Colegio San Fernando
Departamento de Matemática. Nivel: Cuarto Medio electivo.
Profesor: Cristóbal Quezada Raquelich.
Guía Probabilidad N°1:
Nombre del estudiante:______________________________________________________ Curso: ______________ Fecha: __/___/___ Puntaje: ______
REGLA DE LAPLACE
La probabilidad de que un evento o suceso ocurra es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.
Así, si la probabilidad de que ocurra el suceso 𝐴, designada 𝑃(𝐴), está dada por: 𝑃(𝐴) =𝑁𝑓
𝑁𝑝 donde, 𝑁𝑓 denota el número de casos favorables.
𝑁𝑝 denota el número de casos posibles de ocurrencia del experimento (Espacio Muestral). Observaciones:
1. La probabilidad de un evento cierto es 1. 2. La probabilidad de un evento imposible es 0.
3. Para cualquier evento A, se tiene que la probabilidad de 𝐴, denotada por 𝑃(𝐴), es: 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
4. Si 𝐴 y 𝐵 son eventos complementarios entonces: 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐵) Ejemplo:
Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad que la suma de ambos resultados sea 10 o más?
Experimento Aleatorio Lanzar dos dados.
Suceso A: Que la suma obtenida sea mayor o igual a 10. Casos Favorables 𝑁𝑓= {(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)} (6 casos) Casos Posibles
𝑃(𝐴) =𝑁𝑓 𝑁𝑝 =
6 36=
1 6
Ω = 𝑁𝑝= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
Probabilidad de la Unión de dos sucesos
Sean A y B dos eventos del Espacio Muestral Ω.
a) Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de que ocurra la unión de los dos está dada por:
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
Ejemplo: La probabilidad de obtener un múltiplo de 2 o un divisor de 5 en el lanzamiento de un dado. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A: Obtener un múltiplo de 2. A={2, 4, 6} 𝑃(𝐴) =36
B: Obtener un divisor de 5. B={1, 5} 𝑃(𝐵) =26
b) Si A y B no son sucesos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de que ocurra la unión de los dos está dada por:
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Ejemplo: La probabilidad de obtener un número impar o un número menor que 3 en el lanzamiento de un dado. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A: Obtener un número impar. A={1, 3, 5} 𝑃(𝐴) = 3
6
B: Obtener un número menor que 3. B={1, 2} 𝑃(𝐵) = 26
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =3 6+
2 6−
1 6=
4 6=
2 3 Probabilidad de la Intersección de dos Sucesos
Sean A y B dos eventos del Espacio Muestral Ω.
a) Si A y B son sucesos independientes (la ocurrencia de uno, no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro), la probabilidad de ocurrencia de 𝐴 ∩ 𝐵 está dada por:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)
Ejemplo: Al Lanzar un dado dos veces. Cuál es la probabilidad de obtener divisor de 3 en el primer lanzamiento y un múltiplo de 2 en el segundo lanzamiento. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A: Obtener divisor de 3 (1er Lanzamiento). A={1, 3} 𝑃(𝐴) =26= 13
B: Obtener múltiplo de 2 (2do Lanzamiento). B={2, 4, 6} 𝑃(𝐵) = 36= 12
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) =1 3∙
1 2=
1 6
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) =3 6+
5 6=
5 6
b) Si A y B son sucesos dependientes (la ocurrencia de uno afecta la probabilidad de ocurrencia del otro), entonces la probabilidad de ocurrencia de 𝐴 ∩ 𝐵 está dada por:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵/𝐴)
donde 𝑃(𝐵/𝐴) es la probabilidad de ocurrencia de B condicionada por la ocurrencia de A.
Ejemplo: En una caja hay 12 fichas rojas, 6 blancas y 8 azules. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar dos fichas, sin devolver la primera a la caja, la primera sea roja y la segunda sea blanca?
A: Que sea roja la 1ra. 𝑃(𝐴) =1226
B: Que sea blanca la 2da. 𝑃(𝐵/𝐴) =256 (una ficha menos en la caja después de sacar la 1ra.)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵 𝐴⁄ ) =12 26∙
6 25=
72 650=
36 325
Probabilidad del Complemento
Sea 𝑃(𝐴) la probabilidad de ocurrencia del evento A, y 𝑃(𝐴𝐶) la probabilidad de que no ocurra el evento A. Entonces, se cumple que:
𝑃(𝐴) +𝑃(𝐴𝐶)= 1
𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴𝐶) ó 𝑃(𝐴𝐶) = 1 − 𝑃(𝐴)
Ejemplo: En un naipe de 52 cartas, sacamos una al azar. ¿Cuál es la probabilidad que la carta extraída no sea trébol?
A: Al extraer una carta sea trébol 𝑃(𝐴) =1352= 14
𝐴𝐶 : Al extraer una carta NO sea trébol 𝑃(𝐴𝐶) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 −1
4= 3 4
Probabilidad Condicionada
Es la probabilidad en la cual se cumple un acontecimiento A después que se haya cumplido un acontecimiento B. Donde además el evento A se ve afectado por lo sucedido antes, es decir, por la ocurrencia del evento B.
𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴 ∩ 𝐵 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐵
Ejemplo: Se lanzan 2 dados, si la suma de ambos es 9. Encontrar la probabilidad de que uno de los números sea 4.
B: Al lanzar dos dados la suma sea 9 B={(3,6) , (4,5) , (5,4) , (6,3)} A: uno de los números sea 4
𝐴 ∩ 𝐵 : que uno de los número sea 4 y la suma de ambos sea 9. 𝐴 ∩ 𝐵 = {(4,5), (5,4)}
𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) =
2 4=
1 2
En cada ejercicio indica el espacio muestral del experimento (Ω), defina el(los) sucesos y calcule la probabilidad solicitada en cada caso.
1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor o igual que 2 en el lanzamiento de un dado?
2. En una caja hay 6 bolas blancas y 4 bolas amarillas, ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola amarilla?
3. Si elige al azar un número del 1 al 20, ¿Cuál es la probabilidad de que sea un múltiplo de 4? 4. De 40 sandwichs, 9 son de jamón, 19 de queso, y el resto de atún. ¿Cuál es la probabilidad de
sacar uno de atún?
5. Si lanzamos una moneda al aire 2 veces, entonces ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos un sello?
6. Si lanzamos 4 veces una moneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener las 4 veces cara? 7. ¿Cuál es la probabilidad de obtener suma 8 en el lanzamiento de dos dados?
8. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos números distintos en el lanzamiento de dos dados? 9. Si lanzamos un dado dos veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 4 en el primer lanzamiento
y un 6 en el segundo lanzamiento?
10. ¿Cuál es la probabilidad porcentual de sacar un trébol de un naipe de 52 cartas?
11. En un naipe de 52 cartas sacamos una carta primero y otra carta después, reponiendo la primera al mazo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un corazón en la primera y un as en la segunda? 12. Si de un naipe de 52 cartas se sacan sucesivamente dos cartas, ¿cuál es la probabilidad de obtener
2 tréboles?
13. Si de un naipe de 52 cartas sacamos dos cartas, sin devolver la primera al mazo, ¿cuál es la probabilidad de que salga un dos en la primera carta y una reina en la segunda carta?
14. Un sistema de seguridad consiste en una alarma, que ante una emergencia tiene una probabilidad de operar de 0,97. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que no opere la alarma en una emergencia?
15. Un grupo de 1000 personas seleccionadas al azar fueron encuestadas acerca del alcohol y tabaco. Los resultados se resumen la tabla.
Entonces, ¿Cuál es la probabilidad de que una de las personas que contestó la encuesta no fume y no beba?
16. Se lanzan al aire tres dados de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que el número formado con las tres cifras que se han obtenido sea 564?
Fumadores No Fumadores
Bebedores 320 530
17. ¿Cuál es la probabilidad de obtener siete puntos en el lanzamiento de dos dados?
18. Una caja contiene 12 bolas negras y 8 rojas. ¿Qué probabilidad hay de no sacar una bola negra? 19. En una sala de clases hay 20 mujeres y 12 hombres. Si se escoge uno de ellos al azar, ¿Cuál es la
probabilidad de que sea hombre?
20. En un curso de 30 alumnos, 18 son mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger alguien no sea mujer?
21. Una tómbola tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Al sacar una de las bolas, ¿cuál es la probabilidad de que el número grabado en ella sea un divisor de 5?
22. Si se lanzan dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que los números presenten una diferencia de 2 unidades?
23. Un animador de un concurso lanza un par de dados y registra la suma de sus caras en una pantalla. Si el concursante obtiene una suma mayor, gana, de lo contrario, pierde. Si en cierta ocasión, el animador obtuvo una suma de 5. ¿Cuál es la probabilidad que el concursante pierda? 24. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un guante derecho y rojo de un total de 5 pares de guantes rojos
y 5 pares de guantes negros?
25. De los empleados de una empresa el 60% son varones es, 35% son ingenieros comerciales y el 4% son ingenieros comerciales y varones. Calcula la probabilidad que seleccionado un empleado al azar:
a) Si se sabe que es varón, ¿cuál es la probabilidad de que sea ingeniero comercial? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre dado que es ingeniero comercial?
26. En cierta comunidad, la probabilidad de que una familia tenga televisor es 0.64, una máquina lavadora es 0.55 y que tenga ambos artefactos es 0.35. Se selecciona una familia al azar, calcule la probabilidad de que:
a) Sabiendo tiene lavadora, tenga televisor. b) Sabiendo que tiene televisor, tenga lavadora.
27. En una empresa el 25% de los empleados son profesionales, el 15% de los empleados llega atrasado y el 10% es profesional y llega atrasado. Se selecciona un empleado al azar, calcule la probabilidad que:
a) Si resulta ser profesional, llegue atrasado b) Sea profesional, si se sabe que llega atrasado.
28. En cierta comunidad, la probabilidad de que una persona sea morena es 0.4, que tenga ojos claros es 0.25 y que sea morena y de ojos claros es 0.15. Se selecciona una persona al azar, calcule la probabilidad de que:
29. Si 𝑃(𝐵) = 0,27 , 𝑃(𝐴𝑐) = 0,40 y 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,15 , Calcule: a) (𝐴/𝐵)
b) 𝑃(𝐵/𝐴) c) 𝑃(𝐵𝑐)
30. Si 𝑃(𝐴) = 0,34 , 𝑃(𝐵𝑐) = 0,60 y 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,12 , Calcule: a) (𝐴/𝐵)
b) 𝑃(𝐵/𝐴) c) 𝑃(𝐴𝑐)
“El futuro es impredecible, todo se basa en probabilidades”
