Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas

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(1)Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental MANUEL ALBERTO SANTANA PALACIOS. Asesor: JUAN SALDARRIAGA. Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas. Bogotá, Junio de 2005.

(2) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental TABLA DE CONTENIDO 1. 2. 3.. INTRODUCCIÓN.......................................................................................................... 3 ANTECEDENTES ......................................................................................................... 6 OBJETIVOS................................................................................................................... 9 3.1 OBJETIVO GENERAL ......................................................................................... 9 3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................. 9 4. MARCO TEÓRICO ..................................................................................................... 11 4.1 Flujo en tuberías ................................................................................................... 11 4.2 Flujo Uniforme1 .................................................................................................... 13 4.3 Distribución de velocidades en tuberías circulares1 ................................................... 14 4.3.1 Flujo Laminar ...................................................................................................... 14 4.3.2 Flujo Turbulento.1......................................................................................... 15 4.4 El flujo en tuberías de alcantarillado .................................................................... 18 4.5 Ecuaciones gobernantes de flujo .......................................................................... 19 5. METODOLOGÍA DE LOS CÁLCULOS....................................................................... 26 5.1 DETERMINACIÓN DEL TIPO DE FLUJO........................................................... 26 5.2 DETERMINACION GRÁFICA DE LA FORMA DE LA ECUACIÓN DE COLEBROOK-WHITE. .................................................................................................. 28 5.3 METODOLOGÍA PARA LA CORRECCIÓN DE LA ECUACIÓN ..................... 29 6. CÁLCULOS .................................................................................................................... 34 6.1 TIPO DE FLUJO ........................................................................................................ 34 6.2 FORMA DE LA ECUACIÓN DE COLEBROOK-WHITE..................................... 38 6.3 CÁLCULO DE LA ECUACIÓN. ............................................................................. 40 6.3.1 Cálculo del factor de fricción para el caso de FTHL.................................... 41 6.3.2 Cálculo del factor de fricción para el caso de FTHR ................................... 47 7. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS ............................................................................. 62 8. CONCLUSIONES............................................................................................................ 64 9. RECOMENDACIONES .................................................................................................. 66 10. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................ 68. 2 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(3) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. 1. INTRODUCCIÓN La ecuación de Colebrooke-White con la cual se calcula el factor de fricción f, se dedujo en condiciones de flujo presurizadas. Esta ecuación para flujo totalmente lleno parte de la integración de perfiles de velocidad, donde junto con las ecuaciones de Prandtl y Von Karman llegan al resultado que se conoce hoy en día. Para usar esta ecuación en tuberías fluyendo parcialmente llenas, se introdujo el concepto de radio hidráulico, el cual reemplaza al diámetro en la ecuación. Este representa de alguna manera la relación entre el diámetro y la altura de la lámina de agua. Sin embargo no se modificaron los coeficientes 3.7 y 2.51, los cuales son resultado de la deducción de la ecuación para flujo presurizado. Los cambios hechos en la ecuación de Colebrook-White no son suficientes. Teniendo en cuenta que el perfil de velocidad que se forma en una tubería fluyendo parcialmente llena no es igual al perfil que se forma en una fluyendo presurizada. Para el caso de tuberías fluyendo a presión se obtiene una simetría radial del perfil de flujo, mientras que en tuberías fluyendo parcialmente llenas no se tiene tal simetría. Adicionalmente se ha demostrado que el cálculo del caudal por medio de la ecuación de Colebrooke-White (Ecuación 4.27) para el caso de alcantarillados no calcula el caudal real que pasa para la tubería, sino que proporciona una aproximación muy cercana a este valor.. 3 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(4) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental El estudio de la ecuación está basado en perfiles de velocidad medidos en la tesis “DISTRIBUCION. DE. VELOCIDADES. EN. TUBERIAS. DE. PVC. PARA. ALCANTARILLADOS), realizada por Luz Adriana Ramírez Hidalgo para la Universidad de los Andes en el año 2002. Para la realización del estudio se procedió primero con la determinación del tipo de flujo. La ecuación de Colebrooke-White fue planteada para flujo transicional, parcialmente lleno; sin embargo su aplicación mostró no solo servir para flujo transicional, sino que servía también en flujo turbulento hidráulicamente liso (FTHL) y flujo turbulento hidráulicamente rugoso (FTHR). Es importante saber que tipo de flujo se presenta en cada medición, ya que si se tiene FTHL o FTHR el estudio se remite a un solo coeficiente, 2.51 o 3.7 respectivamente. Si el tipo de flujo presente en los perfiles medidos es transicional se deben estudiar simultáneamente los dos coeficientes. Se ha demostrado que la ecuación se puede simplificar suprimiendo la parte que acompaña al coeficiente 3.7 para FTHL, o al coeficiente 2.51 si se tiene FTHR. La ecuación se puede también usar en su forma general para FTHL o para FTHR (sin simplificarse), ya que al reemplazar todas las variables dentro de la ecuación, los factores que acompañan el coeficiente 2.51 hacen que toda la expresión que multiplica a este coeficiente sea casi cero para FTHL, por lo tanto da igual evaluarla en su forma general o simplificarla como se mencionó anteriormente. Lo mismo ocurre si se tiene FTHR, pues la las variables que acompañan al coeficiente 3.7 hacen que esta expresión tienda a cero. Por otro lado, el flujo transicional es una condición de flujo que se encuentra entre la condición de flujo turbulento hidráulicamente liso y flujo turbulento hidráulicamente rugoso. Por esta situación se deben estudiar los dos coeficientes de manera simultánea para el caso de flujo transicional.. 4 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(5) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental El segundo paso a seguir depende mucho de la determinación del tipo de flujo. Si se tiene ya sea FTHL o FTHR en todas las mediciones, se puede simplemente despejar el coeficiente en cada caso y se obtiene un valor equivalente al dicho coeficiente para cada medición, porque la única incógnita en cada caso es el coeficiente 2.51 para FTHL y 3.7 para FTHR. Por otro lado si se obtiene flujo transicional en cualquiera de las mediciones se deben hacer un estudio mucho más detallado. El tercer paso a seguir, si se presenta flujo transicional, es estudiar la forma de la ecuación, para saber que procedimiento matemático se puede aplicar para hallar los dos coeficientes. La mayoría de procedimientos para la calibración de ecuaciones en este tipo de situaciones, una ecuación y dos incógnitas o más incógnitas, buscan combinaciones de números que minimicen el error del resultado de la ecuación. Por lo tanto este tipo de metodología es confiable solo si la ecuación evaluada en un rango de valores muy alto tiene un solo mínimo absoluto, es decir, el problema tiene una sola respuesta. Dado el caso contrario, no es aconsejable usar este tipo de metodología pues el resultado del par de coeficientes que se obtiene en este caso obedece a un par de coeficientes que minimizan el error en el resultado de la ecuación, pero este mínimo es un mínimo local. Los programas que resuelven este tipo de situaciones obtienen de manera aleatoria el par de coeficientes que minimizan el error, escogiendo un par de coeficientes entre muchos que también garantizan el mismo resultado. Si al evaluar la ecuación con varias combinaciones de coeficientes no se obtiene un mínimo absoluto, es necesario replantear toda la ecuación. Se debe realizar la deducción de manera matemática similar a como se dedujo la ecuación para flujo presurizado. Esto conduce a una nueva ecuación que calcule el factor de fricción, utilizando las mismas variables empleadas en la ecuación para flujo presurizado. 5 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(6) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. 2. ANTECEDENTES Los estudios que se han realizado en la Universidad de los Andes, tanto tesis como investigaciones internas, referentes al estudio del comportamiento del agua en alcantarillados han sido de gran ayuda para el desarrollo de esta tesis. Julián Andrés Cruz en su tesis,. Aplicabilidad de las ecuaciones de Darcy -. Weisbach y Colebrook – White al caso de flujo en tuberías parcialmente llenas, trabajó de forma teórica con las ecuaciones para el diseño de alcantarillados. En este estudio se encontraron diferencias entre los resultados que se obtienen si se diseña con la ecuación de Manning o con la ecuación de Colebrook-White. Para el caso de la ecuación de Manning, los resultados de diseño podrían llevar a un alcantarillado sobrediseñado, considerando también el error que se comete al usar un n de Manning constante en los diseños. En la segunda ecuación se obtiene un resultado más cercano al que se debe llegar. Esto le da más fuerza a la validez de la ecuación de Colebrook-White. Sin embargo el caudal calculado usando la ecuación de Colebrook-White no es el que realmente pasa en la tubería para la cual se realizó dicho cálculo. La procedencia de los resultados de la tesis realizada por Julián Andrés Cruz son netamente teóricos. Para el caso del estudio de la ecuación de Colebrook-White supuso un perfil de velocidades para el caso de FTHL y otro para FTHR en un alcantarillado. Con este perfil ya definido y variando la altura de la lámina de agua, procedió a integrar de manera numérica cada situación obteniendo así un caudal para cada caso. Una vez calculadas las variables independientes de la ecuación, despejó el coeficiente 2.51 para el caso de FTHL y 3.7 para FTHR. Finalmente se 6 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(7) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental obtuvieron relaciones entre la variación de los coeficientes y las variables en la ecuación que afectaban cada tipo de flujo. Sin embargo se recomienda realizar un estudio experimental para corroborar los resultados teóricos obtenidos. Luz Adriana Ramírez en su tesis “Distribución de velocidades en tuberías de PVC para alcantarillados” realizó experimentos que proporcionaban la distribución de velocidades en tuberías de PVC para alcantarillados. El montaje consistía en una tubería Novaloc de 610mm de diámetro externo y 595mm de diámetro; un coeficiente ks de 0. 74mm; una longitud de 10.54mts de largo y unas ranuras realizadas en la parte superior de la tubería a 6.74mts y 8.74mts aguas abajo de la parte superior para colocar el velocímetro de efecto Doppler, el cual le permitió medir la velocidad en varios puntos transversales de cada ranura. Las mediciones de velocidad se realizaron para varias pendientes de la tubería, y se encontraron los perfiles de velocidad para cada variación de pendiente. Se encontraron diferencias entre el caudal que se medía en el vertedero del montaje, el caudal que se halla de forma teórica con la ecuación de ColebrookWhite y el caudal resultado de la integración numérica del perfil de velocidades; lo que compromete la confiabilidad del diseño de cualquier alcantarillado bajo la ecuación de Colebrook-White. Esto cuestiona de alguna manera la exactitud de la ecuación, la cual puede mejorar considerablemente si se reevalúan los coeficientes 3.7 y 2.51 que son utilizados también en la ecuación para el diseño de tuberías fluyendo a presión. La metodología de cálculo utilizada por Luz Adriana Ramírez consistía en la generación de 3000 números aleatorios para cada coeficiente en un rango dado y para cada pareja de números se calcula el caudal con la ecuación de ColebrookWhite. Luego se calcula el error cuadrado entre el caudal calculado con las 7 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(8) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental parejas de números generados aleatóriamente y el caudal integrado. A partir de este error, usando Excel se escogió la pareja que tuviera el mínimo error, encontrando así un par de coeficientes para cada perfil medido. Se pudo ver que los coeficientes cambiaban a medida que se variaban las condiciones del flujo en cada perfil. Por otro lado, para la realización no solo de la tesis mencionada anteriormente, el CIACUA (Centro de Investigación de Acueductos y Alcantarillados) ha realizado estudios experimentales para la determinación de las rugosidades de tuberías de diferentes materiales. Esto con el fin de tener plena confiabilidad sobre las características de las tuberías que se usan actualmente, y de alguna manera poder entender mejor su comportamiento hidráulico.. 8 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(9) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. 3. OBJETIVOS. 3.1. OBJETIVO GENERAL. Realizar un análisis de la ecuación de Colebrook-White para tuberías fluyendo parcialmente llenas. El análisis se basa en el error de cálculo que produce la ecuación, qué fue deducida para flujo lleno y no para las condiciones presentes en alcantarillados (flujo parcialmente lleno). Por lo tanto. es necesario. replantearla para obtener resultados mucho más exactos, ya sea con la calibración directa de los coeficientes o con la deducción de la ecuación siguiendo el mismo procedimiento que se usa para la deducción de la ecuación de Colebrook-White en flujo presurizado.. 3.2 •. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Formular una metodología que permita definir el tipo de flujo, el cual se presenta en cada medición tomada de la tesis “Distribución de Velocidades en tuberías de PVC para Alcantarillados”. (flujo transicional, flujo turbulento hidráulicamente liso o turbulento hidráulicamente rugoso).. •. Una vez definido el tipo de flujo en necesario observar si existe variación en los coeficientes 2.51 o 3.7 de la ecuación de Colebrook-White presentes en flujo presurizado para el caso de flujo parcialmente lleno. La metodología de evaluación de dichos coeficientes depende del tipo de flujo que se presente en cada medición. 9. Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(10) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental •. Replantear la ecuación en caso que uno o ambos coeficientes cambien para obtener mayor exactitud en el resultado de la misma, es decir garantizar cálculos más confiables en diseños de alcantarillados.. 10 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(11) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. 4. MARCO TEÓRICO 4.1. Flujo en tuberías1. Un fluido es una sustancia incompresible, la cual cuando es sometida a movimiento y en contacto con cualquier superficie, presenta resistencia al esfuerzo cortante. Para el caso específico del flujo en tuberías, el fluido experimenta fuerzas de presión, gravitacionales, y fuerzas de fricción. En un principio se establecieron ecuaciones basadas en el equilibrio de las fuerzas presentes en un fluido en contacto con una superficie cualquiera, en este caso la superficie interna de una tubería. En la búsqueda de ecuaciones que permitieran entender el comportamiento del flujo en tuberías se realizaron varios experimentos. Uno de los experimentos más representativos fue realizado por Osborne Reynolds entre 1880 y 1884. Con dicho experimento se encontraron diferencias entre los flujos laminar, turbulento y en transición. El experimento consistió en un tubo donde se introducía tinta dentro de un flujo de agua. En caudales relativamente bajos la tinta no se mezclaba, lo cual se le atribuye al flujo laminar. En el caso de caudales altos la línea que formaba la tinta comenzaba a hacerse inestable, lo cual ocurre en flujo transicional. Por último, para caudales más altos, la tinta se mezclaba completamente, condición definida en flujo turbulento. Adicionalmente Reynolds repitió su experimento con diferentes diámetros de tuberías y diferentes fluidos, encontrando similitudes en los comportamientos del flujo, llegando así a un número, el número de Reynolds, el cual establece que para números de Reynolds menores a 2200 el flujo es laminar;. 1. HIDRAÚLICA DE TUBERIAS. Juan G. Saldarriaga. Mc Graw Hill.. 11 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(12) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental para el rango entre 2200 y 4500 el flujo se localiza en la zona de transición; y para números de Reynolds mayores a 4500 el flujo es turbulento. Una vez se tenían establecidos los tipos de flujo, e identificados con el número de Reynolds, se comenzó a estudiar el aumento del esfuerzo cortante relacionado con el aumento de la turbulencia en el flujo. Bussinesq en 1877 basado en sus estudios, introdujo el concepto de viscosidad turbulenta, y junto con esto introdujo un nuevo esfuerzo cortante causado por el grado de turbulencia del flujo. Todos estos conceptos se basaron en el intercambio de moléculas que existe entre dos capas de fluido moviéndose a diferentes velocidades, situación que ocurre en flujo turbulento. Por otro lado, Reynolds basado en los estudios de Bussinesq, y basado también en el movimiento de las partículas de agua dentro del flujo, llegó a establecer otra expresión para el esfuerzo cortante presente en el flujo turbulento. Ambas expresiones de esfuerzo cortante tomaban el momentum presente en las partículas para pasar de una lámina de agua a otra. Este momentum es directamente proporcional al grado de turbulencia del flujo. Más tarde Prandtl (1925) introdujo en el concepto de longitud de mezcla. Esta longitud de mezcla se define como la distancia que debe viajar un conjunto de moléculas para perder su momentum extra, es decir para cambiar de posición en la vertical o cambiar de lámina de agua dentro del flujo. Adicionalmente Prandtl determinó las implicaciones que tiene el contacto de la pared sólida de la tubería con el flujo. Llegó a que existe una capa límite, la cual es la zona del flujo que esta afectada por el esfuerzo cortante. Por otro lado, la pared sólida impide que ocurran vibraciones en el eje vertical, formándose así una zona de flujo laminar. Esta zona se le conoce como la subcapa laminar viscosa. Teniendo claro este último concepto, se definieron el flujo turbulento hidráulicamente liso y el turbulento hidráulicamente rugoso. El primero de estos dos ocurre cuando el tamaño medio 12 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(13) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental de la rugosidad de la tubería es mayor que el tamaño de la subcapa laminar viscosa. El flujo turbulento hidráulicamente rugoso se presenta cuando el tamaño de la rugosidad media es mayor al de la subcapa laminar viscosa.. Figura 1. Flujos hidráulicamente lisos e hidráulicamente rugosos1. 4.2. Flujo Uniforme1. El flujo se considera uniforme cuando las cantidades físicas presentes en el flujo permanecen constantes. La altura y la velocidad permanecen constantes en toda la longitud de recorrido del flujo. Esta condición hace que sea más fácil tanto el análisis del flujo como la deducción de las ecuaciones para el diseño. Las fuerzas que actúan directamente sobre el flujo son las fuerzas de presión, las fuerzas gravitacionales y las fuerzas de fricción. En este caso existe un equilibrio entre las fuerzas de fricción con las fuerzas gravitacionales y de presión.. 1. HIDRAÚLICA DE TUBERIAS. Juan G. Saldarriaga. Mc Graw Hill.. 13 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(14) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. 4.3 Distribución de velocidades en tuberías circulares1 Dependiendo del tipo de flujo, laminar o turbulento, se presentan diferentes perfiles de velocidad. Los perfiles de velocidad que se conocen actualmente provienen del análisis de los vectores de velocidad en la sección transversal de tuberías fluyendo a presión, y fueron deducidas a partir de las ecuaciones de esfuerzo cortante para cada tipo de flujo.. 4.3.1 Flujo Laminar1 En el caso del flujo laminar la ecuación de la distribución de velocidades en la sección transversal de cualquier tubería parte de la definición de esfuerzo cortante de Newton para fluidos viscosos:. τ =µ×. dv dr. Ec 4.1. En el caso de tuberías circulares teniendo en cuenta la distribución de esfuerzos, se tiene que:. τr = µ ×. dv r =τ0 × dr ro. Ec 4.2. r < ro. 1. HIDRAÚLICA DE TUBERIAS. Juan G. Saldarriaga. Mc Graw Hill.. 14 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(15) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental Después despejando el diferencial de velocidad e integrando la expresión entre cero y “r”, se obtiene finalmente la ecuación de distribución de velocidades para la condición de flujo laminar la cual obedece a una distribución de tipo parabólico.. v=. ⎞ τ 0 ⎛ r2 × ⎜⎜ − r0 ⎟⎟ µ ⎝ r0 ⎠. Ec 4.3. Figura 2. Distribución de velocidades para flujo laminar1.. 4.3.2 Flujo Turbulento.1 En el caso del flujo turbulento, la presencia de la subcapa laminar viscosa modifica la distribución de velocidades. Por lo tanto se ha propuesto una distribución de velocidades compuesta por tres zonas.. En la zona laminar se tiene una. distribución lineal, en la zona llamada zona de transición se tiene una distribución de velocidades de tipo logarítmico y en la zona turbulenta se presenta una distribución exponencial de velocidad.. 1. HIDRAÚLICA DE TUBERIAS. Juan G. Saldarriaga. Mc Graw Hill.. 15 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(16) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. Figura 3. Distribución de esfuerzos y velocidades para flujo turbulento1. Para la zona laminar, donde actúa la subcapa laminar viscosa, se tiene la siguiente ecuación para definir el perfil: V x V* × V x = ν V*. Ec 4.4. En la zona de transición se parte de la ecuación de esfuerzo cortante definida por Prandtl:. ⎛ dV τ 0 = ρ × k × y × ⎜⎜ x ⎝ dy 2. 2. ⎞ ⎟⎟ ⎠. 2. Ec 4.5. Teniendo en cuenta que:. τ0 = V* ρ. Ec 4.6. Se obtiene la expresión 16 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(17) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. dV x 1 dy = × V* k y. Ec 4.7. Luego integrando la expresión anterior se llega a la ecuación definitiva para el perfil de velocidades en la zona de transición para flujo turbulento.. Vx 1 = Ln( y ) + C V* k. Ec 4.8. El desarrollo de la ecuación anterior es para el caso de flujo turbulento hidráulicamente liso, lo que lleva a la expresión definitiva de distribución de velocidades:. Vx V ×y 1 Ln * = + 5.47 V * 0.4 ν. Ec 4.9. Adicionalmente, para el caso de flujo turbulento hidráulicamente rugoso, Nikuradse llegó a la expresión que obedece a la distribución de velocidades cuando la rugosidad sí afecta la subcapa laminar viscosa. Por lo tanto dicha distribución obedece a la siguiente ecuación:. Vx y 1 Ln + 8.48 = V * 0.4 ks. Ec 4.10. En la zona turbulenta hay dos teorías. La primera afirma que la distribución en esta zona es muy similar a la distribución de velocidades en la zona de transición. La segunda dice que la distribución es exponencial y se rige por la siguiente ecuación: 17 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(18) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. ⎛ y⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ V x ⎝ r0 ⎠ Vx. n. Ec 4.11. En este caso n corresponde a 1/7 si el Número de Reynolds es menor a 10000. Si el número de Reynolds aumenta él n disminuye.. 4.4. El flujo en tuberías de alcantarillado. El flujo en tuberías de alcantarillado se considera como parcialmente lleno y se diseña para que cumpla esta especificación geométrica, permitiendo la debida aireación del flujo de agua. Esta altura máxima de lámina de agua dentro de un alcantarillado está estipulada en el RAS (Reglamento Técnico del Sector de Agua Potable y Saneamiento Básico) entre 70% y 85% del diámetro interno de la tubería de alcantarillado. Esto para evitar problemas de aireación y de contaminación en el caso que se rebose el alcantarillado. La altura de la lámina de agua, en este caso no mayor de 90%, hace que el estudio de las ecuaciones gobernantes de flujo sea más complicado, que en el caso de tuberías fluyendo presurizadas. Primero se debe tener en cuenta que el perfil de velocidades no tiene ningún tipo de simetría, por lo tanto no hay una ecuación que defina un perfil determinado para ningún tipo de flujo en tuberías de alcantarillado. En el caso de flujo parcialmente lleno se introduce el concepto de radio hidráulico, el cual reemplaza al diámetro en todas las ecuaciones conocida para el flujo presurizado.. 18 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(19) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. 4.5. Ecuaciones gobernantes de flujo1. Las ecuaciones gobernantes de flujo, como su nombre lo indica, describen de alguna manera lo que ocurre con el agua dentro de una tubería en condiciones dadas. Todas las ecuaciones que se muestran a continuación son aplicaciones prácticas de la Física que describe el flujo en tuberías, y sirven finalmente para realizar diseños de sistemas tuberías o comprobación de los mismos. Como ya se había mencionado las ecuaciones que actualmente se conocen parten de los perfiles de velocidad, los cuales a su vez provienen de ecuaciones que describen el esfuerzo cortante en las paredes de una tubería. Después de tener las ecuaciones que describen el perfil de velocidad en los diferentes tipos de flujo se introdujo el concepto de factor de fricción f. El primero en hablar de este fue Henry Darcy, quien junto con Julius Weisbach llegaron a una expresión que cuantifica las pérdidas por fricción que se tiene en una tubería, la ecuación de Darcy-Weisbach:. hf = f ×. l v2 × d 2× g. Ec 4.12. Después se encontró la relación entre el factor de fricción de Darcy y el esfuerzo cortante:. f =. 1. 8 ×τ 0 ρ × v2. Ec 4.13. HIDRAÚLICA DE TUBERIAS. Juan G. Saldarriaga. Mc Graw Hill.. 19 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(20) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental Adicionalmente se encontró la relación entre la velocidad de corte y el esfuerzo cortante f.. V* =. f V 8. Ec. 4.14. La definición de las ecuaciones ya mostradas, llevaron a Prandtl y Von Kàrmàn a deducir ecuaciones específicas para el factor de fricción en el caso de Flujo turbulento hidráulicamente liso y rugoso. Estas ecuaciones resultan de buscar el caudal por medio de la integración de la ecuación:. dQ = V × dA. Ec 4.15. Para resolver esta ecuación se debe integrar en términos radiales, debido a la simetría de los perfiles que se forman en le flujo presurizado. Por lo tanto el diferencial dA se reemplaza por su expresión equivalente en términos radiales:. dA = 2 ∏ (r − y )dy. Ec 4.16. La siguiente figura muestra la forma que tiene el diferencial dA, dentro de la tubería fluyendo a presión:. 20 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(21) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. Figura 4. Diferencial dA en flujo presurizado. La variable de velocidad, se reemplaza por la expresión encontrada para cada perfil de velocidad en el caso de flujo turbulento (Ec. 4.9 para FTHL). r. dQ = ∫ 2 ∏ V ( r − y )dy 0. Ec 4.17. r⎛ V V ×y 1 ⎞ dQ = 2 ∏ ∫ ⎜ x = Ln * + 5.47 ⎟( r − y )dy 0 V * ν 0.4 ⎝ ⎠. Ec 4.18. Después de integrar la ecuación 4.18, y reemplazando dentro de esta expresión las ecuaciones del Número de Reynolds y la ecuación que relaciona la velocidad. 21 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(22) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. de corte y el factor de fricción (Ec. 4.4) se llega a la expresión para determinar el factor de fricción f, conocida como la ecuación de Prandtl-Von Kárman para FTHL.. 1 = 2 Log 10 Re f. f − 0.8. Ec 4.19. Siguiendo el mismo procedimiento que se usó para deducir la expresión de f, para FTHL, usando la ecuación de distribución de velocidad para el caso de FTHR (Ec 4.9) se obtiene la expresión para el factor f del FTHR:. ⎛d⎞ = 2 Log 10 ⎜ ⎟ + 1.14 f ⎝ ks ⎠. 1. Ec 4.20. Más adelante los investigadores ingleses Colebrook y White se dedicaron a estudiar el caso de Flujo transicional, el cual es que se presenta en la mayoría de los casos, y obtuvieron la expresión con la que actualmente se diseñan muchos sistemas de tuberías. La ecuación que hoy se conoce esta basada en las ecuaciones de Prandtl y Von Kàrmàn para el cálculo del factor de fricción. Adicionalmente, con base en los estudios que Colebrook y White realizaron, se estableció el rango en el cual se encontraba el flujo transicional:. 0.305δ ' < Ks ≤ 6.10δ ' Ec 4.21 Colebrook y White llegaron a la expresión que define el factor de fricción dentro del flujo en transición, basados en sus estudios y experimentos que definían el rango en el cual se encontraba el flujo transicional (Ec. 4.21). 22 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(23) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental La ecuación 4.19 se puede escribir de la siguiente manera:. ⎛ Re f 1 = 2 Log10 ⎜⎜ 0.8 f ⎝ 10 2. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. Calculando el denominador dentro del logaritmo se obtiene:. ⎛ Re f 1 = 2 Log10 ⎜⎜ f ⎝ 2.51. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. Ahora la ecuación 4.20 se puede escribir así:. 1 ⎛ d 1.14 ⎞ = 2 Log10 ⎜ 10 2 ⎟⎠ f ⎝ ks La anterior expresión se puede simplificar de la siguiente manera:. 1 ⎞ ⎛d = 2 Log10 ⎜ 3.7 ⎟ f ⎠ ⎝ ks Por lo tanto se puede llegar a una expresión para flujo transicional que incluya las ecuaciones 4.19 y 420 ya simplificadas, las cuales contienen los coeficientes 2.51 y 3.7 respectivamente.. ⎛ k 2.51 = −2 Log 10 ⎜ s + ⎜ 3.7d Re f f ⎝. 1. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. Ec 4.22. 23 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(24) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental La ecuación mostró ser válida no solo para este tipo de flujo, sino también para FTHL y para FTHR. Si se despeja el factor de fricción f de la ecuación de Darcy se obtiene que:. f =. hf × d × 2 × g l ×V 2. Ec 4.23. Reemplazando este factor de fricción en la ecuación de Colebrook-White se obtiene:. ⎛ ks 2.51vV l = −2 Log 10 ⎜ + ⎜ 3.7d Re 2 gdh 2 gdh f f ⎝ V l. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. Ec 4.24. La expresión anterior se puede simplificar más si se reemplaza el número de Reynolds por:. Re =. Vd v. Ec 4.25. Finalmente despejando la velocidad, dejándola como variable dependiente y multiplicando la ecuación en ambos lados por el área, se obtiene la expresión final de diseño para tuberías fluyendo a presión:. ⎛ ks 2.51v Q = −2 2 gdS ALog 10 ⎜ + ⎜ 3.7d d 2 gdS ⎝. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. Ec 4.26. Para el caso de tuberías con flujo parcialmente lleno se tiene la relación entre el diámetro y el radio hidráulico R siguiente: d = 4R. Ec 4.27. 24 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(25) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. Por lo tanto la ecuación se puede reescribir como: ⎛ ks 2.51v Q = −2 8 gRS ALog 10 ⎜ + ⎜ 3.7( 4) R 4 R 8 gRS ⎝. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. Ec 4.28. La ecuación 4.28 se usa para diseñar tuberías que fluyen parcialmente llenas. Esto se aplica directamente al caso de alcantarillados.. 25 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(26) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. 5. METODOLOGÍA DE LOS CÁLCULOS. 5.1 DETERMINACIÓN DEL TIPO DE FLUJO Para dar inicio a todo el procedimiento que implica cálculos en general, una vez definido el y para cada perfil, se deben encontrar los factores geométricos que definen el flujo parcialmente lleno, tales como θ, Área “A”, Radio hidráulico “R” (Tabla 1). La tubería que se usó era una Novaloc, la cual tenía un diámetro de 24 pulgadas, equivalente a 0.595mts de diámetro interno. La rugosidad de la tubería se tomó como 0.74mm, y el agua que circulaba por la tubería tenia una viscosidad de 1.141x10-6 m2/s, equivalente a agua fluyendo a 15°C de temperatura (Tabla 1). Posteriormente, sabiendo los valores del caudal medido en el vertedero para cada perfil, se calcula la velocidad y el número de Reynolds. Esto para poder determinar el factor de fricción f (Tabla 1). Es importante saber que tipo de flujo se tiene en cada medición. Es decir a que tipo de flujo obedece cada perfil de velocidad que se encontró. Por tal razón se realizó un cálculo simple después de tener todas las variables (θ, A, R, S, yn, Q) producto del experimento realizado en la tesis de la cual se tomaron los datos. La metodología de cálculo, definida por el autor de esta tesis, tiene como objetivo saber el porcentaje que aporta el factor que representa el flujo turbulento hidráulicamente liso (FTHL) y el porcentaje del factor que representa el flujo turbulento hidráulicamente rugoso (FTHR), dentro del paréntesis que afecta el 26 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(27) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. logaritmo en base diez de la ecuación de diseño de Colebrook-White. De esta manera, ya teniendo los respectivos porcentajes, se determina el tipo de flujo. El factor dentro de la ecuación que representa la parte FTHL:. 2.51 Re×. Ec 5.1. f. Por otro lado el factor que representa la parte de FTHR:. Ks 3.7 × 4 × R. Ec 5.2. Adicionalmente la ecuación básica de Colebrook-White, derivada de los cálculos que llevaron a Prandtl y Von Kàrmàn a establecer ecuaciones individuales para el factor de fricción en el caso de FTHL y FTHL, tiene la siguiente forma:. ⎛ ks 2.51 = −2 × log10 ⎜ + ⎜ 3.7 × 4 × R Re f f ⎝. 1. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. Ec 5.3. El porcentaje de FTHL se calcula de la siguiente manera:. % FTHL =. 2.51 Re× f Ks 2.51 + Re× f 3.7 × 4 × R. × 100%. Ec 5.4. El porcentaje de FTHR se calcula de la siguiente manera: 27 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(28) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. ks 3.7 × 4 × R % FTHR = × 100% 2.51 ks + Re× f 3.7 × 4 × R. Ec 5.5. 5.2 DETERMINACION GRÁFICA DE LA FORMA DE LA ECUACIÓN DE. COLEBROOK-WHITE.. Es importante saber que forma presenta la función de la ecuación con el fin de buscar errores mínimos de caudal evaluándola con muchas combinaciones de valores para ambos coeficientes. Esto se puede realizar en Excel generando todas las combinaciones posibles entre ambos coeficientes en un rango definido para cada uno y posteriormente calcular el caudal con cada par de coeficientes. El coeficiente 3.7 lo se llamará A y el 2.51 se llamará B.. ⎛ ks B ×ν Q = −2 8 gRS Log 10 ⎜ + ⎜ A × 4 × R 4 × R × 8 gRS ⎝. ⎞ ⎟ Ec 5.6 ⎟ ⎠. Una vez tenga calculados los caudales con cada par de coeficientes, se calcula el error cuadrado medio entre el caudal calculado con la metodología descrita anteriormente y el caudal medido.. ECM = (QCalculado − Q Medido ). 2. Ec 5.7. Después de tener estos valores se realiza la gráfica en 3D, donde los ejes x y y, corresponden a los coeficientes A y B, y el eje z corresponde al error cuadrado. 28 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(29) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental medio para cada combinación de valores de A y B. Esto permite observar el comportamiento de la ecuación frente a un método de calibración donde se busca un par de coeficientes que minimicen el error del resultado. La grafica permite ver si la ecuación tiene un mínimo absoluto, lo cual me garantiza que el resultado del mínimo error es la única respuesta al problema.. 5.3 METODOLOGÍA PARA LA CORRECCIÓN DE LA ECUACIÓN La gráfica 1 muestra que no hay un mínimo absoluto dentro de un rango amplio para valores que reemplacen los coeficientes 3.7 y 2.51 en la ecuación. Esta afirmación justifica una reevaluación de la ecuación utilizando una metodología mucho más compleja que un método matemático simple para la calibración de ambos coeficientes. Por lo tanto es necesario tomar la teoría desde los inicios de la ecuación. Lo primero que se debe realizar es la obtención de tendencia de al menos uno de los perfiles, para así poder ajustarlas a los perfiles de velocidad presentes en flujo presurizado. (En la grafica 6.3 se observa la forma logarítmica que tiene los perfiles, por lo tanto se puede asumir que la distribución de velocidades y de esfuerzos es la misma que en flujo presurizado). Siguiendo la suposición de la distribución del perfil de velocidades se debe integrar la ecuación 5.8:. dQ = VdA. Ec 5.8. 29 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(30) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental Para integrar la ecuación 5.8 se debe definir un diferencial dA radial que sea consistente con las líneas de isovelocidad radiales en la sección transversal de la tubería. El diferencial dA (ecuación 5.9) que es consistente con la forma de las líneas de isovelocidad se observa en la figura 4.. dA = 2 ydydα. Ec. 5.9. Figura 5. Diferencial dA en flujo parcialmente lleno.. Para hallar el área se debe realizar una integral doble, ya que se tiene una variación entre “r” y “d/2” para el vector “y “radial, pero a su vez “r” varía con respecto al ángulo dα. Adicionalmente r debe ser reemplazado por su expresión en términos de θ y α para que el resultado quede en términos de d y θ.. 30 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(31) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental ⎛θ ⎞ D cos⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ Ec 5.10 r= 2 cos(α ) θ. D 2. 2. ∫ (θy )dydα. A = 2∫. Ec. 5.11. ⎛ ⎞ D cos ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2 cos (α ). 0. Al integrar este diferencial con respecto a y se obtiene: θ. A = ∫ (y 2. 0. 2. )]. D 2. ⎛θ ⎞ D cos ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2 cos (α ). dα. ⎛ ⎛θ ⎞ ⎞ ⎜ 2 D 2 cos 2 ⎜ ⎟ ⎟ D ⎝ 2⎠⎟ A= ∫⎜ dα − 2 ⎜ 4 4 cos (α ) ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ θ. 2. Luego se integra la ecuación anterior con respecto a α. θ. ⎛D2 ⎞⎤ 2 D2 ⎛θ ⎞ α − cos 2 ⎜ ⎟ tan α ⎟⎟ ⎥ A = ⎜⎜ 4 ⎝2⎠ ⎝ 4 ⎠⎦ 0 ⎛ D 2θ D 2 θ⎞ ⎛θ ⎞ A = ⎜⎜ − cos 2 ⎜ ⎟ tan ⎟⎟ 4 2⎠ ⎝2⎠ ⎝ 8. ⎛ D 2θ D 2 θ θ⎞ − cos sen ⎟⎟ A = ⎜⎜ 4 2 2⎠ ⎝ 8. 31 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(32) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. Simplificando con la identidad cos(θ 2 )sen (θ 2 ) =. A=. senθ se obtiene: 2. D2 (θ − senθ ) 8. Esta ecuación corresponde a la ecuación 6.1, la cual es la ecuación general para hallar el área mojada dentro de una tubería fluyendo parcialmente llena. Lo que garantiza que el dA utilizado es el indicado para el cálculo del caudal sin importar la altura de la lámina de agua. Una vez definido el diferencial dA (ecuación 5.9) se debe integrar la ecuación 5.8 reemplazando las ecuaciones que describen los perfiles de velocidad para FTHL y FTHR (ecuaciones 4.9 y 4.10 respectivamente). Después que se tengan las expresiones para el caudal en el caso de FTHL y FTHR se busca una expresión para el factor de fricción en cada caso. Al usar las ecuaciones 4.9 y 4.10 de perfil de velocidad en el caso de flujo parcialmente lleno se producen curvas de isovelocidad radiales con respecto al centro de la tubería.. 32 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(33) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. Figura 6. Curvas de Isovelocidad. La figura 5 muestra la forma de las curvas de isovelocidad que se forman en la tubería parcialmente llena. El perfil de velocidad resultante es un perfil de tipo logarítmico sin importar la altura de la lámina de agua. Si la lámina de agua se encuentra por debajo del centro de la tubería (D/2), el punto de máxima velocidad se localiza a la altura de la superficie. Por otro lado si la lámina de agua se encuentra por encima de D/2, el punto de máxima velocidad siempre se localiza en el centro de la tubería.. 33 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(34) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. 6. CÁLCULOS. 6.1 TIPO DE FLUJO La tabla 1 contiene los cálculos de todas las variables independientes de la ecuación de Colebrook-White, y los porcentajes de FTHL y FTHR para cada medición. ⎛ ⎝. θ = 2 × cos −1 ⎜1 −. 2× y ⎞ ⎟ D ⎠. Ec. 6.0. A=. D2 (θ − senθ ) 8. P=. 1 ×θ × D 2. Ec. 6.2 Perímetro mojado. R=. A 1 ⎛ senθ ⎞ = × ⎜1 − ⎟×D θ ⎠ P 4 ⎝. Ec. 6.3 Radio Hidráulico. Ec 6.1 Área mojada. 34 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(35) ICIV 200510-29. No. Pág.. Q (m3/s). Q (m3/s). Integrado. Medido. yn,. S. θ. A. R. V (m/s). Re. f. ks/(14,8R). 2,51/(Re*raíz(f)). %. %. FTHL. FTHR. 1. 190. 0,060. 0,061. 0,15. 0,00065. 2,104. 0,055. 0,088. 1,108. 341236,347. 0,00276. 0,000569. 0,000140. 19,75. 80,25. 2. 195. 0,072. 0,072. 0,152 0,00065. 2,120. 0,056. 0,089. 1,282. 399404,961. 0,00267. 0,000563. 0,000122. 17,77. 82,23. 3. 191. 0,067. 0,067. 0,153 0,00065. 2,127. 0,057. 0,089. 1,176. 368489,130. 0,00272. 0,000559. 0,000131. 18,94. 81,06. 4. 192. 0,075. 0,074. 0,155 0,00065. 2,143. 0,058. 0,090. 1,289. 408308,100. 0,00266. 0,000553. 0,000119. 17,73. 82,27. 5. 197. 0,077. 0,077. 0,155 0,00065. 2,143. 0,058. 0,090. 1,331. 421727,709. 0,00264. 0,000553. 0,000116. 17,31. 82,69. 6. 178. 0,066. 0,063. 0,16. 0,00065. 2,181. 0,060. 0,093. 1,048. 340977,121. 0,00276. 0,000539. 0,000140. 20,64. 79,36. 7. 180. 0,072. 0,074. 0,161 0,00065. 2,188. 0,061. 0,093. 1,213. 396717,037. 0,00267. 0,000536. 0,000122. 18,59. 81,41. 8. 179. 0,079. 0,074. 0,162 0,00065. 2,196. 0,061. 0,094. 1,202. 395351,399. 0,00268. 0,000533. 0,000123. 18,72. 81,28. 9. 187. 0,068. 0,068. 0,162 0,00065. 2,196. 0,061. 0,094. 1,112. 365835,548. 0,00272. 0,000533. 0,000132. 19,80. 80,20. 10. 175. 0,094. 0,093. 0,163 0,00065. 2,203. 0,062. 0,094. 1,503. 496949,503. 0,00255. 0,000530. 0,000100. 15,86. 84,14. 11. 181. 0,086. 0,081. 0,164 0,00065. 2,211. 0,062. 0,095. 1,300. 431937,450. 0,00263. 0,000527. 0,000113. 17,69. 82,31. 12. 188. 0,075. 0,076. 0,164 0,00065. 2,211. 0,062. 0,095. 1,213. 403209,133. 0,00267. 0,000527. 0,000121. 18,60. 81,40. 13. 176. 0,085. 0,084. 0,165 0,00065. 2,218. 0,063. 0,095. 1,341. 447737,706. 0,00261. 0,000525. 0,000110. 17,30. 82,70. 14. 183. 0,068. 0,067. 0,166 0,00065. 2,226. 0,063. 0,096. 1,049. 352154,923. 0,00274. 0,000522. 0,000136. 20,68. 79,32. 15. 198. 0,088. 0,087. 0,166 0,00065. 2,226. 0,063. 0,096. 1,366. 458457,853. 0,00260. 0,000522. 0,000107. 17,07. 82,93. 16. 177. 0,080. 0,080. 0,167 0,00065. 2,233. 0,064. 0,096. 1,258. 424577,580. 0,00264. 0,000520. 0,000115. 18,14. 81,86. 17. 194. 0,081. 0,082. 0,167 0,00065. 2,233. 0,064. 0,096. 1,281. 432333,626. 0,00263. 0,000520. 0,000113. 17,90. 82,10. 18. 199. 0,088. 0,087. 0,167 0,00065. 2,233. 0,064. 0,096. 1,354. 456920,820. 0,00260. 0,000520. 0,000108. 17,18. 82,82. 19. 196. 0,094. 0,089. 0,168 0,00065. 2,241. 0,064. 0,097. 1,387. 470278,741. 0,00258. 0,000517. 0,000105. 16,88. 83,12. 20. 193. 0,082. 0,082. 0,17. 0,00065. 2,256. 0,066. 0,098. 1,250. 428043,997. 0,00263. 0,000512. 0,000114. 18,25. 81,75. 21. 186. 0,093. 0,090. 0,179 0,00136. 2,322. 0,070. 0,102. 1,285. 459079,253. 0,00260. 0,000490. 0,000107. 17,95. 82,05. 22. 184. 0,088. 0,088. 0,182 0,00136. 2,344. 0,072. 0,103. 1,220. 441864,230. 0,00262. 0,000484. 0,000111. 18,67. 81,33. 23. 185. 0,093. 0,090. 0,182 0,00136. 2,344. 0,072. 0,103. 1,255. 454783,355. 0,00260. 0,000484. 0,000108. 18,28. 81,72. 24. 182. 0,092. 0,087. 0,184 0,00136. 2,359. 0,073. 0,104. 1,189. 434688,956. 0,00262. 0,000480. 0,000113. 19,03. 80,97. 25. 123. 0,050. 0,051. 0,207 0,00136. 2,523. 0,086. 0,115. 0,595. 239049,461. 0,00298. 0,000436. 0,000192. 30,60. 69,40. 35.

(36) ICIV 200510-29. No. Pág.. Q (m3/s). Q (m3/s). Integrado. Medido. yn,. S. θ. A. R. V (m/s). Re. f. ks/(14,8R) 2,51/(Re*raíz(f)). %. %. FTHL. FTHR. 26. 103. 0,047. 0,046. 0,208 0,00136 2,530. 0,087. 0,115. 0,536. 216170,070. 0,00305. 0,000435. 0,000210. 32,62. 67,38. 27. 104. 0,047. 0,046. 0,209 0,00136 2,537. 0,087. 0,115. 0,533. 215569,873. 0,00305. 0,000433. 0,000211. 32,75. 67,25. 28. 127. 0,053. 0,054. 0,209 0,00136 2,537. 0,087. 0,115. 0,622. 251560,104. 0,00295. 0,000433. 0,000184. 29,80. 70,20. 29. 132. 0,047. 0,049. 0,209 0,00136 2,537. 0,087. 0,115. 0,566. 229176,502. 0,00301. 0,000433. 0,000200. 31,57. 68,43. 30. 106. 0,058. 0,059. 0,21. 0,00136 2,545. 0,088. 0,116. 0,668. 271472,545. 0,00290. 0,000431. 0,000172. 28,47. 71,53. 31. 102. 0,054. 0,060. 0,216 0,00136 2,587. 0,091. 0,118. 0,656. 272569,616. 0,00289. 0,000422. 0,000171. 28,85. 71,15. 32. 105. 0,052. 0,056. 0,216 0,00136 2,587. 0,091. 0,118. 0,613. 254620,021. 0,00294. 0,000422. 0,000182. 30,11. 69,89. 33. 118. 0,056. 0,057. 0,22. 0,00136 2,615. 0,093. 0,120. 0,608. 255958,737. 0,00293. 0,000416. 0,000181. 30,31. 69,69. 34. 149. 0,035. 0,045. 0,22. 0,00136 2,615. 0,093. 0,120. 0,486. 204577,691. 0,00308. 0,000416. 0,000221. 34,68. 65,32. 43. 108. 0,073. 0,073. 0,24. 0,00213 2,753. 0,105. 0,1283 0,6978. 313754,94. 0,0028. 0,000390. 0,000151. 27,91. 72,09. 44. 148. 0,051. 0,055. 0,241 0,00213 2,759 0,1056 0,1286 0,5207. 234828,18. 0,003. 0,000389. 0,000195. 33,46. 66,54. 45. 143. 0,056. 0,061. 0,243 0,00213 2,773 0,1068 0,1294 0,5739. 260397,41. 0,0029. 0,000386. 0,000178. 31,58. 68,42. 46. 150. 0,059. 0,060. 0,246 0,00213 2,794 0,1085 0,1306 0,5517. 252581,56. 0,0029. 0,000383. 0,000183. 32,36. 67,64. 47. 128. 0,066. 0,066. 0,247 0,00213. 0,131. 0,6051. 277844,39. 0,0029. 0,000382. 0,000168. 30,59. 69,41. 48. 153. 0,068. 0,066. 0,248 0,00213 2,807 0,1097 0,1314. 0,602. 277211,4. 0,0029. 0,000381. 0,000169. 30,70. 69,30. 49. 115. 0,077. 0,076. 0,25. 0,00213 2,821 0,1109 0,1321 0,6887. 318982,44. 0,0028. 0,000378. 0,000149. 28,21. 71,79. 50. 119. 0,072. 0,072. 0,25. 0,00213 2,821 0,1109 0,1321 0,6483. 300309,69. 0,0028. 0,000378. 0,000157. 29,32. 70,68. 51. 157. 0,069. 0,071. 0,251 0,00213 2,828 0,1115 0,1325 0,6343. 294669,24. 0,0028. 0,000377. 0,000160. 29,73. 70,27. 52. 121. 0,077. 0,078. 0,252 0,00213 2,835 0,1121 0,1329 0,6959. 324185,34. 0,0028. 0,000376. 0,000147. 28,04. 71,96. 53. 147. 0,068. 0,069. 0,252 0,00213 2,835 0,1121 0,1329 0,6144. 286229,29. 0,0029. 0,000376. 0,000164. 30,33. 69,67. 54. 126. 0,072. 0,072. 0,254 0,00213 2,848 0,1132 0,1336 0,6321. 296157,89. 0,0028. 0,000374. 0,000159. 29,81. 70,19. 55. 129. 0,076. 0,076. 0,254 0,00213 2,848 0,1132 0,1336 0,6687. 313286,89. 0,0028. 0,000374. 0,000151. 28,77. 71,23. 56. 144. 0,068. 0,068. 0,256 0,00213 2,862 0,1144 0,1344 0,5931. 279433,79. 0,0029. 0,000372. 0,000167. 31,03. 68,97. 57. 130. 0,081. 0,080. 0,258 0,00213 2,875 0,1156 0,1351 0,6945. 329016,46. 0,0028. 0,000370. 0,000145. 28,11. 71,89. 58. 109. 0,078. 0,078. 0,26. 317192,74. 0,0028. 0,000368. 0,000149. 28,89. 71,11. 2,8. 0,1091. 0,00213 2,889 0,1168 0,1359 0,6659. 36.

(37) ICIV 200510-29. No. Pág.. Q (m3/s). Q (m3/s). Integrado. Medido. yn,. S. θ. A. R. V (m/s). Re. f. ks/(14,8R) 2,51/(Re*raíz(f)). %. %. FTHL. FTHR. 59. 145. 0,073. 0,074. 0,261 0,00213 2,896 0,1174 0,1362 0,6287 300294,32 0,0028. 0,000367. 0,000157. 29,96. 70,04. 60. 97. 0,092. 0,091. 0,262 0,00213 2,902. 0,1366 0,7729 370117,26 0,0027. 0,000366. 0,000130. 26,24. 73,76. 63. 146. 0,073. 0,074. 0,263 0,00515 2,909 0,1185. 0,137. 0,6225 298896,43 0,0028. 0,000365. 0,000158. 30,16. 69,84. 64. 99. 0,088. 0,089. 0,267 0,00515 2,936 0,1209 0,1384 0,7333 355820,52 0,0027. 0,000361. 0,000135. 27,19. 72,81. 65. 110. 0,084. 0,083. 0,267 0,00515 2,936 0,1209 0,1384. 0,000361. 0,000143. 28,38. 71,62. 66. 112. 0,089. 0,088. 0,268 0,00515 2,943 0,1215 0,1388 0,7246. 0,0027. 0,000360. 0,000136. 27,40. 72,60. 73. 155. 0,084. 0,083. 0,276 0,00515 2,997 0,1262 0,1416 0,6544 324820,62 0,0028. 0,000353. 0,000146. 29,30. 70,70. 74. 140. 0,084. 0,085. 0,277 0,00515 3,004 0,1268 0,1419 0,6699 333350,44 0,0028. 0,000352. 0,000143. 28,87. 71,13. 75. 98. 0,088. 0,088. 0,278. 0,0058. 3,01. 0,000351. 0,000139. 28,38. 71,62. 76. 137. 0,086. 0,084. 0,28. 0,0058. 3,024 0,1286. 0,6501 325861,71 0,0028. 0,000350. 0,000146. 29,44. 70,56. 77. 114. 0,086. 0,089. 0,281. 0,0058. 3,031 0,1292 0,1433 0,6893 346328,78 0,0028. 0,000349. 0,000138. 28,37. 71,63. 78. 154. 0,087. 0,086. 0,282. 0,0058. 3,037 0,1298 0,1437 0,6651 334930,86 0,0028. 0,000348. 0,000142. 29,03. 70,97. 79. 120. 0,089. 0,088. 0,285. 0,0058. 3,058 0,1316 0,1447 0,6664 337960,63 0,0028. 0,000346. 0,000141. 29,01. 70,99. 80. 135. 0,091. 0,090. 0,288. 0,0058. 3,078 0,1334 0,1457 0,6783 346388,44 0,0028. 0,000343. 0,000138. 28,70. 71,30. 81. 136. 0,090. 0,091. 0,288. 0,0058. 3,078 0,1334 0,1457 0,6803 347422,21 0,0027. 0,000343. 0,000138. 28,64. 71,36. 82. 139. 0,092. 0,089. 0,29. 0,0058. 3,091 0,1346 0,1463. 339582,34 0,0028. 0,000342. 0,000141. 29,16. 70,84. 83. 151. 0,092. 0,088. 0,291. 0,0058. 3,098 0,1352 0,1467 0,6544. 336448,8. 0,0028. 0,000341. 0,000142. 29,37. 70,63. 84. 134. 0,091. 0,090. 0,292. 0,0058. 3,105 0,1358. 0,6664 343387,21 0,0028. 0,000340. 0,000139. 29,04. 70,96. 0,118. 0,686. 332864,35 0,0028 352521. 0,1274 0,1423 0,6881 343251,43 0,0028 0,143. 0,147. 0,662. Tabla 1 La columna dos (Pág.) representa la pagina de localización para cada medición, dentro de la tesis “Distribución de Velocidades en Tuberías de PVC para Alcantarillados.. 37.

(38) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. 6.2 FORMA DE LA ECUACIÓN DE COLEBROOK-WHITE. En las gráficas 5.1 y 5.2 se puede observar que no existe un mínimo absoluto si se generan combinaciones de números para los coeficientes 3.7 (eje de coeficientes A) y 2.51 (eje de coeficientes B) en un rango definido de números (en este caso el rango para A y B variaba entre 0 y 100) donde posteriormente se calcula el error cuadrado medio de cada par de números generados (eje vertical ECM). Por lo tanto no se puede usar este procedimiento para hallar los coeficientes equivalentes al 3.7 y 2.51 de cada medición experimental por medio de esta metodología.. GRÁFICA 6.1 SUPERFICIE PARA LA ECUACIÓN DE COLEBROOK-WHITE 1,4E-03 1,2E-03 1,0E-03 8,0E-04 ECM 6,0E-04 4,0E-04 2,0E-04. 8,43. 26,74. 45,06. 63,37. 81,69. 0,10 100,00. 10,09. 20,08. 30,07. 40,06. 50,05. 80,02. 60,04. Coef B. 70,03. 90,01. 100,00. 0,0E+00. Coef A. “Los datos experimentales que se usaron en esta gráfica provienen de la página 106 de la tesis: Distribución de Velocidades en Tuberías de PVC para Alcantarillados”. 38 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(39) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. GRÁFICA 6.2 SUPERFICIE PARA LA ECUACIÓN DE COLEBROOK-WHITE. 5,0E-03 4,5E-03 4,0E-03 3,5E-03 3,0E-03 ECM. 2,5E-03 2,0E-03 1,5E-03 1,0E-03 5,0E-04. Coef A. 700,00 0,01. 50,01. 100,01. 513,36 150,01. 300,00. 200,01. Coef B. 326,72 250,01. 350,00. 450,00. 140,08 400,00. 500,00. 0,0E+00. “Los datos experimentales que se usaron en esta gráfica provienen de la página 193 de la tesis: Distribución de Velocidades en Tuberías de PVC para Alcantarillados”. La gráfica 6.3 muestra la distribución de velocidades que se tiene en una de las mediciones experimentales, comparada con los perfiles de velocidad calculados para FTHL (Ecuación 4.9) y para FTRH (Ecuación 4.10). Se observa que la curva del perfil medido no es muy diferente al as curvas de los perfiles para FTHL y FTHR. Por esta razón se puede hacer la deducción del la ecuación de ColebrookWhite usando los perfiles de velocidad en FTHL y FTHR presentes en flujo presurizado.. 39 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(40) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. 6.3 CÁLCULO DE LA ECUACIÓN. En la grafica 6.3 se puede observar que los perfiles calculados con las ecuaciones 4.9 para FTHL y 4.10 para FTHR se aproximan bastante al perfil experimental. Por esta razón es posible utilizar las ecuaciones de perfiles de velocidad en la ecuación 5.8 para hallar el caudal de la tubería parcialmente llena.. GRÁFICA 6.3 COMPARACIÓN DE PERFILES DE VELOCIDAD 0,25. Y (m). 0,2 0,15. FTHL Medido. 0,1. FTHR. 0,05. 0 0,00. 0,20. 0,40. 0,60. 0,80. 1,00. V (m/s). “El perfil medido fue sacado de los anexos de la tesis: Distribución de Velocidades en Tuberías de PVC para Alcantarillados”. El límite inferior del diferencial dy se llamará c, el límite superior se llamará d y el límite tanto inferior como superior del diferencial dα se reemplazaran por las letras a y b respectivamente. Esto para facilitar el desarrollo de las ecuaciones dentro del documento.. 40 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(41) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental θ 2. A=2∫. D2. ∫ y ⋅ dydα. Ec. 6.4. 0 D cos (θ 2 ) 2 cos (α ). Planteando de nuevo la ecuación para el cálculo del área y reemplazando la ecuación de velocidad para cada caso se puede realizar la integral de la siguiente manera.. 6.3.1 Cálculo del factor de fricción para el caso de FTHL b d. A = 2 ∫ ∫ ( y )dydα a c. Se reemplaza la ecuación 4.9 en la ecuación 5.8. ⎛V ⎞ ⎛V y ⎞ Q = 2 ∫ ∫ ⎜⎜ * Ln⎜ * ⎟ + 5.47V* ⎟⎟ ydydα 0.4 ⎝ ν ⎠ ⎠ a c⎝ b d. b d. V V ⎛V ⎞ Q = 2 ∫ ∫ ⎜ * Ln * + * Lny + 5.47V* ⎟ ydydα 0.4 ν 0.4 ⎠ a c⎝ Se integra la primera parte con respecto a y, el cual varía de manera radial. d. ⎡V ⎤ V V y 2 V* + 5.47 y 2V* ⎥ dα Q = ∫ ⎢ * y 2 Ln * + y 2 * Lny − 0.4 ν 0. 4 2 0. 4 ⎦c a⎣ b. 41 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(42) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental b ⎛ V D2 V* D2 V* V D2 cos2 (θ 2) V* D2 V* D2 Q = ∫ ⎜⎜ * Ln + Ln(D 2) − Ln + 5.47 V* − * ν ν 4 0.4 0.4 4 8 0.4 4 0.4 4 cos2 (α ) a⎝. −. V* D2 cos2 (θ 2) ⎛ D cos(θ 2) ⎞ V* D2 cos2 (θ 2) D2 cos2 (θ 2) ⎞ ⎟dα Ln V + − 5 . 47 ⎜ ⎟ * 4 cos2 (α ) ⎟⎠ 0.4 4 cos2 (α ) ⎜⎝ 2 cos(α ) ⎟⎠ 0.4 8 cos2 (α ). Agrupando términos, se llega a la siguiente expresión: b 2 2 2 2 ⎛ V D2 DV* D2 ⎛ 1 V* ⎞ V D cos (θ 2) V* V* D cos (θ 2) Q = ∫ ⎜⎜ * Ln Ln Ln(D 2) − − 5.47V* ⎟ − * − ⎜ 2 0.4 4 2ν 4 ⎝ 2 0.4 ν 0.4 4 cos2 α ⎠ 0.4 4 cos α a⎝. −. V* D2 cos2 (θ 2) V* D2 cos2 (θ 2) V* D2 cos2 (θ 2) D2 cos2 (θ 2) ⎞ ( ( ) ) ( ) Ln θ Ln α V* ⎟dα + + − cos 2 cos 5 . 47 0.4 4 cos2 α 0.4 4 cos2 α 0.4 8 cos2 α 4 cos2 (α ) ⎟⎠. Se integra ahora con respecto a α. Dentro de la integral se usa el método de integración por partes para la siguiente expresión:. ∫ cos α Ln(cosα )dα 1. 2. u = Ln(cosα ) du =. 1. ∫ cos. 2. α. dv =. 1 dα cos2 α. − senα dα v = tanα cosα. Ln(cos α )dα = tan α ⋅ Ln cos α + ∫ tan 2αdα. ∫ tan αdα = ∫ (sec 2. 2. α − 1)dα = tan α − α. 42 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(43) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 1. ∫ cos. 2. α. Ln (cos α )dα = tan α ⋅ Ln cos α + tan α − α. Se integra con respecto a α: b. 2 ⎡ V* D 2 D 2 ⎛ 1 V* ⎛ DV * ⎞ ⎞ V* D ⎛ V* ⎞ ⎤ 2 ⎢ 0.4 4 Ln ⎜ 2ν ⎟α − 4 α ⎜ 2 0.4 − 5.47V* ⎟ − 0.4 4 cos (θ 2 ) tan α ⋅ Ln ⎜ ν ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥ ⎢ 2 2 ⎢ V* D ⎥ D V D cos 2 (θ 2 ) tan α ⋅ Ln − * cos 2 (θ 2 ) tan α ⋅ Ln (cos (θ 2 )) + ⎢− ⎥ 2 0 .4 4 ⎥ Q = ⎢ 0 .4 4 ⎢ V* D 2 ⎥ V* D 2 2 2 ⎢ 0.4 4 cos (θ 2 )(tan α ⋅ Ln cos α + tan α − α ) + 0.4 8 cos (θ 2 ) tan α ⎥ ⎢ ⎥ D2 ⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ − 5.47 4 cos (θ 2 ) tan αV* ⎥⎦ a. Ahora evaluando los límites de la integración se obtiene la siguiente expresión: ⎡ V* D 2 θ ⎛ DV* ⎞ D 2 θ ⎤ V* D 2 ⎛V ⎞ ( ) cos 2 (θ 2) tan(θ 2)Ln⎜ * ⎟ − − − 1 . 25 5 . 47 Ln V V ⎜ ⎟ * * ⎢ 0.4 4 2 ⎥ 0.4 4 ⎝ 2ν ⎠ 4 2 ⎝ν ⎠ ⎢ ⎥ 2 ⎢ V* D 2 ⎥ V D D ⎛ ⎞ cos 2 (θ 2) tan(θ 2)Ln⎜ ⎟ − * cos 2 (θ 2) tan(θ 2)Ln(cos(θ 2)) + ⎢− ⎥ ⎝ 2 ⎠ 0.4 4 ⎥ Q = ⎢ 0.4 4 2 ⎢ V* D 2 ⎥ V D cos 2 (θ 2)[tan(θ 2) ⋅ Ln(cos(θ 2)) + tan(θ 2) − (θ 2)] + * cos 2 (θ 2) tan(θ 2)⎥ ⎢ 0.4 8 ⎢ 0.4 4 ⎥ 2 ⎢ ⎥ D V* cos2 (θ 2) tan(θ 2) ⎢− 5.47 ⎥ 4 ⎣ ⎦. Al expandir los paréntesis de la ecuación anterior y utilizando la identidad trigonométrica. sen (θ 2 ) cos(θ 2 ) =. senθ se obtiene: 2. 43 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(44) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental ⎡ V* D 2 θ ⎛ DV* ⎞ D 2 θ V* D 2 senθ ⎛ V* D ⎞ V* D 2 senθ ⎤ ( ) Ln V Ln⎜ 4 . 22 + − ⎜ ⎟ ⎟+ * ⎢ 0.4 4 2 ⎥ ν ν 2 4 2 0 . 4 4 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0.4 4 2 ⎥ Q=⎢ ⎢ V* D 2 θ ⎥ V D 2 senθ D 2 senθ cos2 (θ 2) + * V* − 5.47 ⎢− ⎥ 0.4 8 2 4 2 ⎣ 0.4 4 2 ⎦. Para simplificar los cálculos se usa la identidad trigonométrica cos 2 (θ 2 ) =. 1 + cosθ . 2. ⎡ V* D 2 ⎛ DV* ⎞ V* D 2 senθ ⎤ D2 θ ( ) ( ) − + + θ θ 4 . 22 Ln sen V ⎜ ⎟ * ⎢ 0.4 8 4 2 0.4 4 2 ⎥⎥ ⎝ 2ν ⎠ Q=⎢ ⎢ V* D 2 θ ⎛ 1 + cosθ ⎞ ⎥ D 2 senθ V* ⎜ ⎟ − 4.22 ⎢− ⎥ 4 2 ⎣ 0.4 4 2 ⎝ 2 ⎠ ⎦ 2 2 ⎡ 1 ⎛ DV* ⎞ D (θ − senθ ) + D (4.22θ + 2.5senθ − 1.25θ − 1.25θ cosθ − 4.22senθ )⎤⎥ Q = V* ⎢ Ln⎜ ⎟ 8 ⎣ 0.4 ⎝ 2ν ⎠ 8 ⎦. 2 2 ⎡ 1 ⎤ ⎛ DV* ⎞ D (θ − senθ ) + D (2.97θ − 1.25θ cosθ − 1.72senθ )⎥ Q = V* ⎢ Ln⎜ ⎟ 8 ⎣ 0.4 ⎝ 2ν ⎠ 8 ⎦. La expresión de velocidad media se obtiene dividiendo el caudal por el área. El área esta definida por la ecuación 6.1.. ⎡ 1 ⎛ DV ⎞ ⎛ 2.97θ −1.25θ cosθ −1.72senθ ⎞⎤ V = V* ⎢ Ln⎜ * ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎥ (θ − senθ ) ⎠⎦ ⎣ 0.4 ⎝ 2ν ⎠ ⎝ Para eliminar el término de la velocidad cortante V* se reemplaza la ecuación 4.14 en la ecuación anterior y se obtiene:. 44 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(45) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental V=. ⎛D f ⎡ 1 V⎢ Ln⎜⎜ 8 ⎢⎣ 0.4 ⎝ 2ν. f ⎞ ⎛ 2.97θ − 1.25θ cosθ − 1.72senθ ⎞⎤ V⎟+⎜ ⎟⎥ 8 ⎟⎠ ⎝ θ − senθ ⎠⎥⎦. Se despeja el factor de fricción f y se reorganizan los otros términos dentro de la ecuación: ⎛ f DV 1 = 0.88388Ln⎜ ⎜ f ⎝ 5.6569 ν. ⎞ ⎛ 1.05θ − 0.4419θ cosθ − 0.6081senθ ⎞ ⎟+⎜ ⎟ ⎟ ⎝ θ − senθ ⎠ ⎠. La variable que representa el diámetro D, debe ser reemplaza por su equivalente en términos del Radio hidráulico: ⎛ θ − senθ ⎞ D = 4 R⎜ ⎟ θ ⎝ ⎠ ⎛ f ⎛ θ − senθ ⎞ 4 RV = 0.88388Ln⎜ ⎜ ⎟ ⎜ θ f ⎠ ν ⎝ 5.6569 ⎝. 1. ⎞ ⎛ 1.05θ − 0.4419θ cos θ − 0.6081senθ ⎞ ⎟+⎜ ⎟ ⎟ ⎝ θ − senθ ⎠ ⎠. Teniendo que el número de Reynolds. es Re =. 4 RV. ν. y reorganizando toda la. ecuación se llega a: ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Re f 1 Ec. 6.5 = 2.035Log10 ⎜ ⎛ 0.2367θ + 0.2171θ cos θ − 0.4539 senθ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ f sen θ θ − ⎛ ⎞ ⎜ θ − senθ ⎠ ⎟ ⎟ ⋅10⎝ ⎜⎜ ⎟ θ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. Teniendo la ecuación definitiva para el cálculo del factor de fricción (Ec. 6.5), se puede establecer una relación entre el factor de fricción f y la variación y/d. 45 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(46) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. GRÁFICA 6.4 VARIACIÓN DEL COEFICIENTE 3.7 1 0,9 0,8 0,7 0,6 y/D 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. Coef 3,7. El valor del coeficiente cuando se llega presuriza la tubería corresponde al valor de 3.314. Esto se debe a que la ecuación que se usó para llegar al valor 3.7 es una ecuación ya calibrada, después de realizar todo el proceso matemático de integración. La ecuación resultado del proceso de integración para FTHL en tuberías fluyendo a presión es la siguiente:. 1 f. (. = 2.035Log10 Re. ). f − 0.924. Ec 6.6. 46 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(47) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. Después de tener la ecuación anterior, Prandtl y Von Karman confrontaron la teoría con datos de laboratorio, llegando a una la expresión definitiva para el cálculo del factor de fricción: 1 f. (. = 2 Log 10 Re. ). f − 0.8. Ec 6.7. El cambio en los coeficientes 2 y 0.924 de la ecuación 6.6, hace que se llegue al coeficiente 3.7 y no al 3.314 que se llegaba sin hacer los cambios a dichos coeficientes.. 6.3.2 Cálculo del factor de fricción para el caso de FTHR Igual que en el cálculo de f para FTHL se plantea el mismo diferencial dA y se multiplica por la ecuación del perfil de velocidad del este tipo de flujo.. ⎛V ⎞ ⎛ y⎞ Q = 2 ∫ ∫ ⎜ * Ln⎜ ⎟ + 8.48V* ⎟ ydydα 0.4 ⎝ ks ⎠ ⎠ a c⎝ b d. V ⎛V ⎞ Q = 2 ∫ ∫ ⎜ * Lny − * Lnks + 8.48V* ⎟ ydydα 0.4 0.4 ⎠ a c⎝ b d. Se integra con respecto a “y” para obtener: d. ⎤ ⎡V V y2 V Q = ∫ ⎢ * y 2 Lny − * − y 2 * Lnks + 8.48 y 2V* ⎥ dα 0 .4 0 .4 2 0 .4 ⎦c a ⎣ b. 47 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas.

(48) ICIV 200510-29 Universidad de Los Andes Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental. ( ). ( ). 2 θ θ ⎛ V D2 V* D 2 cos 2 ⎛⎜ D cos 2 ⎞⎟ D D 2 V* D 2 V* D2 ⎜ * Ln − Ln Q=∫ Lnks + 8.48 V* − − ⎜ 0.4 4 2 8 0.4 4 0.4 4 0.4 4 cos2 (α ) ⎜ 2 cos(α ) ⎟ a ⎝ ⎝ ⎠ b. ( ). ( ). ( ). 2 θ 2 θ 2 θ V* D 2 cos 2 V* D 2 cos 2 D 2 cos 2 ⎞⎟ Lnks − 8.48V* dα + + 0.4 8 cos2 (α ) 0.4 4 cos2 (α ) 4 cos2 (α ) ⎟ ⎠. Agrupando términos se llega a la siguiente expresión:. ( ). ( ) (. 2 θ 2 θ ⎛ V D2 2 2 2 ⎞ V* D cos ⎛ D ⎞ D ⎛ 1 V* ⎛ D ⎞ V* D cos ⎜ 2 2 Ln cos θ * − 8.48V* ⎟ − Q=∫ Ln ⎜ Ln ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟− 2 2 2 ⎜ 0 .4 4 ⎝ 2 ⎠ 0.4 4 cos (α ) ⎝ 2 ks ⎠ 4 ⎝ 2 0.4 ⎠ 0.4 4 cos (α ) a ⎝ b. +. ( ). ( ). ( ). ( )⎞⎟dα. 2 θ 2 cos 2 θ 2 cos 2 θ 2 cos 2 θ V* D 2 cos 2 Ln (cos α ) + V* D 2 + V* D 2 Ln (ks ) − 8.48V D 2 * 2 2 2 2 0.4 4 cos (α ) 0.4 8 cos (α ) 0.4 4 cos (α ) 4 cos (α ). Luego se lleva a cabo el proceso de integración con respecto a α, utilizando el mismo proceso de integración por partes que se uso en FTHL.. ( ). 2 ⎤ ⎡ V* D2 ⎛ D ⎞ D2 ⎛ 1 V* ⎞ V* D ⎛ D⎞ Ln V − − 8 . 48 cos2 θ tanαLn⎜ ⎟ − α α ⎜ *⎟ ⎥ ⎢0.4 4 ⎜ 2ks ⎟ 2 4 ⎝ 2 0.4 ⎝ ⎠ ⎝2⎠ ⎠ 0.4 4 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ V* D2 2 V D Q = ⎢− cos θ tanαLncosθ + * cos2 θ (tanαLncosα + tanα − α) ⎥ 2 2 0.4 4 2 ⎥ ⎢ 0.4 4 ⎥ ⎢ V* D2 2 θ V* D2 2 θ D2 2 θ cos tanα + cos tanαLn(ks) − 8.48V* cos tanα⎥ ⎢+ 2 2 2 0.4 4 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 0.4 8. ( ) ( ). ( ). b. ( ). ( ). ( ). a. Ahora evaluando los límites de la ecuación anterior se obtiene la siguiente expresión:. 48 Estudio sobre los coeficientes 2.51 y 3.7 de la ecuación de Colebrook-White en tuberías fluyendo parcialmente llenas. ⎟ ⎠. ).