Ecuación de Oscilación Del Generador y Métodos de Solución Listo2

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE COTOPAXI

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE COTOPAXI

UNIDAD ACADÉMICA DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA Y APLICADAS

UNIDAD ACADÉMICA DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA Y APLICADAS

CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRICA

CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRICA

ALUMNOS:

ALUMNOS:

Bassantes Darwin Bassantes Darwin Chuquitárco Luis Edgar  Chuquitárco Luis Edgar 

Lema Luis Lema Luis Sarabia Byron Sarabia Byron

TEMA:

TEMA:

DOCENTE:

DOCENTE:

Ing. Proaño Xaier  Ing. Proaño Xaier 

ACADÈMICO

ACADÈMICO

ABRIL

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1.- OBETIVOS

1.1.- O!"#$%&'( G#)#*+,

2.2.- O!"#$%&' E(#%/%'

• Determinar !os "rinci"a!es m#todos de ecuaciones de osci!aci$n de!

generador% mediante consu!tas a!ternatias a! tema% que "ermitirá re&or'ar !os aná!isis de !os e(ercicios.

•  )na!i'ar !os m#todos de so!uci$n de! generador mediante m#todos de

so!uci$n en base a inestigaci$n re&erencia! que "ermitan determinar  sus di&erentes a"!icaciones.

• De&inir !as "rinci"a!es caracter*sticas de !os m#todos de so!uci$n%

mediante inestigaci$n re&erencia!% "ermitiendo me(orar !os conocimientos de so!uci$n de ecuaciones.

• Describir !as &$rmu!as de sistemas de ecuaciones y m#todos de so!uci$n

mediante inestigaci$n re&erencia!% e+istiendo una me(or corre!aci$n en reso!uci$n de e(ercicios.

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ECUACIN DE OSCILACIN DEL GENERADOR Y MÉTODOS DE

SOLUCIN.

RESUMEN EECUTIVO:

La inestigaci$n se rea!i'$ sobre !as ecuaciones de osci!aci$n de! generador y sus m#todos de so!uci$n !os cua!es nos ayudaran a identi&icar e! com"ortamiento de cada uno de !os generadores en aná!isis. Se deta!!ara sobre !a ecuaci$n de osci!aci$n en generadores ana!i'an e! com"ortamiento e! rotor y otros com"onentes con !os diersos m#todos que e+isten "ara identi&icar  cada uno de !os "arámetros "ara de esta manera identi&icar si su &uncionamiento.

Los m#todos de so!uci$n de !as ecuaciones de osci!aci$n en generadores son,

ECUACIN DE OSCILACIN DEL GENERADOR.

E! com"ortamiento de cada generador se describe mediante una ecuaci$n di&erencia!% denominada ecuaci$n de osci!aci$n.

E! aná!isis de estabi!idad transitoria en un sistema e!#ctrico de "otencia se rea!i'a mediante !a so!uci$n de !as ecuaciones de osci!aci$n de !as máquinas de! sistema. Debido a !a no !inea!idad de dicho con(unto de ecuaciones di&erencia!es% resu!ta im"osib!e una so!uci$n cerrada% "or !o cua! se han a"!icado m#todos num#ricos de "redicci$n.

La ecuaci$n de osci!aci$n gobierna e! moimiento de! rotor de una maquina re!acionando e! torque de inercia a !a resu!tante de !os torques mecánico y e!#ctrico en e! rotor% esto es,

J θ´=

a

[

 N . m

]

Donde - es e! momento de inercia en g.m/  de todas !as masas rotatias

conectadas a! e(e0 θ´ es e! ángu!o mecánico de! e(e en radianes% con

res"ecto a una re&erencia &i(a0 y T a  es e! torque ace!erante en newton1metros

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Ecuaci$n de osci!aci$n "ara e! generador " 1 #simo% es decir dada "or,

La ecuaci$n de osci!aci$n "ara cada máquina se "uede reso!er "or diersos m#todos num#ricos% !os cua!es "ermiten reso!er num#ricamente !a ecuaci$n a "artir de !a so!uci$n de dos ecuaciones di&erencia!es de "rimer orden% ta! como se indica a continuaci$n,

Para un sistema de n2máquinas% es necesario reso!er un sistema de /n ecuaciones simu!táneas de "rimer orden dado "or,

MÉTODOS DE SOLUCIN.

E+isten di&erentes m#todos "ara !a ea!uaci$n num#rica de !as ecuaciones de osci!aci$n ta!es como e! Punto a Punto% Eu!er% Eu!er 3odi&icado% 4unge1utta y e! 3#todo de !a 4eg!a 5ra"e'oida!% etc. 5odos estos m#todos son esencia!mente "rocedimientos iteratios% además% son "rácticos so!amente cuando se em"!ean com"utadoras% es"ecia!mente cuando se estudian sistemas de gran tamaño.

En todos !os casos% se trata de determinar 6 en &unci$n de t% gra&icando !a res"uesta y de esta &orma determinar si e! sistema es estab!e o no.

MÉTODO PASO A PASO.

E! m#todo "aso a "aso &ue desarro!!ado "ara a"!icar!o en un )na!i'ador de 4edes y cá!cu!os a mano% es mucho más sim"!e que a!guno de !os m#todos uti!i'ados "ara cá!cu!os en com"utadora% como !os m#todos de Eu!er o 4unge1 utta. En este m#todo e! cambio en !a "osici$n angu!ar de! rotor durante un corto intera!o de tiem"o se ca!cu!a ba(o !as siguientes su"osiciones,

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METODO PASO A PASO

 Pa

(

n−2

)

ω

(

n−1 2

)

n−2n−1n ← ∆ t → ← ∆ t → ↔ ↑ ↑ ↓ ∆ δ n ↑ ↓∆ δ n−1

7. La "otencia de ace!eraci$n Pa ca!cu!ada a! "rinci"io de un intera!o% es constante desde !a mitad de! intera!o que !e "recede hasta !a mitad de! intera!o considerado.

/. ) !o !argo de cua!quier intera!o% !a e!ocidad angu!ar es constante e igua! a! a!or ca!cu!ado en !a mitad de! intera!o.

La &igura 8/.9: ayuda a isua!i'ar estas su"osiciones y determina e! "rocedimiento "ara ca!cu!ar e! a!or de! ángu!o 6 en cada intera!o.

Las consideraciones rea!i'adas asumen un moimiento circu!ar uni&ormemente ariado 83C;<: en donde,

α =dw

(6)

De !a &igura /.> 8b: se escribe !a ace!eraci$n angu!ar ? en t#rminos de !as e!ocidades angu!ares ea!uadas en !a mitad de !os intera!os,

wn−1/2−wn−3/2 ∆ t  = d2δ  d t 2 =α  8/.=>:

De !a &igura 8c:% haciendo uso de !a re!aci$n entre !a ariaci$n de! ángu!o 6 y !a e!ocidad angu!ar @ en e! moimiento circu!ar uni&orme 83C;:% se escriben !as siguientes re!aciones. w n−3 2 =δ n−1−δ n−2 ∆ t  = ∆ δ n−1 ∆ t  w n−1 2 =δ n−δ n−1 ∆t  = ∆ δ n ∆ t 

 )! des"e(ar !as ariaciones angu!ares y rea!i'ar !a o"eraci$n ∆ δ n

∆ δ n−1

se tiene !a siguiente ecuaci$n,

∆ δ n∆ δ  n−1=

(

w n−1 2 −w n−3 2

)

. ∆ t  8/.=9:

De !a cua!% des"a(ando ∆ δ n  se obtiene, ∆ δ n

=

∆ δ n1

+

(

w n1 2

w n3 2

)

. ∆ t  ∆ δ n=∆ δ  n−1+ d2δ  d t 2 . ∆ t  2 8/.=A:

De !a ecuaci$n de osci!aci$n se tiene que,

d2δ  d t 2

 =

w

s

2 H Pa

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∆ δ n=∆ δ  n−1+ ws 2 H . P an−1. ∆ t  2 8/.>:  K 

=

ws 2 H . ∆ t  2 8/.>7:

Para e+"resar e! ángu!o 6 en grados e!#ctricos se tiene que  K =

180  H  . ∆ t 

2

ina!mente% !as ecuaciones que "ermite ca!cu!ar e! a!or de 6n en un intera!o son,

∆ δ n=∆ δ 

n−1+k . P an−1 8/.>/:

δ n=δ 

n−1+∆ δ n 8/.>:

M$'' 3)$' + 3)$' 4S',3%) '* +*$#(6:

  Es un m#todo sim"!e% que "ermite rea!i'ar cá!cu!os a mano y "or !o tanto es a"!icab!e s$!o a sistemas "equeños. Se diide e! tiem"o tota! de estudio en n intera!os de duraci$n  t segundos cada uno% ta! como se indica en !a igura =.79. Fenera!mente se uti!i'a un  t G %H segundos y e! cá!cu!o se hace ba(o !as siguientes su"osiciones,

La "otencia de ace!eraci$n determinada a! comien'o de un intera!o% es

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intera!o considerado. En a!gunos casos% en e' de !a "otencia de ace!eraci$n se em"!ea !a ace!eraci$n angu!ar.

La e!ocidad angu!ar es constante en cada intera!o e igua! a! a!or 

ca!cu!ado "ara !a mitad de! mismo.

Por su"uesto% ninguna de !as condiciones anteriores es e+acta ya que 6 está cambiando continuamente y tanto Pa como @ son &unciones de 6. ) medida que e! intera!o de tiem"o disminuye% !a cura de osci!aci$n ca!cu!ada de esta &orma se hace más e+acta.

La igura =.79 ayuda a isua!i'ar estas su"osiciones. La "otencia de ace!eraci$n se ca!cu!a en !os "untos encerrados en c*rcu!os en !os e+tremos de !os intera!os n1/% n17 y n% que son !os comien'os de !os intera!os n17% n y nJ7 res"ectiamente. La e!ocidad angu!ar @ corres"onde a d6Kdt% es decir a! e+ceso de !a e!ocidad angu!ar de !a máquina% sobre !a e!ocidad s*ncrona @s. Entre !as ordenadas n1K/ y n17K/ hay un cambio de e!ocidad originado "or !a "otencia de ace!eraci$n constante.

E! cambio de e!ocidad es igua! a! "roducto de !a ace!eraci$n "or e! intera!o de tiem"o, ω '  n−1 2 −ω'  n−3 2 =d 2 δ  dt 2 ∆ t  =180f   H  . Pa ,n−1. ∆t  8=.=:

La ariaci$n de! ángu!o 6 en un intera!o cua!quiera es igua! a! "roducto de !a e!ocidad @ en e! intera!o "or e! tiem"o. )s*% e! cambio de 6 durante e! intera!o n17 es ∆ δ n−1=δ n−1−δ n−2=ω '  n−3 2 ∆ t  8=.>: y durante e! intera!o n ∆ δ n=δ  n−δ n−1=ω '  n−1 2 ∆ t  8=.9:

4estando 8=.>: a 8=.9: e introduciendo e! resu!tado en 8=.=:% se obtiene,

∆ t ¿2 ∆ δ n=∆ δ 

n−1+ K Pa ,n−1con K =

180

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Luego,

δ n=δ 

n−1+∆ δ n 8=.:

La ecuaci$n 8=.: "ermite obtener 6 como &unci$n de! tiem"o o sea corres"onde a !a so!uci$n "aso a "aso de !a ecuaci$n de osci!aci$n. Por otra "arte% !a e!ocidad @ se "uede determinar a "artir de 8=.A:% diidiendo "or t y se obtiene,

ω ' nω

n−1+

 t Pa, n−1 8=.7:

Discontinuidad en !a "otencia de ace!eraci$n, Cuando ocurre una &a!!a% se "roduce una discontinuidad en !a "otencia de ace!eraci$n Pa que tiene un a!or  cero antes de !a &a!!a y un a!or distinto de cero des"u#s de #sta. Esta discontinuidad ocurre a! comien'o de! &en$meno 8cuando t G :. Lo mismo sucede cuando se "roducen a"erturas de interru"tores% recone+iones% etc. 5eniendo en cuenta que este m#todo su"one que !a "otencia de ace!eraci$n ca!cu!ada a! comien'o de! intera!o es constante desde !a mitad de! intera!o anterior hasta !a mitad de! intera!o que está siendo considerado y que en este caso se tiene dos a!ores distintos "ara !a "otencia ace!erante% se debe tomar  e! a!or "romedio de estos a!ores como !a "otencia ace!erante constante. En genera!% "ara una discontinuidad en un tiem"o t se tiene,

−¿

t ¿

¿

+¿

t ¿

¿

 Pa

¿

 Pa

(

)=¿

En e! caso en que !a discontinuidad ocurra en e! "unto medio de! intera!o no hay necesidad de em"!ear 8=./: "ues e! m#todo contem"!a una discontinuidad  (ustamente en ese "unto. En otro caso% coniene a"ro+imar a! más cercano%

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CONCLUSIN:

E! sistemas de ecuaciones de osci!aci$n de !os generadores nos

"ermiten determinar !os com"ortamiento de !os generadoresen re!aci$n a estabi!idad o inestabi!idad determinando sus a!encias de o"eraci$n% "or cuanto e+iste metodos de so!uci$n de !as ecuaciones de osci!aci$n de! generador, Punto a Punto% Eu!er% Eu!er 3odi&icado% 4unge1utta y e! 3#todo de !a 4eg!a 5ra"e'oida! entre otros mas e&iciente 4unge1utta.

BIBLIOGRA7IA:

• [1] RADIOTECNIAS/ RADIOTECHNOLOGY/ ESCRITO POR:

Guillermo Garcia, Disponibleen:http://books.google.o!.e/books " i#$EL%&'(G%'SgC)pg $*A+-)# $e0iones1#e1osil0iones1 gene20#o2es)hl$es)s0$3)e i$45!D6'O6N7gg8T6s9L75()e#$;CC((-AE8AA<$onep0 ge)$e0iones=;#e=;osil0iones =;gene20#o2es)'$'0lse

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