Calcule: a) La altura h y la distancia d marcadas en la figura. b) El tiempo que tarda la luz en atravesar la lámina.

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09

ÓPTICA ONDULATORIA

b) En primer lugar, calculamos el ángulo límite para la superfi

-cie vidrio/agua. Según la fi gura,

Agua Agua Vidrio L r i ′ ′′ = agua = vidrio 4 3 sen ; = 62º 44 2,24 1,5 n L L n

El ángulo r será el complementario de L,

′ ′′ ′ ′′

=90º− =90º 62º 44 2,24− =27º 15 57,76

r L

Para calcular el ángulo de incidencia se aplica la ley de Snell a la superfi cie agua/vidrio, según la expresión:

=

agua sen vidrio sen

n i n r

′ ′′

= ⋅

4 3 sen i 1,5 sen 27º 15 57,76 Despejando obtenemos i= 31º 1 24,26′ ′′

4. Una lámina de vidrio, de índice de refracción 1,5, de caras paralelas y espesor 10 cm, está colocada en el aire. Sobre una de sus caras incide un rayo de luz, como se muestra en la fi gura. h 10 cm 20 cm d 60o Calcule:

a) La altura h y la distancia d marcadas en la fi gura. b) El tiempo que tarda la luz en atravesar la lámina. c = 3·108 m s–1

a) El ángulo de refl exión será

igual que el de inciden-cia, es decir, 60º. En el triángulo ABC de la fi -gura podemos ver que

= tg30º 20 h . Por tanto: h = 11,55 cm. 60 º 60 º 30 º 20 cm h C B A

Para calcular la distancia d necesitamos conocer previamen-te el ángulo de refracción. Por la ley de Snell, previamen-tenemos que:

=

aire sen vidrio sen

n i n r

Sustituyendo los datos:

⋅ =

1 sen 60º 1,5 sen r

j

Sigue practicando

1. Un haz de luz de 5·104 Hz viaja por el interior de un

dia-mante.

a) Determine la velocidad de propagación y la longitud de onda de esa luz en el diamante.

b) Si la luz emerge del diamante al aire con un ángulo de re-fracción de 10º, dibuje la trayectoria del haz y determine el ángulo de incidencia.

c = 3·108 m· s–1; n

diamante= 2,42

a) A partir de la defi nición de índice de refracción =n c v,

po-demos calcular la velocidad: − − ⋅ = =3 · 10 m s8 1 =1,24 · 10 m s8 ⋅ 1 2,42 c v n

De la relación entre la longitud de onda, la velocidad y la frecuencia, λ = v

f , podemos obtener la longitud de onda:

− − ⋅ λ = = 8 1 = 4 1 1,24 · 10 m s 2480 m 5 · 10 s v f

b) La luz pasa del diamante al aire, que tiene un índice de

re-fracción menor. Por tanto, el rayo se alejará de la normal. Aplicando la ley de Snell, resulta:

=

diamante sen aire sen

n i n r

Sustituyendo: = ⋅ 2,42 sen i 1 sen 10º

Despejando la incógnita, i = 4º 6 53,35′ ′′.

2. Cuando se observa el fondo de un río en dirección casi per-pendicular, la profundidad real con relación a la aparente es:

a) mayor; b) menor; c) la misma. (Dato: nagua> naire)

Si se repite el mismo razonamiento que se hace en la Prueba 2 de esta Unidad, se deduce que la profundidad real es mayor que la aparente. Por tanto, la respuesta correcta es la a).

En el caso de que se considerasen rayos totalmente perpendicu-lares a la superfi cie, la respuesta correcta sería la c), porque dichos rayos no sufren refracción.

3. a) Explica en qué consiste la refl exión total. ¿Puede ocurrir cuando la luz pasa del aire al agua?

b) Un rayo monocromático incide en la cara vertical de un cubo de vidrio de índice de refracción n’ = 1,5. El cubo

está sumergido en agua (n = 4/3). ¿Con qué ángulo debe

incidir para que en la cara superior del cubo haya re-fl exión total?

a) Consultar el apartado 9.2.C. de esta Unidad.

Si la luz pasa del aire al agua no se produce refl exión total. El índice de refracción del agua es mayor que el del aire y no se cumple una de las condiciones para que tenga lugar la refl exión total.

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09

ÓPTICA ONDULATORIA

color verde. ¿Quiere esto decir que la luz que se propaga en el medio transparente pasa a ser de ese color? (Datos: c = 3 · 108 m/s)

a) Calculamos la frecuencia de la luz roja. En el vacío se cumple

que λ = c f . Por tanto, − − = = = ⋅ = λ 8 14 1 9 3 · 10 m / s 4,62 10 s 650 · 10 m c f =4,62 10 Hz.⋅ 14

La velocidad de la luz en el medio transparente la calcula-mos a partir de la expresión λ = v

f . Despejando la

veloci-dad, v= λ =f 500 · 10 m 4,62 10 s−9 14 −1 = =2,31 · 10 m/s . 8

El índice de refracción viene dado por

= = 8 = 8 3 · 10 m / s 1,30 2,31 · 10 m/s c n v

b) No. El rayo continúa siendo rojo, dado que la frecuencia no

varía al pasar al medio transparente y esa magnitud es la que caracteriza el color de la luz.

3. Los índices de refracción del aire y del diamante son, res-pectivamente, 1,0 y 2,4. Explica razonadamente en cuál de dichos medios se propaga la luz con mayor velocidad.

El índice de refracción se define como n= c

v. De ahí se deduce

que cuanto mayor sea la velocidad v de la luz en un medio, menor será su índice de refracción. Por tanto, la luz se propaga con mayor velocidad en el aire.

4. La longitud de onda de luz láser roja de helio-neón en el aire es de 632,8 · 10–9 m.

1) ¿Cuál es su frecuencia?

2) ¿Cuál es su longitud de onda en un vidrio que posee un índice de refracción de 1,5?

3) ¿Cuál es su velocidad en el vidrio?

1) La frecuencia la podemos calcular a partir de la expresión λ = c f . La frecuencia será: − − = = = = λ 8 14 1 9 3 · 10 m / s 4,74 · 10 s 632,8 · 10 m c f =4,74 · 10 Hz.14

2) Si el índice de refracción es 1,5, se cumple que: =c; 1,5=3 · 10 m / s8 n v v . Por tanto, = 8 2 · 10 m / s v .

La longitud de onda será:

− − λ = = 8 = ⋅ 9 14 1 2 · 10 m / s 421,94 10 m. 4,74 · 10 s v f Por tanto, r= 35º 15 51,8′ ′′

En el triángulo de la figura se observa que: = tg 10 d r Es decir: 10 cm d e r ′ ′′ = tg35º 15 51,8 10 d

El valor de la distancia d será d = 7,07 cm.

b) El tiempo pedido será igual al cociente entre la distancia re-corrida y la velocidad en el vidrio. Para calcular la velocidad se utiliza la definición de índice de refracción, =n c

v.

Sustituyendo los datos, obtenemos: − ⋅ =3 · 10 m s8 1 1,5 v La velocidad será v = 2·108 m·s–1.

La distancia recorrida es la hipotenusa del triángulo ante-rior. Por tanto:

= (10 cm)2+(7,07 cm)2 =12,25 cm

e

El tiempo empleado en atravesar la lámina es: − − − ⋅ = = = ⋅ 2 10 8 1 12,25 10 m 6,13 · 10 s 2 · 10 m s e t v

j

Actividades propuestas

1. a) Enuncie las leyes de la reflexión y de la refracción de la luz, explicando las diferencias entre ambos fenómenos. b) Un rayo de luz pasa de un medio a otro más denso

óptica-mente. Indique cómo varían las siguientes magnitudes: amplitud, frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación.

a) Consultar los apartados 9.2.B y 9.2.C de esta Unidad. b) La amplitud y la frecuencia no varían. La velocidad varía de

acuerdo con el índice de refracción del medio de acuerdo con la expresión =n c

v. La longitud de onda también varía

según la expresión λ = v

f .

2. Un haz de luz roja, que se propaga en el vacío, tiene una lon-gitud de onda de 650 · 10–9 m. Al incidir

perpendicularmen-te sobre la superficie de un medio transparenperpendicularmen-te, la longitud de onda del haz que se propaga en el medio pasa a ser de 500 · 10–9 m.

a) Calcular el índice de refracción del medio para esa radia-ción.

b) Notar que un rayo de luz que se propagase en el vacío y cuya longitud de onda fuese de 500 · 10–9 m sería de

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09

ÓPTICA ONDULATORIA

= ⋅ =

aire sen vidrio sen ; 1 sen 30º 1,5 sen .

n i n r r

Por tanto, r = 19º 28 16,39′ ′′ El ángulo de reflexión será 30º. De acuerdo con la figura, se cumple que

+ + α = 180º

i r . Sustituyendo los va-lores de los ángulos i y r, obtenemos:

i i

B

r

′ ′′ ′ ′′

α =180º 30º 19º 28 16,39− − =130º 31 43,6

8. ¿Es posible aprovechar el fenómeno de la refracción de la luz para generar un arco iris iluminando las gotas de lluvia con un haz láser de luz roja?

El arco iris se forma por la dispersión de la luz blanca proceden-te del Sol en el inproceden-terior de las gotas de lluvia. Por tanto, no se producirá ningún arco iris si se utiliza luz roja.

9. ¿Qué es la reflexión total de la luz? Represente mediante esquemas la trayectoria de la luz para el caso de un ángulo de incidencia menor, igual o mayor al ángulo límite.

Para la definición de reflexión total, consultar el apartado 9.2.C de esta Unidad.

Si L es el ángulo límite, las trayectorias de los rayos en los tres casos pedidos en el enunciado son las siguientes:

i i i i

i L i L i L

10. Un rayo de luz viaja desde un medio de índice de refrac-ción 1,2 a otro de índice de refracrefrac-ción 1,6. El rayo incidente forma un ángulo de 37º con la dirección perpendicular a la superficie de separación de los dos medios. ¿Cuánto vale el ángulo de refracción? ¿Hay algún ángulo de incidencia a partir del cual se produzca el fenómeno de la reflexión total?

El ángulo de refracción lo calculamos a partir de la ley de Snell, de modo que n1 sen i=n2 sen r.

Si sustituimos los datos, tendremos:

⋅ =

1,2 sen 37º 1,6 sen .r

Despejando r, obtenemos el ángulo pedido: ′ ′′

= 26º 49 51,8

r

No podemos producir reflexión total porque el rayo de luz pasa de un medio a otro de mayor índice de refracción.

11. ¿Cuál es el ángulo límite (o crítico) para un rayo que pasa del agua (n = 1,33) al aire?

El seno del ángulo límite L será = 2 = 1 1 sen 1,33 n L n

De ahí se deduce que L= 48º 45 12,48′ ′′ 3) La velocidad en el vidrio se ha calculado en el apartado

anterior. Su valor es =v 2 · 10 m / s8 . = ⇒ =c c = ⋅2 10 m / s8

n v

v n

5. Un rayo de luz que viaja por un medio con velocidad de 2,5 · 108 m/s incide con un ángulo de 30º, con respecto a la

normal, sobre otro medio donde su velocidad es de 2 · 108 m/s.

Calcula el ángulo de refracción.

Por la ley de Snell se cumple que n1sen i=n2sen r. Por tanto,

sustituimos las expresiones 1 = 1 c n v y 2= 2 c n v , y obtenemos la

expresión v2sen i=v1sen r. Sustituyendo los datos, resulta:

⋅ 8 ⋅ = ⋅ 8 ⋅

2 10 m/s sen 30º 2,5 10 m/s sen r . El ángulo r será r = 23º 34 41,44′ ′′.

6. Un haz luminoso está constituido por dos rayos de luz su-perpuestos: uno azul de longitud de onda 450 nm y otro rojo de longitud de onda 650 nm. Si este haz incide desde el aire sobre la superficie plana de un vidrio con un ángulo de incidencia de 30°, calcule:

a) El ángulo que forman entre sí los rayos azul y rojo refle-jados.

b) El ángulo que forman entre sí los rayos azul y rojo refrac-tados.

Datos: Índice de refracción del vidrio para el rayo azul

nAZUL= 1,55.

Índice de refracción del vidrio para el rayo rojo

nROJO= 1,40.

a) El rayo rojo y el azul se reflejan con el mismo ángulo que el

de incidencia, es decir, 30º. Por tanto, el ángulo que forman entre sí dichos rayos reflejados es 0º.

b) Calculamos el ángulo de refracción del rayo rojo. Aplicando la

ley de Snell, obtenemos que n1,rojo sen irojo =n2,rojo sen r . rojo

Tanto el rayo rojo como el azul tienen el mismo índice de refracción en el vacío. Si sustituimos los datos, obtenemos:

⋅ = rojo

1 sen 30º 1,40 sen r . Y de ahí, rrojo =20º 55 29,4′ ′′. Haciendo lo mismo con el rayo azul obtenemos:

⋅ = azul

1 sen 30º 1,55 sen r , de donde, razul =18º 49 8,63′ ′′ El ángulo que forman los dos rayos refractados es:

′ ′′− ′ ′′= ′ ′′

20º 55 29,4 18º 49 8,63 2º 6 20,77

7. Un rayo de luz roja que se propaga por el aire incide sobre un vidrio y forma un ángulo de 30° con la dirección normal a la superficie del vidrio. El índice de refracción del vidrio para la roja es nv = 1,5 y el del aire es na = 1. Calcule el

ángulo que forman entre sí el rayo reflejado y el rayo refrac-tado.

El ángulo de refracción lo calculamos por la ley de Snell, aplica-da a la superficie aire/vidrio:

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09

ÓPTICA ONDULATORIA

14. Un haz de luz monocromática incide desde un medio de índi-ce de refracción n1 hacia otro medio de índice de refracción

n2. Aumentando suficientemente el ángulo de incidencia conseguimos que se produzca la reflexión total. ¿Cuál de los medios presenta un mayor índice de refracción? Determina el ángulo de incidencia para el cual se produce la reflexión total en función de n1 y n2·

El medio que tiene mayor índice de refracción es el primero. Si no se cumple esa condición, no se produce la reflexión total. En el apartado 9.2.C de esta Unidad podemos consultar la de-mostración de que el ángulo límite cumple la condición siguien-te, = 2

1 sen L n

n .

15. Un rayo de luz monocromática emerge desde el interior de un bloque de vidrio hacia el aire. Si el ángulo de incidencia es de 19,5º y el de refracción de 30º:

a) Determine el índice de refracción y la velocidad de pro-pagación de la luz en el vidrio.

b) Como sabe, pueden existir ángulos de incidencia para los que no hay rayo refractado; es decir, no sale luz del vi-drio. Explique este fenómeno y calcule los ángulos para los que tiene lugar.

c = 3·108 m s–1; n aire= 1

a) En esta situación, la ley de Snell se escribe con la expresión

siguiente: =

vidrio sen aire sen

n i n r

Sustituyendo los datos, tenemos: = ⋅

vidrio sen 19,5º 1 sen 30º

n .

Despejando la incógnita obtenemos nvidrio =1,50.

La velocidad de la luz en ese material la calculamos a partir de la expresión =n c v, es decir: − ⋅ =3 · 10 m s8 1 1,50 v Por tanto, = ⋅v 2 10 m/s8 .

b) El fenómeno será la reflexión total. Consultar el apartado

9.2.C de esta Unidad.

El ángulo límite viene dado porla expresión: = 2

1 sen L n

n

En este caso será: = aire = vidrio 1 sen 1,50 n L n

Por tanto, L = 41,81º. La reflexión total se produce cuando el ángulo de incidencia es mayor que 41,81º.

12. Los índices de refracción del aire y del diamante son, res-pectivamente, 1,0 y 2,4. Explica razonadamente en qué sen-tido debe viajar la luz para que se produzca el fenómeno de la reflexión total (es decir, ¿desde el aire hacia el diamante o viceversa?).

La reflexión total se produce cuando la luz pasa de un medio a otro que tiene menor índice de refracción. Por tanto, ese fenó-meno se producirá cuando la luz pase del diamante al aire.

13. Un rayo de luz que se propaga por el agua cuyo índice de refracción es n2= 1,33, llega a su superficie (plana). Si el

medio exterior es el aire (n1= 1),

a) Calcular el ángulo mínimo de incidencia para que se pro-duzca la reflexión total.

b) Para este ángulo de incidencia, calcular el ángulo de re-fracción si el medio exterior es un vidrio (n3= 1,5).

¿Po-dría existir reflexión total en este caso?

c) Determinar lo que vale la velocidad de la luz en el agua y en el vidrio.

Nota: suponemos que las propiedades ópticas del aire son las mismas que las del vacío: c = 300 000 km/s.

a) Como el rayo de luz pasa del agua al aire, el seno del ángulo

límite será = aire agua sen L n

n . Si sustituimos los datos, tenemos

que = aire = agua 1 sen 1,33 n L n .

Despejando el ángulo L, obtenemos: ′ ′′

= 48º 45 12,48

L

b) La ley de Snell, aplicada a la superficie agua/vidrio, produce

la expresión siguiente: =

agua sen vidrio sen

n i n r

Por tanto:

′ ′′

⋅ =

1,33 sen 48º 45 12,48 1,5 sen .r

Por tanto, el ángulo de refracción es: ′ ′′

= 41º 48 37,13

r

En este caso no podemos producir reflexión total, porque la luz pasa a un medio cuyo índice de refracción es mayor.

c) La velocidad la calculamos a partir de la expresión del índice

de refracción =n c

v. Para el caso del agua, tenemos que:

⋅ =3 10 m/s8 1,33

v .

Por tanto, la velocidad es =v 2,26 10 m/s⋅ 8

De forma análoga, la velocidad en el vidrio la obtenemos a partir de la expresión: ⋅ =3 10 m/s8 1,5 v El resultado es = ⋅v 2 10 m/s8

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09

ÓPTICA ONDULATORIA

a) El rayo sufre una refracción en la primera cara. Al llegar a la

segunda, el rayo vuelve a refractarse. 60º

i1 r

1

i2 r2

Se aplica la ley de Snell a la superficie aire-vidrio: =

aire sen 1 vidrio sen 1

n i n r

Si sustituimos los datos, obtenemos:

⋅ = 1

1 sen 30º 2 sen r .

El valor de r1 será r1=20º 42 17,32′ ′′.

Si se considera el triángulo cuyo vértice superior es el del prisma, y su lado inferior el rayo en el interior del prisma, podemos escribir la expresión siguiente:

(90º – r1) + 60º + (90º – i2) = 180º

A partir de ella podemos calcular el valor de i2. Sustituyendo los valores, tendremos:

′ ′′

− + + − 2 =

(90º 20º 42 17,32 ) 60º (90º i) 180º Despejando, i2 =39º 17 42,68′ ′′

Aplicamos la ley de Snell a la superficie vidrio/aire. Así, ob-tenemos la expresión:

=

vidrio sen 2 aire sen 2

n i n r

Al sustituir los datos, queda: ′ ′′

⋅ = ⋅ 2

2 sen 39º 17 42,68 1 sen r . El ángulo que forma el rayo emergente será:

′ ′′ =

2 63º 35 28,54

r

b) Aplicamos la ley de Snell a la superficie vidrio/aire, y

obte-nemos la expresión: =

vidrio sen 2 aire sen 2

n i n r .

Si sustituimos los datos, resulta: ⋅ 2= ⋅

2 sen i 1 sen 90º El ángulo i2 será de 45º.

En el triángulo formado por el rayo refractado y las dos caras del prisma, se cumple que:

− +1 − +2 = (90º r) (90º i) 60º 180º

Si sustituimos el valor de i2 = 45º, resulta que r1 = 15º. La ley de Snell, aplicada a la superficie aire-vidrio, se ex-presa:

=

aire sen 1 vidrio sen 1

n i n r

Sustituyendo los datos, obtenemos:

16. Un rayo de luz monocromática incide en una de las caras de una lámina de vidrio, de caras planas y paralelas, con un án-gulo de incidencia de 30º. La lámina está situada en el aire, su espesor es de 5 cm y su índice de refracción 1,5. a) Dibuje el camino seguido por el rayo y calcule el ángulo

que forma el rayo que emerge de la lámina con la normal. b) Calcule la longitud recorrida por el rayo en el interior de

la lámina.

a) El camino seguido por el rayo se observa en la figura: i1 r1 A r2 i2 B C Aire Vidrio Aire

En primer lugar, aplicamos la ley de Snell a la superficie aire-vidrio:

=

aire sen 1 vidrio sen 1

n i n r

Si sustituimos los datos, tenemos:

⋅ = ⋅ 1

1 sen 30º 1,5 sen r⋅ = ⋅ 1 1 sen 30º 1,5 sen r

Así, obtenemos que r1=19º 28 16,39′ ′′. Por la figura se de-duce que el ángulo i2 es igual que r1.

Aplicamos ahora la ley de Snell a la superficie vidrio-aire: =

vidrio sen 2 aire sen 2

n i n r

Por tanto:

′ ′′

⋅ = ⋅ 2

1,5 sen 19º 28 16,39 1 sen r .

El valor obtenido es r2=29º 59 59,99′ ′′≈30º. Comproba-mos que el ángulo del rayo emergente es igual que el del incidente.

b) La longitud recorrida por el rayo es la

distancia AB. Si se toma el triángulo

ABC, se cumple que cosr1= e

AB, donde e es el espesor de la lámina. Por tanto:

′ ′′ = 5 cm cos19º28 16,39 AB . A B C e r 1 El valor de AB es 5,3 cm.

17. Un rayo de luz monocromática incide sobre una cara lateral de un prisma de vidrio, de índice de refracción n = 2 . El

ángulo del prisma es α = 60°. Determine:

a) El ángulo de emergencia a través de la segunda cara la-teral si el ángulo de incidencia es de 30°. Efectúe un esquema gráfico de la marcha del rayo.

b) El ángulo de incidencia para que el ángulo de emergencia del rayo sea 90°.

(6)

85

09

ÓPTICA ONDULATORIA

a) En el apartado 9.3. de esta Unidad se explica el fenómeno de

la dispersión de la luz.

b) Calculamos el ángulo de refracción del rayo rojo. Por la ley

de Snell, tenemos que: =

aire sen agua,rojo sen rojo

n i n r

Si sustituimos los datos, resulta:

⋅ = ⋅ rojo

1 sen 60º 1,330 sen r

Despejando la incógnita, obtenemos el valor del ángulo de refracción:

′ ′′ =

rojo 40º 37 41,27

r

Para determinar el ángulo de refracción del rayo violeta se-guimos el mismo procedimiento. De esta forma, aplicando la ley de Snell, obtenemos la expresión:

=

aire sen agua,violeta sen violeta

n i n r ⋅ = ⋅ violeta 1 sen 60º 1,344 sen r ′ ′′ = violeta 40º 7 4,86 r El ángulo δ es: ′ ′′ ′ ′′ δ =rrojorvioleta= 40º 37 41,27 − 40º 7 4,86 = ′ ′′ = 30 36,41 ⋅ 1 = ⋅ 1 sen i 2 sen 15º Por tanto, i1 =21,47º

18. a) Explica en qué consiste el fenómeno de dispersión de la luz.

b) El índice de refracción del agua varía, dentro del espectro visible, entre n

R = 1,330 para luz de color rojo y nV= 1,344

para luz de color violeta. Un rayo de luz blanca incide desde el aire (n = 1) sobre la superfi cie en calma de

una piscina, con ángulo de incidencia φ = 60º. Calcula la

dispersión angular (ángulo δ de la fi gura) que se observa

en la luz visible refractada.

G

R

V

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