Números normales - una aproximación algorítmica a una posible prueba de la normalidad de PI

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(1)Universidad de los Andes Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas. Numeros normales: una aproximación algorı́tmica a una posible prueba de la normalidad de π Trabajo de tesis para optar al tı́tulo de Matemático. Por:. Nicolás Moreno. Director: Ahmed Ould. Bogotá, Diciembre de 2005.

(2) Índice. Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ii. Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iii. Sı́mbolos y Abreviaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iv. Introducción. 1. 1. La medida del conjunto de los números normales. 8. 1.1. La demostración clásica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 1.2. La demostración con sucesiones equidistribuidas . . . . . . . . . . . . .. 18. 1.3. Un numero normal en base 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 2. Un nuevo algoritmo para π. 29. 2.1. Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 2.2. El algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 3. Hacia una prueba de la 16-normalidad de π. 37. 3.1. La hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 3.2. 2r -normalidad de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. Conclusiones. 48. i.

(3) Bibliografı́a. 51. A. Resultados de Análisis Real. 53. B. Código del programa. 57.

(4) Agradecimientos. Juan Camilo Acevedo, Enrique Acosta, Julián Castillo, Karen Heshusius, Jaime Lesmes, Ganesh Mejı́a, Santiago Mejı́a, Catalina Ospina, Ahmed Ould, Camilo Sanabria, Sergio Tello, Ramiro de la Vega..

(5) Sı́mbolos y Abreviaturas:. [x] x mod y {x} (xn ) a≡b kαk µ(E) CE Xn. (mod c). N (r, Xn ) N (Bk , Xn ) Ns (Bk , Xn ) A(E, N, ω) pr (k, j) `(i) |S| I I. Parte entera de x ∈ R, esto es, el mayor entero ≤ x. Función binaria definida por x mod y := x − [x/y]y. Parte fraccional de x ∈ R. Es lo mismo que el residuo de x módulo 1, ó x mod 1. Sucesión de números reales x1 , x2 , . . .. a congruente con b módulo c Norma de α ∈ [0, 1) definida por kαk = min(α, 1−α). Medida de Lebesgue del conjunto E. Función caracterı́stica del conjunto E. Bloque de dı́gitos x1 x2 . . . xn donde xi ∈ {0, 1, . . . , b− 1} dada una base b. Número de ocurrencias de r en Xn . Número de ocurrencias de Bk en Xn . Número de ocurrencias de Bk en Xn tales que j ≡ s (mod k), donde xj = b1 . Número de términos la sucesión ω = (xn ) con 1 ≤ n ≤ N tales que {xn } ∈ E. Número de bloques Bk en los que r aparece exactamente j veces. Longitud del intervalo i. Cardinalidad del conjunto S. Intervalo unitario [0, 1). Intervalo unitario cerrado [0, 1]..

(6) PI. The admirable number pi: three point one four one. All the following digits are also just a start, five nine two because it never ends. It can’t be grasped, six five three five , at a glance, eight nine, by calculation, seven nine, through imagination, or even three two three eight in jest, or by comparison four six to anything two six four three in the world. The longest snake on earth ends at thirty-odd feet. Same goes for fairy tale snakes, though they make it a little longer. The caravan of digits that is pi does not stop at the edge of the page, but runs off the table and into the air, over the wall, a leaf, a bird’s nest, the clouds, straight into the sky, through all the bloatedness and bottomlessness. Oh how short, all but mouse-like is the comet’s tail! How frail is a ray of starlight, bending in any old space! Meanwhile two three fifteen three hundred nineteen my phone number your shirt size the year nineteen hundred and seventy-three sixth floor number of inhabitants sixty-five cents hip measurement two fingers a charade and a code, in which we find how blithe the trostle sings! and please remain calm, and heaven and earth shall pass away, but not pi, that won’t happen, it still has an okay five, and quite a fine eight, and all but final seven, prodding and prodding a plodding eternity to last.. Wislawa Szymborska.

(7) Introducción. “La biblioteca es total y sus anaqueles registran todas las posibles combinaciones de los veintitantos sı́mbolos ortográficos (número, aunque vastı́simo, no infinito) o sea todo lo que es dable expresar: en todos los idiomas. Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografı́as de los arcángeles, el catálogo fiel de la biblioteca, miles y miles de catálogos falsos, la demostración de la falacia de esos catálogos, la demostración de la falacia del catálogo verdadero, el evangelio gnóstico de Bası́lides, el comentario de ese evangelio, el comentario del comentario de ese evangelio, la relación verı́dica de tu muerte, la versión de cada libro a todas las lenguas, las interpolaciones de cada libro en todos los libros.” Jorge Luis Borges. La biblioteca de Babel1 .. La idea de Borges, en “La biblioteca de Babel”, es que todas las combinaciones posibles de los sı́mbolos ortográficos generan absolutamente todo lo que puede ser expresado con esos sı́mbolos en cualquier lengua. En consecuencia, el escritor imagina una vasta biblioteca que contiene los libros que albergan todas esas combinaciones. Explica que en esa biblioteca-universo se encuentra todo, lo que tiene sentido y lo que no, toda la literatura universal, sutiles variaciones de ésta, etc. Ahora bien, en su biblioteca, Borges arbitrariamente considera que los sı́mbolos ortográficos son “veintitantos”, aunque es claro que la biblioteca total puede ser construida usando cualquier número finito de sı́mbolos. Por ejemplo podrı́amos imaginar la biblioteca de Babel en base 2, 1. Borges, Jorge Luis. Obras completas, Ficciones. Página 59.. 1.

(8) Introducción. 2. donde todos los libros no tienen más que las posibles combinaciones del 0 y el 1. En esta biblioteca binaria también se encontrarı́a todo lo que puede ser expresado en cualquier lengua, solo que codificado en base 2. Por supuesto la base es lo de menos, pues el proceso de efectuar todas las combinaciones posibles de b sı́mbolos, también conduce a la biblioteca. Ahora, a modo de juego, imaginemos que tomamos un número α irracional al azar y nos concentramos en su parte fraccional {α}, que está dada por α − [α] donde [α] representa la parte entera de α. Puesto que α es irracional, entonces la parte fraccional se extiende infinitamente sin periodo. Supongamos que {α} = 854612942789331768546 . . . Ahora llamemos “satánico” a un número si la cadena “666” se encuentra en su parte fraccional. Ası́, α es satánico si {α} = 854612942789331768546 . . . 666 . . . Llamemos “babélico” a un número si contiene la representación en base 10 del cuento “La biblioteca de Babel” en su parte fraccional. Volvamos a nuestro número α. Aunque suene increı́ble, con probabilidad 1, α es tanto satánico como babélico. De hecho con probabilidad 1, α contiene cualquier cadena imaginable de cualquier longitud, y la contiene muchas veces. Si α se escribe en base 30 y se usan como sı́mbolos los sı́mbolos ortográficos castellanos, entonces α contiene esta tesis, estas mismas palabras que en el momento escribo. Contiene la biblioteca de Babel; ya no el cuento (aunque también lo contiene) sino la totalidad de la biblioteca soñada por Borges. Esto se debe a que, con probabilidad 1, α es normal. De hecho casi todos los números reales comparten esta propiedad y el concepto de normalidad es la idea fundamental alrededor del cual gira esta tesis. Hablando informalmente, un número real α se dice normal en base b si toda cadena finita de k dı́gitos aparece en la expansion de α en base b con una frecuencia b−k . Si un número es normal en toda base entera b, se dice absolutamente normal. Con esta definición, se ve inmediatamente: 1) Todo número normal debe ser irracional, pues para todo b ∈ N, todo racional es periódico en su expansión en base b; 2) Un número puede ser normal en una base especı́fica, y no serlo en otra. Por ejemplo, la constante de Champernowne C = 0,12345678910111213 . . ., construida al concatenar todos los números naturales, es normal en base 10 (tal como fue demostrado por Champernowne),.

(9) Introducción. 3. pero no se sabe si es un número absolutamente normal, ya que al escribir C en otra base2 , esta pierde, precisamente, la cualidad que intuitivamente la hace normal en base 10: tener en su expansión decimal la concatenación de todos los números naturales. Adicionalmente a la constante de Champernowne, desde 1930, se han construido diversos números de los cuales se sabe que son normales. Entre estos puede mencionarse la constante de Champernowne generalizada3 : Cn (n ∈ N), el número de Copeland-Erdös 0,23571113171923 . . . en el que se concatenan los primos, y los números de Stoneham {αb,c } definidos para b y c primos relativos: ∞. αb,c =. X n=ck >1. X 1 1 = nbn b ck c k k=1. Ası́ definido, αb,c resulta normal en base b siempre que b y c sean primos relativos. Al ver estos ejemplos, podrı́a creerse que el problema de establecer la normalidad de un número cualquiera se ha convertido en un problema que puede resolverse utilizando métodos estándar. Sin embargo debe notarse que todos los casos de números normales (demostrados) comparten el hecho de haber sido construidos de manera algo artificial4 , con el objetivo especı́fico de exhibir su normalidad y en todos los casos solo se ha demostrado normalidad relativa a una base. Es decir: aún están abiertos los problemas de mostrar la b-normalidad de números como π, ln 2, e . . . y de exhibir un número absolutamente normal. Ahora bien, a comienzos del siglo XX, Borel probó que el conjunto de los numeros b-anormales5 tiene medida cero, y por lo tanto que el conjunto de los absolutamente anormales tiene medida 0. En otras palabras, que las propiedades “ser b-normal” y “ser absolutamente normal” valen casi en todas partes. Resulta entonces que la mayorı́a de los números reales son normales en toda base. Esto no deja de ser desconcertante al contrastarlo con el hecho de que no se ha podido encontrar un sólo número absolutamente normal, ni “natural” ni construido. 2. Por ejemplo en base 2, C = 0,0001111110011 . . . vg: C2 = 0,110111001011101111000 . . . 4 Naturalmente el adjetivo es arbitrario, mas aún si se tiene en cuenta que los números de Stoneham son formulados de una manera analı́tica conveniente y no por medio de una mera concatenación. Sin embargo es claro que los números normales mencionados distan mucho de ser constantes “naturales”, en el sentido en que π, ln 2, ζ(3), e ó Φ se consideran “naturales”. 5 Un número es b-anormal si no es normal en base b. 3.

(10) Introducción. 4. Una forma de hacer intuitivamente claro el hecho de que casi todos los números son normales, es considerar el problema desde la perspectiva de la probabilidad. Si la medida del complemento del conjunto de números b-normales es 0, entonces, si se escoge un número real al azar, la probabilidad de que éste sea b-normal es 1. Esto es evidente si se piensa que escoger al azar un número en base b es equivalente a lanzar infinitas veces un dado de b caras, puesto que se puede considerar que la concatenación de los dı́gitos resultantes de cada lanzamiento es la parte fraccional de un número real. Si el dado no está cargado se espera que un bloque cualquiera de longitud k aparezca con frecuencia 1/bk . De modo análogo, es claro que la probabilidad de que se obtenga un número b-anormal con este procedimiento de lanzar el dado es cero, pues de lo contrario esto equivaldrı́a a que a partir de cierto número de lanzamientos dejarı́an de aparecer ciertos bloques, o peor aún, dejarı́an de salir ciertos dı́gitos. Lo anterior permite suponer que un número b-anormal debe exhibir un comportamiento sumamente extraño en su parte fraccional. Ası́, es de esperarse que constantes importantes como π, exhiban en su expansión decimal (conocida) el comportamiento que se esperarı́a de un número normal: cada uno de los dı́gitos del 0 al 9 aparece con frecuencia aproximada 1/10, y cada cadena de longitud k aparece con frecuencia aproximada 1/10k . Si π fuera normal, uno esperarı́a que en los primeros diez millones de dı́gitos decimales, el número 7 apareciera un millón de veces. El 7 de hecho aparece 10 000,207 veces6 , lo que no está lejos de la predicción. Cada uno de los nueve dı́gitos restantes aparece una cantidad cercana a 10 000,000 de veces, lo que refuerza la idea de que π es normal, al menos en base diez. Si se consideran ya no 100 000,000 de dı́gitos decimales sino los 200.000 millones de dı́gitos calculados por Yasumasa Kanada en 1999, puede observarse que la frecuencia real de cada dı́gito es cada vez más cercana a la frecuencia esperada (1/10). Por ejemplo, el 7 aparece 19, 999, 967, 594 veces7 lo que significa que la frecuencia observada es de 1/10 − 7 con 7 = 0,162 ∗ 10−6 . Ası́, la evidencia estadı́stica acumulada se constituye en un claro indicio de la 10-normalidad 6. El dato es tomado del artı́culo: “Pi à la mode”, Science News, Sept 2001, pg 136. También hay una version en lı́nea en: http://www.sciencenews.org/articles/20010901/bob9.asp 7 Ibidem.

(11) Introducción. 5. de π. Esta misma evidencia “empı́rica” incluso apunta hacia la normalidad absoluta de π, pues al expresarlo en cualquier base, π conserva la propiedad que exhibe en base 10. Hablando formalmente la evidencia empı́rica, por supuesto, no demuestra nada, y ası́ la pregunta por la normalidad de ésta y otras constantes importantes ha estado abierta durante ya largo tiempo. El principal obstáculo según Peter Borwein8 es que los métodos actuales de teorı́a de la medida y teorı́a analı́tica de números “ni siquiera rozan el problema” pues, por ejemplo, ni siquiera ha sido posible demostrar que cada uno de los números del 0 al 9 aparecen infinitas veces en la expansión decimal de π: nada garantiza que, por ejemplo, después de cierta posición en la parte fraccional sólo aparezcan ceros y unos. La aproximación a la teorı́a de números normales, que se efectúa en este trabajo, gira, justamente, alrededor del problema de demostrar que algunas constantes importantes (en particular π) son normales. Se estudian y se exponen algunos desarrollos recientes que han permitido establecer conexiones entre campos aparentemente disı́miles: la normalidad de ciertas constantes, el problema computacional de encontrar dı́gitos de las mismas, y la teorı́a de sistemas dinámicos, en particular la teorı́a de sucesiones distribuidas uniformemente. Esta conexión, aunque depende de una conjetura, ha suscitado una aproximación nueva al, antes casi imposible, problema de la normalidad, convirtiéndolo ası́ en una pregunta abordable de sistemas dinámicos. Adicionalmente, este enfoque ha producido resultados (demostrados) interesantes por sı́ mismos, que han contribuido a echar luz sobre la naturaleza de las constantes irracionales que consideramos “naturales”. De este modo, puede considerarse que el objetivo de esta tesis, es reconstruir el trabajo reciente alrededor del problema de la normalidad de constantes importantes, enmarcándolo dentro de la teorı́a clásica, para apreciar los distintos enfoques y para tener una idea completa de las dificultades y de los avances que se obtienen con la nueva aproximación. En este trabajo de compilación, por otro lado, también se ofrecen las demostraciones omitidas por los autores, se proporcionan los detalles de pruebas que en 8. Coautor de uno de los 3 artı́culos en los que se basa esta tesis..

(12) Introducción. 6. la literatura se encuentran incompletas y se dan ejemplos nuevos que pueden contribuir a aclarar algunas ideas. Se intentó hacer un documento con el que una persona que posea una cultura matemática media (como la que puede proporcionar un pregrado estándar de matemáticas), pueda entender el problema de la normalidad desde sus orı́genes y pueda encontrar en un sólo texto los desarrollos modernos presentados de una manera sugestiva y ojalá aclaratoria. En ese sentido, puede decirse que la tesis tiene un carácter tanto de compilación como de simplificación y aclaración. Teniendo en cuenta estos objetivos, en el capı́tulo 1 se dan las definiciones y nomenclatura fundamental para establecer los resultados clásicos de teorı́a de la medida en relación con los números normales. El objetivo primordial es establecer que casi todos los números reales son absolutamente normales en el sentido de la medida de Lebesgue. Para esto se atiende a la presentación hecha por Niven en [11], a modo de ilustración de una demostración clásica del resultado. Posteriormente se introducen algunos resultados de la teorı́a de sucesiones equidistribuidas que sirven para demostrar el mismo teorema pero con una perspectiva bastante diferente (estos resultados se encuentran principalmente en [8]). Es este enfoque el que permite llegar a los resultados recientes ([4] y [9] de la bibliografı́a), y sirve como conector de los tres capı́tulos que conforman esta tesis. En el capı́tulo 2 se explica en detalle como funciona el algoritmo BBP para encontrar dı́gitos aislados de diversas constantes polilogarı́tmicas. En particular se desarrolla el algoritmo para encontrar dı́gitos aislados de π a partir de la expresión (hallada por Bailey ea.) de esta constante como escalera polilogarı́tmica en base 16: ∞ X 1 4 2 1 1 π= − − − i 16 8i + 1 8i + 4 8i + 5 8i + 6 i=0. (1). Adicionalmente, a modo de ilustración, el algoritmo se implementó en C++ para hallar dı́gitos de π en base 16. La conexión de este capı́tulo con el resto de la tesis es que la ecuación (1) y el algoritmo que de ella se deriva, permiten construir una sucesión para π que, junto con cierta hipótesis (que se formula en el capı́tulo 3), permitirı́a demostrar que π es normal, suponiendo que se demostrase que tal sucesión es equidistribuida. Las.

(13) Introducción. 7. fuentes principales de este capı́tulo son: [7] y [3] Por último, el capı́tulo 3 contiene los teoremas que conectan los capı́tulos 1 y 2. Se enuncia la conjetura que permitirı́a demostrar la normalidad de π en base 16 y se establecen los resultados intermedios (demostrados) que en sı́ mismos constituyen interesantes aportes a la teorı́a de números normales. Los teoremas principales y la conjetura se encuentran en el articulo On the random character of fundamental constant expansions ([4] de la bibliografı́a). Todos los resultados presentes en este trabajo aparecen en los textos de la bibliografı́a. Ası́ mismo la mayorı́a de las demostraciones de los mismos provienen también de los textos. Como ya se dijo, en algunos casos las demostraciones fueron modificadas para mayor claridad, y en otros se agregó la prueba de teoremas y corolarios que no se encuentran en la literatura consultada. El orden de los temas y la presentación de los mismos, sin embargo, es de mi completa autorı́a. Se intentó que la tesis fuera autocontenida, por lo cual se agregó un apéndice con los resultados relevantes de análisis real y, puesto que varios de los resultados del capı́tulo 3 dependen de ella, se incluyo bastante teorı́a de sucesiones equidistribuidas, lo que simultáneamente enfatiza la estrecha relación que ésta tiene con la teorı́a de números normales..

(14) CAPÍTULO. 1. La medida del conjunto de los números normales. En este capı́tulo se dan las definiciones y nomenclatura fundamental para establecer los resultados clásicos de teorı́a de la medida en relación con los números normales. Posteriormente se establecen algunos resultados acerca del conjunto de los números normales que sirven para demostrar que el conjunto de números absolutamente anormales (esto es: no normales en ninguna base) tiene medida 0. Por último se da una demostración de este mismo resultado, basada en la teorı́a de sucesiones distribuidas uniformemente1 . Para todo lo que sigue, x denotará un número real en I = [0, 1) escrito en base b. Esto es: x = 0.x1 x2 x3 x4 . . . con xi ∈ {0, 1, .., b − 1}. Ası́ mismo Xn denota el bloque de dı́gitos x1 x2 x3 x4 . . . xn donde xi ∈ {0, 1, .., b − 1}. N (r, Xn ) denota el número de ocurrencias del dı́gito r en el bloque Xn . Por ejemplo, si x = 0,14159265358979 . . . entonces X10 = 1415926535 y N (1, X10 ) = 2, N (7, X10 ) = 0 y N (5, X10 ) = 3. Con esta P notación se tiene de forma obvia que n = b−1 r=0 N (r, Xn ). 1.0.1 Definición. El número x es normal simple en base b si para todo r ∈ {0, 1, . . . , b− 1}: 1 1 N (r, Xn ) = n→∞ n b lim. 1. Ver sección 1.2.. 8.

(15) Medida del conjunto de números normales. 9. La definición de número normal simple puede ser extendida a reales arbitrarios (no solo los pertenecientes al intervalo [0, 1)) diciendo que x ∈ R es normal simple si {x} := x − [x] es normal simple, donde [x] es la parte entera de x. De la definición, puede verse que un número escrito en base b, es normal simple si cada uno de los dı́gitos 0, 1, . . . , b − 1, aparece en {x} con frecuencia 1/b. Un ejemplo de un número normal simple en base 7 es: 0,0123456012345601234560123456 . . . = 0.0123456. (1.1). Ahora bien, como ya se dijo en la introducción, hablando informalmente un número real x se dice normal en base b si toda cadena finita de k dı́gitos aparece en la expansión de x en base b con una frecuencia b−k . Ası́, por ejemplo, el número en (1.1) no es normal en base 7, ya que la cadena 666 no aparece en su parte fraccional. De hecho cualquier racional, en tanto su parte fraccional es periódica, es no normal en cualquier base. Con el fin de formalizar la definición de número normal, con Bk denotaremos una cadena finita b1 b2 . . . bk de longitud k; donde, dada una base b, bi ∈ {0, 1, . . . , b − 1}. También nos referiremos a Bk como un bloque arbitrario de longitud k. Ası́, N (Bk , Xn ) es el número de ocurrencias del bloque Bk en el bloque Xn . Con esta notación puede darse la siguiente definición. 1.0.2 Definición. Un número x es normal en base b si para todo Bk con k = 1, 2, 3, . . . se tiene: 1 1 N (Bk , Xn ) = k n→∞ n b lim. Si se dice que un número es b-normal, esto quiere decir que dicho número es normal en base b. Un ejemplo de un número 10-normal es la constante de Champernowne, construida concatenando todos los números naturales. C10 = 0,1234567891011121314151617181920 . . . El subı́ndice indica que nos referimos a la constante de Champernowne en base 10, pues el procedimiento de concatenar todos los números puede ser realizado en cualquier.

(16) Medida del conjunto de números normales. 10. base, dando ası́ lugar a la constante de Champernowne generalizada: Cb = 0,1 . . . (b − 1)1011 . . .. La demostración de la b-normalidad de Cb (ver [11]) depende en gran medida de la base en que se construya Cb . Ası́, si se construye C10 puede demostrarse que es 10-normal; análogamente que C2 es 2-normal, etc. Sin embargo si se escribe C10 en base 2, tendrı́amos (C10 )2 = 0,0001111110011 . . . y no se sabe si este número es normal en base 2. El punto es que la demostración de la 10-normalidad de C10 no es suficiente para dar cuenta de la normalidad de (C10 )2 . Esto suscita la definición de “normalidad absoluta”. 1.0.3 Definición. Un número x se dice absolutamente normal si es normal en toda base. Curiosamente, continúa siendo abierto el problema de exhibir un número absolutamente normal, aún cuando, como se verá, casi todos los números son absolutamente normales.. 1.1.. La demostración clásica. El objetivo primordial de esta sección es establecer que, en el sentido de la medida de Lebesgue, la propiedad “ser absolutamente normal” vale casi en todas partes. Esto es, si A := {x; x es absolutamente normal} entonces µ(Ac ) = 0. Para la demostración de este hecho, resulta útil la definición de número normal tal como fue expresada por Borel (ver [11]): 1.1.1 Definición. x es normal en base b si x, bx, b2 x, . . . son todos normales simples en cada una de las bases b, b2 , b3 , . . .. Esta definición es equivalente con la definición 1.0.2, como puede verse en [11]. No obstante, por ahora nos limitamos a mostrar una implicación, a saber que la definición 1.1.1 implica la definición 1.0.2. Para ello introducimos una nueva función de conteo Ns (Bk , Xn ) que denota el número de ocurrencias de Bk = b1 b2 . . . bk en Xn = x1 x2 . . . xn que satisfacen la condición j ≡ s. (mod k), donde xj = b1 , xj+1 = b2 etc..

(17) Medida del conjunto de números normales. 11. 1.1.2 Ejemplo. Si x = 0,2315237812315 . . ., B2 = 23 y B3 = 231 entonces X12 = 231523781231. N1 (23, X12 ) = 2. N2 (23, X12 ) = 1. N1 (231, X12 ) = 2. N2 (231, X12 ) = 0. N3 (231, X12 ) = 0. Nótese que N (B2 , X12 ) = N1 (23, X12 )+N2 (23, X12 ) = 3, e igualmente que N (B3 , X12 ) = N1 (231, X12 ) + N2 (231, X12 ) + N3 (231, X12 ) = 2. 1.1.3 Lema. La definición 1.1.1 implica la definición 1.0.2. Demostración. Sea x normal según la definición 1.1.1. Esta definición puede ser reformulada2 ası́: x es normal en base b si 1 1 1 Ns (Bk , Xn ) = para todo k, s, Bk n→∞ n k bk lim. Ahora bien, puede partirse N (Bk , Xn ) en k partes tal como lo sugiere 1.1.2: N (Bk , Xn ) =. k X. Ns (Bk , Xn ). s=1. De este modo, si x verifica (1.2), entonces k. 1 1X lim N (Bk , Xn ) = lim Ns (Bk , Xn ) n→∞ n n→∞ n s=1 k X 1 = lim Ns (Bk , Xn ) n→∞ n s=1. =. k X. 1 Ns (Bk , Xn ) n→∞ n s=1 lim. k X 1 = kbk s=1. = 2. Para una prueba de esto ver [11]. 1 bk. (1.2).

(18) Medida del conjunto de números normales. 12 . Ahora, conviene concentrarnos en los bloques Bk . En primer lugar, sabemos que hay bk bloques posibles de longitud k en base b. Dado un dı́gito r ∈ {0, 1, . . . , b − 1} nos interesa saber en cuántos de los bk bloques de longitud k, el dı́gito r aparece exactamente j veces. Por eso, introducimos la función de conteo pr (k, j) definida por pr (k, j) := |{Bk ; r aparece exactamente j veces en Bk }| 1.1.4 Observación. Como el dı́gito r puede aparecer en cada una de las k posiciones del bloque Bk , entonces hay kj maneras posibles de que r aparezca exactamente j veces en un bloque Bk . Como para cada una de esas kj posibilidades aún quedan k − j posiciones por llenar con los b − 1 dı́gitos diferentes de r, es claro que k k! (b − 1)k−j pr (k, j) = (b − 1)k−j = j!(k − j)! j Por convención: pr (k, j) = 0 si j > k. (1.3). pr (k, j) = 0 si j < 0. (1.4). 1.1.5 Lema. Para j ≥ 2 se tiene j2 pr (kb, k + j) < b exp − 4kb kb. . . Demostración. pr (kb, k + j) k!(kb − k)! = (b − 1)−j pr (kb, k) (k + j)!(kb − k − j)! (kb − k)(kb − k − 1) · · · (kb − k − j + 1) = (k + 1)(k + 2) · · · (k + j)(b − 1)j −1 −1 −1 k+1 k+2 k+j = ··· k k k (b − 1)(b − 1 − 1/k) · · · (b − 1 − j/k + 1/k) × (b − 1)j. (1.5).

(19) Medida del conjunto de números normales. 13. Como la cantidad en (1.5) es menor que 1 entonces (b − 1) b − 1 − k1 · · · b − 1 − j−1 pr (kb, k + j) k < pr (kb, k) (b − 1)j j−1 1 2 (b − 1)(b − 1)j−1 1 − k(b−1) 1 − k(b−1) · · · 1 − k(b−1) = (b − 1)j 1 2 j−1 = 1− 1− ··· 1 − k(b − 1) k(b − 1) k(b − 1) 2 j−1 1 − ··· − (1.6) < exp − k(b − 1) k(b − 1) k(b − 1) j(j − 1) = exp − 2k(b − 1) j2 < exp − 4kb La desigualdad 1.6 se justifica con el lema A.1 del Apéndice A. Ahora bien, es claro que pr (kb, k) < bkb , ası́ que: j2 pr (kb, k + j) < b exp − 4kb kb. . . Con un procedimiento análogo, puede demostrarse el siguiente lema (ver [11]). 1.1.6 Lema. Para j ≥ 2 se tiene j2 pr (kb, k − j) < b exp − 4kb kb. . . 1.1.7 Lema. Sea > 0. Para k suficientemente grande, el número de bloques Bkb tales que |N (r, Bkb ) − k| > k. (1.7). es menor que (kb)bkb (1 − c1 )−k donde c1 es una constante positiva que depende de y no de k. Demostración. El número de bloques Bkb que satisfacen (1.7) está dado por: X j>k+k. pr (kb, j) +. X j<k−k. pr (kb, j) =. X |j|>k. pr (kb, k + j). (1.8).

(20) Medida del conjunto de números normales. 14. Usando los lemas 1.1.5 y 1.1.6 se tiene (k)2 k2 j2 kb kb kb < b exp − = b exp − pr (kb, k + j) < b exp − 4kb 4kb 4b Por (1.3) y (1.4) es claro que la suma en (1.8) tiene menos de kb términos diferentes de 0. Por lo tanto X |j|>k. k 2 2 pr (kb, k + j) < (kb)b exp − 4kb kb. . . = (kb)bkb (1 + c1 )−k donde c1 = exp(2 /4b) − 1. . 1.1.8 Lema. Para todo m suficientemente grande, el número de bloques Bm que satisfacen |N (r, Bm ) −. m |> m b. (1.9). es menor que mbm (1 + c)−m donde c es una constante positiva que no depende de m. Demostración. Sea m = kb + d con 0 ≤ d < b. Sea Bm un bloque que satisface (1.9). Usando la desigualdad triangular se tiene m < |N (r, Bm ) −. m m |= |N (r, Bm ) − N (r, Bkb ) + N (r, Bkb ) − k + k − | b b m ≤ |N (r, Bm ) − N (r, Bkb )| + |N (r, Bkb ) − k| + |k − | b. Ahora bien, a lo sumo, N (r, Bm ) = m y N (r, Bkb ) = kb, entonces |N (r, Bm )−N (r, Bkb )| ≤ d. Además, k − m/b = −d/b y como 0 ≤ d < b entonces | − d/b| < 1. Ası́ pues: |N (r, Bm ) − N (r, Bkb )| + |N (r, Bkb ) − k| + |k −. m |< d + |N (r, Bkb ) − k| + 1 b. Entonces para k suficientemente grande |N (r, Bkb ) − k| > m − d − 1 ≥ kb − d − 1 > k. (1.10). De la desigualdad (1.10) puede concluirse que dado un Bm que cumpla (1.9), entonces sus primeros kb dı́gitos, considerados como un Bkb , cumplen la desigualdad (1.7) del.

(21) Medida del conjunto de números normales. 15. lema 1.1.7. Obsérvese que, dado un Bkb particular pueden construirse bd bloques Bm que coincidan en las primeras kb posiciones con Bkb y que tengan dı́gitos arbitrarios en las siguientes d posiciones. Por lo tanto el número y de bloques Bm que satisfacen (1.9), es el número de bloques Bkb que satisfacen (1.7) multiplicado por bd . Usando el lema 1.1.7 puede estimarse tal número: y = bd ((kb)bkb (1 + c1 )−k ) = (kb)bm (1 + c1 )−km/m ≤ mbm ((1 + c1 )k/m )−m Como 2kb > m entonces k/m > 1/2b, por lo tanto (1 + c1 )k/m > (1 + c1 )1/2b , ya que c1 > 0. De este modo concluimos: y ≤ mbm ((1 + c1 )k/m )−m < mbm ((1 + c1 )1/2b )−m = mbm (1 + c)−m Nótese que c = (1 + c1 )1/2b − 1, es una constante positiva que no depende de m.. . 1.1.9 Lema. Sean y 1 positivos y arbitrarios. Para cada Xn que cumpla |N (r, Xn ) −. n | > n b. (1.11). consideremos el número 0.Xn = 0.x1 x2 . . . xn y cubrámoslo con un intervalo cerrado [0.Xn , 0.Xn +. 1 ]. bn. Para m suficientemente grande, con n ≥ m y para todo r ∈. {0, 1, . . . , b − 1}, la suma de las longitudes de estos intervalos es menor que 1 . Demostración. Dado n, sea Cn la colección de intervalos que cubren todos los bloques Xn que satisfacen (1.11). La longitud de [0.Xn , 0.Xn + b1n ] ∈ Cn es. 1 . bn. Por el lema 1.1.8,. para cada r hay menos de nbn (1 + c)−n bloques Xn que satisfacen (1.11), ası́ que para todo r ∈ {0, 1, . . . , b − 1} hay bnbn (1 + c)−n bloques Xn que satisfacen (1.11). Por lo tanto para cada n ≥ m con m suficientemente grande, X. `(i) <. i∈Cn. Por lo tanto X n≥m i∈Cn. `(i) <. 1 bnbn (1 + c)−n bn ∞ X n=m. bn(1 + c)−n. (1.12).

(22) Medida del conjunto de números normales. 16. Usando el criterio de la razón puede verse que la serie de la derecha en (1.12) converge para cualquier valor de m, ası́ que es posible escoger m suficientemente grande para que P `(i) < 1 . Con los lemas anteriores, ahora estamos en capacidad de demostrar el teorema principal de esta sección, que dice que casi todos los números reales son absolutamente normales. 1.1.10 Teorema. Sea S := {x ∈ I| x es normal simple en base b}. Entonces µ(S c ) = 0. Demostración. Sea x ∈ S c . Entonces, para algún r, existe > 0 tal que hay infinitos valores de n para los que 1 1 N (r, Xn ) − > n b. (1.13). Sea T () definido como el conjunto de todos los x ∈ S c que satisfacen (1.13) para algún r y para infinitos valores de n. Análogamente, en general definimos T (/m), como el conjunto de todos los x ∈ S c que, para infinitos valores de n, satisfacen 1 1 > N (r, Xn ) − n b m Obsérvese que para cualquier > 0 ∞ [. S = T m m=1 c. (1.14). Ahora bien, si x ∈ T () entonces x satisface (1.13) y por lo tanto también satisface N (r, Xn ) −. n > n b. Pero ésta es la desigualdad (1.11) del lema 1.1.9 y x está en el intervalo [Xn , Xn + b− n], por lo tanto µ(T ()) = 0. De la misma manera, para todo m ∈ N \ {0}, µ(T (/m)) = 0. Ası́, la ecuación (1.14) nos permite ver que S c es la unión de una colección enumerable de conjuntos de medida 0, y por lo tanto µ(S c ) = 0 (ver el teorema A.2 del apéndice A).. .

(23) Medida del conjunto de números normales. 17. 1.1.11 Teorema. Sea A := {x ∈ R | x es absolutamente normal}. Entonces µ(Ac ) = 0. Demostración. Al considerar la definición de normalidad de Borel (1.1.1), puede verse que el conjunto A consta de todos los x ∈ R tales que, para toda b ≥ 2, x, bx, b2 x, . . . son todos normales simples en cada una de las bases b, b2 , b3 , . . .. Análogamente Ac puede ser reinterpretado ası́: Ac = {x ∈ R | bm x no es normal simple en base bn para algún m, algún b y algún n, con: b ≥ 2, m ≥ 0, n ≥ 1} (1.15) Sea S(b) el conjunto de todos los x ∈ R que no son normales simples en base b. Nótese que S(b) ∩ I es el conjunto S c del teorema 1.1.10, entonces µ(S(b) ∩ I) = 0. Como x ∈ R es normal simple si y sólo si x − [x] = {x} es normal simple, entonces µ(S(b)) = 0. Como el teorema 1.1.10 vale para cualquier base, entonces µ(S(bn )) = 0 para todo b ≥ 2, n ∈ N. Sea. ∞ [. V (b) :=. S(bn ). (1.16). n=1. Entonces µ(V (b)) = 0. Si, para cada m ∈ N, se construye el conjunto b−m V (b) multiplicando cada x ∈ V (b) por b−m , es claro que b−m V (b) tiene medida 0 y que si y ∈ b−m V (b) entonces: bm y = bm b−m x = x. donde x ∈ V (b). Ası́ que b−m V (b) consta de todos los números reales y tales que bm y no es normal simple en base bn al menos para un valor de n. Definimos W (b) y W de la siguiente forma: W (b) = W =. ∞ [. b−m V (b). m=0 ∞ [. W (b). b=2. Debido a (1.15), se ve que W = Ac , y si se aplica sucesivamente el teorema A.2 del apéndice A se tiene µ(W ) = µ(Ac ) = 0.. .

(24) Medida del conjunto de números normales. 1.2.. 18. La demostración con sucesiones equidistribuidas. En esta sección se da una demostración del teorema 1.1.11 utilizando la teorı́a de sucesiones distribuidas uniformemente módulo 1. En este caso no se demuestra que casi todos los números son normales simples, sino que se prueba directamente que, dada una base b, casi todos los números son normales. Esta aproximación al problema nos permite complementar la demostración de la normalidad de la constante de Champernowne que se encuentra en [11]. Por otro lado algunos de los resultados de teorı́a de sucesiones distribuidas uniformemente módulo 1, utilizados para la demostración del teorema 1.2.9, nos permitirán en el capı́tulo 3, conectar el problema de la normalidad de π y otras constantes con las investigaciones recientes acerca del cálculo de constantes polilogarı́tmicas que se presenta en el capı́tulo 2. Para definir sucesión distribuida uniformemente módulo 1, introducimos la función de conteo A(E, N, ω). Dado E ⊆ I, N ∈ Z y una sucesión ω = (xn )∞ n=1 de números reales, A(E, N, ω) denota el número de términos xn con 1 ≤ n ≤ N tales que {xn } ∈ E. Cuando no haya lugar a ambigüedad se usará A(E, N ). 1.2.1 Observación. Si CE denota la función caracterı́stica del conjunto E, notamos que: A(E, N, ω) =. N X. CE ({xn }). n=1. 1.2.2 Definición. La sucesión ω = (xn )∞ n=1 de números reales se dice distribuida uniformemente módulo 1 o equidistribuida3 , si la siguiente ecuación vale para todo par a, b de números reales, con 0 ≤ a < b ≤ 1: A([a, b), N, ω) =b−a N →∞ N lim. Esta definición puede ser reescrita haciendo uso de la observación 1.2.1. Ası́, puede verse que la sucesión (xn ) es equidistribuida si 3. En lo que resta de este trabajo se usará el término “sucesión equidistribuida” para referirse a “sucesión distribuida uniformemente módulo 1”, que es la forma que se usa en [8]. Utilizaremos, sin embargo, “equidistribuida”, para hacer consistente la terminologı́a con la de [4]..

(25) Medida del conjunto de números normales. 19. Z 1 N 1 X C[a,b) ({xn }) = b − a = C[a,b) (x) dx lim N →∞ N 0 n=1. (1.17). 1.2.3 Teorema. Una sucesión (xn )∞ n=1 de números reales es equidistribuida si y sólo si para toda función real continua definida en I = [0, 1] se tiene Z 1 N 1 X lim f ({xn }) = f (x) dx N →∞ N 0 n=1 Demostración. (“⇒”) Sea (xn ) una sucesión equidistribuida. Sea φ(x) =. (1.18) Pk−1 i=0. di C[ai ,ai+1 ) (x). una función escalonada definida en I, donde 0 = a0 < a1 < · · · < ak = 1. Entonces para esa φ se tiene: N N k−1 1 X 1 XX lim φ({xn }) = lim di C[ai , N →∞ N N →∞ N n=1 n=1 i=0 k−1 X. ai+1 ) ({xn }). N. 1 X = di lim C[ai , ai+1 ) ({xn }) N →∞ N n=1 i=0 Z 1 k−1 X = di C[ai , ai+1 ) (x) dx (por (1.17)) 0. i=0 1. Z =. φ(x) dx 0. Por lo tanto, toda función escalonada definida como φ satisface (1.18). Ahora, sea f una función real y continua definida en I. Sea > 0. Por la definición de la integral de Riemann (ver por ejemplo [13] página 76), existen dos funciones escalonadas, digamos φ1 R1 y φ2 , tales que φ1 (x) ≤ f (x) ≤ φ2 (x) para todo x ∈ I y tales que 0 (φ2 (x)−φ1 (x)) dx ≤ . Ahora bien, N N 1 X 1 X φ1 ({xn }) ≤ lim inf f ({xn }) N →∞ N N →∞ N 0 0 n=1 n=1 Z Z N N 1 1 1 X 1 X ≤ lim sup f ({xn }) ≤ lim φ2 ({xn }) = φ2 (x) dx ≤ f (x) dx + N →∞ N N →∞ N n=1 0 0 n=1. Z. 1. Z. f (x) dx − ≤. 1. φ1 (x) dx = lim. En consecuencia, f satisface (1.18). (“⇐”) Sea > 0. Sea (xn ) una sucesión de números reales y supongamos que (1.18).

(26) Medida del conjunto de números normales. 20. vale para toda función f real y continua en I. Sea [a, b) un subintervalo arbitrario de I; entonces existen dos funciones continuas g1 y g2 tales que, para x ∈ I, g1 (x) ≤ R1 C[a,b) (x) ≤ g2 (x) y 0 (g2 (x) − g1 (x)) dx ≤ . Entonces: Z 1 Z 1 Z 1 g1 (x) dx g2 (x) dx − ≤ C[a,b) (x) dx − ≤ b−a−= 1 N →∞ N. = lim. 0. 0. 0 N X. g1 ({xn }) ≤ lim inf N →∞. n=1. 1 N. N X. C[a,b) ({xn }) = lim inf. n=1 N X. N →∞. A([a, b), N ) N. N 1 X 1 A([a, b), N ) = lim sup C[a,b) ({xn }) ≤ lim g2 ({xn }) ≤ lim sup N →∞ N N N →∞ N N →∞ n=1 n=1 Z 1 Z 1 Z 1 = g2 (x) dx ≤ g1 (x) dx + ≤ C[a,b) (x) dx + 0. 0. 0. =b−a+ Ası́ que, A([a, b), N ) =b−a N →∞ N lim. Con lo que se concluye que (xn ) es equidistribuida.. . 1.2.4 Corolario. Una sucesión (xn ) es equidistribuida si y sólo si (1.18) vale para toda función integrable en el sentido de Riemann en el intervalo I. Demostración. (“⇒”) Se demuestra igual que la primera parte del teorema 1.2.3. (“⇐”) Si (1.18) vale para toda función integrable en el sentido de Riemann en el intervalo I, en particular vale para toda función continua. Por lo tanto esta implicación es consecuencia directa del teorema 1.2.3.. . 1.2.5 Corolario. Una sucesión (xn ) es equidistribuida si y sólo si para toda función f compleja y continua sobre R con periodo 1, se tiene Z 1 N 1 X f (xn ) = f (x) dx lim N →∞ N 0 n=1. (1.19). Demostración. (“⇒”) Supongamos que f (x) = g(x) + ih(x), con g y h reales y continuas. Entonces puede aplicarse el teorema 1.2.3 a g y h para obtener: Z 1 N 1 X lim f ({xn }) = f (x) dx N →∞ N 0 n=1.

(27) Medida del conjunto de números normales. 21. Como f tiene periodo 1, entonces f ({xn }) = f (xn ), lo que nos permite concluir Z 1 N 1 X lim f (xn ) = f (x) dx N →∞ N 0 n=1 (“⇐”) Se demuestra igual que la segunda parte del teorema 1.2.3, notando que g1 y g2 pueden ser escogidas de tal forma que g1 (0) = g1 (1) y g2 (0) = g2 (1). Ası́, (1.2.5) puede ser aplicada a las extensiones periódicas de g1 y g2 en R.. . Usando el teorema 1.2.3 podemos dar un ejemplo de sucesión equidistribuida, que nos permite concretar la idea intuitiva de que una sucesión (xn ) es equidistribuida si a cada subintervalo [a, b) de I “le toca” el “pedazo que le corresponde” de partes fraccionales de términos de la sucesión. 1.2.6 Ejemplo. La sucesión ω definida ası́: 0 0 1 0 1 2 0 1 k−1 ω = , , , , , ,... , ,..., ,... 1 2 2 3 3 3 k k k es equidistribuida. Para verlo usamos el teorema 1.2.3. Sea f una función arbitraria, real y continua. Considere la familiade funciones escalonadas Φk (x) = f (i/k) con k ∈ N, i i+1 , . Entonces, i = 0, . . . , k − 1 y x ∈ k k Z 0. 1. k−1 k−1 X 1 i 1X i f Φk (x) dx = f = k k k i=0 k i=0. Sea > 0. Entonces, por definición de la integral de Riemann, existe K > 0 tal que para todo k ≥ K se tiene Z. 1. Z Φk (x) dx −. 0. 1. f (x) dx < 0. Ası́, k−1. 1X lim f k→∞ k i=0. Z 1 i = f (x) dx k 0. Aplicando el teorema 1.2.3 se concluye que ω es equidistribuida..

(28) Medida del conjunto de números normales. 22. Ahora nos proponemos refinar el corolario 1.2.5 mostrando que es suficiente que ciertas funciones complejas de periodo 1 satisfagan una variante de (1.19), para que una sucesión (xn ) sea equidistribuida. Obsérvese en primer lugar, que las funciones de la forma f (x) = e2πihx con h entero y diferente de 0, tienen periodo 1 pues e2πih(x+1) = cos(2πhx + 2πh) + i sin(2πhx + 2πh) = cos(2πhx) + i sin(2πhx) = e2πihx , ası́ que estas funciones satisfacen 1.19. Ahora mostraremos que estas funciones son suficientes para determinar la equidistribución de una sucesión lo cual constituye uno de los hechos más importantes de la teorı́a de sucesiones equidistribuidas y se conoce como el “criterio de Weyl”. 1.2.7 Teorema. Criterio de Weyl. La sucesión (xn )∞ n=1 es equidistribuida si y sólo si para todo entero h 6= 0 se tiene N 1 X 2πihxn lim e =0 N →∞ N n=1. (1.20). Demostración. (“⇒”) Es consecuencia del corolario 1.2.5, pues Z 1 Z 1 Z 1 ∞ 1 X 2πihxn 2πihx e = e dx = cos(2πhx) dx + i sin(2πhx) dx = 0 lim N →∞ N 0 0 0 n=1 (“⇐”) Sea (xn ) una sucesión que satisface (1.20). Se mostrará que (1.19) vale para toda función f compleja y continua sobre R con periodo 1. Sea > 0. Por el teorema de StoneWeierstrass (A.3) y el teorema de aproximación que es su consecuencia (A.6), existe un polinomio trigonométrico ψ(x), esto es, una combinación lineal finita de funciones del tipo e2πihx , h ∈ Z, con coeficientes complejos, tal que sup |f (x) − ψ(x)| < 0≤x≤1. 3. (1.21). Ası́, usando la desigualdad triangular se tiene: Z 0. 1. Z 1 Z 1 N 1 X f (xn ) ≤ f (x) dx − f (x) dx − ψ(x) dx N n=1 0 0 Z 1 N N N 1 X 1 X 1 X + ψ(x) dx − ψ(xn ) + ψ(xn ) − f (xn ) N n=1 N n=1 N n=1 0.

(29) Medida del conjunto de números normales Z. 1. Z f (x) − ψ(x) dx +. =. 0. 0. 1. 23. N N 1 X 1 X ψ(x) dx − ψ(xn ) + (f (xn ) − ψ(xn )) N n=1 N n=1. ≤ + + = 3 3 3 El primer y tercer término son ≤. 3. por (1.21) y el segundo término es ≤. 3. por (1.20),. tomando N suficientemente grande. Por lo tanto, Z 1 N 1 X f (x) dx lim f (xn ) = N →∞ N 0 n=1 Ası́ que, por el corolario 1.2.5, (xn ) es equidistribuida.. . El criterio de Weyl es el resultado fundamental que nos permite conectar la teorı́a de sucesiones equidistribuidas con la teorı́a de números normales. En particular, usando el criterio de Weyl se demuestra que la sucesión (an α) con an entero para todo n, es equidistribuida para casi todos los reales α. Con este teorema estaremos en capacidad de demostrar que casi todos los números reales son absolutamente normales. 1.2.8 Teorema. Sea (an )∞ n=1 una sucesión de enteros distintos. Entonces la sucesión (an x)∞ n=1 es equidistribuida para casi todos los números reales x Demostración. Es suficiente probar el resultado para casi todos los x ∈ I, pues si k ∈ Z entonces {an (k + x)} = {an (x)}. Esto implica que el conjunto A de los y ∈ [k, k + 1) para los que (an y) no es equidistribuida, es la traslación por k del conjunto B de los x ∈ I para los que (an x) no es equidistribuida. Por lo tanto si se prueba que µ(B) = 0 entonces µ(A) = µ(B + k) = 0. Sea x ∈ I y h ∈ Z∗ un entero fijo. Defı́nase para h N 1 X 2πihan x S(N, x) = e para N ≥ 1, x ∈ I N n=1. La idea de la prueba es mostrar que limN →∞ S(N, x) = 0 para casi todos los x ∈ I, pues usando el criterio de Weyl y la observación hecha al principio de esta prueba, esto implicarı́a que (an x)∞ n=1 es equidistribuida para casi todos los números reales x. Ahora bien, N N 1 X X 2πih(am −an )x |S(N, x)| = S(N, x)S(N, x) = 2 e N m=1 n=1 2.

(30) Medida del conjunto de números normales. 24. Ası́ que 1. Z. N N Z 1 X X 1 2πih(am −an )x |S(N, x)| dx = 2 e dx N m=1 n=1 0 2. 0. Si m 6= n la integral de la derecha se anula pues Z 1 Z 1 2πih(am −an )x e dx = cos(2πh(am − an )x) + i sin(2πh(am − an )x) dx = 0 0. 0. Si m = n la integral se transforma en Z 1 Z 2πih(am −an )x e dx = 0. Y ası́ Z. 1. 0. 1. cos(0) + i sin(0) dx = 1. 0. N N Z 1 1 X X 1 2πih(am −an )x e dx = |S(N, x)| dx = 2 N m=1 n=1 0 N 2. Esta última ecuación implica que ∞ Z X N =1. 1. ∞ X 1 |S(N , x)| dx = <∞ 2 N N =1 2. 0. 2. El teorema de la convergencia monótona (ver teorema A.9 del apéndice A) y el corolario A.10 implican que Z. ∞ 1X. |S(N 2 , x)|2 dx < ∞. 0 N =1. Por lo tanto. P∞. N =1. |S(N 2 , x)|2 < ∞ para casi todos los x ∈ I y ası́, por el criterio. de la divergencia, limN →∞ S(N 2 , x) = 0 para casi todos los x ∈ I. Ahora bien, por inducción puede probarse fácilmente que dado N ≥ 1 existe un entero positivo m tal que m2 ≤ N ≤ (m + 1)2 . Como S(N, x) = S(m2 , x) + (S(N, x) − S(m2 , x)), entonces: |S(N, x)| ≤ |S(m2 , x)| + |S(N, x) − S(m2 , x)| = 2. m m2 − N X 2πihan x 1 |S(m , x)| + e + 2 N m n=1 N 2. ≤ |S(m2 , x)| +. N X. e2πihan x. n=m2 +1. 1 1 |m2 − N | + |N − m2 | |N − (m2 + 1)| ≤ |S(m2 , x)| + 2|m2 − N | N N 2 2(2m + 1) ≤ |S(m2 , x)| + |m2 − (m + 1)2 | ≤ |S(m2 , x)| + N N.

(31) Medida del conjunto de números normales Como m2 ≤ N , entonces. 2m N. ≤. √2 , N. por lo tanto. . 2. 25. |S(N, x)| ≤ |S(m , x)| + 2. 1 2m + N N. . 2. ≤ |S(m , x)| + 2. . 2 1 √ + N N. . Se concluye que para casi todos los x ∈ I vale lim S(N, x) = 0. N →∞. (1.22). El conjunto de medida cero para el cual (1.22) no vale depende del entero h que habı́a sido fijado. Sea Fh ese conjunto. Usando el teorema A.2 del apéndice A se tiene que ! [ Fh = 0 µ h∈Z∗. El criterio de Weyl nos permite concluir que (an x) es equidistribuida para todo x ∈ S [0, 1] \ Fh El teorema 1.2.8 nos permite demostrar el resultado que conecta la teorı́a de sucesiones equidistribuidas con los números normales. Este teorema resulta a su vez fundamental en todo lo que resta de este trabajo. 1.2.9 Teorema. El número γ ∈ R es normal en base b si y sólo si la sucesión (bn γ), n = 0, 1, . . . es equidistribuida. Demostración. (“⇐”) Considere, la expansión en base b de γ γ = [γ] +. ∞ X gn n=1. bn. gn ∈ {0, 1, . . . , b − 1}. Sea Bk = b1 b2 . . . bk un bloque de dı́gitos en base b. Obsérvese que el bloque gm gm+1 . . . gm+k−1 es idéntico a Bk si y sólo si γ = [γ] +. m−1 X n=1. ∞ X b1 b2 bk gn gn + m + m+1 + · · · + m+k−1 + n b b b b bn n=m+k. O equivalentemente {b. m−1. ∞ ∞ X X b1 b2 bk gn+m−1 b1 bk−1 + b2 bk−2 + · · · + bk gn+m−1 γ} = + 2 + ··· + k + = + n k b b b b b bn n=k+1 n=k+1.

(32) Medida del conjunto de números normales. 26. ∞ X gn+m−1 1 Como < k , entonces el bloque gm gm+1 . . . gm+k−1 es idéntico a Bk si y n b b n=k+1 sólo si k−1 b1 b + b2 bk−2 + · · · + bk b1 bk−1 + b2 bk−2 + · · · + bk + 1 m−1 =: J(Bk ) {b γ} ∈ , bk bk. Si Γs denota el bloque de los primero s dı́gitos de γ, entonces N (Bk , Γs ) = A(J(Bk ), s − k + 1, (bn γ)) Ası́ que A(J(Bk ), s − k + 1, (bn γ)) N (Bk , Γs ) = lim s→∞ s→∞ s s n Como (b γ) es equidistribuida, entonces lim. A(J(Bk ), s − k + 1, (bn γ)) A(J(Bk ), s − k + 1, (bn γ)) s − k + 1 = lim × s→∞ s→∞ s s−k+1 s s−k+1 1 = `(J(Bk )) lim = k s→∞ s b lim. Por lo tanto (ver definición 1.0.2) γ es normal. (“⇒”) Si γ es normal en base b, entonces A(J(Bk ), s − k + 1, (bn γ)) 1 = k s→∞ s b lim. (1.23). Como todo bloque Bk satisface (1.23) entonces, para todo intervalo semiabierto J ⊂ I con extremos racionales cuyo denominador es potencia de b, vale la siguiente ecuación A(J, s, (bn γ)) = `(J) s→∞ s. (1.24). lim. Sea E un intervalo semiabierto arbitrario. Sea > 0. Es posible entonces, escoger intervalos J1 y J2 que satisfacen (1.24) tales que J1 ⊆ E ⊆ J2 y tales que `(E) − /2 < `(J1 ) ≤ `(J2 ) < `(E) + /2. Por lo tanto, para s suficientemente grande A(E, s, (bn γ)) A(J1 , s, (bn γ)) ≥ > `(J1 ) − s s A(E, s, (bn γ)) A(J2 , s, (bn γ)) ≤ < `(J2 ) + s s. > `(E) − 2 < `(E) + 2. Ası́ que A(E, s, (bn γ)) = `(E) s→∞ s Por lo que concluimos que (bn γ) es equidistribuida. lim. .

(33) Medida del conjunto de números normales. 27. 1.2.10 Corolario. Casi todos los números reales son normales en base b Demostración. Por el teorema 1.2.8 la sucesión (bn x) es equidistribuida para casi todos los números reales x. Entonces por el teorema 1.2.9 casi todos los numeros reales son normales.. . 1.2.11 Corolario. Casi todos los números reales son absolutamente normales. Demostración. Sea S(b) el conjunto de todos los reales que no son normales en base b; por 1.2.10 µ(S(b)) = 0. Si x no es absolutamente normal, entonces x ∈ S(b) para al S menos un b. Sea S = S(b). Entonces, por el teorema A.2 µ(S) = 0. . 1.3.. Un numero normal en base 10. El objetivo de esta sección es exhibir ciertas caracterı́sticas de la constante de Champernowne (C = 0,123456789101112 . . .) relacionadas con la teorı́a de sucesiones equidistribuidas. Esta constante resulta ser normal en base 10, como puede verse en [11], por lo que C nos sirve como un buen ejemplo de número 10-normal y de las conexiones que esta propiedad tiene con la distribución uniforme módulo 1. 1.3.1 Lema. Si (xn ) es una sucesión equidistribuida entonces ({xn }) es densa en I. / ({xn }), esto es: existe > 0 tal que no Demostración. Sea p ∈ I. Supongamos que p ∈ hay ningún término de ({xn }) en el intervalo (p − , p + ); ası́, se tiene que A([p − , p + ), N ) = 0. Entonces: A([p − , p + ), N ) =0 N →∞ N lim. Lo cual contradice que (xn ) es equidistribuida. Por lo tanto p ∈ ({xn }). Se concluye que (xn ) es densa en I.. . 1.3.2 Lema. Sea θ un número irracional. Entonces la sucesión (nθ), con n ∈ N, es equidistribuida..

(34) Medida del conjunto de números normales. 28. Demostración. Sea h 6= 0 un entero arbitrario. Se tiene la siguiente desigualdad: N 1 X 2πihnθ |e2πihN θ − 1| 2 e = ≤ 2πihθ N n=1 N |e − 1| N | sin πhθ| N 1 1 X 2πhnθ = 0, entonces lim e = 0 para todo entero h 6= 0. N →∞ N | sin πhθ| N →∞ N n=1 Por el criterio de Weyl (1.2.7) se tiene que (nθ) es equidistribuida. . Como lim. 1.3.3 Corolario. La sucesión (nC), donde C = 0,123456789101112 . . ., es equidistribuida y ({nC}) es densa en I. Mas aún ({10n C}) es densa en I. Demostración. Claramente C es irracional, por lo cual, usando el lema 1.3.2, la sucesión (nC) es equidistribuida. Con el lema 1.3.1 se tiene que ({nC}) es densa en I. Ahora bien ({10n C}) es densa en I. Para ver esto supongamos que > 0 y α = 0.a1 a2 a3 . . . ak es racional escrito en base 10. Escogemos r tal que 10−(k+r) < . Además puede escogerse n tal que {10n C} = 0.a1 a2 a3 . . . ak 000 . . . 00}. Entonces 0 < {10n C} − α < 10−(k+r) . La | {z r ceros. densidad de Q en R culmina la prueba.. . 1.3.4 Teorema. La sucesión (10n C) es equidistribuida. Demostración. Puesto que C es normal en base 10 (para una prueba de esto ver [11]) entonces por el teorema 1.2.9 se tiene el resultado.. . 1.3.5 Observación. Lo natural serı́a mostrar la equidistribución de (10n C) para demostrar la normalidad en base 10 de C, haciendo uso del teorema 1.2.9. Sin embargo no se conoce una demostración directa de que tal sucesión es equidistribuida, y no parece ser trivial dar con tal prueba, la cual reducirı́a enormemente el trabajo necesario para demostrar que la constante de Champernowne es normal..

(35) CAPÍTULO. 2. Un nuevo algoritmo para π. En el presente capı́tulo se describe el algoritmo BBP ([3]) para encontrar dı́gitos aislados de π. Este algoritmo, aunque no parece relacionado con el problema de la normalidad, resulta tendiendo puentes entre campos aparentemente disconexos: la normalidad en base 2 y 16 de π, el problema computacional de encontrar dı́gitos aislados de π y la teorı́a de sucesiones equidistribuidas. Esta conexión abre la puerta a una posible demostración de la normalidad de π y otras constantes. Adicionalmente, este enfoque ha producido resultados (demostrados) interesantes por sı́ mismos, que han contribuido a echar luz sobre la naturaleza aleatoria de las constantes irracionales que consideramos “naturales”, en particular de π.. 2.1.. Algo de historia. El cálculo de los dı́gitos de π ha interesado a la humanidad durante muchos siglos. En principio debido la necesidad de tener precisión en ciertos cálculos prácticos, luego por curiosidad y el deseo de un mayor conocimiento. Los egipcios por ejemplo, suponı́an que un cı́rculo de diámetro 9 tenı́a igual área que un cuadrado de lado 8, lo que implica π = 256/81 = 3,1604 . . . Los Babilonios a su vez, alrededor del año 2000 AC, tenı́an la aproximación π = 3 18 = 3,125 e incluso es posible encontrar en la biblia 29.

(36) Un nuevo algoritmo para π. 30. una aproximación de π 1 . El primer cálculo riguroso se debe a Arquı́medes de Siracusa quien, usando el método de inscribir y circunscribir polı́gonos sucesivamente, dio con < π < 3 17 , es decir: 3,1408 < π < 3,1428. Este método, la siguiente desigualdad: 3 10 71 conocido como método de la exhausción, permaneció inmodificado hasta la invención 17 del Cálculo y con él Ptolomeo dio con la aproximación π = 3 120 = 3,1416. Ası́ mismo,. en la China Tsu Chung Chih calculó 7 dı́gitos correctos de π, usando la exhausción, varios cientos de años antes de que esta precisión se lograra en Europa2 . El método de Arquı́medes es la primera forma de calcular π que puede considerarse un algoritmo, puesto que aumentando la cantidad de polı́gonos es posible obtener dı́gitos arbitrariamente precisos; sólo se requiere prolongar el cálculo hasta que se obtenga la precisión deseada. La primera mejora fundamental en los métodos para calcular π se debe a Newton y a Leibniz quienes con los avances en el cálculo diferencial e integral, proporcionaron las herramientas necesarias para aproximarse de una manera eficiente al problema. Ası́, por ejemplo, de la bien conocida ecuación: Z x Z x dt x3 x5 −1 2 4 tan x = (1 − t + t − · · · ) = x − = + − ··· 2 3 5 0 1+t 0. (2.1). Se sigue, evaluando en 1, la fórmula de Gregory-Leibniz: π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − · · · . Sin embargo esta serie converge con gran lentitud, haciendo necesario sumar cientos de términos para encontrar tan sólo los dos primeros dı́gitos. No obstante, es posible encontrar formulas del estilo de (2.1) que convergen más rápido. Por ejemplo, usando la identidad trigonométrica: π = tan−1 4. 1 1 −1 + tan 2 3. se obtiene: π = 4 1. . 1 1 1 − + − ··· 3 2 3∗2 5 ∗ 25. . +. 1 1 1 − + − ··· 3 3 3∗3 3 ∗ 35. . Esta aproximación se encuentra en Reyes 7:23 y en Hechos 4:2. Por cierto, la aproximación es bastante mala pues de ella se infiere que π ≈ 3. 2 Curiosamente Tsu Chung Chih expresó su aproximación en base 10, debido a que las unidades de medida y peso chinas eran decimales. Ası́, su aproximación a π fue: “3 chang, 1 chhih, 4 tshun, 1 fên, 5 li, 9 hao, 2 miao, 7 hu.” (Ver [7]).

(37) Un nuevo algoritmo para π. 31. Lo cual converge mucho más rápido. Una fórmula de este estilo, históricamente importante, es la fórmula de Machin. Esta se obtiene usando la identidad 1 1 π −1 −1 = tan + tan 4 5 239. (2.2). Con el esquema de Machin, Shanks calculó 527 decimales correctos de π en 1873, y aún hoy dı́a, casi todos los algoritmos eficientes para calcular π dependen de una identidad del estilo de (2.2). La prevalencia de este tipo de identidades se debe a que hasta el siglo XX, no se encontraron identidades que permitieran implementar algoritmos más veloces. Entre las identidades que se encontraron, sin utilidad práctica pues su convergencia es sumamente lenta, podemos mencionar la fórmula de Newton y las Fórmulas de Euler: √ 3 3 2 1 1 1 π= + 24 − − − − ··· (Newton) 4 3 ∗ 23 5 ∗ 25 28 ∗ 27 72 ∗ 29 π2 1 1 1 1 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + · · · (Euler) 6 2 3 4 5 ∞ 2 X π 1 (Euler) =3 2m 2 6 m m m=1 Usando formulas afines a la de Machin fue posible calcular a mano varios cientos de dı́gitos correctos de π, siendo la búsqueda de una prueba de la irracionalidad de π la principal motivación para llevar a cabo tan largos y tediosos cálculos. Cuando Legendre y Lambert demostraron rigurosamente el hecho fundamental de que π es irracional (para una prueba de esto ver [11]), el interés giró hacia la búsqueda de una demostración de la trascendencia de π. Esta búsqueda casi no tenı́a relación con el cálculo de más dı́gitos, ası́ que el interés por encontrar nuevas identidades y algoritmos se mantuvo bajo, hasta que la invención del computador hizo posible explotar los algoritmos al máximo, evitando las horas de tedioso cálculo. Una notable excepción a la tendencia, que prevaleció desde la prueba de Legendre, fue Ramanujan quien por encontrarse por fuera de los cı́rculos matemáticos europeos, desarrolló fórmulas realmente nuevas que, una vez difundidas, demostraron ser de gran valor en la implementación de algoritmos eficientes para la computación de π. Estas identidades de Ramanujan se caracterizan por ser series que convergen muy rápidamente a π, pero que no usan esquemas del tipo 2.2. Un ejemplo asombroso de este tipo de serie es:.

(38) Un nuevo algoritmo para π √ ∞ 2 2 X (4k)!(1103 + 26390k) 1 = π 9801 k=0 (k!)4 3964k. 32. (2.3). donde por cada término que se sume se obtienen 8 dı́gitos correctos. Esta velocidad en la convergencia permitió calcular, en 1985, 17 millones de dı́gitos correctos de π, lo cual revela la gran eficiencia de este tipo de identidades, en comparación con los esquemas tradicionales. En 1994, por ejemplo, David y Gregory Chudnovsky encontraron una identidad afı́n a las de Ramanujan que les permitió calcular cuatro mil millones de dı́gitos correctos: ∞ X (−1)k (6k)!(13591409 + 545140134k) 1 = 12 3 π (3k)!(k!)3 (6403203k+ 2 ) k=0. En esa identidad cada término agrega 14 dı́gitos correctos, por lo que es evidente la eficiencia de un algoritmo implementado con esta serie, la cual puede considerarse una versión mejorada de las de Ramanujan, no sólo por el aumento en la velocidad de con√ vergencia sino también por la ausencia de 2, que en (2.3) dificulta considerablemente el cálculo. A pesar de la gran rapidez en la convergencia, los algoritmos implementados para calcular dı́gitos de π con este tipo de series comparten una caracterı́stica esencial con los algoritmos que usan el esquema de Machin: si se quiere calcular el d-esimo dı́gito de π es necesario calcular todos los d − 1 dı́gitos previos. Si el interés está centrado en un dı́gito especı́fico, todos los algoritmos conocidos hasta mediados de los 90 hacı́an necesario el cálculo de todos los dı́gitos previos: es decir, no se conocı́a ningún “atajo” para dar con el d-esimo dı́gito sin calcular los anteriores. Esto, por supuesto, implica que la cantidad de memoria necesaria para calcular el d-esimo dı́gito crece linealmente con el número de dı́gitos calculados (ver [3]). No obstante, a finales de los 90, para sorpresa del mundo matemático, fue descubierto un esquema con el cual pueden ser calculados dı́gitos hexadecimales individuales de π sin calcular los dı́gitos anteriores y sin utilizar grandes recursos de memoria. Adicionalmente, este algoritmo, conocido como BBP, es fácil (y posible) de implementar en cualquier computador personal, puesto que no depende de aritmética de precisión múltiple, sino que utiliza la aritmética de punto flotante con la que vienen equipados.

(39) Un nuevo algoritmo para π. 33. la mayorı́a de computadores personales. Con este algoritmo, en un PC corriente, es posible encontrar el dı́gito hexagesimal un millón de π en menos de 15 segundos, y el dı́gito diez millones en alrededor de 150 segundos. El lı́mite a la precisión del algoritmo está dado por el tipo de aritmética de punto flotante que sea utilizado por la máquina. En general, para calcular el d-esimo dı́gito se requiere que la precisión de la aritmética sea al menos de O(log(d)) (ver [3]). Este algoritmo, que describiremos en la siguiente sección, tiene una inesperada relación con el problema de la normalidad en base 16 de π, relación que será explorada en el capı́tulo 3.. 2.2.. El algoritmo. El algoritmo BBP está fundado en una nueva identidad para π descubierta por Bailey, Borwein y Plouffe en 1997 ([3]). Esta identidad queda expresada en el siguiente teorema. 2.2.1 Teorema. Se tiene la siguiente identidad: ∞ X 1 2 1 1 4 π= − − − 16i 8i + 1 8i + 4 8i + 5 8i + 6 i=0. (2.4). Demostración. Para 0 < k < 8 se tiene: Z 1/√2 k−1 Z 1/√2 X ∞ x dx = xk−1+8i dx 8 1−x 0 0 i=0 =. ∞ 1 X. 2k/2. i=0. 1 16i (8i. + k). Ası́, la suma en (2.4) puede escribirse como: Z 0. √ 1/ 2. √ Z 1/√2 Z 1/√2 √ 4 Z 1/√2 4 2 8x3 4 2x 8x5 dx − dx − dx − dx 1 − x8 1 − x8 1 − x8 1 − x8 0 0 0. Por lo tanto: √ Z 1/√2 √ ∞ X 1 4 2 1 1 4 2 − 8x3 − 4 2x4 − 8x5 − − − = dx i 8 16 8i + 1 8i + 4 8i + 5 8i + 6 1 − x 0 i=0 (2.5).

(40) Un nuevo algoritmo para π. 34. Si se llama I a la integral de la derecha en (2.5), al hacer la sustitución y =. √. 2x. tenemos:. 1. 2y 5 + 2y 4 + 4y 3 − 8 dy y 8 − 16 0 Z 1 2(y − 1)(y 2 + 2)(y 2 + 2y + 2) dy =8 2 2 2 2 0 (y − 2)(y + 2)(y − 2y + 2)(y + 2y + 2) Z 1 Z 1 4y 4y − 8 = dy − dy 2 2 0 y −2 0 (y − 1) + 1 = [2 ln |y 2 − 2| − 2 ln |(y − 1)2 + 1| + 4 tan−1 (y − 1)]10 Z. I=8. =π Ahora bien, puede verse que (16n π) mod 1, da precisamente la parte fraccional de π empezando por el dı́gito n + 1 de la expansión hexadecimal de π. Por lo tanto, usando la identidad en 2.4, podemos calcular el n-esimo dı́gito hexadecimal de π pues se tiene: ! ∞ X 2 1 1 1 4 (16n π) mod 1 = 16n − − − mod 1 16i 8i + 1 8i + 4 8i + 5 8i + 6 i=0 ! ∞ X 2 1 1 4 − − − mod 1 = 16n−i 8i + 1 8i + 4 8i + 5 8i + 6 i=0 Llamando S a esta última serie, podemos partirla en cuatro series: ∞ X. S = S1 −S2 −S3 −S4 =. n−i. . 16. i=0. −. ∞ X i=0. n−i. 16. . 1 8i + 5. 4 8i + 1 !. !. ∞ X. mod 1−. mod 1 −. n−i. . 16. i=0 ∞ X i=0. n−i. 16. . 1 8i + 6. 2 8i + 4 !. ! mod 1. mod 1 (2.6). Cada una de las cuatro series puede ser partida en dos notando que: ! ! ∞ n ∞ n−i n−i X X X P (i) 16 P (i) mod Q(i) 16 P (i) 16n−i mod 1 = mod 1 + mod 1 Q(i) Q(i) Q(i) i=0 i=0 i=n+1.

(41) Un nuevo algoritmo para π. 35. Ası́, cada término de (2.6) queda transformado en S1 =. n X 16n−i 4 mod (8i + 1) i=0. S2 =. n X 16n−i 2 mod (8i + 4) i=0. S3 =. 8i + 4. n X 16n−i 1 mod (8i + 5) i=0. S4 =. 8i + 1. 8i + 5. n X 16n−i 1 mod (8i + 6) i=0. 8i + 6. ∞ X 16n−i 4 mod 1 + 8i + 1 i=n+1. !. ∞ X 16n−i 2 mod 1 + 8i + 4 i=n+1. !. ∞ X 16n−i 1 mod 1 + 8i + 5 i=n+1. !. ∞ X 16n−i 1 mod 1 + 8i + 6 i=n+1. !. mod 1. mod 1. mod 1. mod 1. Estas 4 expresiones indican el algoritmo en cuestión, pues para evaluar Si podemos proceder ası́: 1. Se calcula cada uno de los numeradores de la primera suma utilizando el esquema de exponenciación binaria modular3 .. 2. Ahora se divide cada numerador por su respectivo Q(i) usando la aritmética de punto flotante incorporada en el PC.. 3. Se suman los n términos de la primera suma, obviando las partes enteras (para eso el mod1).. 4. Se suman algunos términos de la segunda serie.. 5. Se suman los resultados de las dos series obviando de nuevo las partes enteras. Para hallar S hacemos la suma S = S1 − S2 − S3 − S4 , y finalmente expresamos el resultado en base 16 para obtener algunos dı́gitos de π a partir de la posición n + 1. 3. Este esquema no es sino el esquema tradicional de exponenciación binaria (ver [7]) reduciendo cada multiplicación parcial módulo Q(i)..

(42) Un nuevo algoritmo para π. 36. En el apéndice B puede encontrarse el código del programa con el que se implementó el algoritmo BBP en C++. Con este programa se calcularon los dı́gitos hexadecimales de π correspondientes a las posiciones 102 , 103 , 104 , 105 , 106 , 107 . Los resultados fueron los siguientes: Posición 102 103 104 105 106 107. Dı́gitos a partir de la posición C29B7C97C5 349F1C09B0 68AC8FCFB7 535EA16C40 26C65E52CB 17AF5863EF. Para posiciones mayores que 107 el programa no sirve, pues se ve limitado por la aritmética de punto flotante de 32 bits con la que están equipados los computadores personales. Sin embargo, el mismo programa funcionarı́a si fuese implementado en una maquina con aritmética de 64 bits o 128 bits. En ese caso es posible computar sin error hasta más allá del dı́gito un trillón (1018 ), tal como fue comprobado por Percival4 en el año 2000.. 4. Percival, C. ‘ ‘The quadrillionth digit of pi is 0”. Citado en [4]..

(43) CAPÍTULO. 3. Hacia una prueba de la 16-normalidad de π. En este capı́tulo se plantea una hipótesis que, de demostrarse correcta, permitirı́a conectar el algoritmo BBP (presentado en el capı́tulo anterior) con el teorema 1.2.9 que se demostró en el capı́tulo 1. Esta conexión permite construir una lı́nea argumentativa para probar la 16-normalidad de π, y la normalidad de algunas otras constantes “corrientes”. Adicionalmente se observa que la 16-normalidad de π implica que π es c-normal para todo c entero y potencia de 2. Al final se muestra que es posible que un número sea normal en una base y no lo sea en otra, con lo que se enfatiza la dificultad de encontrar un camino que conduzca a una prueba de la normalidad absoluta de π.. 3.1.. La hipótesis. La hipótesis en cuestión se debe a Bailey y a Crandall ([4]), quienes intentan dar una caracterización general de la distribución de las iteraciones generadas por ciertas funciones dinámicas. Estas funciones se construyen a partir de series polilogarı́tmicas racionales1 , usando el esquema sugerido por el algoritmo BBP, y por tanto las conclusiones a las que conduce la hipótesis conciernen a todas las constantes que se puedan 1. Se llama serie polilogarı́tmica racional a una serie con la forma R(b, p/q) =. y q son polinomios en Z[X].. 37. ∞ X p(m) 1 donde p q(m) bm m=0.

(44) 16-normalidad de π. 38. escribir con este tipo de series. En particular concierne a π. Para lo que resta de éste trabajo, definimos la norma2 kαk para α ∈ [0, 1) como kαk = min(α, 1−α). Con esta definición, e identificando el segmento [0, 1) con el cı́rculo unidad, kα−βk denota la distancia más corta entre dos puntos en tal cı́rculo de la forma natural. Nótese que en [0, 1) esa norma es siempre menor o igual a 1/2. 3.1.1 Observación. Supongamos que z ∈ [0, 1/2). Si 0 < δ ≤ 1/(2kzk) entonces kδzk ≤ 1/2, ası́ que en este caso kδzk = δkzk. A esta regla la llamamos regla de la norma dilatada Usando la norma k · k, introducimos el concepto de atractor finito de una sucesión. De modo informal puede decirse que un atractor finito es un conjunto finito de puntos de acumulación de la sucesión. La intuición inmediata con respecto a la distribución de una sucesión en [0, 1) es que si la sucesión tiene un atractor finito, entonces no puede ser equidistribuida3 . En realidad la situación es más compleja. Sin embargo, se mostrará que ciertas sucesiones producidas con el algoritmo BBP a partir de un número α, tienen un atractor finito si y sólo si α es racional. Esto en conjunción con la hipótesis 3.1.4 conduce a una prueba de la 16-normalidad de π. 3.1.2 Definición. Si (xn ) es una sucesión en [0, 1), entonces se dice que tiene un atractor finito W = (w0 , w1 , . . . , wP −1 ) si para todo > 0 existe K = K() tal que para todo k ≥ 0, se tiene kxK+k − wt(k) k ≤ para alguna función t(k) con 0 ≤ t(k) ≤ P − 1. 3.1.3 Definición. Si (xn ) es una sucesión en [0, 1), entonces se dice que tiene un atractor periódico W = (w0 , w1 , . . . , wP −1 ) si para todo > 0 existe K = K() tal que para todo k ≥ 0, se tiene kxK+k − wk mod P k ≤ Con estas dos definiciones estamos en capacidad de enunciar la hipótesis, propuesta por Bailey y Crandall en [4], que permitirı́a demostrar la 16-normalidad de π. 2. El uso de la palabra “norma” no es el más adecuado, pues formalmente k · k no define una norma en el sentido clásico. Sin embargo mantenemos el término, pues es de uso común la literatura que se usó para este trabajo. 3 Esto, en parte es lo que postula la hipótesis 3.1.4.

(45) 16-normalidad de π. 39. 3.1.4 Hipótesis. Sea rn = p(n)/q(n) una función racional con p, q ∈ Z[X]. Suponga 0 ≤ gr(p) < gr(q) (donde gr(p) denota el grado de p), y además q(n) 6= 0 para n ∈ Z+ . Si se escoge un entero b ≥ 2 y se fija x0 = 0, entonces la sucesión (xn ) = (x0 , x1 , . . . ) dada por la iteración xn = (bxn−1 + rn ) mod 1 o bien tiene un atractor finito o es equidistribuida. 3.1.5 Teorema. Suponga que (yn ) → α cuando n → ∞. Entonces una sucesión (xn ) en I tiene un atractor finito (alternativamente periódico) si y sólo si ({xn + yn }) lo tiene. Demostración. (“⇒”) Si (xn ) tiene un atractor finito W = (w0 , w1 , . . . , wP −1 ), entonces para todo > 0, existe K tal que si k ≥ 0 entonces kxK+k − wt(k) k < /2. Por otro lado, existe N tal que si n > N entonces k{yn − α}k < /2. Sea R = max{K, N }, entonces para r ≥ 0 k{xR+r + yR+r } − wt(r) + {α}k ≤. + = 2 2. Ası́ que ({xn + yn }) tiene como atractor finito a W 0 = (w0 + {α}, . . . , wP −1 + {α}). (“⇐”) Si ({xn +yn }) tiene un atractor finito W = (w0 , w1 , . . . , wP −1 ), puede modificarse ligeramente la demostración anterior para ver que el atractor de (xn ) es W 0 = (w0 − {α}, . . . , wP −1 − {α}). . 3.1.6 Teorema. La sucesión (xn ) definida en la hipótesis 3.1.4 tiene infinitos elementos diferentes, por lo tanto tiene al menos un punto lı́mite. Demostración. Sea D el conjunto de todas las posibles diferencias kxn −bxn−1 k. Suponga que (xn ) tiene finitos elementos diferentes, ası́ que D es finito. Esto implica que D tiene un mı́nimo. Sin embargo rn → 0 (pues gr(p) < gr(q)) lo cual es una contradicción. Por lo tanto (xn ) tiene infinitos elementos distintos. Como el conjunto {xn ; n ∈ N} ⊂ I = [0, 1] e I es compacto, entonces (xn ) tiene al menos un punto lı́mite.. .