Electrotecnia. Cap 3. Análisis de Circuitos

(1)

Métodos de análisis

de circuitos

3

vamos a conocer...

1.

1. Necesidad de los métodos de análisisNecesidad de los métodos de análisis

de circuitos

2.

2. Leyes de KirchhoffLeyes de Kirchhoff

3.

3. Ecuaciones de las mallas o de MaxwellEcuaciones de las mallas o de Maxwell

4.

4. Teorema de superposiciónTeorema de superposición

5.

5. Teorema de ThéveninTeorema de Thévenin

PRÁCTICA

PRÁCTICAPROFESIONALPROFESIONAL

Kit

Kit para análisis de circuitos CCpara análisis de circuitos CC

MUNDO

MUNDO TÉCNICOTÉCNICO

Conexión serie-paralelo en paneles

fotovoltaicos de una central solar

y al finalizar esta unidad...

Analizarás circuitos básicos de CC que no son

simplificables mediante las transformaciones

serie-paralelo y

serie-paralelo y equivalencias estrella-triángulo.equivalencias estrella-triángulo.

Calcularás, montarás y verificarás circuitos

resistivos de CC mediante la aplicación de

métodos básicos y universales como son las

leyes de Kirchoff, las ecuaciones de Maxwell,

el teorema de superposición y el teorema de

Thévenin.

Seleccionarás el método más adecuado de

análisis de circuitos resistivos de CC.

(2)

situación de partida

Kirchhoff y Maxwell

Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) en 1845, siendo estudiante, amplió la teoría de Ohm y demostró las clásicas Leyes de las

corrientes y de las tensiones que llevan su nombre.

Por otro lado, James Clerk Maxwell (1831-1879) en 1873 dio forma matemática a las ideas de Faraday y presentó las ecuaciones

generales del electromagnetismo que en la actualidad permanecen inalterables, incluso después de la teoría de Einstein.

Si a toda observación o descubrimiento del fenómeno eléctrico cualitativo le ha sucedido la cuantificación con sus correspondientes

magnitudes y unidades; en este caso concreto de Kirchhoff y de Maxwell representan el máximo exponente de la expresión

matemá-tica y aplicación del análisis cuantitativo de circuitos eléctricos.

tica y aplicación del análisis cuantitativo de circuitos eléctricos.

CASO

PRÁCTICO

INICIAL

Luis López en la firma TV-Radio Electrónica como técnico de

mon-taje y diseño de kits electrónicos para sistemas de enseñanza. Las

taje y diseño de kits electrónicos para sistemas de enseñanza. Las

aplicaciones de estos kits deben ser polivalentes para las distintas

materias y módulos de

materias y módulos de electricidaelectricidad-electrónicd-electrónica, donde se a, donde se debendeben

aplicar los distintos métodos básicos del análisis de circuitos

resis-tivos de CC.

tivos de CC.

Se pretenden diseñar circuitos optimizados para 2-3 mallas, en

Se pretenden diseñar circuitos optimizados para 2-3 mallas, en laslas

que todas las intensidades den positivas y en los que los

genera-dores trabajen como tales aportando energía al circuito. De esta

dores trabajen como tales aportando energía al circuito. De esta

forma, el balance de energía resulta coherente y coinciden las

ener-gías aportadas por los generadores con las enerener-gías absorbidas por

gías aportadas por los generadores con las energías absorbidas por

los receptores. T

los receptores. También se diseñarán ciertos circuitos en ambién se diseñarán ciertos circuitos en los los queque

algún generador trabaja como receptor cuya energía se sume a la

de los receptores.

En el departamento donde trabaja Luis se estudian las distintas

alternativas de métodos de análisis, se monta y verifica cada

pro-totipo. Junto a cada kit se deben adjuntar los resistores que los

totipo. Junto a cada kit se deben adjuntar los resistores que los

constituyen, la placa de conexiones, los cálculos previos, el

esque-ma de montaje, las medidas efectuadas en un ensayo concreto y

ma de montaje, las medidas efectuadas en un ensayo concreto y

las conclusiones.

La fuente de alimentación o fuentes de fem necesarias no se

sumi-nistran con los kit y solo

nistran con los kit y solo se indican las características de las mismasse indican las características de las mismas

en cuanto a la tensión y la intensidad que deben suministrar.

Asi-mismo se dan instrucciones acerca de los tipos de cables y

mismo se dan instrucciones acerca de los tipos de cables y

cone-xiones más adecuados que se deben utilizar en cada caso.

xiones más adecuados que se deben utilizar en cada caso.

estudio del caso

Con el estudio de esta unidad encontrarás respuesta a las siguientes preguntas.

1.

1. ¿Por qué necesitamos utilizar los métodos de

¿Por qué necesitamos utilizar los métodos de

análi-

análi-sis de circuitos?

sis de circuitos?

2.

2. ¿Qué métodos básicos existen para el análisis de cir-

¿Qué métodos básicos existen para el análisis de

cir-cuitos resistivos de CC?

cuitos resistivos de CC?

3.

3. ¿Cómo se plantea un sistema de tres ecuaciones con

¿Cómo se plantea un sistema de tres ecuaciones con

tres incógnitas que sean linealmente

independien-tes y que cumplan las leyes de Kirchoff?

tes y que cumplan las leyes de Kirchoff?

4.

4. ¿Cómo se predice el comportamiento de los ele-

¿Cómo se predice el comportamiento de los

ele-mentos de un circuito?

mentos de un circuito?

5.

5. ¿Se obtienen los mismos resultados si se aplica in-

¿Se obtienen los mismos resultados si se aplica

in-distintamente un método u otro de análisis de

distintamente un método u otro de análisis de

cir-cuitos?

cuitos?

6.

6. ¿Estos métodos son generalizables en corriente alter-

¿Estos métodos son generalizables en corriente

alter-na con circuitos resistivos, inductivos y capacitivos?

na con circuitos resistivos, inductivos y capacitivos?

7.

7. ¿Verificar el comportamiento de un circuito exige

¿Verificar el comportamiento de un circuito exige

cálculos previos?

(3)

1. Necesidad de los métodos

de análisis de circuitos

Ya hemos estudiado el comportamiento de la resistencia en CC y también la simpli-ficación de circuitos mediante las tansformaciones serie-paralelo y las conversiones estrella-triángulo correspondientes. En esta unidad trataremos circuitos de naturale-za idéntica a los ya analinaturale-zados, pero cuya complejidad requiere el desarrollo de deter-minadas técnicas de análisis como un gran procedimiento cuya finalidad es triple: • Calcular (predecir el comportamiento de los elementos del circuito).

• Montar el circuito (realizar una actividad práctica con rigor en las conexiones). • Verificar el comportamiento de los componentes (realizar las lecturas y

com-probaciones con los aparatos de medida).

Sea el circuito formado por las resistencias R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, R₆, R₇, R₈y las fuentes de fem E₁, E₂y E₃todas ellas como se indica en la figura 3.1. Con los conocimientos que tenemos hasta ahora, podemos simplificar la conexión serie formada por R₆ y R₈ y transformar el triángulo resultante en su estrella equivalente. Ello nos permite aso-ciar elementos y trabajar con circuitos más simples, pero no resolvemos el circuito. Esto nos demuestra que, con el cálculo de la resistencia equivalente de circuitos serie-paralelo o con la transformación de una conexión triángulo en su equiva-lente en estrella, es imposible encontrar la solución. Por ello, necesitamos recu-rrir a herramientas o estrategias más potentes, como son las leyes de Kirchhoff, las ecuaciones de Maxwell, el teorema de superposición y de Thévenin, como métodos de análisis de circuitos.

Con el fin de facilitar su estudio, la aplicación de las distintas técnicas de análi-sis se realizarán en circuitos de CC solo con reanáli-sistencias. Sin embargo, estos mé-todos son generalizables para la resolución de circuitos con impedancias y gene-radores de CA donde el fundamento y aplicación son idénticos, pero la dificultad matemática los pone fuera de nuestro alcance.

2. Leyes de Kirchhoff

2.1. Primera ley: ley de las corrientes

Si observamos el tramo de circuito formado por los conductores que concurren en el nudo a de la figura 3.2, vemos que los electrones que entran por los conducto-res 1-2 salen por los conductoconducto-res 3-4-5.

Finalidad de los métodos de análi-sis de circuitos.

caso

práctico

inicial

Métodos generalizables en CC y en CA.

caso

práctico

inicial

Nudo

Punto de un circuito o red donde concurren más de dos conductores. En la figura 3.1, son nudos los pun-tosa, b, c, d ye. No son nudos los puntos AyBde cada uno de los generadores.

vocabulario

a _{Figura 3.1.} _{Nudos, ramas y}

ma-llas de un circuito. A A B B A B E ₁ R 3 E ₂ R ₂ a e d c b R ₁ R ₅ R ₄ R 7 R 8 R ₆ E ₃

a_{Figura 3.2.}_{Cinco intensidades que concurren en un nudo a.} – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – e– e– e– e–4 5 a

En este nudo no hay acumulación de cargas 1 I 1 I 1 +I2 =I3 +I4 +I5 I 1 I 2 I 5 I 4 I 3 I 3 I 2 2 3 a – – – I 4 I 5

(4)

Como los electrones no cambian de naturaleza, no se comprimen ni se acumulan en un punto. todos los electrones que entran en el nudo deben de salir en la mis-ma cantidad.

Este fenómeno físico se conoce como la ley de las corrientes de Kirchhoff, cuyo enunciado dice así:

La suma algebraica de todas las intensidades que llegan a un nudo es igual a la suma algebraica de todas la intensidades que se alejan del mismo nudo consi-deradas todas ellas en el mismo instante de tiempo.

La expresión matemática general que corresponde a este enunciado es: [1] I (entrantes) = I (salientes)

Si aplicamos la expresión general de la fórmula [1] al nudo a de la figura 3.2., te-nemos:

I₁+ I₂ = I₃+ I₄ + I₅

Pasando todas las intensidades al primer miembro, nos queda la expresión: I₁ + I₂– I₃– I₄– I₅ = 0

que corresponde al convenio de asignar el signo (+) a todas las intensidades que llegan y el signo (–) a todas las intensidades que se alejan del nudo.

2.2. Segunda ley: ley de las tensiones

Su enunciado es el siguiente:

En toda malla o circuito cerrado, la suma algebraica de todas las fem debe ser igual a la suma algebraica de la caída de tensión en todas las resistencias inter-caladas a lo largo de aquella malla o circuito cerrado.

La expresión matemática general que corresponde a este enunciado es: [2] E = R · I

Si pasamos todo al primer miembro, nos queda: [3] _{E –} _{R · I = 0}

Expresión que nos permite enunciar la ley de las tensiones de Kirchhoff como: La suma algebraica de las fem y tensiones a lo largo de una malla o circuito ce-rrado es cero. Aplicando esta expresión general de la ley de las tensiones a la ma-lla representada en la figura 3.3a, nos resulta una ecuación que coincide con el perfil de variación de la tensión dibujado en la figura 3.3b, es decir:

[4] +E₁– R₁I – E₂– R₂I – R₃I – R₄I + E₃– R₄I = 0

a_{Figura 3.3.}_{a) Malla ACEGA. b) Perfil de la caída de tensión en toda la malla.}

E ₁ = 20 V E ₂ = 4 V E ₃ = 4 V I = 1 A R 5 = 7Ω R ₄ = 2Ω R 3 = 2Ω R 2 = 7Ω R 1 = 4Ω B A a) b) H C D E 25 A B C D E F G H A 20 15 10 5 0 F G

Malla

Conjunto de ramas que forman un camino cerrado en un circuito y que no puede subdividirse en otros ni pasar dos veces por la misma rama.

Rama

Conjunto de todos los elementos de un circuito comprendido entre dos nudos consecutivos. En el cir-cuito de la figura 3.1 son ramas los tramos de circuitos:ab, ad, ae, bd, bc, dc, deyec.

vocabulario

Español-Inglés

Análisis de circuitos:circuit analysis.

Nudo:node.

Ley de las corrientes de

Kirchhoff’s:Kirchhoff’s current law (KCL).

Malla:mesh.

Rama:branch.

Ley de las tensiones de

Kirchhoff’s:Kirchhoff’s voltage law (KVL).

(5)

Esta ecuación [4] es la que resulta de recorrer la malla en sentido ABCDEFGHA y de aplicar el convenio de signos ya adoptado.

2.3. Planteamiento y resolución del problema

• Primer paso. Dibujamos el esquema del circuito mediante simbología norma-lizada, con todos sus componentes designados por las letras y subíndices que les caracterizan, incluido el valor de la magnitud de cada elemento (figura 3.5). Se asigna una letra a cada nudo. A veces, es necesario poner letras en puntos que no son nudos, por ejemplo, los puntos c, e y d de de la figura 3.5.

• Segundo paso. Representamos todas las intensidades de rama asignándoles un sentido cualquiera al azar (figura 3.5). Este sentido asignado al azar no debe cambiarse durante todas las operaciones que dure el proceso.

a_{Figura 3.5.}_{Enunciado del circuito completo con todos sus componentes y sentido previo, dado}

al azar, de las intensidades de ramaI

1, I 2e I 3.

• Tercer paso. Aplicamos la ley de las corrientes a tantos nudos (n) como tenga el circuito menos uno. Número de ecuaciones: m = (n–1).

En el caso de la figura 3.5:

m = (n – 1) = (2 – 1) = 1, ecuación que aplicamos, por ejemplo, al nudo a. 1) Nudo a: I₁ – I₂ – I₃ = 0

• Cuarto paso. Aplicamos la ley de las tensiones a tantas mallas como ramas (r) tenga el circuito menos (n – 1). Número de ecuaciones: q = r – (n – 1) = 2. Para plantear cada ecuación debemos establecer, previamente y al azar, el sentido en el que vamos a recorrer cada malla. En el caso de la figura 3.5.

2) Recorrido aebca: E₁– R₂I₁ – E₂ – R₅I₂ – R₁I₁ = 0 3) Recorrido adbea: – R₃I₃ – E₃ – R₄I₃+ R₅I₂ + E₂= 0

Se puede aplicar la primera ley al otro nudo o establecer recorridos contrarios siempre que se respete el convenio de signos. En este último caso, todos los tér-minos de las ecuaciones cambian de signo.

• Quinto paso. Una vez planteado el sistema de ecuaciones, 1), 2), 3) se resuel-ven, y se obtienen las intensidades pedidas en el enunciado.

I 1 I 3 I 2 R 2 = 15Ω R 5 = 30Ω R 4 = 10Ω R 1 = 10Ω E 1 = 6 V E 2 = 12 V E 3 = 8 V c e b d R 3 = 20Ω a

Convenio de signos (

I

)

Un aumento de tensión va prece-dido del signo (+). Este aumento de tensión se puede obtener de una fem o de una resistencia recorrida por una intensidad.

• Generador.Existe un aumento de potencial cuando recorremos el generador desde el borne negativo hasta el positivo. El aumento de tensión en un gene-rador es independiente del sen-tido que lleve la corriente a tra-vés del generador. Solo depende de la polaridad del generador y del sentido del recorrido del bor-ne bor-negativo al borbor-ne positivo (véase figura 3.4).

saber más

a _{Figura 3.4.} _{Tensión positiva}

[+U AB] en función de la polaridad y del recorrido. E E A A B B + + – – Polaridad Recorrido

(6)

La resolución del sistema de ecuaciones se puede hacer por los métodos de re-ducción, igualación o sustitución. En este caso lo resolvemos aplicando los ele-mentos del álgebra lineal con notación matricial, resolviendo los determinan-tes por la regla de Sarrus y calculando las incógnitas por el sistema de Cramer. • Sexto paso. Una vez resuelto el sistema de ecuaciones, todas las intensidades que nos den positivas (+) tienen el sentido real igual al que hemos supuesto en el enunciado del circuito. Las intensidades que nos den negativas (–) son de sentido contrario del asignado al azar.

• Séptimo paso. Conocidas las corrientes del circuito, podemos calcular las po-tencias en cada uno de los componentes y verificar que la potencia aportada por los generadores es igual a la consumida en el circuito (balance de poten-cias).

Los generadores que aportan corriente por su borne (+) trabajan como tales ge-neradores y si les entra la corriente por su borne (+), actúan como receptores. En este caso, la potencia se suma a la potencia consumida por los resistores.

Convenio de signos (II)

Resistencia.Se produce un aumen-to de potencial cuando recorremos la resistencia desde el borne (–) hacia el borne (+). El aumento de tensión en una resistencia es inde-pendiente de la polaridad de los generadores de fem. Solo depende del sentido de la corriente y del sen-tido en el que recorramos el circui-to (figuras 3.6 y 3.8).

• Resistencia. Obtenemos una tensión negativa cuando reco-rremos la resistencia desde el borne positivo hacia el borne negativo.

saber más

a Figura 3.6. _{Tensión positiva}

[+U

AB] en función del recorrido y

de la intensidad, I. + – Recorrido A B A B Corriente y polaridad I AB + IAB – R

a _{Figura 3.7.} _{Tensión negativa}

[–U

de la polaridad.

+ –

Recorrido

A E B

a Figura 3.8. _{Tensión negativa}

[–U

de la intensidad.

+ –

Recorrido

B I A

Una caída de tensión va precedida del signo (–). Esta disminución de tensión también se puede obtener de una fem o de una resistencia recorrida por una intensidad:

• Generador.Obtenemos una caí-da de tensión cuando la recorre-mos desde el borne positivo (+) hacia el negativo (–).

Análisis de un circuito aplicando las leyes de Kirchhoff

En el circuito de la figura 3.5 se pide:

a) Calcular el valor de las intensidades de rama.

b) Determinar el sentido real de las intensidades y deducir el comporta-miento de cada generador.

c) Efectuar el balance de potencias.

Solución:

a) Valor de las intensidades.

Seguimos el proceso indicado en el epígrafe anterior y nos resulta el

sis-tema, ya conocido, de tres ecuaciones 1), 2) y 3) con las tres incógnitas

I₁

,

I₂

,

I₃

.

1. Nudo a:

I₁

–

I₂

–

I₃

= 0

2. Recorrido

aebca: E ₁

–

R₂I₁

–

E ₂

–

R₅I₂

–

R₁I₁

= 0

3. Recorrido

adbea:

–

R₃I₃

–

E ₃

–

R₄I₃

+

R₅I₂

+

E ₂

= 0

Si sustituimos cada

E

y cada

R

por su valor, simplificamos y ordenamos,

nos queda:

1)

I₁

–

I₂

–

I₃

=

0 2)

–25

I₁

– 30

I₂

+ 0

=

6 3)

0 +

30

I₂

– 30

I₃

=

– 4

Determinante del sistema:

1 –25

0

∆

=

= 900 + 750 + 0 – 0 – 0 + 750 = 2.400

–1

–30

+30

–1

0 –30

EJEMPLO

(7)

Determinantes de los términos independientes:

Aplicando la regla de Cramer, calculamos el valor de la incógnitas

I₁

,

I₂

e

I₃

.

I₁

=

= –

= – 0,1000 A

I₂

=

= –

= – 0,1166 A

I₃

=

= +

= + 0,0166 A

Las intensidades

I₁

,

I₂

, por dar resultado negativo, son de sentido contrario

al que hemos indicado en la figura 3.5.

b) Comportamiento de los generadores.

E ₁

y

E ₃

se comportan como receptores, pues absorben corriente en vez

de suministrarla;

E ₂

se comporta como generador por suministrar al

cir-cuito exterior la corriente de valor

I₂

.

c) Balance de potencias.

En el balance de potencias se tiene que cumplir el principio de

conserva-ción de la energía, es decir, toda la potencia suministrada por los

genera-dores

E ₂

tiene que ser igual a la potencia que se consume en todas las

resistencias más la que se consume en las fuentes de fem

E ₁

y

E ₃

que

ac-túan como receptores.

Potencia total generada:

P _TG

=

E ₂

·

I₂

= 12 · 0,1166 = 1,399 W = 1,399 mW

Potencia total consumida:

P _TR

= (

R₁+ R₂

)

I₁2

₊

_R 5I22

+ (

R3+ R4

)

I32

+

E 1I1

+

E 3I3

= 1,399 W = 1.399 mW

40

2.400

₃ 

280

2.400

₂ 

240

2.400

₁ 

0

6 –4

∆ 1

=

= 0 – 180 + 0 + 120 + 0 – 180 = –240

–1

–30

+30

–1

0 –30

1 –25

0

∆ 2

=

= – 180 – 100 + 0 – 0 – 0 – 0 = –280

0 +6

–4

–1

0 –30

1 –25

0

∆ 3

=

120 +

0 +

0 – 0 – 180 +

100 =

40 –1

–30

+30

0 +6

–4

La resolución de los sistemas de ecuaciones se puede hacer por los métodos de reducción, igualación o sustitución.

No obstante, nosotros resolvemos y proponemos aplicar los elemen-tos de álgebra lineal con notación matricial, resolviendo los determi-nantes por la regla de Sarrus y cal-culando las incógnitas por el siste-ma Cramer.

(8)

3. Ecuaciones de las mallas

o de Maxwell

3.1. Fundamento

Las ecuaciones que estableció Maxwell están basadas en la segunda ley de Kirch-hoff. En la aplicación de esta teoría de análisis, las incógnitas del circuito son las intensidades de malla, lo que se traduce en una simplificación en cuanto al nú-mero de incógnitas del circuito.

La ley de las tensiones de Kirchhoff se transforma en ecuaciones de Maxwell me-diante la expresión general:

[5] E (malla) –R · I (malla) + R · I (contracorriente) = 0

Los criterios de convenio de signos son los mismos que los aplicados en las leyes de Kirchhoff, pero aplicados para cada ecuación a una malla y a las ramas conti-guas (contracorrientes) a dicha malla.

Por ejemplo, para el circuito de la figura 3.9:

1) Malla y recorrido aebca: E₁– E₂ – I’ (R₂+ R₅+ R₁) + I’’ R₅= 0 2) Malla y recorrido adbea: E₂– E₃– I’’ (R₅ + R₃ + R₄) + I’ R₅= 0

Se puede aplicar a esas mismas mallas recorridos opuestos, siempre que se respe-te el convenio de signos, pero, en ese caso, todos los términos de las ecuaciones cambian de signo.

3.2. Planteamiento y proceso

El planteamiento del problema y aplicación del método de las ecuaciones de Max-well requiere los mismos pasos establecidos en las ecuaciones de Kirchhoff (ex-cepto la aplicación de la primera ley de Kirchhoff a n – 1 nudos), teniendo en cuenta que aquí trabajamos con intensidades de malla (nos ahorramos n – 1 ecua-ciones) y en función de las cuales calculamos las intensidades de rama.

aFigura 3.9._{Circuito de aplicación de las ecuaciones de Maxwell.} I ' I 1 I 3 I 2 R 2 = 15Ω R 5 = 30Ω R 4 = 10Ω R 1 = 10Ω E 1 = 6 V E 2 = 12 V E 3 = 8 V c e b d R 3 = 20Ω a I ''

Intensidades de malla

Corriente ficiticia que suponemos recorre dicha malla y cumple dos condiciones: a) Es idéntica a la corriente real de las ramas no comu-nes con otra malla. En la figura 3.10 las corrientes de mallaI’ eI’’son idénticas a las corrientes de ramaI₁

eI₃, respectivamente;b)Se compo-ne algebraicamente (vectorialmen-te en CA) con las corrien(vectorialmen-tes de las ramas comunes con otras mallas (contracorrientes) para formar la corriente real de dichas ramas. Así, en la figura 3.9, la corriente de rama

I₂, se expresa en función de las corrientes de mallaI’ eI’’ mediante la ecuación:I₂=I’ –I’’.

vocabulario

a Figura 3.10. _{Intensidades de}

rama I₁, I₂e I₃ y de malla I’ e I’’.

E ₁ E ₂ R 3 R ₄ a b R ₁ R ₅ I 2 R ₂ I 3 I 1 I ' I ''

Español-Inglés

Intensidad de rama:branch current.

Ecuaciones de las mallas:mesh equations.

Intensidad de malla:mesh current.

(9)

En el caso de la figura 3.9, una vez calculadas las intensidades de malla I’ e I’’, las intensidades de rama I₁, I₂ e I₃valen:

• I₁ = I’ Por coincidir la intensidad de malla con la de rama no común con otra malla.

• I₂ = I’ – I’’ Las intensidades de malla I’ e I’’ son opuestas e I₂ del mismo senti-do que I’.

• I₃ = I’’ Por coincidir, también, estas intensidades de rama y de malla.

Análisis de un circuito aplicando las ecuaciones de Maxwell

Aplicando las ecuaciones de Maxwell, resolver el problema planteado en la figura 3.5 y comprobar que obtenemos los mismos resultados que en el análisis de Kirchhoff.

Solución:

Lo primero que hacemos es identificar las incógnitas del circuito y después

plantear y resolver,

r

– (

n

– 1) = 2, ecuaciones. Usando la figura 3.9:

1. Malla y recorrido

aebca: E ₁

–

E ₂

–

I’ (R₂

+

R₅

+

R₁

) +

I’’R₅

= 0

2. Malla y recorrido

adbea: E ₂

–

E ₃

–

I’’ (R₅

+

R₃

+

R₄

) +

I’R₅

= 0

Sustituyendo los valores de las

R

y de las

E,

operando y ordenando:

1) – 55

I’

+ 30

I’’

= 6

2) + 30

I’

– 60

I’’

= – 4

Determinante del sistema:

Determinante de los términos independientes:

Valor de las intensidades de malla:

I

’ =

=

= – 0,100 A

I

’’ =

=

= + 0,0166 A

Valor de las intensidades de rama:

I₁

=

I’

= – 0,1000 A

I₂

=

I’ – I’’

= – 0,1000 – (+ 0,0166) = –0,1166 A

I₃

=

I’’

= + 0,0166 A

Como vemos, obtenemos los mismos resultados que resolviendo por Kirchhoff.

A partir de aquí procederíamos exactamente igual para hacer el balance de

potencias.

+ 40

2.400

₂ 

–240

2.400

₁ 

+6

–4

∆ 1

=

–

360 +

120 =

–240

+30

–60

–55

+30

∆ 2

=

+

220 –

180 =

40 +6

–4

–55

+30

∆

=

= 3.300 – 900 = 2.400

+30

–60

EJEMPLO

Aplicando las ecuaciones de Max-well, optimizamos el número de ecuaciones.

(10)

4. Teorema de superposición

La aplicación práctica de este teorema consiste en analizar tantos circuitos como generadores existan, actuando en cada caso un solo generador, para lo cual es ne-cesario cortocircuitar los restantes. En cada circuito sencillo se asigna el sentido real a todas las intensidades que produce la fem, para después superponer alge-braicamente todas las intensidades.

Este método exige conocer bien las transformaciones serie-paralelo y conversiones estrella-triángulo equivalentes y aplicarlo sistemáticamente con rigor y claridad.

vocabulario

Análisis de un circuito aplicando el teorema de superposición

Aplicando el teorema de superposición, resolver el mismo problema plan-teado en la figura 3.9 y comprobar que obtenemos idénticos resultados con las aportaciones simultáneas de cada fuente de fem. Transformar la figura 3.5 que tiene tres fuentes de fem, en otros tres circuitos como los de las figuras 3.11, 3.12 y 3.13, en los que solo existe una fem.

Solución:

Aportaciones de la fuente

E ₁

R_ab

=

15

 R_T

=

R₁

+

R₂

+

R_ab

= 10 + 15 + 15 = 40

 I’ ₁

=

= 0,15 A

I’ ₂

=

I’ ₁

= 0,15

= 0,075 A

I’ ₃

=

I₁

= 0,15

30 = 0,075 A

20 + 10 + 30

R₅ R₃

+

R₄

+

R₅

30 20 + 10 + 30

R₃

+

R₄ R₃

+

R₄

+

R₅

6

40

E ₁ R_T

(20 + 10) · 30

20 + 10 + 30

(

R₃

+

R₄

) ·

R₅ R₃

+

R₄

+

R₅

EJEMPLO

a_{Figura 3.11.}_{Superposición. Aportaciones de}E

1. I 2 ' I 1' R 2 = 15Ω R 1 = 10Ω R 5 = 30Ω R 4 = 10Ω E 1 = 6 V E 3 E 2 c e d R 3 = 20Ω a b I 3 '

Circuito bilateral

Aquel que tiene las mismas carac-terísticas en ambas direcciones.

Circuito lineal

Aquel cuyos parámetros son cons-tantes.

Español-Inglés

Teorema de superposición:

superposition theorem.

Cortocircuitar: short-circuited.

Circuito lineal:linear circuit.

Circuito bilateral:bilateral circuit.

vocabulario

Teorema de superposición

Dado un circuito bilateral con ele-mentos lineales únicamente y con más de un generador, la corriente o tensión en cualquier rama o ele-mento es igual a la suma algebrai-ca de los efectos producidos por cada generador considerando indi-vidualmente, cuando el resto de los generadores se reemplazan por sus resistencias internas.

(11)

Aportaciones de la fuente

E ₂ R_ab

=

= 13,63

 R_T

=

R₅

+

R_ab

= 30 + 13,63 = 43,63

 I’ ’ ₂

=

0,275

A

I’ ’ ₁

=

I’’ ₂

· =

=

0,15

A

I’’ ₃

=

I’’ ₂

· =

= 0,125 A

Aportaciones de la fuente

E ₃

R_ab

=

= 13,63

 R_T

=

R_ab

+

R₃

+

R₄

= 13,63 + 20 + 10 =

= 43,63

 I’ ’’ ₃

=

= 0,1834 A

I’’’ ₂

=

I’’’ ₃

· = 0,1834 ·

= 0,0834 A

I’’’ ₁

=

I’’’ ₃

· = 0,1834 ·

= 0,1000 A

Intensidades de rama

I₁

=

I₁

–

I’’ ₁

–

I’’’ ₁

= 0,15 – 0,15 – 0,1000 = – 0,1000 A

I₂

=

I’ ₂

–

I’’ ₂

+

I’’’ ₂

= 0,075 – 0,275 + 0,0834 = – 0,1166 A

I₃

=

I’ ₃

+

I’’ ₃

–

I’’’ ₃

= 0,075 + 0,125 – 0,1834 = + 0,01664 A

Estos valores coinciden exactamente con los calculados por Kirchhoff y por

Maxwell. Conocidas las aportaciones en intensidad, podemos calcular las

ten-siones y comprobar que también se cumple el teorema de superposición.

30 10 + 15 + 30

R₅ R₁

+

R₂

+

R₅

10 + 15

10 + 15 + 30

R₁

+

R₂ R₁

+

R₂

+

R₅

8 43,63

E ₃ R_T

(10 + 15) 30

10 + 15 + 30

(

R₁

+

R₂

) ·

R₅ R₁

+

R₂

+

R₅

0,275 · (15 + 10)

20 + 10 + 15 +10

R₁

+

R₂

(

R₃

+

R₄

) + (

R₁

+

R₂

)

0,275 · (20 +10)

20 + 10 + 15 + 10

R₃

+

R₄

(

R₃

+

R₄

) + (

R₁

+

R₂

)

12 43,63

E ₂ R_T

(10 + 20) · (10 + 15)

10 + 20 + 10 + 15

(

R₃

+

R₄

) · (

R₁

+

R₂

)

R₃

+

R₄

+

R₁

+

R₂

a Figura 3.12. _{Superposición. Aportaciones}

de E 2. a b R 1 = 10Ω R 2 = 15Ω R 3 = 20Ω R 5 = 30Ω R 4 = 10Ω E 2 = 12 V E 1 E 3 e d c I 1 '' I 3 '' I 2 ''

a Figura 3.13. _{Superposición. Aportaciones}

de E 3. a b R 1 = 10Ω R 2 = 15Ω R 3 = 20Ω R 5 = 30Ω R 4 = 10Ω E 3 = 8 V E 1 E 2 e d c I 1 ''' I 3 ''' I 2 '''

Generador equivalente

de Thévenin

Entre dos puntos de un circuito lineal bilateral tiene por fem la ten-sión entre estos dos puntos y resis-tencia interna, la resisresis-tencia de todo el circuito entre esos dos pun-tos si cortocircuitamos todos los generadores.

(12)

5. Teorema de Thévenin

El teorema de Thévenin forma parte de los grandes teoremas para el estudio de circuitos y redes lineales de CC y CA. Su enunciado dice así:

Si una resistencia (R

TH) se conecta en dos puntos ( AB) de un circuito lineal

bilateral, la intensidad que por ella circula (I

TH) es igual al cociente de dividir

el valor de la tensión (U

0) existente entre los dos puntos, antes de conectar

(R

TH), por la suma de la resistencia que presenta el circuito entre esos dos

pun-tos ( AB_{) más la resistencia (}R

TH) conectada (figura 3.14).

[6] I_TH= =

U₀:tensión entre los dos puntos (AB) antes de conectar R_TH

R₀:resistencia del circuito entre los dos puntos (AB) + la resistencia R_TH U₀

R_{AB (antes)} + R_TH U₀

R₀

caso

práctico

inicial

Teoremas para el estudio de circui-tos y redes lineales en CC y en CA.

Circuito bilateral

Aquel que tiene las mismas carac-terísticas en ambas direcciones. La corriente es del mismo valor para polaridades opuestas de la fuente de tensión. Por ejemplo, una resis-tencia, una línea de transporte.

Circuito lineal

Aquel cuyos parámetros son cons-tantes.

saber más

Resolución de un circuito

aplicando Thévenin

Calcular el valor de la intensidad

I

TH cuando conectemos la RTH a

los bornes (AB) del esquema de la figura 3.15.

Solución:

Valor de

U ₀

. El circuito de la

figu-ra 3.15 antes de conectar

R_TH

es

el ya conocido de los epígrafes

anteriores. El valor de

U ₀

es la

tensión que existe en bornes de

R₃

, es decir:

U ₀

=

U _R3

=

R₃

·

I₃

= 20 · 0,0166 = 0,332 V

Valor de

R_AB

(antes). El valor de la resistencia entre los punto s (AB) antes de

co-nectar la

R_TH

se calcula cortocircuitando todas las fuentes de fem.

R_AB

=

+

R₄

=

+ 10 = 23,6363



R_{AB (antes)}

=

10,83



I_TH

=

= 0,0108 A

Podemos comprobar aplicando las ecuaciones de Maxwell, simplificando,

pre-viamente, la conexión en paralelo que forman

R_TH

y

R₃

(

R_TH

/

R₃

) y obteniendo

el valor de la intensidad de malla

I’’

= 0,0216 A. Después hacemos un

repar-to de corrientes inversamente proporcional a

R_TH

y a

R₃

con lo que resulta el

mismo valor de 0,0108 A para

I_TH

.

0,332

10,833 + 20

U ₀ R_{AB (antes)}

+

R_TH U ₀ R₀

23,63 · 20

23,63 + 20

R_AB

·

R₃ R_AB

+

R₃

(10 + 15) · 30

10 + 15 + 30

(

R₁

+

R₂

) ·

R₅ R₁

+

R₂

+

R₅

EJEMPLO

a_{Figura 3.15.}_{Ejercicio de aplicación del}

teore-ma de Thévenin. a b R 1 = 10Ω R ₂ = 15Ω R ₃ = 20Ω R _TH = 20Ω R ₅ = 30Ω R 4 = 10Ω E ₃ = 8 V E ₂ = 12 V E ₁ = 6 V e d B A

c I'' a_{Figura 3.14.}_{Concepto del}

teore-ma de Thévenin. R TH I TH R TH U 0 R 0 R 0 U 0 Carga externa Circuito lineal bilateral con varias fem

B' B A' B' A' A B A

Español-Inglés

Teorema de Thévenin:Thévenin’s theorem.

(13)

1. Calcular las intensidades de rama de cada uno de los siguientes circuitos. Puedes primero tratar de

simpli-ficar y después aplicar Maxwell y comprobar por superposición. Aplicar Thévenin para calcualr

I_TH

en

cir-cuitos g y h.

ACTIVIDADES

FINALES

a_{Figura 3.16.} b c a d e R 1 =R 2 =R 3 =R 4 =R 5 = 10Ω a) R 1 R 2 R 4 R 5 R 3 E 2 = 10 V E 1 = 8 V I 2 I 3 I 1 aFigura 3.18. c d e a b R 1 =R 2 =R 3 =R 4 = 4,7Ω c) R 1 R 2 R 4 R 3 E 1 = 2 V E 2 = 4 V E 3 = 6 V I 1 I2 I3 a_{Figura 3.20.} I 1 a b R 1 =R 2 =R 3 =R 4 = 1Ω e) R 1 R 2 R 4 R 3 E 1 = 4 V I 2 I3 a_{Figura 3.22.} b c d e g) R 1 = 10Ω R 2 = 10Ω R 4 = 10Ω R 3 = 10Ω _R 5 = 1 0 Ω R T H = 3 0 Ω E 2 = 10 V E 1 = 8 V I 2 I 3 ITH I 1 a_{Figura 3.17.} E 1 = 6 V E 2 = 6 V b c a R 3 = 12Ω b) R 3 r 2 = 0,2Ω r 1 = 0,5Ω I 3 I 1 I2 aFigura 3.19. R 1 R 2 R 3 E 1 = 24 V R E 2 = 6 V 4 c d a f b e R 1 =R 2 =R 3 =R 4 =R 5 = 100Ω d) I 2 I 5 I 1 I3 I4 I' I'' R 5 I''' a_{Figura 3.21.} E 1 = 15 V E 2 = 10 V E 3 = 5 V b a c R 1 =R 2 =R 3 =R 4 =R 5 = 2Ω f) R 4 R 5 I 1 I 2 I3 R 1 R 3 R 2 a_{Figura 3.23.} I' I'' b a c d e h) R 2 = 10Ω R 1 = 10Ω R 3 = 10Ω R 4 = 20Ω _R 5 = 2 0 Ω R T H = 2 0 Ω E 2 = 6 V E 1 = 6 V I TH

(14)

entra en internet

2. Entra en internet e investiga sobre la biografía de Gustav Robert Kirchhoff y de James Clark Maxwell así

como programas para la resolución de circuitos.

aFigura 3.24._{Calcular Thévenin entre A y B.}

b A B a _c i) R 1 = 3Ω R 2 = 10Ω R 4 = 36Ω R 3 = 36Ω E 1 = 2 V

a_{Figura 3.26.}_{¿Cómo se simplifica?}

a R g b c d k) R 1 R 3 R 2 R 4 I 1 I3 I 2 I I 4 I g E = 12 V

a_{Figura 3.28.}_{Compara el número de ecuaciones por}

Max-well y Kirchhoff. I cb I bc I 2 I 3 I ac c b d a m) R 1 R 3 R 2 R bc R ab R ac E = 30 V I

aFigura 3.25. _{Calcular Thévenin entre A y B.}

R 1 = 120Ω R 2 = 30Ω R 3 = 120Ω E 1 = 100 V E 2 = 30 V R 4 = 120Ω R 5 = 120Ω e d a b c j) A B a_{Figura 3.27.} _{Calcula I} 1, I2e I3. a b c l) R 1 = 36Ω R 2 = 18Ω R 3 = 12Ω I 1 I 2 I 3 I = 2 A E 1 = 8 V r 1 = 0,3 V E 2 = 5,4 V r 2 = 0,4 V

a_{Figura 3.29.}_{Compara el número de ecuaciones por}

Max-well y Kirchhoff. R 4 R 3 R 5 E = 12 V E 4 = 15 V E 3 = 10 V R 2 E 3 = 8 V n) a b d a I 3 I 4 I 5 I 1 I 2

(15)

PRÁCTICA

PROFESIONAL

HERRAMIENTAS

• Alicates y destornilladores

MATERIAL

• Los indicados en el apartado 4 de esta práctica.

Kit para análisis de circuitos CC

OBJETIVO

Establecer procedimientos para diseño de circuitos CC. Diseñar un kit para análisis

de circuitos de CC con dos mallas, dos fuentes de fem de tensión no superior a 20 V

y resistores profesionales con valores normalizados de 100, 120, 180, 220 y 330



.

Adjuntar cálculos, esquema, lecturas, recursos y conclusiones.

PRECAUCIONES

• Ajustar las fuentes de alimentación para la tensión e intensidad previstas.

• Cuidar la conexión correcta de polaridades y elección correcta del alcance de

escala de aparatos.

PROCEDIMIENTO

1. Cálculos previos

• Aplicamos ecuaciones de Maxwell.

1) Recorrido

cabc:

+

E ₁

–

I’

(

R₁

+

R₂

+

R₃

) +

R₃I’’

= 0

2) Recorrido

bdcb:

–

E ₂

+

I’R₃

–

I’’

(

R₃

+

R₄

+

R₅

) = 0

1) – 440

I’’

+ 220

I’’

= –15

2) 220

I’

– 880

I’’

= +20

–15

20

∆ 1

=

= 13.200 – 4.400 = 8.800

220 –880

–440

220

∆

=

= + 387.200 – 48.400 = 338.800

220 –880

–440

220

∆ 2

=

I_í

=

25,97

mA

= – 8.800 + 3.300 = – 5.500

∆ 1 ∆

–15

20

8.800

338.800

I_’’

=

–16,23

mA

∆ 2 ∆

–5.500

338.800

I' E 1 = 15 V E 2 = 20 V R 1 = 120Ω R 4 = 330Ω R 2 = 100Ω R 5 = 330Ω R 3 = 2 2 0 Ω I 1 I 2 c b d a I 3 I''

a_{Figura 3.30.}_{Esquema de partida.}

I₁

=

I’

= 25,97 mA

I₂

=

I’ – I’’

= 25,97 – (– 16,23) = 42,2 mA

(16)

• Comprobamos por superposición.

R_T

=

R₁

+

R₂

+

R_ab R_T

= 385

 I’ ₁

=

= 38,96 mA

I’ ₃

=

I’ ₁

· = 38,96

=

9,74

mA

I’ ₂

=

I’ ₁

· = 38,96

= 29,22 mA

R_T

=

R_ab

+

R₄

+

R₅ R_T

= 110 + 330 + 330 = 770



660

880

R₄

+

R₅ R₃

+

R₄

+

R₅

220

880

R₃ R₃

+

R₄

+

R₅

15

385

E ₁ R_T E 1 = 15 V R 1 = 120Ω R 4 = 330Ω R 2 = 100Ω R 5 = 330Ω R 3 = 2 2 0 Ω b a c I 2' I' 3 I 1'

aFigura 3.31._{Aportaciones de}E

1. E 2 = 20 V R 1 = 120Ω R 4 = 330Ω R 2 = 100Ω R 5 = 330Ω R 3 = 2 2 0 Ω b a I 2'' I 3 '' I 1 ''

a_{Figura 3.32.}_{Aportaciones de}E

(17)

PRÁCTICA

PROFESIONAL

(cont.)

I’’ ₃

=

· = 25,97 mA

I’’ ₁

=

I’’ ₃

· = 25,97

=

13 mA

I’’ ₂

=

I’’ ₃

· = 25,97

=

13 mA

Valores que coinciden con los calculados por Maxwell.

Balance de potencias:

P ₁

=

R₁

·

I2 1

= 120 · 0,0259

2

= 80,49 mW

P ₂

=

R₂

·

I2 1

= 100 · 0,0259

2

= 67,08 mW

P ₃

=

R₃

·

I2 2

= 220 · 0,0322

2

= 391,78 mW

P ₄

=

R₄

·

I2 3

= 330 · 0,01623

2

= 86,69 mW

P ₅

=

R₅

·

I2 3

= 330 · 0,01623

2

= 86,69 mW

P _TR

=

n 1

·

P n

= 67,08 + 80,49 + 391,78 + 86,69 = + 86,69 = 712,7 mW

P _TR

=

P _TS

=

E ₁I₁

+

E ₂

(–

I₃

) = 15 · 25,96 + 20 · 16,23 = 714 mW

2. Esquema de montaje

220

440

R₁

+

R₂ R₁

+

R₂

+

R₃

220

440

R₃ R₁

+

R₂

+

R₃

20

770

E ₂ R_T E 2 = 20 V E 1 = 15 V R 1 = 120Ω R 4 = 330Ω R 2 = 100Ω R 5 = 330Ω R 3 = 2 2 0 Ω b a A + + – + – – + – + – B C D I 2 V 2 I 1 I 3 V 1 A 2 A 1 A3

aFigura 3.33._{Sentidos y polaridades reales.}

I₁

=

I’ ₁– I’ ’ ₁

= 38,96 – 13 = 25,96 mA

I₂

=

I’ ₂– I’ ’ ₂

= 29,22 +13 = 42,22 mA

(18)

3. Lecturas efectuadas.

4. Recursos

5. Conclusiones

Los cálculos previos nos predicen un idéntico comportamiento del circuito, tanto si lo calculamos por Maxwell como

por superposición. Cálculos previos que se corresponden con la verificación de lecturas efectuadas. Los dos

gene-radores trabajan como genegene-radores.

V ₁ V ₂ A₁ A₂ A₃

15 V 20 V 26 mA 42 mA 16 mA

Marca en esquema Aparato

E ₁ Fuente alimentación regulable 30 V-2 A

E ₂ Fuente alimentación regulable 30 V-2 A

V ₁ _{Voltímetro CLU 0-15-30 V, clase I}

V ₂ Voltímetro CLU 0-15-30 V, clase I

A₁ _{Miliamperímetro CLU 0-100-500 mA}

A₂ Miliamperímetro CLU 0-100-500 mA

A₃ Miliamperímetro CLU 0-100-500 mA

• Placa Board, conexional 4 mm

• Resistores de valores indicados, tolerancia 5% y potencia 1/8 W menos laR₃que es de 0,5 W

(19)

Partimos del supuesto de una central solar, con paneles fotovoltaicos, con una potencia inst alada de 44,625 MW

me-diante 2.500 seguidores con 6

×

17 paneles cada uno del tipo BP 4175 como el que se indica en la siguiente figura,

va-mos a contestar a las siguientes preguntas para hacer las previsiones del anteproyecto de la citada central solar.

a) Dimensiones mínimas de cada seguidor y disposición de los paneles solares.

b) Superficie rectangular mínima del terreno llano en el supuesto de que cada seguidor lo instalamos en un

cuadra-do de 20

×

20 m para que pueda girar libremente.

c) Conexión serie-paralelo a efectuar en los paneles de cada seguidor para una tensión nominal de 24 V en CC.

Como para cada seguidor disponemos de un cuadrado de 20

×

20 m, la superficie mínimo del terreno son 100

hec-táreas, es decir:

MUNDO

TÉCNICO

Conexión serie-paralelo en paneles fotovoltaicos

de una central solar

60

1 5 9 3

790 Vista

lateral

Cara frontal

Diagrama del módulo

aFigura 3.34._{Panel BP4175.} 50 x 20 = 1000 m 50 FILAS X 50 COLUMNAS DE 20 X 20 m cada una (Un seguidor/ cuadro) 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5 0 x 2 0 = 1 0 0 0 m 6 x 1 5 9 3 = 9 5 5 8 m m 17 x 790 = 13430 mm

a) Dimensiones de cada seguidor (9,558 x 13,430 = 128,36 m2₎

c) Conexión serie-paralelo en cada seguidor.

b)Superficie del terreno (1000 x 1000 = 106_m2_{= 100 Ha)} E i E 72 I_máx= 102 x 4,8 = 489,6 A 1 I = 4,8 A 24 V cc (nominal) 102 ramas en paralelo 7 2 e l e m e n t o s e n s e r i e / p a n e l U máx= 35,4 V BATERÍA + CONVERTIDOR +REGULADOR CA Seguidor con 6 x 17 = 102 paneles (módulos fotovoltaicos del 175 W)

a_{Figura 3.36.}_{Superficie del terreno para 2.500 seguidores y esquema eléctrico de cada seguidor.} 6.0

Curva I-V del BP 4175N

C o r r i e n t e ( A ) Tensión (V) 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 0 10 20 30 40 50 60 t= 0 °C t= 25 °C t= 50 °C t= 75 °C

aFigura 3.35._{Curvas características.}

Características Potencia nominal 175 W Tolerancia –3/+5% Eficiencia 13,9% Voltaje nominal 24 V Potencia máxima (P _máx) 175 W

Tensión a la máxima potencia (V _mpp) 35,4 V Corriente a la máxima potencia (I_mpp) 4,8 A Corriente de cortocircuito (I_sc) 5,45 A Tensión de circuito abierto (V _oc) 43,6 V

(20)

EN

RESUMEN

1. La intensidad que circula entre dos nudos conse-cutivos se llama intensidad de:

a) Rama.

b) Malla.

c) Nudo.

2. La primera ley de Kirchhoff se aplica tantas veces como:

a)

n

– 1

b)

r –

(

n

– 1)

c)

r – n

3. La segunda ley de Kirchhoff se aplica tantas veces como:

a)

n

– 1

b)

r –

(

n

– 1)

c)

r – n

4. Al aplicar las ecuaciones de Maxwell nos ahorra en comparación con Kirchhoff:

a)

r –

(

n

– 1) ecuaciones.

b) Ninguna ecuación.

c) (

n

– 1) ecuaciones.

5. En el convenio de signos adoptado, un aumento de potencial va precedido del signo:

a) Más.

b) Menos.

c) Ambos.

6. En el convenio de signos adoptado, una disminu-ción de potencial va precedido del signo:

a) Más.

b) Menos.

c) Ambos.

7. El teorema de superposición se cumple porque se basa en sumar los efectos que aportan al circuito:

a) Todos los receptores.

b) Todas las ramas superpuestas.

c) Todos los generadores.

8. Por potencia generada se entiende la que apor-tan los generadores cuando la corriente :