Semana 02 Analisis Vectorial Unac 2010 a Plus

(1)

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)

ANÁLISIS VECTORIAL

Semana 01

1.VECTOR 1.VECTOR. Se. Se representa mediante representa mediante un segmento de recta un segmento de recta orientado. En física orientado. En física sirve para representar sirve para representar a las magnitudes a las magnitudes físicas vectoriales. Se físicas vectoriales. Se representa por representa por cualquier letra del cualquier letra del alfabeto con una alfabeto con una pequeña flecha en la pequeña flecha en la parte superior. Todo parte superior. Todo vector tiene dos vector tiene dos elementos elementos fundamentales: el fundamentales: el modulo y la dirección. modulo y la dirección. El módulo representa El módulo representa el tamaño o valor de la el tamaño o valor de la

cantidad vectorial. La dirección representa la orientación del vector respecto del sistema cantidad vectorial. La dirección representa la orientación del vector respecto del sistema coordenado cartesiano u otro sistema coordenado.

coordenado cartesiano u otro sistema coordenado.

2.

2.VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL ESPACIOVECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL ESPACIO. El vector unitario es aquel que tiene. El vector unitario es aquel que tiene como módulo o tamaño la unidad de medida. Los vectores cartesianos son:

como módulo o tamaño la unidad de medida. Los vectores cartesianos son:

ˆˆ

ii

: tiene dirección del eje X positivo.: tiene dirección del eje X positivo.

ˆˆii

−

− : tiene dirección del eje X negativo.: tiene dirección del eje X negativo.

ˆˆ

j

: tiene dirección del eje Y positivo: tiene dirección del eje Y positivo ˆˆ

j j

−

− : tiene dirección del eje Y negativo: tiene dirección del eje Y negativo

k

k ˆˆ: tiene dirección del eje Z positivo.: tiene dirección del eje Z positivo. k

k ˆˆ

−

− : tiene dirección del eje Z negativo.: tiene dirección del eje Z negativo.

El módulo de cada vector unitario es igual a la unidad El módulo de cada vector unitario es igual a la unidad de medida: de medida: 1 1 ˆˆ ˆˆ ˆˆ == j j == k k == ii

Los tres vectores unitarios son mutuamente Los tres vectores unitarios son mutuamente perpendiculares: perpendiculares: k k j j iiˆˆ ⊥⊥ ˆˆ ⊥⊥ ˆˆ

En el espacio tridimensional el vector

En el espacio tridimensional el vector aa tiene trestiene tres componentes: componentes:

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

(

( ;

_x_x

; ; )

_y_y

; )

_z_z _x_x _y_y _z_z

a

a a

==

a a

a

==

a

a i

i a

++

a j

j a

++

a k

k

r r EJEMPLO 01

EJEMPLO 01: Se tiene un vector: Se tiene un vector

_a

_{a i}

₌₌

_{3 1}

_{3 12}

_i

ˆ

₊₊

_{2 4}

ˆˆ

_j

_{j k}

₊₊

₄

_k

ˆˆ

.. Determine el módulo del vector.

Determine el módulo del vector.

Resolución Resolución

Si graficamos el vector obtenemos un paralelepípedo, entonces el módulo del vector es igual al Si graficamos el vector obtenemos un paralelepípedo, entonces el módulo del vector es igual al tamaño de la diagonal. tamaño de la diagonal.

a

r

X X Y Y Z Z VECTOR EN EL ESPACIO VECTOR EN EL ESPACIO V V V V X X Y Y Z Z VECTORES UNITARIOS VECTORES UNITARIOS j j ii kk

(2)

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)

13

13 a

a

=

Respuesta:

Respuesta: el módulo del vector es 13.el módulo del vector es 13.

3.

3.VECTOR UNITARIO DIRECCIONALVECTOR UNITARIO DIRECCIONAL. Cada vector tiene su respectivo vector unitario. El vector. Cada vector tiene su respectivo vector unitario. El vector unitario es paralelo a su respetivo vector de origen.

unitario es paralelo a su respetivo vector de origen.

u

a

u

ˆˆ

== ⇒⇒ ==

..

ˆˆ

En general se puede obtener un vector unitario en una dirección determinada, relacionado dos o En general se puede obtener un vector unitario en una dirección determinada, relacionado dos o más vectores.

más vectores.

EJEMPLO 02:

EJEMPLO 02: Determine el vector unitario del vector:Determine el vector unitario del vector: A A==33ii++44 j j++1212k k

Resolución Resolución

El vector unitario se define como: El vector unitario se define como:

13 13 12 12 4 4 3 3 ˆˆ ii j j k k A A A A u u == == ++ ++

El vector unitario es:

El vector unitario es: uu ii j j k k 13 13 12 12 13 13 4 4 13 13 3 3 ˆˆ == ++ ++ 4.COSENOS DIRECTORES

4.COSENOS DIRECTORES. Son las componentes del vector unitario en el sistema coordenado. Son las componentes del vector unitario en el sistema coordenado cartesiano.

cartesiano.

En el sistema cartesiano tridimensional vector

En el sistema cartesiano tridimensional vector aa tienetiene tres componentes rectangulares:

tres componentes rectangulares:

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

(

( ;

_x_x

; ; )

_y_y

; )

_z_z _x_x _y_y _z_z

a

a a

==

a a

a

==

a

a i

i a

++

a j

j a

++

a k

k

r r Designamos con

Designamos con α α ,,β β yyθ θ los ángulos que el vectorlos ángulos que el vector aa

hace con los ejes cartesianos X, Y y Z, respectivamente. hace con los ejes cartesianos X, Y y Z, respectivamente. Tenemos tres componentes:

Tenemos tres componentes:

α

Cos

a

_x_x

=

..

,, aa_y_y ==aa

..

CosCos

β

_,,

_a

_Cos

_θ

z

z ==

..

…(1)…(1)

Cálculo del módulo del vector: Cálculo del módulo del vector:

2 2 2 2 2 2 2 2 x x y y x x

a

== ++ ++ …(2)…(2) reemplazando (1) en (2) tenemos:

reemplazando (1) en (2) tenemos:

(

_Cos

_α

) (

)

22 ₊₊

(

_Cos

_β

) (

)

22 ₊₊

(

_Cos

_θ

))

22 ₌₌

₁

Entonces el vector unitario de

Entonces el vector unitario de aa es:es:

u

ˆˆ

==

( (

Cos

_α

;;

Cos

_β

;;

Cos

_θ

))

EJEMPLO 03:

EJEMPLO 03: Calcular los cosenos directores del vectorCalcular los cosenos directores del vector A A ==1212ii −−1515 j j −−1616k k ..

RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN

Cálculo del módulo del vector:

₍

_{( )}

_{) (}

2 2

_{( )}

_{) (}

2 2

_{( ))}

22

1 122 1155 1166 114444 222255 225566 2255 = = + + − − + + − − = = + + + + ==

rr

a a A A ii jj kk u u ii jj kk A A 1 12 2 115 5 1166 ˆ ˆ 00,, 448 8 00,,6 6 00,, 6644 25 25 − − −− =

=

u

uu

urr

== == −− −− _yy

_u

_ˆˆ

₌₌

( (

_Cos

_α

_;;

_Cos

_β

_;;

_Cos

_θ

))

LLiicc.., W, WAALLTTEER R PPEERREEZ Z TTEERRRREELL/ / wwaalltteerr__ppeerreezz__tteerrrreell@@hhoottmmaaiill..ccoomm//999977008899993311 PPáággiinna a 22 X X Y Y Z Z

COMPONENTES DEL VECTOR COMPONENTES DEL VECTOR

a a_yy a a_xx a a_zz_zzzz

(3)

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)

Comparando tenemos que:

Comparando tenemos que: CosCosα α == 0,480,48,, CosCosβ β = = −−00,,66,, CosCosθ = θ = −−0,640,64

5.

5.PRODUCTO ESCALAPRODUCTO ESCALARR. Dado los vectores. Dado los vectores AA yy BB, su producto escalar o interno se representa, su producto escalar o interno se representa

por

por AA BB, y se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo, y se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo

θ

que forman,que forman,

esto es: esto es:

A

A B

B

A

A .. B

B ..C

Co

oss

θ

B .. A

B

A ..C

Co

oss

θ

,, donde donde

₀

≤≤

_θ

≤≤

_π

Debemos enfatizar que

Debemos enfatizar que AA BB es un número real, (positivo, negativo o nulo), y no un vector.es un número real, (positivo, negativo o nulo), y no un vector.

Dado los vectores: Dado los vectores:

1 1 2 2 33

A

aa ..ii

a .

a .jj a .

a .k

k

yy 1 1 2 2 33

B

b

b ..ii

b .

b .jj

b

b ..k

k

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 33

A

A B

B

aa ..b

b

aa ..b

b

aa ..b

b

PROPIEDADES PROPIEDADES

Se cumple la propiedad conmutativa:

_A

_{A B}

_{B B}

_{B A}

_A

Propiedad Distributiva: Propiedad Distributiva:

A

A B

B

A

A C

C

Vectores paralelos: Vectores paralelos:

ii ii

jj jj

k

k k

k

1

Vectores ortogonales: Vectores ortogonales:

i

j

jj k

k

ii k

k

0

2 2 A A yy B B 22

Cuadrado del módulo:

_A

_{A A}

_A

u

urr

22 Si

Si

_A

_{A B}

_B

₀

y ninguno de los vectores es nulo, ambos son mutuamente perpendiculares.y ninguno de los vectores es nulo, ambos son mutuamente perpendiculares.

EJEMPLO 04:

EJEMPLO 04: Los vectoresLos vectores aa y ybb forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo queforman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que aa ==33 y y bb ==44.. Calcular:

Calcular: aa••bb

De la definición:

aa b

b

aa .. b

b ..C

Co

oss

θ

3 3 4

4 C

Co

oss1

12

20

0

00

6

EJEMPLO 05:

EJEMPLO 05: ¿Para qué valores de “m” los vectores¿Para qué valores de “m” los vectores aa mm..ii 33jj 22k k yy bb 11ii 22 jj mm..k k sonson

perpendiculares entre sí? perpendiculares entre sí? RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN De la definición: De la definición: 1 1 2 2 33

aa

aa ..ii

a .

a .jj aa ..k

k

yy 1 1 2 2 33

b

b ..ii

b .

b .jj b .

b .k

k

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 33

a

a b

b a

a ..b

b a

a ..b

b

a

a ..b

b

De la condición: Si

_{aa b}

_b

₀

y ninguno de ly ninguno de los vectores es nulo, ambos son mutuamenteos vectores es nulo, ambos son mutuamente perpendiculares. perpendiculares. Entonces: Entonces:

0

Resolviendo: Resolviendo:

_m

₆

A

B

C

= • = • =

2 2 22 1 1 2 2 33 A A a a a a aa

u

urr u

u

2 2 22 1 1 2 2 33 B B b b b b bb

rr

m

m .. 1

1

3 3 .. 2

2

2 2 ..

m

Z Z PRODUCTO VECTORIAL PRODUCTO VECTORIAL P P Z Z OO PRODUCTO ESCALAR PRODUCTO ESCALAR θ θ

(4)

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)

6.PRODUCTO VECTORIAL

6.PRODUCTO VECTORIAL. Dado los vectores. Dado los vectores AA yy BB, su producto vectorial o externo se, su producto vectorial o externo se

representa por otro vector

representa por otro vector _C_C, que se denota como, que se denota como C C A A BB. Su módulo se define como el. Su módulo se define como el

producto de sus módulos por el seno del ángulo

_θ

que forman entre sí, esto es:que forman entre sí, esto es:

A

A B

B

A .. B

A

B ..S

Seen

n

θ

, donde, donde

₀

≤≤

_θ

≤≤

_π

Debemos enfatizar que

_C

es perpendicular al plano formado por los vectoreses perpendicular al plano formado por los vectores

_A

_{A y}

_{y B}

_B

..

Regla de la mano Derecha

Regla de la mano Derecha: los dedos giran desde la dirección del vector A hacia la dirección del: los dedos giran desde la dirección del vector A hacia la dirección del vector B y el dedo pulgar coincide con el vector C. El la figura el ángulo

vector B y el dedo pulgar coincide con el vector C. El la figura el ángulo

_θ

gira en el sentido desdegira en el sentido desde A hacia B.

A hacia B.

PROPIEDADES PROPIEDADES

II.. SiSi

_A

_{A B}

_B

₀

, entonces los vectores tienen la misma dirección o son paralelos., entonces los vectores tienen la misma dirección o son paralelos. II. Anti conmutativo:

II. Anti conmutativo:

_A

_{A B}

_B

_{B A}

_A

III. Propiedad Distributiva:

A

A B

B

A

A C

C

IV. Vectores paralelos:

ii ii

jj j

j

k

k k

k

0

V. Vectores ortogonales:

ii

jj

k

,,

jj k

k

ii

,,

k

k ii

jj

VI. Dado los vectores: VI. Dado los vectores:

1 1 2 2 33

A

aa ..ii

a .

a .jj a .

a .k

k

yy 1 1 2 2 33

B

b

b ..ii

b .

b .jj

b

b ..k

k

entonces se cumple que:entonces se cumple que: ₁₁ ₂₂ ₃₃

1 1 2 2 33

ii

jj

k

A

A B

B

aa

b

El área del paralelogramo formado por los vectores concurrentes

El área del paralelogramo formado por los vectores concurrentes AA yy BBes:es:

A

Arreeaa d

deell p

paarraalle l

e lo

og r

g raam

mo

o

A

A B

B

El área de la región triangular formado por los vectores

El área de la región triangular formado por los vectores AA yy BB es:es:

_{Area del triangulo}

A

A B

B

2

EJEMPLO 06:

EJEMPLO 06: Los vectoresLos vectores aa y ybb forman entre si un ángulo de 30°. Sabiendo queforman entre si un ángulo de 30°. Sabiendo que aa ==66 y y bb ==55.. Calcular:

Calcular: aa××bb

De la definición:

aa b

b

aa .. b

b ..S

Seen

n

θ

6 6 5

5 S

Seen

n3

30

0

00

1

15

5

LLiicc.., W, WAALLTTEER R PPEERREEZ Z TTEERRRREELL/ / wwaalltteerr__ppeerreezz__tteerrrreell@@hhoottmmaaiill..ccoomm//999977008899993311 PPáággiinna a 44 A A B B

A

B

C

= × = × =

u

urr u

urr

θ

ÁREA DEL PARALELOGRAMO ÁREA DEL PARALELOGRAMO

(5)

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)

EJEMPLO 07:

EJEMPLO 07: Dado los vectoresDado los vectores A A==33ii −−11 j j−−22k k yy B B ==11ii ++22 j j−−11k k determinar las componentesdeterminar las componentes

vectoriales de:

vectoriales de: AA B××B

De la definición del producto vectorial entre dos vectores: De la definición del producto vectorial entre dos vectores:

1 1 2 2 33 1 1 2 2 33

ii

jj

k

A

A B

B

aa

b

u

urr

ii

jj

k

3

1

2

1

2

1

2

3

2

3

1

1 ii

jj

k

2

1

2

1

2

A A B× = × B = + +5 5 iiˆ ˆ + +1 1 ˆ ˆ jj 77 kkˆˆ EJEMPLO 08:

EJEMPLO 08: Se conocen los vértices de un triángulo: A (0; 0; 0), B (3; 0; 0) y C (0; 4; 0), calcular elSe conocen los vértices de un triángulo: A (0; 0; 0), B (3; 0; 0) y C (0; 4; 0), calcular el área de la región definida por el triángulo de vértices A, B y C.

área de la región definida por el triángulo de vértices A, B y C.

Sean los vectores

Sean los vectores AB y ACAB y AC dondedonde AABB

1 1 2 2 33 1 1 2 2 33

ii

jj

k

A

AB

B A

AC

C

aa

b

u

uu

urr u

uu

urr

ii

jj

k

3 3 0

0

4

0

3

0

3

0

0 ˆˆ

_ii

ˆˆ

_jj

_k

ˆˆ

4

0

4

4 ˆˆ

A

AB

B A

AC

C 1

12 k

2 k

El valor o módulo es:

A

AB

B A

AC

C

1

12

2 A

AB

B A

AC

C

₁₂

A

Arreeaa d

deell ttrriiaan

ng

gu

ullo

o

6

2

Respuesta:

Respuesta: el área de la región triangular es 6 unidades cuadradas.el área de la región triangular es 6 unidades cuadradas.

EJEMPLO 09:

EJEMPLO 09: Se conocen los vértices de un triángulo: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1),Se conocen los vértices de un triángulo: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las componentes vectoriales de:

determinar las componentes vectoriales de: _A_AB_{B B}_BC_C

Determinamos las componentes de cada vector: Determinamos las componentes de cada vector: AABB

ii

jj

k

A

AB

B B

BC

C

1 3

3

2

0

2

2 u

uu

urr u

uu

urr

₃

₁

₃

₁

₃

ˆˆ

ii

jj

k

0

2

0

0 ˆˆ

ˆˆ

A

AB

B B

BC

C

6 6 ii

4 4 jj 6

6 k

k

u

urr

3 3;;00;;00 yy AACC 00;;44;;00 1 1;;33;; 33 yy BBCC 22;;00;; 22

×

=

×

=

(6)

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)

7.

7.TRIPLE PRODUCTO ESCALTRIPLE PRODUCTO ESCALARAR. Por medio del productos escalar y vectorial de tres vectores. Por medio del productos escalar y vectorial de tres vectores

A ,

A , B y

B y C

C

se forma:se forma:

A

1 1 2 2 33 1 1 2 2 33 1 1 2 2 33

A

B

C

PROPIEDADES: PROPIEDADES:

I. El producto triple escalar es un número real: I. El producto triple escalar es un número real:

A

n

nú

úm

meerro r

o reeaall

II. II.

III. El valor del “triple producto escalar” representa el volumen de un paralelepípedo de aristas III. El valor del “triple producto escalar” representa el volumen de un paralelepípedo de aristas

A ,

A , B y

B y C

C

..

EJEMPLO 09:

EJEMPLO 09: Se conocen los vértices A (4; 0; 0), B (0; 5; 0), C (0; 0; 3) y D (0; 0; 0) calcular elSe conocen los vértices A (4; 0; 0), B (0; 5; 0), C (0; 0; 3) y D (0; 0; 0) calcular el volumen del sólido de vértices A, B, C y D.

volumen del sólido de vértices A, B, C y D.

Sean los vectores Sean los vectores DDAA

El valor del “triple producto escalar” representa el volumen de un paralelepípedo de aristas El valor del “triple producto escalar” representa el volumen de un paralelepípedo de aristas

D

DA

A ,, D

DB

B y

y D

DC

C

.. 1 1 2 2 33 1 1 2 2 33 1 1 2 2 33

A

D

B

C

u

4 4 0

0 0

0

0 0 5

5 0

0

0 0 0

0 3

3

5 5 0

0

0 0 0

0

0 0 5

5

4

0

6

60

0

0 0 3

3

0 0 3

3

0 0 0

0

Respuesta:

Respuesta: el volumen del solido es 60 unidades cúbicas.el volumen del solido es 60 unidades cúbicas.

EJEMPLO 10:

EJEMPLO 10:Se dan los vectoresSe dan los vectores aa 11ii 11jj 33k k ,, bb 22ii 22 jj 11k k yy cc 33ii 22 jj 55k k ..

Determinar:

Determinar: cc

De la definición del producto vectorial entre dos vectores: De la definición del producto vectorial entre dos vectores:

1 1 2 2 33 1 1 2 2 33

ii

jj

k

aa b

b

a

aa

b

rr rr

ii

jj

k

1

1 1 3

3

2

1

1 1 3

3

1

3

1

1 ii

jj

k

2

1

2

1

2

aa b× × = b = − − + 7 7 iiˆ ˆ + 7 7 ˆ ˆ jj++00 kkˆˆ Cálculo de: Cálculo de: cc

LLiicc.., W, WAALLTTEER R PPEERREEZ Z TTEERRRREELL/ / wwaalltteerr__ppeerreezz__tteerrrreell@@hhoottmmaaiill..ccoomm//999977008899993311 PPáággiinna a 6

6

6 A A B B C C

VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO

B

B C

C

A

B

A

u

urr

u

urr u

B C

C

urr

B

B C

C

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

A

B

B C

C

B

• ×

C

C A

A

C

A

A B

B

4 4;;00;;00 ,, DDBB 00;;55;;00 ,, DDCC 00;;00;;33

A

D

DB D

B DC

C

u

uu

urr

u

uu

urr u

uu

urr

=

−

+

=

−

+

=

aa bb

(7)

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)

8.TRIPLE PRODUCTO

8.TRIPLE PRODUCTO. Por medio de productos vectoriales de tres vectores. Por medio de productos vectoriales de tres vectores

_A

_{A , B}

_{, B y}

_{y C}

_C

sese pueden formar productos como:

pueden formar productos como:

A

,,

C

oo

A

, en todos estos, en todos estos casos el resultado es otro vector.

casos el resultado es otro vector. PROPIEDADES: PROPIEDADES: I. No se puede asociar: I. No se puede asociar: II. II. III. III. EJEMPLO 11:

EJEMPLO 11:Sean los vectoresSean los vectores AA

A

yy

_C

¿se obtiene el mismo resultado?¿se obtiene el mismo resultado?

RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN Primer caso Primer caso::

A

ii

jj

k

B

B C

C

0 0 5

5

0

0 0 1

1

3

3 u

urr u

urr

₅

₀

₅

ˆˆ

ii

jj

k

1

3

0

3

0

1

1 ˆˆ

₀

_{0 jj 0}

ˆˆ

_{0 k}

_k

ˆˆ

Cálculo de Cálculo de

_A

ii

jj

k

ˆˆ

4

0

0 0 i

i

0 0 j

j

0 0 k

k

0

1

15 5 0

0

0 rr

Segundo caso Segundo caso::

C

ii

jj

k

A

A B

B

4 4 0

0

0 0 5

5

0

0 u

urr u

urr

₀

₄

₀

₄

₀

ˆˆ

ii

jj

k

5

0

5

0 0 jj 2

ˆˆ

20 0 k

k

ˆˆ

Cálculo de Cálculo de

C

ii

jj

k

ˆˆ

C

0 0 0

0 2

20

0

2

20 0 ii

0 0 jj 0

0 k

k

2

20 0 ii

0 0 1

1

3

3 rr

Es importante hacer notar que: Es importante hacer notar que:

B

B C

C

A

A B

B

C

C B

B

A

B

B C

× ≠ × ×

C

A

A B

B

C

A

B

B C

C

A

A C

C B

B

A

A B

B C

C

(

)

(

)

A

A B

B

C

= •

A

A C

C B

B

B C

C A

A

( ) ( ) ( ) (44;; 00;; 00 ,, B) B ( 0;; 50 5;; 00 ,, C) C ( 00;; 11;; 33) , determine, determine

B

B C

C

A

A B

B

B C

C

1

15 5 ii

B

B C

C

4 4;; 0

0;;0

0

1

15 5;;0

0;;0

0 A

A

rr

B

B C

u

urr u

C

urr

A

A B

B

ˆˆ

0 0 ii

A

A B

B

0 0;;0

0;; 2

20

0

0 0;;1

1;;3

3 A B

A B

u

urr u

urr

A

B

B C

× ≠ × ×

C

A

A B

B

C

(8)

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)

9.PROYECCIÓN DE UN VECTOR

9.PROYECCIÓN DE UN VECTOR. La . La proyección del proyección del vectorvector _A_Asobre el vectorsobre el vector _B_B, , es es otro otro vectorvector paralelo al vector

paralelo al vector

_B

que se denota del siguiente modo:que se denota del siguiente modo:

B B

A

A B

B

P

Prr o

oy

yeecc A

A

..

B

u urr

u

urr

u

uu

urr

Componente del vector A Componente del vector A

B B

A

A B

B

Co

Com

mp

p A

A

B

u urr u urr B B

B

P

Prr o

oy

yeecc A

A

B

u u B B B B

ˆˆ

P

Prr o

oy

yeec A

c A

uu EJEMPLO 11:

EJEMPLO 11:Determina las componentes rectangulares del vectorDetermina las componentes rectangulares del vector _m_m, sabiendo que es, sabiendo que es perpendicular a los vectores

perpendicular a los vectores FF11 22ii 33jj 11k k yy FF₂₂ 11 ii 22 jj 33k k además satisface a la condición:además satisface a la condición:

m

m 1100

Sea

Sea mm peropero F F F₁₁ F₂₂

ii

jj

k

ˆˆ

2

3 3 1

1

7 7 ii

5 5 j 1

j 1 k

k

1

2

3

la condición: la condición: mm 1100 la condición: la condición:

Resolviendo la ecuación tenemos que:

Resolviendo la ecuación tenemos que: qq 11

Respuesta: Respuesta: mm 77 iiˆˆ 55 jj 1ˆˆ 1 k k ˆˆ x x

ˆˆ

P

Prr o

oy

yeecc m

rr

m

7 7 ii

,, y y

ˆˆ

P

Prr o

oy

yeecc m

rr

m

5 jj

5

,, zz

ˆˆ

P

Prr o

oy

yeecc m

rr

m

1 k

PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES

1.

1. En el sistema vectEn el sistema vectorial mosorial mostrado, detetrado, determine el valor de la siguiente opermine el valor de la siguiente operación:ración: ¿Qué ángulo forman

¿Qué ángulo forman yy ??

Los vectores son:

Los vectores son: aa 33 iiˆˆ 22 jjˆˆ,, bb 11 iiˆˆ 22 jjˆˆ,, cc 22 iiˆˆ 22 jjˆˆ,, d d 2 2 i ˆ ˆ i 2 2 jjˆˆ

LLiicc.., W, WAALLTTEER R PPEERREEZ Z TTEERRRREELL/ / wwaalltteerr__ppeerreezz__tteerrrreell@@hhoottmmaaiill..ccoomm//999977008899993311 PPáággiinna a 88 O O

O

Proyección de A so Proyección de A so

u

uu

urr

Al módulo de la proyección del vector A sobre el vector se le denomina Al módulo de la proyección del vector A sobre el vector se le denomina sobre el vector B. sobre el vector B. u uuurr B B

C

Co

om

mp

p A

uurr

A..

u

urr

u

uu

urr

r r

u

urr

B B

C

Co

om

mp A

p A.

. u

u

r r uurr 1 1 ii 22 jj 77 kk 1 1 22 q q FF FF

₇

_{7;; 5}

_{5;; 1}

₁

1 1 ii 22 jj 77 kk q q 77;; 55;; 11 11 ;; 22;;

− =

77 1100 1 1 22 1 1 FF

×

FF

=

aa

rr

bb cc

rr

dd aa

rr

bb cc

rr

dd bre bre B B θ θ aa b b cc dd 1 1

(9)

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)

Cálculo de:

Cálculo de: 44 iiˆˆ 00 jj yy 00 iiˆˆ 44 jj

Piden: Piden: Respuesta:

Respuesta: yy forman un ángulo recto.forman un ángulo recto.

2.

2. En el sistema vectEn el sistema vectorial mosorial mostrado, detetrado, determine el valor de la siguiente opermine el valor de la siguiente operación:ración: ¿Qué ángulo forman

¿Qué ángulo forman yy ??

1 1 a a b b c c RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN

Los vectores son:

Los vectores son: aa 33 iiˆˆ 22 jjˆˆ,, b 4 b 4 i ˆ ˆ i 2 2 jjˆˆ,, cc 33 ii 1ˆˆ 1 jjˆˆ

Cálculo de:

Cálculo de: 77 iiˆˆ 00 jjˆˆ yy 00 iiˆˆ 11 jjˆˆ

Piden: Piden: Respuesta:

Respuesta: yy forman un ángulo recto.forman un ángulo recto. 3.

3. Se muesSe muestra un conjtra un conjunto de vecunto de vectores. Stores. Sabiendo abiendo queque _A_A _m_m..B_B _n_n..C_C, donde m y n son números, donde m y n son números reales. Determine reales. Determine C C A A B B RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN

Los vectores son:

Los vectores son: AA 22 ii 1ˆˆ 1 jjˆˆ,, BB 00 ii 1ˆˆ 1 jjˆˆ,, CC 11 ii 1ˆˆ 1 jjˆˆ

Reemplazamos en la relación:

Reemplazamos en la relación: _A_A _m_m..B_B _n_n..C_C, entonces, entonces

n

n 22 yy 11 mm nn

resolviendo

resolviendo mm 33Respuesta:Respuesta: 11

4.

4. VerificVerificar quar que loe los cuas cuatro tro puntospuntos ,, ,, yy son losson los vértices de un trapecio.

vértices de un trapecio.

Para formar vectores a partir de dos puntos en el espacio: Para formar vectores a partir de dos puntos en el espacio: AABB

entonces:

entonces: AABB ,, BBCC ,, CCDD ,, DDAA

Comparando las coordenadas de los vectores

Comparando las coordenadas de los vectores ABAB yy CCD D 1 1 K K entoncesentonces _A_AB_B _K_K..C_CD_D aa bb

rr

cc

rr

dd a b a

rr

b cc

rr

dd 44;; 00

•

00;;

−

44 00 aa

rr

bb cc

rr

dd aa

rr

bb aa

rr rr

cc aa

rr

bb aa cc aa bb

rr

aa cc ( ) ( ) a b a

rr

b aa

rr rr

cc 77;; 00 00;; 11 00 aa

rr

bb aa cc m m nn ) ( ) ( 2 2;; 11 mm.. 00;; 11 nn.. 11;; 11 2

2;; 11 nn;; mm nn comparando las coordenadas cartesianas tenemos que:comparando las coordenadas cartesianas tenemos que:

m m nn A A 33;; 11; 2; 2 BB 11; 2; 2;; 11 CC 11; 1; 1;; 33 DD 33;; 55; 3; 3 2 2 11 11 22 11 22 x x xx ;; yy yy ;;zz zz 2 2;; 33;; 33 22;; 11; 2; 2 4;;4 66;; 66 00;; 44;; 11 2 2;; 33;; 33 44; ; 66; ; 66

(10)

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)

Entonces

Entonces _AB_AB yy _CD_CD son paralelos, por consiguiente ABCD es un trapecio.son paralelos, por consiguiente ABCD es un trapecio. 5.

5. ¿Pa¿Para qra qué vué valoalores res dede α α yy β β los vectoreslos vectores aa 2 i2 ˆˆi 3 jj3ˆˆ β β kkˆˆ yy bb α α ˆˆii 66 jjˆˆ 22 k k ˆˆ sonson

colineales? colineales?

Si

Si aa yy _b_bsus componentes en los ejes cartesianos serán proporcionales:sus componentes en los ejes cartesianos serán proporcionales: 1 1 1 1 11

2 2 2 2 22 x x yy zz K K x x yy zz

Reemplazando tenemos que:

Reemplazando tenemos que: 2 2 33 K K 6 6 22 β β α α

Resolviendo se tiene que:

Resolviendo se tiene que: α α 44 yy β β 11

(11)

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)

PROBLEMAS PROPUESTOS DE VECTORES PROBLEMAS PROPUESTOS DE VECTORES 1.

1.Calcular el módulo del vector:Calcular el módulo del vector: A A==66ii++33 j j −−22k k

2.

2.Calcular el módulo del vector:Calcular el módulo del vector: W W ==44ii−−33 j j++1212k k

3.

3.Dado los puntosDado los puntos A A==

( (

33;;−−11;;22

))

yy B B ==

( (

−−11;;22;;11

))

determinar los vectores:determinar los vectores: _AB_AByy _BA_BA respectivamente.

respectivamente.

4.

4.Dado los puntosDado los puntos P P ==

( (

−−33;;22;;11

))

yy QQ ==

( (

11;;−−22;;−−11

))

determinar los vectores:determinar los vectores: PQPQ yy QPQP

respectivamente. respectivamente.

5.

5.Determinar el punto N, con que coincide el extremo del vectorDeterminar el punto N, con que coincide el extremo del vector A A==−−44ii ++33 j j++22k k sabiendo que elsabiendo que el origen coincide con el punto M de coordenadas

origen coincide con el punto M de coordenadas

( (

11;;22;;−−33

))

..

6.

6.Determinar el punto P, con que coincide el extremo del vectorDeterminar el punto P, con que coincide el extremo del vector C C ==44ii −−33 j j ++55k k sabiendo que elsabiendo que el origen coincide con el punto Q de coordenadas

origen coincide con el punto Q de coordenadas

( (

22;;−−11;;33

))

..

7.

7.Se dan los vectoresSe dan los vectores A A==44ii−−22 j j++66k k yy B B ==−−22ii++44 j j. Determinar la proyección del vector. Determinar la proyección del vector

2 2 B B A A++

sobre los ejes coordenados cartesianos. sobre los ejes coordenados cartesianos.

8.

8.Dado el módulo de vectorDado el módulo de vector A A ==22 y los ángulos que forman con los ejes coordenados cartesianosy los ángulos que forman con los ejes coordenados cartesianos

x, y, z respectivamente x, y, z respectivamente  45 45 = = α α ,, β β ==6060yy  120 120 = = θ

θ . Determinar la proyección del vector. Determinar la proyección del vector A A sobresobre

los ejes coordenados. los ejes coordenados.

9.

9.Dado el módulo de vectorDado el módulo de vector A A ==1010 y los ángulos que forman con los ejes coordenados cartesianosy los ángulos que forman con los ejes coordenados cartesianos x, y, z respectivamente x, y, z respectivamente  90 90 = = α α ,, β β ==150150yy  60 60 = = θ

θ . Determinar la proyección del vector. Determinar la proyección del vector A A sobresobre

los ejes coordenados. los ejes coordenados.

10.

10. Calcular los cosenos directores del vectorCalcular los cosenos directores del vector A A ==1212ii −−1515 j j −−1616k k ..

11.

11. Calcular los cosenos directores del vectorCalcular los cosenos directores del vector PP 33ii 44 jj 1122 k k ..

12.

12. ¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes_α_α₌₌₄₅₄₅_,, _β_β₌₌₁₃₅₁₃₅_yy  60 60 = = θ θ ?? 13.

13. ¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes 

45 45 = = α α ,, β β ==6060yy  120 120 = = θ θ ?? 14.

14. ¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes 

90 90 = = α α ,, β β ==150150yy  60 60 = = θ θ ?? 15.

15. Un vector forma con los ejes OX, y OZ los ángulosUn vector forma con los ejes OX, y OZ los ángulos _α_α₌₌₁₂₀₁₂₀_yy _θ_θ₌₌₄₅₄₅_{respectivamente, ¿qué}_{respectivamente, ¿qué}

ángulo forma el vector con el eje OY? ángulo forma el vector con el eje OY?

16.

16. Un vector forma con los ejes OX, y OY los ángulosUn vector forma con los ejes OX, y OY los ángulos 

45 45

= = α

α yy β β ==135135respectivamente, ¿quérespectivamente, ¿qué ángulo forma el vector con el eje OZ?

ángulo forma el vector con el eje OZ?

17.

17. Un vector forma con los ejes OY, y OZ los ángulosUn vector forma con los ejes OY, y OZ los ángulos 

150 150 = = β β yy  60 60 = = θ

θ respectivamente, ¿quérespectivamente, ¿qué

ángulo forma el vector con el eje OX? ángulo forma el vector con el eje OX?

18.

18. Determinar las coordenadas del punto M, si su radio vector forma con los ejes coordenadosDeterminar las coordenadas del punto M, si su radio vector forma con los ejes coordenados ángulos iguales y su módulo es igual a 3 unidades. ¿Qué ángulo forma el radio vector con los ejes ángulos iguales y su módulo es igual a 3 unidades. ¿Qué ángulo forma el radio vector con los ejes coordenados cartesianos?

coordenados cartesianos?

19.

19. Calcular el vector unitario del vectorCalcular el vector unitario del vector _T_T₌₌₋₋₄₄_ii₊₊₃₃_j_j₊₊₁₂₁₂_k_k

20.

20. Calcular el vector unitario del vectorCalcular el vector unitario del vector aa==66ii −−22 j j−−33k k

21.

21. Calcular el vector unitario del vectorCalcular el vector unitario del vector GG 44ii 33jj

22.

22. Determinar el vector unitario perpendicular al vectorDeterminar el vector unitario perpendicular al vector EE 66ii 88jj

23.

23. Se tiene un cuadrado de vértices A, B C y D; y área 25 unidades cuadradas. Si conocemos elSe tiene un cuadrado de vértices A, B C y D; y área 25 unidades cuadradas. Si conocemos el vértice A (10; 20) y el lado AB es paralelo al vector

(12)

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)

24.

24. Se tiene un cuadrado de vértices A, B C y D; y área 100 unidades cuadradas. Si conocemos elSe tiene un cuadrado de vértices A, B C y D; y área 100 unidades cuadradas. Si conocemos el vértice A (20; 10) y el lado AB es paralelo al vector

vértice A (20; 10) y el lado AB es paralelo al vector 44ii ++33 j j. Determinar la posición de los vértices. Determinar la posición de los vértices B, C y D.

B, C y D.

25.

25. Si los módulos de los vectoresSi los módulos de los vectores _P_Pyy QQ son 18 y 14 unidades y sus cosenos directores con losson 18 y 14 unidades y sus cosenos directores con los

ejes X, Y y Z son ejes X, Y y Z son 3 3 2 2 ;; 3 3 1 1 ;; 3 3 2 2 −− yy 7 7 2 2 ;; 7 7 3 3 ;; 7 7 6 6

respectivamente. Determinar el resultado de:

respectivamente. Determinar el resultado de: PP QQ

2 2

26.

26. DadoDado A A ==1313,, B B ==1919 yy A A++BB ==2424 Calcular:Calcular: A A−− B B

27.

27. Sabiendo que los vectoresSabiendo que los vectores A A y y B B forman entre si un ángulo de 120° y ademásforman entre si un ángulo de 120° y además A A ==33,, B B ==55

Determinar:

Determinar: A A−− B B

28.

28. ¿Para qué valores de “p” y “q” los vectores¿Para qué valores de “p” y “q” los vectores A A==−−22ii ++33 j j++ p pk k yy B B ==qqii −−66 j j++22k k sonson colineales?

colineales?

29.

29. ¿Para qué valores de “r” y “s” los vectores¿Para qué valores de “r” y “s” los vectores A A==r r ii++1212 j j ++33k k yy B B ==88ii++ sj sj++22k k son paralelos?son paralelos?

30.

30. Los siguientes vectoresLos siguientes vectores WW 1155ii 1122 jj 99 k k yy PP 55ii 44 jj 33k k ¿son colineales?¿son colineales?

31.

31. Los siguientes vectoresLos siguientes vectores EE 1155ii 1122 jj 99 k k yy TT 55ii 44 jj 33k k ¿son paralelos?¿son paralelos?

32.

32. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (4; 9), B (9; 9), C (9; 6) y D (2; 6). ¿Es un trapecio?Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (4; 9), B (9; 9), C (9; 6) y D (2; 6). ¿Es un trapecio?

33.

33. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (3;-1; 2), B (1; 2,-1), C (-1; 1:-3) y D (3;-5; 3). ¿EsSe conocen los vértices de un cuadrilátero: A (3;-1; 2), B (1; 2,-1), C (-1; 1:-3) y D (3;-5; 3). ¿Es un trapecio?

un trapecio?

34.

34. Dado los puntos A (-15; -10), B Dado los puntos A (-15; -10), B (5; -7,8), C (2; 2:-7) y D (5;(5; -7,8), C (2; 2:-7) y D (5;-4; 2). ¿-4; 2). ¿_AB_AByy _CD_CD son colineales?son colineales?

35.

35. El vectorEl vector _T_T de módulo 75 tiene dirección opuesta al vectorde módulo 75 tiene dirección opuesta al vector aa==1616ii−−1515 j j++1212k k . Determinar las. Determinar las proyecciones del vector

proyecciones del vector _T_Ten el sistema coordenado cartesiano.en el sistema coordenado cartesiano.

36.

36. Dado los vectores en el planoDado los vectores en el plano pp 22ii 33jj yy qq 11ii 22 jj. Expresar el vector. Expresar el vector AA 99ii 44 jjen funciónen función

de los vectores

de los vectores pp yy qq..

37.

37. Dado los vectores en el planoDado los vectores en el plano pp 33ii 22 jj yy qq 2ii 12 1jj. Expresar el vector. Expresar el vector AA 77ii 44 jj enen

función de los vectores

función de los vectores pp yy qq..

38.

38. Dado los vectores en el planoDado los vectores en el plano pp 33ii 22 jj yy qq 7ii7 44 jj. Expresar el vector. Expresar el vector AA 22ii 11jj enen

39.

39. Dado los vectores en el planoDado los vectores en el plano pp 77ii 44 jj

40.

40. Se dan los vectoresSe dan los vectores aa 33ii 11jj ,, bb 11ii 22 jj yy cc ==−−11ii++77 j j. Determinar la descomposición del. Determinar la descomposición del

vector

vector pp aa

rr

bb cc

rr

en base de los vectoresen base de los vectores aa y y bb ..

41.

41. Se dan los vectoresSe dan los vectores aa 66ii 22 jj ,, bb 11ii 5jj5 yy cc ==−−11ii ++77 j j . Determinar la descomposición del. Determinar la descomposición del vector vector_p_p aa bb cc 2 2

rr

en base de los vectores

en base de los vectores aa y y bb ..

42.

42. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar laSe conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la descomposición del vector

descomposición del vector _AD_AD tomado como base los vectorestomado como base los vectores AABB yy AACC..

43.

descomposición del vector _BD_BD tomado como base los vectorestomado como base los vectores AABB yy AACC..

44.

descomposición del vector _CD_CD tomado como base los vectorestomado como base los vectores AB AB y y AC AC ..

45.

descomposición del vector _A_AD_D _B_BC_C _C_CD_D tomado como base los vectorestomado como base los vectores AABB yy AACC..

LLiicc.., , WWAALLTTEER R PPEERREEZ Z TTEERRRREELL/ / wwaalltteerr__ppeerreezz__tteerrrreell@@hhoottmmaaiill..ccoomm//999977008899993311 PPáággiinna a 1122 yy qq 22ii 11jj. Expresar el vector. Expresar el vector AA 33ii 22 jjenen

(13)

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)

46.

46. Se dan los vectoresSe dan los vectores pp 33ii 22 jj ,, qq 11ii 11jj yy r r 22i i 11jj. Determinar la descomposición del. Determinar la descomposición del

vector

vector c c 111 i 1 i 6 6 jj en base de los vectoresen base de los vectores pp; q; q yy r r ..

47.

47. Se dan los vectoresSe dan los vectores pp 33ii 22 jj 11k k ,, qq 11ii 11jj 22k k yy rr 22ii 11jj 33k k . Determinar la. Determinar la

descomposición del vector

descomposición del vector cc 1111ii 66 jj 55k k en base de los vectoresen base de los vectores pp; q; q yy r r ..

48.

48. Los vectoresLos vectores aa y ybb forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo queforman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que aa ==33 y y bb ==44. Calcular:. Calcular:

b b a a••

49.

( ( ))

22

a a

50.

( (

))

22 b b a a++ 51.

( (

))

22 b b a a−− 52.

53.

( (

))

22 2 2 3 3aa++ bb 54.

54. Conociendo los vectoresConociendo los vectores aa ==11 j j,, bb ==11ii++22 j j yy cc ==33ii. Determinar:. Determinar:

cc b b a a cc b b cc a a b b a a E E __  __ + + + + •• + + •• + + •• = = 55.

55. Conociendo los vectoresConociendo los vectores aa ==33ii ++11 j j ,, bb ==11ii ++22 j j yy cc ==−−44ii++22 j j. Determinar:. Determinar:

cc b b a a cc b b cc a a b b a a K K __  __ + + + + •• + + •• + + •• = = 56.

56. Los vectoresLos vectores aa y ybb son perpendiculares entre si, además el vectorson perpendiculares entre si, además el vector ccforma con cada uno deforma con cada uno de ellos un ángulo de 60°. Sabiendo que:

ellos un ángulo de 60°. Sabiendo que: aa ==33 ,,bb ==55 yy cc ==88 calcular:calcular:

57.

57. Los vectoresLos vectores aa y ybb son perpendiculares entre si, además el vectorson perpendiculares entre si, además el vector ccforma con cada uno deforma con cada uno de ellos un ángulo de 60°. Sabiendo que:

ellos un ángulo de 60°. Sabiendo que: aa ==33 ,,bb ==55 yy cc ==88 calcular:calcular:

_{( (}

₎₎

22

cc b b a a ++ ++ 58.

58. Cada par de vectoresCada par de vectores aa bb y ycc

,, forman entre si un ángulo de 60°. Sabiendo queforman entre si un ángulo de 60°. Sabiendo que aa ==44 ,,bb ==22 yy

6 6

= =

cc Determina el módulo deDetermina el módulo de

( (

aa ++bb ++cc

))

..

59.

59. Para que valores de “m” los vectoresPara que valores de “m” los vectores aa mm..ii 33jj 22k k yy bb 11ii 22 jj m..k mk son perpendicularesson perpendiculares

entre sí. entre sí.

60.

60. Para que valores de “p” los vectoresPara que valores de “p” los vectores aa 1122..ii pp..jj 22 k k yy b b 11i i 2 j 2 j pp..k k son perpendicularesson perpendiculares

entre sí. entre sí.

61.

61. Sabiendo queSabiendo que aa ==33 yy bb ==55 determinar para que valor de “q” los vectoresdeterminar para que valor de “q” los vectores

( (

aa ++qq..bb

))

yy

( (

aa −−qq..bb

))

son perpendiculares entre sí. son perpendiculares entre sí.

62.

62. Sabiendo queSabiendo que aa ==44 yy bb ==22 determinar para que valor de “q” los vectoresdeterminar para que valor de “q” los vectores

( (

aa ++qq..bb

))

yy

3

3aa

rr

22bb aa

rr

2b2b

3

(14)

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)

63.

63. ¿Qué condición deben satisfacer los vectores¿Qué condición deben satisfacer los vectores aa y y bb para quepara que

( (

aa ++bb

))

yy

( (

aa −−bb

))

seansean perpendiculares entre sí?

perpendiculares entre sí?

64.

64. Demostrar que el vectorDemostrar que el vector p p ==bb

( (

aa••cc

))

−−cc

( (

aa ••bb

))

es perpendicular con el vectores perpendicular con el vector aa ..

65.

65. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2; 2), B (1; 4; 0), C (-4; 1; 1) y D (-5; -5; 3).Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2; 2), B (1; 4; 0), C (-4; 1; 1) y D (-5; -5; 3). Demostrar que las diagonales AC y BD son perpendiculares entre sí.

Demostrar que las diagonales AC y BD son perpendiculares entre sí.

66.

66. Los vectoresLos vectores aa y ybb forman 30° entre sí. Sabiendo que:forman 30° entre sí. Sabiendo que: aa == 33 yy bb ==11 Determine la medidaDetermine la medida del ángulo que forman entre si los vectores

del ángulo que forman entre si los vectores

( (

aa ++bb

))

yy

( (

aa −−bb

))

67.

67. Los vectoresLos vectores aa y ybb forman 120° entre sí. Sabiendo que:forman 120° entre sí. Sabiendo que: aa ==55 yy bb ==55 Determine la medidaDetermine la medida del ángulo que forman entre si los vectores

del ángulo que forman entre si los vectores

( (

aa ++bb

))

yy

( (

aa −−bb

))

68.

68. Los vectoresLos vectores aa y ybb forman 60° entre sí. Sabiendo que:forman 60° entre sí. Sabiendo que: aa ==55 yy bb ==33 Determina la medida delDetermina la medida del ángulo que forman entre si los vectores

ángulo que forman entre si los vectores

( (

aa ++bb

))

yy

( (

aa −−bb

))

69.

69. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices deCalcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo isósceles.

los ángulos agudos de un triángulo rectángulo isósceles.

70.

70. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices deCalcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos lados son directamente proporcionales a los los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos lados son directamente proporcionales a los números 3, 4 y 5.

números 3, 4 y 5.

71.

71. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices deCalcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos lados son directamente proporcionales a los los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos lados son directamente proporcionales a los números 5, 12 y 13.

números 5, 12 y 13.

72.

72. Calcular la componente del vectorCalcular la componente del vector A A==55ii ++22 j j++55k k sobre el eje del vectorsobre el eje del vector B B ==22ii−−11 j j ++22k k

73.

73. Calcularla proyección del vectorCalcularla proyección del vector A A==1010ii++55 j j sobre el eje del vectorsobre el eje del vector B B ==33ii ++44 j j

74.

74. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular laSe conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del ángulo interno del vértice C.

medida del ángulo interno del vértice C.

75.

75. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular laSe conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del ángulo interno del vértice B.

medida del ángulo interno del vértice B.

76.

76. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular laSe conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del ángulo interno del vértice A.

medida del ángulo interno del vértice A.

77.

77. El vector de móduloEl vector de módulo aa ==5050 es colineal con el vectores colineal con el vector bb ==66ii−−88 j j−−77,,55k k y forma un ánguloy forma un ángulo agudo con el eje OZ. Determine las componentes cartesianas del vector

agudo con el eje OZ. Determine las componentes cartesianas del vector _a_a..

78.

78. Determine las componentes cartesianas del vectorDetermine las componentes cartesianas del vector _a_a sabiendo que es colineal con el vectorsabiendo que es colineal con el vector

k k j j ii b

b ==22 ++11 −−11 y satisface la condicióny satisface la condición aa••bb==33..

79.

79. Determinar el vectorDeterminar el vector _m_m, si se sabe que es perpendicular con los vectores:, si se sabe que es perpendicular con los vectores: A A==22ii++33 j j−−11k k yy

k k j j ii B

B ==11 −−22 ++33 además satisface a la condición:además satisface a la condición: mm••

( (

11ii −−11 j j ++11k k

))

== −−66

80.

80. Se dan los vectoresSe dan los vectores A A==33ii−−11 j j ++55k k yy B B ==11ii++22 j j −−33k k . Determinar el vector. Determinar el vector _X_Xque esque es perpendicular al eje OZ y satisface a las condiciones:

perpendicular al eje OZ y satisface a las condiciones: _X_X_•_• _A_A₌₌ ₉₉ yy_X_X_••_B_B ₌₌ ₋₋₄₄

81.

81. Se dan los vectoresSe dan los vectores A A==22ii−−11 j j ++33k k ,, B B ==11ii −−33 j j ++22k k yy C C ==33ii++22 j j−−33k k . Determinar el. Determinar el

vector

vector _X_Xque satisface a las condiciones:que satisface a las condiciones:_X_X_•• _A_A₌₌ ₋₋₅₅ ,, _X_X_••_B_B ₌₌ ₋₋₁₁₁₁ yy_X_X_••_C_C₌₌ ₂₀₂₀

82.

82. Determinar las componentes del vectorDeterminar las componentes del vector S S 44i i 33j j 22 k k sobre el ejesobre el eje _L_Lque forma con los ejesque forma con los ejes

cartesianos ángulos agudos iguales. cartesianos ángulos agudos iguales.

83.

83. Dado los vectoresDado los vectores AA,, BB;; CC yy DDse cumple que:se cumple que: A A==44ii ++33 j j++44k k yy B B ==22ii++22 j j−−11k k además seademás se

sabe que

sabe que CC es paralelo aes paralelo a _B_By el vectory el vector _D_D es ortogonal cones ortogonal con _B_B. Si. Si AA CC DD determinar lasdeterminar las

expresiones vectoriales de

expresiones vectoriales de CC yy DD..

(15)

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)

84.

b b a a×× 85.

85. Sabiendo queSabiendo que aa ==1010 y y bb == 22, además, además aa••bb ==1212. Calcular:. Calcular: aa××bb

86.

86. Sabiendo queSabiendo que aa ==33 y y bb == 2626, además, además aa××bb ==7272. Calcular:. Calcular: aa••bb

87.

87. Sabiendo queSabiendo que aa ==33 y y bb == 44, además, además aa••bb ==00. Calcular:. Calcular:

(

( )

aa ++bb

) (

××

( ))

aa−−bb

88.

88. Sabiendo queSabiendo que aa ==33 y y bb == 44, además, además aa••bb ==00. Calcular:. Calcular:

(

( )

33aa −−bb

) (

××

(

aa−−22bb

))

89.

89. Los vectoresLos vectores aa y ybb forman 120° entre sí. Sabiendo que:forman 120° entre sí. Sabiendo que: aa ==11 yy bb ==22 . Calcular:. Calcular:

_{( (}

₎₎

22

b b a a×× 90.

(

)

) (

(

))

22 2 2 2 2aa bb aa bb + + × × + + 91.

(

)

) (

(

))

22 2 2 3 3 3 3bb aa bb a a++ ×× −− 92.

92. Dado los vectoresDado los vectores A A==33ii −−11 j j−−22k k yy B B ==11ii ++22 j j−−11k k determinar las componentes vectorialesdeterminar las componentes vectoriales de:

de: aa××bb

93.

de:

( (

aa ++bb

))

××bb

94.

de:

( (

22aa −−bb

))

××

( (

22aa ++bb

))

95.

de:

( (

22aa −−33bb

))

××

( (

33aa ++22bb

))

96.

96. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar lasSe conocen los vértices de un cuadrilátero: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las componentes vectoriales de:

componentes vectoriales de: _A_AB_{B B}_BC_C

97.

97. Se conocen los vértices de un triángulo: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar lasSe conocen los vértices de un triángulo: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las componentes vectoriales de:

componentes vectoriales de: CCBB

98.

98. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; 2), B (7; 6) y C (9; 2), calcular la longitud de laSe conocen los vértices de un triángulo: A (1; 2), B (7; 6) y C (9; 2), calcular la longitud de la altura bajada desde el vértice B al lado AC.

altura bajada desde el vértice B al lado AC.

99.

99. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; -1; 2), B (5; -6; 2) y C (1; 3; -1), calcular laSe conocen los vértices de un triángulo: A (1; -1; 2), B (5; -6; 2) y C (1; 3; -1), calcular la longitud de la altura bajada desde el vértice B al lado AC.

longitud de la altura bajada desde el vértice B al lado AC.

100.

100. La fuerzaLa fuerza FF 33ii 2 jj 42 4 k k está aplicada al punto A (2; -1; -2). Determinar el torqueestá aplicada al punto A (2; -1; -2). Determinar el torque τ τ dede

esta fuerza respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que

esta fuerza respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que _τ_τ _{rr F}_Fdondedonde rr OAOAes el vectores el vector

posición. posición.

101.

101. La fuerzaLa fuerza FF 22ii 4 jj 54 5k k está aplicada al punto A (4; -2; 3). Determinar el torqueestá aplicada al punto A (4; -2; 3). Determinar el torque τ τ de estade esta

fuerza respecto del punto B (3; 2; -1). Sabiendo que

fuerza respecto del punto B (3; 2; -1). Sabiendo que _τ_τ _{rr F}_Fdondedonde rr BABAes el vector posición.es el vector posición.

102.

102. La fuerzaLa fuerza FF 33ii 2 jj 22 2 k k está aplicada al punto A (2; -1; 1). Determinar el torqueestá aplicada al punto A (2; -1; 1). Determinar el torque τ τ dede

esta fuerza respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que

esta fuerza respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que _τ_τ _{rr F}_Fdondedonde rr OAOAes el vectores el vector

posición. posición.

103.

103. Dado los vectoresDado los vectores A A==22ii −−11 j j−−22k k yy B B ==33ii++22 j j−−22k k , determinar los cosenos directores, determinar los cosenos directores B