Rectas y planos en el espacio

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Los arquitectos son unos grandes conocedores de la geometría en el espacio. Una obra emblemática en la que se pueden observar perfectamente las rectas y los planos es la casa de la Cascada o casa Kaufmann. Diseñada entre 1934y 1935y construida durante 1936y 1937,se considera la obra cumbre de Frank Lloyd Wrigt (1876-1959).

Proyectada como casa de campo para Edgar Kaufmann, hoy en día es un monumento nacional en Estados Unidos.

Wright comentó sobre su obra: «Está diseñada para la música de la cascada, para aquel a quien le gusta oírla». Hoy en día el sonido de la cascada se percibe desde cualquier lugar de la casa.

1.

Discute el siguiente sistema según el valor del parámetro a:

ax 4y z1 y aza x14y 2az8

2.

3.

Dado el plano 2xy3z4, determina si son o no paralelos: a) La recta 1 2 x y 1 1 2 3. b) El plano x3y2z0. Dada la recta x 5 4 2 y z1, averigua si el punto P(6, 2, 2) está contenido en la recta paralela a la anterior que pasa por el origen de coordenadas.

Rectas y planos

en el espacio

(2)

Rectas en el espacio

Una recta en el espacio queda determinada por un punto A y por una dirección definida por un vector no nulo,៬v,denominado vector directorde la recta; r(A,៬v) es la determinación lineal de la recta.

La determinación lineal de la recta no es única, ya que se puede tomar cualquiera de sus puntos; además, dada una recta, existen infinitos vectores directores (todos paralelos entre sí y con la misma dirección de la recta).

Puede determinarse una recta en el espacio conociendo dos de sus puntos. En efecto, conocidos dos puntos de una recta, A y B, se puede determinar el vector A៮B៬y este será un vector director de la recta, puesto que tiene su misma dirección. La determinación de la recta será r(A, A៮៬B).

1.1.

Ecuación vectorial de la recta

Sea A(a1, a2, a3) un punto de la recta y sea៬v un vector director; en la figura 5.1 se observa que, para un punto cualquiera, P(x, y, z), de la recta se puede escribir:

O

៮៬POAAP៬ y dado que A៮៬Ptiene la misma dirección que៬v:

O

៮៬POA៬ ៬v que es la ecuación vectorialde la recta en el espacio.

1.2.

Ecuaciones paramétricas de la recta

Teniendo en cuenta que las coordenadas del punto Ason (a1, a2, a3), las del punto P, (x, y, z) y las componentes del vector៬vson (v1, v2, v3), la ecuación vectorial se puede escribir:

(x, y, z)(a1, a2, a3) (v1, v2, v3) Igualando las componentes se obtiene:

Ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio: xa1 v1

ya2 v2

za3 v3

Conocidos dos puntos de la recta, A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3), las ecuaciones paramétricas de la recta se convierten en:

xa1 (a1b1)

ya2 (a2b2)

za3 (a3b3)

1

Recuerda

Una recta en el plano queda determinada por un punto Ay por un vector no nulo,៬v, deno-minado vector director de la recta.

Observa

Conocidos dos puntos de la recta,A(a1,a2,a3) y B(b1,b2,b3),

un vector director es: v ៬(a1b1,a2b2,a3b3) Z O Y X FIGURA5.1.v A P

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E j e m p l o s

1. Dada la recta (x, y, z)(3, 1, 5) (2,1, 0), averiguar si los puntos A(5, 2, 5), B(1,2, 5) y C(1, 0, 6) pertenecen a ella.

Sustituyendo en la ecuación de la recta los puntos dados:

(5, 2, 5)(3, 1, 5)(2,1, 0) ⇒(2, 1, 0)(2,1, 0) ⇒1 (1,2, 5)(3, 1, 5)(2,1, 0) ⇒(4,3, 0)(2,1, 0) ⇒ ∃

/

(1, 0, 6)(3, 1, 5)(2,1, 0) ⇒(2,1, 1)(2,1, 0) ⇒ ∃

/

Solo el punto Apertenece a la recta.

2. Dados los puntos A(0, 3, 2) y B(1, 0, 5), escribir las ecuaciones paramé-tricas de la recta que pasa por dichos puntos.

Un vector director de la recta será el vector A៮B៬(1,3, 3).

La recta que pasa por el punto Ay que tiene por vector director A៮B៬es la de ecuaciones:

x

y33

z23

1.3.

Ecuaciones en forma continua de la recta

Despejando en cada una de las ecuaciones paramétricas el parámetro , se obtiene:

Ecuaciones en forma continua de la recta en el espacio:

xv 1 a1 yv 2 a2 zv 3 a3

Conocidos dos puntos de la recta, A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3), su ecuación continua se convierte en:

b x 1 a a 1 1 b y 2 a a 2 2 b z 3 a a 3 3

En general, las ecuaciones de las rectas son:

Si los puntos P1, P2, …, Pnestán alineados, es decir, pertenecen a una misma recta, los vectores P៬1P2, P៬1P3, …, P៬1Pn deberán ser paralelos.

Si los vectores P៬1P2, P៬1P3, …, P៬1Pn son paralelos, son linealmente depen-dientes dos a dos, luego el rango de este conjunto de vectores deberá ser 1:

rango (P៬1P2, P៬1P3, …, P៬1Pn)1

Ecuación en forma general de la recta

De las ecuaciones en forma continua de la recta pueden obtenerse tres ecuaciones: x v1 a1 y v2 a2 ⇒ ⇒xv2yv1a2v1a1v20 x v1 a1 z v3 a3 ⇒ ⇒xv3zv1a3v1a1v30 y v2 a2 z v3 a3 ⇒ ⇒yv3zv2a3v2a2v30

De estas, solo son necesarias dos cua-lesquiera de ellas; luego se obtiene un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, cuya solución presenta un grado de libertad y, por tanto, son los puntos de la recta. Este sistema recibe el nombre de ecuación general de la recta y se tratará con más detalle en epígrafes siguientes.

[

Formas Ecuaciones Ecuación vectorial O៮៬POAv៬ (x, y, z)(a1,a2,a3) (v1,v2,v3) Ecuaciones paramétricas xa1 v1 ya2 v2

za3 v3 Ecuación continua x v1 a1 y v2 a2 z v3 a3 ECUACIONES DE LA RECTA

(4)

E j e m p l o s

3. Determinar si los puntos A(1, 1,1), B(0, 3, 1) y C(2,2, 0) están o no alineados.

Calculamos los vectores:

쮿 A៮៬B(1, 2, 2)

쮿 A៮៬C(1,3, 1)

Si los vectores A៮៬By A៮៬Cson proporcionales, los puntosA, By C,estarán alineados: 1 1 2 3 2 1 Por tanto, los puntos A, By Cno están alineados.

4. Calcular la ecuación en forma continua de la recta que pasa por el punto A(1,1, 2) y que tiene dirección perpendicular a los vectores u៬(0, 1, 3) yv(1, 1, 1).

Un vector director perpendicular al mismo tiempo a los vectoresu៬y៬ves el siguiente:

u ៬៬v

2i៬3៬jk

La ecuación de la recta pedida será:

x 2 1 y 3 1 z 1 2

ctividades

Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P(7,5, 2) y tiene la dirección del vector៬k.

Solución:

x7

y 5 z2

Halla la ecuación continua de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto medio del segmento de extremos A(2,1, 5) y B(7, 3, 1).

Solución: x 9

9/2

y2 1 z63

¿Existe algún valor de mpara el cual A(1,m, 0),B(m, 2, 1) y C(3, 8,1) estén alineados?

Solución: m5

¿Están los puntos A(3, 4, 2),B(2,1, 0) y C(1,6,2) alineados? Si es así, calcula la ecuación continua de la recta que los contiene.

Solución: A, B y Cestán alineados.x2 y 5 1 2 z

Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por el origen de coorde-nadas y es paralela a la siguiente recta:

s:x 2 1 3y z12 Solución: (x, y, z) (2, 3,1) 5 4 3 2 1 i ៬ ៬j kk 0 1 3 1 1 1

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El plano

Un plano en el espacio queda determinado por un punto Ay dos vecto-res, ៬uy៬v,no nulos y no paralelos, que se denominan vectores directoresdel plano. La expresión (A,u, v៬) se denomina determinación lineal del plano.

La determinación lineal del plano no es única, ya que puede tomarse uno cualquiera de los puntos de este, y los vectores directores del plano tampoco son únicos (figura 5.2).

Puede determinarse un plano conociendo tres de sus puntos, A, By C, con la condición de que no estén alineados, ya que con estos tres puntos se pueden obtener dos vectores del plano que serán linealmente independientes y que, por tanto, serán vectores directores suyos: (A, A៮B, AC៬).

2.1.

Ecuación vectorial del plano

Si un punto P(x, y, z) pertenece al plano (A,u, v៬), el vector A៮៬Pdeberá ser combinación lineal de u៬y៬v:APuv.

Observando la figura 5.3 se puede escribir: O៮៬POA៬៮AP.

Ecuación vectorial del plano: O

៮៬POAuv ,

2.2.

Ecuaciones paramétricas del plano

Si las coordenadas de Ason (a1, a2, a3) y las de P son (x, y, z), entonces O

A(a1, a2, a3) y O៮៬P(x, y, z). Si, además, las componentes de los vec-tores៬u y៬v son, respectivamente, (u1, u2, u3) y (v1, v2, v3), sustituyendo en la ecuación vectorial se obtiene:

(x, y, z)(a1, a2, a3) (u1, u2, u3) (v1, v2, v3) Igualando las componentes resulta:

Ecuaciones paramétricas del plano: xa1 u1 v1

ya2 u2 v2 ,

za3 u3 v3

2.3.

Ecuación general del plano

Dados un plano (A,u, v៬) y un punto P(x, y, z) que pertenezca al plano, los vectores A៮P៬, ៬uy៬v deben ser linealmente dependientes:

rango (A៮P,u, v៬)2 Luego:

0

Desarrollando el determinante anterior se obtiene una expresión del tipo:

Ecuación general oimplícita del plano:

AxByCzD0 A,B,C,D xa1 u1 v1 ya2 u2 v2 za3 u3 v3

2

Observa

Los vectores directores del plano deben ser linealmente independientes, es decir, no paralelos. FIGURA5.2. FIGURA5.3. vuA A’ v’u’O O ៮៬P O ៮៬A A ៮៬P P(x, y, z) A(a1, a2, a3)

(6)

Si varios puntos, P1, P2, …, Pn, son coplanarios, es decir, pertenecen a un mismo plano, los vectores P1P2៬, P1P3៬, …, P1P៬ndeberán ser tales que única-mente sean linealúnica-mente independientes dos a dos, ya que cualquiera de ellos se puede expresar como combinación lineal de otros dos. Si ocurre esto, el rango de este conjunto de vectores deberá ser 2:

rango (P៬1P2, P៬1P3, …, P៬1Pn)2

E j e m p l o s

5. Dados el punto A(1/2, 3, 2) y la recta(x, y, z)(2 ,, 52), con

,averiguar la ecuación general del plano que contiene a ambos.

La recta dada pasa por el punto P(2, 0, 5) y tiene la dirección del vector

v

៬(1,1, 2). Este puede ser uno de los dos vectores directores del plano. Para determinar el otro calculamos un vector que una el punto A(1/2, 3, 2) y el punto de la recta P(2, 0, 5), ៬u(3/2,3, 3). La ecuación general del plano será:

La ecuación del plano es 6x3z30 ⇒2xz10.

6. Averiguar si los puntos O(0, 0, 0), A(1,1, 3), B(5, 2,2) y C(3,4, 8) son coplanarios.

Si el rango del conjunto de vectores O៮A៬(1,1, 3), O៮៬B(5, 2,2) y O

C(3,4, 8) es menor que 3, los puntos serán coplanarios. Como el siguiente determinante:

es nulo, el rango del conjunto de vectores O៮A៬, O៮៬By O៮C៬ es menor que 3 y, por tanto, los puntos O, A, By Cson coplanarios.

7. Determinar la ecuación del plano coordenado OXZ.

Escogemos un punto de este plano, por ejemplo, el origen de coordenadas O(0, 0, 0), y dos vectores directores:

i៬(1, 0, 0)

k

(0, 0, 1) La ecuación del plano será:

0

Desarrollando el determinante anterior por la tercera columna, se obtiene que 0y0. La ecuación del plano OXZes y0.

Todos los puntos del plano OXZcumplen la misma condición: son de la forma (x, 0, z) (figura 5.4). x 1 0 y 0 0 z 0 1 1 5 3 1 2 4 3 2 8 3x 3 2 z 3 2 0 x1/2 1 3/2 y3 1 3 z2 2 3 Observa

Si cuatro puntos del espacio no son coplanarios, forman un tetraedro. Z O Y X FIGURA5.4. P(x,0, z)

Figure

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Referencias