Cónicas Rotadas

Formas Cu ´adraticas

Formas Cu ´aticas

Ver ´onica Brice ˜no V.

En esta Presentaci ´on...

En esta Presentaci ´on veremos:

Formas Cu ´adraticas

Obtenci ´on de Forma Can ´onica de Formas Cuadr ´aticas

Secciones C ´onicas Rotadas.

En esta Presentaci ´on...

En esta Presentaci ´on veremos:

Formas Cu ´adraticas

Obtenci ´on de Forma Can ´onica de Formas Cuadr ´aticas

En esta Presentaci ´on...

En esta Presentaci ´on veremos:

Formas Cu ´adraticas

Obtenci ´on de Forma Can ´onica de Formas Cuadr ´aticas

Secciones C ´onicas Rotadas.

Formas Cu ´adraticas

Definici ´on

SeaAuna matriz real de ordenn×n. La funcin:

FA:Rn→R,FA(~x) =xTAx ∈R

se llama una forma cuadr ´atica en las variables(x1,x2, ...,xn).

Clasificaci ´on:

SeaAuna matriz real de ordenn×n, entoncesF_A(~x), es:

1 _{Definida positiva si:}∀x ∈_Rn_:F

A(~x)>0

2 _{Definida negativa si:}∀x ∈_Rn _:F

A(~x)<0

3 _{Semidefinida positiva si:∀x ∈R}n_:FA(~_x)≥0

4 _{Semidefinida negativa si:∀x ∈R}n_:F

A(~x)≤0

5 _SiF

A cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valores

Formas Cu ´adraticas

Definici ´on

SeaAuna matriz real de ordenn×n. La funcin:

FA:Rn→R,FA(~x) =xTAx ∈R

se llama una forma cuadr ´atica en las variables(x1,x2, ...,xn).

Clasificaci ´on:

SeaAuna matriz real de ordenn×n, entoncesF_A(~x), es:

1 _{Definida positiva si:}∀x ∈_Rn_:F

A(~x)>0

2 _{Definida negativa si:}∀x ∈_Rn _:F

A(~x)<0

3 _{Semidefinida positiva si:∀x ∈R}n_:FA(~_x)≥0

4 _{Semidefinida negativa si:∀x ∈R}n_:F

A(~x)≤0

5 _SiF

A cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valores

positivos), entoncesFAes indefinida.

Formas Cu ´adraticas

Definici ´on

SeaAuna matriz real de ordenn×n. La funcin:

FA:Rn→R,FA(~x) =xTAx ∈R

se llama una forma cuadr ´atica en las variables(x1,x2, ...,xn).

Clasificaci ´on:

SeaAuna matriz real de ordenn×n, entoncesF_A(~x), es:

1 _{Definida positiva si:}∀x ∈_Rn_:F

A(~x)>0

2 _{Definida negativa si:}∀x ∈_Rn _:F

A(~x)<0

3 _{Semidefinida positiva si:∀x ∈R}n_:FA(~_x)≥0

4 _{Semidefinida negativa si:∀x ∈R}n_:F

A(~x)≤0

5 _SiF

A cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valores

Formas Cu ´adraticas

Definici ´on

SeaAuna matriz real de ordenn×n. La funcin:

FA:Rn→R,FA(~x) =xTAx ∈R

se llama una forma cuadr ´atica en las variables(x1,x2, ...,xn).

Clasificaci ´on:

SeaAuna matriz real de ordenn×n, entoncesFA(~x), es:

1 _{Definida positiva si:}∀x ∈_Rn_:F

A(~x)>0

2 _{Definida negativa si:}∀x ∈_Rn _:F

A(~x)<0

3 _{Semidefinida positiva si:∀x ∈R}n_:F

A(~x)≥0

4 _{Semidefinida negativa si:∀x ∈R}n_:F

A(~x)≤0

5 _SiF

A cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valores

positivos), entoncesFAes indefinida.

Formas Cu ´adraticas

Definici ´on

SeaAuna matriz real de ordenn×n. La funcin:

FA:Rn→R,FA(~x) =xTAx ∈R

se llama una forma cuadr ´atica en las variables(x1,x2, ...,xn).

Clasificaci ´on:

SeaAuna matriz real de ordenn×n, entoncesFA(~x), es:

1 _{Definida positiva si:}∀x ∈_Rn_:F

A(~x)>0

2 _{Definida negativa si:}∀x ∈_Rn _:F

A(~x)<0

3 _{Semidefinida positiva si:∀x ∈R}n_:F

A(~x)≥0

4 _{Semidefinida negativa si:∀x ∈R}n_:F

A(~x)≤0

5 _SiF

A cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valores

Formas Cu ´adraticas

Definici ´on

SeaAuna matriz real de ordenn×n. La funcin:

FA:Rn→R,FA(~x) =xTAx ∈R

se llama una forma cuadr ´atica en las variables(x1,x2, ...,xn).

Clasificaci ´on:

SeaAuna matriz real de ordenn×n, entoncesFA(~x), es:

1 _{Definida positiva si:}∀x ∈_Rn_:F

A(~x)>0

2 _{Definida negativa si:}∀x ∈_Rn _:F

A(~x)<0

3 _{Semidefinida positiva si:∀x ∈R}n_:F

A(~x)≥0

4 _{Semidefinida negativa si:∀x ∈R}n_:FA(~_x)≤0

5 _SiF

A cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valores

positivos), entoncesFAes indefinida.

Formas Cu ´adraticas

Definici ´on

SeaAuna matriz real de ordenn×n. La funcin:

FA:Rn→R,FA(~x) =xTAx ∈R

se llama una forma cuadr ´atica en las variables(x1,x2, ...,xn).

Clasificaci ´on:

SeaAuna matriz real de ordenn×n, entoncesFA(~x), es:

1 _{Definida positiva si:}∀x ∈_Rn_:F

A(~x)>0

2 _{Definida negativa si:}∀x ∈_Rn_:F

A(~x)<0

3 _{Semidefinida positiva si:∀x ∈R}n_:F

A(~x)≥0

4 _{Semidefinida negativa si:∀x ∈R}n_:FA(~_x)≤0

5 _SiF

A cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valores

Formas Cu ´adraticas

Definici ´on

SeaAuna matriz real de ordenn×n. La funcin:

FA:Rn→R,FA(~x) =xTAx ∈R

se llama una forma cuadr ´atica en las variables(x1,x2, ...,xn).

Clasificaci ´on:

SeaAuna matriz real de ordenn×n, entoncesFA(~x), es:

1 _{Definida positiva si:}∀x ∈_Rn_:F

A(~x)>0

2 _{Definida negativa si:}∀x ∈_Rn_:F

A(~x)<0

3 Semidefinida positiva si:∀x ∈_Rn_:F

A(~x)≥0

4 _{Semidefinida negativa si:∀x ∈R}n_:FA(~_x)≤0

5 _SiF

A cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valores

positivos), entoncesFAes indefinida.

Formas Cu ´adraticas

Definici ´on

SeaAuna matriz real de ordenn×n. La funcin:

FA:Rn→R,FA(~x) =xTAx ∈R

se llama una forma cuadr ´atica en las variables(x1,x2, ...,xn).

Clasificaci ´on:

SeaAuna matriz real de ordenn×n, entoncesFA(~x), es:

1 _{Definida positiva si:}∀x ∈_Rn_:F

A(~x)>0

2 _{Definida negativa si:}∀x ∈_Rn_:F

A(~x)<0

3 Semidefinida positiva si:∀x ∈_Rn_:F

A(~x)≥0

4 _{Semidefinida negativa si:∀x ∈R}n_:FA(~_x)≤0

5 _SiF

A cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valores

Formas Cu ´adraticas

Definici ´on

SeaAuna matriz real de ordenn×n. La funcin:

FA:Rn→R,FA(~x) =xTAx ∈R

se llama una forma cuadr ´atica en las variables(x1,x2, ...,xn).

Clasificaci ´on:

SeaAuna matriz real de ordenn×n, entoncesFA(~x), es:

1 _{Definida positiva si:}∀x ∈_Rn_:F

A(~x)>0

2 _{Definida negativa si:}∀x ∈_Rn_:F

A(~x)<0

3 Semidefinida positiva si:∀x ∈_Rn_:F

A(~x)≥0

4 _{Semidefinida negativa si:∀x ∈R}n_:FA(~_x)≤0

5 _SiF

A cambia de signo ( para algunos vectores toma

valores negativos y para otros valores toma valores

positivos), entoncesFAes indefinida.

Ejemplos

Escribir forma cuadr ´atica asociada a las matrices siguientes:

1 _A=

1 0 0 1

2 _B=

−1 0

0 −1

3 _{C =}

1 0

0 −1

4 D₌

1 0 0 0

5 _{E =}

0 0

0 −1

Ejemplos

Escribir forma cuadr ´atica asociada a las matrices siguientes:

1 _A=

1 0 0 1

2 _B=

−1 0

0 −1

3 _{C =}

1 0

0 −1

4 D₌

1 0 0 0

5 _{E =}

0 0

0 −1

Ejemplos

Escribir forma cuadr ´atica asociada a las matrices siguientes:

1 _A=

1 0 0 1

2 _B=

−1 0

0 −1

3 _{C =}

1 0

0 −1

4 D₌

1 0 0 0

5 _{E =}

0 0

0 −1

Ejemplos

Escribir forma cuadr ´atica asociada a las matrices siguientes:

1 _A=

1 0 0 1

2 _B=

−1 0

0 −1

3 _{C =}

1 0

0 −1

4 _D=

1 0 0 0

5 _{E =}

0 0

0 −1

Ejemplos

Escribir forma cuadr ´atica asociada a las matrices siguientes:

1 _A=

1 0 0 1

2 _B=

−1 0

0 −1

3 _{C =}

1 0

0 −1

4 _D=

1 0 0 0

5 _{E =}

0 0

0 −1

Formas Cuadr ´aticas en

R

SeaA=

a b c d

Escribir su forma cu ´adratica asociada...

F_A(x,y) =ax2+ (b+c)xy+dy2

Formas Cuadr ´aticas en

R

SeaA=

a b c d

Escribir su forma cu ´adratica asociada...

Formas Cuadr ´aticas en

R

SeaA=

a b c d

Escribir su forma cu ´adratica asociada...

F_A(x,y) =ax2+ (b+c)xy+dy2

Formas Cu ´adraticas en

R

Teorema

SeaAuna matriz real de ordenn×n.

SiB= A+₂AT, entoncesFA=FB.

Formas Cu ´adraticas en

R

Teorema

SeaAuna matriz real de ordenn×n.

SiB= A+₂AT, entoncesFA=FB.

Demostraci ´on en la pizarra...

Formas Cu ´adraticas en

R

Teorema

SeaAuna matriz real de ordenn×n.

SiB= A+₂AT, entoncesF_A=F_B.

Formas Cu ´adraticas en

R

Teorema

SeaAuna matriz real de ordenn×n.

SiB= A+₂AT, entoncesF_A=F_B.

Demostraci ´on en la pizarra...

Ejemplos

Escribir en forma matricial:

1 _x2

1 +3x1x2−2x1x3+x22+x2x3+2x33

2 _x2−_{4xy +3y}2

3 −_5x2_+2xy −_5y2

Ejemplos

Escribir en forma matricial:

1 _x2

1 +3x1x2−2x1x3+x22+x2x3+2x33 2 _x2−_{4xy +3y}2

3 −_5x2_+2xy −_5y2

4 −5x2−2xy ₊5y2

Ejemplos

Escribir en forma matricial:

1 _x2

1 +3x1x2−2x1x3+x22+x2x3+2x33 2 _x2−_{4xy +3y}2

3 −_5x2_+2xy −_5y2

Ejemplos

Escribir en forma matricial:

1 _x2

1 +3x1x2−2x1x3+x22+x2x3+2x33 2 _x2−_{4xy +3y}2

3 −_5x2_+2xy −_5y2

4 −5x2−2xy ₊5y2

Formas Cu ´adraticas

Como toda matriz sim ´etrica es diagonalizable, se tiene:

Teorema

SeaAuna matriz real de ordenn×ny consideramos su forma

cuadr ´atica asociadaFA:Rn→R,FA(~x) =xTAx ∈R.

Entonces existe una matriz ortonormalV (de ordenn×n) de

manera que:

FA(~x) =FbA(y₁,y₂, ...yn) = n X

i=1

λiyi2

dondey =Vx.

La forma cuadr ´aticaFb se llama la forma can ´onica asociada a

FA.

Los valoresλ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolos

Formas Cu ´adraticas

Como toda matriz sim ´etrica es diagonalizable, se tiene:

Teorema

SeaAuna matriz real de ordenn×ny consideramos su forma

cuadr ´atica asociadaFA:Rn→R,FA(~x) =xTAx ∈R.

Entonces existe una matriz ortonormalV (de ordenn×n) de

manera que:

FA(~x) =FbA(y₁,y₂, ...yn) = n X

i=1

λiyi2

dondey =Vx.

La forma cuadr ´aticaFb se llama la forma can ´onica asociada a

FA.

Los valoresλ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolos

seg ´un la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos) de la matriz sim ´etrica A+₂AT.

Formas Cu ´adraticas

Como toda matriz sim ´etrica es diagonalizable, se tiene:

Teorema

SeaAuna matriz real de ordenn×ny consideramos su forma

cuadr ´atica asociadaFA:Rn→R,FA(~x) =xTAx ∈R.

Entonces existe una matriz ortonormalV (de ordenn×n) de

manera que:

FA(~x) =FbA(y₁,y₂, ...yn) = n X

i=1

λiyi2

dondey =Vx.

La forma cuadr ´aticaFb se llama la forma can ´onica asociada a

FA.

Los valoresλ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolos

Formas Cu ´adraticas

Como toda matriz sim ´etrica es diagonalizable, se tiene:

Teorema

SeaAuna matriz real de ordenn×ny consideramos su forma

cuadr ´atica asociadaFA:Rn→R,FA(~x) =xTAx ∈R.

Entonces existe una matriz ortonormalV (de ordenn×n) de

manera que:

FA(~x) =FbA(y₁,y₂, ...yn) = n X

i=1

λiyi2

dondey =Vx.

La forma cuadr ´aticaFb se llama la forma can ´onica asociada a

FA.

Los valoresλ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolos

seg ´un la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos) de la matriz sim ´etrica A+₂AT.

Formas Cu ´adraticas

Como toda matriz sim ´etrica es diagonalizable, se tiene:

Teorema

SeaAuna matriz real de ordenn×ny consideramos su forma

cuadr ´atica asociadaFA:Rn→R,FA(~x) =xTAx ∈R.

Entonces existe una matriz ortonormalV (de ordenn×n) de

manera que:

F_A(~x) =Fb_A(y₁,y₂, ...yn) = n X

i=1

λiyi2

dondey =Vx.

La forma cuadr ´aticaFb se llama la forma can ´onica asociada a

FA.

Los valoresλ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolos

Formas Cu ´adraticas

Como toda matriz sim ´etrica es diagonalizable, se tiene:

Teorema

SeaAuna matriz real de ordenn×ny consideramos su forma

cuadr ´atica asociadaFA:Rn→R,FA(~x) =xTAx ∈R.

Entonces existe una matriz ortonormalV (de ordenn×n) de

manera que:

F_A(~x) =Fb_A(y₁,y₂, ...yn) = n X

i=1

λiyi2

dondey =Vx.

La forma cuadr ´aticaFb se llama la forma can ´onica asociada a

FA.

Los valoresλ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolos

seg ´un la multiplicidad algebraica de cada uno de ellos) de la matriz sim ´etrica A+₂AT.

Formas Cu ´adraticas

Como toda matriz sim ´etrica es diagonalizable, se tiene:

Teorema

SeaAuna matriz real de ordenn×ny consideramos su forma

cuadr ´atica asociadaFA:Rn→R,FA(~x) =xTAx ∈R.

Entonces existe una matriz ortonormalV (de ordenn×n) de

manera que:

F_A(~x) =Fb_A(y₁,y₂, ...yn) = n X

i=1

λiyi2

dondey =Vx.

La forma cuadr ´aticaFb se llama la forma can ´onica asociada a

FA.

Los valoresλ1, ..., λnson los valores propios (repitiendolos

Formas Cu ´adraticas

Observaci ´on: Haciendo uso de la forma can ´onica es f ´acil analizar si es definida positiva, negativa, indefinida etc.

Ecuaci ´on Cu ´adratica

Definici ´on

Una Ecuaci ´on Cu ´adratica en las variablesxey, es de la forma:

ax2+2bxy +cy2+dy+ex+f =0

dondea,b,c,d,e,f son n ´umeros reales y al menos uno de los

coeficientesa,b,ces no nulo.

En forma matricial escribimos:

XTAX+KX+f =0

donde:A=

a b b c

,X =

x y

Ecuaci ´on Cu ´adratica

Definici ´on

Una Ecuaci ´on Cu ´adratica en las variablesxey, es de la forma:

ax2+2bxy +cy2+dy+ex+f =0

dondea,b,c,d,e,f son n ´umeros reales y al menos uno de los

coeficientesa,b,ces no nulo.

En forma matricial escribimos:

XTAX+KX+f =0

donde:A=

a b b c

,X =

x y

,K = (de)

Ecuaci ´on Cu ´adratica

Definici ´on

Una Ecuaci ´on Cu ´adratica en las variablesx ey, es de la forma:

ax2+2bxy +cy2+dy+ex+f =0

dondea,b,c,d,e,f son n ´umeros reales y al menos uno de los

coeficientesa,b,ces no nulo.

En forma matricial escribimos:

XTAX+KX+f =0

donde:A=

a b b c

,X =

x y

Ecuaci ´on Cu ´adratica

Definici ´on

Una Ecuaci ´on Cu ´adratica en las variablesx ey, es de la forma:

ax2+2bxy +cy2+dy+ex+f =0

dondea,b,c,d,e,f son n ´umeros reales y al menos uno de los

coeficientesa,b,ces no nulo.

En forma matricial escribimos:

XTAX+KX+f =0

donde:A=

a b b c

,X =

x y

,K = (de)

Ecuaci ´on Cu ´adratica

Definici ´on

Una Ecuaci ´on Cu ´adratica en las variablesx ey, es de la forma:

ax2+2bxy +cy2+dy+ex+f =0

dondea,b,c,d,e,f son n ´umeros reales y al menos uno de los

coeficientesa,b,ces no nulo.

En forma matricial escribimos:

XTAX+KX+f =0

donde:A=

a b b c

,X =

x y

Ecuaci ´on Cu ´adratica

Definici ´on

Una Ecuaci ´on Cu ´adratica en las variablesx ey, es de la forma:

ax2+2bxy +cy2+dy+ex+f =0

dondea,b,c,d,e,f son n ´umeros reales y al menos uno de los

coeficientesa,b,ces no nulo.

En forma matricial escribimos:

XTAX+KX+f =0

donde:A=

a b b c

,X =

x y

,K = (de)

Ecuaci ´on Cu ´adratica

Definici ´on

Una Ecuaci ´on Cu ´adratica en las variablesx ey, es de la forma:

ax2+2bxy +cy2+dy+ex+f =0

dondea,b,c,d,e,f son n ´umeros reales y al menos uno de los

coeficientesa,b,ces no nulo.

En forma matricial escribimos:

XTAX+KX+f =0

donde:A=

a b b c

,X =

x y

Ecuaci ´on Cu ´adratica

Definici ´on

Una Ecuaci ´on Cu ´adratica en las variablesx ey, es de la forma:

ax2+2bxy +cy2+dy+ex+f =0

dondea,b,c,d,e,f son n ´umeros reales y al menos uno de los

coeficientesa,b,ces no nulo.

En forma matricial escribimos:

XTAX+KX+f =0

donde:A=

a b b c

,X =

x y

,K = (de)

Secciones C ´onicas

Utilizando diagonalizaci ´on para matrices sim ´etricas, siempre es posible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que la ecuaci ´on con respecto al nuevo sistema no tenga t ´erminos en

xy .

Procedimiento

1 Escribir en forma matricial la ecuaci ´on cuadratica.

2 _{Buscamos una matriz ortonormalV (las columnas son los}

~

vp ortonormales) que diagonaliceA, es decir,VTAV =D,

conDdiagonal.

3 _{V es tal que}|V|₌₁

4 Utilizamos la transformacin de coordenadas:

x y

=V

u v

5 _{Encontramos la ecuaci ´on de la c ´onica en el nuevo sistema}

Secciones C ´onicas

Utilizando diagonalizaci ´on para matrices sim ´etricas, siempre es posible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que la ecuaci ´on con respecto al nuevo sistema no tenga t ´erminos en

xy .

Procedimiento

1 Escribir en forma matricial la ecuaci ´on cuadratica.

2 _{Buscamos una matriz ortonormalV (las columnas son los}

~

vp ortonormales) que diagonaliceA, es decir,VTAV =D,

conDdiagonal.

3 _{V es tal que}|V|₌₁

4 _{Utilizamos la transformacin de coordenadas:}

x y =V u v

5 _{Encontramos la ecuaci ´on de la c ´onica en el nuevo sistema}

uv.

Secciones C ´onicas

Utilizando diagonalizaci ´on para matrices sim ´etricas, siempre es posible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que la ecuaci ´on con respecto al nuevo sistema no tenga t ´erminos en

xy .

Procedimiento

1 Escribir en forma matricial la ecuaci ´on cuadratica.

2 _{Buscamos una matriz ortonormalV (las columnas son los}

~

vp ortonormales) que diagonaliceA, es decir,VTAV =D,

conDdiagonal.

3 _{V es tal que}|V|₌₁

4 _{Utilizamos la transformacin de coordenadas:}

x y

=V

u v

5 _{Encontramos la ecuaci ´on de la c ´onica en el nuevo sistema}

Secciones C ´onicas

Utilizando diagonalizaci ´on para matrices sim ´etricas, siempre es posible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que la ecuaci ´on con respecto al nuevo sistema no tenga t ´erminos en

xy .

Procedimiento

1 _{Escribir en forma matricial la ecuaci ´on cuadratica.}

2 _{Buscamos una matriz ortonormalV (las columnas son los}

~

vp ortonormales) que diagonaliceA, es decir,VTAV =D,

conDdiagonal.

3 _{V es tal que}|V|₌₁

4 _{Utilizamos la transformacin de coordenadas:}

x y =V u v

5 _{Encontramos la ecuaci ´on de la c ´onica en el nuevo sistema}

uv.

Secciones C ´onicas

Utilizando diagonalizaci ´on para matrices sim ´etricas, siempre es posible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que la ecuaci ´on con respecto al nuevo sistema no tenga t ´erminos en

xy .

Procedimiento

1 _{Escribir en forma matricial la ecuaci ´on cuadratica.}

2 _{Buscamos una matriz ortonormalV (las columnas son los}

~

vp ortonormales) que diagonaliceA, es decir,VTAV =D,

conDdiagonal.

3 _{V es tal que}|V|₌₁

4 _{Utilizamos la transformacin de coordenadas:}

x y

=V

u v

5 _{Encontramos la ecuaci ´on de la c ´onica en el nuevo sistema}

Secciones C ´onicas

Utilizando diagonalizaci ´on para matrices sim ´etricas, siempre es posible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que la ecuaci ´on con respecto al nuevo sistema no tenga t ´erminos en

xy .

Procedimiento

1 _{Escribir en forma matricial la ecuaci ´on cuadratica.}

2 _{Buscamos una matriz ortonormalV (las columnas son los}

~

vp ortonormales) que diagonaliceA, es decir,VTAV =D,

conDdiagonal.

3 _{V es tal que}|V|₌₁

4 _{Utilizamos la transformacin de coordenadas:}

x y =V u v

5 _{Encontramos la ecuaci ´on de la c ´onica en el nuevo sistema}

uv.

Secciones C ´onicas

Utilizando diagonalizaci ´on para matrices sim ´etricas, siempre es posible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que la ecuaci ´on con respecto al nuevo sistema no tenga t ´erminos en

xy .

Procedimiento

1 _{Escribir en forma matricial la ecuaci ´on cuadratica.}

2 _{Buscamos una matriz ortonormalV (las columnas son los}

~

vp ortonormales) que diagonaliceA, es decir,VTAV =D,

conDdiagonal.

3 _{V es tal que}|V|₌₁

4 _{Utilizamos la transformacin de coordenadas:}

x y

=V

u v

5 _{Encontramos la ecuaci ´on de la c ´onica en el nuevo sistema}

Secciones C ´onicas

Utilizando diagonalizaci ´on para matrices sim ´etricas, siempre es posible rotar los ejes de coordenadas de tal manera que la ecuaci ´on con respecto al nuevo sistema no tenga t ´erminos en

xy .

Procedimiento

1 _{Escribir en forma matricial la ecuaci ´on cuadratica.}

2 _{Buscamos una matriz ortonormalV (las columnas son los}

~

vp ortonormales) que diagonaliceA, es decir,VTAV =D,

conDdiagonal.

3 _{V es tal que}|V|₌₁

4 _{Utilizamos la transformacin de coordenadas:}

x y =V u v

5 _{Encontramos la ecuaci ´on de la c ´onica en el nuevo sistema}

uv.

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una base

ortonormal deR2y las ecuaciones de rotaci ´on

correspondientes que permiten escribirla en la forma can ´onica e identifique la c ´onica que representa.

x2−4xy+3y2=6

−5x2+2xy −5y2=4

−5x2−2xy +5y2=4

2x2_−4xy−y2₊₈₌₀

x2+2xy+y2+8x+y =0

5x2+4xy+5y2=9

9x2−4xy+6y2−10x−20y =5

3x2−8xy−12y2+30x −64y =0

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una base

ortonormal deR2y las ecuaciones de rotaci ´on

correspondientes que permiten escribirla en la forma can ´onica e identifique la c ´onica que representa.

x2−4xy +3y2=6

−5x2+2xy −5y2=4

−5x2−2xy +5y2=4

2x2_−4xy−y2₊₈₌₀

x2+2xy +y2+8x+y =0

5x2+4xy+5y2=9

9x2−4xy+6y2−10x−20y =5

3x2−8xy−12y2+30x −64y =0

2x2_−4xy−y2_{−4x−8y =−14}

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una base

ortonormal deR2y las ecuaciones de rotaci ´on

correspondientes que permiten escribirla en la forma can ´onica e identifique la c ´onica que representa.

x2−4xy +3y2=6

−5x2+2xy −5y2=4

−5x2−2xy +5y2=4

2x2_−4xy−y2₊₈₌₀

x2+2xy +y2+8x+y =0

5x2+4xy+5y2=9

9x2−4xy+6y2−10x−20y =5

3x2−8xy−12y2+30x −64y =0

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una base

ortonormal deR2y las ecuaciones de rotaci ´on

correspondientes que permiten escribirla en la forma can ´onica e identifique la c ´onica que representa.

x2−4xy +3y2=6

−5x2+2xy −5y2=4

−5x2−2xy +5y2=4

2x2_−4xy−y2₊₈₌₀

x2+2xy +y2+8x+y =0

5x2+4xy+5y2=9

9x2−4xy+6y2−10x−20y =5

3x2−8xy−12y2+30x −64y =0

2x2_−4xy−y2_{−4x−8y =−14}

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una base

ortonormal deR2y las ecuaciones de rotaci ´on

correspondientes que permiten escribirla en la forma can ´onica e identifique la c ´onica que representa.

x2−4xy +3y2=6

−5x2+2xy −5y2=4

−5x2−2xy +5y2=4

2x2_−4xy−y2₊₈₌₀

x2+2xy +y2+8x+y =0

5x2+4xy+5y2=9

9x2−4xy+6y2−10x−20y =5

3x2−8xy−12y2+30x −64y =0

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una base

ortonormal deR2y las ecuaciones de rotaci ´on

correspondientes que permiten escribirla en la forma can ´onica e identifique la c ´onica que representa.

x2−4xy +3y2=6

−5x2+2xy −5y2=4

−5x2−2xy +5y2=4

2x2_−4xy−y2₊₈₌₀

x2+2xy +y2+8x+y =0

5x2+4xy+5y2=9

9x2−4xy+6y2−10x−20y =5

3x2−8xy−12y2+30x −64y =0

2x2_−4xy−y2_{−4x−8y =−14}

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una base

ortonormal deR2y las ecuaciones de rotaci ´on

correspondientes que permiten escribirla en la forma can ´onica e identifique la c ´onica que representa.

x2−4xy +3y2=6

−5x2+2xy −5y2=4

−5x2−2xy +5y2=4

2x2_−4xy−y2₊₈₌₀

x2+2xy +y2+8x+y =0

5x2+4xy+5y2=9

9x2−4xy+6y2−10x−20y =5

3x2−8xy−12y2+30x −64y =0

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una base

ortonormal deR2y las ecuaciones de rotaci ´on

correspondientes que permiten escribirla en la forma can ´onica e identifique la c ´onica que representa.

x2−4xy +3y2=6

−5x2+2xy −5y2=4

−5x2−2xy +5y2=4

2x2_−4xy−y2₊₈₌₀

x2+2xy +y2+8x+y =0

5x2+4xy+5y2=9

9x2−4xy+6y2−10x−20y =5

3x2−8xy−12y2+30x −64y =0

2x2_−4xy−y2_{−4x−8y =−14}

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una base

ortonormal deR2y las ecuaciones de rotaci ´on

correspondientes que permiten escribirla en la forma can ´onica e identifique la c ´onica que representa.

x2−4xy +3y2=6

−5x2+2xy −5y2=4

−5x2−2xy +5y2=4

2x2_−4xy−y2₊₈₌₀

x2+2xy +y2+8x+y =0

5x2+4xy+5y2=9

9x2−4xy+6y2−10x−20y =5

3x2−8xy−12y2+30x −64y =0

Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre una base

ortonormal deR2y las ecuaciones de rotaci ´on

correspondientes que permiten escribirla en la forma can ´onica e identifique la c ´onica que representa.

x2−4xy +3y2=6

−5x2+2xy −5y2=4

−5x2−2xy +5y2=4

2x2_−4xy−y2₊₈₌₀

x2+2xy +y2+8x+y =0

5x2+4xy+5y2=9

9x2−4xy+6y2−10x−20y =5

3x2−8xy−12y2+30x −64y =0

2x2_−4xy−y2_{−4x−8y =−14}

Por otra parte

Observamos queX0Y0 son los nuevos ejes verifican:

X0 =rcos(θ) Y0=rsen(θ)

F ´ormulas de Rotaci ´on de Ejes:

X0=Xcos(θ)−Ysen(θ)

Y0=Xsen(θ) +Ycos(θ)

X =X0cos(θ) +Y0sen(θ)

Y =−X0sen(θ) +Y0cos(θ)

En forma matrcial se escribe:

X =VX0

donde:X =

x y

;X0 =

x0 y0

;V =

cos(θ) −sen(θ) sen(θ) cos(θ)

Evidentemente,|V|=1