Aproximaciones del factor de
fricción obtenidas por solución
numérica de la ecuación
de Colebrook
P o r: H e r n a n d o R a m íre z Plazas*a r a d i s e ñ o s p r e l i m i n a r e s de g a s o d u c t o s y e s t u d i o s de o o tim iz aao n . las proximaciones explícitas del factor de fricción obtenidas por solución numérica de ia ecuación J e Colebrook, son más ex a c ta s y más fáciles de usar q u e las e c u a cio n es com únm ente utilizadas para el cálculo directo de f, las cuales no requieren solución por ensayo y error La mejor de todas las aproximaciones es la Ecuación de Serghides
La ecuación (1) es la forma m?s general que se aplica al flujo de gas natural por tuberia horizontal
C ( Tb/Pb) ( P P.* )05 d2í
q h = --- ‘--- (1) ( f rg T Z L . r
donde
qh= Flujo de gas por tuberia horizontal, pie’ standard por día P= Presión, Lpca (Subíndice b = Presión base)
T= Temperatura, R (Subíndice b = Tem peratura base) d= Diám etro de la tuberia, pulgada
* P ro feso r titu la r D e p a rta m e n to de In g e n ie ría de P e tró le o s U n iv e rsid a d S u rc o lo m b ia n a
^TKEt 'ÜN GENERAL TfE INVESTIUALIUNES
L= Longitud de la tubería, milla
C= 77,54 (constante especifica para las unidades usadas) f= F acto r de fricción de M oody
Z= F acto r de compresibilidad (adimensional. valor prom edio) rg= G ravedad especifica (adimensiunal)
En ella, el factor de fricción de M oody (f) es una función considerablem ente
na lin e a l del N úm ero de Reynolds ( N Re) y de la rugosidad relativa (e/D),
que debe ser leído de una gráfica o determinado iterativamente de la ecuación (2) con ocida con el n om b re de ecu a ció n de C oiebrook.
donde e es la rugosidad absoluta de la tubería (pie), D, es el diám etro interno de la tubería (pie), y N Rc el numero de Reynolds (adimensional)
En la ecuación (3), u#, es la viscosidad del gas (valor prom edio) y además, el Nd es función de q.
Re
C onviene aclarar que la ecuación de Coiebrook es la base para predecir el factor de fricción para flujo de fluidos por tubería, pero no se puede re solver directam ente porque f aparece en ambos lados de la ecuación (2) La solución se obtiene aplicando una técn ica de en sa yo error Ahora
bien, si se quiere obtener directam ente el valor del factor de fricción, se debe utilizar una ecuación aproxim ada que sea explícita en f. logrando de esta manera simplificar la solución de la ecuación (1)
R ecordem os que el factor de fricción es una de las variables que más influye en la exactitud con que se estime el flujo de gas natural a través de tuberías ho rizo n tales En este sentido, resultan particularm ente im p o rtan tes las ecuaciones aproxim adas para el calculo directo de f, y dentro de este grupo, las que e s tá n b a s a d a s en la s o lu c ió n n u m é r ic a d e la e c u a c ió n d e
C o ieb ro o k , las cuales parecen ser más exactas que cualesquiera de las
otras aproxim aciones publicadas (M oody, Wood, Jain, Churchill y Chen). Sin embargo, la exactitud mejora con el número de constantes (A, A y B; A, B y C) para las cuatro ecuaciones más ampliamente conocidas de la serie de soluciones numéricas de Coiebrook (Vease C uadro No 1)
= -2 0 log (2)
N„,= 0 7105 P„ rt q h/ ( T s u , d) (3)
U I K hL Li U N O Ü / W ü / C A L L / C J / v K C J / í V A n v . **-*>
El f a c t o r de fric ció n de M o o d y
D urante el flujo de gas natural p or tuberías siempre resulta que alguna parte de la energía mecánica es convertida en calor Esta "E nergía P erdida se debe a irreversibilidades de la co rrie n te fluyente, las cuales consisten principalmente en pé rd id a s p o r fr ic c ió n (por efectos viscosos y por causa de la rugosidad de la pared interna de la tub e n a)
Con excepción del flujo com pletam ente lam in ar, la energía perdida en sistemas reales no puede ser predicha teóricam ente, por el contrario, debe ser determ inada a partir de experim entos y luego correlacionada com o una función de las variables de flujo Las p érd id a s p o r fric c ió n son generalmente calculadas usando un f a c to r de fr ic c ió n , f, que por análisis dimensional se ha encontrado que depende del número de Reynolds (N Re) y de la rugosidad relativa (e/D )
La base teórica para la ecuación general de flujo de gas natural por tubería es la ley de la "Conservación de la Energía" Luego, aplicando relaciones te rm o d in á m ic a s p a ra la e n erg ía in tern a, la e n ta lp ia y la e n tro p ía es modificada a la forma de gradiente de presión ( a. P/ a. L).
El flujo horizontal, la energía perdida o caida de presión total es causada únicam ente por cambios en energía cinética y por pérdida por fricción, asi:
El factor de fricción de Fanning, f, se define com o la razón del esfuerzo de corte de pared (tw ) a la energía cinética por unidad de volumen ÍD EN \ / 2gc), es decir
E sfuerzo de co rte de pared f =
Energía cinetica por unidad de volumen tw
f = (4)
D EN v 7 2 g c
También.
tw= I --- 1 I --- I (5)
(
t
) (f)
(
je
- )
\ dL /
D onde 1 / son las perdidas por fricción expresadas en térm inos de gradiente Be presión
Sustituyendo la ec (5) en la ec (4) y despejando se obtiene
2 f DEN v*
---
(
6
)
La ec (6) se denomina Ecuación de Fanning
En térm inos del factor de fricción de Moofiy o de Darcy - Weisbach ( f = 4 f ), las perdidas por fricción son iguales a
f DEN v*
--- (7)
( —\ dL J ' ) ‘ 2gc D
Siendo D EN la densidad del gas natural y v la velocidad en la tubería La ec (7) se co n o ce con el nombre de ecuación de M oody y f se defin e
com o el f a c to r de fr ic c ió n de M oody.
E s te f a c to r se r e p r e s e n t a en una g ra fic a d e ( lo g 0 Vs ( lo g N hJ , param etrizada en (e/D), la cual se denomina “Gráfica del factor de fricción de M oody" y co rrespo n d e a la expresión analítica de la ec (2)
N ú m ero d e R eynolds
Es un g ru p o adimensional definido com o
*S U N I V E R S I D A D S t R C O L O M B l A N A
D (pie) v (pie/seg) DEN ( l b m \ P ie; / N Rf= U / 1 bm \ \ P i e - seg /
El número de Reynolds (N Re) es la razón de las fuerzas del mom ento del fluido a las fu erzas de c o rte viscoso, y se usa co m o p a rá m e tro para diferenciar el flujo l a m i n a r del turbulento Generalmente se acepta que el cambio de flujo laminar a turbulento o curre a un N Rc de 2100 para flujo en tubería Para propósitos prácticos de flujo de gas natural, el N ke se calcula por medio de la ec (3)
R u g o s i d a d R e la tiv a ( e /D )
Normalmente, la pared interna de una tuberia no es lisa sino rugosa La rugosidad es función del material de la tubería, del m étodo de fabricación y del ambiente al cual han sido expuestas La ru g o sid a d a b solu ta (e) de la pared interna de una tubería es definida com o la altura saliente promedia de granos de arena, estrecham ente em pacada y uniform emente distribuida, que podría dar el mismo com portam iento del gradiente de presión que la pared de una tuberia real
El análisis dimensional sugiere que el efecto de la rugosidad no se da en unidades absolutas sino en forma relativa al diámetro interno de la tubería, es decir, en térm inos de ru g o sid a d rela tiva (e/D) Esta se define com o la razón entre la rugosidad absoluta y el diámetro interno de la tubería, ambos expresados en las mismas unidades (cantidad aaimensional)
R U G O S ID A D RELATIVA =
Rugosidad Absoluta Diám etro Interno e (pie) E (pulg)
R U G O S ID A D RFLATIVA = --- --- (9) D (pie) d (pulg)
La rugosidad absoluta no es una propiedad medible para una tuberia La manera de evaluarla es co m parando los gradientes de presión obtenidos a
partir de la tubería en estudio con los de una tuberia que ha sido recubierta internam ente con arena
Si no existe ninguna información disponible sobre rugosidad absoluta, un valor de E= 0 0006 pulg es reco m en dad o para g asod u cto s
La e c u a c i ó n de C o l e b r o o k
C orresp o n d e a la Ecuación (2) y es la referencia para el desarrollo ae ecuaciones aproxim adas para el calculo directo del factor de fricción de M oody
'orno se an o to anteriormente, la ecuación de C olebrook es im p lícita e n / , y por tanto, requiere de una solu ción num érica. Además, qh depende de f según la ecuación (1), y al mismo tiempo, f depende de qh com o lo muestran las ecuaciones (2) y H )
En efecto, resulta practico disponer de una a p rox im a ció n de la Ecuación de Colebrook que de lugar a una so lu ció n a n a lítica ae f, lo cual simplifica c o n s id era b lem en te la solucion de la ec (1) Aquí lo im p o rta n te es la exactitud de la aproximación desarrollada para ei cálculo de f
S o l u c i o n e s n u m é r i c a s de la e c u a c i ó n de
C o l e b r o o k
Son aproxim aciones explícitas a la solución de la ecuación del factor de fricción de C olebrook (ecuación 2). las cuales tiene diferentes intervalos de aplicabilidad, com o se muestra en el cuadro No 1 Estas soluciones aproxim adas se diferencian en el numero de constantes y en la formula que se utiliza para combinar estas constantes N ótese que la expresión que se usa para calcular las constantes, generalmente es una aproximación de la ecuación de ColebrooK
Del cuadro No I se observa que la ecuación de S erghides de tres constantes (A, B y C) es la mas exacta de todas las ecuaciones explícitas del factor de fricción, con una desviación máxima, con respecto a la solución numérica de la ecuación (2), de 0 .0 0 2 3 % y con una desviación p ro m ed io de 0 0002% (cien o mas veces mas pequeñas que las otras aproxim aciones publicadas)
g W B V L K J N i h lMl k a l v e
CUADRO No. 1
Exactitud de las aproximaciones explícitas de la ecuación del tactor de ñu, -ion de Colebrook, obtenidas por soluciones numéncas
AUTOR VALIDEZ f
- r ECUACION APROXIMADA
% DESVIACION ABSOLUTA
«lo DEL FACTOR DE FRICCION ■KOMEDIO MAXIMO
/lgrang y Sylvester 4000<N,/1 y 10
1/(0
#* ■A
0 2 0 * 0 * 5 9 y oooo*-«D<o.o$ n / * D \ / < 0 2 a \ ( r | v — ; /» D 5 02 \ / »O IJ \ 0 0 2 7 0 1 3 8 T.K Serghid« 2100 y Cualquier e. D 12 ✓ (A . 4 u i y \ 4 f -1 4 1 1 1 • ---) \ B-2A * 4 7Í I / / . O .2 \ A- -2 0 lo» 1 --- --- 1V
37
/ / « o :j i<v B - -2 0 lo» ( --- * --- 1 v 7 % / 0 0 1 7 a 19* 1) S < B - A f X*
' • ( ' c. » . a ) — £ • * ) S c D 251 Í V H* -2 o lo» I --- * --- 1 \ l 7 N „ / / « O 2 5 1 l \ C* - 2 0 lo» I --- - --- 1 V » 7 ^ / 0 0 0 0 2 0 0 0 2 1 U N I V t R S I D A D S L i R C O L O M B IA N A 91v m i m w u . 4X6 M V r f i O i i U / t c n / A U
NOTA El % de desviación absoluta (% DA), es el valor de la diferencia fracciona! en tre el facto r de fricción o b te n id o a partir de la ecuación aproximada y la solución numérica de la ecuación de Colebrook, multiplicada
% DA = [{(fa - f) / f }* 100]
donde f e s el factor de fricción de Colebrook calculado numéricam ente, y fa es la aproximación
La ecuación del factor de fricción de Serghides
La ecuación (13) del cuadro 1 se identifica com o la ecuación de Serghides de tres c o n stan tes para el cálculo del factor de fricción Fue derivada m e d ia n te la a p lic a c ió n d e la té c n ic a de c o n v e r g e n c ia a c e le r a d a de S te ffe n s o n p a ra u na s o lu c io n n u m é ric a ite r a tiv a d e la e c u a c ió n de C olebrook
Las co n stan tes A, B y C de la ecuación de Serghides son expresiones aproxim adas de la ecuación (2), las cuales se determinan mediante tres ite ra c io n e s p o r el m é to d o de su stitu c ió n d irec ta A d icio n alm e n te, la ecuación (13) combina las tres constantes de acuerdo con la formula de Steffenson, así: por 100 A= -2 0 log + N 2 51 A> (13b) C= -2.0 log (13c) 92 U N I V E R S I D A D S U R C O L O M B I A N A
i ’. ' « t í C / t / A UKN K RAL U t M Í E S T fliA C I O ftE S
C o n c l u s i ó n
La ecuación de Serghides de tres constantes (ecuación 13) se recomienda para usarse en cálculos com putacionales de f Una versión más sencilla es la ecuación (12), pues sólo tiene dos constantes (A y B) y es muy aproximada pero mas fácil de usar en cálculos manuales de f La ecuación (12) también fue obtenida mediante aplicación de la técnica de Steffenson a una solution numérica de la ecuación (2)
B i b l io g r a f ía
1 CRAFT. B C and Hawkings. M, Applied Petroleum Reservoir Engi neering, Englew ood Cliffs. New Jersey Prentice - Hall Inc , 1991 2 SE R G H ID L S , T K , "Estimate Friction Factors Accurately" Chemical
Engineering, M ar 5, 1984. p 63-64
3 TO W LE R. Brian F , and Pope. Timothy L "New equation for f r ic tio n - factor approximation developed" . Oil & Gas Journal, Apr 4, 1994, p 55-57
4 ZIG R A N G , D J . and SYLVESTER. N D , "Explicit Approximations to the and solution o f C olebrook's frictions factor equation", Aiche J , Vol 28. N o 3, 1982
