Utilización de modelos GARCH y ARCH para la estimación y pronóstico de precios de contratos de café

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(1)UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Departamento de Ing. Industrial. TRABAJO DE GRADO “Utilización de modelos GARCH y ARCH para la estimación y pronóstico de precios de Contratos de Café”.. Presentado Por:. Catalina Gómez Hernández Código:. 199921150. Bogotá, 13 de Mayo del 2004.

(2) ÍNDICE SECCIÓN I: 1. INTRODUCCIÓN ....................................... ¡Error! Marcador no definido. 2. ANTECEDENTES ....................................... ¡Error! Marcador no definido. 3. DATOS SOBRE EL CAFÉ ............................... ¡Error! Marcador no definido. 3.1 EL CONTRATO “C”............................................................. ¡Error! Marcador no definido.. SECCIÓN II: 4. DESARROLLO CONCEPTUAL .......................... ¡Error! Marcador no definido. 4.1 OPCIONES .......................................................................... ¡Error! Marcador no definido. 4.2 VOLATILIDAD .................................................................. ¡Error! Marcador no definido. 4.2.1 VOLATILIDAD HISTÓRICA .................................. ¡Error! Marcador no definido. 4.2.2 VOLATILIDAD IMPLÍCITA ................................... ¡Error! Marcador no definido. 5. MODELOS DE ANÁLISIS DE VOLATILIDAD ........ ¡Error! Marcador no definido. 5.1 MODELOS ARCH................................................................ ¡Error! Marcador no definido. 5.2 MODELOS GARCH ............................................................ ¡Error! Marcador no definido. 6. MODELOS DE VALORACIÓN DE OPCIONES ......... ¡Error! Marcador no definido. 6.1 MODELO BLACK – SCHOLES (BS) ................................ ¡Error! Marcador no definido. 6.2 MODELOS GARCH DE VALORACIÓN DE OPCIONES ............ ¡Error! Marcador no definido. SECCIÓN III: 7. DESARROLLO DE LOS MODELOS..................... ¡Error! Marcador no definido. 7.1 DATOS ................................................................................. ¡Error! Marcador no definido. 7.2 METODOLOGÍA ................................................................ ¡Error! Marcador no definido. 7.3 MODELOS OBTENIDOS ¡Error! Marcador no definido. SECCIÓN IV: 8. ANÁLISIS DE RESULTADOS ......................... ¡Error! Marcador no definido. 9. CONCLUSIONES ....................................... ¡Error! Marcador no definido. BIBLIOGRAFÍA APÉNDICE A: GRÁFICAS APÉNDICE B: RESULTADOS ESTADÍSTICOS APÉNDICE C: RESULTADOS VALORACIÓN Y VALORES DE MERCADO. 2.

(3) 1.INTRODUCCIÓN Como parte fundamental de los mercados financieros tenemos a los participantes como los inversionistas, las bolsas, los especuladores y las bolsas de compensación entre otros. La mayoría de estos modelos nacen del supuesto de que en general todos como inversionistas somos en alguna medida adversos al riesgo. Es entonces que este concepto empieza a tomar fuerza, llevando al desarrollo de nuevas estrategias transaccionarias. En el mercado de derivados, el riesgo se ve sobretodo en la volatilidad de los precios de los activos como acciones y commodities, y es muy difícil de predecir. Incluso existen expertos en el tema que creen que no es posible este pronóstico. Aunque esto puede parecer cierto, si se logra encontrar un modelo que represente adecuadamente el comportamiento de la serie, entonces el proceso de pronóstico de la serie se hace más fácil. A través de métodos estadísticos como los ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) y los GARCH (General (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) es posible encontrar una manera de modelar el comportamiento de la volatilidad de los precios de una forma eficiente. Esto debido a que tienen en cuenta su comportamiento fluctuante en el tiempo. El interés de este trabajo se centra básicamente en el análisis de los precios de derivados relacionados al café colombiano. Una de las razones por las que se sigue esta línea es la abundancia de datos existentes y la posibilidad de aplicar modelos de volatilidad novedosos a un activo volátil e importante como el café. El nivel de incertidumbre de precios que existe alrededor de los productos agrícolas es otro de los incentivos para realizar esta tesis y el hecho que sea algo tan aleatorio representa un gran reto a nivel de análisis y teoría estadística. El desarrollo del trabajo se llevará a cabo de acuerdo con lo descrito en el párrafo siguiente. En la Sección I se hace una breve introducción al estudio. En la Sección II, se explican algunos conceptos básicos utilizados, en la Sección III se describen los datos seleccionados a trabajar, la metodología para el desarrollo de los modelos y los resultados finales. En la Sección IV se realiza un análisis de los resultados y para finalizar, las conclusiones.. 3.

(4) 2. ANTECEDENTES Con el nacimiento de las bolsas también se crean nuevas herramientas para el cubrimiento de riesgo como los derivados. La utilización de estos instrumentos financieros para disminuir o evitar el riesgo por fluctuaciones inesperadas en el precio de un activo, se ha vuelto imprescindible. Un ejemplo de lo anterior son los derivados; productos financieros que como su nombre lo indica, se derivan del mercado spot o dependientes del comportamiento de otros productos básicos. Lo más importante de ellos es que ofrecen cobertura para los inversionistas. Entre esos instrumentos llamados derivados están los futuros y las opciones. Para poder calcular el precio justo a pagar por una opción, se desarrollaron los primeros modelos de valoración de opciones como tal que corresponden al modelo de Black Scholes (1973) y el de Árboles Binomiales (1975). Estos modelos eran bastante limitados en cuanto al tipo de opciones y activos a valorar y suponían volatilidades constantes. Sin embargo, algunos años antes Fama (1965) y Mandelbrot (1966) descubrieron que muchas series financieras poseían clusters de volatilidad aportando a la teoría financiera, datos sobre la existencia de volatilidad estocástica en los activos financieros. Estos descubrimientos impulsaron el desarrollo de modelos de valoración con volatilidad estocástica como el modelo divariado de difusión propuesto por Hull y White en 1987. Como consecuencia, el interés por series heteroscedásticas empieza a aumentar y se comienzan a implementar modelos de análisis de volatilidad como los modelos GARCH de Bollerslev (1986) en la teoría financiera. El precursor de esto fue Duan (1990) quien decide aplicar los modelos GARCH para valorar opciones y en 1995 desarrolla uno propio, basado en el modelo de Bollerslev. En 1992, Engle y Mustafa, usan los modelos GARCH no sólo para estudiar las opciones sino para analizar sus volatilidades condicionales. Estos estudios han llevado a numerosas investigaciones sobre el alcance y eficiencia de estos modelos para el análisis de series financieras que no cumplen con el supuesto de volatilidad constante en el tiempo.. 4.

(5) 3. DATOS SOBRE EL CAFÉ Para Colombia, el café no sólo representa uno de los principales productos de exportación y el símbolo que identifica al país, sino que ya hace parte de nuestra cultura. Este producto ha contribuido al desarrollo socioeconómico de las regiones que lo producen, y ha sido un gran aporte en términos de comercio, finanzas, industria y fuerza laboral. Según la Federación de Cafeteros de Colombia1 el café es el producto agrícola que mayor empleo genera en el campo y miles de familias se benefician de su cultivo. Por muchos años ha sido el motor de desarrollo de Colombia y, aunque en la última década su participación en la economía ha decrecido, continúa siendo el primer generador de riqueza y empleo en la zona cafetera. El café, después del petróleo es el producto más importante de mundo, incluso por encima del carbón y el azúcar.. 3.1 EL CONTRATO “C” En la New York Board of Trade (NYBOT), se negocian contratos de futuros sobre el café, conocidos como el contrato “C” y las opciones asociadas a ellos. Cada contrato “C” negociado equivale a 37,500 libras o aproximadamente a 250 sacos de 70 kilos de café verde arábigo lavado que se transan diariamente entre las 9:15am y las 12:30pm. Los meses para hacer la entrega del café han sido establecidos por la bolsa como marzo, mayo, julio, septiembre y diciembre. Las entregas de café pueden hacerse efectivas en cualquier día del mes de referencia. A partir de un día denominado como el primer día de notificación (“First Notice Day”) que corresponde a siete días hábiles antes del primer día hábil del mes de entrega. En esta fecha, quien vende el café puede notificar a la bolsa su intención de hacer la entrega del bien. Estas notificaciones se pueden hacer a partir de los siete días hábiles antes del primer día hábil del mes de entrega y hasta el día previo al último día de negociación del futuro. A pesar de haber sido notificado para una entrega, el comprador del contrato puede renegociarlo en la bolsa hasta 8 días hábiles antes del último día hábil del mes (último día de negociación del contrato). La importancia de ver el comportamiento del café en la Bolsa de Nueva York radica en que el precio del café colombiano, tanto interno como externo, se toma como base de referencia para el precio de este contrato. Una vez se han descrito las especificaciones de estos contratos se puede proseguir con la descripción de algunos modelos que servirán como herramienta fundamental para estudiar el comportamiento de la serie de precios de estos contratos y de sus respectivas opciones. 1. Ver referencia 7. 5.

(6) 4. DESARROLLO CONCEPTUAL Esta sección se encarga básicamente de hacer una breve síntesis de los las herramientas conceptuales utilizadas para el desarrollo de este trabajo. 4.1 OPCIONES Una opción es un acuerdo que le da al comprador la posibilidad de comprar o vender una cantidad específica de un activo en un momento futuro determinado a un cierto precio. Este precio acordado se denomina precio de ejercicio (K). Hay dos tipos de opciones: las call y las put. Las primeras permiten a su tenedor comprar el activo y las otras permiten la venta del activo. Ya que este tipo de contratos es un derecho y no una obligación, se debe pagar un valor inicial de la operación. Este monto se conoce como la prima o premium de la opción y para el caso del café se expresa en US¢ por libra. Se calcula como el máximo entre cero y la diferencia que existe entre el precio del subyacente en ese periodo (St) y el precio de ejercicio específico. A diferencia de los futuros de café, las opciones se negocian para todos los meses del año. Las opciones “at-the-money” son aquellas cuyo precio de ejercicio es igual al precio del activo relevante (St = K), las “in-the-money” poseen una prima positiva – es decir que St > K para el caso de una call y K > St para el caso de una put- y finalmente las “outof-the-money” que tienen una prima de cero pues la diferencia entre el precio y el precio de ejercicio resulta ser negativo. Además según su tiempo de ejercicio, se les puede clasificar en: opciones americanas y opciones europeas. Las primeras se pueden ejercer en cualquier momento antes de la expiración del derivado y las últimas sólo pueden ser ejercidas en la fecha de expiración establecida. En este trabajo, las opciones a trabajar corresponden a opciones europeas. 4.2 VOLATILIDAD Alexander (2001) hace una breve introducción al concepto de volatilidad en los mercados financieros y en especial a lo que se refiere a la valoración de opciones. Este autor define la volatilidad implícita como el pronóstico de la volatilidad a lo largo de la vida de la opción que hace que el precio del mercado y el precio del modelo de valoración sean iguales. Esta volatilidad implícita corresponde a un proceso de tipo movimiento browniano geométrico para las variaciones de los precios que permite que el precio del modelo y el precio del mercado sean iguales. Los supuestos de este modelo se describen al final de esta sección. Adicionalmente distingue otro tipo de volatilidad, la volatilidad estadística que depende del modelo seleccionado aplicado a la serie histórica de los retornos del. 6.

(7) subyacente. El modelo estadístico es usualmente una serie de tiempo, como un proceso de promedio móvil o GARCH. Las volatilidades implícitas y estadísticas deben diferenciarse aunque ambas sean simplemente pronósticos de la volatilidad innata al activo subyacente. Los dos pronósticos difieren porque usan diferentes datos y modelos. Los métodos implícitos usan los datos actuales de los precios de mercado de las opciones, así que la volatilidad implícita contiene ya todas las expectativas futuras del mercado sobre la evolución del subyacente. El modelo que generalmente se usa en este caso es el modelo de BS básicamente por su eficiencia y simplicidad. En contraste, cuando se aplica un método estadístico para generar volatilidades, se usan los datos históricos de los retornos del subyacente en un modelo de tiempo discreto para la varianza de la serie de tiempo. Las volatilidades implícitas pueden compararse con las volatilidades estadísticas sobre un horizonte de tiempo igual a la vida de la opción. Este tipo de comparaciones se ha usado muchas veces como una medida de evaluación del precio de una opción, para verificar si ha sido sub o sobre valorada. Debido a que tanto la volatilidad implícita como la estadística son pronósticos de la misma variable, entonces cualquiera de ellas puede usarse para la valoración de opciones. Por lo tanto, un modelo puede pronosticar la volatilidad implícita usando ya sea una volatilidad implícita o una estadística. 4.2.1 VOLATILIDAD HISTÓRICA La volatilidad histórica se calcula usando los retornos diarios de la serie de precios de contratos futuros de café definidos como: rt = ln[(St / St-1] La varianza del retorno se estima de la siguiente ecuación: n. 2 ∑ (rt −1 − rprom ). σ 2 = t =0. n −1. .. Para poder comparar diferentes volatilidades es necesario que todas ellas correspondan a periodos de tiempo iguales. Generalmente se trabaja con volatilidades anuales, pero para anualizar una volatilidad diaria como la que se calcula en este trabajo, es necesario multiplicarla por la raíz cuadrada del número de días hábiles o de negociación en un año (aprox. 252 en Colombia) de la siguiente forma:. volatilidad = σ 2 * 252 .. 7.

(8) 4.2.2 VOLATILIDAD IMPLÍCITA Las volatilidades implícitas se usan para evaluar la opinión del mercado sobre la volatilidad de un activo particular. Los traders calculan estas volatilidades de las opciones más transadas e interpolan entre ellas para calcular la volatilidad apropiada para la valoración de otras opciones menos transadas. No existe una formula directa para obtener la volatilidad implícita de los precios de las opciones. Se requiere un proceso iterativo y los resultados pueden ser sesgados, especialmente si se basan en opciones poco transadas.. 5. MODELOS DE ANÁLISIS DE VOLATILIDAD Con los modelos de tipo ARCH y GARCH se supera el supuesto de varianza constante, hecho que generalmente permite llegar a mejores aproximaciones entre los modelos teóricos y la realidad. El problema principal al asumir la varianza de la serie como una constante es que en caso de que esta no resulte ser de dicha naturaleza, los intervalos de confianza pueden quedar sobre o subestimados según sea la relación entre los valores de varianza real y la teórica. Para el caso financiero, es lógico pensar que lo que ocurre hoy con los precios de un commodity repercuta de manera positiva o negativa en los precios de mañana. La propuesta principal de estos métodos es modelar la varianza de la serie como una variable más del problema, la cual depende de las varianzas inmediatamente anteriores del modelo. Es decir, que toma en cuenta la varianza condicional en vez de la varianza incondicional o a largo plazo, contrario a lo que hacen los métodos convencionales. Con respecto a las diferencias entre volatilidad condicional e incondicional, podemos agregar que la condicional supone que lo ocurrido anteriormente en la serie afecta de alguna forma el valor de la varianza, mientras que la incondicional asume independencia de estos eventos. El grado de dependencia de las mismas se logra por medio de ajustes en modelos de series de tiempo, estimados a partir de métodos de máxima verosimilitud entre las variables medidas y las estimadas. 5.1 MODELOS ARCH Los modelos ARCH se refieren a procesos autoregresivos sobre los términos del error de una serie de tiempo cuya varianza no es constante en el tiempo, es decir que es una serie heteroscedástica. El mayor reto econométrico al que se enfrentan los analistas cuando implementan estos modelos, es el de especificar la manera en que la información es utilizada para obtener pronósticos de la media y varianza de los retornos una vez se tiene la información histórica de la serie. Para lograrlo, el primer. 8.

(9) modelo ARCH que se desarrolló ponderaba las diferentes varianzas históricas como una medida general de la serie y suponía que los pesos de cada una de estas varianzas debían ser iguales. Posteriormente, se consideró que no era muy coherente usar los mismos pesos para todas las observaciones, sino que las últimas deberían pesar más sobre los resultados que las primeras. Los procesos ARCH fueron introducidos por Engle (1982) y usan pesos crecientes como parámetros que se deben estimar del modelo. Uno de sus grandes aportes es que logra mostrar que en vez de usar transformaciones arbitrarias, es posible modelar simultáneamente la media y varianza de una serie de tiempo. El Modelo General ARCH (q) es:. ε t = vt ht ht = α. 0. +. ∑. q i =1. α i ε t2− i. Donde ετ corresponde a los errores de la serie y son independientes entre ellos, αι son los coeficientes asociados a los errores rezagados, vt es ruido blanco, y ht es la varianza de los residuales condicionada a la información pasada (varianza condicional). Un aspecto importante para resaltar de este modelo es que la varianza del pronóstico asociado puede cambiar a través del tiempo y se predice usando los errores pasados. En términos absolutos, un error grande estará seguido por un error grande y uno pequeño por otro igualmente pequeño. El orden q del proceso determina la cantidad de periodos de la que depende la varianza condicional. Entre mayor sea q, más largo el periodo de conglomeración (clustering) de la volatilidad. Esta característica coincide con las observaciones empíricas de la mayoría de las series financieras.. 5.2 MODELOS GARCH (GENERALIZED AUTOREGRESSIVE HETEROSKEDASTIC) Después del desarrollo de los modelos ARCH se crearon generalizaciones de estos que describieron de forma más parsimoniosa las series de tiempo a las que se aplicaban. Tal es el caso de los modelos GARCH propuestos por Bollerslev (1986) que como su nombre lo indica es la generalización de los modelos ARCH. Pero más que una simple generalización hay que verlos como extensiones, ya que no sólo van a tener en cuenta los términos de los errores al cuadrado sino también las varianzas de periodos anteriores.. 9.

(10) El modelo GARCH (p, q) para la varianza se define como:. ε t = vt ht ht = α 0 + ∑ i =1α iε t2− i + ∑ i =1 β iht − i q. p. Donde ht es la varianza condicional, α0 es la varianza constante, αι son los coeficientes del término autoregresivo de los errores al cuadrado del modelo y βι los de los términos rezagados de la varianza. El modelo GARCH permite una representación parsimoniosa de los modelos ARCH de órdenes altos ya que la varianza condicional implícitamente incorpora todos los valores pasados de los errores. El modelo GARCH más simple y más popular de la varianza es el GARCH (1, 1) que está dado por:. ht = α0 +α 1ε 2t −1 + β1ht −1 Un descubrimiento empírico interesante es que en las series financieras, particularmente en las series diarias, la suma de los parámetros α y β es muy cercana a 1. Este indica que los efectos aleatorios de la volatilidad en la serie parecen ser permanentes. Para que la varianza que siga un proceso de esta forma sea estacionaria, debe cumplirse sin excepción que la suma de los parámetros de GARCH (1,1) α y β sea estrictamente menor a 1. Esta observación es muy importante para la valoración de opciones. Si los efectos son permanentes, entonces los agentes en el mercado tendrán expectativas de una volatilidad futura más alta y estarán dispuestos a pagar precios más altos.. 6. MODELOS DE VALORACIÓN DE OPCIONES En general, hay dos tipos de modelos de volatilidad: los de tiempo continuo y los de tiempo discreto. A estos últimos pertenecen los modelos GARCH. Según Chang (2002) estos modelos tienen ventajas sobre los modelos de tiempo continuo, ya que en intervalos discretos de tiempo, la volatilidad es observable de los datos históricos del activo. Como resultado, es posible valorar una opción usando solamente la información de los precios del activo subyacente. Gracias a esta y otras características de los modelos GARCH, la valoración de opciones ha tomado nuevos rumbos hacia la creciente implementación de estos modelos en la práctica, como lo hicieron Engle y Mustafa (1992). Uno de los supuestos básicos del modelo de BLACK - SCHOLES (BS) es que los precios del subyacente se distribuyen lognormal con volatilidad constante. Sin embargo, Fama (1965) y Mandelbrot (1966) encontraron que los retornos de los subyacentes no. 10.

(11) siempre cumplían con lo anterior y tendían a formar conglomerados de volatilidad, aportando nueva evidencia sobre la existencia de volatilidad estocástica en los activos financieros. En los últimos años muchas investigaciones han incorporado la volatilidad estocástica en los modelos y procedimientos tradicionales y por esta razón es interesante mirar si los modelos que contemplan la volatilidad estocástica, presentan realmente mejoras sobre los modelos tradicionales de valoración como BLACK – SCHOLES. Se puede usar la simulación de Monte Carlo para implementar tanto los modelos de volatilidad estocástica como los modelos de volatilidad constante. Aunque ya ha habido algunos trabajos sobre la comparación de ellos, estos estudios han obtenido resultados distintos y en algunos casos contradictorios. Por ejemplo, Engle y Mustafa (1992) al igual que Rao (2003) encontraron que el modelo GARCH (1,1) era mejor que el de BLACK - SCHOLES para la estimación de precios de opciones call, mientras de Heston y Nandi (2000) demostraron que el modelo BLACK - SCHOLES se ajustaba mejor que el GARCH (1,1) para este mismo conjunto de datos. Diversas conclusiones han salido, sobretodo debido al uso de diferente número de periodos, modelos y métodos de estimación. Por esta razón tiene mucho sentido examinar el desempeño empírico de ambos modelos como se hace en este trabajo. A diferencia del modelo BLACK – SCHOLES, cuando el modelo GARCH es evaluado la volatilidad se filtra directamente de las observaciones diarias del activo ya que la volatilidad es una función calculada directamente de los precios históricos del activo. Por lo tanto, estos modelos tienen la capacidad de capturar la información de las series de tiempo del activo subyacente mediante el uso de las volatilidades spot y la información de los precios de las opciones. Se esperaría que las mejoras que trajera la implementación de los modelos GARCH se deba básicamente a su capacidad de capturar simultáneamente tanto la información de los precios históricos del subyacente como la de la volatilidad asociada.. 6.1 MODELO BLACK – SCHOLES (BS) El primer modelo general de equilibrio para la valoración de opciones fue desarrollado por F. Black y M. Scholes en 1973. Este modelo en su inicio era algo limitado en cuanto a las opciones que podía valorar, ya que sólo se podía aplicar a opciones europeas. Sin embargo, luego se crearon numerosas variantes y extensiones del modelo para poder valorar opciones americanas, opciones con volatilidades estocásticas y opciones sobre futuros entre otros. Este modelo por su simplicidad y efectividad sigue siendo el más usado. En este trabajo, se valoran opciones sobre contratos futuros, por lo que el modelo a usar estará dado por las siguientes expresiones:. 11.

(12) C = (e-rT) [ FN(d1) – KN(d2) ] P = (e-rT) [ KN(-d2)- FN(-d1) ] d1 = [ ln(F/K) + (σ2/2)T ] / [ σ√T ] d2 = d1 - σ√T Donde C es la prima teórica de la call, P es la prima teórica de la put, F es el precio actual del futuro, T es el tiempo hasta la expiración, K es el precio de ejercicio de la opción, r es la tasa libre de riesgo, y σ corresponde a la desviación estándar de la serie de retornos del subyacente Para poder explicar el modelo, generalmente se le divide en 2 partes. La primera parte Fe(-rt)N(d1), muestra el beneficio esperado de adquirir un contrato futuro. Esto se obtiene de multiplicar el precio del futuro por el cambio en la prima con respecto a un cambio en el precio del subyacente expresado por N (d1). La segunda parte del modelo Ke(-rt)N(d2), es el valor presente del pago del precio de ejercicio el día de expiración. El precio de mercado justo de una opción es calculado como la diferencia entre estas dos expresiones y la cantidad d1 provee una medida de la liquidez de la opción y por esto esta sujeto a un sesgo. El Modelo de BS puede sub o sobrevalorar opciones out-of-the-money dependiendo del nivel inicial de su volatilidad. Además, se ha demostrado que siempre subvalora las opciones deep-out-of-the-money y que puede subvalorar también las opciones con madurez muy corta.2 El modelo de BLACK - SCHOLES asume que la volatilidad asociada a los precios del activo subyacente es constante. En la práctica, los analistas usan generalmente el precio de mercado de la opción y el modelo de BS para sacar de allí la volatilidad que sirve como medida de la serie de un activo. La volatilidad obtenida mediante este procedimiento se conoce como volatilidad implícita. Se ha encontrado que este tipo de volatilidad tiene una naturaleza fluctuante, lo que contradice el supuesto de volatilidad constante de los modelos tradicionales. Además, se han descubierto comportamientos característicos de esta volatilidad como por ejemplo, que esta disminuye cuando el precio de ejercicio aumenta, lo que se denomina “volatility smile” y que además la volatilidad depende de la madurez de la opción. Las diferencias entre las volatilidades implícitas para el mismo subyacente pueden verse como una clase de error muestral. Para poder contrarrestar estas fallas se crearon los modelos de volatilidad estocástica entre los que se encuentran los GARCH que asumen que la volatilidad condicional de los precios del subyacente depende de los errores pasados de la serie. 2. Heston y Nandi (2000). 12.

(13) El modelo de BLACK - SCHOLES asume que la propiedad lognormal se cumple para los precios del subyacente. Esta propiedad dice que:. ln ST ~ N (Ln (So) + (µ-σ2/2) T, σ*(T) ½) Donde ST es el precio en T, µ es la media de los retornos, σ2 es la varianza de la serie de retornos y T el tiempo hasta la fecha de maduración. Algunos de los supuestos más importantes del modelo son3: - Se cumple la propiedad lognormal. - Se permite la venta en corto de acciones (activo subyacente), es decir venderlas sin tenerlas aún. - No hay costos de transacción y los activos son perfectamente divisibles - No hay pago de dividendos durante la vida del derivado - No hay arbitraje - Las transacciones del derivado son continuas - La tasa libre de riesgo es constante En este estudio, se hicieron algunas modificaciones al modelo original de BS, incluyendo diferentes valores de volatilidad según el caso. Se proponen 3 modelos distintos de BS: 1. BS tradicional que usa la volatilidad promedio de la serie 2. BS usando la volatilidad GARCH a Largo Plazo 3. BS usando la volatilidad pronosticada. Todos estos cambios se realizaron con el objetivo de evaluar la influencia de la volatilidad en este modelo y analizar las ventajas o desventajas de usar distintos tipos de volatilidades a la hora de valorar opciones con el modelo de BS. 6.2. MODELOS GARCH DE VALORACIÓN DE OPCIONES. El modelo GARCH de valoración de opciones introducido por Duan (1995) está basado en un modelo que define los retornos continuos como: rt = Ln (S t / St-1) Donde St corresponde al precio del subyacente en el tiempo t y es modelado de la siguiente manera:. 3. HULL (2003). 13.

(14) rt = r +λσt– 0.5 σt2 + σt zt (2) Donde r es la tasa libre de riesgo correspondiente, λ es el riesgo de valoración (generalmente se asume = 0.5), σt2 la varianza de los retornos, y z ~ N (0,1). Aunque este modelo fue exitosamente implementado por Duan (1995) y Rao (2003), éste no se ajusta a lo que se requiere en este caso. Lo anterior se debe a que con este trabajo la intención es mostrar que es posible modelar esta serie mediante la inclusión de términos anteriores del retorno mientras que el modelo de Duan (1995) no tiene en cuenta estos parámetros. Además, el valor del riesgo de valoración λ recibe distintos valores según el activo que se analice. Aunque en la literatura generalmente se le atribuyen valores de 1 o 0.5, no se tuvo en cuenta, ya que para el caso del café no fue posible encontrar este valor en la literatura consultada. Otra de las razones para realizar variaciones sobre este modelo de valoración es que ellos suponen que no sólo los errores sino también los retornos siguen un proceso GARCH o ARCH-M. A pesar de ser modelos muy confiables, a la hora de hacer las estimaciones pertinentes en los programas estadísticos, para el caso de los contratos futuros de café, no existe evidencia estadística que muestre que los retornos dependan de la varianza según un proceso GARCH. Fue por esta razón que se optó por implementar los modelos que se ajustaron estadísticamente tanto para la media (retornos) como para la varianza. En este caso se pensó que era necesaria la inclusión de un modelo de series de tiempo para los retornos del café y otro modelo para la varianza de la misma serie. Se propone así la utilización de modelos de tipo ARMA (Autoregressive Moving Average) para modelar los retornos, modelos que incluyen términos rezagados del retorno o de los errores según sea el caso. Pero como se podrá ver más adelante, en este caso sólo fue necesario incluir términos pasados del retorno. De hecho, el modelo de BLACK - SCHOLES puede verse en cierta forma como un caso especial del modelo GARCH de valoración de opciones en el que el proceso de volatilidad estocástico es reemplazado por una volatilidad constante. Esto corresponde al caso en el que c = h, αi = 0 = y βi =0 cuando se tiene un modelo GARCH para la varianza de la siguiente forma: σ 2 t = c + α i * σ 2 t −1 + β i * ε 2 t −1. ∑. ∑. 14.

(15) 7. DESARROLLO DE LOS MODELOS En esta sección se busca describir el conjunto de datos y la metodología que se usó para luego seguir a la explicación del desarrollo de los modelos.. 7.1 DATOS La muestra contiene los precios diarios de cierre del contrato “C” de café “Mild Arabicas” que se transaron en la New York Board of Trade (NYBOT) desde el 3 de Enero de 1994 hasta el 31 de Diciembre del 2003. Se escogieron los contratos de café teniendo en cuanta las siguientes consideraciones. La primera es que estos precios son públicos. La segunda, que el volumen transado de estos contratos y sus opciones es alto lo cual ofrece una gran cantidad de datos y permite un análisis de la serie interesante. Tercero, muchos estudios sobre el comportamiento de los productos agrícolas en el sector financiero se basan en el café por ser uno de los productos más importantes en este mercado. Además es una serie que posee una volatilidad promedio aproximada del 30% lo que es bastante alto. Esta propiedad es muy útil a la hora de implementar modelos de análisis de volatilidad como los modelos GARCH. Todos los datos corresponden a los contratos con fecha de entrega más próxima (nearby). Sin embargo, para el momento en que se elaboró el trabajo, NYBOT ya tenía disponible una nueva serie de precios actualizados hasta el 27 de febrero del 2004. Gracias a esto, los pronósticos y estimaciones hechas sobre la serie original pueden ser vistos como una prueba de la robustez del modelo (backtesting), ya que se pueden comparar los resultados obtenidos con los valores de mercado correspondientes para esos periodos posteriores.. 7.2 METODOLOGÍA El precio del mercado de la opción es una función de la volatilidad y los parámetros del proceso GARCH. Asumiendo que el activo subyacente tiene asociado un proceso GARCH (p, q), se calculan los retornos logarítmicos de la serie como: Ln (St+1 / St) = rt+1 (1) Estos resultados se utilizan como datos de entrada en SAS v.8 para hacer las pruebas iniciales a la serie. La Gráfica I a continuación presenta esta serie. En ella se puede. 15.

(16) ver el comportamiento estacionario de la serie y algunos de los conglomerados o clusters de volatilidad.. Gráfica I: Serie de Retornos Logarítmicos del Café Retornos Café 0.3. 0.2. Retorno. 0.1. Retornos Café. 0 1. 122 243 364 485 606 727 848 969 1090 1211 1332 1453 1574 1695 1816 1937 2058 2179 2300 2421. -0.1. -0.2. -0.3. Periodo. Debido en parte al límite de tiempo para la elaboración de esta tesis se restringió la valoración de las opciones de café a sólo 8 que corresponden a 4 calls y 4 puts. Todas las opciones se refieren a los contratos del mes de marzo del 2004 que tienen como fecha de expiración el 12 de febrero del 2004. Esto, permite comparar los diferentes métodos de valoración de las opciones ante datos no muestrales. Las opciones que se analizaron fueron las siguientes: Call 40, Call 50, Call 62.5, Call 65, Put 62.5, Put 65, Put 80, Put 90. Estos criterios de selección se basaron principalmente en la reducción de dimensiones del análisis realizado y que quedó entonces restringido a un solo contrato y a un número razonable de opciones. Los valores asociados a estas variables que sirvieron como referencia para la elaboración de los modelos se ven en la Tabla 2 del Apéndice C. Desafortunadamente no existe una solución analítica para la valoración de opciones basada en el modelo GARCH. Sin embargo, en este estudio se implementan los modelos según la propuesta de Rao (2003) que consiste aproximar los precios teóricos de las opciones usando como método numérico la simulación de Monte Carlo como se ha hecho antes en otros estudios similares.. 16.

(17) Existen diversos métodos para estimar los parámetros del proceso GARCH pero dadas las propiedades de los estimadores de Máxima Verosimilitud, se decidió seleccionar este método. Lo primero que se hace es estimar estos parámetros para ajustar la evolución histórica de la serie de retornos del café de la mejor manera posible. Seguidamente, con el supuesto de que esta serie efectivamente está asociada a un proceso GARCH, entonces se obtuvo el modelo de valoración GARCH respectivo y sus errores de valoración. También para el modelo BLACK - SCHOLES, se encontró la volatilidad implícita para los precios de la opción y sus correspondientes errores de valoración. Estos errores van a servir como criterio de calificación de los modelos finales y están definidos como: (Precio de Mercado de la Opción - Precio Calculado) ^2. Se eleva esta diferencia de valoración al cuadrado para tener una medida absoluta del error. Para poder implementar los modelos de valoración de opciones, es necesario un valor de la tasa de interés. En este caso se usó como tasa libre de riesgo la tasa LIBOR correspondiente al mes de Febrero del 2004. Estas tasas se consiguen de la página de internet de BBA (British Bankers Association). Para este caso, se asume constante para el periodo de análisis y su valor corresponde a: 0.000273973. Las primeras pruebas a realizar, fueron las pruebas de ruido blanco, de raíz unitaria y encontrar las funciones de autocorrelación simple y extendida, entre otras cosas. Esto no sólo para el modelo de la media (retornos) sino para el modelo de la varianza. Luego, se estimaron por el método de máxima verosimilitud los parámetros de ambos modelos, verificando que fueran significativos por lo menos al 95%. Una vez se tuvieron los estimados de los modelos de la media y la varianza, comienzó el proceso de simulación y valoración. Para todos los casos, se realizaron 100 simulaciones para periodos de 27 días, con el objetivo de analizar el comportamiento de los modelos a lo largo de la vida de las opciones seleccionadas. La manera tradicional para valorar las opciones de un sólo activo supone que los precios de los subyacentes St, siguen un proceso de difusión Browniano Geométrico con volatilidad σ, de la forma: dS(t)/S(t) = r dt + σ dZ(t) Donde r es la tasa libre de riesgo y Z es un proceso de Wiener, es decir que los incrementos dZ son independientes y normalmente distribuidos con media cero y varianza dt. Debido a que la volatilidad se asume conocida sólo hay una fuente de incertidumbre que es Z. Entonces, sólo es necesario usar Monte Carlo para generar. 17.

(18) distintos caminos de St basados en los dZ para la vida de la opción. La simulación ajustada al modelo tradicional neutral de riesgo está dada por la expresión:. [(. ). S t = S t −1 * exp µ − σ2 ∆t + σε t ∆t 2. ]. Donde µ es la media de la serie de retornos completa, εt son independientes e idénticamente distribuidos como una normal estándar. Empezando desde el 31 de Diciembre del 2003 como fecha inicial, se generan diferentes caminos para llegar al precio final en t. El número de simulaciones realizadas para las comparaciones finales de los diferentes modelos fue de 100. Aunque no es un número muy grande, probó ser suficiente para lograr convergencia en los términos requeridos, ya que al hacer las pruebas con un número mayor de simulaciones los resultados no presentabas mejoras significativas. La simulación de Monte Carlo se implementó de dos formas. La primera es la simulación de Monte Carlo convencional descrita anteriormente, que asume varianza constante. Siguiendo con el método implementado por Rao (2003) en vez de usar la varianza de la serie se utilizará como parámetro, la varianza incondicional del modelo GARCH de la varianza. La simulación de Monte Carlo tradicional también se usó para valorar las opciones con los valores de volatilidad pronosticadas para cada uno de los días a analizar. Estos mismos valores de la volatilidad se utilizaron para calcular el precio de la opción mediante los métodos modificados de BS a lo largo de un periodo de 27 días. El otro enfoque de la simulación de Monte Carlo corresponde a un modelo dinámico en el que tanto los retornos como la varianza, se modelan al mismo tiempo. Esta es la implementación directa del modelo GARCH de valoración de opciones. A lo largo de este trabajo se denominará a este tipo de método Monte Carlo Econométrico (por la naturaleza del proceso que simula) o Monte Carlo Dinámico. Esta simulación también se llevó a cabo sólo para un periodo de 27 días. Los parámetros cambiantes son: número de días, los retornos iniciales, los precios diarios y el nivel diario de la varianza. Para ello se usaron los parámetros obtenidos de las estimaciones en SAS V.8 y asumiendo los primeros 5 errores como cero (los valores obtenidos por SAS V.8 son del orden de 1*10-6), se llevó a cabo la estimación y pronóstico de los precios para cada día. La expresión que se utilizó en este caso para calcular los precios es:. S t +1 = S t * exp(rt ). 18.

(19) Para la cual rt corresponde al retorno en el periodo t. Estos retornos además siguen un proceso autoregresivo de orden 5 (AR (5)) de la siguiente forma:. retornot = −0.0594retornot −5 + ε t Sabiendo además que la varianza de estos errores sigue un proceso GARCH (1,1) con los parámetros que aparecen en la Tabla 1. Por supuesto, hay que tener en cuenta que para el caso de los futuros de café, en vez de trabajar con los precios St, se usaron Ft que representan los precios de los contratos futuros de café en el tiempo t. Una vez establecidos estos modelos, fue posible implementar los modelos de valoración de opciones. Para poder analizar los resultados bajo distintos escenarios, se definieron 6 modelos para encontrar el precio de las opciones. Estos son: 1. Monte Carlo Tradicional usando volatilidad incondicional de GARCH 2. BS usando volatilidad incondicional de GARCH 3. Monte Carlo Tradicional usando volatilidad pronosticada según un proceso GARCH 4. BS usando volatilidad pronosticada según un proceso GARCH 5. BS usando la volatilidad promedio de la serie de retornos 6. Monte Carlo dinámico que estima al mismo tiempo los retornos y las volatilidades (modelo GARCH de valoración) Estos modelos se implementaron para los días hábiles entre 31 de Diciembre del 2003 y el 12 de Febrero del 2004. Los métodos 1 y 2 que se proponen son variaciones del modelo propuesto Duan (1995)) que se explicó más en detalle en el capítulo 6.2. Los modelos 3 y 4 tienen como parámetro la varianza pronosticada para cada día según el método propuesto por Hull (2003) y SAS V.8. Aunque era posible usar las salidas de SAS V.8 para estos pronósticos, se hizo la implementación en Excel para verificar los resultados. Sólo se usaron los pronósticos para ver si efectivamente hay mejoría al incluir este tipo de volatilidad en ambos modelos. El fin principal de usar volatilidades diferentes en BS es la búsqueda de algún tipo de sesgo o error de valoración de este método ante condiciones diferentes a las ideales. El modelo 5 es el que suele utilizarse tradicionalmente y el modelo 6 es el modelo GARCH de valoración que se implementa con la simulación de Monte Carlo con la ayuda de un macro de Excel y va estimando paralelamente los retornos y varianzas asociados al modelo GARCH (1,1) obtenido con SAS V.8. Para todas las variaciones del modelo de BS, se disponía de todos los datos del mercado para cada fecha como el precio del. 19.

(20) futuro, el precio de ejercicio, la volatilidad y la tasa libre de riesgo, de forma que la única fuente significativa de incertidumbre venía dada por la volatilidad. De aquí, se esperaría que los resultados de la valoración fueran muy aproximados a los precios del mercado. Para la implementación de los modelos 1 y 3 fue necesario definir las siguientes expresiones (teniendo en cuenta el supuesto de que los inversionistas son neutrales al riesgo):. [. S t +1 = S t * exp ( µ − σ 2 / 2) * ∆t + σ * ∆t. ]. Donde ∆t equivale a la diferencia (anualizada) entre la fecha de expiración y la de valoración, µ es la media de los retornos logarítmicos y σ la desviación estándar de la misma serie de retornos. Para la implementación del modelo GARCH de valoración a través de las simulaciones dinámicas del retorno y la varianza se usaron las siguientes definiciones: Los retornos se definen como:. retornot = ln(. Ft. Ft −1. ). Por lo tanto, puedo definir el precio del futuro en el tiempo t como:. Ft = exp(retornot ) * Ft −1. El pago de una opción call está dado por: Max( Ft − K ,0) , donde K es el Strike o precio de ejercicio. El pago de una opción put está dado por: Max( K − Ft ,0) , donde K es el Strike o precio de ejercicio. Para obtener el precio de la opción mediante el método de Simulación de Monte Carlo, se calcula el pago promedio obtenido del número de simulaciones correspondientes y se trae a valor presente según la siguientes expresiones:. Call =. ∑ ns= 0 Max ( Ft − K , 0 ) n. * exp(−r * (T − t )). Put =. ∑ ns= 0 Max ( t K − F , 0 ) n. * exp(−r * (T − t )). Donde n es el número de simulaciones, T es la Fecha de Expiración, t la Fecha de negociación o Valoración de la Opción, y r la tasa libre de riesgo correspondiente. Uno de los objetivos de este trabajo fue mostrar la precisión de los modelos GARCH para estimar y pronosticar la volatilidad. Por esta razón se realizaron varias comparaciones entre las diferentes volatilidades calculadas para ver cuál de ellas modela mejor la volatilidad de la serie de retornos. Como referencia a esta última se tomó la volatilidad histórica a 30 días que aunque no es una medida absoluta de la volatilidad real de la serie está disponible para todos los periodos y es una de las medidas más usadas en el mercado.. 20.

(21) Lo más acertado en este caso, aprovechando los modelos de valoración de opciones implementados, hubiera sido tener también como medida de comparación la volatilidad implícita del mercado para este mismo periodo como se hace generalmente. Sin embargo es muy común que para algunas series de precios las volatilidades implícitas no se puedan obtener, debido a que no hay un mercado real para las opciones con la madurez requerida. Este caso se presenta en la serie de precios de los contratos de café de NYBOT en donde sólo aparecen calculados los valores de volatilidad implícita hasta el 30 de Julio de 1999. Debido a que procedimiento implementado por NYBOT para calcular estas volatilidades es muy largo y complicado (se construye como la volatilidad implícita promedio de todas las calls y put in, at y out-of-the-money disponibles), se desarrolló un macro en Visual Basic para calcular las volatilidades implícitas. Estas volatilidades “implícitas” fueron calculadas para las 8 opciones (las 4 calls y las 4 puts) analizadas en este trabajo, para los 27 días determinados entre el 31 de Diciembre del 2003 y el 12 de Febrero del 2004, con base en los precios de cierre de cada una de las opciones. Para hacer los pronósticos de la varianza de la serie y calcular la volatilidad incondicional o de largo plazo del modelo GARCH se usan los parámetros obtenidos para el proceso GARCH que se presentan en la Tabla 1 del capítulo 7.3. La volatilidad incondicional de GARCH está dada por: c / 1- α – β. Hay que tener en cuenta que los valores de los pronósticos dependen del valor inicial de la varianza. Este valor correspondió en este caso a la varianza de la serie para el 31 de Diciembre del 2003. Aunque la forma tradicional de realizar estas operaciones requiere los residuales ordinarios del día inmediatamente anterior, según la formulación de Hull (2003)4 sólo es necesario tener el nivel inicial de la varianza. Esto facilita el trabajo y genera resultados iguales a los obtenidos por SAS V.8. Es por esta razón que este método se implementa para pronosticar la varianza 27 periodos adelante. El método de Hull (2003) para pronosticar las varianzas empieza definiendo el modelo de la varianza como un proceso GARCH (1,1):. σ 2 t = γV L + αε t −1 + βσ 2 t −1 Donde γ es el peso asignado al nivel de varianza de largo plazo. Para obtener un proceso estacionario debemos garantizar que γ + α + β = 1. Tenemos además que VL = c / γ. Sustituyendo γ = 1- α - β en la ecuación anterior, la varianza estimada al final del día t es:. 4. Hull ( 2003) , “ Options, Futures and Other Derivatives”, Capítulo 17. 21.

(22) σ 2 t − V L = α (ε 2 t −1 − V L ) + β (σ 2 t −1 − V L ) Para k periodos adelante, se tiene:. σ 2 t + k − V L = α (ε 2 t + k −1 − V L ) + β (σ 2 t + k −1 − V L ) Ahora definiendo E [ ε 2 t +k −1 ] = σ 2 t +k −1 y obteniendo el valor esperado a la expresión anterior resulta:. E[σ 2 t + k − V L ] = (α + β ) E[σ 2 t + k −1 − V L ] Usando una recursión y el hecho que E [ σ 2 t +k −1 ] = σ 2 t ya que la varianza incondicional se mantiene constante en el tiempo, entonces se llega a:. E[σ 2 t + k ] = V L + (α + β ) k (σ 2 t − V L ) Es precisamente esta última, la expresión que se usa para calcular los pronósticos de las volatilidades diarias.. 7.3 MODELOS OBTENIDOS Gracias a las pruebas estadísticas realizadas se logró encontrar un modelo ARMA (Autoregressive Moving Average) que representaba de forma adecuada la serie de retornos y un modelo GARCH para la varianza. Los estimados de los parámetros del modelo GARCH para la varianza se presentan a continuación. Tabla 1: Estimados de los Parámetros del modelo GARCH (1,1) parámetro VALOR P-VALUE. Constante 0.0000391 < 0.0001. arch(1) (αlfa) 0.0978 < 0.0001. garch(1) (beta) 0.8592 < 0.0001. Los modelos encontrados para la media y para la varianza de la serie fueron estimados usando diferentes herramientas y procedimientos en SAS V.8 y los resultados se presentan en el Apéndice B. Los modelos resultantes están dados por las siguientes expresiones: • Modelo de la Media: retornot = −0.0594 * retornot −5 + ε t Este modelo corresponde a un modelo autoregresivo AR (5) que implica que el valor de los retornos de los contratos futuros de café depende de los retornos de la semana anterior. El signo del coeficiente que acompaña al término autoregresivo indica que si por ejemplo, los retornos del lunes de la semana pasada aumentaron entonces los del lunes de esta semana tienden a disminuir. Esto puede deberse a que en el caso de un commodity tan volátil y transado como el café, el mercado tras una subida en el precio. 22.

(23) tome medidas que hagan que los precios tiendan a bajar un poco para mantenerse en una relativa estabilidad.. •. Modelo de la Varianza: σ 2 t = 0.0000391 + 0.0978 * ε 2 t −1 + 0.8592 * σ t2−1. Este es un modelo de tipo GARCH (1,1) que indica que la varianza de un periodo en particular depende de la varianza y de los errores (al cuadrado) del periodo inmediatamente anterior. Es importante mencionar que la suma de los parámetros GARCH (1,1) no supera la unidad lo que implica que la serie efectivamente es una serie estacionaria y que además los efectos de las innovaciones de la serie parecen ser permanentes. La mayoría de las series financieras siguen un proceso GARCH (1,1) y parece que el café no es la excepción. Es bastante lógico pensar que a periodos de alta volatilidad le sigan algunos otros periodos de alta volatilidad y que a periodos de relativa tranquilidad sigan periodos igualmente tranquilos. Esto se puede ver en la formación de clusters de volatilidad, un fenómeno muy común en las series financieras y se observa claramente en la serie de precios de los contratos de café que se expone en el Apéndice A. 8. ANÁLISIS DE RESULTADOS El objetivo principal de esta sección es resumir y analizar los resultados obtenidos de la implementación de los distintos modelos. Las pruebas iniciales se realizaron directamente sobre la serie de precios de contratos futuros de café, llegando a resultados poco alentadores. Lo primero a tener en cuenta es que como la mayoría de las series financieras, resultó no ser estacionaria (tiene al menos una raíz unitaria), por lo que la serie debe diferenciarse al menos una vez para conseguir una más parsimoniosa y así encontrar un modelo de tipo ARIMA o ARMA que se ajuste a los datos de la serie. Sin embargo, al diferenciar la serie de precios estudiada una y dos veces todavía existía evidencia de no estacionareidad lo que no permitió modelar la serie de precios de futuros de café de manera correcta. Si se hubiera seguido diferenciando la serie, se hubiera podido causar problemas en las estimaciones y posteriores pronósticos de los parámetros por sobrediferenciación. Debido a lo anterior, se decidió modelar los retornos de la serie de precios como se explica en la sección de metodología. La gráfica correspondiente a la serie de precios de los contratos futuros de café puede verse en el Apéndice A. Con la ayuda de los procedimientos de SAS V.8, se encontró un modelo AR (5) para la media (retornos) que cumple con todos los requerimientos estadísticos de una serie estacionaria y parsimoniosa. En ninguno de los casos se incluye un término constante, ya que tanto con los estimados de cuadrados mínimos ordinarios (CMO) como en los de. 23.

(24) máxima verosimilitud, no parece ser significativo al 95%. Otra de las razones para ignorar este término es el supuesto de que el valor esperado de los retornos es cero. En cuanto a la varianza de la serie, se logró modelar usando un modelo GARCH (1,1) simétrico para el cuál todos los parámetros resultan ser significativos al 95% de confianza. Además cumple con los supuestos de ruido blanco y pasa sin problemas las pruebas ARCH de los residuales que niegan la existencia de correlación entre los errores de la serie. Los resultados asociados los modelos finales se encuentran en el Apéndice B. Los modelos que se compararon fueron: Monte Carlo tradicional con Volatilidad incondicional de GARCH o GARCH a Largo Plazo BS con Volatilidad incondicional de GARCH o GARCH a Largo Plazo Monte Carlo tradicional con Volatilidad Pronosticada BS con Volatilidad Pronosticada Modelo GARCH implementado con Monte Carlo Econométrico o Dinámico BS con Volatilidad Promedio de la Serie de Retornos En las Tablas 2, 3 y 4 se presentan los errores de valoración para cada uno de los métodos aplicados. Al parecer, el modelo de BS parece calcular con mayor precisión el precio de las 8 opciones analizadas, sea cual sea la volatilidad utilizada (para los modelos modificados), lo que lleva a pensar que quizás la volatilidad no influye tanto en el sesgo o error del modelo con respecto a los valores reales. Sin embargo, no se puede ignorar el hecho de que el usar otros tipos de volatilidad como la pronosticada y la incondicional de GARCH aportan mejoras a la precisión y ajuste del modelo BS, como se muestra en las Tablas del Apéndice A. Según el valor del error de valoración promedio, el modelo que parece ofrecer las mejores valoraciones de las 8 opciones es el modelo de BS que usa como parámetro la volatilidad GARCH pronosticada. Esto indica además que el modelo GARCH hace una buena estimación de la volatilidad para el periodo del análisis de tal forma que los precios del modelo par las opciones y los precios reales de mercado no difieren significativamente. Como consecuencia, si tomamos la definición de volatilidad que da Alexander (2001), podría pensarse que estas volatilidades estimadas de GARCH no deben estar muy lejos de las verdaderas volatilidades implícitas asociadas a las opciones estudiadas.. 24.

(25) TABLA 2 ERRORES DE VALORACIÓN PARA MODELO VALORACIÓN CALL40 CALL50 BS Vol.Pronosticada 0.001033008 0.000698603 MONTE CARLO Vol.Pronosticada 4.163026959 4.170395171 BS GARCH LP 0.000952576 0.038741055 MONTE CARLO GARCH LP 6.17947021 6.196400032 GARCH (1,1) 1.410310209 1.449035621 BS Volatilidad Serie 0.000977005 0.026480989 Mínimo Error de Valoración Mejor Modelo. 0.000952576 BS GARCH LP. LAS CALL CALL62.5 1.434694288 8.782328623 4.616538767 9.908815517 1.472886078 3.702185224. 0.000698603 BS Vol.Pron. 1.434694288 BS Vol.Pron. CALL65 2.77789591 15.4807124 5.99058216 13.8186347 0.90063126 4.72744787 0.90063126 GARCH (1,1). TABLA 3: ERRORES DE VALORACIÓN PARA LAS PUT MODELO VALORACIÓN PUT 62.5 PUT 65 PUT 80 BS Vol.Pronosticada 15.29093283 79.3470731 74.0884274 MONTE CARLO Vol.Pronosticada 29.83580355 104.6004029 117.198662 BS GARCH LP 10.9051942 79.92291842 74.1812089 MONTE CARLO GARCH LP 26.22329949 100.6296063 121.411056 GARCH (1,1) 14.99369234 87.79721865 94.1549819 BS Volatilidad Serie 11.12653171 80.34519805 75.3950817. PUT 90 17.0564936 21.7605422 17.3031287 26.8688918 21.6470078 17.3967912. Mínimo Error de Valoración Mejor Modelo. 17.0564936 BS Vol.Pron. 10.9051942 BS GARCHLP. 79.3470731 BS GARCH LP. 74.0884274 BS Vol.Pron. TABLA 4: ERRORES DE VALORACIÓN GENERALES MODELO VALORACIÓN ERROR DE VALORACIÓN PROMEDIO BS Vol.Pronosticada 23.7496561 MONTE CARLO Vol.Pronosticada 38.24898425 BS GARCH LP 24.1199081 MONTE CARLO GARCH LP 38.90452177 GARCH (1,1) 27.97822048 BS Volatilidad Serie 24.09008672 Mínimo Error de Valoración 23.7496561 Mejor Modelo BS Volatilidad Pronosticada. El modelo GARCH (1,1) resulta mucho mejor que el método tradicional de Monte Carlo usando la volatilidad GARCH a largo plazo que propone RAO (2003), y que el Monte Carlo con volatilidades pronosticadas. Esto era lo que se esperaba desde el principio, debido a que este método no sólo está teniendo en cuenta las innovaciones aleatorias que afectan a la varianza sino que involucra un modelo econométrico tanto para los retornos como para las varianzas modelando escenarios muy cercanos a la realidad. La idea de este modelo es que sea más flexible que los métodos convencionales, pues a medida que vayan ocurriendo innovaciones aleatorias en los diferentes periodos, tanto los retornos como la volatilidad y varianza reflejarán estos cambios en periodos futuros. Esta precisión puede apreciarse en las Gráficas que se presentan a continuación.. 25.

(26) GRÁFICA II: VALORACIÓN PUTS MÉTODO GARCH (1,1) Puts MC Econometrico 30. 25. 62.5. 20. Valor Put. 65 80 15. 90 62.5 mercado 65 mercado 80 mercado 90 mercado. 10. 5. 0 31/12/2003 07/01/2004 12/01/2004 15/01/2004 21/01/2004 23/01/2004 27/01/2004 05/02/2004 09/02/2004 10/02/2004. Fecha. GRÁFICA III: VALORACIÓN CALLS MÉTODO GARCH (1,1) Calls MC Econometrico 45. 40. 35. Valor Call. 30. call 40 call 50 call 62.5 call 65 40 mercado 50 mercado 62.5 mercado 65 mercado. 25. 20. 15. 10. 5. 0 25/12/03. 30/12/03. 04/01/04. 09/01/04. 14/01/04. 19/01/04. 24/01/04. 29/01/04. 03/02/04. 08/02/04. 13/02/04. Fecha. En el Apéndice C se pueden apreciar las Tablas 2-7 con los precios de las opciones obtenidas para cada modelo. Al comparar cuidadosamente estos valores con los valores de mercado de las respectivas opciones presentados en la Tabla 1 del mismo Apéndice, se puede observar por ejemplo que para los calls 62.5 y 65 el MONTE CARLO econométrico se comporta mejor que el BS con volatilidad GARCH a LP. Pero este último lo supera para las call 40 y 50 y en todas las opciones put.. 26.

(27) La diferencia entre el modelo GARCH (1,1) de valoración de opciones (Implementado con Monte Carlo Econométrico) y el mejor modelo de BS es relativamente pequeña. Estas diferencias pueden deberse al efecto de las corrientes aleatorias utilizadas en las simulaciones e indican que aunque el modelo GARCH no obtuvo los mejores resultados en todos los casos, es bastante eficiente y preciso en sus valoraciones. Vale la pena ver el desempeño del modelo BS Tradicional con respecto al proceso de valoración. Esto se presenta en las Gráficas IV y V. GRÁFICA IV: PRECIO CALLS BS TRADICIONAL VS. PRECIO DE MERCADO PRECISIÓN CALLS BS TRADICIONAL 45. 40. 35. PRECIO CALL. 30. call 40BS call 50BS call 62.5BS call 65 BS call 40 MDO. Call 50 MDO call 62.5 MDO call 65 MDO. 25. 20. 15. 10. 5. 31 /1 2/ 02 200 /0 3 1/ 04 200 /0 4 1/ 06 200 /0 4 1/ 08 200 /0 4 1/ 10 200 /0 4 1/ 12 20 0 /0 4 1/ 14 200 /0 4 1/ 16 20 /0 04 1/ 18 200 /0 4 1/ 20 200 /0 4 1/ 22 200 /0 4 1/ 24 200 /0 4 1/ 26 200 /0 4 1/ 28 200 /0 4 1/ 30 200 /0 4 1/ 01 20 0 /0 4 2/ 03 200 /0 4 2/ 05 200 /0 4 2/ 07 200 /0 4 2/ 09 200 /0 4 2/ 20 04. 0. FECHA. GRÁFICA V: PRECIO PUTS BS TRADICIONAL VS. PRECIO DE MERCADO PRECISIÓN PUTS BS 30. 25. PUT PUT PUT PUT PUT PUT PUT PUT. 15. 10. 62.5 BS 65 BS 80 BS 90 BS 62.5 MDO 65 MDO 80 MDO 90 MDO. 5. 0. 31 /1 2/ 02 200 /0 3 1/ 04 200 /0 4 1/ 06 200 /0 4 1/ 08 200 /0 4 1/ 10 200 /0 4 1/ 12 200 /0 4 1/ 14 200 /0 4 1/ 16 20 /0 04 1/ 18 200 /0 4 1/ 20 200 /0 4 1/ 22 200 /0 4 1/ 24 200 /0 4 1/ 26 200 /0 4 1/ 28 200 /0 4 1/ 30 200 /0 4 1/ 01 200 /0 4 2/ 03 200 /0 4 2/ 05 200 /0 4 2/ 07 20 /0 04 2/ 09 200 /0 4 2/ 20 04. PRECIO PUT. 20. FECHA. 27.

(28) Las volatilidades a comparar en este trabajo fueron las siguientes: • Volatilidad Histórica a 30 días obtenida de la serie de NYBOT • Volatilidad GARCH a LP calculada como: c / 1- α –β = 48.087 % anual. • Volatilidad GARCH pronosticada por método de Hull • Volatilidad GARCH promedio estimada mediante MONTE CARLO Econométrico. • Volatilidad Implícita obtenida como el promedio de la volatilidad Implícita del modelo BS para las calls y puts analizadas en este trabajo. Como se explica en la sección III, se encuentra la volatilidad implícita asociada a cada modelo de BS y se anualiza para compararla con las otras volatilidades obtenidas. Dado que no se pudo contar con los valores de las volatilidades implícitas del mercado para estas fechas, se comparan las volatilidades encontradas y estimadas con la volatilidad histórica a 30 días que se obtiene de la serie original de NYBOT, ya que esta última es una de las medidas de volatilidad más usadas y representa de manera adecuada el comportamiento de la serie de retornos. Para una opción europea simple, si el modelo de valoración es aplicado correctamente entonces no debería importar si se usa el precio de una call o de una put para encontrar la volatilidad implícita asociada. Si una call y una put tienen la misma fecha de maduración y ambas están disponibles para un mismo precio de ejercicio, entonces la volatilidad implícita de la call debería ser la misma que la que se obtiene a través de la put. Si se tiene en cuenta lo anterior entonces se puede verificar que los diferentes modelos de BS implementados (BS usando Vol. Incondicional GARCH y BS usando Vol. Pronosticada) en este documento se usaron adecuadamente, pues las volatilidades implícitas obtenidas para los 2 tipos de modelos de BS para las mismas opciones call y put con igual precio de ejercicio son prácticamente idénticas. Gráficamente se puede corroborar en la Gráfica VI que se presenta más adelante. Por otra parte, las volatilidades estimadas con el modelo Monte Carlo dinámico son bastante cercanas a los valores de la volatilidad histórica y se mantienen mucho más cerca de ella, que las volatilidades pronosticadas y la volatilidad incondicional de GARCH. Lo anterior se aprecia en la Gráfica VI. Esto indicaría que realmente la precisión con la que se modela la volatilidad y los retornos de la serie no es suficiente para mejorar el ajuste de la valoración de las opciones, pues con el modelo GARCH se logran buenas estimaciones y pronósticos de la volatilidad pero no las mejores valoraciones.. 28.

(29) GRÁFICA VI: VOLATILIDADES OBTENIDAS DE LOS DIFERENTES MÉTODOS Volatilidades por diferentes métodos 0.9 0.8 0.7. histórica Vol. GARCH a LP. Volatilidad. 0.6 Vol. GARCH Pronosticada BS Imp Pronosticada BS Imp Garch LP. 0.5 0.4. GARCH promedio estimada BS impl trad. 0.3 0.2 0.1. 09/02/2004. 07/02/2004. 05/02/2004. 03/02/2004. 01/02/2004. 30/01/2004. 28/01/2004. 26/01/2004. 24/01/2004. 22/01/2004. 20/01/2004. 18/01/2004. 16/01/2004. 14/01/2004. 12/01/2004. 10/01/2004. 08/01/2004. 06/01/2004. 04/01/2004. 02/01/2004. 31/12/2003. 0. FECHA. La gráfica anterior indica que todas las volatilidades encontradas por los diferentes métodos sobrepasan el nivel de la volatilidad histórica de la serie. La volatilidad que parece acercarse más a la volatilidad histórica de la serie es la volatilidad GARCH promedio estimada. La volatilidad implícita obtenida por BS Tradicional (Usando para todos los periodos la desviación de los retornos) es mayor durante todo el periodo analizado a la volatilidad GARCH promedio estimada. Esto era de esperarse, pues en general la volatilidad implícita contiene en sí toda la información del mercado y absorbe del precio de mercado de las opciones, los efectos de las innovaciones aleatorias en los precios del subyacente mientras que al simular la volatilidad como un proceso GARCH sólo se están teniendo en cuenta los efectos de las innovaciones aleatorias en el proceso de la varianza pero no en el precio de la opción. Se puede ver que las volatilidades implícitas encontradas para los modelos “modificados” de BS se aproximan a la volatilidad histórica a 30 días, pero aparecen unos picos muy grandes hacia la mitad del periodo analizado: un comportamiento bastante extraño pero posible. Este se debe al valor de la volatilidad implícita que resulta de valorar la put 65 en ese periodo y refleja la “imprecisión” de estos 2 modelos en particular para valorar esta opción el 21 de Enero del 2004. De hecho, en las Tablas de Resultados (Apéndice C) se puede ver que ambos modelos de BS sobrevaloran la put para esta fecha.. 29.

(30) Para verificar la robustez del modelo GARCH (1,1) en cuanto a la estimación y pronóstico de la volatilidad se procedió a hacer pruebas sobre los primeros 1893 datos de la serie para ver qué tan bien se ajustaba este modelo a la Volatilidad obteniendo resultados bastante satisfactorios. Tanto la volatilidad implícita como la histórica a 30 días están siempre por encima de la volatilidad estimada por GARCH, pero es de esperarse, ya que la volatilidad implícita contiene toda la información del mercado y las expectativas futuras de los inversionistas sobre el comportamiento de los futuros de café. También es posible que tanto la volatilidad implícita como la histórica de la serie absorban más rápido los efectos de las innovaciones aleatorias sobre los precios del café que el modelo de GARCH, pues este sólo tiene en cuenta los efectos de las innovaciones en la volatilidad pero no involucra los precios de las opciones ni del café. Hay que tener presente que en sí todos los procedimientos adicionales hacen parte de un backtesting pues las valoraciones de las opciones se evalúan según su aproximación a los precios del mercado y volatilidades de los siguientes periodos hasta el 12 de Febrero del 2004. La Gráfica VII contiene las 3 series de volatilidades que se explicaron antes. GRÁFICA VII: BACKTESTING DE LA ESTIMACIÓN MODELO GARCH (1,1). Volatilidad garch(1,1) vs Histórica. Vol. Histórica Vol.Estimada GARCH (1,1) Vol. Implícita. 1.6. 1.4. 1.2. Valor Volatilidad. 1. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. 0 1. 88. 175 262 349 436 523 610 697 784 871 958 1045 1132 1219 1306 1393 1480 1567 1654 1741 1828. -0.2. -0.4. Periodo. 30.

(31) 9. CONCLUSIONES Los resultados en la valoración de las opciones que se encuentran en el Apéndice C, muestran que el modelo de BS logra mejores estimaciones de los precios de las opciones de café que el modelo GARCH. Esto no coincide con lo encontrado por Heston y Nandi (2000) quienes investigaron el modelo de BS, el modelo GARCH lineal simétrico y otros modelos de valoración de opciones. Sin embargo sí es coherente con lo obtenido por Engle y Mustafa (1992) en su trabajo sobre las opciones call del SP&500. Ya que en este estudio sólo se trabajó con un número muy reducido de opciones es muy arriesgado generalizar los resultados obtenidos. En este caso en particular se puede concluir que aunque el modelo de la volatilidad es crucial para la valoración de una opción, una mejor aproximación a la volatilidad esperada no garantiza mayor precisión en la valoración de una opción. El modelo GARCH de valoración de opciones que fue implementado usando la simulación de Monte Carlo debía ser más flexible ante los continuos cambios aleatorios en los precios y volatilidades de los contratos futuros de café. Este modelo sólo tenía la restricción de que la varianza condicional se filtraba de los precios históricos. Esta restricción podría mejorar el desempeño del modelo cuando no se tienen datos muestrales y se pronostica, ya que usa un conjunto de información mayor. Pero aparentemente, el hecho de estimar simultáneamente los retornos y la volatilidad genera un rango muy amplio en los precios simulados, lo que lleva a una menor precisión en el cálculo del precio de las opciones. En contraste, el modelo de BS tradicional sólo usa los valores disponibles de mercado en la fecha de valoración, minimizando cualquier fuente significativa de incertidumbre y permitiendo mejores valoraciones. Si suponemos que el modelo de BS puede verse como un caso especial del modelo GARCH simétrico, entonces parece bastante extraño que el primero se ajuste mejor en la valoración de opciones, pero podría haber varias razones para que esto ocurra. La primera es que si el modelo de BS es un caso especial del modelo GARCH con αi=0 (para todo i ≠0) y βi=0, es posible que funcione mejor en este caso que todos los modelos GARCH potenciales. Segundo, en las simulaciones de Monte Carlo los resultados pueden variar según el número de muestras y replicaciones. Tercero, puede se posible que para el caso de un commodity tan volátil como el café, los precios de mercado de las opciones sobre contratos futuros de café “absorban” más rápidamente los efectos de las innovaciones diarias del mercado que el modelo GARCH de valoración de opciones que se implementaron lo que explicaría las diferencias además con el modelo de BS.. 31.