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CUADERNO DE REFUERZO MATEMÁTICAS PENDIENTES 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS

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(1)

CUADERNO DE REFUERZO

MATEMÁTICAS PENDIENTES

1º BACHILLERATO

MATEMÁTICAS APLICADAS

(2)

NÚMEROS REALES

1. Efectuar , simplificando al máximo el resultado

a)

+

+

9

+

3

=

4

75

27

2

48

2

3

12

4 b) = 6 2 3 3 3 3 9 c)Racionalizar − = 2 2 2 6

2. a) Escribe en forma de intervalo y representa : 1º Conjunto de los números reales mayores que 7 2º

{

x

R

/

2

<

x

4

}

b) Escribe en forma de desigualdad y representa 1º

(

,

3

)

[

2

,

4

]

3. Efectuar , simplificando al máximo el resultado

a) 2 8−3 50+2 72− 64−2 2 b)

( )

3 4 4 3 2 2 9 . 3       4. Racionalizar y simplificar al máximo

a) 2 2 6− b) 3 2 3 3 −

5. Dados los intervalos A ={ x ∈R/ 2 ≤ x<4} , B = ( - 1 , 2 ] y C = { x ∈R/ x≥3} ,

representarlos . Calcular los conjuntos : A∪B,A∩B,A∩C,B∩C,A∪C y A∪B∪C

6. a) Simplifica los siguientes radicales

12

16

a

4

b

8 = 3 4

x

5

x

7 =

b) Saca del radical los factores que sea posible

3 4 5 75 28 y z x = 4 5 7 12 16 3 c b a

c) Introduce dentro de la raíz y simplifica 3

3 6 2 4 9 3 2 a b b a = 7. Efectúa y simplifica al máximo las siguientes expresiones

a) 4

+

+

+

=

3

1

9

4

75

27

2

48

2

3

12

4 b) 53 16+33 250+23 54−3 2+3 64 = 8. Efectúa y simplifica el resultado

a) 3 16.(3 2)5. 4 = b) = 6 2 3 3 3 3 9

(3)

9. Racionaliza y simplifica si es posible a) − = 2 2 2 6 b) = 5 4 2 c) = + − 3 5 3 5

10. Calcular las siguientes expresiones , sin hacer uso de la calculadora

a)

( )

2 3 4 5 5

log b) log5103 −log523 c)        3 3 3 3 1 9 3 . 3 log

11. Calcular las siguientes expresiones , sin hacer uso de la calculadora

a)

( )

2 3 4 3 3

log b) log634 +log624 c)        3 3 3 2 1 4 2 . 2 log

(4)

ÁLGEBRA

1. RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES : a)

(

2x2 +1

)(

x2 −3

) (

= x2 +1

)(

x2 −1

)

−8 b) 3 1 9 1 2 3 2 − = + + − − x x x x x c) x + x+2 =2 d ) x4+2x3-x2-2x= 0

2. RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES :

a) x+2+ x+7 =5 b) x4 −x3 −4x2 +4x=0 c) x x x x x x x 2 2 12 2 5 9 2 + + = + + − + d)

(

2x2 +1

) (

2 − x2 +2

)(

.x2 −2

)

=5

3. Resolver los siguientes sistemas :

3 16 ) 1 ( 3 8 15+ + = + y x y2 −2y+1=x 3 12 1 2 7 = + − −x y x+y =5

4. Resolver las siguientes inecuaciones : a) 3 5 2 4 7 2 2 2 4 2−x +x x+ x+ b)

x

(

x

+

9

) (

5

x

2

)

>3x2 −20 c) 0 2 1 < − + x x

5. Resolverlos siguientes sistemas de inecuaciones: 0 2 ) 1 ( 3 2 3 2 2 − ≤ − − x x x x x 0 2 ) 1 ( 3 2 3 2 2 − ≤ − − x x x x x

6. Efectuar y simplificar al máximo

1

5

3

1

2

`

.

2

6

2

1

2

1

1

2

+

+

+

+

+

+

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

7. Resolver los sistemas

a)

11

3

6

2

2 2 2 2

=

=

+

y

x

y

x

b)    2 3 5 2 x y x x y − + = − + = − + = − + = − + = − − + = − − + = − − + = −

(5)

=

=

+

=

+

6

3

6

2

7

3

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

9. Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones y calcula los vértices de la región solución : 1 1 4 2 2 ≤ ≥ − ≥ − ≤ + x y y x y x

10. Un comerciante ha vendido 600 pantalones , por los que ha obtenido a cambio 37440 euros . La venta se ha realizado de la siguiente forma .

- Vendió algunos pantalones a 72 euros la unidad

- En las rebajas vendió algunos de ellos con un 20% de descuento

- El resto lo vendió en la liquidación con un descuento del 40% sobre el precio inicial .

Sabiendo que en la temporada de rebajas vendió la mitad que en los otros dos períodos juntos , calcula cuántos pantalones vendió durante la liquidación.

11. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss

=

+

+

=

+

=

+

+

0

3

2

4

2

1

z

y

x

z

y

x

z

y

x

12. Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones y calcula los vértices de la región solución : 3 6 4 0, 0 x y x y x y + ≤ + ≤ + ≤ + ≤     + ≥ + ≥ + ≥ + ≥     ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 

13. Una fabrica dispone de tres máquinas , A , B e C , para producir cierto artículo. Cuando trabajan las tres se fabrican 2000 unidades por día . Si A no funciona , pero a B y C si , la producción desciende un 25% . Y cuando A y B funcionan normalmente , pero C sólo las tres cuartas partes de su rendimiento normal , la producción baja un 10% . ¿Cuántas unidades fabrica a diario cada máquina?

14. Un grupo de estudiantes organiza una excursión para lo cuál alquilan un autocar cuyo precio es de 540 €. Al salir, aparecen 6 estudiantes más y esto hace que cada uno de los anteriores pague 3 € menos. Calcula el número de estudiantes que fueron a la excursión y que cantidad pagó cada uno.

15. Resuelve, por el método de Gauss, el siguiente sistema de ecuaciones:

=

+

=

+

=

+

1

3

1

2

6

2

y

x

z

y

x

z

y

x

16. En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres.

a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay?

(6)

hombres, mujeres y niños hay? Justifica en cada caso tus respuestas.

17. Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que, el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del precio del rotulador. Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento.

18. Las edades de Marta, Miguel y Carmen suman 94 años. Dentro de diecisiete años las edades de Marta y Miguel sumarán un siglo. Calcula sus edades, sabiendo que Marta le lleva siete años a Carmen.

19. Carmen se dispone a invertir 100.000 €. En el banco le ofrecen dos productos: Fondo Tipo A, al 4% de interés anual, y Fondo Riesgo B, al 6% de interés anual. Invierte una parte en cada tipo de fondo y al cabo del año obtiene 4.500 € de intereses. ¿Cuánto adquirió de cada producto?

20. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas : a) 3x+2 +3x+1+3x+3x−1 =120 b) 4x+1+2x+3 =320 c) 81 1 9 . 3 3 2−x = d) log ( 2x+8 ) = 1 + log x e) logx+log(x+3)=2log(x+1)

21. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales

28 2 . 2 3 . 4 127 2 3 . 5 1 1 = + = − − + y x y x

22. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas : a) 3x+2 +3x+1+3x+3x−1 =120 b) 32x−1−8.3x−1 =3 c) 16 1 8 . 4 3 2−x = d) log ( x+9 ) = 1 + log x

(7)

MATEMÁTICA FINANCIERA

1. Por un artículo que estaba rebajado un 12% hemos pagado 26,4 euros. ¿Cuánto costaba antes de la rebaja?

2. El precio sin I.V.A. de un determinado medicamento es de 15 euros.

a) Sabiendo que el I.V.A. es del 4%, ¿cuanto costará con I.V.A.?

b) Con receta médica solo pagamos el 40% del precio total. ¿Cuánto nos costaría este medicamento si lo compráramos con receta?

3. Calcula en cuánto se transforman 800 euros al 10% anual, en un año, si los

periodos de capitalización son mensuales.

4. Calcula el capital final en el que se convierten 4250 € colocados durante 6 años a un interés compuesto anual del 5 % si la capitalización es:

a) Anual b) Trimestral c) Mensual

5. Calcula el número de meses que deben estar invertidos 3350 € para que se conviertan en 4000 € si el interés es compuesto del 4,5 % anual y la capitalización es mensual.

6. Calcula el tipo de interés compuesto al que deben estar colocados 5000 € para que en el plazo de seis años se conviertan en 8000 €, suponiendo que la capitalización es:

a) La capitalización es anual. b) La capitalización es trimestral. c) La capitalización es mensual.

7. Calcula el capital con el que se contará al final de una operación en la que se depositan 250 € al principio de cada mes durante 10 años y con un tipo de interés del 5,25 %.

8. Se solicita un préstamo hipotecario de 150 000 euros a pagar en 20 años y con un interés del 3,75 %. Calcula cuánto se ha de pagar:

a) Cada año si la capitalización es anual.

b) Cada semestre si la capitalización es semestral. c) Cada mes si la capitalización es mensual.

¿Cuál será, en principio, la opción más favorable para el cliente?

(8)

FUNCIONES

1. El número , en miles de habitantes , de una determinada ciudad ha evolucionado según la siguiente tabla

Años 2007 2008 2009

Población 53 71 91

b) Mediante interpolación lineal calcula la población en el año 2008, utilizando los otros

dos datos ¿Qué error se comete? (compara con el valor real de la tabla)

c) Obtén el polinomio interpolador de segundo grado correspondiente a los tres datos

de la tabla

d) Mediante extrapolación , calcula la población en el año 2010

2. Dadas las funciones : f ( x ) = 4 1 x− g( x ) = 4x−2 h( x ) = 1 4 − x a ) Clasificarlas y calcular su dominio

b) Calcular la expresión analítica de las siguientes funciones : 4f −h f .h f oh

1

f f o f −1 3. Halla la expresión analítica de la función representada :

4. Representa la siguiente función:

2 2 5 si 1 1 si 1 2 3 si 2 x x y x x x + < − + < − + < − + < −       = − − ≤ < = − − ≤ < = − − ≤ < = − − ≤ <    ≥≥≥≥   

5. Construye una función definida a trozos, compuesta por dos trozos de rectas y que cumpla las siguientes condiciones:

a) Continua. b) Constante en [4, 5]. c) Pendiente 2 en x =0. d) Máximo en el punto (2, 3). Dibújala.

2x x<0

6. Representa la función f(x) = x2 −2x

0≤x≤2

2−x x >2

7. Define como función a trozos y representa la función f(x)= x2 −2x

8. Los beneficios o pérdidas , en millones de euros , generados por cierta empresa durante los tres primeros meses del año 2009 vienen dados por la siguiente tabla :

(9)

Meses Enero Febrero Marzo

Beneficios -1 0,5 2

a) Halla el polinomio interpolador que se ajusta a estos datos.

b) Se añade la información del mes de abril , en el que hubo 4 millones de beneficio ;

¿cuál será el nuevo polinomio interpolador?

c) Extrapola los beneficios previsibles para el mes de mayo.

9. El número de habitantes de una determinada ciudad ha evolucionado según los datos de la siguiente tabla :

Años 1998 1999 2001

Población 53 71 91

Calcula el polinomio interpolador de segundo grado que pasa por los tres puntos , y utilízalo para estimar la población de la ciudad en el año 2000

10. Halla el dominio de las siguientes funciones: 1 2 )y = x− a 4 1 ) 2 − + = x x y b 1 1 2 ) 2 + + = x x y c 1 )y = x2 − d

11. La tabla muestra el número de turistas, en millones, que entraron en España en el período 1995-2005.

AÑO 1995 2000 2005

TURISTAS 54 74 92

a) Halla los valores para 1998, 2002 y 2008. b) ¿En qué año se superaron los 80 millones?

12. En una ciudad se disputa una liga de baloncesto juvenil con 15 equipos. Cada equipo juega dos veces contra cada uno de los otros. Cada victoria supone tres puntos;

cada empate, uno, y las derrotas, cero. Uno de los equipos ha tenido las siguientes puntuaciones.

JORNADA 3 6 8

PUNTOS 4 6 14

a) ¿Qué puntuación podría tener en la jornada 5? ¿Y en la jornada 7? b) La liga se acaba en la jornada 28. ¿Qué puntuación podemos esperar para el equipo? ¿Es razonable el resultado?

(10)

LÍMITES – CONTINUIDAD

1. La siguiente gráfica corresponde a la función f (x).

Calcula sobre ella:

( )

x lím f

( )

x lím f

( )

x lím f

( )

x f lím x x x x→−∞ →+∞ →2− →2+ d) c) b) a)

( )

x lím f

( )

x límf

( )

x f lím x x x 2 2 0 g) f) e) → − → − → − +

- Estudia la continuidad y clasifica los puntos de discontinuidad

2º Calcula los siguientes límites:

1 3 2 2 3 2 2 2 5 1 2 3 c) 2 2 4 b) 10 3 6 a) + +∞ → +∞ → →      + +       + + − − − + − + x x x x x x lím x x x x lím x x x x lím d)

2

2

2

lim

2

+

x

x

x e) 2 3 2

1

1

2

lim

− →

+

x x

x

x

f)

(

x

x

)

x

∞ →

1

2

lim

3º Estudia la continuidad de las siguientes funciones. Si en algún punto no son continuas, indica el tipo de discontinuidad que presenta:

( )

2 4 2 − − = x x x f

( )

+

<

+

<

+

=

1

si

2

1

0

si

1

2

0

si

1

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

g

4º Halla el valor de k para que f(x) sea continua en x=1 :

( )

= + >1 si 1 si 1 2 x k x x x f

5º Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa las curvas respecto a ellas: 1 1 ) ( − + = x x x f 1 ) ( 2 + = x x x g

6º Calcula los siguientes límites:

2 1 2 0 2 3 2 2 2 2

2

2

c)

1

1

b)

2

2

3

a)

x x x x

x

x

x

lím

x

x

x

x

lím

x

x

x

x

lím

+

+

+





+

+

+

+

→ +∞ → − →

7º Estudia la continuidad de las siguientes funciones. Si en algún punto no son

continuas, indica el tipo de discontinuidad que presenta:

( )

<

<

=

2

si

4

2

1

si

1

si

2

2

x

x

x

x

x

x

f

1 2 3 ) ( 2 − + − = x x x x f 8º Dada la función 1 ) ( − = x x x

f , calcula sus asíntotas y comportamiento con respecto a ellas.

(11)

9º Calcula los siguientes límites:

x x x x

x

x

lím

x

x

x

x

lím

x

x

x

lím

1 2 0 2 3 2 2 2 2

1

1

c)

1

1

b)

4

2

3

a)

+

+





+

+

→ +∞ → →

10º Estudia la continuidad de las siguientes funciones. Si en algún punto no son

continuas, indica el tipo de discontinuidad que presenta:

( )

<

=

1

1

si

1

2

si

x

x

x

x

x

f

1 2 3 ) ( 2 − + − = x x x x f

11º Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta:

( )

6 3 2 2 2 3 − − − − = x x x x x x f

12º Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:

( )

   ≥ − < − + − = 1 si 3 1 si 1 2 x a x x ax x x f

13º Estudia la continuidad de la función:

( )

       ≥ + < ≤ − − < − = 1 si 1 1 0 si 1 x 0 si 2 3 2 2 x x ln x x x x x f x

14º ¿Son continuas las siguientes funciones en x ==== 2?

a) b)

(12)

DERIVADAS

CALCULA LA DERIVADAD DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES SIMPLIFICANDO AL MÁXIMO EL RESULTADO

( )

(

)

( )

2 3 5 ) 2 ( 2 2) ) 1 2 ( . 1) + = + + = x x x f x sen x e x f x

( )

f

( )

x

ln

(

x

x

)

x

x

x

x

x

f

4)

3

(

2

1

)

cos

3

3

2

3)

=

3

+

+

+

=

(

)

       − + = − − = x x ln x f x x x f

e

e

x x ) ( 6) ) 1 2 .( 4 3 ) ( 5) 2 5 7) f (x) = ( 1 + x 2 ) . arctg x 8 ) f (x) = ( 2x+1 )3x -1 9 ) f(x) = cos x . Ln ( tg x ) 10) f(x) =3 sen2 ( 2x3 +5x -1 ) 11) f( x ) = arctg [ (1 + x ) / (1 – x) ] – arctg x

(

)

2 2 2 ) 1 3 ( 4 13) 3 12) + = − = x x y x sen y

( )

f

( )

x

ln

(

x

x

)

x

x

x

x

x

f

15)

3

(

2

1

)

cos

3

3

2

14)

=

3

+

+

+

=

(

)

      + = − − = 1 3 2 17) ) 1 2 .( 4 3 16) 2 5 x x ln y x x y 18) f( x) = Ln x x + − 1 1 19) f(x) = ln 1 1 − +

e

e

x x 20) f(x) = 1 1 + − x x 21) f(x) = 1 ) 1 ( + + x x Ln 22) f(x) = ) 3 ( 5 5 + x 23) f(x) = Lnx

e

x 24) f(x) =Ln

senx

senx

+

1

1

25) f(x) = 5 ) 7 ( 3 x− 5 26) f(x) = Ln (x+1+

x

2

+

2

x

+

1

) 27) f(x) = xx 28) f(x) = xsenx 29) f(x) = xLnx 30) f(x) = sen2(x2+2x-2)2 31) f(x) = Ln3 ( 2x-1)2

(13)

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

1º El número de centros de salud en 20 ciudades es: 2 4 2 5 5 4 6 8 6 8

3 5 3 4 5 5 8 4 5 4 a) Calcula la media aritmética. b) Halla la moda.

2º La tabla adjunta muestra las medidas, en cm, de unos bastones de esquí. Medida en cm [100,105) [105,110) [110,115) [115,120) [120,125) Nª de bastones 4 9 12 10 3

a) Halla la media aritmética y la moda. b) Calcula la mediana.

c) Representa el histograma de frecuencias absolutas. d) Dibuja el diagrama de sectores.

3º Con la variable edad, en años, de una muestra de 100 personas se forma la siguiente tabla de frecuencias absolutas.

Edad [10,30) [30,50) [50,70) [70,90) [90,110) Frecuencia absoluta acumulada 10 30 60 84

Completa la tabla y calcula la desviación típica.

4º Obtén la media y el segundo cuartil de la variable X cuya distribución de frecuencias es: i

x 2 4 6 8 10

i

f 2 3 4 1 5

¿Qué otro nombre recibe el segundo cuartil? b) Halla los cuartiles primero y tercero. c) Halla los deciles 3 y 7.

d) Halla los percentiles P10 y P90.

5º Un especialista en pediatría obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:

Meses 9 10 11 12 13 14 15

Niños 1 4 9 16 11 8 1

a) Dibuja el polígono de frecuencias.

b) Calcula la mediana, la moda y la varianza. c) Halla el rango y el rango intercuartílico.

6º Un dentista observa el número de caries de cada uno de los 100 niños de un colegio. La información resumida aparece en la siguiente tabla:

Nª de caries Frecuencia

absoluta

Frecuencia relativa

(14)

0 25 0.25

1 20 0.20

2 x z

3 15 0.15

4 y 0.05

8º Se ha realizado un test, compuesto de 10 preguntas, a 40 alumnos de un grupo, con los siguientes resultados:

Respuestas [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10)

Nª de alumnos

4 9 15 7 5

a) Representa gráficamente la distribución. b) Calcula el valor de la moda.

c) Halla la varianza y la desviación típica.

d) ¿A partir de qué dato se encuentra el 70% de los alumnos que han obtenido la mejor nota?

9º La nota media en matemáticas de 50 alumnos de 1º de Bachillerato es de 6 con una desviación típica de 2,45. La recta de regresión de las notas de matemáticas respecto a las notas de física es y ==== 0,99x −−−− 0,92 ((((y ==== nota de matemáticas, x ==== nota de física)))).

a)))) Calcula la nota media que se obtiene en física.

b)))) La pendiente de la recta de regresión de x sobre y,¿ qué signo tendrá?

10º En seis institutos de la misma zona se ha estudiado la nota media de los estudiantes de 1º de bachillerato en Matemáticas y en Inglés, obteniéndose la información que se recoge en la siguiente tabla:

a) Halla la recta de regresión de y sobre x.

b) Calcula la nota que sacará en Inglés un alumno de 5,5 en Matemáticas . ¿Es fiable esta

estimación? Razona la respuesta

11º Un grupo de seis atletas ha realizado pruebas de salto de longitud y de altura. Las dos se han puntuado en una escala de 0 a 5. Los resultados obtenidos han sido los siguientes:

a) Halla las dos rectas de regresión y calcula el coeficiente de correlación

b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación entre las dos variables?

12º Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones referidas a una distribución bidimensional son ciertas o no:

a)))) Si | r | ==== 1, los puntos de la nube están alineados.

b)))) Si la covarianza es positiva, el coeficiente de correlación es negativo. c)))) Si | r | es próximo a 0, la correlación es débil.

(15)

13º En una distribución bidimensional se han obtenido 15 medidas de las variables X e Y. A partir de estos datos conocemos:

ΣΣΣΣxi==== 36 ΣΣΣΣyi==== 33 r ==== 0,90

I. ¿Cuál de las siguientes rectas es la recta de regresión de Y sobre X?

a)))) y ==== 1,35x ++++ 1,04 b)))) y ====−−−−0,8x ++++ 4,12 c)))) y ==== 0,70x ++++ 0,52 d)))) y ==== 3,7 −−−− 1,2x II. Halla la recta de regresión de X sobre Y.

14º De una distribución bidimensional (x, y)))) conocemos: La recta de regresión de Y sobre X : y ==== 11,98 −−−− 1,99x La recta de regresión de X sobre Y : y ==== 12 −−−− 2x

Calcula el centro de gravedad de la distribución y el coeficiente de correlación.

(16)

PROBABILIDAD

1º Extraemos dos cartas de una baraja española y vemos de qué palo son.

a)))) ¿Cuál es el espacio muestral? ¿Cuántos elementos tiene?

b)))) Describe los sucesos:

A ==== "Las cartas son de distinto palo" B ==== "Al menos una carta es de oros"

C ==== "Ninguna de las cartas es de espadas"

escribiendo todos sus elementos. c)))) Halla los sucesos B ∪∪∪ C y B ' ∩∪ ∩∩∩ C. 2º De dos sucesos, A y B, sabemos que:

P[A' ∩∩∩ B'] ==== 0 P[A' ∪∩ ∪∪ B'] ==== 0,5 P[A'] ==== 0,4 ∪

Calcula P[B] y P[A ∩∩∩ B]. ∩

3º Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad tales que: P[A'] ==== 0,6 P[B] ==== 0,3 P[A' ∪∪∪∪ B'] ==== 0,9

a)))) ¿Son independientes A y B?

b)))) Calcula P[A' / B].

4º Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean:

a) Las dos de oros.

b) Una de copas u otra de oros. c) Al menos una de oros.

d) La primera de copas y la segunda de oro.

5º En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado matemáticas, 16 que han aprobado inglés y 6 que no han aprobado ninguna de las dos.

Elegimos al azar un alumno de esa clase:

a)))) ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés y matemáticas?

b)))) Sabiendo que ha aprobado matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés?

c)))) ¿Son independientes los sucesos "Aprobar matemáticas" y "Aprobar inglés"? 6º Tenemos dos urnas: la primera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda tiene 4 bolas rojas, 3 blancas y 1 negra. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola.

a)))) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?

b)))) Sabiendo que la bola extraída fue blanca, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la

primera urna?

7º En una oposición, un alumno ha preparado 18 temas de los 30 de que consta el programa. Se eligen al azar tres temas. Calcula la probabilidad de que se sepa exactamente dos temas.

8º De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.

a)))) ¿Cuál es el espacio muestral?

b)))) Describe los sucesos:

A ==== "Mayor que 6" B ==== "No obtener 6" C ==== "Menor que 6" escribiendo todos sus elementos.

c)))) Halla los sucesos A ∪∪∪ B , A ∩∪ ∩∩∩ B y B' ∩∩∩ A'. ∩ 9º Sabiendo que:

P[A ∩∩∩∩ B] ==== 0,2 P[B'] ==== 0,7 P[A ∩∩∩∩ B'] ==== 0,5 Calcula P[A ∪∪∪∪ B] y P[A].

(17)

10º º De dos sucesos A y B sabemos que:

P[A'] ==== 0,48 P[A ∪∪∪∪ B] ==== 0,82 P[B] ==== 0,42

a)))) ¿Son A y B independientes?

b)))) ¿Cuánto vale P[A / B]?

11º Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son:

−−−− A 32 personas les gusta leer y ver la tele. −−−− A 92 personas les gusta leer.

−−−− A 47 personas les gusta ver la tele.

Si elegimos al azar una de esas personas:

a)))) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?

b)))) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele? c)))) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?

12º El 1% de la población de un determinado lugar padece una enfermedad. Para detectar esta enfermedad se realiza una prueba de diagnóstico. Esta prueba da positiva en el 97% de los pacientes que padecen la enfermedad; en el 98% de los individuos que no la padecen da negativa. Si elegimos al azar un individuo de esa población:

a)))) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo dé positivo y padezca la enfermedad?

b) Si sabemos que ha dado positiva, ¿cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad?

(18)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD D. BINOMIAL - D.NORMAL

1º Se lanzan dos dados cúbicos con las caras numeradas del 1 al 6. Se considera la variable aleatoria X, que asigna a cada elemento del espacio muestral la diferencia positiva de las caras obtenidas.

a) Representa la función de probabilidad.

b) Halla la media, la varianza y la desviación típica.

c) Calcula P(X ≤3).

2º Un jugador lanza tres monedas. Gana tantos euros como caras obtenidas excepto cuando aparecen tres cruces, que pierde 10 euros. Si X es la variable aleatoria que indica la ganancia, calcula:

a) El conjunto de valores de la variable aleatoria X. b) La función de probabilidad de la variable X. c) La media de la distribución y su desviación típica. d) ¿Es favorable el juego al jugador?

3º El director de marketing de un equipo de baloncesto ha calculado que el porcentaje de seguidores en una ciudad es del 35%. Se escoge al azar una muestra formada por 10 personas y se considera la variable que expresa el número de seguidores en la muestra. a) Estudia si la variable sigue una distribución binomial.

b) En caso afirmativo, señala los parámetros de la distribución.

4º El 30% de los tornillos de una gran partida son defectuosos. Si se cogen tres tornillos al azar, calcula

la probabilidad de que: a) Los tres sean defectuosos. b) Solamente dos sean defectuosos. c) Ninguno de ellos sea defectuoso.

5º En un grupo de 16 personas, 10 son varones, y 6, mujeres. Se eligen al azar 3 personas del grupo.

Calcula la probabilidad de:

a) Seleccionar exactamente dos varones. b) Seleccionar al menos un varón.

6º La opinión que tiene la población sobre la gestión de su Ayuntamiento es favorable en el 30% de los casos, y desfavorable en el resto. Elegidas 10 personas al azar, halla la

probabilidad de que:

a) Exactamente tres la consideren favorable. b) Ninguno la considere desfavorable.

7º Se reparten unas invitaciones sabiendo que el 40% asistirán al acto. Se seleccionan al azar 10 invitados. Calcula la probabilidad de que:

a) Solo tres acudan al acto. b) Acudan más de tres.

8º En una ciudad se sabe que la probabilidad de padecer la gripe en el mes de enero es de 5

1

. Se escoge una muestra al azar formada por 30 personas. Se pide: a) Esperanza matemática y su interpretación.

b) Varianza.

9º En la especie ovina, el color de lana blanco domina sobre el negro. Por ello, al cruzar una oveja de lana

blanca con un carnero de lana negra, la probabilidad de que la descendencia sea blanca es de 0,75. Si se

(19)

realizan 8 cruzamientos de este tipo, ¿cuál es el número medio de corderos blancos esperado?

10º Una determinada marca de CD ha detectado en su departamento de control de calidad que son defectuosos el 5%. En una muestra formada por 25 CD se pide:

a) Probabilidad de que no haya ninguno defectuoso. b) La media y la desviación típica de esta distribución.

11º Un jugador de ajedrez tiene una probabilidad de ganar una partida de 0,25. Si juega cuatro partidas, calcula la probabilidad de que gane más de la mitad.

12º Se lanza una moneda cuatro veces. Calcula la probabilidad de que salgan más caras que cruces.

13º El 4% de los CD para ordenador que fabrica una determinada empresa resultan defectuosos. Los CD

se distribuyen en cajas de 5 unidades. Calcula la probabilidad de que en una caja no haya ningún disco

defectuoso.

14º Un examen de opción múltiple está compuesto por 9 preguntas, con 4 posibles respuestas cada una,

de las cuales solo una es correcta. Suponiendo que uno de los estudiantes que realiza el examen responda al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a 6 preguntas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna?

15º Si el 20% de los cerrojos producidos por una máquina son defectuosos, determina la probabilidad de que entre 4 cerrojos elegidos al azar:

a) Uno sea defectuoso.

b) Como mucho, dos sean defectuosos.

16º En un proceso de fabricación, la probabilidad de que una unidad producida pase el control de calidad es del 90%. En un lote de 8 unidades, ¿cuál es la probabilidad de que todas pasen el control de calidad? ¿Y de que lo pasen al menos 6?

17º Si de 650 alumnos de 1.o de Bachillerato sólo 200 aprueban Matemáticas, halla la probabilidad de

que al elegir 5 de estos alumnos al azar: a) Ninguno apruebe Matemáticas. b) Aprueben, a lo sumo, 2.

c) Al menos 4 aprueben.

18º Se tienen muchos datos que siguen una distribución normal de media 20 y desviación típica 2. Calcula, explicando el método utilizado, el porcentaje de datos que superan el valor 23, y justifica que ese porcentaje es idéntico al porcentaje de datos inferiores a 17. 19º La longitud de las truchas de una piscifactoría sigue una normal N(23,75; 3). Solo se comercializan a cuya longitud está comprendida entre 20 y 26 cm.

a) ¿Qué porcentaje del total representan?

b) ¿Cuál es la longitud para la cual el 80% de la población tiene una longitud superior? 20º El peso de una carga de naranjas, en gramos, sigue una distribución N (175, 12). Calcula la probabilidad de que una naranja elegida al azar pese:

a) Más de 200 gramos. b) Entre 150 y 190 gramos.

21º La edad de un determinado grupo de personas sigue una distribución N (35, 10). Calcula la probabilidad de que una persona de ese grupo, elegido al azar, tenga:

(20)

a) Más de 40 años. b) Entre 23 y 47 años.

22º Una cadena hotelera quiere ofrecer a un grupo de personas nuevos destinos turísticos. Para realizar la selección, tiene en cuenta dos factores: la edad y los ingresos mensuales. Se selecciona aleatoriamente un grupo de personas cuyas edades e ingresos siguen unas distribuciones N (44, 5)))) y N (1 900, 150)))), respectivamente.

a)))) Calcula el porcentaje de personas cuya edad está comprendida entre 38 y 50 años.

b)))) Halla el porcentaje de personas cuyos ingresos mensuales están entre 1 675 y 2 095

euros.

c)))) Para la cadena hotelera, son adecuadas las personas que cumplan los requisitos dados en a), y b). ¿Qué porcentaje de ellas puede disfrutar de la oferta hotelera?

23º El diámetro medio de las piezas producidas en una fábrica es de 45 mm.

a) Halla su desviación típica sabiendo que la probabilidad de que una pieza tenga su diámetro mayor de 50 mm es igual a 0,0062.

b) Si se analizaran 850 piezas, ¿Cuántas tendrán el diámetro comprendido entre 39,7 mm y 43,5 mm?

24º El tiempo empleado, en horas, en hacer un determinado producto sigue una distribución

N (10, 2). Calcula la probabilidad de que ese producto se tarde en hacer: a) Menos de 7 horas.

b) Entre 8 y 13 horas.

25º El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal N (192, 12). Calcula la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol:

a) Superior a 200 unidades. b) Entre 180 y 220 unidades.

26º La demanda diaria de un cierto producto es una variable continua x (medida en toneladas) cuya función de probabilidad es la siguiente:

Demuestra que es una función de densidad

Calcula la probabilidad de que la demanda diaria de este producto sea: a) Superior a 2 toneladas.

Referencias

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