Libro de Calculo Diferencial

FORMULAS DE AREA

h A r e a d e u n r e c tá n g u lo A = b h b

l A r e a d e l c u a d r a d o A = l 2 l

c h A r e a d e u n p a r a le lo g r a m o A = b h b

c

h A r e a d e l tr iá n g u lo A= bh 1 2 b

b ’

h A r e a d e u n tr a p e z o id e A= h b b

(

+ ′

)

1

2 b

d A r e a d e u n r o m b o A= dd′ 1 2 d

r A r e a d e l c ír c u lo A = π r 2

r n A r e a d e u n s e c to r c ir c u la r A n

r =

360

2

π

FORMULAS DE VOLUMEN

a V o lu m e n d e l p a r a le le p ip e d o V = a b c b

c

h V o lu m e n d e l c ilin d r o V = π r 2 h r

h

V o lu m e n d e l c o n o V = r h 1 3

2 π r

r

V o lu m e n d e l a e s fe r a V = r 4 3

PROLOGO

Este libro es una guía de ejercicios diseñados como ayuda para los estudiantes del primer semestre de Ingeniería. Los ejercicios resueltos se dividen según los temas comunes a la mayoría de los libros de cálculo I. Además se incorporan definiciones y teoremas que son necesarios en la solución de los problemas.

Durante los años de enseñanza del cálculo, nos hemos podido dar cuenta que esta disciplina es difícil de aprender sin practicarla, por tal motivo, se han incorporado al final de cada capítulo un grupo de problemas propuestos, con el fin de que el estudiantes reconstruya los esquemas cognitivos por medio de las situaciones (ejercicios o talleres) de interacción que sean significativas de acuerdo con su nivel de desarrollo.

LOS AUTORES:

TABLA DE CONTENIDO

Pág.

1. SISTEMAS NUMERICOS 9

1.1 CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES (N) 9

1.2 EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS (Z) 10

1.3 EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES (Q) 10

1.3.1 Clase de Fracciones 10

1.4 EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES ( I ) 10

1.5 EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES (R) 11

2. TEORIA DE LOS NUMEROS 12

2.1 METODO DE CALCULO DE LOS FACTORES PRIMOS 12

2.2 MAXIMO COMUN DIVISOR 12

2.3 MINIMO COMUN MULTIPLO 13

3. OPERACIONES Y PROPIEDADES DEL CONJUNTO Q 14

3.1 FRACCIONES EQUIVALENTES 14

3.2 DEFINICION DE ADICION, SUSTRACION, PRODUCTO

Y DIVISION DE LOS Q 14

4. POTENCIACION, RADICACION Y LOGARITMACION 18

4.1 POTENCIA 18

4.2 POTENCIA DE UNA FRACCION 18

4.3 EL PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE 19

4.4 DIVISION DE POTENCIAS DE IGUAL BASE 19

4.5 POTENCIA DE UNA POTENCIA 19

4.6 RADICACION 20

4.6.1 Multiplicación y División de Radicales 21

4.6.2 Racionalización del Denominador 22

4.7 EL LOGARITMO 22

4.7.1 Propiedades de los Logaritmos 22

5. NOCIONES BASICAS DE ALGEBRA 28

5.1 NOTACION ALGEBRAICA 28

5.2 NOMENCLATURA ALGEBRAICA 28

5.2.1 Expresiones Algebraicas 28

5.3.1 Monomio 30

5.3.2 Polinomio 30

5.3.3 Grado de un Polinomio 30

5.3.4 Clases de Polinomio 31

5.3.5 Ordenamiento de un Polinomio 31

5.3.6 Término Independiente de un Polinomio 31

5.3.7 Términos Semejantes 31

5.4 FACTORIZACION 33

5.4.1 CASO 1: CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO

TIENEN FACTOR COMUN 33

5.4.2 CASO 2: FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS 34

5.4.3 CASO 3: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 35

5.4.4 CASO 4: DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS 36

5.4.5 CASO 5: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION

Y SUSTITUCION 37

5.4.6 CASO 6: TRINOMIO DE LA FORMA x2_{+ bx + c 38}

5.4.7 CASO 7: TRINOMIO DE LA FORMA ax2_{+ bx + c 40}

5.4.8 CASO 8: CUBO PERFECTO DE BINOMIOS 41

5.4.9 CASO 9: SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS 43

6. DESIGUALDADES E INTERVALOS 44

6.1 DESIGUALDADES 44

6.2 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES 44

6.3 INTERVALOS FINITOS 46

6.3.1 Intervalo Cerrado 46

6.3.2 Intervalo Abierto 46

6.3.3 Intervalo Abierto a la Derecha 47

6.3.4 Intervalo Abierto a la Izquierda 47

6.3.5 Intervalos Infinitos 48

6.4 OPERACIONES CON INTERVALOS 49

6.5 DESIGUALDADES CONDICIONALES 50

7. VALOR ABSOLUTO 56

7.1 VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO REAL 56

7.2 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 60

7.3 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 61

8. EL SISTEMA RECTANGULAR DE COORDENADAS 68

8.1 EJES DE COORDENADAS 68

8.2 COORDENADAS 69

8.3 CUADRANTES 70

8.4 FORMULA DE DISTANCIA 70

8.5 FORMULAS DEL PUNTO MEDIO 71

10. FUNCIONES 80

10.1 CLASES DE FUNCIONES 81

10.2 FUNCION INVERSA 81

10.7 FUNCION COMPUESTA 82

11. FUNCION COMO CORRESPONDENCIA 84

11.1 NOTACION DE UNA FUNCION 84

12. FUNCION LINEAL 87

12.1 PENDIENTE DE UNA LINEA RECTA 88

12.2 COMO ENCONTRAR LA ECUACION DE UNA RECTA DADA

LA PENDIENTE Y EL PUNTO POR DONDE PASA 90

12.3 COMO ENCONTRAR LA ECUACION DE UNA RECTA DADOS

DOS PUNTOS POR DONDE PASA 91

12.4 RECTAS PARALELAS 94

12.5 RECTAS PERPENDICULARES 94

13. FUNCION CUADRATICA 97

13.1 CONSTRUCCION DE GRAFICAS DE FUNCION CUADRATICAS 97

13.2 OBSERVACIONES IMPORTANTES PARA GRAFICAR BIEN

UNA FUNCION CUADRATICA 100

14. SUCESIONES INFINITAS 104

14.1 LIMITES DE SUCESIONES 104

14.1.1 Sucesiones y Limites 104

14.1.2 Representación Geométrica de una Sucesión 105

14.1.3 clasificación de las Sucesiones 106

14.1.4 Sucesiones Acotadas Superior e Inferiormente 106

14.1.5 Entorno y Entorno Separado de un Punto 107

14.1.6 Límites de Sucesiones Convergentes 108

14.1.7 Concepto de Límites de Sucesiones Divergentes 110

14.1.8 Teoremas Sobre Límites de Sucesiones 111

15. LIMITE DE FUNCIONES 117

15.1 IDEA DE LIMITE DE UNA FUNCION 118

15.2 DEFINICION DE LIMITE DE UNA FUNCION 119

15.3 LIMITES LATERALES 122

15.4 TEOREMA SOBRE LIMITE DE FUNCIONES 123

15.5 TECNICAS PARA LA EVALUACION DE LOS LIMITES 124

15.6 LIMITES TRIGONOMETRICOS 128

17. REGLA DE DERIVACION 142

18. TEOREMA REGLA DE LA CADENA 148

19. DERIVACION IMPLICITA 152

20. LA DERIVADA EN OTRAS CIENCIAS 157

21. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 166

22. DERIVADA DE UNA FUNCION LOGARITMICA 172

23. DERIVADA DE UNA FUNCION EXPONENCIAL 176

24. DERIVADA DE UNA FUNCION CON VALOR ABSOLUTO 182

25. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 185

26. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 188

27. APLICACIONES DE LA DERIVADA, LAS FUNCIONES Y LOS

CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA 190

1. SISTEMAS NUMERICOS

1.1 CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES (

N

)

Es el conjunto de los números que sirven para contar, como son: 1, 2, 3, 4... a este conjunto de números los denotaremos con N. Los elementos de N se caracterizan por:

• Poseer un primer elemento natural. (Que puede ser el 0 ó el 1).

• Y ser un conjunto ordenado, ya que dado un número natural cualquiera podemos hallar el siguiente, n < n + 1 con n∈N.

La representación de los conjuntos de números se hace utilizando una recta numérica, la cual contiene un punto llamado origen (el cero); está dividida en semirectas iguales y se aplica la correspondencia biunívoca entre cada punto y sus respectivos números.

Nota: Actualmente existen dos teorías de los números N, una afirma que el cero (0) no es un natural y otra que afirma que el cero (0) es un natural.

En los naturales sólo están definidas dos operaciones, que son: la suma y la multiplicación.

1.2 EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS (

Ζ

)

Es el conjunto que está constituido por los N y los números enteros negativos.

Ζ = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

Analizando la definición de los enteros podemos concluir que los N⊂Ζ Representación de los enteros en la recta numérica:

En los enteros podemos definir las operaciones: suma, multiplicación y diferencia. 0 1 2

1.3 EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES (

Q

)

Es un conjunto formado por elementos que son el cociente entre dos enteros pero el divisor debe ser diferente de cero (0).

Q = { x/x = p/q con p ∧ q ∈Ζ pero con q≠0 }

Notaciones:

Q+ _{= Racionales positivos (el numerador y el denominador del mismo signo).}

Q- _{= Racionales negativos (el numerador y el denominador de diferente signo).}

1.3.1 CLASES DE FRACCIONES

• Fraccionario puro: Es aquel fraccionario que se presenta en su forma p/q, p∧q ∈Ζ pero conq≠0.

• Fraccionario decimal: Es aquel fraccionario que se obtiene al efectuar la división entre el numerador y el denominador, ejemplos: 0.5, 0.75, 1.5, 0.333..., etc.

Dentro de los fraccionarios decimales encontramos:

• A los fraccionarios decimales periódicos: que es aquel decimal cuyas cifras decimales se repiten por periodos, ejemplo:

0.2525 fraccionario periódico cuyo período es 25 0.3333 fraccionario periódico cuyo período es 3

• Fraccionario decimal no periódico: es aquel fraccionario cuyas cifras decimales no se repiten, ejemplo:

3.1415926535 = pi 2.7182 = e

Representación de los racionales en la recta numérica:

Analizando la definición de los racionales podemos establecer que: Ν⊂Ζ⊂Q. Las operaciones definidas en los racionales son: la suma, multiplicación, diferencia y división.

1.4 EL CONJUNTO DE LOS IRRACIONALES (I)

Es el conjunto de números que se caracteriza por estar formado por fraccionarios decimales no periódicos, ejemplo: pi, e, raíz cuadrada de 2, etc.

1.5 CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES (R)

R = Ν∪Ζ∪Q∪I

Es decir que los, Ν, Ζ, Q y los Ι están contenidos en los R

En los R están definidas todas las operaciones existentes en los otros conjuntos numéricos. La representación de los reales en la recta numérica es:

2. TEORIA DE LOS NUMEROS

NUMERO PRIMO: Es un número natural que sólo posee dos divisores: él mismo y la

unidad, excepto el 1.

NUMERO COMPUESTO: Es el número que posee más de dos divisores. Todo número

compuesto se puede expresar como un producto de sus factores primos, ejemplo: 180 = 2.2.3.3.5 = 22₃2₅

2.1 MÉTODO DE CALCULO DE LOS FACTORES PRIMOS

Consiste en divisiones sucesivas, ejemplo:

180 90 45 15 5 1

2 2 3 3 5

180 = 2.2.3.3.5 = 22₃2₅

2.2 MAXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D)

El M.C.D de dos o más números, es el mayor de los divisores comunes de dichos números, Ejemplo: hallar el M.C.D de 20, 40 y 60.

Primero descomponemos los números 20, 40 y 60 en sus factores primos: 20

10 5 1

2 2 5

40 20 10 5 1

2 2 2 5

60 30 15 5 1

2 2 3 5

20 2 5

5 20

2

40 = 2 .5 60 = 2 .3. 5 Luego el M.C.D (20, 40, 60) = 2

3 2

2

=

= .

• Hallar el M.C.D de 18, 27, 81

18 9 3 1

2 3 3

27 9 3 1

3 3 3

81 27 9 3 1

3 3 3 3 1 18 2

9

. 3 27 = 3 81 = 3 El M.C.D (18, 27, 81) = 3

2 3 4

2 =

=

2.3 EL MINIMO COMUN MULTIPLO (M.C.M)

El mínimo común múltiplo de dos o más números, es el menor de los múltiplos comunes de dichos números, ejemplo: hallar el mínimo común múltiplo de 25, 45, 60

25 5 1

25 5 5

900 2

5

5 45 15 5 1

3 3

5 60 30 15 5 1

2 2 3 5

45 = 3 . 60 = 2 3 . 5 El M.C.M (25, 45, 60) = 5 3 2

2 2

2 2 2

=

= . . .

• Hallar el M.C.M de 10, 15 y 8.

10 5 1

2 5

15 5 1

10 2

3

5 8 4 2 1

2 2 2

. 5 15 = 3 . 5 8 = 2

Luego el M.C.M (10, 15, 8) = 2 . 3. 5 = 120

3. OPERACIONES Y PROPIEDADES DEL CONJUNTO Q

Recordemos que: Q = { x/x=p/q con p ∧ q ∈Ζ pero con q≠0}

3.1 FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones son equivalentes si al efectuar los productos cruzados los resultados son iguales, o sea:

a b

c

d ad bc

≅ =

≅

≅

si solo si

Ejemplo: 1

2 ya que 6 . 1 = 3 . 2 4

5 ya que 4 . 10 = 8 . 5 3

6 8

10

Para hallar fracciones equivalentes basta con simplificar o amplificar una fracción, es decir, dividir o multiplicar tanto el numerador como el denominador por un mismo número, ejemplo:

4 6

2 3

10 25

≅

≅

simplificado por 2

2

5 amplificado por 5

3.2 DEFINICIONES DE ADICION, SUSTRACCION, PRODUCTO

Y DIVISION DE LOS Q

3.2.1 ADICION

a b

c d

ad cb bd

+ = +

3.2.2 SUSTRACCION

a b

c d

ad cb bd

− = −

3.2.3 MULTIPLICACION

a b

c d

ac bd

= 3.2.4 DIVISION

a b

c d

ad bc

EJEMPLOS RESUELTOS

1. 1

4 3 8

8 12 32

20 32

5 8

+ = + = =

Solucionemos el ejercicio anterior utilizando el método práctico

1 4

3 8

4 2 1

2 2 2

4 2

8

2

+

=

=

Encontramos primero el M.C.M (4, 8) 2

2 8 4 2 1 8 = 2 Luego el M.C.M (4, 8) = 2

3

3

Por lo tanto la solución será: 1 4

3 8

2 1 1 3 8

5 8 + = ( )+ ( ) =

2. Resolver:

2 3

5 4

11 5

1 2

2 3

5 4

11 5

1 2

40 75 132 30 60

13 60

+ − + =

+ − + = + − + =

El M.C.M (3, 4, 5, 2) = 60

Por tanto:

3. Calcular: 2 3

1

2 4

1 2

+ 

  +  =

4. Resolver:

( )( )

( )( )

1 5

2 3

1 5

2 3

3 5 2

3 10

÷ =

÷ = =

SOLUCION:

TALLER

1. CALCULAR:

a. b. c. [ ( - )] + [- ( - )] d.

EFECTUAR LAS SIGUIENTES OPERACIONES a. b.

c. d.

e. f.

2 4 2 3 2 5 3 2 1 4 5 3

2 5 3 2 6 4 1 2 3 2 3 6 3 3

2 1 2 3 2 2 3 1 2 4 2 5 1 2 1 4 2 3 5 7 4 2 5 1 4 4

3 2 5

1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] . − + − − − − + − − − − − − − − + + + − + _ __ _ + + −     +  2 3 1 3 1 2 1 4 1 4 1 3 3 3 5 5 3 1 2 1 3 1 2 1 3 3 5 3 3 7 3 35 1 2 3 4 2 3 1 1 2 1 3 1 1 1 2 4 2 3 −    + −    − − +   +   −  −    −    + − ₋−           − − − −

g. 2

3 h.

1 2

i. j. 8 5

k.

2 3

3. Un Ingeniero agrego a una solución ¾ de gramos de NaCl, más tarde añadió 1/8 gramos de la misma sustancia y por ultimo 5/4 del mismo soluto. Calcular la cantidad de NaCl que se le hecho a la solución.

4. Un laboratorio de informática para hacer un trabajo necesita 2 5 7

− 

  bytes disponible y

sólo tiene disponible 1 3 4

− 

  bytes. ¿Cuántos bytes necesita para completar el trabajo?

4. POTENCIACION, RADICACIÓN Y

LOGARITMACION

4.1 POTENCIA

La potencia es la simplificación de la multiplicación cuando se están multiplicando números iguales. simbolización:

a a a a a a a a

n

a n Z

n

. . . .... =

∈ +

veces

donde es la base y el exponente

Notación: a

a a

−1 ₌ 1 _{con ≠ 0}

Además todo número elevado a la cero (0) es 1, es decir: _a0 _{= 1 con a≠ 0}

Ejemplo:

5555 5

4 4 4 4 4 4 4

8 1

8

4

6

2 2

. . .

. . . .

=

=

=

−

4.2 POTENCIA DE UNA FRACCION

a b

a b

a b

a b

a b

a b

n n

n 

  = ... =

Ejemplo:

2 5

2 5

8 125

3 3

3 

  = =

4.3 EL PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

Es otra potencia de la misma base y de exponente igual a la suma de los exponentes de los factores:

a a a

x x x

n m ₌ n m

= =

+ Ejemplos: 34.35 39

3 7 10

4.4 LA DIVISION DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

Es otra potencia cuyo exponente es la diferencia que resulta al restar, del exponente del numerador el exponente del denominador.

a

a a

n m

n m =

= =

−

− Ejemplo: 3

3 3 3

9 5

9 5 4

4.5 Para hallar la potencia de una potencia se deja la base y se multiplican los exponentes:

( )

( )

a a

EJEMPLO

n m ₌ nm

= =

EJEMPLOS SOBRE POTENCIACION

En los siguientes ejercicios se pide simplificar y dar la respuesta con exponentes positivos:

( )

a) b) c) d) 1 2 1 1 2 2 8 1 1 3 9 3 9 3

9 3 3

2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 4 2 3 1 4 2 4 3 2 2 2 2 4 2 8 6

4 8 2 6 4 8 2 6 12 8 12 8

3 2 3 2

− − − − − − − − − − − − − − + − − − ₋ = = =    _ =             =    _ = = = − _{= − = − = − = −}            =    =  a a a a a

a a a a

a b a b

a b a b a b a

b ( ) ( ) ( )( )

(

)

(

)

  = = =    _ = = = = = = = − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − + − + + + − + 6 6 6 6 6 4 2 3 2

2 4 2 2

3 2 2

4 2 2 2 2

3 2 2 2 2

8 2 4

6 4 2

8 6 4 2

4 2

14 6

6

2 1 1

4

2 1 1

4

2 1 1

4 2 3 3 2 729 64 e) d) a bc

a b c

a bc a b c

a b c

a b c

a b c a b c

a a c c b b a c b a a a a a a a n n n n n n n n ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) n n n n a a a

= 3₄ = 1

4.6 RADICACION

La raíz es la operación que nos permite hallar la base de una potencia:

c a a c

b b n m Z n

b b m n m n = = = ∈ ≠ entonces A demas:

EJEMPLOS SOBRE RADICACION

( )

SIMPLIFICAR:

a)

b)

c)

CALCULAR LA SUMA INDICADA

a) 5

-b) 3

3 3

3 3 3 3

75 9

3 5 3

5

3 3

27 3 3 3

4 4 2 2 2 2 2 2

40 625 5 2 5 5 5 5 2 5 5 5 4 5

2 8 50 3 2 2 2 5 2 3 2 2 2 5 2 6 2

3 2 2

2

5 3 3 3 2 3 2 2

2

3 3 2 3 2 2 3 4 3 3 1 3

3 3 3 3 3 3 3 3

2 2

a a a a

a

b b b b b b b

= =

− = − = − = −

= = = = =

+ = − + = − + =

− + = − + = − + =

( )( )

( ) ( )

( )

( )

Al analizar los dos últimos ejercicios nos damos cuenta que: dos radicales son semejantes si después de simplificados tienen el mismo e igual radicando.

Para sumar radicales semejantes se suman los coeficientes de los radicales y el resultado se multiplica por el radical.

4.6.1 MULTIPLICACION Y DIVISION DE RADICALES

Para multiplicar radicales se reducen a un mismo índice y luego se multiplican los radicandos.

EJEMPLO: ENCONTRAR EL PRODUCTO DE:

( )(

)

a) 3b

b)

5 15 5 15 75 3 5 5 3 5

7 4

14 3

7 4

14 3

98 12

7 2 2 3

7 2

2 3

2 3 2 3 2 5 2 2 2 2 2

3 2 3 2

2 5

2 2

2 2 2 2

ab ab ab ab a b a b b b abb b ab

x y

x y

x y

x y

x y

x y y y

x

y y

= = = = =

= 



 __ _ = = =

( )( )

a) 15 6 15 6 3 5 2 3 5 2 5 2

3 3 2 2

x xy x

xy

xx xy

x

y x y

÷ = = ( )( ) = =

( )( )

4.6.2 RACIONALIZACION DEL DENOMINADOR

Racionalizar el denominador de una fracción dada significa transformar esa fracción en otra equivalente cuyo denominador sea racional.

EJEMPLO, racionalizar el denominador de:

a)

b) 5

2 3 2 3 3 3 2 3 3 2 3 3 10 3 5 10 3 5 5

10 5 3 5 10 5 3 5 2 5 3 2 2 = = = = = = = ( )( )

Ahora analizaremos el caso en que el denominador de la fracción esté compuesto de dos o más términos que contienen radicales, por ejemplo, para racionalizar el denominador de:

(

)(

_{) ( )}

( )

(

)

(

)(

)

_{( ) ( )}

(

)

(

) (

)

a) b) 3 3 2

3 3 2

3 2 3 2

3 3 2

3 2

3 3 2

3 4

3 3 2

1 3 3 2

5

5 2

5 5 2

5 2 5 2

5 5 2

5 2

5 5 2

5 2

5 5 2

3 2 ₂ 2 2 − = + − + = + − = + − = + − = − + + = − + − = − − = − − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4.7 EL LOGARITMO

Es la operación que nos permite hallar el exponente de una potencia: log_ac b= entonces ab = c

4.7.1 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

(

)

a.

b.

c.

log . log log

log log log

log .log

a a a

a a a

a b a

X Y X Y

X

Y X Y

X b X

= +



  = −

EJEMPLOS SOBRE LOGARITMACION

12 ) 3 )( 4 ( ) 125 )(log 4 ( 125 log e) 16 2 1 Porque 4 16 log c) 8 2 Porque 3 8 log b) 9 = 3 Porque 2 9 log a) 5 4 5 4 2 1 3 2 2 3 = = = =       − = = = = − t e e e t e = = = = = = = = − = − = − = = = = = 2 20 ln : que obtenemos donde de 2t, = 20 ln (1) 2t = 20 ln e ln 2t = 20 ln : que obtiene se logaritmo los de propiedad Por e ln = ln(20) : tenemos igualdad la de lados ambos en natural logaritmo Aplicando 20 : de Depejar t k) 38905 , 7 Porque 2 ) 38905 , 7 ln( j) 71828 , 2 e Porque 1 ) 71828 , 2 ln( ) 71828 , 2 ( log i) 4 4 0 81 log 1 log 81 1 log h) 81 3 Porque 4 81 log g) 1 3 Porque 0 1 log f) 2t 2 2 1 3 3 3 4 3 0 3

GRAFICA DE LA FUNCION EXPONENCIAL

La mejor forma para familiarizarse con la función exponencial es mediante el trazado de sus gráficas.

EJEMPLO:

Trazar la gráfica de la función _{f x( ) = 2}x

Solución:

f(x)

0

0,51

1,52

2,53

3,54

4,55

5,5 6

6,57

7,58

8,5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

TALLER DE SOBRE

POTENCIACIÓN, RADICACIÓN Y LOGARITMACIÓN

1. Efectúa cada una de las siguientes operaciones indicadas y escribe los resultados en la forma más simple y sin exponentes negativos:

(

)

a. 3 5 b. c. 2 d.

5.6.10

e. f. x x g. a h. -125

81 i.

j. 4

9 k. 2 3

2

3 l. 1 5

4

2

3n+2

n 2n+2 _n m+n ₃

3 2

3 5 8 2 3 2 4010 2 10 3

7 8

9 7 5 6 4 2

2 4 6 4

3 7 2 3

3 1

4 3 2

1 1

5 1 3

2 3 2 6 − − − − + + − + − + − + − − ÷ − ÷ − −             . . . . . x x m n

x n m

b a b x y x y x y x y a b a b

n x a

m a m m m n n n n    ÷               −    +  + −    −                                        −    + − − − 3 2 2 3 1

5 m.

n. 1

2 _o.

5

2 _{p. q.} 6.2.5.4.3.15

r. 5 2 1 4 2 1 2 3 1 4 1 6 4 5 3 2 5

10 2 4 3

7 8 1 2 3 2 3 1 2 3 8 2 8 10 a a n

n . . .

 −    − − + − − − + + − − 2 2 3 6 1 3 4

45 27 20

175 243 63 2 75 1

2 12 1 3 18 3 4 48 1 6 72 3 6 s.

1000000 t.

u. v.

2. Expresar en forma exponencial los siguientes logaritmos:

a. b. l 1

8 = -3 c. d. 125

e. f. b b = 4

3 g.

3

log log log

log log log

3 2 1

2

5

27 3 4

2 1 0

=

= =

og

a

a b e

3. Hallar el valor numérico de los siguientes logaritmos:

(

)

(

)

a. b. 81 c. log d. 1 27

e. log

5

a

2

log log log log

log

1 2

3 3

2

8

256

b ab

4. Si r es un número real positivo, probar la identidad

log_ar log_a log_a log_a

r r r

2 1 3

2

+ + =

5. Expresar como suma y/o diferencia de logaritmos:

a. log_a x b. log_a x2 y x

− 1 2

3

6. Efectuar las siguientes operaciones:

a. por b. por

c. por d. por

e. por f. por

2 3 2 2 3 5 5 2 4 15

7 5 11 7 5 5 8 7 2 3

1 2 1 1 2 2 1 2

− + −

− − − +

+ + + + − + + −

a x a x

7. Racionalizar el denominador de:

a. 5

3 b. c. d. 1

8a e. 1 9x

f. g. h. i.

j. k. l. m.

n. o. p.

4 5

2 2

6 5 3

5 2 3

4 3

2 3 5

2 2 5

3 2 7 2 6 3

4 3 3 7 2 3 3 7

1 1

1 1

2 2

2 2

4 4

5 2

7 2 10

9 3 3 2

6 6

3 3

a

ax x

x x

x x

a a

a a

x x

a a

a a

a b a b

a b a b

+ −

−

+ −

− +

− −

+ −

− +

+ +

+ + + −

+ − + +

+ − −

+ + −

+ +

−

− q.

5. NOCIONES BASICAS DE ALGEBRA

El Algebra es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada de modo más general posible.

5.1 NOTACIÓN ALGEBRAICA

Los símbolos utilizados en el Algebra para representar las cantidades son los número y las letras.

Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.

Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.

Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d....

Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

5.2 NOMENCLATURA ALGEBRAICA

5.2.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas. Ejemplos:

(

) (

)

a a a b c x y a

x , 5x, 4 , + , 5 −₂3

5.2.2 TERMINO

Es la expresión algebraica que consta de un símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el sino + o -, así por ejemplo:

a b xy a

x , 3 , 2 , 4

3

Los elementos de un término son cuatro: El signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. Por el signo, son términos positivos los que van precedidos del signo + y negativos los que van precedidos del signo -. Así, +a, + 8x, + 9ab son términos positivos y

− _x − _bc − a b

, 5 , ₂3 son términos negativos.

El signo + suele omitirse delante de los términos positivos. Así, a equivale a +a; 3ab

Por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo es positivo.

El coeficiente, en el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor.

Así, el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando tres veces, o sea 3a = + +a a a. Este es un coeficiente numérico.

En el producto ab el factor a es coeficiente del factor b, e indica que el factor b se toma como sumando a veces, o sea ab b b b b= + + + .... veces. Este es un coeficiente literal En el producto de más de dos factores, uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes. Así, en el producto abcd, a es el coeficiente de bcd; ab es el coeficiente de

cd; abc el coeficiente de d .

Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente es la unidad. Así, b equivale a 1b; abc equivale a 1abc.

La parte literal, la constituyen las letras que haya en el término. Así, en 5xy la parte literal es xy; en 3

2

3 4

x y

ab la parte literal es x y

ab

3 4

.

5.2.3 EL GRADO DE UN TERMINO

Puede ser de dos clases: Absoluto y con relación a una letra.

Grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales. Así, el término 4a es de primer grado porque el exponente del factor literal a es 1; el término ab es de segundo grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 1+1=2; el término _{a b}2 _{es de tercer grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales}

es 2+1=3; _{5a b c}4 3 2 _{es de noveno grado porque la suma de los exponentes de sus factores}

literales es 4+3+2=9.

El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra. Así el término _bx3 _{es de primer grado con relación a b y de tercer grado con relación a x;}

4x y2 4 es de segundo grado con relación a x y de cuarto grado con relación a y.

5.2.4 CLASES DE TERMINOS

Término entero es el que no tiene denominador literal como 5 6 2

5

2

Término racional es el que no tiene radical, como los ejemplos anteriores.

Y término irracional el que tiene radical, como ab b

a , 3

2

3 .

Términos homogéneos son los que tienen el mismo grado absoluto. Así, 4x y4 y 6x y2 3 son homogéneos porque ambos son de quinto grado absoluto.

Términos heterogéneos son los de distinto grado absoluto, como 5a, que es de primer

grado, y _3a2_{, que es de segundo grado.}

5.3. CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

5.3.1 MONOMIO

Es una expresión algebraica que consta de un solo término, como:

3 5

4

2 3

a b x y

a

, − ,

5.3.2 POLINOMIO

Es una expresión algebraica que consta de más de un término, como: a b x y x+ , − , 3+ 2x2 + +x 7

BINOMIO, es un polinomio que consta de dos términos, como:

a b x y a mx

b

+ , − , −

2 4

2

3 5

6

TRINOMIO, es un polinomio que consta de tres términos, como

a b c x+ + , 2 − 5x+ 6 5, x2 − 6x3+ a2

3

5.3.3 GRADO DE UN POLINOMIO

El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra.

Grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado. Así, en el

polinomio _5x4 _{− 5x}3_{+ x}2 _{− 3x el primer término es de cuarto grado; el segundo, de tercer}

Grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. Así, el polinomio _a6 _{+ a x}4 2 _{− a x}2 4 _{es de sexto grado con relación a la a y de}

cuarto grado con relación a la x.

5.3.4 CLASES DE POLINOMIOS

Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal como

x2 5x 6 x

2 3

1 5

+ − ; x − + ;

2

fraccionario cuando alguno de sus términos tiene letra en el

denominador como a b

b c

2

8

+ − ; racional cuando no contiene radicales, como en los ejemplos anteriores; irracional cuando contiene radical, como a, 3b, - c, − abc;

homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto, como 4a3+ 5a b2 + 6ab2 + b3, y heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado, como _x3_{+ x}2_{+ −x 6.}

Polinomio completo con relación a una letra es el que tiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo que tenga dicha letra en el polinomio. Así, el polinomio _x5_{+ x}4 _{− x}3_{+ x}2_{− 3x es completo con respecto a x, porque contiene todos}

los exponentes sucesivos de la x desde el más alto 5, hasta el más bajo 1, o sea 5, 4, 3, 2, 1. Polinomio ordenado con respecto a una letra es un polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatria, van aumentando o disminuyendo.

5.3.5 ORDENAMIENTO DE UN POLINOMIO

Es escribir sus términos de modo que los exponentes de una letra escogida como la letra ordenatriz queden en orden descendente o ascendente. Así, ordenar el polinomio

−5x3+ x5− 3x x+ 4 − x2 + 6 en orden descendente con relación a x será escribir x5+ x4 − 5x3− x2 − 3x+ 6.

5.3.6 TERMINO INDEPENDIENTE DE UN POLINOMIO CON RELACION A UNA LETRA

Es el término que no tiene dicha letra.

Así, en el polinomio _a3_{− a}2 _{+ 3a− 5 el término independiente con relación a la a es 5 por}

que no tiene a.

2a a y , − 2b y 8b, − 5a b3 2 y − 8a b3 2, xm+1 3xm+1

Los términos 4ab y _{−6a b}2 _{no son semejantes, porque aunque tienen iguales letras, éstas}

no tienen los mismos exponentes, ya que la a del primero tiene de exponente 1 y la a del segundo tiene de exponente 2.

5.4 FACTORIZACION

5.4.1 CASO 1: CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMUN

5.4.1.1 FACTOR COMUN MONOMIO

Descomponer en factores: _a2_{+ 2a}

a2 y 2a contiene el factor común a. Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir

a2 ÷ =a a y 2a a÷ = 2, y tendremos:

(

)

a2 + 2a= a a+ 2

Descomponer en factores: _5m2 _{+ 15m}3

El factor común es _5m2_{, por lo tanto:}

(

)

5m2 + 15m3 = 5m2 1 3+ m

TALLER

Factorar o descomponer en dos factores:

1) 2) 3) 4) 5) - 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

b b x x a a

a x ax m mn m n m

a xy x y ax a y ay x y x x

x x x x y y y c d c d

+ + +

+ −

− + − − +

− − + + − +

2 2 3 2

2 2 2 2 3 3

2 2 2 4 2 2 2 2 2 3 4

2 3 4 3 2 3 2 2 3

3

2 6 8 12 35 70

24 36 34 51 68 14 28 56

15 20 5 15 60

5.4.1.2 FACTOR COMUN POLINOMIO

Descomponer x a b

(

+

)

+ m a b

(

+

)

Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el polinomio (binomio)

(

a b+

)

. Escribimos

(

a b+

)

como coeficiente de un paréntesis y dentro del paréntesis escribo los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común

(

a b+

)

, o sea:

(

)

(

)

x a b+ m a b

Descomponer en factores: a x

(

+ 1

) (

+ b x+ 1

)

El factor común es el polinomio

(

x+ 1

)

, de aquí que:

(

) (

) (

)(

)

a x+ 1 + b x+ 1 = x+ 1 a b+

TALLER

Factorar o descomponer en dos factores:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

8) 9)

10) 11)

a x b x x a a x n y n

a n n a b a m n x m n

x y n n a a a a b b c b c

a n b n n a b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) (

+ + + + − + − − −

+ + + + − + − − + +

+ + − + + + − + + − + − −

+ − + − − + +

1 1 1 3 1 2 1 3 1

2 2 1 1

7 1 3 1 3 1 4 1 1

1 1 1

2 2

c x)( − 3) (− b c a x− − )( − 3)

5.4.2 CASO II: FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS

Descomponer ax bx ay by+ + +

Los dos primeros términos tiene el factor común x y los dos últimos el factor común y. Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo + y tendremos:

(

) (

)

(

) (

)

(

)(

)

ax bx ay by ax bx ay by

x a b y a b

a b x y

+ + + = + + +

= + + +

= + +

Descomponer en factores: _3m2_{− 6mn+ 4m− 8n}

Los dos primeros términos tienen el factor común 3m y los dos últimos el factor común 4. Agrupando tenemos:

(

)

(

)

(

) (

)

(

)(

)

3 6 4 8 3 6 4 8

3 2 4 2

2 3 4

2 2

m mn m n m mn m n

m m n m n

m n m

− + − = − + −

= − + −

= − +

TALLER

Factorar o descomponer en dos factores: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

a ab ax bx a x bx a y by

x a x a x m n nx mx

x x xy y x ax x a

a x a y by bx a ab b

n x a y n y a x am an a m n

a a a a

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 4 4

2 2 2 3 2

2 2

2 2 2 2 2 2

3 2 2

3 3

3 2 2 3

3 9 3

2 5 15 6 1 3 3

5 5 2 2 2 1

4 1 4 3 7

+ + + − + −

− + − − − +

+ − − − − +

− + − + + +

− − + − + − + −

− − + − b x2 + 3ax− 7ab2

5.4.3 CASO III: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomios iguales.

Así, _a2 _{+ 2ab b+} 2 _{es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a b+ . En efecto:}

(

a b+

)

2 =

(

a b a b+

)(

+

)

= a2 + ₂ab b+ 2

REGLA PARA CONOCER SI UN TRINOMIO ES CUADRADO PERFECTO

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercero términos son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado. EJEMPLOS: Factorar

m2 + 2m+ 1

(

)(

) (

)

m2 + 2m+ =1 m+ 1 m+ 1 = m+ 1 2

FACTORAR: _{1 16− ax}2 _{+ 64a x}2 4

(

)(

) (

)

TALLER

Factorar o descomponer en dos factores:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) + 12)

a ab b x x m n m n

a

ab b m m b b

n

mn m a a x xy y

b a b a x x y y a a

2 2 2 2

2

2 2 4 2

2

2 2 2 2

2 2 4 6 3 2 4 2

2 2 1 6 9

4 36 12 1

2

3 9

9 2 9 10 25 4 12 9

9 30 25 16 2

16 4 4 1 1

− + − + − + − +

− + + + + +

+ + − + − +

− + − − − + −

( ) ( )

( ) ( )

5.4.4 CASO IV: DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Según productos notable la suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea,

(

a b a b+

)(

−

)

= a2 − b2 ;luego recíprocamente tenemos que;

(

)(

)

a2 − b2 = a b a b+ −

REGLA PARA FACTORAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo. EJEMPLOS:

FACTORAR: _{1− a}2

La raíz cuadrada de 1 es 1; la raíz cuadrada de _a2 _{es a. Multiplicada la suma de estas raíces}

(

1+ a

)

por la diferencia

(

1− a

)

tendremos:

(

)(

)

1− a2 = 1+ a 1− a

FACTORAR:

(

x+ 1

)

2 − 16x2

La raíz cuadrada de

(

x+ 1

)

2 es x + 1

(

)

La raíz cuadrada de _16x2 _{es 4x}

Multiplicando la suma de estas raíces

(

x+ 1

)

+ 4x por la diferencia

(

x+ 1

)

− 4x tenemos que:

(

)

[

(

)

]

[

(

)

]

(

)(

)

(

)(

)

x x x x x x

x x x x

x x

+ − = + + + −

= + + + −

= + −

1 16 1 4 1 4

1 4 1 4

5 1 1 3

2 2

Factorar o descomponer en dos factores:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 1

4 8) 9) 10) 1

100 11) 12)

13) 14)

x y a a

b n a

a x a b

x x x y m m n

x y c d x a m n

n n

n

2 2 2 2

2 2 2

2 2 6 8

2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 4

9 16 25

9 1

16 4

49

4 64 2

4 25

− − −

− − −

− − −

− − + − −

− − + + − +

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5.4.5 CASO V: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION

FACTORAR: x4 + x y2 2 + y4

Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de _x4 _{es x}2_{; la raíz}

cuadrada de y4 es y2 y el doble producto de raíces es 2x y2 2; luego, este trinomio no es cuadrado perfecto.

Para que sea trinomio cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo término x y2 2 se convierta en 2x y2 2, lo cual se consigue sumándole x y2 2, pero para que el trinomio no se varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, x y2 2, y tendremos:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

factorizando el trinomio cuadrado perfecto factorizando la diferencia de cuadrados

x x y y

x y x y

x x y y x y x x y y x y

x y x y

x y xy x y xy

4 2 2 2

2 2 2 2

4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

+ +

+ −

+ + − = + + −

= + −

= + + + −

(

)

(

)(

)

ordenando = x2 + xy y+ 2 x2− xy y+ 2

FACTORAR: _a4 _{+ b}4

(

)

(

)

(

)(

)

(

) (

)

a b

a b a b

a a b b a b a a b b a b

a b a b

a b ab a b ab

a ab b a ab b

4 4

2 2 2 2

4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

4

4 4

4 4 4 4 4 4

2 4

2 2 2 2

2 2 2 2

+

+ −

− − − − − − − − − − − − − − − − −

+ + − = + + −

= + −

= + + + −

= + + − +

TALLER

Factorar o descomponer en dos factores:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

7) 8) 9) +

10) 11) 12) +

a a a a b b x y

x y m n a b

m m n n x x m m

a a b x

4 2 4 2 2 2 4 4

8 8 4 4 4 4

4 2 2 4 4 2 2 4

12 4 4 8

1 3 64

4 4 81 324

16 25 9 6 1 225 5

64 81 64 4 625

+ + − + +

+ + +

− + − + +

+ +

5.4.6 CASO VI: TRINOMIO DE LA FORMA: _x2 _{+ bx c+}

Trinomios de la forma _x2 _{+ bx c+ son trinomios como:}

x x m m

a a y

2 2

2

5 16 5 14

2 15 8 15

+ + + −

− − − +

, ,

y2 Que cumplen la condiciones siguiente:

1. El coeficiente del primer término es 1.

2. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

3. El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primero y segundo término y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

5.4.6.1 REGLA PRACTICA PARA FACTORAR UN TRINOMIO DE LA FORMA

x2 + bx c+

1. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio.

3. Si los dos factores binomios tiene en el medio signos iguales se buscan dos número cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos número son los segundos términos de los binomios.

4. Si los dos factores tienen en el medio signos diferentes se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor, es segundo término del segundo binomio.

EJEMPLO: FACTORAR _x2 _{+ 5x+ 6}

El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x2 o sea :x

(

)(

)

x2 + 5x+ =6 x x

En el primer binomio después de x se le pone signo + por que el segundo término del trinomio +5x tiene signo +. En el segundo binomio, después de x, se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +5x por el signo de +6 y se tiene que + por + da + o sea:

(

)(

)

x2 + 5x+ =6 x + x +

Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos números que cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Esos números son 2 y 3, luego:

(

)(

)

x2 + 5x+ =6 x 3 + x 2 +

FACTORAR: _x4 _{− 5x}2 _{− 50}

El primer término de cada factor binomio será la raíz cuadrada de _x4 _{o sea x}2_:

(

)(

)

x4 − 5x2 − 50= x2 - x2 +

Buscamos dos números cuya diferencia (signos distintos en los binomios) sea 5 y cuyo

producto sea 50. Esos números son 10 y 5. De aquí que:

(

)(

)

Taller

Factorar o descomponer en dos factores:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

10) 11) 12)

16) 17)

x x y y x x

c c a a m m

m m c c y y

x x x x x x

x x x y xy m mn n

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 4 2

6 3 2 2 2 2

7 10 4 3 5 6

5 24 7 6 20 300

8 1008 4 320 9 20

4 2 4 15 5 13 5 42 5 4

15 6 7 12 56

+ + − + − +

+ − + + − −

− − − − − +

− − + + + +

− − + − + −

( ) ( ) ( ) ( )

)

5.4.7 CASO VII: TRINOMIO DE LA FORMA: ax2 _{+ bx + c}

Son trinomios de esta forma:

2 11 5

3 7 6

10 2

7 32 6

2

2

2

2

x x

a a

n n

m m

+ +

+ −

− −

− +

5.4.7.1 DESCOMPOSICION EN FACTORES DE UN TRINOMIO DE LA FORMA:

ax2 _{+ bx + c}

EJEMPLO

1 7 3

6 7 18

6 2 7 6 18

)

( ) .

( ) ( ) .

Factorar 6x

Multipliquemos el trinomio por el coeficiente de x que es 6 y dejando indicado el producto de 6 por 7x se tiene:

36x

Pero 36x y 6(7x) = 7(6x) luego podemos escribir: (6x)

2

2

2

2 2

− −

− −

= − −

x

x

x x

Descomponiendo este trinomio según se vio en el caso anterior, el 1er. término de cada factor será la raíz cuadrada de (6x)2 _{o sea 6x: (6x - ) (6x + ).}

Dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 18 son 9 y 2. Tendremos: (6x - 9) (6x + 2).

Como al principio multiplicamos el trinomio dado por 6, ahora tendremos que dividir por 6, para no alterar el trinomio y tendremos: (6 9 6)( 2)

6

x− x+

binomios es divisible por 6, descomponemos 6 en 2 x 3 y dividiendo (6x - 9) entre 3 y (6x + 2) entre 2 se tendrá:

( )( )

( )( )

: ( )( ).

6 9 6 2

2 2 3 3 1

6 2 7 3 2 3 3 1

x x

x x

luego x x x x

− + _{= − +}

− − = − +

x 3

R.

2) Factorar 12x2_y2 _{+ xy - 20.}

Multiplicando por 12: (12xy)2 _{+ 1(12xy) - 240}

Factorando este trinomio: (12xy + 16) (12xy - 15).

Dividiendo por 12: (12 16 12)( 15) ( )( ).

4 3 4 4 5

xy xy

xy xy

+ − _{= + −}

x 3 R.

TALLER

Factorar:

1 3 2 5 20 15 9 29 72

2 7 12 6 14 15 10 13 15

3 1 7 5 6 11 30 13 3

4 13 35 7 15 12 6 4

2 2

2

2 2

2 2 2

) ) )

) ) )

) ) )

) ) )

30x 44 21

12 8 6

20y 6

12 8 4 11

2 2

2 2 2

2 4

2 2 2

+ − + − − −

− − − − − −

+ − + − + −

− − + − − −

x n n x x y

x x x x m am a

y x x a a

m m x mnx m n xy y x

y

5.4.8 CASO VIII:CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Estos son de la forma:

( )

( )

a b a a b ab b

a b a a b ab b

+ = + + +

− = − + −

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

3 3

3 3

Lo anterior nos dice que para que una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir las siguientes condiciones:

1) Tener cuatro términos

2) Que el primer término y el último término sean cubos perfectos.

3) Que el 2do término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

4) Que el 3er término sea más el triplo de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último.

5.4.8.1 RAIZCUBICA DE UN MONOMIO

La raíz cúbica de un monomio se obtiene extrayendo la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3.

Así, la raíz cúbica de 8a3_b6 _{es 2ab}2_{. En efecto:}

(2ab2₎3 _{= 2ab}2 _{x 2ab}2 _{x 2ab}2 _{= 8a}3_b6

5.4.8.2 HALLAR SI UNA EXPRESION DADA ES EL CUBO DE UN BINOMIO.

EJEMPLOS:

1) Verificar si 8x3 _{+ 12x}2 _{+ 6x + 1 es el cubo de un binomio.}

Veamos si cumple las condiciones expuestas antes. La expresión tiene cuatro términos.

La raíz cúbica de 8x3 _{es 2x.}

La raíz cúbica de 1 es 1

3(2x)2_{(1) = 12x}2_{, segundo término.}

3(2x)(1)2 _{= 6x, tercer término.}

Cumple las condiciones, y como todos sus términos son positivos, la expresión dada es el cubo de (2x + 1), o de otro modo, (2x + 1) es la raíz cúbica de la expresión.

5.4.8.3 FACTORAR UNA EXPRESION QUE ES EL CUBO DE UN BINOMIO

EJEMPLO

1) Factorar 1 + 12a + 48a2 _{+ 64a}3

Aplicando el procedimiento anterior vemos que esta expresión es el cubo de (1 + 4a); luego:

1 + 12a + 48a2 _{+ 64a}3 _{= (1 + 4a)}3

TALLER

1 3 3 1 5 3 1

2 8 36 54 27 6 9 27 27

3 8 12 6 7 8 36 27 54

4 64 125 240 300 3 3 1

5 108 144 64 10

3 2 12 6 18

3 2 2 3 9 6 4 3 8 12

2 4 6 3 2

9 12 6 4 3 8 3 2

3 2 2 3

) )

) )

) )

) )

) )

3

8 x

27 9x

a a a a a a

a a b ab b x x y x y y

a a a x x x

x y x y x y x x

m m n mn n

+ + + + + +

− + − − + −

+ + + + + +

− − + − + +

5.4.9 CASO IX: SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTO

Sabemos que: a b

a b a ab b

a b

a b a ab b

3 3

2 2 3 3 2 2

+

+ = − +

−

− = + +

y

y como en toda división exacta el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, tendremos:

a 3 _{+ b}3 _{= (a + b) (a}2 _{- ab + b}2_{) (1)}

a 3 _{- b}3 _{= (a - b) (a}2 _{+ ab + b}2_{) (2)}

REGLA 1

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

1° La suma de sus raíces cúbicas. 2° El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

REGLA 2

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

1° La diferencia de sus raíces cúbicas. 2° El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

5.4.9.1 FACTORAR UNA SUMA O UNA DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

EJEMPLOS

1) Factorar: x3 _{+ 1}

La raíz cúbica de x3 _{es x; la raíz cúbica de 1 es 1.}

según la regla 1 nos queda:

x3 _{+ 1 = (x + 1)[ x}2 _{- x(1) + 1}2 _{= (x + 1)( x}2 _{- x + 1). R.}

2) Factorar (a - b)3 _{- (a + b)} 3

(a - b)3 _{- (a + b)} 3 _{= [(a - b) - (a + b) ] [(a - b)}2 _{+ (a - b)(a + b) + (a + b)} 2 _]

=(a - b - a - b) (a2 _{- 2ab + b} 2 _+a2 _{- b} 2 _{+ a}2 _{+ 2ab + b}2₎

(reduciendo) = (-2b)(3a2 _{+ b} 2_{) R.}

TALLER

Descomponer en dos factores:

1 1 2 9 64 125

2 8 6 1 10 8 27

3 27 7 2 3 11 1 216

4 1 8 12 27

3 6 3 3

6 12 3 3 6

3 3 3 3 3

3 3 3 6 3 3

) ) ( ) ) ( )

) ) )

) ) ( ) ( ) )

) ( ) ) ) ( )

5

+ − + + −

− − +

− − + − −

+ + − − −

a x x m n

x y a a b

a b m m m

6. DESIGUALDADES E INTERVALOS

En este capítulo estudiaremos las desigualdades entre números reales con sus propiedades y repasaremos también las inecuaciones. Veremos cómo los procedimientos seguidos en la solución de desigualdades son similares a los usados en la solución de ecuaciones, aunque, sin embargo, existen ciertas excepciones.

6.1 DESIGUALDADES

La afirmación de que una expresión algebraica es mayor que (o menor que), otra expresión algebraica se llama desigualdad. Las expresiones, llamadas miembros de la desigualdad. Deben ser números reales. Los símbolos usuales de desigualdad son > y < y se leen, respectivamente, es mayor que y es menor que.

Si a y b son números reales, la desigualdad a es mayor que b escrita a > b significa que a - b es un número real positivo.

La desigualdad a es menor que b, escrita a < b significa que b - a es un número real positivo.

6.2 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

• Sean a, b∈R. Si a < b y b < c, entonces a < c

En efecto, a < b y b < c ⇒ (b - a) ∈R+ _{y (c - b)} ∈_R+

[(b - a) + (c - b)] ∈R+

[(b - a + c - b)] ∈R+

[( - a + c )] ∈R+

[(c - a )] ∈R+

a < c

Esta propiedad se conoce como ley transitiva de la relación <.

• El sentido de una desigualdad no cambia si se suman a ambos miembros de la desigualdad un mismo número real; en símbolos: si a < b entonces a + c < b + c

∀a, b, c ∈R

En efecto, puesto que a < b ⇒ (b - a) ∈ R+ _{entonces para todo número real c, se}

verifica que: b - a = b + c - c - a = (b + c) - (c + a). Luego [(b + c) - (c + a)] ∈R+_y

podemos concluir que a + c < b + c ∀a, b, c ∈R.