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Funciones lineales y cuadráticas

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“Uno de los principales objetivos de la investigación

teórica es encontrar el punto de vista desde el cual un

tema aparece en su forma más simple”.

Josiah Willard Gibbs

Funciones lineales

y cuadráticas

SESIÓN

2

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13

¿Qué vas a aprender?

Al terminar esta sesión serás capaz de:

a) Reconocer una función lineal.

b) Resolver problemas que requieran del uso de funciones lineales.

c) Reconocer una función cuadrática.

d) Obtener las regiones de crecimiento y decrecimiento de una función cuadrática.

e) Resolver problemas que requieran del uso de funciones cuadráticas.

El zoológico

El zoológico de Chapultepec, ubicado en la ciudad de México, cuenta con un terreno libre de 180 m de largo y 162 m de ancho. Las autoridades quieren ampliar el espacio destinado a los animales y desean construir jaulas de base cuadrada en las cuatro esquinas del terreno; además, un quinto espacio, similar a los anteriores, en la parte central.

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14

Determina:

a)

El área que ocuparán los animales en términos de la longitud de un lado, suponiendo que las jaulas son cuadradas.

b)

El área que ocuparán los visitantes.

c)

Las dimensiones de las jaulas, suponiendo que el área ocupada por los animales es igual al área ocupada por los visitantes.

d)

Cuánta gente recargada sobre los límites podrá ver simultáneamente a los animales si se supone que por cada metro lineal caben dos personas en promedio.

Solución:

Para conocer la solución haz clic en el siguiente icono de video:

En muchas situaciones de interés, las variables dependiente e independiente se relacionan de forma lineal o proporcional. Por ejemplo, en un círculo, el perímetro, P, es proporcional al ra-dio, r; esto significa que existe una constante; en este caso, el número 2π, que permite escribir

π = P r( ) 2 r.

Un segundo ejemplo es el costo de producción de x unidades de un producto dado; en este caso, el costo depende linealmente del número de unidades en la forma C x( )=Cf +C x0 , donde

Cf y C0 son constantes que representan los costos fijos y los costos unitarios, respectivamente. En general, funciones como las anteriores reciben el nombre de funciones lineales.

Una función lineal es una expresión de la forma

= + f x( ) mx b La gráfica corresponde a

una recta con pendiente m y

ordenada al origen b.

Una función cuadrática es una función del tipo

= + +

f x( ) ax2 bx c Su gráfica es una parábola que

abre hacia abajo si a 0< y hacia

arriba si a 0> .

El punto más alto o más bajo se llama vértice de la parábola. En general, la solución

de la ecuación cuadrática + + =

ax2 bx c 0 está dada por la fórmula general = − ± − x b b ac a 4 2 2

Función lineal

(4)

15

Función lineal

Una función lineal es una relación de

la forma f x( )=mx b+ donde m

y b son constantes reales. El dominio

de la función es el conjunto de los

números reales º. La imagen depende

del coeficiente m. Si m 0= , la

imagen es el conjunto { }b , si m 0≠ ,

entonces la imagen es el conjunto de

los números reales º.

La gráfica de una función de este tipo es una línea recta con pendiente m y ordenada al origen b. En el caso m 0= , la función es constante y su gráfica es una línea horizontal. En gene-ral, para construir la gráfica de estas funciones basta conocer dos puntos ( , )x y1 1 y ( , )x y2 2 que estén sobre ella. En efecto, la pendiente de la recta que une los puntos es:

= − m yx2 xy1

2 1

Para obtener la ordenada al origen observa que el punto ( , )x y1 1 satisface la ecuación

= +

y1 mx b1 ; es decir b y mx= −1 1, de donde obtenemos:

= + = + − = − + f x mx b mx y mx m x x y ( ) ( ) 1 1 1 1

Ésta es una forma alternativa de escribir una función lineal y se aplica cuando se conocen la pendiente y un punto por donde pasa la recta. En la figura se muestra la gráfica de una función lineal y sus características.

Gráfica de una función lineal. Sobre la recta se tienen los puntos

x y

( , )0 0

y

( , )x y1 1

. Observa que

a0

está sobre el eje vertical mientras

que

a1

se identifica con la pendiente de la recta.

Por otro lado, el significado del coeficiente m está ligado al crecimiento o decrecimiento de la función. En efecto, si aumentamos el valor de la variable independiente x puede ocurrir que la función aumente su valor, se mantenga igual o decrezca.

Crecimiento y decrecimiento

de funciones lineales

Una función lineal crece si m 0> ,

decrece si m 0< o permanece constante si m 0= .  \ [ \ [ [[ \\  E \ [ \\ [[ P P \P[

(5)

16

En el primer caso, la pendiente de la recta es positiva, en el segundo es cero y en el tercero es negativa.

Tenemos entonces el siguiente resultado. Por ejemplo, el perímetro de un círculo P=2πr es

una función creciente del radio r; obviamente, si aumenta el radio se incrementa el perímetro; más aún, si el radio aumenta en una unidad, entonces el perímetro lo hace 2π unidades. Considera como un segundo ejemplo el caso de un artículo cuyo valor después de t años está dado por C t( )= −10 000 120 000t+ . En este caso, el artículo cuesta inicialmente $120 000,

después de un año su valor baja a $110 000; si esperamos otro año más, el valor se reduce a

$100 000. Es claro que el artículo se deprecia linealmente $10 000 por año.

En muchos casos no se tiene el modelo lineal explícito, como en los ejemplos anteriores, y es necesario seguir una estrategia de solución de problemas para construirlo. En el caso de modelos lineales se recomienda aplicar la siguiente estrategia.

Estrategia para resolver problemas que requieren de funciones lineales

1.

Identificar las variables independiente y dependiente.

2.

Asignar símbolos a las variables.

3.

Escribir la función lineal de la forma

f x( )=mx b+

en términos de la notación elegida para las variables.

4.

Plantear las ecuaciones lineales necesarias para encontrar las cantidades desconocidas

m

y

b

a partir de los

datos del problema.

5.

Resolver la ecuación lineal o el sistema de ecuaciones lineales resultante.

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Otro tipo de funciones de gran utilidad, y que siguen en sencillez a las lineales, son las funcio-nes cuadráticas, que se definen como sigue.

Algunas funciones cuadráticas son, por ejemplo, el área A r( )=πr2 de un círculo de radio r

o la distancia recorrida x= 1gt

2 2 por un cuerpo en caída libre que parte del reposo al tiempo t.

En general, la gráfica de una función cuadrática es una parábola con eje focal paralelo al eje y. El signo del coeficiente a determina hacia dónde se abre la parábola. En efecto, la parábola abre hacia arriba si a 0 > y abre hacia abajo si a 0< , tal como se muestra en las siguientes figuras:

Función cuadrática

Es una función de la forma

= + +

f x( ) ax2 bx c, con a, b y

c constantes arbitrarias y a 0≠ . El

dominio de la función es el conjunto

de los números reales º. La imagen

depende de los coeficientes a, b y c.

Función cuadrática

Aspecto general de una función cuadrática. En la

ilustración, la parábola abre hacia arriba porque

a 0> .

La curva abre hacia abajo cuando

< a 0. [ \ [ \

(7)

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Ahora, la ecuación general de una parábola vertical con vértice en ( , )h k está dada por:

= − +

y a x h( )2 k

Desarrollando esta expresión obtenemos: y a x=

(

2−2xh h+ 2

)

+ =k ax2−2ahx k ah+ + 2.

Igualando esta expresión con la función tenemos que ax2−2ahx k ah+ + 2 =ax2+bx c+ .

Si se igualan los coeficientes correspondientes resulta:

− = + = ah b k ah c 2 2 De donde: = − = − = − = − h b a k c ah c b a ac b a 2 4 4 4 2 2 2

En consecuencia, el vértice de la parábola se encuentra en:

( )

= − −    h k b a ac b a , 2 , 4 4 2

De acuerdo con esta expresión, la imagen de la función cuadrática es: = −∞ −     < − ∞     >        I ac b a a ac b a a , 4 4 si 0 4 4 , si 0 f 2 2

Este resultado permite establecer el siguiente criterio, que usaremos en los ejercicios.

Criterio de valores máximos

y mínimos de una función

cuadrática

f x( )=ax2+bx c+

 Si a 0> , la función obtiene su

valor mínimo en x= −2ba y ese

valor es f = ac ba 4 4 min 2 .  Si a 0> , la función obtiene su valor mínimo en x= − b a 2 y ese valor es f = ac ba 4 4 max 2 .

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Además, en la modelación de problemas que requieren de una función cuadrática se re-comienda aplicar la siguiente estrategia, que es prácticamente la sugerida en las secciones previas:

Estrategia para resolver problemas que requieren de funciones cuadráticas

1.

Identifica las variables:

reconoce la cantidad que se pide determinar.

2.

Introduce una notación para la variable:

denota la cantidad con

x

o con cualquier otra letra. Escribe

claramente lo que representa la variable.

3.

Expresa todas las cantidades en términos de la variable:

lee cada una de las frases del problema y

expresa todas las cantidades mediante la variable definida. Para organizar esta información resulta útil hacer un

dibujo, un diagrama o una tabla.

4.

Relaciona las cantidades:

identifica la condición que relaciona dos o más de las expresiones establecidas en el

paso anterior.

5.

Establece una función:

plantea una función que exprese la condición del problema identificada en el paso 3.

6.

Resuelve el problema y verifica la respuesta:

resuelve el problema, verifica que la solución satisfaga el

problema original y expresa la respuesta en forma de un enunciado que responda a la pregunta planteada.

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EJEMPLO 1

El valor de una máquina hace cinco años era de $200 000 y ahora vale $110 000. Si se supone que la máquina

se deprecia linealmente, determina el valor de la misma en términos del número de años transcurridos, así

como el precio de la máquina para el próximo año. Bosqueja su gráfica y determina su dominio implícito.

Observa con atención los siguientes ejemplos:

Ejemplos

FUNCIÓN LINEAL

Solución:

Denotemos con V el valor de la máquina (en miles de pesos) y con x el tiempo transcurrido (en años) desde hace cinco años; es decir, x 0= hace cinco años. En este caso, V es la variable de-pendiente y x la independiente. Como la depreciación es función lineal del tiempo, tenemos que V x( )=mx b+ .

Los datos del problema corresponden a los puntos (0,200) y (5,110); si sustituimos el primer punto obtenemos 200=V(0)=b.

Si ahora sustituimos el segundo, resulta 110=V(5) 5= m b+ . De donde m=110− = −b = −

5

110 200

5 18

Finalmente, la expresión que relaciona V con x es V x( )= −18x+200.

Observa que la pendiente indica la depreciación anual de la máquina (en miles de pesos). Es decir, cada año la máquina se deprecia m 18 = (mil pesos). El valor de la máquina para el año siguiente se obtiene sustituyendox 6 = en la fórmula anterior; es decir, V (6)= −18(6) 200 92+ =

(10)

21

Por otro lado, V x( ) es una función no negativa, y si la máquina se compró exactamente hace cinco años, tampoco x puede ser negativa.

En este caso, la gráfica V x( ) se encuentra en el primer cuadrante; si la máquina se hubiera comprado hace más de cinco años, entonces podríamos suponer algunos valores negativos de x y, en consecuencia, parte de la gráfica estaría también en el segundo cuadrante.

Por otra parte, el dominio no es el intervalo 0, )∞ ya que para ciertos valores de x, por ejemplo x 100= , el valor de V resulta negativo; entonces, ¿hasta qué valor de x tiene sentido V?

La respuesta es simple:

Hasta que V x( )= −18x+200 0= ; es decir, hasta que la depreciación lleve a la máquina a no tener valor. Al despejar, obtenemos x 100=

9 ; en consecuencia, el dominio de la función V x( )

es el intervalo 

0,1009.

En la gráfica se muestra la depreciación lineal.

' W            

(11)

22

Solución:

Denotemos la variable dependiente por F y la independiente por C. Como ambas variables se relacionan linealmente tenemos F C( )=mC b+ .

Sustituyendo los datos proporcionados en el problema tenemos el siguiente sistema de

ecuaciones: = = + = = + F m b F m b 86 (30) 30 60 (20) 20

Resolvemos ahora el sistema, para lo cual restamos las ecuaciones anteriores. Así, tenemos que 26 10= m, de donde m 2.6= .

En consecuencia, 86 30(2.6)= +b, de donde b 8= .

Por último, si sustituimos los valores de m y b en la función F C( ) obtenemos F C( ) 2.6= C+8. Si sustituimos ahora C 22= obtenemos F(22) 2.6(22) 8 65.2= + = .

Es decir, un termómetro calibrado en °F indicó que la temperatura fue de 65.2° F.

EJEMPLO 2

El Servicio Meteorológico Nacional (SMN) informó que Tampico (en el estado de Tamaulipas, México) tuvo una

temperatura máxima de 30º C (86° F) y una mínima de 20º C (60° F) el 12 de abril de 2009. Suponiendo que

las dos escalas de temperatura Celsius (C) y Fahrenheit (F) se relacionan linealmente, determina una expresión

que relacione ambas escalas. Si la temperatura en Tampico fue de 22° C a las 16 hrs, determina cuántos grados

debió indicar un termómetro de ambiente calibrado en grados Fahrenheit.

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EJEMPLO 3

Determina

f (1)

si se sabe que

y f x= ( )

es una función cuadrática que satisface

f (0) 3=

,

f (2) 8=

y

f (5) 0=

.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Solución:

La función tiene la forma f x( )=ax2+bx c+ . El problema se reduce a determinar los

coeficien-tes. Para encontrarlos, usamos las condiciones dadas, así obtenemos el sistema de ecuaciones:

= = + + = = = + + = + + = = + + = + + f a b c c f a b c a b c f a b c a b c 3 (0) (0) (0) 8 (2) (2) (2) 4 2 0 (5) (5) (5) 25 5 2 2 2

Sustituyendo c 3= en la segunda y tercera ecuación resulta:

= + − = + a b a b 5 4 2 3 25 5

Aplicamos el método de suma-resta para resolver el sistema, multiplicamos la primera ecuación por 5 y la segunda por 2, y tenemos:

= + − = + a b a b 25 20 10 6 50 10

Restando la segunda de la primera ecuación tenemos que 31= −30a, de donde a= −3031. Usando nuevamente la primera ecuación tenemos b= −5 a= + =

2 2 5 2 62 30 137 30.

Por último, sustituyendo los coeficientes en la función cuadrática tenemos que:

= − + + f x( ) 31x x 30 137 30 3 2

(13)

24

Evaluando ahora en x 1= obtenemos:

= − + + = − + + = = f (1) 31 30 137 30 3 31 137 90 30 96 30 16 5

EJEMPLO 4

El Departamento de Obras Públicas del Municipio de Cuautitlán Izcalli, Estado de México, construirá un parque

deportivo al lado del río San Javier y cercará, por el momento, los tres lados no adyacentes al río.

Quieren cercar la mayor área posible del terreno. Pero sólo tienen 600 mts de malla ciclónica, ¿cómo deberá

cercarlo el Departamento?

Observa el esquema del terreno:

3DUTXH GHSRUWLYR

5tR 6DQ-DYLHU

Solución:

Denotemos el ancho del parque por x y el largo por y. Claramente tenemos que el área del parque es A xy= .

El perímetro a cercar es P x= +2y, y como el Departamento de Obras Públicas cuenta con 600 mts de malla ciclónica tenemos que 600= +x 2y, de donde y= 600− = −x x

(14)

25

Escribimos el área del parque deportivo en términos sólo de su ancho y tenemos:

=  −    = − + A x 300 x x x 2 1 2 2 300

Identificamos ahora los coeficientes de la ecuación cuadrática y tenemos: a= −1, b= , c= 2 , 300 0 = − = = a 1, b , c 2 300, 0 = − = = a 1, b , c 2 300 0.

Como a 0< , la parábola se abre hacia arriba y, de acuerdo con los datos, el vértice se encuentra en:

( )

− −     = b a,c ba , 2 4 300 45 000 2 Por lo tanto, el área tiene un máximo en x=300m y su valor máximo es A mmax =45 000 2.

E J E M P L O I N T E R A C T I V O

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(15)

26

Ejercicio 1

Construye la gráfica de las siguientes funciones lineales

a)

f x( ) 3= x−2

b)

f x( )= − +x 5

c)

f x( )= − +2x 7

d)

f x( )= − +5x 1

e)

f x( ) 2= x−3

f)

f x( ) 4= x+1

Ejercicio 2

El impuesto predial de una casa habitación en la ciudad de Querétaro fue de $198.5 en 2001; de $232.63 en 2002;

de $324.5 en 2003; de $434.8 en 2004. ¿Cuál fue el impuesto predial de la casa en 2005?

Ejercicio 3

Un modelo matemático para las ventas

y

de una empresa farmacéutica está dado por

y=5.74 0.97+ x

millones, donde

x 0=

corresponde a 1988. ¿Cuáles serán las ventas en 2005?

A continuación, te presentamos una serie de ejercicios para que puedas practicar las definicio-nes que has estudiado hasta ahora.

(16)

27

Ejercicio 4

Conforme un buzo desciende en el océano, la presión aumenta linealmente con la profundidad. La presión es

de 15 lb/pulg

2

en la superficie y de 30 lb/pulg

2

a 33 pies debajo de la superficie. ¿Hasta qué profundidad puede

descender un buzo si puede tolerar 40 lb/pulg

2

?

Ejercicio 5

El gerente de una fábrica de muebles establece que cuesta $220 000 fabricar 100 sillas por día y $480 000 fabricar

300 sillas también por día.

a)

Asumiendo que la relación entre el costo (

C

), y el número de sillas (

s

) es lineal, encuentra la ecuación que

exprese esta relación.

b)

¿Cuál es el número de sillas que se fabricarían con un presupuesto de $150 000?

Ejercicio 6

Realiza un esbozo gráfico de las siguientes funciones cuadráticas, indicando su vértice, hacia dónde abre, intervalos

de crecimiento y de decrecimiento.

a)

f x( )= −3x2 +5x−2

b)

f x( )=x2−4x+8

c)

f x( )= −4x2−8x+1

d)

f x( )=2x2+3x−1

Ejercicio 7

En el rancho “Loma Bonita”, en el estado de Veracruz, el administrador, el señor Juan Martínez, estima que si se

plantan 60 árboles de mango cada árbol producirá en promedio 400 mangos. La producción media disminuirá en

cuatro mangos por árbol por cada árbol adicional plantado en la misma área. El señor Martínez necesita conocer la

cantidad total de árboles que debe plantar para obtener la máxima producción.

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Ejercicio 8

Dos compañías rentan autos. La compañía ''Autoveloz'' renta un auto por $500 por día más $17 por kilómetro

re-corrido, mientras que la compañía ''Autoseguro'' renta el mismo auto a $750 por día más $9 por kilómetro recorrido.

Haz un estudio de la situación y determina cuál compañía es la que cobra menos.

Ejercicio 9

En una huerta de manzanas se estima que si se siembran 24 árboles por hectárea cada árbol adulto producirá 600

manzanas; la producción disminuirá en 4 manzanas por cada árbol adicional plantado en la misma extensión.

¿Cuál es la producción máxima de manzanas en esa huerta?

Ejercicio 10

Un granjero cuenta con 750 m de cerca y quiere rodear un área rectangular y dividirla en cuatro corrales con cercas

paralelas a los lados del rectángulo. ¿Cuál es la mayor área posible para los cuatro corrales?

Autoevaluación

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Referencias

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