Diseño óptimo de muros tablestacados anclados

Texto completo

(1)DISEÑO ÓPTIMO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS. JOSE LUIS VELASCO CADAVID. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL FEBRERO, 2004.

(2) DISEÑO ÓPTIMO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS. JOSE LUIS VELASCO CADAVID. Tesis como requisito para optar al título de Magíster en Ingeniería Civil. ASESOR: PhD Mauricio Sánchez Silva. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL FEBRERO, 2004.

(3) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. ÍNDICE GENERAL CAPÍTULO I ........................................................................................................................ 9 ASPECTOS GENERALES ............................................................................................... 10 OBJETIVOS ....................................................................................................................... 11 1.1 USO DE LOS MUROS TABLESTACADOS ............................................................ 12 1.2 TIPOS COMUNES DE TABLESTACAS.................................................................. 12 1.2.1 TABLESTACAS DE ACERO ................................................................................ 13 1.3 TABLESTACAS ANCLADAS.................................................................................... 14 1.4 GUÍA DE DISEÑO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS..................... 15 1.5 PRESIÓN LATERAL ACTUANTE SOBRE MUROS TABLESTACADOS........ 16 1.5.1 PRESIÓN DE TIERRAS ACTUANTE SOBRE MUROS TABLESTACADOS.. 17 1.5.2 PRESIÓN DEBIDA AL DESBALANCE EN EL NIVEL FREÁTICO Y A LA INFILTRACIÓN DEL AGUA......................................................................................... 19 1.6 DISEÑO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS....................................... 21 1.6.1 DISEÑO DE TABLESTACADAS ANCLADAS MEDIANTE EL MÉTODO DEL EXTREMO LIBRE .......................................................................................................... 22 1.7 CUÑAS Y ANCLAJES ................................................................................................ 24 1.7.1 CAPACIDAD DEL PESO MUERTO .................................................................... 27 1.7.2 LOCALIZACIÓN DEL ANCLAJE........................................................................ 30 1.8 DISEÑO TRADICIONAL DE UN MURO TABLESTACADO.............................. 32 CONCLUSIONES .............................................................................................................. 41 CAPÍTULO II ..................................................................................................................... 42 ASPECTOS GENERALES ............................................................................................... 43 OBJETIVOS ....................................................................................................................... 44 2.1 CONFIABILIDAD ESTRUCTURAL ........................................................................ 45 2 .1.1 ESTADOS LÍMITES ............................................................................................. 45 2.1.1.1 Definición de Falla: .......................................................................................... 45 2.1.1.2 Funciones de Estado Limite: ............................................................................ 47 2.1.2 PROBABILIDAD DE FALLA ............................................................................... 49 2.1.2.1 Espacio de las Variables de Estado: ................................................................. 52 2.1.3 INDICE DE CONFIABILIDAD............................................................................. 53 2.1.3.1 Definición del Índice de Confiabilidad ............................................................ 54 2.1.3.2 Índice de Confiabilidad Primer Orden y Segundo Momento ........................... 56 2.2 OPTIMIZACIÓN ......................................................................................................... 56 2.2.1 Estructuras Óptimas................................................................................................. 57 2.2.2 El modelo de renovación ......................................................................................... 60 2.2.3 Falla por completo debido a cargas invariantes en el tiempo.................................. 60 2.3 MÉTODOS DE MONTE CARLO.............................................................................. 61 2.3.1 Generación de números aleatorios uniformemente distribuidos ............................. 62 2.3.2 Generación de números aleatorios con una distribución normal estándar .............. 62 2.3.3 Generación de números aleatorios normalmente distribuidos................................. 63 2.3.4 Generación de números aleatorios distribuidos Lognormalmente .......................... 63 2.3.4 Procedimiento general para generar números aleatorios a partir de distribuciones arbitrarias .......................................................................................................................... 64 2.3.5 Precisión de la estimación de la probabilidad ......................................................... 64 2.3.6 Simulación de números aleatorios correlacionados................................................. 65 1.

(4) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. 2.3.7 Variables correlacionadas distribuidas arbitrariamente........................................... 69 2.4 ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE ............................................................... 70 2.4.1 Interpretación del modelo........................................................................................ 72 CONCLUSIONES .............................................................................................................. 75 CAPÍTULO III ................................................................................................................... 77 ASPECTOS GENERALES ............................................................................................... 78 OBJETIVOS ....................................................................................................................... 79 3.OPTIMIZACION DE UN MURO TABLESTACADO ANCLADO.......................... 80 3.1 Modelo Probabilístico ................................................................................................ 80 3.2 Optimización de la profundidad de empotramiento de la tablestaca.......................... 82 3.3 Optimización del área de acero de los anclajes .......................................................... 86 3.4 Optimización del modulo de sección de la tablestaca ................................................ 90 3.5 Optimización de la altura del peso muerto ................................................................. 93 3.6 Optimización de la longitud de los anclajes ............................................................... 96 3.7 Análisis comparativo entre el diseño tradicional y el diseño óptimo probabilístico.. 98 3.8 Optimización de múltiples variables ........................................................................ 100. 2.

(5) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. OBJETIVO. El objetivo de esta tesis radica en aplicar las técnicas modernas de optimización al diseño de muros tablestacados anclados, para así poder realizar un diseño que tenga en cuenta la incertidumbre de las variables geotécnicas, de los materiales estructurales , y que además produzca un diseño óptimo a partir de la maxificación de la relación beneficio - costo.. Para lograr este objetivo es necesario realizar un modelo probabilístico del muro, plantear la ecuación de beneficio en torno a los parámetros de optimización, y hallar el punto que produce el mayor beneficio, una vez se tienen las coordenadas de este punto es menester comparar el diseño óptimo con el tradicional para así poder realizar un análisis comparativo y poder determinar las bondades del diseño óptimo.. 3.

(6) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. NOMENCLATURA. As = Área transversal del acero B( ) = función de beneficio C( ) = Costo del diseño y la construcción de la estructura C0 = Costo Inicial Ca = Coeficiente de presión activa cnorm( ) = Función de densidad acumulada de la distribución normal Cp = Coeficiente de presión pasiva D = Profundidad de empotramiento de la tablestaca D( ) = Costo de la falla dx = Diferencial de distancia E[ ] = Valor esperado f´c = Resistencia máxima del concreto a compresión FDP = Función de densidad de probabilidad Fy = Resistencia del acero a la fluencia g( ) = Función de estado limite h1 = Porción del suelo de relleno que se encuentra sumergida h2= Ubicación del anclaje medida desde la parte superior del relleno Hm = Altura del peso muerto hw = Porción del suelo de relleno que se encuentra por encima del nivel freático L = Longitud de los anclajes M = Momento p = vector de parámetros de optimización 4.

(7) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. Pa = Presión activa de tierras Pf = Probabilidad de falla Ph = Presión horizontal Pp = Presión pasiva de tierras Q = Solicitación R = Resistencia S = Módulo de sección de la tablestaca s = Separación de los anclajes V = Coeficiente de variación Z( ) = Función de beneficio neto, función objetivo Zx = Variable Normalizada de x â = Índice de confiabilidad, porcentaje de utilidad ã = Tasa de descuento ãc = Densidad del concreto ãs = Densidad del suelo ì = media ó = Desviación estándar Ö( ) = Función de densidad acumulada de la distribución normal φ = Angulo de fricción interna. 5.

(8) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. LISTA DE TABLAS. •. Tabla 1.1 Pesos Unitarios de suelos granulares y coeficientes de presión de tierras.. •. Tabla 1.2 Parámetros de diseño.. •. Tabla 1.3 Resumen diseño estructural.. •. Tabla 3.1. Parámetros de las variables aleatorias.. •. Tabla 3.2. Parámetros determinísticos.. •. Tabla 3.3. Variables de optimización.. •. Tabla 3.4 Funciones de costo para la optimización de la profundidad de empotramiento.. •. Tabla 3.5 Funciones de costo para la optimización del área de acero de los anclajes.. •. Tabla 3.6 Funciones de costo para la optimización del módulo de sección de la tablestaca.. •. Tabla 3.7 Funciones de costo para la optimización de la altura del peso muerto.. •. Tabla 3.8 Funciones de costo para la optimización del la longitud de los anclajes.. •. Tabla 3.9 Tabla comparativa entre ambas metodologías.. •. Tabla 3.10 Funciones de costo para la optimización múltiple.. 6.

(9) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. LISTA DE FIGURAS •. Figura 1.1 Secciones comunes de tablestacas.. •. Figura 1.2 Diagrama general muro tablestacado con anclaje pasivo.. •. Figura 1.3 Ángulo de fricción del muro.. •. Figura 1.4 (a) Presión desbalanceada del agua; (b)reducción promedio del peso unitario.. •. Figura 1.5 Diseño de tablestacas ancladas en suelos granulares mediante el método del extremo libre.. •. Figura 1.6 Diseño de tablestacas ancladas en suelos cohesivos mediante el método del extremo libre.. •. Figura 1.7 Peso muerto corto cerca a la superficie.. •. Figura 1.8 Peso muerto continuo cerca de la superficie.. •. Figura 1.9 Peso muerto a gran profundidad.. •. Figura 1.10 Localización del peso muerto: (a) No ofrece resistencia; (b)Eficiencia reducida; (c)Máxima capacidad.. •. Figura 1.11 Geometría básica del muro tablestacado. •. Figura 1.12 Distribución de presiones sobre la tablestaca en kN/m2.. •. Figura 2.1 Funciones de Probabilidad de Densidad de carga, resistencia y margen de seguridad.. •. Figura 2.2 Funciones de densidad de probabilidad de demanda Q y resistencia R.. •. Figura 2.3 Dominio Seguro y de la falla en un espacio de dos dimensiones.. •. Figura 2.4 Índice de Confiabilidad definido como la perpendicular desde el origen hasta la recta.. 7.

(10) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. •. Figura 2.5 Función Objetivo.. •. Figura 3.1 Probabilidad de falla a la rotación en función de la profundidad de presión pasiva d.. •. Figura 3.2 Funciones de beneficio, costo de construcción y costo de pérdidas en términos de la profundidad de empotramiento.. •. Figura 3.3 Probabilidad de falla de los anclajes en función del área de acero de los mismos.. •. Figura 3.4 Funciones de beneficio, costo de construcción y costo de pérdidas en términos del área de acero de los anclajes.. • •. Figura 3.5 Probabilidad de falla a flexión de la tablestaca en función del modulo de sección. Figura 3.6 Funciones de beneficio, costo de construcción y costo de pérdidas en términos del módulo de sección de la tablestaca... •. Figura 3.7 Probabilidad de falla por deslizamiento del peso muerto en función de su altura.. •. Figura 3.8 Funciones de beneficio, costo de construcción y costo de pérdidas en términos de la altura del peso muerto.. •. Figura 3.9 Función de probabilidad de falla en términos de la longitud de los anclajes.. •. Figura 3.10 Funciones de beneficio, costo de construcción y costo de pérdidas en términos de la longitud de los anclajes. •. Figura 3.11 gráfica de los residuos entre el valor real y el predecido.. 8.

(11) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. CAPÍTULO I DISEÑO DETERMINÍSTICO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS. 9.

(12) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. ASPECTOS GENERALES. Los muros tablestacados son un tipo muy común de estructuras de retención de tierras, utilizados en construcciones urbanas y portuarias, conformados por tablestacas que se hincan sobre el suelo. La estabilidad de estos muros se deriva de la profundidad a la que se enclavan las tablestacas, y en el caso de muros de gran altura, de la combinación entre anclajes y la profundidad de penetración de la tablestaca.. El análisis de los muros tablestacados tiene una naturaleza altamente indeterminada debido a que un gran número de factores afectan los esfuerzos y la estabilidad del muro tablestacado. En la realización de este documento no se pretende avanzar en la teoría del cálculo estructural y geotécnico de estos muros, se pretende realizar una análisis conforme a la práctica común de la ingeniería y comparar las virtudes del diseño probabilístico óptimo sobre el diseño tradicional.. 10.

(13) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. OBJETIVOS. Los objetivos específicos de este capítulo son:. •. Resaltar la alta incertidumbre que existe en el análisis y diseño de muros tablestacados anclados.. •. Definir una metodología coherente con la práctica común de la ingeniería para diseñar muros tablestacados anclados.. •. Realizar el diseño de un muro tablestacado anclado común, con el fin de poder comparar los resultados con los obtenidos mediante el diseño óptimo probabilístico.. •. Plantear la teoría y ecuaciones con las que se realizará el diseño óptimo probabilístico.. 11.

(14) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. 1.1 USO DE LOS MUROS TABLESTACADOS. Un muro tablestacado consiste en una serie de tablestacas clavadas una contra otra dentro del terreno formando un muro vertical continuo con el propósito de retener un banco de tierra. Los muros tablestacados son utilizados comúnmente para: 1. Construcción de obras en contacto con el agua, en donde la construcción de otro tipo de obras requiere que se desvié el agua. 2. Construcciones temporales debido al alto valor de salvamento de las tablestacas. 3. Construcciones livianas donde el subsuelo no puede soportar los muros de contención. 4. Construcciones urbanas en donde debido al poco espacio disponible no se pueden construir las cimentaciones de los muros de contención. Debido a estas ventajas, los muros tablestacados son comunes en puertos, construcciones en centros de conservación y astilleros. No se utilizan cuando se requieren muros muy altos debido a su poca rigidez a la flexión, y no son viables cuando se tienen estratos rocosos que no permiten la penetración de la tablestaca.. 1.2 TIPOS COMUNES DE TABLESTACAS. Las tablestacas son elementos prefabricados que se hincan verticalmente dentro del terreno para formar un muro. Hay una gran variedad de tablestacas, se utilizan desde tablestacas livianas en madera o láminas de acero, hasta tablestacas pesadas elaboradas en concreto o. 12.

(15) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. elementos estructurales de acero. Las características de las tablestacas de acero se mencionan a continuación.. 1.2.1 TABLESTACAS DE ACERO. Las tablestacas de acero son elementos conformados por láminas de acero, con conectores que permiten unirlos ente si. Existe una gran variedad de tablestacas en acero; las secciones Estadounidenses son las que se utilizan normalmente en proyectos de construcción pesada, estas se dividen según los tipos de conectores, el tipo de dedo y pulgar y el tipo de bola y cuenca.. Sin embargo los conectores tienen distintas formas que varían según el fabricante, es por esto que cuando en la construcción de un proyecto se pretende realizar un cambio de sección se debe tener toda la información del tipo de conector con el fin de chequear la compatibilidad.. 13.

(16) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. Figura 1.1 Secciones comunes de tablestacas. 1.3 TABLESTACAS ANCLADAS. Las tablestacas ancladas son muros que derivan una parte de su soporte contra la presión de tierra actuante mediante el empotramiento de parte de su sección en el terreno, al igual que un muro en voladizo, y parte de esta mediante anclajes que se ubican cerca de su parte superior. Este tipo de muros es aconsejable para muros moderadamente altos. Para muros de más de 10 metros se aconseja colocar dos o más anclajes con el fin de disminuir la profundidad de penetración de la tablestacas y los esfuerzos por flexión.. 14.

(17) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. 1.4 GUÍA DE DISEÑO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS. El procedimiento para diseñar muros tablestacados anclados se menciona a continuación, cada uno de los pasos nombrados se explicará más adelante. 1. Ensamblar la información general. Esto implica obtener la topografía del lugar donde se construirá la tablestaca e identificar las dimensiones que controlarán el diseño como los son la altura del relleno de suelo, la altura de la línea de desagüe, el nivel máximo del agua, el régimen de las mareas y el nivel mínimo del agua. 2. Analizar las condiciones del subsuelo. Se debe determinar mediante la realización de un estudio de suelos las propiedades mecánicas del subsuelo, la resistencia al corte de cada estrato debe ser determinada a partir del ensayo de penetración estándar para los suelos granulares y el esfuerzo de compresión inconfinada debe determinarse para los suelos cohesivos. La reducción en la presión tiende a reducir la resistencia de los suelos al corte, para este caso el ensayo de compresión inconfinada da resultados inseguros y se deben realizar ensayos adicionales de laboratorio para predecir este comportamiento del suelo. Adicionalmente se debe determinar el perfil del suelo mediante perforaciones del suelo que deben prolongarse hasta que se encuentre una capa de suelo los bastante resistente o un lecho rocoso. En este perfil se debe dibujar la posible tablestaca y el relleno de suelo que se piensa utilizar(ver figura 1.2). 3. Seleccionar el tipo de muro a utilizar, tablestaca sola o tablestaca anclada. 4. Calcular la presión de tierras y la presión por sobrecargas. 5. Determinar la penetración de la tablestaca. 6. Determinar el esfuerzo de flexión sobre la tablestaca y diseñar la tablestaca. 15.

(18) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. 7. Diseñar los anclajes. 8. Diseñar el peso muerto o el bulbo donde se anclarán los anclajes.. Muerto. Tablestaca. Anclaje. Línea de desagüe. Figura 1.2 Diagrama general muro tablestacado con anclaje pasivo. 1.5 PRESIÓN LATERAL ACTUANTE SOBRE MUROS TABLESTACADOS. Un muro tablestacado puede verse sometido a alguno de los siguientes tipos de presión lateral: •. Presión de Tierra: Activa y pasiva.. •. Presión lateral debida a una sobrecarga. •. Presión debida a un desbalance de presiones de agua o por presiones de infiltración. •. Barcos halando o impactos. •. Fuerzas sísmicas, presión de olas etc.. El procedimiento para el cálculo de la presión de tierras, el desbalance de presiones de agua y la infiltración se discutirán más adelante, las demás fuentes de presiones laterales no se. 16.

(19) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. explican debido a que pertenecen a condiciones extremas que aplican a diseños particulares.. 1.5.1 PRESIÓN DE TIERRAS ACTUANTE SOBRE MUROS TABLESTACADOS. La presión de tierras actuante sobre los muros tablestacados no puede ser calculada mediante los métodos clásicos (Rankine, Coulomb, etc.), dado que los métodos clásicos se basan en la condición de que el muro falla lateralmente, por deslizamiento o por rotación alrededor de la base del muro, esto con el fin de suponer que el suelo desarrolla totalmente su esfuerzo de corte. Esta condición es cumplida para la mayoría de los muros sin embargo los muros tablestacados se soportan de manera diferente y son más flexibles, lo que conlleva a que fallen de manera diferente a la mayoría de los muros de contención. Un muro tablestacado anclado, bajo la acción de la deflexión elástica del muro, se pandeará, o se deflectará más en un punto ubicado entre los anclajes y el nivel de desagüe del suelo que en las demás partes del muro. La distribución de presiones es altamente influenciada por la elongación de los anclajes y por la penetración de la tablestaca.. La presión de tierras contra la tablestaca puede ser determinada mediante teorías que tienen en cuenta las condiciones de deformación del muro. Sin embargo este procedimiento es dispendioso y solamente es recomendado para proyectos de gran envergadura. En la práctica común de la ingeniería se han desarrollado métodos empíricos y semi-empíricos para aplicar la teoría clásica a los muros tablestacados. La teoría de Coulomb ha sido empleada para determinar las presiones pasivas y activas de tierras contra la tablestaca , sin embargo esta teoría conlleva en algunos casos a valores altos de la presión pasiva de tierras 17.

(20) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. y debe ser utilizada conservadoramente. Los valores del ángulo de fricción del suelo ö y el ángulo de fricción del muro ä, recomendado para el c álculo de la presión de tierras se presentan en la tabla 1.1. Los correspondientes valores de los coeficientes de la presión de tierras Kp y Ka, se presentan en la misma tabla.. Tabla 1.1 Pesos Unitarios de suelos granulares y coeficientes de presión de tierras. Bowles J.E. (1998) Tipo de Suelo. Peso Unitario Suelo Seco Min.. γ Max.. Peso Unitario Suelo Sumergido γ´ Min. Max.. Coeficiente de Presión Activa. Coeficiente de Presión Pasiva. Ka. Kp. Rellenos Arena Limpia Densa 19.4 Media 19.4 Suelta 15.9 Arena con Sedimentos Densa 19.4 Media 16.7 Suelta 14.1. 24.7 22.9 22.0. 11.5 10.6 9.9. 13.7 12.0 11.1. 26.4 22.9 22.0. 12.3 10.6 8.8. 15.5 12.0 11.1. Suelos inalterados. Ángulos de Fricción φ δ. Suelos inalterados. Ángulos de Fricción φ δ. 0.35. 0.20 0.25 0.30. 38.0 34.0 30.0. 20.0 17.0 15.0. 9.0 7.0 5.0. 38.0 34.0 30.0. 25.0 23.0 20.0. 0.50. 0.25 0.30 0.35. 34.0 30.0 26.0. 17.0 15.0 13.0. 7.0 5.0 3.0. 34.0 30.0 26.0. 23.0 20.0 18.0. *Unidades en kN/m3 y grados.. δ (pasivo). δ (activo). Figura 1.3 Ángulo de fricción del muro.. 18.

(21) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. 1.5.2 PRESIÓN DEBIDA AL DESBALANCE EN EL NIVEL FREÁTICO Y A LA INFILTRACIÓN DEL AGUA. Los muros tablestacados son ampliamente utilizados en construcciones bajo la acción de el agua. Cuando la marea o el nivel de un río disminuyen, la tablestaca se encuentra sometida a la máxima acción de la presión de tierras. Durante una tormenta o un deceso rápido del nivel agua, puede producirse una diferencia considerativa entre los nivel del agua en ambos lados de la tablestaca, esta condición de diferencia entre los niveles induce una presión adicional sobre la tablestaca. Luego el agua residente en el suelo se percola hacia abajo a través de la parte posterior de la tablestaca y luego hacia arriba en el frente de la tablestaca. La infiltración que se produce arriba reduce el peso efectivo del suelo, y por consiguiente se reduce la presión pasiva del suelo. Es por esto que es necesario evaluar el desbalance en la presión de agua y el efecto de la presión debida a la infiltración en los casos en donde existe diferencia en los niveles del agua.. Hu. Hu. 10Hu. 10Hu. Permeable D. (a). Permeable. D. Impermeable. ( b). Figura 1.4 (a) Presión desbalanceada del agua; (b)reducción promedio del peso unitario efectivo de la cuña pasiva debida a la presión generada por flujo del agua ascendente. 19.

(22) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. La caída de la altura de la cabeza de agua después del deceso de una marea alta o una creciente depende primordialmente del relleno utilizado. En arena gruesa o grava, la caída del nivel es imperceptible, sin embargo en arena fina esta caída puede ser importante. Si se utiliza un relleno con arcilla o limo, la presión hidrostática neta debe suponerse debajo del nivel máximo posible de la posición del agua.. El desbalance en la presión de agua debe aproximarse por el trapecio de la figura 1.4 (a), donde ãw es el peso unitario del agua. Si la permeabilidad del suelo varia de manera considerable en la dirección vertical, la distribución del desbalance de la presión de agua debe ser determinada a través de la construcción de un flujo de agua neto.. El peso efectivo del suelo detrás de una tabla estática de agua es el peso sumergido del mismo; bajo la acción de una infiltración ascendente el peso unitario sumergido se reduce aproximadamente por la siguiente expresión: ∆´γ = 3.5 ×. Hu D. (1). Donde ∆´γ es la reducción del peso unitario sumergido en kN/m3. El peso unitario efectivo que debe utilizarse en el cálculo de la presión pasiva es (ã´ - ∆´γ ); Hu = es la cabeza desbalanceada de agua en metros; D = como se muestra en la figura tal.. El efecto de la infiltración hacia abajo del suelo ubicado en la parte posterior de la tablestaca es muy pequeño y por eso se desprecia.. 20.

(23) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. 1.6 DISEÑO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS. La estabilidad externa y los esfuerzos internos de la tablestaca anclada dependen de un gran número de factores que son relativos a la rigidez de la tablestaca, la profundidad de penetración de la tablestaca, la compresividad relativa del suelo, la deformación del anclaje, etc. Cada uno de estos factores afecta de una u otra manera el comportamiento de la tablestaca. Por ejemplo, una tablestaca hincada a una gran profundidad dentro de un suelo granular tendrá esfuerzos flectores menores a los que tendría la misma tablestaca hincada a una menor profundidad, esto debido a que el suelo circundante tiende a prevenir la rotación de la tablestaca.. Debido a la variedad de factores que afectan el comportamiento de la tablestaca, las tablestacas se diseñan mediante varios métodos (Bowles J.E, 1998): •. El método del extremo libre. •. El método del extremo fijo. •. El método de Hansen. •. Elementos finitos. Todos estos métodos son validos, sin embargo el que da mejores resultados con el menor número de cálculos es el método del extremo libre y por eso se utilizara para diseñar la tablestaca anclada de este documento.. 21.

(24) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. 1.6.1 DISEÑO DE TABLESTACADAS ANCLADAS MEDIANTE EL MÉTODO DEL EXTREMO LIBRE. El método del extremo libre, o el método del soporte libre de tierra, se encuentra basado en los siguientes supuestos: 1. La tablestaca es perfectamente rígida en comparación al suelo que la rodea. 2. La presión actuante sobre la tablestaca puede ser calculada utilizando la teoría de Rankine o Coulomb. 3. La tablestaca puede rotar, pero no puede desplazarse lateralmente en el nivel de los anclajes. En el momento de la falla la tablestaca se desplaza hacia fuera rotando a través del nivel de los anclajes.. Con estas suposiciones, el diseño se convierte en un problema simple de estática. El procedimiento para el diseño de las tablestacas ancladas en suelos granulares y cohesivos se discute a continuación.. Suelo granular: 1. Seleccionar los valores apropiados para la presión activa y pasiva 2. Calcular el peso del suelo que se encuentra encima y la sobrecarga que se encuentra en el nivel de drenaje, ãe h 3. Localizar el punto de presión cero y =. γ e × h × k´a ( p p − pa ). 4. Calcular momentos sobre el nivel de los anclajes:. 22.

(25) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Lp −. MIC 2004-I-78. 1 2 × ( p p − pa ) × D12 × (ht + y + × D1 ) = 0 2 3. (2). Resolver para D1. 5. Calcular la tensión sobre los anclajes T = P −. 1 × ( p p − pa ) × D12 2. 6. Determinar el máximo momento flector en el punto de cortante cero, como en el caso de un miembro ordinario sometido a flexión 7. Seleccionar la sección de la tablestaca que resista el momento actuante 8. Añadir entre un 20% y un 40% a D1 para proporcionar un factor de seguridad, o dividir pp por un factor de seguridad de 1.5 o 2.0 en los pasos 3 y 4. Suelo cohesivo:. 1. Seleccionar los valores apropiados para la presión activa de tierras pa 2. Calcular el peso del suelo que se encuentra encima y la sobrecarga que se encuentran en el nivel de drenaje, ãe h 3. Evaluar el esfuerzo de compresión inconfinada qu del suelo cohesivo. 23.

(26) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. γKa. h1. γKah1. Nivel bajo del agua. ht. hw. T= Fuerza en los anclajes. L. P = Presión de tierras arriba del punto a + otras fuerzas γ´Ka horizontales (excepto T). γeh. y. a Pa Pp –. D1. γehKa´. (Pp –Pa)D1 Figura 1.5 Diseño de tablestacas ancladas en suelos granulares mediante el método del extremo libre. 4. Calcular. momentos. LP − (2qu − γ e h) × D × (ht +. sobre. el. nivel. de. los. anclajes. 1 D) 2. (3). Resolver para D. 5. Calcular la tensión sobre los anclajes T = P − (2qu − γ e h) × D 6. Determinar el máximo momento en el punto de cortante cero. 7. Seleccionar la sección de la tablestaca que resista el momento actuante 8. Añadir entre un 20% y un 40% a D o utilizar entre un 50% y un 75% de qu en los pasos 4 y 5.. 1.7 CUÑAS Y ANCLAJES. En el sistema de tablestacas ancladas una cuña es un miembro que trabaja a flexión y soporta la reacción lateral que la tablestaca transfiere a los anclajes. Usualmente consiste en 24.

(27) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. un par de perfiles en "C" con el alma en posición horizontal. Para tablestacas de gran altura, las canales deben reforzarse con platinas, además se les debe proveer la suficiente separación del extremo del anclaje para que la transmisión de la fuerza sea efectiva.. Los anclajes son barras circulares o cuadradas hechas de acero estructural , los cables no son aconsejables para construcciones permanentes dado que ofrecen muy poca resistencia ante cargas laterales y de compresión.. Pa. T= Fuerza en los anclajes L P = Fuerza horizontal total (excepto T). ht Línea de desagüe 2qu-γeh. γ eh. D. Figura 1.6 Diseño de tablestacas ancladas en suelos cohesivos mediante el método del extremo libre.. En la mayoría de los casos, las cuñas son elementos que trabajan a flexión pura y los anclajes son elementos que trabajan a tracción pura, si los anclajes se construyen a un ángulo diferente de 90º con la tablestaca, las cuñas se encuentran sometidas a una combinación de esfuerzo axial y de flexión. El esfuerzo axial es causado por la componente. 25.

(28) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. de la tensión sobre el anclaje que es paralela a la cara de la tablestaca; en este caso debe existir una conexión positiva entre la cuña y los anclajes para transmitir el esfuerzo axial. El diseño de los anclajes y de las cuñas es bastante elemental, solo se deben chequear los esfuerzos admisibles sobre los mismos, es por eso que solo se discute la localización de ambos elementos y la naturaleza de la tensión sobre los anclajes.. A.. Localización de las cuñas. Las cuñas son los elementos que se colocan en la parte. exterior o interior de la tablestaca para fijar los anclajes a la misma. A no ser que se desee una tablestaca con la cara nivelada, la localización más económica de las cuñas es sobre el nivel más bajo del agua y por fuera de la tablestaca. Cuando las cuñas se colocan arriba del nivel más bajo del agua se les debe de proveer de drenajes y deben pintarse para protegerlas de la corrosión. B.. Soporte de los anclajes. Si existe un suelo blando debajo de los anclajes, aún a una. gran profundidad, este se consolidará bajo el peso del relleno y hará que el suelo se asiente. Un asentamiento pequeño puede causar que el anclaje se hunda bajo el peso del suelo que se encuentra sobre el, para eliminar los esfuerzos que produce este hundimiento, alguno de estos métodos se puede utilizar: 1.. Soportar los anclajes con pilotes verticales a intervalos entre 6 y 9 metros. Estos. pilotes deben cimentarse sobre suelo firme debajo de la capa compresible. 2.. Instalar un tubo largo, y dentro de él colocar el anclaje, de tal forma que el diámetro. interior del tubo sea mayor al asentamiento máximo esperado, de esta manera el tubo se hundirá con el suelo y el anclaje no sufrirá ningún esfuerzo. C.. Tensión sobre los anclajes. Los anclajes frecuentemente se ven sometidos a una. tensión mayor a la calculada por el método del extremo libre. Para efectos de diseño la 26.

(29) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. tensión se incrementa al menos en un 30% para el anclaje y entre un 50% y un 100% para el diseño de conexiones y uniones donde un cambio abrupto en la sección transversal introduce concentraciones de esfuerzos.. 1.7.1 CAPACIDAD DEL PESO MUERTO. Los "muertos" (vigas de anclaje, bloques de anclaje, o platinas de anclaje) pueden ser construidos cerca de la superficie del suelo o a una gran profundidad, y, en distancias cortas o vigas continuas. La capacidad en cada caso para la fuerza horizontal se discute a continuación.. 1.7.1.1 Peso muerto continuo cerca de la superficie del suelo. Un peso muerto continuo es aquel cuyo largo es mayor que su profundidad. Si la profundidad del muerto h es menor un tercio de la profundidad H, figura tal, la capacidad puede ser calculada suponiendo que la parte superior del peso muerto se extiende hasta la superficie. Entonces la siguiente ecuación se vuelve cierta: Tult = Pp − Pa. (4). donde Tult = capacidad ultima del peso muerto, kN/m Pp = Presión total pasiva de tierras, kN/m Pa = Presión total activa de tierras, kN/m. 27.

(30) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. La magnitud de Pp y Pa pueden ser determinadas mediante la teoría clásica de presión de tierras, como se muestra en la figura 1.8(b), haciendo el supuesto de que la fricción y la adhesión entre el peso muerto y el suelo es cero. Para un peso muerto en suelo cohesivo, la distribución de Pp y Pa inmediatamente después de la aplicación de la tensión del anclaje se refiere a la presión inicial, y se muestra en la figura 1.8 (c). Debe notarse que la presión activa de tierras, se asume como cero a una profundidad = 2c/ã , que es la profundidad de las fisuras de tensión. A través del paso del tiempo, la magnitud y distribución de la presión de tierras tiende a cambiar de manera lenta, ante la falta de información en este sentido, el peso muerto en suelos cohesivos debe ser diseñado con un factor de seguridad conservativo.. HKa0.5. HKp0.5 b. Superficie del terreno a. x H. xγk0. dx Cuña pasiva. e. Cuña Activa. Figura 1.7 Peso muerto corto cerca a la superficie.. 1.7.1.2 Peso muerto corto cerca a la superficie. La figura 1.7 muestra un peso muerto con una longitud L sometido a una tensión T. Experimentos han demostrado que durante el momento de la falla se forma una cuña en el suelo que es mayor a la longitud del peso muerto. La resistencia al deslizamiento a través de la superficies curveadas de la cuña es indudablemente menor a la resistencia a lo largo de las superficies verticales. La presión total de tierras en el suelo granular es: 28.

(31) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES H. ∫ 0. MIC 2004-I-78. H−X 1 ( H K a )(dx)γK 0 = K 0γ ( K p + K a ) H 3 H 6. (5). Entonces la capacidad última de un peso muerto corto en suelo granular cerca de la superficie es : 1 Tult ≤ L( Pp − Pa ) + K 0γ ( K p + K a ) H 3 tan ϕ 3. (6). Donde L = es la longitud del peso muerto en metros; Pp , Pa = Presión pasiva y activa de tierra en kN / m; Ko = Coeficiente de presión de tierras en descanso. Debe tomarse como 0.4 para diseñar el peso muerto; ã = Peso unitario del suelo, kN/m3; Kp , Ka = Coeficientes de presión pasiva y activa de tierras; H = Altura del peso muerto; ö = Ángulo de fricción interna En suelo cohesivo el segundo término de la ecuación. tal debe reemplazarse por la. resistencia cohesiva, entonces: Tult ≤ L( Pp − Pa ) + qu H 2. (7). Donde qu es la resistencia inconfinada del suelo. 1.7.1.3 Peso Muerto a gran profundidad. La capacidad última del peso muerto a una gran profundidad por debajo de la superficie del suelo (h > H Figura 1.9 es aproximadamente igual a la capacidad portante de una zapata cuya base se encuentra localizada a una profundidad correspondiente a la mitad de la altura del peso muerto.. 29.

(32) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. Superficie del terreno h Cuña pasiva H T Fuerza anclaje. Cuña activa Peso muerto. (a). P= p γ K. Pp. P a=γK a. p. 2C = qu. 2C/γ H. Pp. Pa. Pa. Suelo Granular (b). (c). Suelo Cohesivo (Presión Inicial). Figura 1.8 Peso muerto continuo cerca de la superficie.. 1.7.2 LOCALIZACIÓN DEL ANCLAJE. El anclaje es inútil si se localiza dentro de la superficie de deslizamiento del suelo de relleno, ver figura 1.10 (a). La capacidad del peso muerto se ve afectada si se localiza en un suelo inestable, o si la superficie de falla del suelo interfiere con la cuña pasiva enfrente del peso muerto, figura 1.10 (b), en este caso la reducción de la capacidad del peso muerto debe ser determinada.. 30.

(33) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. h. h+H/2 T. H. T Peso Muerto. Zapata. H. Figura 1.9 Peso muerto a gran profundidad.. El anclaje no debe construirse en un suelo inestable. La capacidad del peso muerto es efectiva cuando: 1. La superficie de deslizamiento del relleno no interfiere con la cuña pasiva que se forma en la parte frontal del peso muerto. 2. El peso muerto es localizado detrás de la línea pendiente que comienza desde la parte inferior de la tablestaca y forma un ángulo ö con la horizontal, siendo ö el ángulo de fricción interna del suelo. Para satisfacer estos requisitos el peso muerto debe localizarse en el área formada por la líneas ae y bc de la figura 1.10 (c).. Superficie de deslizamiento. (a). 45º + φ/2. 31.

(34) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78 b. d 45º - φ/2. Superficie de deslizamiento. Superficie de deslizamiento. c. 45º + φ/2 φ a. (b). (c). Figura 1.10 Localización del peso muerto: (a) No ofrece resistencia; (b)Eficiencia reducida; (c)Máxima capacidad. 1.8 DISEÑO TRADICIONAL DE UN MURO TABLESTACADO A continuación se presenta el diseño tradicional de un muro tablestacado, esto con el fín de comparar los resultados de dicho diseño con los obtenidos mediante el diseño óptimo probabilístico.. Para el diseño del muro tablestacado se tomaron en cuenta los parámetros mostrados en tabla 1.2: Tabla 1.2 Parámetros de diseño. PARÁMETRO. VALOR. h1. 5.0 m. h2. 1.0 m. hw. 1.5 m. s. 2.5 m. Fy. 250 MPa. 32.

(35) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. Parámetro. Valor. Fyanclaje. 420MPa. ãs1. 18 kN/m3. ãs´1. 10 kN/m3. ö1. 25º. ãs´2. 11 kN/m3. ö2. 30º. Donde h1 es la porción del suelo de relleno que se encuentra sumergida, h2 es la ubicación del anclaje medida desde la parte superior del relleno y hw es la medida de la porción del suelo de relleno que se encuentra por encima del nivel freático. La variable s es la separación de los anclajes de la tablestaca, se selecciono un valor característico para proyectos de este tipo, el parámetro Fy es el esfuerzo de fluencia del acero de la tablestaca en MPa y la variable Fyanclaje es el esfuerzo de fluencia de los anclajes de la tablestaca en MPa.. Los parámetros del suelo son ãs1, que es el peso unitario del suelo de relleno seco, ãs´1 es el peso unitario sumergido del suelo de relleno, ö1 es el ángulo de fricción del suelo de relleno, ãs´2 es el peso unitario sumergido del suelo que se encuentra debajo del relleno y ö2 es el ángulo de fricción de dicho suelo.. 33.

(36) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. Figura 1.11 Geometría básica del muro tablestacado Una vez se han definido todos los parámetros del suelo se deben calcular las fuerzas actuantes sobre la tablestaca para esto se deben calcular los coeficientes de la presión del suelo:  . Kp1 := tan  45⋅.  . Kp2 := tan  45⋅.  . Ka1 := tan  45⋅.  . Ka2 := tan  45⋅. π 180 π 180 π 180 π 180.  . + φ1 .  . + φ2 .  . − φ1 .  . − φ2 . Donde Kp1 y Ka1 son los coeficientes de presión pasiva y activa del suelo de relleno respectivamente y Kp2 y Ka2 son los coeficientes de presión de tierras del suelo sobre el cual se apoya la tablestaca. Reemplazando los valores de la tabla 1.1 se obtienen los siguientes valores para la presión de tierras:. 34.

(37) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. Kp1 = 2.747 Kp2 = 3.732 Ka1 = 0.364 Ka2 = 0.268. Estos valores son adimensionales puesto que se trabajan en radianes. Ya calculados los coeficientes de presión de tierras se pueden calcular las presiones que actúan sobre la tablestaca conforme a la figura 1.5.. P1 := γs1⋅ hw⋅ Ka1 P1 = 9.827. P2 := γs´1⋅ h1⋅ Ka1 + P1 P2 = 28.026. P3 := ( γs1⋅ hw + γs´1⋅ h1) ⋅ Ka2 P3 = 20.632. La presión P1 es la presión justo donde se encuentra el nivel freático, la presión P2 es la presión donde termina el suelo de relleno y P3 es la presión activa de la parte del suelo sobre la cual se apoya la tablestaca. Las unidades de estas presiones son kN/m2. Puesto que la profundidad de la tablestaca es un parámetro desconocido que resulta del diseño, la presión total pasiva sobre la tablestaca es desconocida, para esto se debe iterar el valor de esta presión en función de la profundidad de la tablestaca hasta que la sumatoria de momentos con respecto al punto donde se ubican los anclajes sea igual a 0.. 35.

(38) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. Pendiente := γs´2⋅ ( Kp2 − Ka2). Pendiente = 38.105 y :=. P3 Pendiente. y = 0.541 M ( d ) := P1⋅. hw 2. ⋅   hw⋅. . 2 3. − h2   + P1⋅ h1⋅  hw +. . . h1 2. − h2  +. . ( P2 − P1) 2. ⋅ h1⋅  hw +. . 2 3. ⋅ h1 − h2  +. . P3 2. ⋅ y ⋅  hw + h1 +. . y 3. − h2  −. . Pendiente 2. ⋅ d ⋅  h1 + hw + y + 2. . 2 3. ⋅ d − h2 . . La variable pendiente es la pendiente que tiene la distribución de presiones de tierras en el suelo de cimentación de la tablestaca, y se utiliza para calcular la profundidad de la tablestaca, y el parámetro y es la parte de la tablestaca sobre la cual actúa una presión activa. Luego se plantea la ecuación de Momento al nivel de los anclajes como función de la parte de la profundidad de la tablestaca sobre la cual actúa la presión pasiva de tierras.. Dicha ecuación se resuelve igualando la sumatoria de momentos a cero y se encuentra la profundidad D1, luego a dicha profundidad se le adiciona el valor de y y se obtiene la profundidad total de la tablestaca:. D1 = 1.615 D := D1 + y. D = 2.156. Ya teniendo la profundidad total de la tablestaca es posible calcular la presiones a las cual esta sometida esta:. 36.

(39) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. 30. 30. 2.5 Presiones1( h) 25. 0. 52.5 − 80 80. 0. 2.16. 4.33. 0. h. 6.49. 8.66. h1+ hw + D. Figura 1.12 Distribución de presiones sobre la tablestaca en kN/m2. Una vez se ha calculado la profundidad de la tablestaca, esta se aumenta en un 40% siguiendo los lineamientos del diseño tradicional, obteniendo una profundidad suministrada de 3 metros.. Habiéndose calculado todas las presiones sobre la tablestaca, se debe calcular la tensión sobre los anclajes, dicha tensión se calcula planteando la ecuación de equilibrio de las fuerzas que actúan perpendiculares a la tablestaca.. T := P1⋅. hw 2. + P1⋅ h1 +. ( P2 − P1) 2. ⋅ h1 + P3⋅. y 2. 2. −. Pendiente ⋅ D 2. T = 19.021. Teniendo la tensión sobre los anclajes por metro lineal de muro, se puede calcular la tensión neta sobre cada anclaje a partir de la separación de los anclajes, y una vez se tiene esta tensión se procede a calcular el área de acero requerida a partir del esfuerzo de fluencia del acero de los anclajes.. 37.

(40) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. Tneta := s ⋅ T. Tneta = 47.551 Ast :=. Tneta fyanclaje ⋅ 1000 −4. Ast = 1.132 × 10. Esta área correspondería a un anclaje pasivo conformado por una varilla con diámetro de 1/2". Para diseñar la sección transversal de la tablestaca se debe seleccionar el modulo de sección requerido, a partir del máximo momento actuante sobre la tablestaca. Para calcular el momento máximo se debe encontrar el punto donde el cortante es igual a cero, para calcular este punto se supone que se encuentra bajo el nivel freático.. Cortante ( x) := T − P1⋅. hw 2. 2. − P1⋅ x −. γs´1⋅ Ka1⋅ x 2. x= 1 Cortante ( x) = 0 Mmax := P1⋅. hw 2. ⋅  x +. . hw . x. Ka1 x. 2 + P1⋅ x⋅ + γs´1⋅ x ⋅ ⋅ − T⋅ ( x + hw − h2)  3  2 2 3. Mmax = 11.955. Cuando se ha calculado el momento máximo sobre la tablestaca, se puede calcular el modulo de sección requerido limitando el esfuerzo de flexión sobre la misma al esfuerzo de fluencia del acero de la tablestaca.. 38.

(41) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES S :=. MIC 2004-I-78. Mmax fy⋅ 1000 −5. S = 4.782× 10. Utilizando el modulo de sección requerido se pueden utilizar las tablas que contienen las propiedades de la tablestacas y seleccionar la sección que más se acerque. La tablestaca seleccionada es una PSA23 (ver figura 1.1) con un peso de 112.3 kg/m 2.. El siguiente parámetro importante que resulta del diseño de la tablestaca es la altura del peso muerto, dicha altura debe ser suficiente para que la presión pasiva que desarrolla pueda soportar la tensión que le transmiten los anclajes.. Hm :=. T 0.5⋅ γs1 ⋅ ( Kp1 − Ka1). Hm = 0.942. La altura del peso muerto debe de ser de 0.95 metros, para un peso muerto continuo a lo largo de la tablestaca. Ya calculada la altura del peso muerto se procede a calcular la localización del mismo.. L :=. D + h1 + h2 tan ( φ2). L = 14.127. A continuación se presenta una tabla con los resultados del diseño tradicional del muro tablestacado anclado:. 39.

(42) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. Tabla 1.3 Resumen diseño estructural. Parámetro. Valor. Profundidad de. 3m. empotramiento de la Tablestaca (D) Área de acero de. 1.13 cm2. los anclajes. usar 1 varilla # 4. requerida (Ast) Modulo de sección. 4.782 x 10-5 m3. requerido de la tablestaca (S) Altura del peso. 0.95 m. muerto (Hm) Longitud del. 14.5 m. anclaje (L). 40.

(43) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. CONCLUSIONES •. El diseño de muros tablestacados anclados tiene diversas fuentes de incertidumbre que son claramente identificables en las solicitaciones de carga sobre el muro (presión de tierras, infiltración, etc), los parámetros de resistencia del mismo (esfuerzos resistentes sobre los anclajes, la tablestaca, etc) y los parámetros geotécnicos (peso unitario del suelo, ángulo de fricción, etc). Es por esto que este tipo de elementos presenta las condiciones que ameritan la realización de un diseño óptimo probabilístico que tenga en cuenta la incertidumbre de las variables y que produzca un beneficio máximo.. •. El diseño determinístico tradicional maneja la incertidumbre a partir de los factores de seguridad, aumentando la profundidad de la tablestaca un 40%. Es claro que este factor de seguridad introduce un factor de sobre diseño elevado que se ve reflejado en los costos, si se aumenta por tal cantidad la tablestaca, los anclajes tienden a no trabajar y el diseñar de los muros tablestacados “anclados” sería innecesario.. 41.

(44) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. CAPÍTULO II OPTIMIZACIÓN DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS. 42.

(45) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. ASPECTOS GENERALES. Este capítulo tiene como fin primordial definir los conceptos de la teoría de la confiabilidad, la optimización, el análisis de la probabilidad de falla mediante técnicas de Monte Carlo y la regresión múltiple. La teoría de la confiabilidad estructural es necesaria para calcular la probabilidad de falla de los diferentes mecanismos. de los muros. tablestacados anclados, dicha probabilidad dada la dificultad que presentan las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias, su correlación y la no linealidad de las ecuaciones de estado limite debe ser calculada utilizando métodos de Monte Carlo.. La teoría de la optimización es la parte principal de este documento y es indispensable enmarcar los lineamientos que se utilizaran para optimizar los muros tablestacados anclados.. La regresión múltiple se introduce como un método alternativo que permite calcular la probabilidad de violación de un estado límite en función de 2 o más variables, y de esta forma optimizarlos al tiempo.. 43.

(46) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. OBJETIVOS. •. Definir los conceptos básicos de la confiabilidad estructural, esto con el fin de introducir la teoría de la probabilidad de falla para utilizarla más adelante en el proceso de optimización.. •. Exponer la teoría de los métodos de Monte Carlo que permiten el calculo de cualquier probabilidad de falla. •. Presentar la teoría de la optimización, para realizar posteriormente un análisis de beneficio - costo para obtener estructuras seguras con un máximo beneficio.. •. Introducir el modelo de renovación, modelo de optimización que será utilizado para optimizar los muros tablestacados.. •. Presentar la teoría de la regresión múltiple con el fín de poderla utilizar para optimizar varias variables al tiempo.. 44.

(47) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. 2.1 CONFIABILIDAD ESTRUCTURAL. 2 .1.1 ESTADOS LÍMITES. 2.1.1.1 Definición de Falla:. La definición de falla depende de la función de estado límite, una estructura falla cuando no puede cumplir la función para la cual fue diseñada. Es por esto que se debe definir la función para la cual la estructura fue diseñada para así poder determinar cuando alcanza su estado de falla. Es para esto que se desarrollo el concepto de estado limite con el fin de definir la falla en el contexto del análisis de confiabilidad estructural. Un estado limite es el limite entre el funcionamiento deseado e indeseado de una estructura, dicho limite se puede expresar matemáticamente por una función de estado limite.. El mal funcionamiento de una estructura puede ocurrir por varios modos de falla: rompimiento, corrosión, deformaciones excesivas, pandeo local etc. Algunas de estas fallas se pueden presentar de una manera frágil o de una manera dúctil. La ingeniería tradicional considera cada uno de estos modos de falla de manera separada y cada uno de estos modos de falla puede definirse utilizando el concepto de estado límite.. En el análisis de Confiabilidad Estructural existen tres tipos de estados límites:. 1. Estados limites últimos: están relacionados con la incapacidad de la estructura de soportar las acciones de la carga, algunos de estos modos de falla son los siguientes: 45.

(48) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES •. Excedencia de la capacidad de soportar momentos. •. Formación de rotulas plásticas. •. Falla del concreto a compresión. •. Falla a cortante en el alma de una viga de acero. •. Perdida de estabilidad total. •. Pandeo del ala. •. Pandeo del alma. MIC 2004-I-78. 2. Estados limites de servicio: Se refieren al deterioro gradual, al servicio que presta al usuario o a los costos de mantenimiento. Pueden estar relacionados directamente o indirectamente con la integridad estructural. Algunos ejemplos de estos modos de falla son:. •. Deflexiones Excesivas. •. Vibraciones Excesivas. •. Deformaciones permanentes. •. Fisuras notorias. 3. Estados limites de fatiga: Están relacionados con la pérdida de resistencia de la estructura ante varios ciclos de carga. Los estados límites de fatiga están relacionados con la acumulación de daño y eventual falla bajo cargas cíclicas. Se ha observado que un elemento estructural puede fallar bajo cargas cíclicas a un nivel menor que su capacidad máxima de carga última. Estos mecanismos de falla incluyen la propagación de fisuras hasta que se produce la ruptura. Esto puede llevar al colapso total de la estructura.. 46.

(49) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. Estas fallas por fatiga son comunes en elementos de acero y en barras de acero de refuerzo, en el concreto reforzado particularmente en barras sometidas a flexión, también se han detectado en elementos preesforzados de puentes de concreto postensado. En cualquier análisis de fatiga se deben tener en cuenta la magnitud y la frecuencia de las cargas (Nowak, 2000).. 2.1.1.2 Funciones de Estado Limite:. Si se define R como la resistencia de un elemento y Q como la solicitación de dicho elemento la función de estado límite puede definirse para el modo de falla como: g ( R, Q ) = R − Q. (8). El estado limite correspondiente al limite entre el funcionamiento deseado e indeseado seria g = 0, si g ≥ 0 la estructura es segura, si g < 0 la estructura no es segura. La probabilidad de falla, Pf, es equivalente a la probabilidad de que la estructura no sea segura. Esto se puede expresar de la siguiente manera: Pf = P( R − Q < 0) = P( g < 0). (9). Si R y Q son variables aleatorias continuas, y cada una tiene una función de densidad de probabilidad como la mostrada en la Figura 2.1, entonces la resta R - Q también es una variable aleatoria con su propia función de densidad de probabilidad. Esto lo podemos ver también en la Figura 2.1, la probabilidad de falla corresponde al área sombreada en la Figura 2.1.. 47.

(50) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. Todo lo anteriormente dicho se puede resumir en las siguientes expresiones: Seguro (efectodec arg a ≤ resistencia ) Falla. (efectodec arg a > resistencia ). El estado de la estructura puede ser descrito utilizando varias variables X1, X2,......., Xn, variables que describen los parámetros de resistencia y carga, tales como la carga muerta, altura, profundidad, resistencia a la compresión, momento de inercia, etc. Una función de estado límite es una función g(X1, X2,......., Xn) de estas variables de tal forma que: g(X1, X2,......., Xn) > 0 Para una estructura segura g(X1, X2,......., Xn) = 0 El limite entre una estructura segura e insegura g(X1, X2,......., Xn) < 0 Para la falla. R-Q, margen seguro FDP. R, resistencia Q, efecto de carga. Probabilidad de falla. Figura 2.1 Funciones de Probabilidad de Densidad de carga, resistencia y margen de seguridad. Cada función de estado límite esta asociada en particular con un estado límite, a continuación se presentan ejemplos de funciones de estado límite:. 48.

(51) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. 1. Sea Q el efecto de carga (demanda total) y R la resistencia o capacidad. Entonces la función de estado límite puede definirse como: g ( R, Q ) = R − Q. (10). o como g ( R, Q ) = R / Q − 1. (11). 2. Sea X la resistencia de una viga a cortante y que las demandas de cortante son D de la carga muerta, L de la carga viva, y E el causado por el sismo, entonces la ecuación de estado límite se pude definir de la siguiente manera: g ( X , D , L, E ) = X − D − L − E. (12). Como conclusión se puede decir que la ecuación de estado límite es una función que puede depender de varios factores como dimensiones, componentes de carga, factores de influencia, parámetros de resistencia, propiedades de materiales etc., y con la ayuda de esta función es posible calcular la probabilidad de falla de la estructura.. 2.1.2 PROBABILIDAD DE FALLA. La probabilidad de falla debe definirse a partir de la función de estado límite ya antes definida: g ( R, Q ) = R − Q. (13). La probabilidad de falla, Pf, puede ser obtenida considerando las funciones de densidad de probabilidad de las variables aleatorias R y Q que se muestran en la figura 2.2.. 49.

(52) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. FDP. fQ. fR. 1-FQ(x). X dx. Figura 2.2 Funciones de densidad de probabilidad de demanda Q y resistencia R.. La estructura falla cuando la carga excede la resistencia. Si R es igual a un valor ri, entonces la probabilidad de falla es igual a la probabilidad de que la carga sea mayor que la resistencia, o que P (Q>ri). Entonces, como R. es una variable aleatoria hay una. probabilidad asociada para cada valor de ri. Entonces la probabilidad de falla esta compuesta por la sumatoria de combinaciones de R = ri y Q > ri, que puede escribirse de la siguiente manera: Pf = ∑ P( R = ri ∩ Q > ri ) = ∑ P(Q > R / R = ri ) P( R = ri ). (14). En el caso de una función de densidad de probabilidad continua para ambas variables la sumatoria se convierte en una integral. La probabilidad P(Q > R / R = ri ) es igual a 1 - FQ(ri ), en donde FQ(ri ) es la función de densidad de probabilidad acumulada de la solicitación Q evaluada en el valor de la resistencia ri. En el limite la probabilidad P(R = ri) fR(ri)dri, en donde fR(ri) es la función de densidad de probabilidad de la resistencia R. 50.

(53) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. evaluada en el valor ri. Aplicando estas equivalencias es posible llegar a la siguiente expresión (Nowak, 2000): Pf =. ∞. ∫ [1 − F. Q. −∞. ]. (ri ) f R (ri )dri = 1 − ∫ FQ (ri ) f R (ri )dri. (15). Si la solicitación Q es igual a un valor especifico qi, entonces la probabilidad de falla es igual a la probabilidad de que la resistencia sea menor que la solicitación, o P(R < qi), dado que Q es una variable aleatoria, existe una probabilidad asociada a cada valor de qi. Entonces la probabilidad de falla esta conformada por la sumatoria de las posibles combinaciones de Q = qi y R < qi, que puede ser expresada de la siguiente manera: Pf = ∑ P(Q = qi ∩ R < qi ) = ∑ P( R < Q / Q = qi ) P(Q = qi ). (16). Aplicando la metodología que se utilizo anteriormente esta expresión se puede rescribir como: Pf =. +∞. ∫ F (q ) f R. i. Q. (qi )dqi. (17). −∞. En donde FR(qi) es la función de densidad de probabilidad acumulada de la resistencia, evaluada en el valor de la solicitación qi y fQ(qi) es la función de densidad de probabilidad de la solicitación evaluada en el valor de la solicitación qi.. Es claro que la evaluación de estas integrales es un proceso complicado que en mucho casos requiere de de la utilización de métodos numéricos, sin embargo en la practica es posible calcular dichas probabilidades de una manera mas practica siguiendo los procedimientos que se explicaran a continuación.. 51.

(54) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. 2.1.2.1 Espacio de las Variables de Estado:. Las variables de estado son los parámetros básicos de solicitación y resistencia usados para formular la función de estado limite. Para una función de estado límite con n variables existen n variables de estado.. Si todas las variables de la solicitación están representadas por la variable Q y todas las variables de la resistencia por la variable R. entonces el espacio de las variables de estado es bidimensional como el que se puede ver en la Figura 2.3 A través de este espacio es posible separar la región de dominio seguro de la región del dominio de la falla por medio de la de la función de estado limite g(R, Q) = 0.. Como R y Q son variables aleatorias es posible definir una función conjunta fRQ(r, q) en donde la función de estado limite separa el dominio seguro de el dominio de la falla; por medio de esta función conjunta es posible calcular la probabilidad de falla integrando dicha función sobre el dominio de la falla que corresponde a la región en donde g(R, Q) < 0, como se mencionó antes esta integral es complicada de evaluar y para ello se define el Índice de Confiabilidad.. 52.

(55) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. R. R-Q = 0 Limite de la falla (Función de estado limite). µR. SEGURO (R<Q). FALLA (R<Q). µQ. Q. Figura Dominio Seguro y de la falla en un espacio de dos dimensiones.. 2.3. 2.1.3 INDICE DE CONFIABILIDAD. Con el fin de definir posteriormente el Índice de Confiabilidad es oportuno normalizar las variables R y Q, esta es la forma adimensional de las variables(Nowak, 2000): ZR =. ZQ =. R − µR σR Q − µq σQ. (18). (19). Las variables ZR y ZQ son denominadas variables transformadas, entonces las variables R y Q se pueden representar en función de sus variables transformadas de la siguiente forma: R = µ R + Z Rσ R. (20). Q = µQ + Z Qσ Q. (21). 53.

(56) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. La función de estado limite g(R, Q) = R - Q puede expresarse en términos de las variables transformadas: g ( Z R , Z Q ) = µ R + Z Rσ R − µQ − Z Qσ Q = (µ R − µQ ) + Z Rσ R − Z Qσ Q. (22). Para cualquier valor especifico de g (ZR , ZQ ), esta ecuación representa una línea recta en el espacio transformado de las variables transformadas ZR y ZQ. La línea que es utilizada en el análisis de confiabilidad estructural es la correspondiente a g (ZR , ZQ ) = 0 ya que esta es la línea que divide la zona del dominio seguro del dominio de la falla en el espacio de la variables transformadas.. 2.1.3.1 Definición del Índice de Confiabilidad. El índice de confiabilidad es la distancia mas corta desde el origen de las variables transformadas hasta la línea g (ZR, ZQ), esta definición fue realizada por Hasofer y Lind (1974), y puede verse en la figura 2.4.. ZR Seguro Función de Estado Limite g (ZR, ZQ) = 0. ZQ −. µ R − µQ σR. β. µ R − µQ σQ. Falla. 54.

(57) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. Figura 2.4 Índice de Confiabilidad definido como la perpendicular desde el origen hasta la recta.. Como la distancia mas corta entre un punto y una recta es la perpendicular trazada desde el punto hasta la recta, el índice de confiabilidad â puede calcularse utilizando la siguiente formula: β=. µ R − µQ σ R2 − σ Q2. (23). Donde â es la inversa del coeficiente de variación de la función g (R, Q), donde R y Q son variables sin correlación. Para variables normalmente distribuidas R y Q puede demostrarse que el índice de confiabilidad esta relacionado con la probabilidad de falla de la siguiente forma: β = −Φ −1 (Pf ) o Pf = Φ(− β ). (24). Esta definición del índice de confiabilidad puede ampliarse para el caso mas general de n variables, considerando la función de estado limite g (X1, X2,.....,Xn) donde la Xi variables no están correlacionadas. El Índice de Confiabilidad puede definirse:. 1. Se definen las variables {Z1, Z2,........, Zn} Zi =. Xi − µXi σ Xi. (25). 2. Plantear la ecuación de estado limite en términos de las nuevas variables trasformadas (Z1, Z2,......., Zn).. 3. El índice de confiabilidad es la distancia mas corta desde el origen del espacio transformado de n variables y la curva formada por la función g (Z1, Z2,......., Zn) = 0. 55.

(58) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. 2.1.3.2 Índice de Confiabilidad Primer Orden y Segundo Momento Funciones Lineales de Estado Limite. Una función lineal de estado limite de la forma: n. g ( X 1 , X 2 ,......., X n ) = a0 + a1 X 1 + a2 X 2 + ...... + an X n = ∑ ai X i. (26). i =1. Donde ai son términos constantes y Xi son variables aleatorias no correlacionadas. Aplicando la metodología planteada anteriormente se puede determinar el Índice de Confiabilidad (Nowak, 2000): n. β=. a0 + ∑ ai X i i =1. ∑ (a σ ) n. i =1. i. (27). Xi. Según esta formula el Índice de Confiabilidad solo depende de las medias y de las desviaciones estándar de las variables, y es por esto que se dice que es el índice de primer y segundo momento que corresponden a la media y a la desviación estándar respectivamente. Vale la pena decir que esta definición del Índice de Confiabilidad no tiene en cuenta la distribución de probabilidad de cada una de la variables, en el caso de que las variables estén distribuidas normalmente el índice que se obtiene es exacto, de lo contrario es solo una aproximación para relacionar el Índice de Confiabilidad y la probabilidad de falla.. 2.2 OPTIMIZACIÓN. La pregunta ¿Que tan seguro es seguro? es una pregunta que se ha formulado la Ingeniería Estructural desde sus comienzos. La Confiabilidad Estructural presenta una solución a este. 56.

(59) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. aspecto por medio de la probabilidad de falla de la violación de un estado limite, sin embargo este parámetro no es suficiente para definir si el riesgo es aceptable o no y poder así tomar una decisión.. Con el fin de hacer la probabilidad de falla un parámetro mas diciente, se realizan ciertas comparaciones con probabilidades de riesgo en otros aspectos de la vida, como la probabilidad de fallecer en un accidente aéreo o la probabilidad de morir de cáncer, se realizan calibraciones teniendo en cuenta eventos ocurridos en el pasado como fallas inducidas por eventualidades sísmicas y además se pueden realizar análisis de beneficio costo teniendo en cuenta la teoría económica.. La aceptación del riesgo depende de la sociedad, la edad, la cultura, la educación de la persona, de su bagaje cultural y de otros muchos aspectos, sin embargo es importante diferenciar entre el riesgo colectivo y el riesgo personal, toda persona es libre de llevar su vida como desee, pero esto no ocurre con el riesgo colectivo, como el riesgo de que un edificio presente una falla en su estructura, es un riesgo que debe ser manejado por el estado, pues es el deber de todo estado velar por la seguridad sus ciudadanos.. 2.2.1 Estructuras Óptimas. Para que una estructura sea económicamente óptima es necesario que la siguiente ecuación sea maximizada (Rackwitz, 2000): Z ( p ) = B( p ) − C ( p ) − D ( p ). (28). 57.

(60) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. MIC 2004-I-78. Todas estas cantidades se asumen cuantificables en términos monetarios, B (p) es el beneficio que proporciona la estructura, C (p) es el costo del diseño y de la construcción de la estructura y D (p) es el costo de la falla de la estructura. El valor p es un vector de parámetros relevantes a la seguridad de la estructura, es el vector de parámetros a optimizar, que puede ser el volumen de concreto de la estructura, el ancho de un muro, la cuantía de acero de una viga, etc.. Los valores B (p), C (p) y D(p) deben de ser diferenciables en todo el dominio del vector p, se supone que B = B (p) , no depende del parámetro de optimización y se mantiene constante, C (p) aumenta mientras D (p) disminuye conforme el parámetro p aumenta, esto se puede observar en la figura 2.5. Costo B. D(p) Optimo. C(p). Parámetro p. Dominio Aceptable. Figura 2.5 Función Objetivo. El costo C (p) varia según la parte que realice el análisis, ya sea el dueño, el constructor o el usuario, esto debido a que cada una de las partes maneja tasas diferentes de retorno y de ganancias Una estructura es razonable solamente si la función objetivo Z (p) es positiva 58.