on de entrada.

(23)

3.2 Aplicaci´on 11

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

|

γ

|

α [°]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900 0.2 0.4 0.6 0.8 1

|VM|

Figura 3-3:IP RM S y V M para el mecanismo Empujador Lineal.

Mecanismo exprimidor

El siguiente mecanismo a estudiar se muestra en la Figura 3-4.

En este mecanismo, el eslabón A está unido al marco inercial Nb mediante una unión

rota-cional, en este eslabón se aplica la entrada en el punto D. El eslabón B está unido al eslabón A mediante una unión rotacional. Por último el eslabón de salida C está unido al eslabón

B mediante una uni´on rotacional, el movimiento de este cuerpo est´a restringido a solo un

movimiento lineal. En la Figura 3-5 se muestra el pol´ıgono de velocidades del mecanismo

as´ı como los vectores de fuerza que act´uan sobre el eslab´on final.

En la Figura 3-5a se puede observar la direcci´on de los vectores de velocidad de salida y

velocidad reactiva y en la Figura 3-5a se observan los vectores de fuerza de salida y fuerza

reactiva. Con base en estos vectores se hace el an´alisis de las magnitudes de las velocidades

del mecanismo (Ecuación (3-7)) y el análisis de las magnitudes de las fuerzas que actúan

sobre el eslab´on final, (Ecuaci´on (3-8)).

|vB/A|= l1

l1+l2

|vin|= ˙αl1 (3-7a)

|vout|= l1

l1+l2

|vin|cosα (3-7b)

|_bv|= l1

l1+l2

(24)

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Figura 3-4: Mecanismo Exprimidor.

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(b) Fuerzas actuando sobre el efector final.

Figura 3-5: Representación gráfica de la velocidad del mecanismo Exprimidor y las fuerzas que actúan sobre su efector final.

|Fout|=

l1+l2

l1

|Fin|cosα (3-8a)

|bf|=

l1+l2

l1

|Fin|sinα (3-8b)

Habiendo obtenido las magnitudes _bv,bf y F_out se puede encontrar la Potencia Reactiva.

b P =bf·

b

v

=|l1+l2

l1

|Fin|sinα l1

l1+l2

|vin|sinα

=Pinsin2α

(25)

3.2 Aplicaci´on 13

Ahora se hace la comparaci´on entre la Ventaja Mec´anica y el ´ındice de Potencia Reactiva.

V M = Fout

Fin

=

l1+l2

l1 |Fin|cosα

Fin

= l1+l2

l1

sinα (3-10)

γ = Pb

= Pinsin

2_α

= sin2α (3-11)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

|

γ

|

α [°]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900 0.2 0.4 0.6 0.8 1

|VM|

Figura 3-6: IP RM S y V M para el mecanismo Exprimidor.

Al igual que en el mecanismo analizado anteriormente el ´ındice de Potencia Reactiva y la

Ventaja Mec´anica brindan la misma informaci´on, como se puede observar en la Figura 3-6.

3.2.2. Entrada rotacional / Salida lineal

Mecanismo Biela Manivela

El tercer mecanismo a estudiar es la ”Biela - Manivela”que se muestra en la Figura 3-7.

En este mecanismo, la manivela A est´a unida al marco inercial Nb mediante una uni´on

rotacional en donde se introduce el movimiento de entrada, la biela B est´a unida al cilindro

mediante una unión rotacional. Por último el eslabón de salidaC está unido la biela mediante

una uni´on rotacional, el movimiento de este cuerpo est´a restringido a solo un movimiento

lineal. En la Figura 3-8 se muestra el pol´ıgono de velocidades del mecanismo as´ı como los

(26)

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Figura 3-7: Mecanismo Biela-Manivela.

Con base en los vectores de la Figura 3-8 se hace el an´alisis de las magnitudes de las

velocidades del mecanismo, Ecuaci´on (3-12), y el an´alisis de las magnitudes de las fuerzas

que actúan sobre el eslabón final, mostrado en la Ecuación (3-13).

|vB/A|= ˙αl1 (3-12a)

|vout|=|vB/A|cosα+

|vB/A|

l2

cosα=

1 + 1

l2

|vin|l1cosα (3-12b)

|_bv|=|vB/A|sinα=|vin|l1cosα (3-12c)

|Fout|=

|τin| l1

cosα (3-13a)

|bf|=

|τin| l1

sinα (3-13b)

Una vez se obtienen las magnitudesv_b,bf y Fout se puede encontrar la Ventaja Mec´anica, la

Potencia Reactiva y con esta el IP RM S.

b

P =bf·v_b

=|Fin|cosα|Vin|cosα

=Pincos2α

(27)

3.2 Aplicaci´on 15

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Figura 3-8: Representación gráfica de la velocidad del mecanismo Biela-Manivela y las fuer-zas que actúan sobre su efector final.

V M = Fout

τin

=

|τin|

l1 cosα

τin

= cosα

l1

(3-15)

γ = Pb

= Pinsin

2_α

= sin2α (3-16)

Como se puede observar en la Figura3-9, siendo 90◦ el punto en donde el mecanismo est´a en

un punto de singularidad, el IP RM S toma un valor de 1 lo que quiere decir que toda la

potencia de entrada es convertida en Potencia Reactiva, es decir en reacci´on.

Mecanismo de Retorno R´apido de Whitworth

El ´ultimo mecanismo que se analiza es el mecanismo de retorno rapido de Whitworth

(Figu-ra 3-10).

En este mecanismo, la manivela A est´a unido al marco inercial Nb mediante una uni´on

rotacional. En esta uni´on se aplica el movimiento de entrada.El deslizador B est´a unida a la

manivela mediante una unión rotacional y unido al cuerpo C mediante una unión prismática,

en esta articulaci´on se transforma el movimiento giratorio en movimiento lineal. El cuerpo

C esta unido al marco inercial Nb por una unión rotacional. Por último el eslabón de salida E

est´a unido al cuerpo C a trav´es de un cuerpo intermedio D que transmite el movimiento del

cuerpo C al cuerpo E. En la Figura3-8se muestra el pol´ıgono de velocidades del mecanismo

as´ı como los vectores de fuerza que act´uan sobre el eslab´on final.

(28)

0 50 100 150 200 250 300 350 400

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

|

γ

|

α [°]

0 50 100 150 200 250 300 350 4000 0.2 0.4 0.6 0.8 1

|VM| [1/m]

Figura 3-9: V M y IP RM S para el mecanismo Biela-Manivela.

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Figura 3-10: Mecanismo de retorno r´apido de Whitworth.

las Figuras3-11 (Ecuaci´on (3-17) y Ecuaci´on (3-18)).

|vD/C|= ˙αl1

l2+l3

l2

cos (α−β) (3-17a)

|vout|=|vD/C|cosβ =|vin|l1

l2+l3

l2

cos (α−β) cosβ (3-17b)

|_bv|=|vD/C|sinβ =|vin|l1

l2+l3

l2

cos (α−β) sinβ (3-17c)

(29)

3.2 Aplicaci´on 17

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Figura 3-11: Representación gráfica de la velocidad del mecanismo de retorno rápido de

Whitworth y las fuerzas que act´uan sobre su efector final.

|Fout|=

|τin| l1

l2

l2+l3

cos (α−β) cosβ (3-18a)

|bf|=

|τin| l1

l2

l2+l3

cos (α−β) sinβ (3-18b)

Por ´ultimo se presenta la Potencia Reactiva y el ´ındice asociado a esta cantidad.

b

P =bf·_bv

=||τin|

l1

l2

l2+l3

cos (α−β) sinβ|vin|l1

l2 +l3

l2

cos (α−β) sinβ

=Pincos2(α−β) sin2β

(3-19)

γ = Pb

= Pinsin

2_α

=cos2(α−β) sin2β (3-20)

Al igual que el mecanismo de biela manivela, cuando este mecanismo llega a 90◦ y a 270◦, la

manivela no puede transmitir fuerza al mecanismo, lo cu´al se puede verificar en la Figura

3-12. En estos puntos el ´ındice toma un valor de uno, lo que significa que toda la potencia

que se le entrega al mecanismo es transformada en Potencia Virtual, mientras que la ventaja

mec´anica tomo un valor de 0, indicando que el mecanismo no puede transmitir nada de

(30)

0 50 100 150 200 250 300 350 400

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

|

γ

|

α [°]

0 50 100 150 200 250 300 350 4000 0.2 0.4 0.6 0.8 1

|VM| [1/m]

Figura 3-12: V M y IP RM S para el mecanismo de retorno r´apido de Whitworth.

3.3. Fuerza Interna

Dentro del proceso de validaci´on del ¨ındice de Potencia Reactiva, se buscaron teor´ıas alternas

que pudieran calcular las p´erdidas que se presentan al interior de diferentes mecanismo. La

Fuerza Interna, postulada por Salisbury y Craig [19], [16], es concepto que es utilizado en el control de múltiples dedos robóticos trabajando conjuntamente para el agarre y manipulación

de un objeto en el espacio, cuando estos no est´an r´ıgidamente anclados al objeto. El objetivo

del control por fuerza interna es generar una fuerza de agarre de tal manera que se garantice que las fuerzas de contacto, entre los dedos rob´oticos y el objeto, sean mayores a las fuerzas de

fricci´on para prevenir el deslizamiento relativo entre estos dos. [18] El esquema de las manos

rob´oticas, en donde m´ultiples dedos agarran un objeto, es similar al concepto de un robot

paralelo, en donde cadenas cinem´aticas independientes est´an encargadas del movimiento

del efector final, es por esta razón que se propone este análisis, como método alterno de

validaci´on del concepto de Fuerza Reactiva, planteado en la Secci´on 2.2.

3.3.1. Definici´

on

El planteamiento del concepto de fuerza interna est´a basado en el esquema mostrado en

la Figura 3-13a, en donde la mano rob´otica est´a compuesta por i dedos, los cuales hacen

contacto con el objetoA en los puntos de contacto Ci.

Se puede modelar la fuerza de contacto, entre la punta de los dedos rob´oticos y el objeto,

(31)

3.3 Fuerza Interna 19

(a) Esquema.

݂

ଵ

݂

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݂

ଷ

݂

଴

Figura 3-13: Esquemas de una mano rob´otica.

trabajo virtual en donde se tiene la matriz Jacobiana de la mano, la cual relaciones las fuerzas generalizadas de enterada con las fuerzas de salida. Estas fuerzas son transmitidas al

objeto generando una fuerza neta aplicada de fneta =

f₁>· · ·f_n>>. La fuerza neta aplicada al objeto produce una fuerza de salida en el objeto fo, la cual es la que genera el movimiento,

como se puede observar en la Figura 3-13b. Estas dos fuerzas, la fuerza neta de entrada

y la fuerza de salida, est´an relacionadas por la matriz de agarre G,como se muestra en la

Ecuaci´on (3-21).

fo =Gfneta (3-21)

En donde Gest´a dada por la Ecuaci´on (3-22):

G=





I3 . . . I3

R1 . . . Rn 

 (3-22)

yRies la matriz que relaciona la sumatoria de fuerzas y la sumatoria de momentos alrededor

del centro del objeto.

Ri =ri×= 

  

0 −riz riy

riz 0 −rix

−riy rix 0 

  

(3-23)

De toda la fuerza que es aplicada al efector final, solo una porci´on es la que produce

movi-miento, por esta raz´on la fuerza neta aplicada se puede expresar como:

(32)

En donde fm es la fuerza que produce movimiento y fi es la Fuerza Interna. Esta fuerza

interna no tiene influencia en la din´amica del efector final, ya estas fuerzas pertenecen al

espacio nulo de la matriz de agarre. Dado quefi ∈ N(G), la fuerza que produce movimiento

y la fuerza interna se presentan en la Ecuaci´on (3-25).

fm = G> −1

fo (3-25a)

fi =

I−G> G>−1fo (3-25b)

3.3.2. Aplicaci´

on: Mecanismo 5 Barras

Se analiza el mecanismo de 5 barras como primer sistema para comparar la Fuerza Interna

con la Fuerza Reactiva. El mecanismo, mostrado en la Figura 3-14, est´a compuesta por

2 cadenas cinem´aticas conectadas en el punto P. Cada cadena cinem´atica cuenta con dos

uniones rotacionales, la primera, una uni´on actuada entre el marco inercial Nb y l₁_i, y la

segunda entre el l1i y l2i. El efector final, P, tiene dos GDL, un movimiento lineal sobre el

eje xy un movimiento lineal sobre el eje y.

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_ଶ

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Figura 3-14: Mecanismo de 5 Barras

Para este mecanismo, se plantean las longitudes y propiedades de masa mostradas en la

Tabla 3-1. Este mecanismo se implement´o en MATLAB, como se muestra en la Figura

3-15a. Para la prueba y validaci´on de fuerza interna se analiz´o el mecanismo en movimientos

independientes a lo largo de sus coordenadas generalizadas, x y y, como se muestra en la

(33)

Tabla 3-1: Caracter´ısticas del mecanismo de 5 barras.

a1 1 [m] a2 1 [m]

l11 1 [m] l21 1 [m]

l21 1 [m] l22 1 [m]

hinicial 0,85 [m]

mP 1 [kg]

(a) Esquema del mecanismo de 5 Barras.

0 0.5 1 1.5 2

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Time (s)

Position (m)

x y z

(b) Posiciones deseadas del efector final.

Figura 3-15: Caracter´ısticas de mecanismo de 5 Barras.

Se plantea la suma del lazo vectorial de cada una de las cadenas cinem´aticas i = {1,2{, se puede realizar el la suma del lazo vectorial de la siguiente manera:

OP =OAi+AiBi+BiP A_p₌A_a

i+Al1i+Al2i

(3-26)

El eslabón inferior, el eslabón superior de la cadena cinemática y el vector A_p _{en la}

Ecua-ci´on (3-26) describen un tri´angulo con los lados conocidos. Utilizando el teorema del seno y

el teorema del coseno se pueden determinar los ´angulos internos mostrados en la Figura3-14.

βi = arc cos

|A_l

1i|2+|Al2i|2 − |Ap|2

2|A_l

1i||Al2i|

(3-27)

αi = arc cos

|A_d

i|2+|Al1i|2− |Al2i|2

2|A_d i||Al1i|

+

arc cos

|A_a

i|2+|Adi|2− |Ap|2

2|A_a i||Adi|

(34)

La matriz de agarre del mecanismo de 5 Barras est´a dada por la expresi´on mostrada en la

Ecuaci´on (3-28)

G=



  

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1



  

(3-28)

y las fuerzas que act´uan sobre el efector final, est´an dadas por fneta = h

f1x f1y f2x f2y i>

.

Estas fuerzas son encontradas mediante la formulaci´on de Newton-Euler, en donde, teniendo

la posición deseada del efector final, se realiza el cálculo de la dinámica inversa para poder

conocer las fuerzas generalizadas de entrada y la fuerza que ejerce cada cadena cinem´atica

sobre el efector final. Una vez se tiene las fuerzas generalizadas de entrada, se calcula la

fuerza interna de acuerdo a lo mostrado en la Ecuaci´on (3-25) y la Potencia Reactiva, de

acuerdo a lo presentado en la Definici´on 2. Las velocidades y fuerzas generalizadas de los

actuadores, para la trayectoria deseada, se muestran en la Figura

0 0.5 1 1.5 2

−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Time (s) Velocity (m/s)

Act₁ Act₂

(a) Velocidad de los actuadores.

0 0.5 1 1.5 2

−80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 Time (s) Torque (Nm)

Act₁ Act₂

(b) Fuerza generalizada de los actuadores.

Figura 3-16: Velocidad y fuerza generalizada de los actuadores del mecanismo de 5 barras.

En la Figura3-17 se muestra la fuerza interna y la fuerza reactiva para el caso estudiado.

Por ´ultimo, se calculan los ´Indices de Potencia Reactiva Globales para el mecananismo

planteado, en primer lugar se se calcula la Potencia Reactiva utilizando la fuerza interna como Pb = fi · bv, los resultados de este c´alculo se presentan en la Figura 3-18a, y en la

Figura 3-18b

Como se puede observar, la fuerza interna permite calcular la fuerza que cada una de las

cadenas cinem´aticas est´a ejerciendo al efector final para poder sostenerlo, mientras que la

fuerza reactiva no es capaz de lograr capturar esta informaci´on, sin embargo, al revisar

los ´ındices de desempe˜no planteados, cada uno calculado de diferente manera, el ´ındice

(35)

0 0.5 1 1.5 2

−20 0 20 40 Actuator 1 Time (s)

Internal Force (N)

0 0.5 1 1.5 2

−40 −20 0 20 Actuator 2 Time (s)

Internal Force (N)

x y z

(a) Fuerza interna.

0 0.5 1 1.5 2

−20 0 20 40 Actuator 1 Time (s)

Reactive Force (N)

0 0.5 1 1.5 2

−40 −20 0 20

Time (s)

Reactive Force (N)

Actuator 2 x y z

(b) Fuerza reactiva.

Figura 3-17: Fuerza interna y fuerza reactiva del mecanismo de 5 barras.

0 0.5 1 1.5 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Time (s) γ Act

1 Act2

(a)γ, calculado con la fuerza interna.

0 0.5 1 1.5 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Time (s) γ Act

1 Act2

(b)γ, calculado con la fuerza interna.

Figura 3-18: ´Indice de Potencia Reactiva para cada cadena cinem´atica del mecanismo de 5 barras.

fuerza reactiva identifica las fuerzas que no contribuyen al movimiento a una nivel cinem´atico, no est´atico.

(36)

4 ´INDICE DE POTENCIA REACTIVA

GLOBAL

En esta secci´on se plantea el ´Indice de Potencia Reactiva Global para robots paralelos (de

ahora en adelante llamado IPRG) a partir de las definiciones de potencia activa y potencia

reactiva planteadas en la Secci´on 2 y del IPRMS, presentado en la Secci´on 3. Este ´ındice se

plantea como una extensi´on del IPRMS, considerado que cada una de las cadenas cinem´aticas

que compone el robot paralelo est´a conformada por un mecanismo simple.

4.1. ´Indice de Potencia Reactiva Global (IPRG)

Se plantea este ´ındice como la extensi´on a n dimensiones del IPRMS, asumiendo que cada

una de las n cadenas cinem´aticas que componen el robot paralelo est´a compuesta por un

mecanismo al que es posible calcularle el IPRSM. Se plantean dos posibles ´ındices globales a partir de las definiciones de Potencia Activa, Potencia Reactiva e ´Indice de Potencia Reactiva

de Mecanismo Simples. El primer ´ındice propuesto se calcula como la media aritm´etica de

los IPRMS de cada uno de las cadenas cinem´aticas del robot paralelo.

Definición 5 (Índice de Potencia Reactiva Global 1, Γ1) IPRG1 Media aritmética

de los IPRMS, γ, de cada uno de las cadenas cinem´aticas del robot paralelo.

Γ1 = Σn

i=1γi

n (4-1)

El segundo ´ındice global se plantea como la relaci´on entre toda la Potencia Reactiva entre

toda la Potencia Activa que es introducida al sistema.

Definición 6 (Índice de Potencia Reactiva Global 2, Γ2) IPRG2 Razón entre toda

la Potencia Reactiva de salida del sistema y toda la Potencia Activa de entrada al sistema.

Γ2 =

Σn_i₌₁Pb_i

Σn i=1Pini

(37)

4.2 Aplicaci´on 25

Al igual que en el IPRSM, un valor de cero de este ´ındice quiere decir que el sistema no

tiene p´erdidas y que toda la potencia que se le suministra al mecanismo es transformada en

potencia de salida, mientras que un valor del ´ındice de uno significa que toda la potencia de

entrada se está convirtiendo en reacción y el mecanismo está en un estado de singularidad.

4.2. Aplicaci´

on

Para verificar la validez de los ´ındices propuestos, IPRG1 e IPRG2, se hace el an´alisis de dos

tipos de robots paralelos de tres grados de libertad, la plataforma 3RP S y la plataforma

3RRS, en donde los grados de libertad corresponden a un movimiento lineal en el eje vertical

y dos rotaciones, una en Roll y la otra en Pitch, la diferencia entre estos dos robots radica en

el movimiento de entrada; mientras que la plataforma 3RP S tiene actuadores lineales para

general el movimiento del efector final, la plataforma 3RRS tiene actuadores rotacionales.

Los resultados se comparan con n´umero de condicionamiento de la Matriz Jacobiana. Para

evaluar cada una de las plataformas propuestas, se plantea la trayectoria del efector final

mostrada en la Figura 4-1.

0 2 4 6

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15

Time (s)

Position (m)

0 2 4 6

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25

Time (s)

Rotation (deg)

x y z

Figura 4-1: Trayectoria del efector final.

Los ´ındices propuestos se comparan con el n´umero de condicionamiento de la matriz

Jaco-biana y la manipulabilidad. El n´umero de condicionamiento de la matriz Jacobiana se puede

definir como el ”factor de amplificación del error”. Este ´ındice está definido como se muestra en la Ecuación (4-3).

(38)

26 4 ´INDICE DE POTENCIA REACTIVA GLOBAL

κ J−1=kJ−1 kkJ k (4-3)

Si se utiliza la segunda norma, el n´umero de condicionamiento es la ra´ız cuadrada de la

relación entre el mayor valor propio y el menor deJ−>J−1. Utilizando la norma euclidiana, el número de condicionamiento es la relación entreP

λ2_i yQ

λi, dondeλi son los valores propios

de J−>J−1. El n´umero de condicionamiento entonces solo puede tomar valores mayores o

iguales a 1, en donde ∞ corresponde a una amplificaci´on infinita del error, lo que significa

que la matriz Jacobiana pierde rango y el robot entra a una posici´on de singularidad.

El ´ındice de manipulabilidad propuesto por Yoshikawa [23] es una medida de que tan lejos está el robot de una posición singular. El ´ındice está basado en el elipsoide de manipula-bilidad, el cual es creado a partir de los auto vectores de la matriz Jacobiana. El ´ındice se

muestra en la Ecuaci´on (4-4).

w=pdet (J J>_{) =} _s

1s2. . . sn (4-4)

Como w puede ser escrito como la multiplicaci´on de los vectores propios si de la matriz

Jacobiana J, el ´ındice es proporcional al volumen del elipsoide de manipulabilidad.

4.2.1. Plataforma 3RPS

La primera plataforma a estudiar es la 3RP S, mostrada en la Figura 4-2. Esta plataforma

est´a compuesta por una base fija A, el efector final B y tres actuadores lineales con tres

uniones distintas, una unión Rotacional entre la base y el cilindro, una unión Prismática

entre el cilindro y el vástago, y una unión Esférica entre el vástago y el efector final. El efector final, B, tiene tres GDL.

(39)

4.2 Aplicaci´on 27

Las caracter´ısticas geom´etricas de la plataforma a analizar se presentan en la Tabla 4-1.

Tabla 4-1: Caracter´ısticas de la plataforma 3RPS.

ai[m] bi[m] Actuador

Cadena 1



  

0,35

0 0        

0,75

0 0    

Exlar 350W

Cadena 2



  

0,35 cos 120◦

0,35 sin 120◦

0        

0,75 cos 120◦

0,75 sin 120◦

0



  

Exlar 350W

Cadena 3



  

0,35 cos 240◦

0,35 sin 240◦

0        

0,75 cos 240◦

0,75 sin 240◦

0



  

Exlar 350W

hin = 1 [m]

4.2.2. Plataforma 3RRS

La segunda plataforma a estudiar es la 3RRS, mostrada en la Figura4-5. Esta plataforma

está compuesta por una base fija A, el efector finalB y tres actuadores cadenas cinemáticas con tres uniones distintas, una unión Rotacional entre la base y la parte inferior de la cadena,

una uni´on Rotacional entre la parte inferior y la parte superior de la cadena, y una uni´on

Esf´erica entre la parte superior de la cadena y el efector final. El efector final, B, tiene tres GDL.

Las caracter´ısticas geom´etricas de la plataforma a analizar se presentan en la Tabla 4-2.

En la Figura 4-6, se muestran los dos ´Indices de Potencia Reactiva Globales propuestos para

la plataforma 3RRS; se puede observar, que al igual que la plataforma 3RP S, ambos ´ındices

propuestos se maximizan localmente en los puntos en donde la posici´on y orientaci´on del

efector final est´a en sus valores m´aximos. Esto quiere decir que en estos puntos, la potencia

que está siendo suministrada al sistema se está transformando en reacción. Adicionalmente,

los valores de los ´ındices planteados son congruentes con los del n´umero de condicionamiento,

en donde este último incrementa su valor cuando la posición del efector final está en sus

(40)

0 1 2 3 4 5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Time (s)

Γ

Γ₁ = Σγ

i/n Γ2 = ΣPreact / ΣPact

Figura 4-3: IPRG1 y IPRG2 para la plataforma 3RPS.

0 1 2 3 4 5

3.3 3.4 3.5 3.6

Conditioning Number

Time (s)

0 1 2 3 4 51.3

1.4 1.5 1.6

Manipulability

(41)

4.3 Discusi´on de resultados 29

Figura 4-5: Plataforma 3RRS.

Tabla 4-2: Caracter´ısticas de la plataforma 3RRS.

ai[m] bi[m] l1i[m] l1i[m] Actuador

Cadena 1



  

0,35

0 0        

0,6

0 0    

0.35 0.49 Yaskawa 750W

Cadena 2



  

0,35 cos 135◦

0,35 sin 135◦

0        

0,6 cos 135◦

0,6 sin 135◦

0



  

0.35 0.49 Yaskawa 750W

Cadena 3



  

0,35 cos 225◦

0,35 sin 225◦

0        

0,6 cos 225◦

0,6 sin 225◦

0



  

0.35 0.49 Yaskawa 750W

hin= 0,4 [m]

4.3. Discusi´

on de resultados

Los ´ındices cinetoest´aticos, como el n´umero de condicionamiento de la matriz Jacobiana y

la manipulabilidad, indican que tan cerca est´a el robot en alcanzar una posici´on de

singula-ridad. Cuando los robots paralelos se acercan a posiciones de singularidad, estos no pueden

transmitir movimiento de manera ´optima al efector final, por lo que una gran cantidad de

(42)

0 1 2 3 4 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Time (s)

Γ

1 = Σγi/n Γ2 = ΣPreact / ΣPact

Figura 4-6: IPRG1 e IPRG2 para la plataforma 3RRS.

0 1 2 3 4 5

4 4.5 5 5.5

Conditioning Number

Time (s)

0 1 2 3 4 50

0.02 0.04 0.06

Manipulability

Figura 4-7: N´umero de condicionamiento y manipulabilidad para la plataforma 3RRS.

en la matriz Jacobiana está contenida la información de la configuración geométrica de la robot, esta tiene dimensiones diferentes para cada tipo de estructura, luego los valores de

(43)

4.3 Discusi´on de resultados 31

n´umero de condicionamiento y manipulabilidad son dimensionalmente diferentes entre las

plataformas analizadas.

Los ´Indices de Potencia Reactiva planteados poseen la misma tendencia que los ´ındices

ci-netoest´aticos, prediciendo las posiciones de la trayectoria de prueba en la que los robots se

acercan a posiciones de singularidad, ya que se observa un aumento en el ´ındice, indicando que

una mayor porci´on de la potencia introducida al sistema est´a siendo desperdiciada porque el

efector final no puede moverse en ciertas direcciones. Adicionalmente, al ser adimensionales para todos los casos, permite que se puedan comparar las robots paralelos planteados,

cla-sific´andolos de acuerdo a las p´erdidas que presentan. Una ventaja que presentan los ´ındices

de desempe˜no planteados es que var´ıan entre 0 y 1, permitiendo que la comparaci´on de los

robos paralelos se haga de forma normalizada m´as f´acilmente.

Como se menciono anteriormente, los resultados de los ´Indices de Potencia Reactiva Globales

para las plataformas mostradas permiten la comparaci´on de diferentes tipos de estructuras

de robots paralelos para una aplicaci´on dada. Para este caso espec´ıfico, la plataforma 3RRS

presenta valores más elevados del ambos ´ındices debido a su configuración geométrica y las caracter´ısticas de sus cadenas cinemáticas.

De acuerdo a los resultados de los ´ındices propuestos mostrados en las Figuras 4-3 y 4-6

y de acuerdo a las definiciones planteadas y los resultados de los ´ındices cinetoest´aticos,

se puede decir que el ´Indice de Potencia Reactiva Global 2 (IPRG2), Γ2, es el ´ındice m´as

idoneo para realizar la comparaci´on entre los diferentes tipos de robots paralelos, ya que

este representa de manera general las perdidas del mecanismo, mientras que el ´Indice de

Potencia Reactiva Global 1, Γ1, supone que las tres cadenas cinem´aticas tienen el mismo

efecto sobre el efector final, lo cual puede no ser cierto para robots en donde estas cadenas no estén ubicadas simétricamente alrededor de si centro. Por esta razón se selecciona el IPRG2

como funci´on objetivo para el algoritmo de optimizaci´on necesario para realizar la S´ıntesis

Dimensional.

J(x) = max (Γ2) = max

Σn_i₌₁Pbi

Σn i=1Pini

!

(44)

5 CASO DE ESTUDIO

Una vez validado que el IPRG es un ´ındice capaz de cuantificar las perdidas que se presen-tan en un robot paralelo de manera dimensionalmente consistente para cualquier tipo de

estructura seleccionada, se procede a aplicar la metodolog´ıa planteada para el dise˜no de un

robot paralelo para desarrollar un simulador de una embarcaci´on de 3 GDL. En este caso de

estudio se plantea la utilizaci´on del ´ındice seleccionado como funci´on objetivo para

ejempli-ficar el desarrollo de la metodolog´ıa de comparaci´on. Sin embargo al momento de realizar el

dise˜no de un robot paralelo, hay m´as factores a tener en cuenta, como por ejemplo, espacio

de trabajo, ´ındices cinetoestáticos e ´ındices dinámicos de entrada, y no solo la cuantificación de las pérdidas en el sistema.

Las propiedades de masa aproximadas de la carga ´util que va a ser montada sobre el efector

final de la plataforma se muestran en (5-1).

m= 350 [kg]

I =



  

285 0 0

0 290 0

0 0 130



  

[kg m2_] (5-1)

Se tomaron datos de la aceleraci´on en una embarcaci´on, estos datos fueron procesados para

encontrar los movimientos m´aximos que tiene que realizar el simulador. Para este caso, se hizo

una simplificaci´on de los movimientos rescatando la amplitud y la frecuencia representativa

de cada uno de los movimientos. La trayectoria seleccionada se muestra en (5-2)

ϕd =    

  

Roll= 25 sin3(2π(0,2)t) [deg]

P itch= 15 sin3(πt) [deg]

Heave= 0,15 sin3(πt) [m]

(5-2)

5.1. S´ıntesis Estructural

Como se desea dise˜nar un robot paralelo de 3 GDL se buscan estructuras paralelas que

cumplan con los requisitos de movilidad y conectividad. Dentro de los tipos de plataformas

que cumplen este criterio se encuentran la plataforma 3RP S y 3RRS. Como este es un

(45)

5.1 S´ıntesis Estructural 33

estructuras paralelas, sin embargo, se hace la aclaraci´on que para un proceso de dise˜no

exhaustivo, se deben incluir m´as posibles robots paralelos que cumplan los requerimientos

de la aplicaci´on.

ࢇ௜ ࢈௜ ࢖ ݑ ݒ ݓ ݔ ݕ ݖ ݀௜ ܣ௜ ܤ௜ ࢙௜

(a) Esquema de la plataforma 3RPS.

ࢇ௜ ࢈௜ ࢖ ݑ ݒ ݓ ݔ ݕ ݖ ܣ_௜ ܤ_௜ ܥ_௜ ݈ଶ௜ ݈ଵ௜ ࢙ଵ௜ ࢙ଶ௜

(b) Esquema de la plataforma 3RRS.

Figura 5-1: S´ıntesis estructural para el casi de estudio.

5.1.1. An´

alisis Cinem´

atico

En la Figura 5-1a se muestra un esquema de la plataforma 3RP S, en este esquema la base

A con vectores unitarios perpendiculares x, y, z fijos en A est´a fija al marco inercial N

y el efector final B con vectores unitarios perpendiculares u, v, w fijos en B, se mueve

linealmente en las direcciones x,y, z y rota alrededor del puntoP con respecto a la base A

según los ángulos de representación en ejes fijos: Roll (φ), Pitch (θ) y Yaw (ϕ). Para cada una de las cadenas cinemáticas i = 1, . . . , n, se puede realizar el la suma del lazo vectorial de la siguiente manera:

OP +P Bi =OAi+AiBi A

p+ARB Bbi =Aai+diAsi

(5-3)

La matriz de rotación del efector final es calculada utilizando los ángulos de orientación

Roll-Pitch.Yaw y mostrada en (5-4)

A RB =



  

cosφcosθ cosφsinθsinψ−sinφcosψ cosφsinθcosψ+ sinφsinψ

sinφcosθ sinφsinθsinψ+ cosφcosψ sinφsinθcosψ−cosφsinψ

−sinθ cosθsinψ cosθcosψ



  

(5-4)

En (5-3) A_p_, _φ_, _θ _y _ψ _{son las posiciones y orientaciones deseadas del efector final,} B_b

i y A_a

i sin caracter´ısticas geom´etricas de la plataforma y di y Asi son las variables de control

(46)

34 5 CASO DE ESTUDIO

di =

Ap+ARB Bbi−Aai

(5-5)

A_s i =

A_p₊A_RB B_b

i−Aai di

(5-6)

El segundo tipo de robot paralelo a estudiar el la plataforma 3RRS, mostrada en la Figura

5-1b, en este esquema la base A con vectores unitarios perpendiculares x, y, z fijos en A

est´a fija al marco inercial N y el efector final B con vectores unitarios perpendiculares u,

v, w fijos en B, se mueve linealmente en las direcciones x,y, z y rota alrededor del punto

P con respecto a la base A según los ángulos de representación en ejes fijos: Roll (φ), Pitch (θ) y Yaw (ϕ). Para cada una de las cadenas cinemáticas i = 1, . . . , n, se puede realizar el la suma del lazo vectorial de la siguiente manera:

OP +P Bi =OAi+AiCi+CiBi A_p₊A_RB B_b

i =Aai+l1iAs1i +l2iAs2i

(5-7)

Ea vector de posición de la unión universal en el efector final, desde la la unión rotacional de la base es:

A_d

i =Ap+ARB Bbi−Aai (5-8)

El eslabón inferior, el eslabón superior de la cadena cinemática y el vector Adi en la

Ecua-ci´on (5-8) describen un tri´angulo con los lados conocidos. Utilizando el teorema del seno y el

teorema del coseno se pueden determinar los ´angulos internos mostrados en la Figura 5-2.

βi = arc cos

l2

1i+l22i− |Adi|2

2l1il2i

(5-9)

αi = arc cos _|A_d

i|2+l21i−l22i

2|A_d i|l1i

+

arc cos

_|A_a

i|2+|Adi|2− |Aai+Adi|2

2|A_a i||Adi|

(5-10)

5.1.2. An´

alisis Din´

amico

A continuación se presenta el análisis dinámico para el cálculo de las fuerzas generalizadas

de los actuadores, este an´alisis de hace con las ecuaciones de movimiento de Newton-Euler.

Como métodos de validación, se plantean la formulación dinámica de trabajo Virtual y el

(47)

5.1 S´ıntesis Estructural 35 ࢇ௜ ࢈௜ ࢖ ݑ ݒ ݓ ݔ ݕ ݖ ܣ_௜ ܤ_௜ ܥ_௜ ݈ଶ௜ ݈ଵ௜ ࢙ଵ௜ ࢙ଶ௜ ࢗ࢏ ࢊ࢏ ࢻ ࢼ

Figura 5-2: Cadena cinem´atica de la plataforma 3RRS

Fuerzas Externas

Las fuerzas externas las cuales tiene que vencer el robot paralelo, est´an dadas por las fuerzas

que son ejercidas sobre el efector final, Fext corresponde a las fuerzas externas al sistema,

como el peso y los momentos ejercidos por la carga ´util, y F∗ es el vector de las fuerzas

inerciales. Dado que es

F∗ =





−mA_p_¨

−IB/B∗A_ω_˙B−A_ωB _IB/B∗A_ωB



 (5-11)

En la Ecuaci´on (5-11) A_p_¨_{es la aceleraci´}_{on lineal del efector final y es calculada como la}

se-gunda derivada deAp;AωB yAω˙B es la velocidad angular y la aceleraci´on angular del efector

final, calculado como se muestra en la Ecuaci´on (5-12) y la Ecuaci´on (5-13), respectivamente

[1].     ωx ωy ωz     =     0 0 1     ˙ φ+    

−sinφ

cosφ 0     ˙ θ+    

cosφcosθ

sinφcosθ

−sinθ     ˙ ψ (5-12)     ˙ ωx ˙ ωy ˙ ωz     =    

0 −sinφ cosφcosθ

0 cosφ sinφcosθ

1 0 −sinθ

        ˙ φ ˙ θ ˙ ψ     +    

−cosφ −sinφcosθ −cosφsinθ

−sinφ cosφcosθ −sinφsinθ

0 0 −cosθ

        ˙

φθ˙

˙

φψ˙

˙

θψ˙ 

  