Circunferencia (continuación)

Circunferencia (continuación)

Vamos a estudiar que condiciones debe cumplir un cuadrilatero para que sea inscriptible y/o circunscriptible respecto a una circunferencia.

Para el caso de cuadrilateros inscriptibles nos basaremos en lo último que vimos referente a los arcos capaces.

Como puede verse en la figura, si tenemos un cuadrilatero inscrito en una

circunferencia y trazamos una de sus diagonales, podemos considerar que hemos trazado dos arcos capaces respecto al segmento diagonal, y que los ángulos $1 y $2 son suplementarios, ya que cada arco (cada trozo de la circunferencia dividida por esa diagonal) está situado a un lado del segmento.

Es decir, para que un cuadrilatero sea inscriptible los ángulos opuestos han de ser suplementarios. Por supuesto, si una pareja de ángulos opuestos son suplementarios, la otra pareja debe serlo forzosamente, ya que, como vimos en el caso de la suma de ángulos internos de un polígono regular, la suma de ángulos internos de un cuadrilatero son 360°.

Para estudiar el caso de cuadrilateros circunscriptibles realizaremos la construcción de la figura, en la que hemos dividido cada lado del cuadrilatero en dos trozos, tomando como punto de división el punto de tangencia de dicho lado a la circunferencia.

decir, el segmento AT1 y el AT4 son iguales, ya que las tangentes a una circunferencia trazadas

desde un mismo punto deben tener igual longitud. A la vista de lo anterior podemos comprobar que:

AB

CD

A T

T B

CT

T D

BC

DA

BT

T C

DT

T A

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

donde puede comprobarse que cada elemento del segundo término de la primera ecuación tiene un equivalente en el segundo término de la segunda ecuación.

Es decir, que la condición para que un cuadrilatero sea circunscriptible es que el valor de la suma de los lados opuestos sea la misma.

2.- POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA.

Trazada una secante a una circunferencia c por un punto P, definiremos la potencia de P respecto a la circunferencia como el producto de la distancias de P a cada uno de los puntos de intersección.

Pot

=

PA

×

PB

Lo primero que deberemos comprobar es que este valor de la potencia es independiente de la secante que tracemos por P. Para ello nos apoyaremos en la siguiente construcción y en el razonamiento que expondremos a continuación:

- se han trazado dos secantes cualesquiera por P a la circunferencia, produciendose los puntos de intersección A y B y C y D respectivamente,

- hemos unido los puntos de corte B y C y D y A, creando dos ángulos inscritos que son iguales, ya que estarían contenidos en el mismo arco capaz correspondiente al segmento

AC,

con un lado del ángulo cuyo vértice es P, el mismo ángulo que forma la recta que pasa por BC con el otro lado; es decir, las rectas AD y BC son antiparalelas respecto al ángulo cuyo vértice está en P.

Recordando ahora las propiedades que enunciamos para rectas antiparalelas, deberá cumplirse que:

PA

×

PB

=

PC

×

PD

Vamos ahora a intentar obtener un valor genérico para la potencia de un punto respecto a una circunferencia.

A la vista de la figura, y teniendo en cuenta que AI=IB podemos poner:

PA

×

PB

=

(

PI

−

AI

) (

×

PI

+

AI

)

=

PI

−

AI

Si tenemos en cuenta que existen dos triángulos rectángulos, el definido por los puntos

POI y el AOI, podemos poner:

PI

PO

OI

AI

AO

OI

=

−

=

−

Si ahora sustituimos estos valores en la ecuación anterior nos queda:

PA

×

PB

=

(

PO

−

OI

) (

−

AO

−

OI

)

=

PO

−

AO

donde PO será la distancia del punto al centro de la circunferencia, y AO es el radio. Es decir, que la potencia de un punto respecto a una circunferencia va a ser siempre la distancia al centro al cuadrado menos el radio de la misma al cuadrado:

Pot

=

d

−

r

Dadas dos circunferencias ortogonales, vamos a estudiar las relaciones de potencia entre ellas.

A la vista de la figura podemos ver como en los puntos de intersección coinciden las tangentes trazadas desde el centro de una de las circunferencias a la otra con los radios. Además los centros de las circunferencias con los puntos de interesección forman un triángulo rectángulo en el que se cumple que:

d

=

r

+

r

donde d es la distancia entre los dos centros, y r1 y r2 son los radios de cada una de las

circunferencias respectivamente.

A la vista de esto, y recordando lo que dijimos sobre las potencias de un punto respecto a una circunferencia podremos poner:

Pot

d

r

r

=

−

=

Es decir, que la potencia del centro de una circunferencia respecto a todas las circunferencias ortogonales a ella es siempre constante, y su valor es el radio al cuadrado.

4.- SECCIÓN DE CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES POR EL CENTRO DE UNA DE ELLAS.

Supongamos dos circunferencias ortogonales entre sí, y tracemos una secante a ambas que pase por el centro de una de ellas.

Tal y como hemos visto en el caso anterior, podemos poner la potencia de O1 respecto

a c2 de dos maneras distintas:

Pot

O C O D

r

O A O B

O C O D

=

×

=

∴

×

=

×

Para demostrar que esto es así, lo que haremos es comprobar que si efectivamente forman cuaterna armónica, entonces se cumple la ecuación anterior.

4.1.- Bisectriz interior de un triángulo.

Vamos a demostrar que toda bisectriz interior de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados que en ella concurren.

Para ello vamos a realizar la siguiente construcción que puede seguirse con la figura anterior:

- trazaremos las bisectrices interior y exterior en el vértice C; debemos recordar que, tal y como vimos, las bisectrices de ángulos adyacentes, como es este caso, son

perpendiculares entre sí;

- ahora prolongaremos el lado a una distancia b’ igual al lado b, con lo que el triángulo ACM será isósceles, el lado AM perpendicular a la bisectriz exterior, y, por tanto, paralela a la interior,

- nos quedan ahora dos triángulos semejantes, el PBC y el ABM, con lo que podemos establecer la siguiente relación entre segmentos proporcionales:

BP

a

BA

a

b

PA

b

=

+

=

Con lo que queda demostrado.

4.2.- Bisectriz exterior de un triángulo.

Vamos a comprobar que también se cumple que si una bisectriz exterior de un triángulo corta al lado opuesto, las distancias de su pie a los extremos de dicho lado son proporcionales a los lados concurrentes con la bisectriz.

Siguiendo el mismo razonamiento, vamos a realizar la siguiente construcción que puede seguirse con la figura anterior:

- trazaremos las bisectrices interior y exterior en el vértice C, que serán perpendiculares entre sí,

- ahora sobre el lado a y desde C llevamos una distancia b’ igual al lado b en dirección hacia

B, con lo que el triángulo ANC será isósceles, el lado AN perpendicular a la bisectriz

interior, y, por tanto, paralela a la exterior,

- nos quedan ahora dos triángulos semejantes, el P’BC y el ABN, con lo que podemos establecer la siguiente relación entre segmentos proporcionales:

BP a BA a b AP b ' ' = − =

Con lo que queda demostrado.

4.3.- Lugar geométrico basado en lo anterior.

Basándonos en los dos puntos anteriores podemos presentar un nuevo lugar geométrico. El lugar geométrico de los puntos de un plano cuya razón de distancias a dos puntos fijos A y B es constante, es una circunferencia cuyo diámetro está determinado por los puntos P y P’ contenidos en la recta que pasa por A y B, y cuya razón de distancias a A y B es el valor dado.

Siguiendo la figura, teniendo fijos A y B, para cualquier C que cumpla la condición dada, recordando lo visto en los apartados anteriores, las bisectrices interior y exterior por C al triángulo ABC cumplirán dos condiciones: son perpendiculares entre sí, y deben cortar a dos puntos fijos P y P’. En definitiva, todos los puntos que cumplen la condición de pertenecer a este lugar geométrico deben estar contenidos en el arco capaz de 90° (recordemos que era una circunferencia) cuyo diámetro es el segmento PP’.

Podemos utilizar dos métodos para encontrar este lugar geométrico en un ejercicio:

a) Determinar P y P’, por su relación de distancias a dos puntos dados, tal y como vimos en la primera clase de elementos proporcionales, y posteriormente trazar la circunferencia de diámetro PP’.

b) Determinar un punto C cualquiera que cumpla la condición dada trazando dos arcos de circunferencia con centros en A y B y distancias proporcionales a la razón dada, y trazar las bisectrices interior y exterior por C del triángulo ABC para encontrar P y P’.

4.4.- Método para determinar puntos que formen cuaterna armónica.

Si nos fijamos en los resultados obtenidos en 4.1 y 4.2, podemos poner:

BP

a

PA

b

BP

PA

a

b

BP

a

AP

b

BP

AP

a

b

=

→

=

=

→

=

'

'

'

'

Si tenemos en cuenta el signo y la orientación nos quedará:

BP

AP

BP

AP

BP

BP

AP

AP

÷

'

=

÷

= −

'

'

'

1

es decir, que la razón doble (BAPP’) tiene valor -1, y que por tanto esos cuatro puntos forman cuaterna armónica.

Por tanto, dados A, B y C, otra forma de determinar D para que A, B, C y D formen cuaterna armónica será:

- determinar un punto cualquiera X tal que AXB=90° (para ello, lo más fácil es elegir un punto cualquiera de la circunferencia cuyo diámetro es AB),

- uniremos X con C, y trazaremos por X otra recta que forme con XB (o con XA, es indiferente) el mismo ángulo que esta formaba con XC,

- donde esta recta corte a la que contiene a los puntos A, B y C estará situado D.

4.5.- Resolución de la relación existente entre los puntos de corte que produce la sección a dos circunferencias ortogonales cuando ésta pasa por el centro de una de ellas.

Partimos de suponer que los puntos A, B, C y D forman cuaterna armónica, e intentaremos llegar a una ecuación equivalente a la que vimos al comenzar este apartado. Vamos a trabajar con las siguientes figuras:

O MB

O BM

BMC

BMD

$

$

$

$

=

=

La primera igualdad se cumple ya que O1M y O1B son radios de la misma

circunferencia, y, por tanto, el triángulo MO1B es isósceles. La segunda, porque, tal y como

hemos visto en 4.4, si A, B, C y D forman cuaterna armónica, y, como puede verse, AMB=90°, los ángulos que formen CM y DM con BM deben ser iguales.

Podemos ver que se cumple que: O BM O MC CMB MBD O BM BMC BDM O MC BDM O DM 1 1 1 1 1 180 180 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ = + = − = − −   ⇒ = = o o

La primera igualdad se cumple ya que vemos que es la suma de ángulos. La segunda, ya que en la primera igualdad se plantean ángulos suplementarios, y en la segunda la suma de ángulos internos de un triángulo.

Podemos simplificar la figura de la forma siguiente:

A partir de aquí podemos afirmar que las rectas que pasan por MC y MD son antiparalelas respecto a O1M y O1D, y entonces:

O C₁ ×O D₁ =O M₁ ×O M₁ =O A₁ ×O B₁ que es la primera ecuación que propusimos al comenzar el apartado 4.

Como podemos ver que la propiedad anterior podría enunciarse y cumplirse de forma recíproca (es decir, si se cumple la ecuación anterior, entonces forzosamente tenemos rectas antiparalelas, y así sucesivamente), quedaría demostrado que si trazamos una recta secante a dos circunferencias ortogonales, de manera que pase por el centro de una de ellas, los cuatro puntos intersección que se producen forman entre sí una cuaterna armónica.

5.- EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS.

Vamos ahora a determinar donde se encuentran los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a dos circunferencias.

En la figura hemos representado un punto P que se supone que tiene la misma potencia respecto a ambas circunferencias. En ese caso deberá cumplirse:

d

r

d

r

d

d

r

r

−

=

−

∴

−

=

−

=

cte.

es decir, que como se ve en la ecuación anterior, al ser los radios de las circunferencias constantes, también tiene que ser constante la diferencia del cuadrado de las distancias a los centros de las circunferencias. Vamos a centrarnos pues en encontrar este nuevo lugar geométrico donde se sitúan los puntos del plano cuyas diferencias del cuadrado de las distancias a dos puntos fijos (en este caso los centros de las circunferencias) es constante.

Siguiendo la figura podemos ver que hemos unido los puntos fijos, y que desde P hemos trazado una perpendicular a este segmento dividiendolo en dos partes. Al tener dos triángulos rectángulos definidos por los puntos PO1H y PHO2 podremos afirmar:

d

l

e

d

l

e

d

d

e

e

− =

− =







−

=

−

=

cte.

Vemos, por tanto, que para cualquier punto P que cumpla la condición indicada debe cumplirse que la última igualdad es constante, lo que implica que e1 y e2 son constantes. Es

decir, que para cualquier punto que cumpla la condición de que la diferencia del cuadrado de sus distancias a O1 y O2 es constante, el pie de la perpendicular trazada a la recta que pasa por O1 y O2 debe coincidir siempre con H. En definitiva, el lugar geométrico de los puntos cuya

diferencia de distancias al cuadrado a otros dos fijos es constante es una recta perpendicular al segmento que une dichos puntos.

Si trasladamos esto al eje radical, diremos que los puntos con una misma potencia respecto a dos circunferencias están contenidos en una recta perpendicular al segmento que une los centros de dichas circunferencias.

Para encontrar un eje radical tan solo tendremos que hallar un punto que sea equipotencial respecto a las circunferencias dadas, y trazar por él una perpendicular al segmento que une los centros de ellas. Se nos plantean dos casos: aquellos en que las

circunferencias son tangentes o secantes, y aquellos en que son exteriores o una es interior a la otra.

a) El primer caso es muy simple, ya que los puntos de corte o tangencia tienen la misma potencia respecto a ambas circunferencias 0. Por tanto se trazará por esos puntos perpendiculares a la recta que pasa por ambos centros.

b) En el segundo caso se utiliza una circunferencia c3 secante a las otras dos como elemento

auxiliar para determinar un punto de igual potencia respecto a ellas. Para ello se encontrará el punto de intersección entre los ejes radicales de c1 y c3 y de c2 y c3. Este

punto por estar en ambos ejes radicales tendrá igual potencia respecto a las tres circunferencias, y por tanto respecto a las dos circunferencias del problema. Tan solo resta trazar por él una perpendicular a la recta que pasa por los centros de las

circunferencias.

c) Un caso particular sería el de las circunferencias concéntricas, en cuyo caso no existe eje radical (propio).

6.- CENTRO RADICAL

Llamaremos centro radical (CR) de tres circunferencias a aquel cuya potencia es la misma respecto a las tres circunferencias. Este punto se construirá tal y como hemos definido en el apartado b del punto anterior: se determinan dos ejes radicales de dos parejas de circunferencias, y el punto de intersección es el centro radical de las tres.

Por supuesto, si determinásemos el eje radical de la tercera pareja de circunferencias, éste debe contener al centro radical.

7.- HAZ DE CIRCUNFERENCIAS.

Llamaremos haz de circunferencias al conjunto de ellas que tienen un mismo eje

radical, es decir, todos los puntos del eje radical tienen la misma potencia respecto a todas las circunferencias que pertenecen al haz.

Podríamos plantearlo como: dada una circunferencia c y una recta r contenidas en el mismo plano, hallar el conjunto de circunferencias que tengan con c el mismo eje radical r. De entrada deberemos recordar que el eje radical era perpendicular a la recta que pasaba por los centros, por lo que los centros de todas las circunferencias que pertenecen al haz estarán en la perpendicular desde el centro de c al eje radical r. Para cada una de las tres posiciones relativas del eje radical respecto a la circunferencia c se cumplirá:

a) en el caso en que el eje es tangente a c, en el punto de tangencia la potencia tiene valor 0, y para que tenga la misma potencia respecto a toda las circunferencias del haz, todas ellas tienen que ser también tangentes al eje en dicho punto;

b) en el caso en que el eje es secante a c el razonamiento es similar al anterior, ya que en los puntos de corte el valor de la potencia es 0, y por tanto todas las circunferencias que pertenezcan al haz deben pasar por ellos;

c) por último, en el caso en que el eje radical es exterior a las circunferencias, deberá serlo respecto a todas las del haz, ya que si alguna lo cortase el valor de la potencia del punto de intersección sería 0, y por tanto distinto al del resto de circunferencias del haz.

Esto no significa que cualquier circunferencia cuyo centro esté en esa perpendicular pertenezca al haz, para cada punto que elijamos de esa perpendicular existirá sólo una circunferencia cuyo centro sea ese y que pertenezca al haz.

Es más, para cualquier punto del plano (a excepción de un conjunto limitado de ellos) existe una única circunferencia del haz que pase por ella. Vamos a centrarnos en este ejercicio, y vamos a ver para cada posición del eje radical como determinar circunferencias que

pertenezcan al haz y pasen por un punto P dado.

a) En el caso de que el eje radical es tangente a c, tal y como se indicó antes, para que la circunferencia pertenezca al haz debe ser tangente en el mismo punto y que su centro esté contenido en la recta que contiene al centro de c y es perpendicular a r. Se reduce por tanto el ejercicio a encontrar una circunferencia que pase por dos puntos (P y el de tangencia) y que su entro esté contenido en una recta; para ello trazaremos la mediatriz del segmento que une los puntos y encontraremos su intersección con la recta:

b) El caso en que el eje radical es secante es muy similar, buscaremos una circunferencia que contenga a P, pase por uno de los puntos de intersección y esté contenido en la recta perpendicular al eje r; lo resolveremos trazando la mediatriz al segmento que pasa por

P y uno de los puntos de intersección y viendo el punto de corte con dicha recta:

c) Por último llegamos al caso en que el eje radical es exterior a la circunferencia c. Aquí tenemos que realizar una construcción algo más complicada, ya que no tenemos un segundo punto que pertenezca a la circunferencia, y por tanto vamos a utilizar la condición de que un punto del eje radical (Q) tenga la misma potencia respecto a c que respecto a la circunferencia que vamos a encontrar.

Para aplicar esta condición realizaremos la siguiente construcción: elegimos como punto del eje radical Q el punto donde se cortan éste y la perpendicular que contiene a los centros de las circunferencias (el resultado sería el mismo con cualquier otro punto), y con centro en él trazamos una circunferencia c1 ortogonal a c. La potencia de Q respecto a c, al ser las circunferencias trazadas ortogonales, será r12 (por lo visto

Podemos entonces reducir el ejercicio a buscar circunferencias que pasen por

P, cuyo centro esté en la perpendicular a r, y que sean ortogonales a c1(con esto logramos que la potencia respecto a Q sea también r12).

Recordando lo que vimos en el apartado 4, si tenemos dos circunferencias ortogonales y trazamos una recta secante a ambas que pasa por el centro de una de ellas, los cuatro puntos de intersección forman cuaterna armónica. Basándonos en esto, podemos trazar por P una recta que pase por el centro Q de c1, que producirá una

intersección en los puntos A y B. Si encontramos un P’ tal que (ABP’P)=-1, es decir que formen cuaterna armónica, sabremos que las circunferencias que pasen por P y P’ son ortogonales a c1 (esto ya se vió en la primera clase de elementos proporcionales,

apartado 7). Nos quedaría únicamente determinar la circunferencia que pase por P y P’ y cuyo centro está en la perpendicular a r.

8.- HAZ DE CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.

Todos los puntos del eje radical tienen la misma potencia respecto a cada una de las circunferencias del haz. Esto significa que si desde uno cualquiera de ellos trazo la tangente a distintas circunferencias del haz la longitud de esta tangente debe ser la misma.

Pot

Pot

Pot

PT

PT

PT

=

=

∴

=

=

Pueden considerarse por tanto radios de una misma circunferencia ortogonal a todas las del haz.

Generalizando, podemos afirmar que todo punto del eje radical de un haz de circunferencias (exterior a las circunferencias del haz) es centro de una circunferencia

ortogonal a todas ellas. Esto no significa que cualquier circunferencia cuyo centro esté en el eje radica sea ortogonal a las del haz, sino que para cada punto del eje existe sólo una que lo es, con un radio concreto.

El conjunto de estas circunferencias con centro en el eje radical que son ortogonales a todas las del haz es lo que vamos a llamar haz de circunferencias ortogonales. En la figura siguiente hemos indicado con c las circunferencias que pertenecerían al haz de circunferencias, y con d las del haz ortogonal.

Por último, podemos fijarnos en que si cualquier circunferencia del haz ortogonal es ortogonal a todas las del haz original, también cualquiera del haz original lo será con todas las del haz ortogonal. Es decir, se va a cumplir que la perpendicular al eje radical que contiene los centros de las circunferencias del haz original es el eje radical del haz ortogonal.

9.- DIVISIÓN ÁUREA DE UN SEGMENTO.

Aunque parecería más adecuado tener este tema situado en las clases iniciales de elementos proporcionales, hasta ahora no hemos visto alguna relación que se necesita para comprender su construcción, fundamentalmente la de potencia respecto a una circunferencia.

Diremos que un segmento x es segmento áureo de otro dado a cuando se cumpla que:

a

x

x

a

x

=

−

mantiene y es recursiva, es decir, si x es el segmento áureo de a, entonces a-x lo es de x; y también podemos decirlo como que si x es segmento áureo de a, entonces a lo es de a+x.

Efectivamente, como podemos ver en la formulación esto se cumple: Si ; a x x a x x a a x a ax x ax x a x a a x a a x x x ax a ax x ax x ax a ax x x a x a x x a = − ⇒ = − = − ∴ + = + = ⇒ + = ∴ + − = − + − − = − + ⇒ ⇒ _{− =} −₋ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )

La construcción que vamos a utilizar para determinar el segmento áureo de uno dado a, va a basarse en la propiedad de la potencia. Veamos la siguiente figura:

podemos decir que:

Pot

=

PA

×

PB

=

PT

= ×

x

(

x

+

a

)

=

a

Queda por tanto, que sobre un extremo del segmento a situaremos, de forma tangente a él, una circunferencia de diámetro a, y desde el otro extremo (P) trazaremos una secante que pase por el centro de la circunferencia. El segmento áureo de a, x, será el segmento que va desde P hasta el primer punto de intersección con la circunferencia A.

Hay que recordar que si lo que nos estuviesen pidiendo fuese el segmento del que a es su segmento áureo, por lo visto anteriormente, a es segmento áureo de a+x, es decir, del segmento que va desde P hasta el segundo punto de corte con la circunferencia B.

10.- POLARIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA.

Diremos que un punto A’ es conjugado de otro A respecto a una circunferencia c cuando la circunferencia de diámetro AA’ sea ortogonal a c. Por la propia definición dada, se entiende que esta propiedad es recíproca, ya que si A’ es conjugado de A, a su vez A lo será de A’.

A partir de esta definición podemos decir que la polar de un punto A respecto a una circunferencia c es el lugar geométrico de los puntos conjugados de A respecto a c. En ese caso diremos que A es el polo de dicha polar.

Vamos a plantearnos como será la polar en función del punto A elegido:

a) Si el punto A pertenece a la circunferencia c, la polar es la tangente a c en dicho punto. Como podemos ver en la figura, para cualquier punto que elijamos de dicha tangente la circunferencia cuyo diámetro definen él mismo y el punto A es ortogonal a c.

b) En el caso en que A no pertenece a la circunferencia c (tanto si es exterior como interior a ella) vamos a comprobar primero que la polar sigue siendo una recta. Recordando lo visto en el apartado 4, si se traza una secante a dos circunferencias ortogonales por el centro de una de ellas, los cuatro puntos de intersección forman cuaterna armónica.

Eso significa, tal y como podemos ver en la figura, que cualquier circunferencia ortogonal a c y que deba pasar por A tiene a su vez que hacerlo por B. Si además tenemos en cuenta que AA’ es el diámetro de la circunferencia veremos que el ángulo

ABA’ es siempre recto, y que, por tanto, A’ estará siempre en la perpendicular a la recta

que une el centro de la circunferencia y A.

En definitiva, la polar de un punto respecto a una circunferencia será siempre una recta perpendicular a la que une el centro de la circunferencia con dicho punto.

Para hallar la polar en cada uno de los casos actuaremos de la siguiente forma:

a) En el caso en que el punto pertenece a la circunferencia la polar será la recta tangente a la circunferencia en dicho punto.

b) En el caso en que el punto A sea exterior, por lo que hemos indicado anteriormente, lo que necesitamos es un punto que sea conjugado de A, y la polar será la perpendicular por dicho punto a la recta que une A con el centro de la circunferencia. Para encontrar este punto trazaremos desde A una tangente a la circunferencia, y el punto de tangencia es conjugado de A, por lo que pertenece a la polar.

c) Si nos fijamos en la figura anterior, comprobamos que tanto A como el pié de la perpendicular son puntos conjugados. Podemos utilizar esto para realizar la

construcción en el caso en que el punto A sea interior: en primer lugar levantaremos una perpendicular por el punto A a la recta que une el centro de la circunferencia con A, esta perpendicular se prolonga hasta donde corte a la circunferencia, y por el punto de intersección se traza una tangente a la circunferencia, que se prolonga también hasta el punto de corte con la recta que une el centro de la circunferencia con A.

11.- TRIÁNGULO AUTOPOLAR.

Dada una circunferencia c y un punto A, vamos a determinar la polar de A respecto a c. A continuación, elegimos un punto cualquiera B de la polar de A, y determinamos su polar respecto a c; hemos de recordar, que como B es conjugado de A por estar en su polar, A lo será a su vez de B, y por tanto su polar debe pasar por A. Por último, elegimos C como el punto de intersección de las dos polares que hemos hallado, y determinamos su polar respecto a c; al igual que en el caso anterior, por ser C conjugado de A y de B, su polar pasará por ambos puntos.

A la vista de lo anterior, podemos definir al triángulo autopolar respecto a una

circunferencia c, a aquel en el que cada vértice es polo del lado opuesto, o al revés, en el que cada lado es polar del vértice opuesto.