MÉTODO DE LA CURVA ELÁSTICA

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(1)
(2)

ECUACIÓN DE LA CURVA ELÁSTICA O

ECUACIÓN DE LA CURVA ELÁSTICA O

MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN

MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN

1.

1. Nosotros conocemos que la curvatura de laNosotros conocemos que la curvatura de la

viga recta

viga recta

, cuando se somete a, cuando se somete a un momento flexionante, el material de la viga se deforma, dando como un momento flexionante, el material de la viga se deforma, dando como resultado una

resultado una

curvatura de

curvatura

de la

la viga

viga

, verificándose bajo ciertas condiciones, verificándose bajo ciertas condiciones supuestas establecidas:

supuestas establecidas:

CURVATURA:

CURVATURA:

…(I)…(I)

FORMULA DE LA ESCUADRÍA:

FORMULA DE LA ESCUADRÍA:

Obtención de los esfuerzos flexiónantes enObtención de los esfuerzos flexiónantes en

vigas. vigas.

a)

a)

Los planos transversales antes de la flexión permanecen transversalesLos planos transversales antes de la flexión permanecen transversales después de la flexión, esto es, no hay

después de la flexión, esto es, no hay torcedura.torcedura.

b)

b)

El material de la El material de la viga es homogviga es homogéneo e isótréneo e isótropo opo y obedece la y obedece la ley deley de Hooke. Aquí suponemos que “E” es la misma para tracción que para Hooke. Aquí suponemos que “E” es la misma para tracción que para compresión.

compresión.

c)

c)

La viga es recta y La viga es recta y tiene una sección transversal constante prismática.tiene una sección transversal constante prismática.

d)

d)

Las cargas no ocasionarán ni tracción ni pandeo de la viga. EstaLas cargas no ocasionarán ni tracción ni pandeo de la viga. Esta condición se cumple, si el plano de las cargas contiene al eje de condición se cumple, si el plano de las cargas contiene al eje de simetría de la sección transversal y si las cargas

simetría de la sección transversal y si las cargas están en este plano.están en este plano.

e)

e)

La carga aplicada es un La carga aplicada es un momento flexionante puro.momento flexionante puro. 2.

2. Debido a queDebido a que “M”“M” varía a lo largo del claro de la viga, la curvaturavaría a lo largo del claro de la viga, la curvatura obviamente tendería a variar. En consecuencia, sería bastante difícil y obviamente tendería a variar. En consecuencia, sería bastante difícil y pesado determinar la forma completa de la curva elástica en todas las pesado determinar la forma completa de la curva elástica en todas las circunstancias. Por lo tanto así es necesario expresar la forma de la curva circunstancias. Por lo tanto así es necesario expresar la forma de la curva

(3)

elástica en términos de sus c

elástica en términos de sus coordenadas rectangularesoordenadas rectangulares



, si , si vamos vamos a a usar usar  las condiciones de pendiente y

las condiciones de pendiente y flexión.flexión.

Consideremos la curva de la figura, que se supone representa un segmento Consideremos la curva de la figura, que se supone representa un segmento de la línea elástica de la viga. A una distancia

de la línea elástica de la viga. A una distancia



de un punto dede un punto de referencia, digamos el punto

referencia, digamos el punto



el soporte, un incremento deel soporte, un incremento de

 

 

,,

tendrátendrá un cambio de pendiente de un extremo al

un cambio de pendiente de un extremo al otro deotro de

 

 

. Así,. Así,

    

De la cual obtenemos:

De la cual obtenemos:

…(II) …(II)

Para ángulos pequeños (esto es fl

Para ángulos pequeños (esto es flexiones pequeñas):exiones pequeñas): y

y

Analizando estas últimas expresiones en (

Analizando estas últimas expresiones en (IIII), tendremos:), tendremos:

…(α  …(α  ) ) …(III) …(III)    







  

≈≈

    



   



       



 



  



 



  





   

(4)

ECUACIÓN DE LA CURVA ELÁSTICA

ECUACIÓN DE LA CURVA ELÁSTICA

DE LA VIGA

DE LA VIGA

Ordenando: Ordenando:

Expresión del cortante

Expresión del cortante



::

Derivando la expresiónDerivando la expresión



Tomando extremos:

Tomando extremos:

Expresión de la carga

Expresión de la carga



::

Derivando la expresiónDerivando la expresión



Tomando extremos:

Tomando extremos:

3.

3.

CONVENCIÓN DE SIGNOS:

CONVENCIÓN DE SIGNOS:

ANTIHORARIO (+)

ANTIHORARIO (+)

HORARIO (-)

HORARIO (-)

(+)

(+)

POSITIVO

POSITIVO

(-)

(-)

NEGATIVO

NEGATIVO

…(A) …(A)  



   



  



  



…(  …( a)a)  



   



  



  



…(  …( b)b)

(5)

EJERCICIO 01

EJERCICIO 01

..

Si una fuerza de

Si una fuerza de

 

 

se aplica en el extremo de la viga ¿Qué parte de estase aplica en el extremo de la viga ¿Qué parte de esta carga soportará el resorte?

carga soportará el resorte?

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

Estructuras hiperestáticas de 1° grado

Estructuras hiperestáticas de 1° grado

Estructura Primaria o Isostatizada, es conjugada como superabundante o Estructura Primaria o Isostatizada, es conjugada como superabundante o redundante

redundante





, , la misma la misma que será que será igual a:igual a:















 

3 ×

3 ×





//

  

22



//



2

2



//

  

2

2



//



∙∙







  

2∙

2∙









(6)

Por estática d

Por estática determinamos:eterminamos:





yy





…(1) …(1)

…(2) …(2)

Cálculos de las constantes de integración: de acuerdo a las condiciones de Cálculos de las constantes de integración: de acuerdo a las condiciones de frontera. frontera.





 ⟶ 

 ⟶ 









  

77







//





MOMENTO GENÉRICO

MOMENTO GENÉRICO

 



  











7

7





   







 



22 77







++



11

 











 77









22 ++



11



++





 

  ⟶⟶



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



  

  ⟶⟶



⟶⟶22 ∶∶





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77



⟶⟶



  



⟶⟶22





  22



77





 77222

2





77



++77++

3×

3×





  22



+2287

+2

287 7722  22



+22

+2

2

3 2 

3 2 

3 3  2 2

(7)

EJERCICIO 02

EJERCICIO 02

Calcular la viga hiperestática y construir los diagramas de momentos Calcular la viga hiperestática y construir los diagramas de momentos flexionantes y fuerzas cortantes. Considere que “P”, “a”, “E” y “I” son flexionantes y fuerzas cortantes. Considere que “P”, “a”, “E” y “I” son conocidos.

conocidos.

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

Estructura hiperestática de 2° grado

Estructura hiperestática de 2° grado

Libero las restriccion

Libero las restricciones debido al apoyo A es debido al apoyo A que es un empotramieque es un empotramiento perfectonto perfecto..

29

29



(8)

Momentos genéricos en las

Momentos genéricos en las seccionessecciones , , yy

Sección

Sección

Sección

Sección

Sección

Sección

Por simetría físico (geométrica) y asimetría de cargas Por simetría físico (geométrica) y asimetría de cargas

1

1

--

1

1

 



  









    



  



22 



++



11

………

………

 







 





22 ++



11



++





………2

………2

2

2

--

2

2

 



  

























   



  



22 







22











++





………3

………3

 







 





22 















++







++





………

………

1

1

--

1

1

2

2

--

2

2

3

3

--

3

3

3

3

--

3

3







  









00

 





++







00

(9)

Además: Además:

Cálculo de las constantes de integración de acuerdo a las condiciones de Cálculo de las constantes de integración de acuerdo a las condiciones de frontera para:

frontera para:

Remplazando los valores de las constantes en las expresiones

Remplazando los valores de las constantes en las expresiones

2233

tendremos:

tendremos:

Estas expresiones por sí solas no resuelven el problema, porque si bien nos Estas expresiones por sí solas no resuelven el problema, porque si bien nos brindan las ecuaciones de giros y flechas, se encuentran en función de brindan las ecuaciones de giros y flechas, se encuentran en función de

 



  















++

    







 









22 ++



++





………

………

 

















 ++





22 ++

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



++





……

……

 



 



   



 



 



    



     

11







 



 

11



++











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++





   



  



22 



………

………





 







 





22………

………





   



  



22 







22











…………

…………





 







 





22 















…………

…………





 





::

22::

(10)





  



; por lo ; por lo que resulta necesario emplear las expresionesque resulta necesario emplear las expresiones



, y calcular , y calcular  el valor de las constantes

el valor de las constantes





  



..

Reemplazando el valor de

Reemplazando el valor de





en la expresión anterior, obten la expresión anterior, obtenemos:enemos:

Remplazando esos últimos valores de las constantes en

Remplazando esos últimos valores de las constantes en



yy



yy considerando las expresiones anteriores (I), (II),

considerando las expresiones anteriores (I), (II), (III), (IV) tendremos:(III), (IV) tendremos:

Cálculo de las reacciones: Cálculo de las reacciones:

⟶⟶



44



⟶⟶

  

0 0 ⟶⟶55

⟶⟶



44



⟶⟶



0 0 ⟶⟶66

   



  



22 



………

………





 







 





22………

………





   



  



22 







22











………

………





 







 





22 















………

………





   







 









22 ++







………

………





 

















 ++





22 



++88





…………

…………





 



(IV):(IV):



α α



   

//





  



//

 (III) y (IV) r(III) y (IV) respectivamenteespectivamente

(11)

Resolviendo simultáneame

Resolviendo simultáneamente (α) nte (α) y (β):y (β):

EJERCICICO 03.

EJERCICICO 03.

Calcular la

Calcular la flecha en la sección “C” y el giro en la sección “B” de la viga.flecha en la sección “C” y el giro en la sección “B” de la viga. Considere qu

Considere que “q”, “a”, “E”, e “I” e “q”, “a”, “E”, e “I” son conocidos.son conocidos.

33

CARGA

CARGA

TRIANGULAR

TRIANGULAR

 







 



     











  



(12)

CARGA PARABÓLICA CARGA PARABÓLICA

Luego la ecuación de la parábola,

Luego la ecuación de la parábola, para los ejespara los ejes



yy



será:será:

Para: Para:

ESTRUCTURA ISOSTÁTICA

ESTRUCTURA ISOSTÁTICA

Donde debemos determinar el valor de la constante Donde debemos determinar el valor de la constante “k”; por las condiciones de frontera: Para el punto “B” “k”; por las condiciones de frontera: Para el punto “B” que pertenece a la curva, tiene como coordenadas que pertenece a la curva, tiene como coordenadas  

′′





′′

;;

(1) (1)  

′′



  

′′



  





′′

++



⟶⟶

 



















 ++

′′

⟶⟶

i) i) ii) ii)













 → 2

→ 2



  

  















 







  









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



 











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



 





 



  

11

++

  

11





    ⟶⟶

   

11



 

∆∆

   





   

áá

  





22 ++ 2233



(13)

++ ∑∑



 → 

 → 

11

((



))  



((++



))+ + 



22  





  ((



))((



)(

)(



) (+

) (+



))+ (+ (



))22  





  

33   2233 



 88++7733







  

33 22





++7733







 2

 2



22



Aplicación de la ecuación diferencial de la línea estática Aplicación de la ecuación diferencial de la línea estática



Sección 1

Sección 1

 –  – 

11





22(())((33))





   

 ;;   3322













 3322



 







Sección 2

Sección 2

 –  – 

22

 

≤≤



≤≤

  

≤≤



≤≤

  





22







 2233



22







338822









(14)

Donde Donde

Ordenada:

Ordenada:

CONDICIÓN DE BORDE:

CONDICIÓN DE BORDE:

  →

  →



  →→  → → 

 

  22  → →   →→ ::

 





22







  2233

 













 



22







3388 22









 





22

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









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



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







22



++





22











 





22

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









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













22



++





22







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

 





22

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



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







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

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

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

++







 





22









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















++









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





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





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





 





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





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

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

22









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



++88

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











 



  







22

 









22 



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







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



  22

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





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





   





22

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



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

22 



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

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 



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



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







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



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22++





 

  ++

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





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

 





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

 



33++ 





22 22









33 ++88









22++







++





(15)

 





22





  

  



22 



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



 



 ++3322











+ + 





++





 





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



  

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22 









22

 



++





 ++++





 





22





  

 



22 33





 ++++







 3322





 

 77

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3322

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







22 ++77

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

22 ++33

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

 





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

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



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



 





 



2+39

2+39

22 





 



232322





 



77





; PERO:

; PERO:

 

 





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



 



33 ++ 33

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



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





++ 33







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8+2

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

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



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









33++99  ++323233++22

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

++





  











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+2888+23

33

++22





++





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



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

++22

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

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

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

++

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  88

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

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

++





 





→→

  

//





   

//



ℎℎ



(16)





 ⟶⟶ 

  

::

88



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22



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

++





88





77

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





 



33 7

7





 

→→







∶∶

 

 

 

 7733







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





 



33++33

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

 





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







++77





33







 

 

 

 7733







 



22+93+

+93+++77





33







 







 

 77338822++7733

 







33



7+7222

7+7222

 







33



9

9

 

→→





  

 

 



 







3232





++3322





32

32





++





++77







 

 

 



 



 3232+232++

+232++77







 

 

 



 



 3232+8+

+8+77







 

 

 



 



 32+

32+

 ++77







(17)

CONDICIONES DE FRONTERA O DE BORDE

CONDICIONES DE FRONTERA O DE BORDE

Apoyo

Apoyo móvil

móvil

Apoyo

Apoyo fijo

fijo

Apoyo

Apoyo Empotrado

Empotrado

























 

 

 

88

 



22 ++77







 

 

 



 



 32+

32+

 ++77







 







 

2+7

2+7

 

(18)

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

EJEMPLO 01:

EJEMPLO 01:

Calcular el giro y la Calcular el giro y la flecha en el extremo libre de la viga mostrada.flecha en el extremo libre de la viga mostrada.

1)

1) Trabajando por la derechaTrabajando por la derecha

2)

2) DeDe derivada segunda de “y” con respecto a derivada segunda de “y” con respecto a “x”“x”

Giros

Giros

  HorarioHorario

= (-)

= (-)

  AntihorarioAntihorario

= (+)

= (+)

 

























22















22

MEI

MEI





  



 



  









 



  





22

   







 



  





22

  

++









  









++



11





++





(19)

3)

3) Cálculo de la constante de integración: de acuerdo a la condiciónCálculo de la constante de integración: de acuerdo a la condición de frontera. de frontera. En apoyo “ En apoyo “

  

””

En (2)

En (2)

4)

4) Sustituyendo las constantes en (1) y (2) se tiene:Sustituyendo las constantes en (1) y (2) se tiene:

5) 5)

5.1)

5.1)

Giro en “B”:Giro en “B”: En (1) En (1)  



 



δ δ















 ++



11







 ++



11

 

  ⟶⟶











22 





 +

+





EIEIdd

  

WW

 



  





 





 ……





EIy W

EIy W





  





22 









++WW





22 ……





Ecuacion del giro

Ecuacion del giro

Deformada = línea elástica.

Deformada = línea elástica.

 





⟶⟶

  





→→

















(20)

5.2)

5.2)

Flecha en “B”:Flecha en “B”: En (2)

En (2)

Ejemplo (2)

Ejemplo (2)

determinar la deflexión máxima de la viga mostrada.determinar la deflexión máxima de la viga mostrada.

1)

1) Trabajando por la izquierda:Trabajando por la izquierda: 1.1) 1.1) 1.2) 1.2) 2) 2) 2.1) 2.1)  



     





⟶ ⟶ yy

δδ  













 ++





22

≤≤



≤≤

  

≤≤



≤≤

  



   















≤≤



≤≤



⟶⟶

MEI

MEI



22

  

22

EIEI





  





    

(21)

2.2) 2.2)

3)

3) Cálculo de las constantes de integración de acuerdo a Cálculo de las constantes de integración de acuerdo a las condicioneslas condiciones de frontera. de frontera. Para Para Sustituyendo: Sustituyendo:  

))

 

))

 

))

 

))

 

≤≤



≤≤



⟶⟶

MEI

MEI



22

  

22

EIEI





  





    















 

  ∶∶





 





∶∶





 



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∶ ∶ 

 



    



     

  ⟶⟶



 ⇝ 2

 ⇝ 2

++

++





⟶⟶

……





 





⟶⟶



 ⇝ 

 ⇝ 







 





 ++cc





++





⟶⟶

……





 





⟶⟶







⇝⇝ 22





     



 ++cc

11



++















+c

+c



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

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……





 



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⟶⟶

  



   

⇝⇝







33

 



22 ++cc

11







22

+c

+c



⟶⟶

……



(22)

Resolviendo simultáneamente el sistema: Resolviendo simultáneamente el sistema:

De De

Resumido: Resumido:

4)

4) Ecuaciones finales de las dEcuaciones finales de las deformaciones Angulares y linealeseformaciones Angulares y lineales 4.1)

4.1)

4.2) 4.2)

5)

5)

Deflexión Máxima (

Deflexión Máxima (

 á

 á

))



















 





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11



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 





Nuevo resumen Nuevo resumen





 ⟶ ⟶ cc







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





 



cc

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cc

11





 





 







   



     



22 ++





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



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







 



    

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









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







 

≤≤

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

……





……





   



 



22









   



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



22 ++











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







 

















   









 ++





 















……





……





 







   

  ⟶⟶







áá









22

++















(23)























 



22

    

















33

……









 ⇝ ⇝ 





 











 





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



33   













33 ++







  

 

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







33 























 











33   













33 







  

 











33 























 









33   













33 33











 









33   













33 22

 





33





 









33   













33

(24)

Ejemplo (3):

Ejemplo (3):

En la viga mostrada, calcular el En la viga mostrada, calcular el ángulo de giro de la ángulo de giro de la sección sobresección sobre el apoyo A.

el apoyo A.

Solución tipo A

Solución tipo A

1. 1. Conocemos:Conocemos: 2. 2. 2.1 2.1 2.2 2.2







    

++





 

++







++



((

 

))



 

++



((

 

))





       

++

  







 

++

 









…

…

   



    

++

 



33





++



11

 

++





33





++



11





…2

…2

(25)

2.3 2.3

3) Cálculo de las constantes de integración: de

3) Cálculo de las constantes de integración: de acuerdo a condiciones deacuerdo a condiciones de frontera:

frontera:

Resolviendo simultáneamente Resolviendo simultáneamente

Sustituyendo en (3) el valor de los constantes tendremos: Sustituyendo en (3) el valor de los constantes tendremos:

(I) ecuación final de la

(I) ecuación final de la

deformación Angular 

deformación Angular 

 

22 →→



  →→



    ∴∴







 

 →→



  →→



   

∴∴







 

 →→







→→



    ∴ ∴ 





33



11





33

++

33



 



  



  



  



  





 



2ℓ2ℓ



++



11



++





…3

…3

…

…

 

  →→





 

  →→





 





→→





 





→→

  



 

 →→







→→

  

    ∴ ∴ 

 







11





22 ++





(26)

4)

4) Calculo de giro en “A”Calculo de giro en “A”

SOLUCIÓN TIPO B

SOLUCIÓN TIPO B

 

::



  →→

  



   

  ++





22

(27)

Ecuación diferencial de la elástica: Ecuación diferencial de la elástica:

Condiciones de frontera Condiciones de frontera  

  

  

++ 



22









 

  

  

++



((

 

))



 

33



   

  

++





22





……





 







  



  

  

++

 



22





 



  





  

++

 



22





 



  





  



22 ++ 22

 



 



 ++



11

……





……





……





……





……





 





  →→





 









→→

  

















→→





 

  ⟶⟶



 



∶∶





+++

+++



⟶⟶

 





⟶⟶



 



∶∶







++ 33





++



11



++





⟶⟶

(28)

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones tendremos: Resolviendo simultáneamente las ecuaciones tendremos:

Remplazando las

Remplazando las expresiones expresiones anteriores en anteriores en (II) (II) tendremos:tendremos:

Ecuación fina

Ecuación final de l de las las deformacionesdeformaciones angulares o giros.

angulares o giros.

Ordenando

Ordenando y y simplificando:simplificando:

Cálculo

Cálculo del del giro giro en en A:A: Para Para

Rpta

Rpta

 





⟶⟶

  

    ⟶⟶







::







22 ++ 





++



11

⟶⟶

 

    ⟶⟶

  

∕∕



==



   







22

Figure

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Referencias

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Related subjects : curva elástica