Si Si xx
∈∈
RR, , yy∈∈
RR, , yy
= 0 entonces= 0 entonces xx yy∈∈
RR ∴ ∴
x x yy
==
xx yy
22 ==
xx22 yy22 ==√
√
xx22
yy22 ==||
xx||
||
yy||
x x yy
==||
x x||
||
yy||
Propiedad 6 Propiedad 6∀∀
x, x, xx∈∈
RR::||
xx||
22 == xx22 Demostraci´ Demostraci´onon∀∀
x, x, xx∈∈
RR:: , se tien, se tiene que:e que:||
xx||
==√
√
xx22⇒
⇒ ||
xx||
22 = = ((√
√
xx22 ))22⇒
⇒ ||
xx||
22 = = xx22 puespues
∀∀
a, a, aa∈∈
RR ((√
√
aa∈∈
RR ==⇒
⇒
((√
√
aa))22 == aa))∴
∴
∀∀
x, x, xx∈∈
RR::||
xx||
22 == xx22Propiedad 7 Propiedad 7
Sea
Sea xx una variable real yuna variable real y kk un n´un n´umero real positivo entonces:umero real positivo entonces:
||
xx||
== kk⇐
⇐⇒
⇒
xx == kk ´´oo xx ==−
−
kkDemostraci´ Demostraci´on:on:
Como
Como
||
xx||
==√
√
xx22,, se tiene:se tiene:||
xx||
== kk⇐
⇐⇒
⇒
√
√
xx22 == kk⇐
⇐⇒
⇒
((√
√
xx22))22 == kk22⇐
⇐⇒
⇒
xx22 = = kk22⇐
⇐⇒
⇒
xx22−
−
kk22 = = 00⇐
⇐⇒
⇒
((xx−
−
kk)()(xx ++ kk) ) = = 00⇐
⇐⇒
⇒
xx == kk oo xx ==−
−
kk ∴ ∴||
xx||
== kk⇐
⇐⇒
⇒
xx == kk oo xx ==−
−
kkx x22 , se tiene: , se tiene:
||
xx||
< < kk⇐
⇐⇒
⇒
√
√
xx22 < < kk⇐
⇐⇒
⇒
((√
√
xx22 ))22 < < kk22⇐
⇐⇒
⇒
xx22 < < kk22⇐
⇐⇒
⇒
xx22−
−
kk22 < < 00⇐
⇐⇒
⇒
((xx−
−
kk)()(xx ++ kk)) << 00 Resolviendo esta inecuaci´ Resolviendo esta inecuaci´on:on:−∞
−∞ −
−
k k kk ++∞
∞
x x−
−
kk−
− −
−
++ x x ++ kk−
−
+ + ++ ((xx−
−
kk)()(xx ++ kk) ) ++−
−
++ DeDe aqu´aqu´ı ı se se tientiene:e:
((xx
−
−
kk)()(xx ++ kk)) << 00⇐
⇐⇒
⇒
xx∈∈
]]−
−
k,k, kk[[ o sea: o sea:−
−
k < x < kk < x < k ∴ ∴||
xx||
< < kk⇐
⇐⇒
⇒ −
−
k < x < kk < x < k Propiedad 9 Propiedad 9 SeaSea xx una variable real yuna variable real y kk un n´un n´umero real positivo entonces:umero real positivo entonces:
||
xx||
> > kk⇐
⇐⇒
⇒
x > x > kk oo x x <<−
−
kkDemostraci´ Demostraci´on:on:
Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 9, ya demostrada, dejaremos esta demostraci´ Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 9, ya demostrada, dejaremos esta demostraci´onon como ejercicio para el estudiante.
como ejercicio para el estudiante.
Propiedad 10 Propiedad 10
Sea
Sea xx una variable real yuna variable real y kk un n´un n´umero real positivo entonces:umero real positivo entonces:
i.
i.))
||
xx| | ≤
≤
kk⇐
⇐⇒
⇒ −
−
kk≤
≤
xx≤
≤
kk ii.ii.))
||
xx| | ≥
≥
kk⇐
⇐⇒
⇒
xx≥
≥
kk oo xx≤
≤
kkDemostraci´ Demostraci´on:on:
El procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8. El procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8. Dejaremos esta demostraci´
Dejaremos esta demostraci´on como ejercicio para el estudiante.on como ejercicio para el estudiante.
Propiedad 11 Propiedad 11
∀∀
x, x, xx∈∈
RR::−|
−|
xx| | ≤
≤
xx≤
≤ ||
xx||
Demostraci´Demostraci´on:on:
Sabemos que Sabemos que
∀∀
x, x, xx∈∈
RR ::||
xx||
==
x x sisi xx≥
≥
00−
−
xx sisi x x << 00 Caso 1: Caso 1: xx≥
≥
00 x x≥
≥
0 0 ==⇒
⇒
xx ==||
xx||
∴ ∴ xx≤
≤ ||
xx||
(*)(*) Adem´Adem´as comoas como
||
xx| | ≥
≥
0 0 enentontoncesces−|
−|
xx| | ≤
≤
0 0 y y cocomomo xx≥
≥
0 0 ententonceonces:s:−|
−|
xx| | ≤
≤
xx ((∗∗
∗∗
)) As´As´ı ı ppor or ((
∗∗
) ) y y ((∗∗
∗∗
) se tiene que:) se tiene que:−|
−|
xx| | ≤
≤
xx yy xx≤
≤ ||
xx||
∴ ∴−|
−|
xx| | ≤
≤
xx≤
≤ ||
xx||
((I I )) Caso 2: Caso 2: x x << 00 x x << 0 0 ==⇒
⇒
||
xx||
==−
−
xx = =⇒
⇒ −|
−|
xx||
== xx ∴ ∴−|
−|
xx| | ≤
≤
xx ((∗∗ ∗∗ ∗∗
)) Adem´Adem´as comoas como x x << 0 0 yy
||
xx| | ≥
≥
0 entonces0 entonces xx
≤
≤ ||
xx||
((∗∗∗∗
∗∗∗∗
)) As´As´ı ı ppor or ((
∗∗ ∗∗ ∗∗
) ) y y ((∗∗∗∗
∗∗∗∗
) se tiene que:) se tiene que:−|
−|
xx| | ≤
≤
xx yy xx≤
≤ ||
xx||
∴∴
−|
−|
xx| | ≤
≤
xx≤
≤ ||
xx||
((III I )) Por lo tanto de (∀∀
x, x, xx∈∈
RR::−|
−|
xx| | ≤
≤
xx≤
≤ ||
xx||
Propiedad 12Propiedad 12 (desigualdad triangular)(desigualdad triangular) Si
Si xx
∈∈
RR, , yy∈∈
RR entoncesentonces||
xx ++ yy| | ≤
≤ ||
xx||
++||
yy||
Demostraci´Demostraci´on:on:
Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema: Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema:
Lema: Lema: Sean Sean aa
∈∈
RR, , bb∈∈
RR, , cc∈∈
RR, , dd∈∈
RR Si Si aa≤
≤
bb yy cc≤
≤
d entoncesd entonces aa ++ cc≤
≤
bb ++ dd Demostraci´Demostraci´onon (del lema)(del lema) Supongamos que
Supongamos que aa
≤
≤
bb yy cc≤
≤
d, hay que demostrar qued, hay que demostrar que aa ++ cc≤
≤
bb ++ dd i.i.)) aa
≤
≤
bb ==⇒
⇒
aa ++ cc≤
≤
bb ++ cc ii.ii.)) cc
≤
≤
dd ==⇒
⇒
bb ++ cc≤
≤
bb ++ dd porpor i.i.) ) yy ii.ii.) ) se tse tieiene qne queue aa ++ cc
≤
≤
bb ++ ddNota:
Nota: El lema anterior expresa que si se tienen desigualdadesEl lema anterior expresa que si se tienen desigualdades aa
≤
≤
bb yy cc≤
≤
dd podemos sumar miembro apodemos sumar miembro a miembro estas desigualdades de la manera siguiente:miembro estas desigualdades de la manera siguiente: a
a
≤
≤
bb cc≤
≤
dd aa ++ cc
≤
≤
bb ++ ddEstamos ahora en condiciones de demostrar la desigualdad triangular. Estamos ahora en condiciones de demostrar la desigualdad triangular.
Demostraci´
Demostraci´on de la Propiedad 12on de la Propiedad 12 (desigual(desigualdad dad triangultriangular).ar).
∀∀
x, x, xx∈∈
RR,,∀∀
y, y, yy∈∈
RR, se tiene que:, se tiene que:−|
−|
xx| | ≤
≤
xx≤
≤ ||
xx||
yy−|
−|
yy| | ≤
≤
yy≤
≤ ||
yy||
Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene: Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene:
−|
−|
xx||
++−|
−|
yy| | ≤
≤
x +x+ yy≤
≤ ||
xx||
++||
yy||
∴∴
−
−
((||
xx||
++||
yy||
))≤
≤
xx ++ yy≤
≤ ||
xx||
++||
yy||
∴5.1
5.1.2
.2 Ecu
Ecuacio
aciones q
nes que in
ue inv
volu
olucran v
cran valo
alor abso
r absolut
luto
o
A continuaci´
A continuaci´on resolveremos algunas ecuaciones que involucran valor absoluto, para esto utilizaremos, siempreon resolveremos algunas ecuaciones que involucran valor absoluto, para esto utilizaremos, siempre que
que sea sea posibposible, le, algualgunas nas propropiedpiedades enuncades enunciadaiadas s ananterterioriormenmente te y y en en los los que que no no sea sea posiposible ble apliaplicar algunacar alguna de
de dichdichas as propiepropiedades, dades, resolvresolveremos las eremos las ecuacioecuaciones nes correscorrespondientpondientes es usando la usando la definicidefinici´´on de valor absoluto.on de valor absoluto. Adem´
Adem´as es importante tener en cuenta que toda ecuaci´as es importante tener en cuenta que toda ecuaci´on que involucre valor absoluto se puede resolver usandoon que involucre valor absoluto se puede resolver usando la
la dedefinfinicici´i´onon..
Ejercicios 1 Ejercicios 1
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones
1.) 1.)
||
22xx−
−
33||
= = 77 2.) 2.)||
xx||
= = 55 3.) 3.)||
xx−
−
33||
==−
−
33 4.) 4.)||
xx + 8+ 8||
= = 00 5.) 5.)||
22xx + 3+ 3||
==−
−
99 6.) 6.)||
xx + 3+ 3||
= = 5 +5 + xx 7.) 7.)||
11−
−
33xx||
++ xx ==−
−
33 8.) 3 8.) 3||
xx + 4+ 4|| −
−
2 2 == xx 9.) 9.) 44
(2(2xx−
−
15)15)44 = = 1010 10.) 10.)
(3(3−
−
22xx))22 ++ xx = = 33 11.) 2 11.) 2 44
(5(5−
−
44xx))44 == xx + 2+ 2 Soluci´ Soluci´onon 1.) 1.)||
22xx−
−
33||
= = 77 Por la propiedad 7 Por la propiedad 7||
22xx−
−
33||
= = 77⇐
⇐⇒
⇒
22xx−
−
33 == 77 oo 22xx−
−
3 3 ==−
−
77⇐
⇐⇒
⇒
22xx == 1100 oo 22xx ==−
−
44⇐
⇐⇒
⇒
xx = = 5 5 oo xx ==−
−
22 ∴ ∴ S S =={−
{−
22,, 55}}
Observaci´Observaci´on:on: Como dijimos anteriormente, todas las ecuaciones que involucran valor absoluto se puedenComo dijimos anteriormente, todas las ecuaciones que involucran valor absoluto se pueden resolver usando la definici´
resolver usando la definici´on. Para ilustrar esto resolveremos la ecuaci´on. Para ilustrar esto resolveremos la ecuaci´on anterior usando la definici´on anterior usando la definici´on deon de valor absoluto.
22 y y 22xx
−
−
33 << 00⇐
⇐⇒
⇒
22x x << 33; ; o o sseeaa x x << 33 22 ∴ ∴||
22xx−
−
33||
==
22xx−
−
3 3 sisi xx≥
≥
33 22−
−
(2(2xx−
−
33) ) ssii x x << 33 22 Con esta informaci´Con esta informaci´on construimos la tabla siguiente:on construimos la tabla siguiente:
−∞
−∞
33//2 2 ++∞
∞
||
22xx−
−
33| |
−
−
(2x(2x−
−
3) 3) 22xx−
−
33||
22xx−
−
33||
= = 77−
−
(2(2xx−
−
33) ) = = 7 7 22xx−
−
3 3 = = 77−
−
22xx + + 3 3 = = 7 7 22xx = = 1010−
−
22xx = = 44 xx = = 55 x x ==−
−
22 como como−
−
22∈∈
−∞
−∞
,, 33 22
como 5como 5∈∈
3322,, ++∞
∞
∴ ∴ S S 11 =={{
-2-2}}
∴∴ S S 22 =={{
55}}
AsAs´´ı ı el el conjconjunto unto solusoluci´ci´on eson es S S == S S 11
∪∪
S S 22 o seao sea S S =={{
-2,5-2,5}}
2.) 2.)
||
xx||
= = 55 Por la propiedad 7: Por la propiedad 7:||
xx||
= = 55⇐
⇐⇒
⇒
xx = = 5 5 oo xx ==−
−
55 ∴ ∴ S S =={−
{−
55,, 55}}
3.)
3.)
||
xx−
−
33||
==−
−
33Por la propiedad 1,
Por la propiedad 1,
||
xx−
−
33| | ≥
≥
00,,∀∀
x,x, xx∈∈
RR, por lo tanto:, por lo tanto:||
xx−
−
33||
==−
−
3 !Nunca!3 !Nunca! ∴ ∴ S S ==∅∅
4.) 4.)||
xx + 8+ 8||
= = 00 Por la propiedad 2, Por la propiedad 2,||
xx + 8+ 8||
= = 00⇐
⇐⇒
⇒
xx + + 8 8 = = 00⇐
⇐⇒
⇒
xx ==−
−
88 ∴ ∴ S S =={−
{−
88}}
5.) 5.)||
22xx + 3+ 3||
==−
−
99 Por la propiedad 1, Por la propiedad 1,||
22xx + 3+ 3| | ≥
≥
00,,∀∀
x,x, xx∈∈
RR ∴ ∴||
22xx + 3+ 3||
==−
−
9 9 ¡¡NNuunnccaa!! ∴ ∴ S S ==∅∅
6.) 6.)||
xx + 3+ 3||
= = 5 +5 + xx Nota:Nota: En este caso no es posible aplicar alguna de las propiedades anteriores, por lo que procedemos deEn este caso no es posible aplicar alguna de las propiedades anteriores, por lo que procedemos de la siguiente manera: la siguiente manera:
||
xx + 3+ 3||
==
x x + + 3 3 ssii xx + 3+ 3≥
≥
00−
−
((xx + + 33) ) ssii xx + 3+ 3 << 00 o sea: o sea:||
xx + 3+ 3||
==
x x + + 3 3 ssii xx≥
≥ −
−
33−
−
((xx + + 33) ) ssii x x <<−
−
33 ConCon esta esta inforinformaci´maci´on construimos la siguiente tabla:on construimos la siguiente tabla:
−∞
||
xx + 3+ 3| |
−
−
((xx + 3)+ 3) xx + 3+ 3||
xx + 3+ 3||
= = 5 +5 + xx−
−
((xx + 3) = 5 ++ 3) = 5 + x x xx + 3 = 5 ++ 3 = 5 + xx Resolviendo esta ecuaci´Resolviendo esta ecuaci´on: on: Resolviendo Resolviendo esta esta ecuaci´ecuaci´on:on:
−
−
xx−
−
3 = 5 +3 = 5 + x x xx + 3 = 5 ++ 3 = 5 + xx−
−
xx−
−
xx == 5 + 35 + 3 xx−
−
xx == 55−
−
33−
−
22xx == 88 00== 22 x x ==−
−
44 como como−
−
44∈∈
]]−∞
−∞
,,−
−
3[3[ ∴ ∴ S S 11 =={−
{−
44}}
∴∴ S S 22 ==∅∅
AsAs´´ı ı el el conjconjunto unto solusoluci´ci´onon S S dede
||
xx + 3+ 3||
= = 5 +5 + xx eses S S 11∪∪
S S 22,, o seao sea S S =={−
{−
44}}
7.)7.)
||
11−
−
33xx||
++ xx ==−
−
33En este caso debemos proceder como en el ejemplo anterior: En este caso debemos proceder como en el ejemplo anterior:
||
11−
−
33xx||
==
11−
−
33xx si si 11−
−
33xx≥
≥
00−
−
(1(1−
−
33xx) ) ssi i 11−
−
33x x << 00 p peerroo: : 11−
−
33xx≥
≥
00⇐
⇐⇒
⇒ −
−
33xx≥
≥ −
−
11, , o o sseeaa xx≤
≤
11 33 y y 11−
−
33x x << 00⇐
⇐⇒
⇒ −
−
33x x <<−
−
11, , o o sseeaa x x >> 11 33||
11−
−
33xx||
==
11−
−
33xx sisi xx≤
≤
11 33−
−
(1(1−
−
33xx) ) sisi x x >> 11 33 Con esta informaci´−∞
−∞
1133 ++∞
∞
||
11−
−
33xx||
11−
−
33xx−
−
(1(1−
−
33xx))||
11−
−
33xx||
++ xx ==−
−
3 3 11−
−
33xx ++ xx ==−
−
33−
−
(1(1−
−
33xx) +) + xx ==−
−
33−
−
22xx ==−
−
44−
−
1 + 31 + 3xx ++ xx ==−
−
33 x x = = 2 2 44xx ==−
−
22 Como 2 Como 2∈∈
−∞
−∞
,, 11 33
xx ==−
−
11 22 como como−
−
11 22∈∈
//
11 33,, ++∞
∞
∴ ∴ S S 11 ==∅∅
entonces:entonces: ∴ ∴ S S 22 ==∅∅
As´As´ı ı el el coconjnjuntunto o sosolulucici´´onon S S dede
||
11−
−
33xx||
+ x+x ==−
−
3 3 eses S S 11∪∪
S S 22 o seao sea S S ==∅∅
8.) 3 8.) 3||
xx + 4+ 4|| −
−
2 2 == xx En este caso: En este caso:||
xx + 4+ 4||
==
x x + + 4 4 ssii xx + 4+ 4≥
≥
00−
−
((xx + + 44) ) ssii xx + 4+ 4 << 00 o sea: o sea:||
xx + 4+ 4||
==
x x + + 4 4 ssii xx≥
≥ −
−
44−
−
((xx + + 44) ) ssii x x <<−
−
44 Con esta informaci´−∞
−∞
−
−
4 4 ++∞
∞
||
xx + 4+ 4| |
−
−
((xx + 4)+ 4) xx + 4+ 4 33||
xx + 4+ 4|| −
−
2 =2 = xx 3[3[−
−
((xx + 4)]+ 4)]−
−
2 2 == xx 3(3(xx + 4)+ 4)−
−
2 2 == xx 3[ 3[−
−
xx−
−
4]4]−
−
2 =2 = xx 33xx + 12+ 12−
−
2 2 == xx−
−
33xx−
−
1212−
−
2 =2 = xx 33xx−
−
xx + 10 = 0+ 10 = 0−
−
33xx−
−
1414−
−
x = x = 0 0 22xx ==−
−
1010−
−
44xx = = 1414 xx ==−
−
55 x x ==−
−
1414 44 ComoComo−
−
55∈∈
[[−
−
44,, ++∞
∞
[[ x x ==−
−
77 22 entonces:entonces: S S 22 ==∅∅
Como Como−
−
77//22∈∈
]]−
− ∞
∞
,,−
−
4]4] entonces: entonces: S S 11 ==∅∅
DeDe aquaqu´´ı ı se se tietiene ne que que el el conjconjunto unto solusoluci´ci´onon S S de de 33
||
xx−
−
44|| −
−
2 2 == xx es vaces vac´´ıo ıo o seo seaa S S ==∅∅
9.) 9.) 44
(2(2xx−
−
15)15)44 = = 1010 4 4
(2(2xx−
−
15)15)44 = = 1010⇐
⇐⇒
⇒
||
22xx−
−
1515||
= = 1010⇐
⇐⇒
⇒
22xx−
−
115 5 = = 110 0 o o 22xx−
−
15 15 ==−
−
1010⇐
⇐⇒
⇒
22xx = = 225 5 o o 22xx = = 55⇐
⇐⇒
⇒
xx == 2525 22 oo xx == 55 22 ∴ ∴ S S ==
2525 22 ,, 55 22
10.) 10.)
(3(3−
−
xx))22 = = 55
(3(3−
−
xx))22 = = 55⇐
⇐⇒
⇒
||
33−
−
xx||
= = 55⇐
⇐⇒
⇒
33−
−
xx = = 5 5 o o 33−
−
xx ==−
−
55⇐
⇐⇒
⇒ −
−
xx = = 2 2 oo−
−
xx ==−
−
88⇐
⇐⇒
⇒
xx ==−
−
2 2 oo xx = = 88 ∴ ∴ S S =={−
{−
22,, 88}}
11.) 11.)
(3(3−
−
22xx))22 + + xx = = 33
(3(3−
−
22xx))22 ++ xx = = 33⇐
⇐⇒
⇒
||
33−
−
22xx||
++ xx = = 33 Pero: Pero:||
33−
−
22xx||
==
33−
−
22xx si si 33−
−
22xx≥
≥
00−
−
(3(3−
−
22xx) ) ssi i 33−
−
22x x << 00 CCoommoo: : 33
−
−
22xx≥
≥
00⇐
⇐⇒
⇒ −
−
22xx≥
≥ −
−
33, , o o sseeaa xx≤
≤
33 22 y y 33−
−
22x x << 00⇐
⇐⇒
⇒ −
−
22x x <<−
−
33, , o o sseeaa x x >> 33 22 ∴ ∴||
33−
−
22xx||
==
33−
−
22xx sisi xx≤
≤
33 22−
−
(3(3−
−
22xx) ) sisi x x >> 33 22 Con esta informaci´Con esta informaci´on construimos la siguiente tabla:on construimos la siguiente tabla:
−∞
−∞
33//2 2 ++∞
∞
||
33−
−
22xx||
33−
−
22xx−
−
(3(3−
−
22xx))||
33−
−
22xx||
++ xx = = 3 3 33−
−
22xx ++ xx = = 33−
−
(3(3−
−
22xx) +) + xx = = 33−
−
xx = = 33−
−
33−
−
3 + 23 + 2xx ++ xx = = 33−
−
xx = = 0 0 33xx = = 66 x x = = 00 xx = = 22 como 0 como 0∈∈
−∞
−∞
,, 33 22
como 2como 2∈∈
3322,, ++∞
∞
∴ ∴ S S 11 =={{
00}}
∴∴ S S 22 =={{
22}}
DeDe aquaqu´´ı ı se se tiene tiene que que el el conjunto soluci´conjunto soluci´onon S S dede
(3(3−
−
22xx))22 ++ xx = 3 es= 3 es{{
00,, 22}}
o sea;o sea; S S =={{
00,, 22}}
12.) 2 12.) 2 44
22
||
55−
−
44xx||
== xx + 2+ 2 Pero: Pero:||
55−
−
44xx||
==
55−
−
44xx si si 55−
−
44xx≥
≥
00−
−
(5(5−
−
44xx) ) ssi i 55−
−
44x x << 00 CCoommoo: : 55
−
−
44xx≥
≥
00⇐
⇐⇒
⇒ −
−
44xx≥
≥ −
−
55, , o o sseeaa xx≤
≤
55 44 y y 55−
−
44x x << 00⇐
⇐⇒
⇒ −
−
44x x <<−
−
55, , o o sseeaa x x >> 55 44 ∴ ∴||
55−
−
44xx||
==
55−
−
44xx sisi xx≤
≤
55 44−
−
(5(5−
−
44xx) ) sisi x x >> 55 44 Con esta informaci´Con esta informaci´on construimos la siguiente tabla:on construimos la siguiente tabla:
−∞
−∞
55//4 4 ++∞
∞
||
55−
−
44xx||
55−
−
44xx−
−
(5(5−
−
44xx)) 22||
55−
−
44xx||
= x= x + + 2 2 22((55−
−
44xx) ) == xx + + 2 2 22[[−
−
(5(5−
−
44xx)] )] == xx + 2+ 2 10 10−
−
88xx == xx + + 2 2 22[[−
−
5 + 45 + 4xx] ] == xx + 2+ 2−
−
88xx−
−
xx == 22−
−
1010−
−
1010 + 8+ 8xx == xx + 2+ 2−
−
99xx ==−
−
8 8 88xx−
−
xx = 2 + 10= 2 + 10 x x == 88 99 77xx == 1212 x x == 1212 77 como como 88 99∈∈
−∞
−∞
,, 55 44
comocomo 1212 77∈∈
55 44,, ++∞
∞
∴ ∴ S S 11 ==
88 99
∴∴ S S 2 2 ==
12 12 77
DeDe aquaqu´´ı ı se se tietiene ne que que el el conjconjunto unto solusoluci´ci´onon S S de de 22 44
(5(5−
−
44xx))44 = = xx ++ 3 3 eses
88 99,, 12 12 77
,, oo seasea S S ==
88 99,, 12 12 77
Ejercicios 2 Ejercicios 2Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones: Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
1.)
2.) 2.)
||
22xx + 5+ 5||
==−
−
88 3.) 3.)|| −
−
22xx + 9+ 9||
= = 1111 4.) 4.)−
−
33||
33−
−
22xx||
==−
−
1212 5.) 5.)||
33xx + 2+ 2||
== xx + 1+ 1 6.) 2 6.) 2||
22xx−
−
55||
== xx−
−
33 7.) 3 7.) 3|| −
−
55xx−
−
11||
==−
−
22xx + 3+ 3 8.) 8.)−
−
11−
−
22||
55−
−
33xx||
== xx 9.) 9.) 66
(2(2xx + 1)+ 1)66 = = 33 10.) 10.)−
−
22
(1(1−
−
77xx))22 = =−
−
66 11.) 11.)
((xx−
−
2)2)22 + 3+ 3xx = = 66 12.) 12.) xx + 2+ 2 44
((xx−
−
6)6)44 = = 55 13.) 2 13.) 2||
xx||
++||
xx−
−
11||
= = 44 14.) 14.)||
22xx−
−
33|| −
−
22||
xx||
= = 33 15.) 15.)
x x−
−
11 x x + 1+ 1
= = 22 16.) 2 16.) 2||
33xx−
−
11||
==
((xx−
−
7)7)22 17.) 2 17.) 2||
22−
−
xx||
++||
22xx−
−
11||
== xx 18.) 18.)||
33−
−
22xx|| −
−
33||
xx + 2+ 2|| −
−
xx = = 00 Nota:Nota: En las ecuaciones, que resolveremos a continuaci´En las ecuaciones, que resolveremos a continuaci´on, omitiremos algunos pasos al escribir la definici´on, omitiremos algunos pasos al escribir la definici´on deon de cada uno de los valores absolutos involucrados.
cada uno de los valores absolutos involucrados.
Soluci´ Soluci´onon
1.) 2
1.) 2
||
xx||
++||
xx−
−
11||
= = 44En este caso se tiene que: En este caso se tiene que:
a.) a.)
||
xx||
==
x x sisi xx≥
≥
00−
−
xx sisi x x << 00 b.) b.)||
xx−
−
11||
==
x x−
−
1 1 sisi xx≥
≥
11−
−
((xx−
−
11) ) ssii x x << 11 Con esta informaci´−∞
−∞
0 0 1 1 ++∞
∞
||
xx| |
−
−
x x x x xx||
xx−
−
11| |
−
−
((xx−
−
1)1)−
−
((xx−
−
1)1) xx−
−
11 22||
xx||
++||
xx−
−
11||
= = 4 4 22xx ++−
−
((xx−
−
11) ) = = 4 4 22xx ++−
−
((xx−
−
11) ) = = 4 4 22((−
−
xx) + () + (xx−
−
1) = 41) = 4−
−
22xx−
−
xx + + 1 1 = = 4 4 22xx−
−
xx + + 1 1 = = 4 4 22xx ++ xx−
−
1 1 = = 44−
−
33xx = = 33 x = x = 3 3 33xx = = 55 x x ==−
−
11 xx == 55 33 comocomo
−
−
11∈∈
]]−
− ∞
∞
,, 00[ [ CCoommo o 33∈∈
]0]0,, 11[ [ ccoommoo 55 33∈∈
55 33,, ++∞
∞
∴ ∴ S S 11 =={−
{−
11}}
∴∴ S S 22 ==∅∅
∴∴ S S 22 ==
55 DeDe aquaqu´´ı ı se se tiene tiene que que el el conjunto conjunto soluci´soluci´on on de de 22
||
xx||
++||
xx−
−
11||
= 4 es= 4 es S S dondedonde S S == S S 11∪∪
S S 22∪∪
S S 33∴ ∴ S S ==
−
−
11,, 55 33
2.) 2.)||
22xx−
−
33|| −
−
22||
xx||
= = 33En este caso se tiene que: En este caso se tiene que:
a.) a.)
||
22xx−
−
33||
==
22xx−
−
3 3 sisi xx≥
≥
33 22−
−
(2(2xx−
−
33) ) ssii x x << 33 22 b.) b.)||
xx||
==
x x sisi xx≥
≥
00−
−
xx sisi x x << 00 Con esta informaci´−∞
−∞
0 0 33//2 2 ++∞
∞
||
22xx−
−
33| |
−
−
(2(2xx−
−
3)3)−
−
(2(2xx−
−
3) 3) 22xx−
−
33||
xx| |
−
−
x x x x xx||
22xx−
−
33|| −
−
22||
xx||
= 33=−
−
(2(2xx−
−
3)3)−
−
2(2(−
−
xx) ) = = 33−
−
(2(2xx−
−
3)3)−
−
2(x2(x) ) = = 3 3 22xx−
−
33−
−
22xx = = 33−
−
22xx + 3 + 2+ 3 + 2xx = = 33−
−
22xx + 3+ 3−
−
22xx = = 33−
−
3 3 = = 33 3 3 = = 33−
−
44xx = = 00 ∴∴ S S 33 ==∅∅
∴ ∴ S S 11 =]=]−
− ∞
∞
,, 0[0[ xx = = 00 como 0 como 0∈∈
00,, 33 22
∴ ∴ S S 22 =={{
00}}
DeDe aquaqu´´ı ı que que el el conjunto conjunto soluci´soluci´on deon de
||
22xx−
−
33|| −
−
22||
xx||
= 3 es= 3 es S S == S S 11∪∪
S S 22∪∪
S S 33∴ ∴ S S =]=]
−
− ∞
∞
,, 0]0] 3.) 3.)
x x−
−
11 x x + 1+ 1
= = 22
x x−
−
11 x x + 1+ 1
= = 22⇐
⇐⇒
⇒
||
x x−
−
11||
||
xx + 1+ 1||
= = 22, , ppoor r lla a pprrooppiieeddaad d 55⇐
⇐⇒
⇒
||
xx−
−
11||
= = 22||
x + 1x + 1||
((∗∗
), con), con xx
==−
−
11⇐
⇐⇒
⇒
||
xx−
−
11||
22 = = (2(2||
xx + 1+ 1||
))22⇐
⇐⇒
⇒
||
xx−
−
11||
22 = = 44||
xx + 1+ 1||
22⇐
⇐⇒
⇒
((xx−
−
1)1)22 = = 4(4(xx + 1)+ 1)22 ,, ppoor r lla a pprrooppiieeddaad d 66
⇐
⇐⇒
⇒
xx22−
−
22xx + + 1 1 = = 44((xx22 + 2 + 2xx + 1)+ 1)⇐
⇐⇒
⇒
xx22−
−
22xx + + 1 1 = = 44xx22 + 8 + 8xx + 4+ 4⇐
⇐⇒
⇒ −
−
33xx22−
−
1010xx−
−
3 3 = = 00⇐
⇐⇒
⇒
33xx22 + 10 + 10xx + + 3 3 = = 00 Resolviendo esta ecuaci´
= = 110000−
−
4(3)(3)4(3)(3)
= = 110000−
−
3636
= = 6464 x x11 ==−
−
10 + 8 10 + 8 66 ==⇒
⇒
xx11 ==−
−
11 33 x x22 ==−
−
10 10−
−
88 66 ==⇒
⇒
xx22 ==−
−
33 DeDe aquaqu´´ı ı se tse tiene iene que que el el conjunto soconjunto soluci´luci´on deon de
x x−
−
11 x x + 1+ 1
= 2 es= 2 es S,S, dondedonde S S ==
−
−
33,,−
−
11 33
NotaNota: A partir de (: A partir de (
∗∗
) esta ecuaci´) esta ecuaci´on se puede resolver utilizando un procedimiento similar al usado en loson se puede resolver utilizando un procedimiento similar al usado en los ejemplos (1) y (2) anteriores.ejemplos (1) y (2) anteriores.
4.) 2
4.) 2
||
33xx−
−
11||
==
((xx−
−
7)7)22⇐
⇐⇒
⇒
22||
33xx−
−
11||
==||
xx−
−
77||
((∗∗
)(Ver nota anterior))(Ver nota anterior)⇐
⇐⇒
⇒
(2(2||
33xx−
−
11||
))22 = =||
xx−
−
77||
22⇐
⇐⇒
⇒
44||
33xx−
−
11||
22 = =||
xx−
−
77||
22⇐
⇐⇒
⇒
4(34(3xx−
−
1)1)22 = = ((xx−
−
7)7)22⇐
⇐⇒
⇒
4(94(9xx22−
−
66xx + + 11) ) == xx22−
−
1414xx + 49+ 49⇐
⇐⇒
⇒
3636xx22−
−
2424xx + 4 + 4 == xx22−
−
1414xx + 49+ 49⇐
⇐⇒
⇒
3535xx22−
−
1010xx−
−
445 5 = = 00⇐
⇐⇒
⇒
77xx22−
−
22xx−
−
9 9 = = 00 Resolviendo esta ecuaci´Resolviendo esta ecuaci´on por f´on por f´ormula general:ormula general:
= = 44−
−
4(7)(4(7)(−
−
9)9)
= = 4 4 + + 225522
= = 225566 x x11 == 2 + 16 2 + 16 14 14 ==⇒
⇒
xx11 == 99 77 x x22 == 22−
−
1616 14 14 ==⇒
⇒
xx22 ==−
−
11De aqui se tiene que el conjunto soluci´
De aqui se tiene que el conjunto soluci´on de 2on de 2
||
33xx−
−
11||
==
((xx−
−
7)7)22 eses S S donde:donde: S S ==
9977,,
−
−
11
5.) 2
5.) 2
||
22−
−
xx||
++||
22xx−
−
11||
== xx En este caso se tiene que: En este caso se tiene que:a.) a.)
||
22−
−
xx||
==
22−
−
xx sisi xx≤
≤
22−
−
(2(2−
−
xx) ) sisi x x >> 22 b.) b.)||
22xx−
−
11||
==
22xx−
−
1 1 sisi xx≥
≥
11 22−
−
(2(2xx−
−
11) ) ssii x x << 11 22 Con esta informaci´Con esta informaci´on construimos la siguiente tabla:on construimos la siguiente tabla:
−∞
−∞
11//2 2 2 2 ++∞
∞
||
22−
−
xx||
22−
−
xx 22−
−
xx−
−
(2(2−
−
xx))||
22xx−
−
11| |
−
−
(2(2xx−
−
1) 1) 22xx−
−
1 1 22xx−
−
11 22||
22−
−
xx||
++||
22xx−
−
11||
== xx 2(22(2−
−
xx)) ++−
−
(2(2xx−
−
1) =1) = xx 2(22(2−
−
x)) + (2x + (2xx−
−
1) 1) == xx 2[2[−
−
(2(2−
−
xx)])] + (2+ (2xx−
−
1) 1) == xx 44−
−
22xx−
−
22xx + 1 + 1 == xx 44−
−
22xx + 2+ 2xx−
−
1 1 == xx 2[2[−
−
2 + x2 +x] + 2] + 2xx−
−
1 1 == xx−
−
22xx−
−
22xx−
−
xx ==−
−
44−
−
1 1 3 3 == xx−
−
4 + 24 + 2xx + 2+ 2xx−
−
1 1 == xx−
−
55xx ==−
−
5 5 CCoommo o 33∈∈
−
−
11 22 ,, 22
22xx + 2+ 2xx−
−
xx = 4 + 1= 4 + 1 xx = = 1 1 eennttoonncceess: : 33xx = = 55 Como 1 Como 1
∈∈
−∞
−∞
,, 11 22
S S 2 2 ==∅∅
xx == 55 33eennttoonncceess: : CCoommoo 55
33
∈∈
]2]2,, ++∞
∞
[[ S S 11 ==∅∅
S S 33 ==∅∅
De6.)
6.)
||
33−
−
22xx|| −
−
33||
xx+ 2+ 2|| −
−
xx = 0= 0 En este caso se tiene que: En este caso se tiene que:a.) a.)
||
33−
−
22xx||
==
33−
−
22xx sisi xx≤
≤
33 22−
−
(3(3−
−
22xx)) sisi x x >> 33 22 b.) b.)||
xx+ 2+ 2||
==
x x+ + 2 2 ssii xx≥ −
≥ −
22−
−
((xx+ + 22) ) ssii x x <<−
−
22 Con esta informaci´Con esta informaci´on construimos la siguiente tabla:on construimos la siguiente tabla:
−∞
−∞
−
−
2 2 33//2 2 ++∞
∞
3 3−−22xx 33−−22xx −−(3(3−−22xx)) ||xx+ 2+ 2| | −−((xx+ 2)+ 2) xx+ 2+ 2 xx+ 2+ 2 ||33−−22xx|| −−33||xx+ 2+ 2|| −−xx = = 0 0 33−−22xx−−3[3[−−((xx+ 2)]+ 2)]−−xx = 0 = 0 33−−22xx−−3(3(xx+ 2)+ 2)−−xx= 0= 0 −−(3(3−−22xx))−−3(3(xx+ 2)+ 2)−−xx= = 00 3 3−−22xx−−3[3[−−xx−−2]2]−−xx= = 0 0 33−−22xx−−33xx−−66−−xx= = 00 −−3 + 23 + 2xx−−33xx−−66−−xx= = 00 3 3−−22xx+ 3+ 3xx+ 6+ 6−−xx = = 00 −−66xx−−3 3 = = 00 −−22xx−−9 9 = 0= 0 9 9 = = 00 −−66xx = 3= 3 −−22xx= = 99 ∴ ∴ S S 11== ∅∅ xx== − −11 2 2 xx == − −99 2 2 como como −−11 2 2 ∈∈
− −22,, 33 2 2
Como: Como:−−99 2 2 ∈∈
33 2 2,,++∞∞
∴ ∴ S S 22 ==
−−11 2 2
∴ ∴ S S 33 ==∅∅ DeDe aquaqu´´ı ı que que el el conjunto conjunto soluci´soluci´on deon de
||
33−
−
22xx|| −
−
33||
xx+ 2+ 2|| −
−
xx = 0 es= 0 es S,S, dondedonde S S ==
−
−
11 22
Ejercicios Ejercicios 33
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones: Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
1.) 1.)
(4(4xx−
−
1)1)22 = =||
33−
−
88xx||
2.) 2.)
22xx+ 1+ 1 11−
−
xx
= 3= 3 3.) 3.)||
xx+ 3+ 3|| −
− ||
xx−
−
22||
== xx 4.) 4.) 44
((xx + 1)+ 1)44−
−
33||
xx−
−
22||
= = 66 5.) 5.)||
xx−
−
44|| −
−
x x−
−
11 55
= = 44−
−
xx4.) 4.) 44
((xx + 1)+ 1)44−
−
33||
xx−
−
22||
= = 66 5.) 5.)||
xx−
−
44|| −
−
x x−
−
11 55
= = 44−
−
xx 6.) 6.)||
xx||
22 + 3+ 3xx + 4 + 4 ==||
xx−
−
11||
5.1
5.1.3
.3 Ine
Inecua
cuacion
ciones que i
es que inv
nvolu
olucran v
cran valo
alor absol
r absoluto
uto
Resolveremos inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones de la forma
Resolveremos inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones de la forma axax ++ bb, donde, donde aa yy bb sonson constantes con
constantes con aa
= = 0 0 yy xx es una es una vvariable real. ariable real. ParPara a esto utilizaremoesto utilizaremos s la la definicidefinici´´on de on de vvalor absoluto, y alor absoluto, y en en loslos casos en donde sea posible usar alguna de las propiedades estudiadas, las aplicaremos, con el fin de facilitar el casos en donde sea posible usar alguna de las propiedades estudiadas, las aplicaremos, con el fin de facilitar el procedimiento de resoluci´procedimiento de resoluci´on.on.
Ejercicios 4 Ejercicios 4
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones: Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1.) 1.)
||
xx−
−
22||
<< 11 2.) 2.)||
55xx−
−
77| | ≤
≤
33 3.) 3.)||
33−
−
xx||
<< 44 4.) 4.)||
55−
−
22xx| | ≤
≤
77 5.) 5.)||
22xx−
−
33| | ≤
≤ −
−
55 6.) 6.)||
77−
−
22xx| | ≥
≥ −
−
66 7.) 7.)||
55xx + 2+ 2||
>> 00 8.) 2 8.) 2||
33−
−
xx|| −
−
1010≥
≥
00 9.) 9.)||
xx−
−
33| ≤
| ≤
22xx−
−
55 10.) 10.)||
xx||
+ 3+ 3≥
≥
22xx 11.) 11.) 66
(2(2xx + 1)+ 1)66 >> 33 12.) 12.)
22 55 xx + 1+ 1
22−
−
x x << 22 Soluci´ Soluci´onon 1.) 1.)||
xx−
−
22||
<< 11 Sabemos que: Sabemos que:||
xx−
−
22||
==
x x−
−
2 2 sisi xx≥
≥
22−
−
((xx−
−
22) ) ssii x x << 22 Con esta informaci´−∞
−∞
2 2 ++∞
∞
||
xx−
−
22| |
−
−
((xx−
−
2)2) xx−
−
22||
xx−
−
22||
<< 11−
−
((xx−
−
2)2) << 11 xx−
−
22 << 11−
−
xx + 2+ 2 << 11 x x << 33−
−
x x <<−
−
1 1 AAss´´ı ı ddeebbe e ccuummpplliirrsse e qquuee xx >> 11 xx
≥
≥
2 2 yy x x << 33 AsAs´´ı ı debdebe e cumplcumplirse irse queque ∴∴ S S 22 = = [2[2,, 3[3[
x
x << 2 2 yy x x >> 11 ∴
∴ S S 11 = = ]1]1,, 2[2[
En consecuencia el conjunto soluci´
En consecuencia el conjunto soluci´onon S,S, dede
||
xx−
−
22||
<< 1 1 eses S S 11∪∪
S S 22 o seao sea S S = = ]1]1,, 3[3[Nota:
Nota: La inecuaci´La inecuaci´onon
||
xx−
−
22||
<< 1 y otras similares, se pueden resolver aplicando propiedades del valor1 y otras similares, se pueden resolver aplicando propiedades del valor absolutoabsoluto y ady adem´em´as algas algunos unos resultados resultados que que se ese enuncian a nuncian a continuaci´continuaci´on y que aceptaremos sin demostrar.on y que aceptaremos sin demostrar.
Resultado 1 Resultado 1
∀∀
a,a, aa∈∈
RR,,∀∀
b,b, bb∈∈
RR,,∀∀
c,c, cc∈∈
RR,,∀∀
k,k, kk∈∈
RR i. i.)) a < b < ca < b < c⇐
⇐⇒
⇒
aa ++ k k < < bb ++ k k < < cc ++ kk ii. ii.)) aa≤
≤
bb≤
≤
cc⇐
⇐⇒
⇒
a +a+ kk≤
≤
bb ++ kk≤
≤
cc ++ kk Resultado 2 Resultado 2∀∀
a,a, aa∈∈
RR,,∀∀
b,b, bb∈∈
RR,,∀∀
c,c, cc∈∈
RR,,∀∀
k,k, kk∈∈
RR concon k k >> 00 i. i.)) a < b < ca < b < c⇐
⇐⇒
⇒
ak < bk < ckak < bk < ck ii. ii.)) aa≤
≤
bb≤
≤
cc⇐
⇐⇒
⇒
akak≤
≤
bkbk≤
≤
ckck Resultado 3 Resultado 3∀∀
a,a, aa∈∈
RR,,∀∀
b,b, bb∈∈
RR,,∀∀
c,c, cc∈∈
RR,,∀∀
k,k, kk∈∈
RR concon k k << 00 i. i.)) a < b < ca < b < c⇐
⇐⇒
⇒
ak > bk > ckak > bk > ck ii. ii.)) aa≤
≤
bb≤
≤
cc⇐
⇐⇒
⇒
akak≥
≥
bkbk≥
≥
ckckUsando estos resultados y las propiedades correspondientes del valor absoluto,