20 CAP´ITULO 2. CURVAS PARAMETRIZADAS un cambio af´ın de coordenadas que transforma la curva original en (t, t2),
que es manifiestamente una par´abola. Para encontrarlo basta con escribir los polinomios en t´erminos de la base can´onica.)
Ejercicio 16. Demu´estrese que una curva espacial cuyas componentes son polinomios independientes de grado ≤ 2 es una par´abola. ¿Y si son depen-dientes?
2.1.
Ejemplos de curvas planas
Antes de comenzar el estudio te´orico de las curvas, es conveniente disponer de ejemplos suficientes que muestren su inter´es.
Un punto
Existe la posibilidad de que el movimiento del punto tenga velocidad nula, es decir, v(t) = 0 = (0, 0). En ese caso la integral de la ecuaci´on (2.1) es nula y por tanto
x(t) = x0.
Rectas
Cuando un punto se desplaza con velocidad constante, v(t) = v0 entonces
Z t
t0
v0dt = v0(t − t0),
as´ı que la curva resultante es la recta
x(t) = x0+
Z t
t0
v(t)dt = x0+ v0(t − t0).
En coordenadas, si x0 = (x0, y0) y v0 = (u, v), resulta
(
x(t) = x0+ u(t − t0)
y(t) = y0+ v(t − t0)
No obstante, una recta puede ser recorrida a velocidad no constante. Ejercicio 17. Escr´ıbase una curva parametrizada que recorra una recta pero a velocidad no constante. Dib´ujese, usando Sage.
2.1. EJEMPLOS DE CURVAS PLANAS 21 Ejercicio 18. Demu´estrese que los puntos de una curva est´an contenidos en una recta, es decir, satisfacen una ecuaci´on lineal del tipo ax + by + c = 0, si y s´olo si su velocidad v(t) es de la forma v(t) = f (t)v0 para alguna funci´on
diferenciable f (t) y un vector constante v0.
La aceleraci´on de una curva es el vector a(t) = dv
dt = d2x
dt2.
Tambi´en emplearemos la notaci´on funcional seg´un la cual x0(t) = dx dt x00(t) = d 2x dt2, y as´ı sucesivamente.
Ejercicio 19. Demu´estrese que una curva x = x(t) con velocidad nunca nu-la es una recta si y s´olo si su aceleraci´on es proporcional a su velocidad (se entiende que los coeficientes de proporcionalidad son funciones de la variable temporal). ¿Es este resultado razonable, intuitivamente? Sugerencia: Para demostrar que la condici´on es necesaria, puede utilizarse el ejercicio ante-rior. Para la suficiencia, la ecuaci´on diferencial x00(t) = λ(t)x0(t) es f´acil de resolver.
Ejercicio 20. Demu´estrese que la funci´on
f (t) = (
e−1/t2 si t 6= 0 0 si t = 0
es diferenciable (de clase infinito). Indicaci´on: demu´estrese por inducci´on que las derivadas de f son de la forma
f(n)(t) = ( Rn(t)e−1/t 2 si t 6= 0 0 si t = 0,
siendo Rn una funci´on racional y calc´ulese l´ımt→0f(n)(t).
Ejercicio 21. Usando la funci´on definida en el ejercicio anterior, escr´ıbase la parametrizaci´on de una curva diferenciable que est´e contenida en el eje OX si t < 0 y en el eje OY si t > 0. ¿Es su aceleraci´on proporcional a su velocidad? ¿Contradice esto el ejercicio 19?
22 CAP´ITULO 2. CURVAS PARAMETRIZADAS Ejercicio 22. Supongamos que todas las rectas tangentes a una curva cuya velocidad es nunca nula pasan por un punto fijo. Demu´estrese que la curva est´a contenida en una recta. (Indicaci´on: Si llamamos al punto x0, tendremos
que x(t) + λ(t)x0(t) = x0 para cierta funci´on λ. Der´ıvese esta relaci´on y
util´ıcese el ejercicio 19.
Ejercicio 23. Dar un ejemplo que muestre que el resultado del ejercicio an-terior no es cierto si suponemos que la velocidad de la curva puede anularse.
2.1.1.
Circunferencia
Una circunferencia de centro p0 = (x0, y0) y radio r puede parametrizarse
como
x(t) = p0+ r(cos t, sin t).
Ejercicio 24. Demu´estrese que los puntos de esta curva distan r del centro. Dibujemos la circunferencia con centro (1, 2) y radio 3:
t = var(’t’) x0, y0 = 1, 2 r = 3
p = parametric_plot((x0 + r * cos(t), y0 + r*sin(t)), (t, 0 ,2 * pi)) p.set_aspect_ratio(1) -2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5
2.1.2.
Curvas polin´
omicas
Una clase especialmente importante de curvas son las curvas polin´omicas, es decir, tales que x(t) e y(t) son polinomios en la variable t, digamos de grado ≤ n. Tienen la ventaja de que su c´alculo es muy r´apido y est´an controladas por n + 1 par´ametros. Sin embargo, la relaci´on entre sus coeficientes y la
2.1. EJEMPLOS DE CURVAS PLANAS 23 curva final es dif´ıcil de controlar. Consideremos una curva Pn
i=0vit
i, siendo
vipuntos de R2. El siguiente dibujo muestra un ejemplo de la curva resultante
con el pol´ıgono formado por los puntos vi.
m = 3
v = [vector([-2, 2]), vector([0, 1]), vector([1, 2]),vector([2, 1])]
curva = sum(v[i]*t^i for i in range(m + 1))
curva_plot = parametric_plot(curva, (t, 0, 1), color = ’green’) v_plot = line([v[i].list() for i in range(m + 1)],
marker = ’o’, color = ’red’) dib = curva_plot + v_plot
dib.set_aspect_ratio(1) -2 -1 0 1 2 1 2 3 4 5 6
Una raz´on que explica la mala relaci´on entre la curva y el pol´ıgono dado por sus coeficientes es que no es geom´etrica: si consideramos una afinidad f : R2 → R2, es decir, una aplicaci´on de la forma f (x) = Ax + b, siendo A
una matriz 2 × 2 y b un punto de R2, resulta que
f n X i=0 viti ! 6= n X i=0 f (vi)ti,
salvo para valores excepcionales de t. Con palabras, no coincide la transfor-mada de la curva con la curva definida por el pol´ıgono transformado.
Ejercicio 25. Demu´estrese, con un ejemplo, que no es cierto que la cur-va transformada mediante una afinidad coincida con la curcur-va asociada al pol´ıgono transformado. ¿Cu´ales son las curvas que tienen esta propiedad pa-ra toda afinidad?
