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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA MECÁNICA
FÍSICA MECÁNICA
MÓDULO # 15: MOVIMIENTO EN EL PLANO (II) -MOVIMIENTO
MÓDULO # 15: MOVIMIENTO EN EL PLANO (II) -MOVIMIENTO
CURVILÍNEO-Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana
Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede MedellínColombia Sede Medellín
Temas
Temas
IntroducciónIntroducción
Componentes tangencial y normal de la aceleraciónComponentes tangencial y normal de la aceleración
Ejemplo sobre movimiento curvilíneo planoEjemplo sobre movimiento curvilíneo plano
Movimiento circular: Definiciones básicas de las Movimiento circular: Definiciones básicas de las variables angularesvariables angulares
Relaciones entre variables angulares y variables linealesRelaciones entre variables angulares y variables lineales
Representación vectorial de las variables angularesRepresentación vectorial de las variables angulares
Movimientos circulares especialesMovimientos circulares especiales o
o MMovimientoovimiento CCircularircular UUniforme (MCU)niforme (MCU) o
o MMovimientoovimiento CCircularircular UUniformementeniformemente VVariado (MCUV)ariado (MCUV)
Ejemplos sobre movimiento circularEjemplos sobre movimiento circular
Transmisión de movimientoTransmisión de movimiento
Introducción
Introducción
En la primera parte de este módulo se analizará la cinemática de una partícula que describe en su En la primera parte de este módulo se analizará la cinemática de una partícula que describe en su movimiento una curva plana. En este caso es muy útil emplear como base ortonormal para escribir los movimiento una curva plana. En este caso es muy útil emplear como base ortonormal para escribir los vectores cinemáticos los versores
vectores cinemáticos los versores
u ,uuˆ ˆ TT,uˆˆNN
. En cada punto de la trayectoria el primero es tangencial a ésta. En cada punto de la trayectoria el primero es tangencial a éstay
y apunta apunta en en la la dirección dirección en en la la queque s (el arco de la trayectoria)s (el arco de la trayectoria) aumenta; el segundo es normal y apuntaaumenta; el segundo es normal y apunta hacia el cen
hacia el centro de curvatura tro de curvatura de ésta, Figura 1. de ésta, Figura 1. Cada uno de Cada uno de estos versores da estos versores da la dirección de la dirección de sussus respectivos ejes co
respectivos ejes coordenados (eje tangencial ordenados (eje tangencial y eje normal). y eje normal). A esta base A esta base se le conoce con el nse le conoce con el nombre deombre de base intrínseca.
base intrínseca.
Algo que es necesario observar es que la curva (trayectoria) seguida por la partícula está fija a un marco Algo que es necesario observar es que la curva (trayectoria) seguida por la partícula está fija a un marco de referencia y además se deben considerar estos vectores unitarios fijos en cada punto, así sus de referencia y además se deben considerar estos vectores unitarios fijos en cada punto, así sus direcciones varíen de un punto a otro:
direcciones varíen de un punto a otro: NONO son vectores unitarios fijos a un marco de referencia móvil que son vectores unitarios fijos a un marco de referencia móvil que viaja con la partícula.
viaja con la partícula.
En el módulo se hará énfasis en las componentes normal y tangencial de la aceleración. En la segunda parte En el módulo se hará énfasis en las componentes normal y tangencial de la aceleración. En la segunda parte del módulo se aplicará los resultados obtenidos para el movimiento curvilíneo plano al caso del movimiento del módulo se aplicará los resultados obtenidos para el movimiento curvilíneo plano al caso del movimiento circular.
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Figura 1 Figura 1 Componentes tangencial y normal de la aceleración
Componentes tangencial y normal de la aceleración
Considerar que una partícula se mueve en una trayectoria curva (línea roja de la Figura 2)
Considerar que una partícula se mueve en una trayectoria curva (línea roja de la Figura 2) . Por simplicidad. Por simplicidad se supondrá que la curva es plana, Figura 2,
se supondrá que la curva es plana, Figura 2, sin embargo los resultados obtenidos son de validez gesin embargo los resultados obtenidos son de validez general. Laneral. La aceleración de la partícula es,
aceleración de la partícula es,
dV dV a = a = dt dt Figura 2 Figura 2 Como, Como, T T ˆ ˆ V = V u V = V u Entonces, Entonces,
3
T
T T ˆ d Vu dV duˆ ˆ a = = u + V [1] dt dt dt¿Cuál es el resultado de la derivada temporal del versor tangencial?
T ˆ du = ? dt
T ˆ ˆ ˆ u = cosφ i + senφ j
T ˆ du dφ dφ ˆ ˆ = -senφ i + cosφ j dt dt dt Pero,
N π π ˆ ˆ ˆ ˆ ˆu = cos +φ i + sen +φ j = -senφ i + cosφ j
2 2
Entonces puede concluirse que,
T N ˆ du dφ ˆ = u dt dt Ahora, ds = ρdφ, T N ˆ du 1 ds ˆ = u dt dt
En donde la rapidez V es,
ds V = dt Obteniéndose, T N ˆ du V ˆ = u dt ρ Reemplazando en [1], 2 T N dV V ˆ ˆ a = u + u [2] dt ρ Interpretación:
4 Se denomina aceleración tangencial al cambio en el tiempo de la magnitud de la velocidad, es decir,
al cambio temporal de la rapidez,
T
dV
a = [3]
dt
Se denomina aceleración normal o o aceleración centrípeta al cambio en el tiempo de la dirección de la velocidad, 2 N V a = [4] ρ
Esta aceleración apunta hacia el centro de curvatura de la trayectoria en el punto de la curva donde se encuentra la partícula.
Estas dos aceleraciones son ortogonales. El resultado vectorial es,
T N a = a + a Tˆ T NˆN a = a u + a u
T 2 N 2 a = a + aLa aceleración resultante se dirige hacia la concavidad de la trayectoria. En la Figura 3 se ilustra esto.
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Ejemplo sobre movimiento curvilíneo plano
Una partícula se mueve en el plano XY de tal manera que sus coordenadas en m después de t s son 2
x = 4t y = 2t - 3
2¿Cuál es la aceleración tangencial de la partícula y el radio de curvatura de su trayectoria cuando su rapidez vale 4 5 m.s-1?
Solución:
Las componentes rectangulares de la velocidad son,
x dx V = = 8t dt y
dy V = = 4 2t - 3 dt La rapidez es, 2 2 2 x y V = V + V = 128t - 192t + 144La aceleración tangencial es,
T 2 256t - 192 dV a = = dt 2 128t - 192t + 144La rapidez es igual a 4 5 m.s-1 en instante,
2
128t - 192t + 144 = 4 5
2
128t - 192t + 144 = 80 t = 0,5 s y t = 1,0 s
Para estos instantes la aceleración tangencial es respectivamente,
T 2 8 5 m a = -5 s T 2 8 5 m a = 5 s
Se analizará para el instante t= 1,0 s (se deja al lector el análisis para t=0,5 s). Para este instante la posición correspondiente es,
2x=4 1,0 = 4,0 m y= 2 1, 0
32= 1,0 m r = 4,0 i + 1,0 j m ˆ ˆ6
Para calcular el radio de curvatura en ese instante se debe calcular primero la aceleración total en estos,
x x 2 dV m a = = 8 dt s y y 2 dV m a = = 8 dt s 2 2 x y 2 m a = a + a = 8 2 s Ahora, 2 2 N T a = a - a
Por lo tanto la aceleración normal en ese instante es,
2 2 N 2 8 5 m a = 8 2 - = 10,7 5 s Adicionalmente la rapidez en ese instante es,
m V = 4 5 s Como, 2 N V a = ρ
Se tendrá que el radio de curvatura de la trayectoria de la partícula en ese instante es, 2 N V ρ = a 80 ρ = m = 7,4 m 10,7
Movimiento circular: Definiciones básicas de las variables angulares Posición angular
Sea una circunferencia de radio R, centro C fija en un marco de referencia. Se elige un origen O sobre la circunferencia, Figura 4. Si una partícula se mueve sobre esa trayectoria circular, su posición general en un punto P puede darse mediante la posición angular (expresado en radianes), ángulo medido respecto a una
7 Figura 4 Velocidad angular Se define como, dθ ω = dt
Sus unidades en el SI son rad.s-1.
Aceleración angular Se define como,
dω α =
dt
Sus unidades en el SI son rad.s-2.
Por analogía con el movimiento rectilíneo, en el movimiento circular también se presentan tres ecuaciones diferenciales fundamentales, dθ ω = [1] dt dω α = [2] dt
y la tercer de la combinación de estas dos,
ωdω = αdθ [3]
El análisis de la cinemática de una partícula en movimiento circular debe pasar por la integración de estas ecuaciones.
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Relaciones entre variables angulares y variables lineales
Como la rapidez de una partícula que se encuentra en movimiento curvilíneo es,
ds V =
dt
Y en el caso del movimiento circular,
s = θ R [4] Se obtiene,
d R θ dθ V = = R dt dt Es decir, V = ω R [5]Si se deriva de nuevo respecto al tiempo,
T d ωR dV dω a = = = R dt dt dt Es decir, T a = α R [6]Resumiendo, la relación entre las variables lineales y angulares son,
s = θ R [4] V = ω R [5]
T
a = α R [6]
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Figura 5
Adicionalmente se deduce del movimiento curvilíneo que la aceleración centrípeta es, 2 N V a = [7] R O reemplazando [5], 2 N a = ω R [8]
Un comentario sobre las variables lineales y angulares
Como consecuencia de la propiedad de los ángulos que expresa que el valor de éstos no depende de la longitud de sus lados sino de su apertura, si un cuerpo rígido está en rotación respecto a un eje, todos sus puntos rotarán haciendo los mismos desplazamientos angulares, con la misma velocidad y aceleración angular independientemente de que tan cerca o lejos se encuentren del centro de rotación, es decir, independientemente del radio de su trayectoria circular. Sin embargo, el valor de la longitud del arco recorrido, de la velocidad y de la aceleración lineal es mayor entre los puntos que estén más alejados del centro: varían proporcionalmente al radio de la trayectoria circular, Figura 6
Figura 6 Representación vectorial de las variables angulares
La posición, la velocidad y la aceleración angular en el sentido estricto no son vectores. Esto se debe a que no cumple la propiedad conmutativa. Para comprender se puede realizar el siguiente experimento:
10 Ubicar un libro sobre una mesa y definir un sistema de coordenadas cartesiano XYZ. Para facilitar el
experimento colocar un eje en la dirección del lomo del libro, por ejemplo el eje X estando el plano XY sobre la pasta del libro.
Rotar el libro alrededor del eje Z y luego alrededor del eje Y.
Repetir pero conmutar las rotaciones, es decir, primero alrededor del eje Y y luego alrededor del eje
Z.
El resultado es diferente. Es decir la rotación no conmuta
Sin embargo el comportamiento de las variables angulares es muy similar a la de un vector, por lo que en muchas aplicaciones se les trata como tal: a este tipo de comportamientos se les denomina pseudovectores. En este curso no se ahondará en este asunto y en el fondo de este se tiene que estos pseudovectores tienen su origen en productos vectoriales, que como bien se debe recordar, el producto vectorial NO CONMUTA, sin embargo su resultado se comporta como un vector. Ejemplos de pseudovectores: torque, desplazamiento angular, velocidad angular, aceleración angular, momento angular (este, se tratará en la última unidad del curso).
Habiendo realizado la anterior aclaración, se tratarán las variables angulares como vectores y para el caso de movimiento circular, considerando como eje de rotación el que pasa por el centro de la trayectoria circular, estos vectores angulares tienen la siguiente orientación:
El desplazamiento y la velocidad angular están en la dirección del eje de rotación y apuntan hacia donde
se desplaza un tornillo de rosca derecha, Figura 7.
Figura 7
La aceleración angular apunta en el mismo sentido del cambio de velocidad angular.
En la Figura 8 se ilustran los vectores velocidad lineal, aceleración centrípeta y velocidad angular en una partícula que se mueve con movimiento circular uniforme.
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Figura 8
Para aclarar un poco más sobre la discusión del concepto de pseudovector observar que para el sistema de coordenadas de la Figura 8 se cumple que la ecuación [5] se puede escribir vectorialmente como sigue,
V = ω×r
operación que no conmuta.
Movimientos circulares especiales
Análogamente al movimiento rectilíneo, se presentan dos movimientos circulares muy especiales:
MCU (Movimiento Circular Uniforme): La partícula se mueve con velocidad angular constante, es
decir la aceleración angular es nula.
MCUV (Movimiento Circular Uniformemente Variado): La partícula se mueve con aceleración angular
constante.
Movimiento Circular Uniforme (MCU)
Integrando las ecuaciones diferenciales de movimiento [1], se obtiene la ecuación general para el MCU,
o
θ = θ +ω t
En donde se ha supuesto, como casi siempre se hace, que to=0.
Adicionalmente este movimiento es PERIÓDICO, es decir se repite idénticamente cada vuelta o revolución. A este tipo de movimientos se les define un PERIODO (P) y una FRECUENCIA (f):
El periodo es el tiempo que emplea la partícula para dar una vuelta completa. Frecuencia es el número de vueltas en una unidad de tiempo (por ejemplo 1 s).
12 t P = n n f = t P f = 1
En donde n es el número de vueltas y t el tiempo empleado en hacerlas.
El periodo se mide en el SI en s y la frecuencia en vueltasxs-1 o simplemente s-1.
Una expresión muy USADA en el MCU se deduce a continuación: Como, o θ = θ +ω t o θ-θ Δθ ω = = t t y si=2, t=P se obtiene, 2π ω = P
que también puede adoptar la forma,
ω = 2π f
Movimiento Circular Uniformemente Variado (MCUV)
Integrando las ecuaciones diferenciales de movimiento [1], [2] y [3] de forma análoga a como se h izo en el MUV se obtiene las siguientes ecuaciones generales para el MCUV,
2 o o 1 θ = θ + ω t + α t 2 o ω = ω + α t
2 2 o o ω = ω + 2 α θ - θ13
Ejemplos sobre movimiento circular Ejemplo 1
¿Cuál es la velocidad angular en rad.s-1 de una rueda que gira a 330 RPM?
Solución:
revolucion 1 min 6,28 rad rad
ω = 330 × × =34,5
min 60s 1 revolución s
Ejemplo 2
Calcular la velocidad lineal y la aceleración centrípeta de un punto en la línea del ecuador del planeta Tierra (R=6370 km).
En la Figura 9 se ilustra la escena física.
Figura 9 Solución:
La tierra considera como cuerpo rígido, cada punto de la misma gira con MCU con un periodo de 24 h. Todos los puntos giran con la misma velocidad angular , pero los puntos ubicados en el ecuador giran con la mayor
rapidez lineal V. 3600 s P = 24 h = 86400 s 1 h -5 2π 6,28rad rad ω = = = 7,27x10 P 86400s s La velocidad lineal,
14 V = ω R -5 rad 3 m V = 7,27×10 ×6370×10 m = 464 s s En km/h es, 3 m 1 km 3600 s km V = 464 × × = 1670 s 10 m 1 h h
¡Si el planeta dejara de rotar “instantáneamente”, saldríamos tangencialmente con esta velocidad!
Compararla con la de un auto de fórmula 1, que son del orden de 350 km/h. En los polos esta velocidad es nula. Como dato interesante: la Tierra se traslada con una velocidad de 30 km/s es decir, 108000 km/h (Uyyy…).
La aceleración centrípeta es, 2 N a =ω R 2 -5 3 2 rad m a = 7,27×10 ×6370×10 m = 0,034 s s N Ejemplo 3
Una partícula inicia su M.C.U.V. con una velocidad de 6,00 m/s. Si su aceleración tangencial es 4,00 m/s2 y
su radio de giro es 9,00 m, determinar su velocidad lineal y su velocidad angular luego de 12,0 segundos. Solución:
Las ecuaciones generales para las magnitudes angulares son,
2 o o 1 θ = θ + ω t + α t [1] 2 o ω = ω + α t [2]
2 2 o o ω = ω + 2 α θ - θ [3]Adicionalmente están las relaciones de las magnitudes angulares con las lineales,
s = θ R [4]
V = ω R [5]
T
15 2 N V a = [7] R
Empleando la ecuación [5] se calcula la velocidad angular inicial,
0 V ω = R o -1 0 6,00 m.s rad ω = = 0.67 9,00m s
Empleando la ecuación [6] se calcula la aceleración angular,
T a α = R -2 2 4,00 m.s rad α = = 0,44 9,00 m s
Reemplazando en la ecuación [2] se calcula la velocidad angular a los 12 s,
2
rad rad rad
ω = 0,67 + 0,44 x12 s = 5,98
s s s
Reemplazando en la ecuación [5] se obtiene la rapidez lineal a los 12 s,
rad m
V = 5,98 ×9,00 m = 53,8
s s
Ejemplo 4
Una cuerda va enrollada sobre la periferia de una rueda de 20 cm de radio. La rueda gira desde el reposo alrededor de un eje horizontal fijo bajo la acción de un bloque que está suspendido de la cuerda. Si este bloque desciende con aceleración constante igual a 2,00 m.s-2, calcular en radianes el ángulo girado por la
rueda en los primeros 3,00 s y el módulo de la aceleración total de un punto sobre la periferia en ese instante.
Solución:
En la Figura 10 se ilustra la escena física. También se ilustra el sistema de coordenadas elegido. El marco de referencia es la base de apoyo del eje de la rueda.
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Figura 10
En los puntos de la periferia de la rueda se cumplen las ecuaciones [4], [5] y [6] que relacionan las variables angulares con las lineales que,
s = θ R 1
V = ω R 2
T a = α R 3Para el bloque se cumplen las ecuaciones generales del MUV,
2 t 4 y
y V = 2t 5
2 y V = 4y 6Los puntos de la cuerda descienden también cumpliendo estas ecuaciones (4), (5) y (6). Adicionalmente si la cuerda no desliza sobre la rueda, los puntos de la periferia de la rueda tendrán su velocidad lineal igual la velocidad de descenso de los puntos de la cuerda (es decir del bloque) y su aceleración tangencial igual a la aceleración de descenso de los puntos de la cuerda (es decir del bloque).
Reemplazando en la ecuación [4] se obtiene la posición del bloque a los 3 s,
3,00 = 9,00 m
2y
esta corresponde a lo que ha descendido el bloque y a la longitud de la cuerda que se ha desenrollado y también a la longitud del arco de la periferia que la rueda ha recorrido. Reemplazando en (1),
17 S θ = R 9,00 m θ = =45 rad 0,20 m
que en vueltas de la rueda equivale a ,
1 vuelta
n = 45 rad× = 7,2 vueltas 6,28 rad
La aceleración tangencial de los puntos de la periferia es igual a la aceleración de descenso del bloque,
T 2
m a = 2,00
s
Para calcular la aceleración centrípeta de los puntos de la periferia en el instante t=3,00 s, es necesario calcular la rapidez lineal Vy del bloque en ese instante. Se puede emplear la ecuación [5],
y
m V = 2 3,00 = 6,00
s
Esta rapidez es igual a la rapidez de los puntos de la periferia de la rueda en ese instante. Por lo tanto se puede emplear la ecuación para la aceleración centrípeta,
2 N V a = R
-1
2 N 2 6,00 m.s m a = = 180 0,20 m sEs decir del orden de 18 veces la aceleración de la gravedad. La aceleración total es,
T 2 N 2 a a a 2 m a =180,01 sEs decir, en este ejemplo, prácticamente la aceleración tangencial es despreciable frente al valor de la aceleración centrípeta.
Tarea:
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Transmisión de movimiento
El movimiento de rotación de una rueda se puede transmitir a otra rueda mediante el uso de una correa o banda. El principio físico en el que se fundamenta esta transmisión es: “Las velocidades angulares de las
dos ruedas conectadas por una banda o correa de transmisión, son inversamente proporcionales a us
radios”.
Figura 11
En la Figura 11 se ilustra la situación física. Si la cuerda no desliza en las ruedas, la rapidez lineal de los puntos de la periferia de éstas se mueven con la misma rapidez lineal que los puntos de la cuerda. Con base en esto se cumple, 1 2 V = V Por lo tanto, 1 1 2 2 ω R = ω R 1 2 2 1 ω R = ω R
Es decir, las velocidades angulares de rotación de las ruedas son inversamente proporcionales a sus radios: la de menor radio debe rotar proporcionalmente con mayor velocidad angular.
Taller:
Movimiento circular 1. Resolver:
Un punto al borde de una gran rueda cuyo radio es de 3,00 m. Se mueve a través de un ángulo de 40,0°.
Encontrar la longitud del arco descrito por el punto.
Una volante parte del reposo y alcanza una velocidad rotacional final de 900 rpm en 4 s. Determinar la
aceleración angular y el desplazamiento angular después de 4,00 s.
Una pieza cilíndrica para almacenamiento de 6 in de diámetro gira en un torno a 800 rpm. ¿ Cuál es la
19 Un motor eléctrico gira a 600 rpm. ¿Cuál es la velocidad angular? ¿Cuál es el desplazamiento angular
después de 6,00 s?
Un satélite gira en una órbita circular alrededor de la Tierra, a una altitud de 500 km sobre el nivel del
mar, completando una vuelta respecto al centro de la tierra en 95,0 minutos. ¿Cuánto vale la aceleración gravitatoria en el lugar donde se encuentra el satélite?
Rp. 8,38 m.s-2
2. ¿Qué velocidad angular, expresada en radianes por segundo, ha de tener una centrifugadora, para que en un punto situado a 10,0 cm del eje de giro produzca una aceleración normal 100 veces mayor que la de la gravedad?
Rp. 98,99 rad.s-1
3. Un motor gira a 2000 rpm y disminuye su velocidad pasando a 1000 rpm en 5,00 segundos. Calcular: (a) La aceleración angular del motor; (b) El número de revoluciones efectuadas en ese tiempo; (c) la aceleración lineal de un punto de la periferia si el radio de giro es de 20,0 cm.
Rp. (a) -20,94 rad.s-2, (b) 125, (c) -4,19 m.s-2
4. Un automóvil cuyas ruedas tienen un radio de 30,0 cm, marcha a 50,0 km.h-1. En cierto momento su
conductor acelera hasta alcanzar una velocidad de 80,0 km.h-1, empleando en ello 20,0 s. Calcular:
(a) la aceleración angular de las ruedas, (b) el número de vueltas que dio en esos 20,0 s. Rp. (a) 1,39 rad.s-2, (b) 191,6
5. Una mujer que está de pie en una plataforma giratoria a 4,00 m del centro de rotación recorre una distancia de 100 m en 20,0 s. Si partió del reposo ¿Cuál es la aceleración angular de la plataforma? ¿Cuál es la velocidad angular después de 20,0 s?
6. Una partícula se mueve sobre una circunferencia de tal manera que el arco en cm girado en t s es 2
3
3 2t t
s . Si la aceleración total de la partícula vale 30 2 cm.s-2 para t 2s, ¿cuál es el radio de
la circunferencia? Rp.43,2 cm
Movimiento general en dos dimensiones
8. Una partícula se mueve en el plano XY de tal manera que sus coordenadas en m después de t s son: 2
x = 4t
220
¿Cuáles son las coordenadas de la partícula cuando su rapidez vale 4 5 m.s-1? ¿Cuál es la aceleración
tangencial de la partícula cuando tiene esa rapidez? Rp. x4m, y 1m; m.s-2 5 8 T a en t=1 s.
9. La posición de una partícula se define como:
ˆ
2
ˆr = 4 t - sent i + 2t - 3 j m
donde t se expresa en s y el argumento del seno está en radianes. Determinar la rapidez de la partícula y las componentes normal y tangencial de la aceleración en t=1 s.
Rp. 4,4 m.s-1; 1,39 m.s-2 y 5,04 m.s-2
10. Un cohete sigue una trayectoria tal que su aceleración se define como: -2
ˆ ˆ
a = 16 i + 4t j m.s
Si arranca desde el reposo en posición 0
r , determinar la rapidez del cohete y el radio de
curvatura de su trayectoria en el instante t=10,0 s. Rp. 256 m.s-1, 5 250 m.
