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Ejercicios Valor Absoluto

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Academic year: 2021

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(1)

Si Si xx

∈∈

RR, , yy

∈∈

RR, , yy



= 0 entonces= 0 entonces xx yy

∈∈

RR ∴ ∴





x x yy





==

 

 

xx yy

22 ==

 

 

xx22 yy22 ==

√ 

√ 

xx22

 

 

yy22 ==

||

xx

||

||

yy

||





x x yy





==

||

x x

||

||

yy

||

Propiedad 6 Propiedad 6

∀∀

x, x, xx

∈∈

RR::

||

xx

||

22 == xx22 Demostraci´ Demostraci´onon

∀∀

x, x, xx

∈∈

RR:: , se tien, se tiene que:e que:

||

xx

||

==

√ 

√ 

xx22

⇒ ||

xx

||

22 = = ((

√ 

√ 

xx22 ))22

⇒ ||

xx

||

22 = = xx22 pues

pues

∀∀

a, a, aa

∈∈

RR ((

√ 

√ 

aa

∈∈

RR ==

((

√ 

√ 

aa))22 == aa))

∀∀

x, x, xx

∈∈

RR::

||

xx

||

22 == xx22

Propiedad 7 Propiedad 7

Sea

Sea xx una variable real yuna variable real y kk un n´un n´umero real positivo entonces:umero real positivo entonces:

||

xx

||

== kk

⇐⇒

xx == kk ´´oo xx ==

kk

Demostraci´ Demostraci´on:on:

Como

Como

||

xx

||

==

√ 

√ 

xx22,, se tiene:se tiene:

||

xx

||

== kk

⇐⇒

√ 

√ 

xx22 == kk

⇐⇒

((

√ 

√ 

xx22))22 == kk22

⇐⇒

xx22 = = kk22

⇐⇒

xx22

kk22 = = 00

⇐⇒

((xx

kk)()(xx ++ kk) ) = = 00

⇐⇒

xx == kk oo xx ==

kk ∴ ∴

||

xx

||

== kk

⇐⇒

xx == kk oo xx ==

kk

(2)

x x22 , se tiene: , se tiene:

||

xx

||

< < kk

⇐⇒

√ 

√ 

xx22 < < kk

⇐⇒

((

√ 

√ 

xx22 ))22 < < kk22

⇐⇒

xx22 < < kk22

⇐⇒

xx22

kk22 < < 00

⇐⇒

((xx

kk)()(xx ++ kk)) << 00 Resolviendo esta inecuaci´ Resolviendo esta inecuaci´on:on:

−∞

−∞ −

k k kk ++

x x

kk

− −

++ x x ++ kk

+ + ++ ((xx

kk)()(xx ++ kk) ) ++

++ De

De aqu´aqu´ı ı se se tientiene:e:

((xx

kk)()(xx ++ kk)) << 00

⇐⇒

xx

∈∈

]]

k,k, kk[[ o sea: o sea:

k < x < kk < x < k ∴ ∴

||

xx

||

< < kk

⇐⇒

⇒ −

k < x < kk < x < k Propiedad 9 Propiedad 9 Sea

Sea xx una variable real yuna variable real y kk un n´un n´umero real positivo entonces:umero real positivo entonces:

||

xx

||

> > kk

⇐⇒

x > x > kk oo x x <<

kk

Demostraci´ Demostraci´on:on:

Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 9, ya demostrada, dejaremos esta demostraci´ Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 9, ya demostrada, dejaremos esta demostraci´onon como ejercicio para el estudiante.

como ejercicio para el estudiante.

Propiedad 10 Propiedad 10

(3)

Sea

Sea xx una variable real yuna variable real y kk un n´un n´umero real positivo entonces:umero real positivo entonces:

i.

i.))

||

xx

| | ≤

kk

⇐⇒

⇒ −

kk

xx

kk ii.

ii.))

||

xx

| | ≥

kk

⇐⇒

xx

kk oo xx

kk

Demostraci´ Demostraci´on:on:

El procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8. El procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8. Dejaremos esta demostraci´

Dejaremos esta demostraci´on como ejercicio para el estudiante.on como ejercicio para el estudiante.

Propiedad 11 Propiedad 11

∀∀

x, x, xx

∈∈

RR::

−|

−|

xx

| | ≤

xx

≤ ||

xx

||

Demostraci´

Demostraci´on:on:

Sabemos que Sabemos que

∀∀

x, x, xx

∈∈

RR ::

||

xx

||

==

x x sisi xx

00

xx sisi x x << 00 Caso 1: Caso 1: xx

00 x x

0 0 ==

xx ==

||

xx

||

∴ ∴ xx

≤ ||

xx

||

(*)(*) Adem´

Adem´as comoas como

||

xx

| | ≥

0 0 enentontoncesces

−|

−|

xx

| | ≤

0 0 y y cocomomo xx

0 0 ententonceonces:s:

−|

−|

xx

| | ≤

xx ((

∗∗

∗∗

)) As´

As´ı ı ppor or ((

∗∗

) ) y y ((

∗∗

∗∗

) se tiene que:) se tiene que:

−|

−|

xx

| | ≤

xx yy xx

≤ ||

xx

||

∴ ∴

−|

−|

xx

| | ≤

xx

≤ ||

xx

||

((I I )) Caso 2: Caso 2: x x << 00 x x << 0 0 ==

||

xx

||

==

xx = =

⇒ −|

−|

xx

||

== xx ∴ ∴

−|

−|

xx

| | ≤

xx ((

∗∗ ∗∗ ∗∗

)) Adem´

Adem´as comoas como x x << 0 0 yy

||

xx

| | ≥

0 entonces0 entonces x

x

≤ ||

xx

||

((

∗∗∗∗

∗∗∗∗

)) As´

As´ı ı ppor or ((

∗∗ ∗∗ ∗∗

) ) y y ((

∗∗∗∗

∗∗∗∗

) se tiene que:) se tiene que:

−|

−|

xx

| | ≤

xx yy xx

≤ ||

xx

||

−|

−|

xx

| | ≤

xx

≤ ||

xx

||

((III I )) Por lo tanto de (

(4)

∀∀

x, x, xx

∈∈

RR::

−|

−|

xx

| | ≤

xx

≤ ||

xx

||

Propiedad 12

Propiedad 12 (desigualdad triangular)(desigualdad triangular) Si

Si xx

∈∈

RR, , yy

∈∈

RR entoncesentonces

||

xx ++ yy

| | ≤

≤ ||

xx

||

++

||

yy

||

Demostraci´

Demostraci´on:on:

Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema: Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema:

Lema: Lema: Sean Sean aa

∈∈

RR, , bb

∈∈

RR, , cc

∈∈

RR, , dd

∈∈

RR Si Si aa

bb yy cc

d entoncesd entonces aa ++ cc

bb ++ dd Demostraci´

Demostraci´onon (del lema)(del lema) Supongamos que

Supongamos que aa

bb yy cc

d, hay que demostrar qued, hay que demostrar que aa ++ cc

bb ++ dd i.

i.)) aa

bb ==

aa ++ cc

bb ++ cc ii.

ii.)) cc

dd ==

bb ++ cc

bb ++ dd por

por i.i.) ) yy ii.ii.) ) se tse tieiene qne queue aa ++ cc

bb ++ dd

Nota:

Nota: El lema anterior expresa que si se tienen desigualdadesEl lema anterior expresa que si se tienen desigualdades aa

bb yy cc

dd podemos sumar miembro apodemos sumar miembro a miembro estas desigualdades de la manera siguiente:

miembro estas desigualdades de la manera siguiente: a

a

bb cc

dd a

a ++ cc

bb ++ dd

Estamos ahora en condiciones de demostrar la desigualdad triangular. Estamos ahora en condiciones de demostrar la desigualdad triangular.

Demostraci´

Demostraci´on de la Propiedad 12on de la Propiedad 12 (desigual(desigualdad dad triangultriangular).ar).

∀∀

x, x, xx

∈∈

RR,,

∀∀

y, y, yy

∈∈

RR, se tiene que:, se tiene que:

−|

−|

xx

| | ≤

xx

≤ ||

xx

||

yy

−|

−|

yy

| | ≤

yy

≤ ||

yy

||

Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene: Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene:

−|

−|

xx

||

++

−|

−|

yy

| | ≤

x +x+ yy

≤ ||

xx

||

++

||

yy

||

((

||

xx

||

++

||

yy

||

))

xx ++ yy

≤ ||

xx

||

++

||

yy

||

(5)

5.1

5.1.2

.2 Ecu

Ecuacio

aciones q

nes que in

ue inv

volu

olucran v

cran valo

alor abso

r absolut

luto

o

A continuaci´

A continuaci´on resolveremos algunas ecuaciones que involucran valor absoluto, para esto utilizaremos, siempreon resolveremos algunas ecuaciones que involucran valor absoluto, para esto utilizaremos, siempre que

que sea sea posibposible, le, algualgunas nas propropiedpiedades enuncades enunciadaiadas s ananterterioriormenmente te y y en en los los que que no no sea sea posiposible ble apliaplicar algunacar alguna de

de dichdichas as propiepropiedades, dades, resolvresolveremos las eremos las ecuacioecuaciones nes correscorrespondientpondientes es usando la usando la definicidefinici´´on de valor absoluto.on de valor absoluto. Adem´

Adem´as es importante tener en cuenta que toda ecuaci´as es importante tener en cuenta que toda ecuaci´on que involucre valor absoluto se puede resolver usandoon que involucre valor absoluto se puede resolver usando la

la dedefinfinicici´i´onon..

Ejercicios 1 Ejercicios 1

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones

1.) 1.)

||

22xx

33

||

= = 77 2.) 2.)

||

xx

||

= = 55 3.) 3.)

||

xx

33

||

==

33 4.) 4.)

||

xx + 8+ 8

||

= = 00 5.) 5.)

||

22xx + 3+ 3

||

==

99 6.) 6.)

||

xx + 3+ 3

||

= = 5 +5 + xx 7.) 7.)

||

11

33xx

||

++ xx ==

33 8.) 3 8.) 3

||

xx + 4+ 4

|| −

2 2 == xx 9.) 9.) 44

 

 

(2(2xx

15)15)44 = = 1010 10.) 10.)

 

 

(3(3

22xx))22 ++ xx = = 33 11.) 2 11.) 2 44

 

 

(5(5

44xx))44 == xx + 2+ 2 Soluci´ Soluci´onon 1.) 1.)

||

22xx

33

||

= = 77 Por la propiedad 7 Por la propiedad 7

||

22xx

33

||

= = 77

⇐⇒

22xx

33 == 77 oo 22xx

3 3 ==

77

⇐⇒

22xx == 1100 oo 22xx ==

44

⇐⇒

xx = = 5 5 oo xx ==

22 ∴ ∴ S S  ==

{−

{−

22,, 55

}}

Observaci´

Observaci´on:on: Como dijimos anteriormente, todas las ecuaciones que involucran valor absoluto se puedenComo dijimos anteriormente, todas las ecuaciones que involucran valor absoluto se pueden resolver usando la definici´

resolver usando la definici´on. Para ilustrar esto resolveremos la ecuaci´on. Para ilustrar esto resolveremos la ecuaci´on anterior usando la definici´on anterior usando la definici´on deon de valor absoluto.

(6)

22 y y 22xx

33 << 00

⇐⇒

22x x << 33; ; o o sseeaa x x << 33 22 ∴ ∴

||

22xx

33

||

==

22xx

3 3 sisi xx

33 22

(2(2xx

33) ) ssii x x << 33 22 Con esta informaci´

Con esta informaci´on construimos la tabla siguiente:on construimos la tabla siguiente:

−∞

−∞

33//2 2 ++

||

22xx

33

| |

(2x(2x

3) 3) 22xx

33

||

22xx

33

||

= = 77

(2(2xx

33) ) = = 7 7 22xx

3 3 = = 77

22xx + + 3 3 = = 7 7 22xx = = 1010

22xx = = 44 xx = = 55 x x ==

22 como como

22

∈∈



−∞

−∞

,, 33 22



como 5como 5

∈∈



3322,, ++



∴ ∴ S S 11 ==

{{

-2-2

}}

∴∴ S S 22 ==

{{

55

}}

As

As´´ı ı el el conjconjunto unto solusoluci´ci´on eson es S S  == S S 11

∪∪

S S 22 o seao sea S S  ==

{{

-2,5-2,5

}}

2.) 2.)

||

xx

||

= = 55 Por la propiedad 7: Por la propiedad 7:

||

xx

||

= = 55

⇐⇒

xx = = 5 5 oo xx ==

55 ∴ ∴ S S  ==

{−

{−

55,, 55

}}

(7)

3.)

3.)

||

xx

33

||

==

33

Por la propiedad 1,

Por la propiedad 1,

||

xx

33

| | ≥

00,,

∀∀

x,x, xx

∈∈

RR, por lo tanto:, por lo tanto:

||

xx

33

||

==

3 !Nunca!3 !Nunca! ∴ ∴ S S  ==

∅∅

4.) 4.)

||

xx + 8+ 8

||

= = 00 Por la propiedad 2, Por la propiedad 2,

||

xx + 8+ 8

||

= = 00

⇐⇒

xx + + 8 8 = = 00

⇐⇒

xx ==

88 ∴ ∴ S S  ==

{−

{−

88

}}

5.) 5.)

||

22xx + 3+ 3

||

==

99 Por la propiedad 1, Por la propiedad 1,

||

22xx + 3+ 3

| | ≥

00,,

∀∀

x,x, xx

∈∈

RR ∴ ∴

||

22xx + 3+ 3

||

==

9 9 ¡¡NNuunnccaa!! ∴ ∴ S S  ==

∅∅

6.) 6.)

||

xx + 3+ 3

||

= = 5 +5 + xx Nota:

Nota: En este caso no es posible aplicar alguna de las propiedades anteriores, por lo que procedemos deEn este caso no es posible aplicar alguna de las propiedades anteriores, por lo que procedemos de la siguiente manera: la siguiente manera:

||

xx + 3+ 3

||

==

x x + + 3 3 ssii xx + 3+ 3

00

((xx + + 33) ) ssii xx + 3+ 3 << 00 o sea: o sea:

||

xx + 3+ 3

||

==

x x + + 3 3 ssii xx

≥ −

33

((xx + + 33) ) ssii x x <<

33 Con

Con esta esta inforinformaci´maci´on construimos la siguiente tabla:on construimos la siguiente tabla:

−∞

(8)

||

xx + 3+ 3

| |

((xx + 3)+ 3) xx + 3+ 3

||

xx + 3+ 3

||

= = 5 +5 + xx

((xx + 3) = 5 ++ 3) = 5 + x x xx + 3 = 5 ++ 3 = 5 + xx Resolviendo esta ecuaci´

Resolviendo esta ecuaci´on: on: Resolviendo Resolviendo esta esta ecuaci´ecuaci´on:on:

xx

3 = 5 +3 = 5 + x x xx + 3 = 5 ++ 3 = 5 + xx

xx

xx == 5 + 35 + 3 xx

xx == 55

33

22xx == 88 00== 22 x x ==

44 como como

44

∈∈

]]

−∞

−∞

,,

3[3[ ∴ ∴ S S 11 ==

{−

{−

44

}}

∴∴ S S 22 ==

∅∅

As

As´´ı ı el el conjconjunto unto solusoluci´ci´onon S S  dede

||

xx + 3+ 3

||

= = 5 +5 + xx eses S S 11

∪∪

S S 22,, o seao sea S S  ==

{−

{−

44

}}

7.)

7.)

||

11

33xx

||

++ xx ==

33

En este caso debemos proceder como en el ejemplo anterior: En este caso debemos proceder como en el ejemplo anterior:

||

11

33xx

||

==

11

33xx si si 11

33xx

00

(1(1

33xx) ) ssi i 11

33x x << 00 p peerroo: : 11

33xx

00

⇐⇒

⇒ −

33xx

≥ −

11, , o o sseeaa xx

11 33 y y 11

33x x << 00

⇐⇒

⇒ −

33x x <<

11, , o o sseeaa x x >> 11 33

||

11

33xx

||

==

11

33xx sisi xx

11 33

(1(1

33xx) ) sisi x x >> 11 33 Con esta informaci´

(9)

−∞

−∞

1133 ++

||

11

33xx

||

11

33xx

(1(1

33xx))

||

11

33xx

||

++ xx ==

3 3 11

33xx ++ xx ==

33

(1(1

33xx) +) + xx ==

33

22xx ==

44

1 + 31 + 3xx ++ xx ==

33 x x = = 2 2 44xx ==

22 Como 2 Como 2

∈∈



−∞

−∞

,, 11 33



xx ==

11 22 como como

11 22

∈∈

//



11 33,, ++



∴ ∴ S S 11 ==

∅∅

entonces:entonces: ∴ ∴ S S 22 ==

∅∅

As´

As´ı ı el el coconjnjuntunto o sosolulucici´´onon S S  dede

||

11

33xx

||

+ x+x ==

3 3 eses S S 11

∪∪

S S 22 o seao sea S S  ==

∅∅

8.) 3 8.) 3

||

xx + 4+ 4

|| −

2 2 == xx En este caso: En este caso:

||

xx + 4+ 4

||

==

x x + + 4 4 ssii xx + 4+ 4

00

((xx + + 44) ) ssii xx + 4+ 4 << 00 o sea: o sea:

||

xx + 4+ 4

||

==

x x + + 4 4 ssii xx

≥ −

44

((xx + + 44) ) ssii x x <<

44 Con esta informaci´

(10)

−∞

−∞

4 4 ++

||

xx + 4+ 4

| |

((xx + 4)+ 4) xx + 4+ 4 33

||

xx + 4+ 4

|| −

2 =2 = xx 3[3[

((xx + 4)]+ 4)]

2 2 == xx 3(3(xx + 4)+ 4)

2 2 == xx 3[ 3[

xx

4]4]

2 =2 = xx 33xx + 12+ 12

2 2 == xx

33xx

1212

2 =2 = xx 33xx

xx + 10 = 0+ 10 = 0

33xx

1414

x = x = 0 0 22xx ==

1010

44xx = = 1414 xx ==

55 x x ==

1414 44 ComoComo

55

∈∈

[[

44,, ++

[[ x x ==

77 22 entonces:entonces: S S 22 ==

∅∅

Como Como

77//22

∈∈

]]

− ∞

,,

4]4] entonces: entonces: S S 11 ==

∅∅

De

De aquaqu´´ı ı se se tietiene ne que que el el conjconjunto unto solusoluci´ci´onon S S  de de 33

||

xx

44

|| −

2 2 == xx es vaces vac´´ıo ıo o seo seaa S S  ==

∅∅

9.) 9.) 44

 

 

(2(2xx

15)15)44 = = 1010 4 4

 

 

(2(2xx

15)15)44 = = 1010

⇐⇒

||

22xx

1515

||

= = 1010

⇐⇒

22xx

115 5 = = 110 0 o o 22xx

15 15 ==

1010

⇐⇒

22xx = = 225 5 o o 22xx = = 55

⇐⇒

xx == 2525 22 oo xx == 55 22 ∴ ∴ S S  ==

2525 22 ,, 55 22

10.) 10.)

 

 

(3(3

xx))22 = = 55

 

 

(3(3

xx))22 = = 55

⇐⇒

||

33

xx

||

= = 55

⇐⇒

33

xx = = 5 5 o o 33

xx ==

55

⇐⇒

⇒ −

xx = = 2 2 oo

xx ==

88

⇐⇒

xx ==

2 2 oo xx = = 88 ∴ ∴ S S  ==

{−

{−

22,, 88

}}

(11)

11.) 11.)

 

 

(3(3

22xx))22 + + xx = = 33

 

 

(3(3

22xx))22 ++ xx = = 33

⇐⇒

||

33

22xx

||

++ xx = = 33 Pero: Pero:

||

33

22xx

||

==

33

22xx si si 33

22xx

00

(3(3

22xx) ) ssi i 33

22x x << 00 C

Coommoo: : 33

22xx

00

⇐⇒

⇒ −

22xx

≥ −

33, , o o sseeaa xx

33 22 y y 33

22x x << 00

⇐⇒

⇒ −

22x x <<

33, , o o sseeaa x x >> 33 22 ∴ ∴

||

33

22xx

||

==

33

22xx sisi xx

33 22

(3(3

22xx) ) sisi x x >> 33 22 Con esta informaci´

Con esta informaci´on construimos la siguiente tabla:on construimos la siguiente tabla:

−∞

−∞

33//2 2 ++

||

33

22xx

||

33

22xx

(3(3

22xx))

||

33

22xx

||

++ xx = = 3 3 33

22xx ++ xx = = 33

(3(3

22xx) +) + xx = = 33

xx = = 33

33

3 + 23 + 2xx ++ xx = = 33

xx = = 0 0 33xx = = 66 x x = = 00 xx = = 22 como 0 como 0

∈∈



−∞

−∞

,, 33 22



como 2como 2

∈∈



3322,, ++



∴ ∴ S S 11 ==

{{

00

}}

∴∴ S S 22 ==

{{

22

}}

De

De aquaqu´´ı ı se se tiene tiene que que el el conjunto soluci´conjunto soluci´onon S S  dede

 

 

(3(3

22xx))22 ++ xx = 3 es= 3 es

{{

00,, 22

}}

o sea;o sea; S S  ==

{{

00,, 22

}}

12.) 2 12.) 2 44

 

(12)

22

||

55

44xx

||

== xx + 2+ 2 Pero: Pero:

||

55

44xx

||

==

55

44xx si si 55

44xx

00

(5(5

44xx) ) ssi i 55

44x x << 00 C

Coommoo: : 55

44xx

00

⇐⇒

⇒ −

44xx

≥ −

55, , o o sseeaa xx

55 44 y y 55

44x x << 00

⇐⇒

⇒ −

44x x <<

55, , o o sseeaa x x >> 55 44 ∴ ∴

||

55

44xx

||

==

55

44xx sisi xx

55 44

(5(5

44xx) ) sisi x x >> 55 44 Con esta informaci´

Con esta informaci´on construimos la siguiente tabla:on construimos la siguiente tabla:

−∞

−∞

55//4 4 ++

||

55

44xx

||

55

44xx

(5(5

44xx)) 22

||

55

44xx

||

= x= x + + 2 2 22((55

44xx) ) == xx + + 2 2 22[[

(5(5

44xx)] )] == xx + 2+ 2 10 10

88xx == xx + + 2 2 22[[

5 + 45 + 4xx] ] == xx + 2+ 2

88xx

xx == 22

1010

1010 + 8+ 8xx == xx + 2+ 2

99xx ==

8 8 88xx

xx = 2 + 10= 2 + 10 x x == 88 99 77xx == 1212 x x == 1212 77 como como 88 99

∈∈



−∞

−∞

,, 55 44



comocomo 1212 77

∈∈



55 44,, ++



∴ ∴ S S 11 ==

88 99

2 2 ==

12 12 77

De

De aquaqu´´ı ı se se tietiene ne que que el el conjconjunto unto solusoluci´ci´onon S S  de de 22 44

 

 

(5(5

44xx))44 = = xx ++ 3 3 eses

88 99,, 12 12 77

,, oo seasea S S  ==

88 99,, 12 12 77

Ejercicios 2 Ejercicios 2

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones: Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

1.)

(13)

2.) 2.)

||

22xx + 5+ 5

||

==

88 3.) 3.)

|| −

22xx + 9+ 9

||

= = 1111 4.) 4.)

33

||

33

22xx

||

==

1212 5.) 5.)

||

33xx + 2+ 2

||

== xx + 1+ 1 6.) 2 6.) 2

||

22xx

55

||

== xx

33 7.) 3 7.) 3

|| −

55xx

11

||

==

22xx + 3+ 3 8.) 8.)

11

22

||

55

33xx

||

== xx 9.) 9.) 66

 

 

(2(2xx + 1)+ 1)66 = = 33 10.) 10.)

22

 

 

(1(1

77xx))22 = =

66 11.) 11.)

 

 

((xx

2)2)22 + 3+ 3xx = = 66 12.) 12.) xx + 2+ 2 44

 

 

((xx

6)6)44 = = 55 13.) 2 13.) 2

||

xx

||

++

||

xx

11

||

= = 44 14.) 14.)

||

22xx

33

|| −

22

||

xx

||

= = 33 15.) 15.)





x x

11 x x + 1+ 1





= = 22 16.) 2 16.) 2

||

33xx

11

||

==

 

 

((xx

7)7)22 17.) 2 17.) 2

||

22

xx

||

++

||

22xx

11

||

== xx 18.) 18.)

||

33

22xx

|| −

33

||

xx + 2+ 2

|| −

xx = = 00 Nota:

Nota: En las ecuaciones, que resolveremos a continuaci´En las ecuaciones, que resolveremos a continuaci´on, omitiremos algunos pasos al escribir la definici´on, omitiremos algunos pasos al escribir la definici´on deon de cada uno de los valores absolutos involucrados.

cada uno de los valores absolutos involucrados.

Soluci´ Soluci´onon

1.) 2

1.) 2

||

xx

||

++

||

xx

11

||

= = 44

En este caso se tiene que: En este caso se tiene que:

a.) a.)

||

xx

||

==

x x sisi xx

00

xx sisi x x << 00 b.) b.)

||

xx

11

||

==

x x

1 1 sisi xx

11

((xx

11) ) ssii x x << 11 Con esta informaci´

(14)

−∞

−∞

0 0 1 1 ++

||

xx

| |

x x x x xx

||

xx

11

| |

((xx

1)1)

((xx

1)1) xx

11 22

||

xx

||

++

||

xx

11

||

= = 4 4 22xx ++

((xx

11) ) = = 4 4 22xx ++

((xx

11) ) = = 4 4 22((

xx) + () + (xx

1) = 41) = 4

22xx

xx + + 1 1 = = 4 4 22xx

xx + + 1 1 = = 4 4 22xx ++ xx

1 1 = = 44

33xx = = 33 x = x = 3 3 33xx = = 55 x x ==

11 xx == 55 33 como

como

11

∈∈

]]

− ∞

,, 00[ [ CCoommo o 33

∈∈

]0]0,, 11[ [ ccoommoo 55 33

∈∈



55 33,, ++



∴ ∴ S S 11 ==

{−

{−

11

}}

∴∴ S S 22 ==

∅∅

∴∴ S S 22 ==

55 De

De aquaqu´´ı ı se se tiene tiene que que el el conjunto conjunto soluci´soluci´on on de de 22

||

xx

||

++

||

xx

11

||

= 4 es= 4 es S S  dondedonde S S  == S S 11

∪∪

S S 22

∪∪

S S 33

∴ ∴ S S  ==

11,, 55 33

2.) 2.)

||

22xx

33

|| −

22

||

xx

||

= = 33

En este caso se tiene que: En este caso se tiene que:

a.) a.)

||

22xx

33

||

==

22xx

3 3 sisi xx

33 22

(2(2xx

33) ) ssii x x << 33 22 b.) b.)

||

xx

||

==

x x sisi xx

00

xx sisi x x << 00 Con esta informaci´

(15)

−∞

−∞

0 0 33//2 2 ++

||

22xx

33

| |

(2(2xx

3)3)

(2(2xx

3) 3) 22xx

33

||

xx

| |

x x x x xx

||

22xx

33

|| −

22

||

xx

||

= 33=

(2(2xx

3)3)

2(2(

xx) ) = = 33

(2(2xx

3)3)

2(x2(x) ) = = 3 3 22xx

33

22xx = = 33

22xx + 3 + 2+ 3 + 2xx = = 33

22xx + 3+ 3

22xx = = 33

3 3 = = 33 3 3 = = 33

44xx = = 00 ∴∴ S S 33 ==

∅∅

∴ ∴ S S 11 =]=]

− ∞

,, 0[0[ xx = = 00 como 0 como 0

∈∈



00,, 33 22



∴ ∴ S S 22 ==

{{

00

}}

De

De aquaqu´´ı ı que que el el conjunto conjunto soluci´soluci´on deon de

||

22xx

33

|| −

22

||

xx

||

= 3 es= 3 es S S  == S S 11

∪∪

S S 22

∪∪

S S 33

∴ ∴ S S  =]=]

− ∞

,, 0]0] 3.) 3.)





x x

11 x x + 1+ 1





= = 22





x x

11 x x + 1+ 1





= = 22

⇐⇒

||

x x

11

||

||

xx + 1+ 1

||

= = 22, , ppoor r lla a pprrooppiieeddaad d 55

⇐⇒

||

xx

11

||

= = 22

||

x + 1x + 1

||

((

∗∗

), con), con xx



==

11

⇐⇒

||

xx

11

||

22 = = (2(2

||

xx + 1+ 1

||

))22

⇐⇒

||

xx

11

||

22 = = 44

||

xx + 1+ 1

||

22

⇐⇒

((xx

1)1)22 = = 4(4(xx + 1)+ 1)22 ,

, ppoor r lla a pprrooppiieeddaad d 66

⇐⇒

xx22

22xx + + 1 1 = = 44((xx22 + 2 + 2xx + 1)+ 1)

⇐⇒

xx22

22xx + + 1 1 = = 44xx22 + 8 + 8xx + 4+ 4

⇐⇒

⇒ −

33xx22

1010xx

3 3 = = 00

⇐⇒

33xx22 + 10 + 10xx + + 3 3 = = 00 Resolviendo esta ecuaci´

(16)

= = 110000

4(3)(3)4(3)(3)

= = 110000

3636

= = 6464 x x11 ==

10 + 8 10 + 8 66 ==

xx11 ==

11 33 x x22 ==

10 10

88 66 ==

xx22 ==

33 De

De aquaqu´´ı ı se tse tiene iene que que el el conjunto soconjunto soluci´luci´on deon de





x x

11 x x + 1+ 1





= 2 es= 2 es S,S, dondedonde S  S  ==

33,,

11 33

Nota

Nota: A partir de (: A partir de (

∗∗

) esta ecuaci´) esta ecuaci´on se puede resolver utilizando un procedimiento similar al usado en loson se puede resolver utilizando un procedimiento similar al usado en los ejemplos (1) y (2) anteriores.

ejemplos (1) y (2) anteriores.

4.) 2

4.) 2

||

33xx

11

||

==

 

 

((xx

7)7)22

⇐⇒

22

||

33xx

11

||

==

||

xx

77

||

((

∗∗

)(Ver nota anterior))(Ver nota anterior)

⇐⇒

(2(2

||

33xx

11

||

))22 = =

||

xx

77

||

22

⇐⇒

44

||

33xx

11

||

22 = =

||

xx

77

||

22

⇐⇒

4(34(3xx

1)1)22 = = ((xx

7)7)22

⇐⇒

4(94(9xx22

66xx + + 11) ) == xx22

1414xx + 49+ 49

⇐⇒

3636xx22

2424xx + 4 + 4 == xx22

1414xx + 49+ 49

⇐⇒

3535xx22

1010xx

445 5 = = 00

⇐⇒

77xx22

22xx

9 9 = = 00 Resolviendo esta ecuaci´

Resolviendo esta ecuaci´on por f´on por f´ormula general:ormula general:

= = 44

4(7)(4(7)(

9)9)

= = 4 4 + + 225522

= = 225566 x x11 == 2 + 16 2 + 16 14 14 ==

xx11 == 99 77 x x22 == 22

1616 14 14 ==

xx22 ==

11

(17)

De aqui se tiene que el conjunto soluci´

De aqui se tiene que el conjunto soluci´on de 2on de 2

||

33xx

11

||

==

 

 

((xx

7)7)22 eses S S  donde:donde: S S  ==

99

77,,

11

5.) 2

5.) 2

||

22

xx

||

++

||

22xx

11

||

== xx En este caso se tiene que: En este caso se tiene que:

a.) a.)

||

22

xx

||

==

22

xx sisi xx

22

(2(2

xx) ) sisi x x >> 22 b.) b.)

||

22xx

11

||

==

22xx

1 1 sisi xx

11 22

(2(2xx

11) ) ssii x x << 11 22 Con esta informaci´

Con esta informaci´on construimos la siguiente tabla:on construimos la siguiente tabla:

−∞

−∞

11//2 2 2 2 ++

||

22

xx

||

22

xx 22

xx

(2(2

xx))

||

22xx

11

| |

(2(2xx

1) 1) 22xx

1 1 22xx

11 22

||

22

xx

||

++

||

22xx

11

||

== xx 2(22(2

xx)) ++

(2(2xx

1) =1) = xx 2(22(2

x)) + (2x + (2xx

1) 1) == xx 2[2[

(2(2

xx)])] + (2+ (2xx

1) 1) == xx 44

22xx

22xx + 1 + 1 == xx 44

22xx + 2+ 2xx

1 1 == xx 2[2[

2 + x2 +x] + 2] + 2xx

1 1 == xx

22xx

22xx

xx ==

44

1 1 3 3 == xx

4 + 24 + 2xx + 2+ 2xx

1 1 == xx

55xx ==

5 5 CCoommo o 33

∈∈



11 22 ,, 22



22xx + 2+ 2xx

xx = 4 + 1= 4 + 1 x

x = = 1 1 eennttoonncceess: : 33xx = = 55 Como 1 Como 1

∈∈



−∞

−∞

,, 11 22



2 2 ==

∅∅

xx == 55 33

eennttoonncceess: : CCoommoo 55

33

∈∈

]2]2,, ++

[[ S  S 11 ==

∅∅

S  S 33 ==

∅∅

De

(18)

6.)

6.)

||

33

22xx

|| −

33

||

xx+ 2+ 2

|| −

xx = 0= 0 En este caso se tiene que: En este caso se tiene que:

a.) a.)

||

33

22xx

||

==

33

22xx sisi xx

33 22

(3(3

22xx)) sisi x x >> 33 22 b.) b.)

||

xx+ 2+ 2

||

==

x x+ + 2 2 ssii xx

≥ −

≥ −

22

((xx+ + 22) ) ssii x x <<

22 Con esta informaci´

Con esta informaci´on construimos la siguiente tabla:on construimos la siguiente tabla:

−∞

−∞

2 2 33//2 2 ++

3 3−−22xx 33−−22xx −−(3(3−−22xx)) ||xx+ 2+ 2| | −−((xx+ 2)+ 2) xx+ 2+ 2 xx+ 2+ 2 ||33−−22xx|| −−33||xx+ 2+ 2|| −−xx = = 0 0 33−−22xx−−3[3[−−((xx+ 2)]+ 2)]−−xx = 0 = 0 33−−22xx−−3(3(xx+ 2)+ 2)−−xx= 0= 0 −−(3(3−−22xx))−−3(3(xx+ 2)+ 2)−−xx= = 00 3 3−−22xx−−3[3[−−xx−−2]2]−−xx= = 0 0 33−−22xx−−33xx−−66−−xx= = 00 −−3 + 23 + 2xx−−33xx−−66−−xx= = 00 3 3−−22xx+ 3+ 3xx+ 6+ 6−−xx = = 00 −−66xx−−3 3 = = 00 −−22xx−−9 9 = 0= 0 9 9 = = 00 −−66xx = 3= 3 −−22xx= = 99 ∴ ∴ S S 11== ∅∅ xx== − −11 2 2 xx == − −99 2 2 como como −−11 2 2 ∈∈

− −22,, 33 2 2

Como: Como:−−99 2 2 ∈∈

33 2 2,,++∞∞

∴ ∴ S S 22 ==

−−11 2 2

∴ ∴ S S 33 ==∅∅ De

De aquaqu´´ı ı que que el el conjunto conjunto soluci´soluci´on deon de

||

33

22xx

|| −

33

||

xx+ 2+ 2

|| −

xx = 0 es= 0 es S,S, dondedonde S S ==

11 22

Ejercicios Ejercicios 33

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones: Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

1.) 1.)

 

 

(4(4xx

1)1)22 = =

||

33

88xx

||

2.) 2.)





22xx+ 1+ 1 11

xx





= 3= 3 3.) 3.)

||

xx+ 3+ 3

|| −

− ||

xx

22

||

== xx 4.) 4.) 44

 

 

((xx + 1)+ 1)44

33

||

xx

22

||

= = 66 5.) 5.)

||

xx

44

|| −





x x

11 55





= = 44

xx

(19)

4.) 4.) 44

 

 

((xx + 1)+ 1)44

33

||

xx

22

||

= = 66 5.) 5.)

||

xx

44

|| −





x x

11 55





= = 44

xx 6.) 6.)

||

xx

||

22 + 3+ 3xx + 4 + 4 ==

||

xx

11

||

5.1

5.1.3

.3 Ine

Inecua

cuacion

ciones que i

es que inv

nvolu

olucran v

cran valo

alor absol

r absoluto

uto

Resolveremos inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones de la forma

Resolveremos inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones de la forma axax ++ bb, donde, donde aa yy bb sonson constantes con

constantes con aa



= = 0 0 yy xx es una es una vvariable real. ariable real. ParPara a esto utilizaremoesto utilizaremos s la la definicidefinici´´on de on de vvalor absoluto, y alor absoluto, y en en loslos casos en donde sea posible usar alguna de las propiedades estudiadas, las aplicaremos, con el fin de facilitar el casos en donde sea posible usar alguna de las propiedades estudiadas, las aplicaremos, con el fin de facilitar el procedimiento de resoluci´

procedimiento de resoluci´on.on.

Ejercicios 4 Ejercicios 4

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones: Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

1.) 1.)

||

xx

22

||

<< 11 2.) 2.)

||

55xx

77

| | ≤

33 3.) 3.)

||

33

xx

||

<< 44 4.) 4.)

||

55

22xx

| | ≤

77 5.) 5.)

||

22xx

33

| | ≤

≤ −

55 6.) 6.)

||

77

22xx

| | ≥

≥ −

66 7.) 7.)

||

55xx + 2+ 2

||

>> 00 8.) 2 8.) 2

||

33

xx

|| −

1010

00 9.) 9.)

||

xx

33

| ≤

| ≤

22xx

55 10.) 10.)

||

xx

||

+ 3+ 3

22xx 11.) 11.) 66

 

 

(2(2xx + 1)+ 1)66 >> 33 12.) 12.)

 

 

22 55 xx + 1+ 1

22

x x << 22 Soluci´ Soluci´onon 1.) 1.)

||

xx

22

||

<< 11 Sabemos que: Sabemos que:

||

xx

22

||

==

x x

2 2 sisi xx

22

((xx

22) ) ssii x x << 22 Con esta informaci´

(20)

−∞

−∞

2 2 ++

||

xx

22

| |

((xx

2)2) xx

22

||

xx

22

||

<< 11

((xx

2)2) << 11 xx

22 << 11

xx + 2+ 2 << 11 x x << 33

x x <<

1 1 AAss´´ı ı ddeebbe e ccuummpplliirrsse e qquuee x

x >> 11 xx

2 2 yy x x << 33 As

As´´ı ı debdebe e cumplcumplirse irse queque ∴∴ S S 22 = = [2[2,, 3[3[

x

x << 2 2 yy x x >> 11 ∴

∴ S S 11 = = ]1]1,, 2[2[

En consecuencia el conjunto soluci´

En consecuencia el conjunto soluci´onon S,S, dede

||

xx

22

||

<< 1 1 eses S S 11

∪∪

S S 22 o seao sea S S  = = ]1]1,, 3[3[

Nota:

Nota: La inecuaci´La inecuaci´onon

||

xx

22

||

<< 1 y otras similares, se pueden resolver aplicando propiedades del valor1 y otras similares, se pueden resolver aplicando propiedades del valor absoluto

absoluto y ady adem´em´as algas algunos unos resultados resultados que que se ese enuncian a nuncian a continuaci´continuaci´on y que aceptaremos sin demostrar.on y que aceptaremos sin demostrar.

Resultado 1 Resultado 1

∀∀

a,a, aa

∈∈

RR,,

∀∀

b,b, bb

∈∈

RR,,

∀∀

c,c, cc

∈∈

RR,,

∀∀

k,k, kk

∈∈

RR i. i.)) a < b < ca < b < c

⇐⇒

aa ++ k k < < bb ++ k k < < cc ++ kk ii. ii.)) aa

bb

cc

⇐⇒

a +a+ kk

bb ++ kk

cc ++ kk Resultado 2 Resultado 2

∀∀

a,a, aa

∈∈

RR,,

∀∀

b,b, bb

∈∈

RR,,

∀∀

c,c, cc

∈∈

RR,,

∀∀

k,k, kk

∈∈

RR concon k k >> 00 i. i.)) a < b < ca < b < c

⇐⇒

ak < bk < ckak < bk < ck ii. ii.)) aa

bb

cc

⇐⇒

akak

bkbk

ckck Resultado 3 Resultado 3

∀∀

a,a, aa

∈∈

RR,,

∀∀

b,b, bb

∈∈

RR,,

∀∀

c,c, cc

∈∈

RR,,

∀∀

k,k, kk

∈∈

RR concon k k << 00 i. i.)) a < b < ca < b < c

⇐⇒

ak > bk > ckak > bk > ck ii. ii.)) aa

bb

cc

⇐⇒

akak

bkbk

ckck

Usando estos resultados y las propiedades correspondientes del valor absoluto,

(21)

||

xx

22

||

<< 11

⇐⇒

⇒ −

11 < < xx

22 << 11

⇐⇒

⇒ −

1 + 21 + 2 < < xx

2 + 22 + 2 << 1 + 21 + 2

⇐⇒

11 < < x x << 33 ∴ ∴ S S  =]1=]1,, 3[3[ 2.) 2.)

||

55xx

77

| | ≤

33

||

55xx

77

| | ≤

33

⇐⇒

⇒ −

33

55xx

77

33

⇐⇒

⇒ −

3 + 73 + 7

55xx

7 + 77 + 7

3 + 73 + 7

⇐⇒

44

55xx

1010

⇐⇒

1155

··

44

11 55

··

55xx

11 55

··

1010

⇐⇒

4455

xx

22 ∴ ∴ S S  ==



44

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