Unidad 1 Sucesiones y Sumatorias

(1)

INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN :Si en una suma se conocen los sumandos, esta se puede abreviar. Se tiene así:Si en una suma se conocen los sumandos, esta se puede abreviar. Se tiene así una

una SumatoriaSumatoria, , para ello para ello se se usa una usa una letra mayletra mayúscula del úscula del alfabeto griego alfabeto griego , , SIGMA SIGMA :: ΣΣ

DESARROLLO

Definición: Si a cada número natural, le asignamos un único real por medio de una “ley de Definición: Si a cada número natural, le asignamos un único real por medio de una “ley de

formaci

formación”, se tiene una sucón”, se tiene una sucesión. esión. El real asigEl real asignado lo denotarnado lo denotaremos por emos por aann,, queque

indica el lugar que ocupa el término en la sucesión. indica el lugar que ocupa el término en la sucesión. Ejemplo

Ejemplo 1: 1: EncuentreEncuentre aa1 ,1 , aa3 ,3 , aa100 ,100 , aa1000 ,1000 , aan-1n-1,, en en la la siguiente siguiente sucesión sucesión : : aann ==   11++ 11

   _n_n  __  n n So

Soluclucióión n ::

aa11 == 11 11 1 1 1 1

+









_



= 2= 2 aa33 == 11 11 3 3 22 33770033 3 3 + +        __  ≈≈ ,, aa100100== 11 11 10 1000 22 77004488 100 100 + +        __  ≈≈ ,, aa10001000 == 11 11 1000 1000 22 77116699 1000 1000 + +        __  ≈≈ ,, a an-1n-1== 11 1 1 1 1 1 1 + + ₋₋        __  − − n n n n Obs

Observaervacióción: n: A mA mediedida qda queue nn “crece”,“crece”, aann se “acse “acercerca” a un a” a un núnúmemero que no suro que no supepera a 2.72ra a 2.72

denominado

ee

debido a la inicial del apellido de debido a la inicial del apellido de quien lo descubrió, y constituye la quien lo descubrió, y constituye la base de losbase de los logaritmos naturales y que se designan por

logaritmos naturales y que se designan por ln x ,ln x , es decir :es decir : LLoog g ee x x ₌₌llnn xx , , donde donde ::

ee

≈≈ 2,718281828. 2,718281828. Ejemplo 2: Ejemplo 2: aann == 1 1 1 1 ( ( nn )!)!

−

encuentreencuentre aa33,, aa5 5 ,, aan+1n+1donde n! se llamadonde n! se llama

Número Factorial y se define del siguiente modo :

n! = 1

⋅⋅

22

⋅⋅

33

⋅⋅

44

⋅⋅

... n

Observación : Observación : 0! = 10! = 1 1! = 1 1! = 1 2 ! = 2 2 ! = 2 3 ! = 6 3 ! = 6 4 ! = 24 4 ! = 24 a a33 == 1 1 3 3 11 1 1 2 2 1 1 1 1 22 1 1 2 2 ((

−

))!!

=

!!

=

⋅⋅

=

a a5 5 == 1 1 5 5 11 1 1 4 4 1 1 2 244 ( ( −− ))! ! = = !! == a a == 11 == 11

(2)

BIOMATEMATICAS I

BIOMATEMATICAS I LICENCIATURA EN LICENCIATURA EN BIOTECNOLOGIABIOTECNOLOGIA

Definición: La suma de los n primeros

Definición: La suma de los n primeros términos de una sucesión, se denomina términos de una sucesión, se denomina sumatoria.sumatoria. Si

Si aann es una sucesión :es una sucesión : aak k aa aa aa aa k k n n n n

=

= +

+ +

+

= =

∑

1 1 1 1 22 33 ... Note que k varía de

Note que k varía de 11 aa nn

Ejemplo 2: Ejemplo 2: a a n n n n == − − 1 1 1 1 ( ( )!)! 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 11 1 1 3 3 11 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 11 11 1 1 2 2 22 55 1 1 3 3 (( ))!! (( ))!! (( ))!! (( ))!! !! !! !! ,, k k k k

−−

==

−−

++

−−

++

−−

=

= +

+

=

= +

+ +

+ ==

==

∑

1 1 1 1 11 11 1 1 2 2 1 1 6 6 1 1 24 24 1 1 12 1200 1 1 72 7200 2 2 7718180505 1 1 7 7 (( ))!! ,, k k k k

−

=

= +

+ +

+

=

= =

∑

Como se estudiará en cursos superiores, esta suma también se acerca al número

ee

, a medida, a medida que mayor es el número de sumandos.

que mayor es el número de sumandos. Ejemplo 3 : Ejemplo 3 :

∑

k k ₌₌11 ∞ ∞ − −11_k k 11_⋅_⋅ 44 2k 2k ₋₋11 = = 4 -4 -4 4 3 3 ++ 4 4 5 5 --4 4 7 7 ++ 4 4 9 9 --4 4 9 9 + + . . .. . . == π π Sumatorias especiales Sumatorias especiales 1°) Suma de los

1°) Suma de los nn primeros naturales :primeros naturales : 11 22 33 44

1 1

+

+ + + +

+ + + + =

+ =

= =

∑

.. .... n n k k k k n n

Veamos el argumento que permitió encontrar una fórmula para esto, por ejemplo, la suma de Veamos el argumento que permitió encontrar una fórmula para esto, por ejemplo, la suma de los primeros mil números naturales :

los primeros mil números naturales : S = S = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 3 + 4 + 4 +...+ +...+ 997 + 997 + 998 + 998 + 999 999 + + 1.0001.000 S = 1.000 + 999 + 998 + 997+...+ 4 +3 +2 +1 S = 1.000 + 999 + 998 + 997+...+ 4 +3 +2 +1 2S=1.001+1.001+1.001+1.001+...+1.001+1.001+1.001+1.001 2S=1.001+1.001+1.001+1.001+...+1.001+1.001+1.001+1.001 2 S = 1.000 veces 1.001 = 1.000 2 S = 1.000 veces 1.001 = 1.000 ••1.0011.001 S S

==

1 0

1 00 0

0 0 1 0

⋅⋅

1 00 1

0 1

22 ..

..

o sea o sea k k k k ==

∑∑

=

⋅⋅

==

1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 11 0 0 0 1 0 0 1 2 2 5 5 00 0055 00 .. .. .. Se tiene que: Se tiene que: 2 2 )) 1 1 n n (( n n kk n n 1 1 kk

++

==

⋅⋅

∑∑

==

Profesor Cátedra Rolando Muñoz G.

(3)

2°) 2°) 6 6 )) 1 1 n n 2 2 (( )) 1 1 n n (( n n n n ... ... 3 3 2 2 1 1 kk 22 22 22 22 n n 1 1 kk 2 2 ₌₌ ₊₊ ₊₊ ₊₊ ₊₊ ₌₌

⋅⋅

++

⋅⋅

++

∑

==

Suma de los cubos de los n primeros naturales: Suma de los cubos de los n primeros naturales:

3°) 3°) 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 n n 1 1 kk 3 3 2 2 )) 1 1 n n (( n n n n .. .... 3 3 2 2 1 1 kk

 

 

 



 

 

++

==

++

==

⋅⋅

∑∑

== Propi

Propiedadeedades s de de las sumatorias :las sumatorias : P P11)) 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 k k n n n n vveececess n n = =

∑

= + +

=

+ + +



+ + =

.... ..

+ =

, o sea :, o sea : 11 1 1 k k n n n n = =

∑

=

P

P22) Sea) Sea c c un número fijo y aun número fijo y ann una sucesiónuna sucesión

c c a ⋅ = ⋅ a _k_k = ⋅ c a c ⋅ + a + ⋅ c a c ⋅ + a + ⋅ c c a ⋅ + a + + + ⋅⋅c ac a_n_n

∑

1 1 2 2 33 ...

=

= ⋅

⋅ +

+ + +

+

=

= ⋅⋅ ∑

∑

c c aa aa aa aa c c aa n n n n (( ₁₁ ₂₂ ₃₃ ... )) ⇒ ⇒ c c a a c c aa n n nn ⋅ ⋅ = = ⋅⋅ ∑∑

∑

P P33))

∑

( ( aakk + + = bbkk) ( ) = + + ( aa₁₁ + + + bb₁₁) ( ) ( aa₂₂ + + bb₂₂) ) ( + + ( aa₃₃ + + bb₃₃) ... ) + + +. ( + +( aann bbnn)) = = + + + + + + + + + + + + + + + + ++ = =

∑

∑ ∑

++

∑

( ( aa aa aa ... . ) aa ) ( ( bb bb bb ... . ))bb a a bb n n nn k k k k 1 1 22 33 11 22 33 ⇒ ⇒ ∑∑((aa_k_k ++bb_k_k))==∑∑aa_k_k ++∑∑bb_k_k Ejemplo : Ejemplo :

∑

== ==

++

−−

==

−−

2020 1 1 k k 2 2 20 20 1 1 k k 2 2 ₍₍_k_k ₆₆_k_k ₉₉₎₎ )) 3 3 k k ((

∑

= = = = ==

+

−

=

2020 1 1 k k 20 20 1 1 k k 20 20 1 1 k k 2 2 1 1 9 9 k k 6 6 k k = (20·21·41):6 = (20·21·41):6 - 3·( - 3·( 20·21) + 20·21) + 9·209·20 = = 2.870 2.870 – – 420 420 + + 180 180 = = 2.6802.680 P P44)) ((aa aa )) ((aa22 aa11)) ((aa33 aa22)) ... ((aann 11 aann)) n n 1 1 kk kk 1 1 kk

−−

==

−−

++

−−

++

−−

== ++

∑

=

a a _n_n₊₊

−

aa 1 1 11 luego :luego :

∑

= = ++

=

−

n n 1 1 k k k k 1 1 k k aa )) a a (( _aa_n+1_n+1

--

_aa₁₁

Esta propiedad es conocida con el nombre de

Esta propiedad es conocida con el nombre de TELESCOPICA.TELESCOPICA.

E Ejjeempmpllo 1 o 1 ::            −− ++            −− ++            −− ++            −− ++            −− ==            ₋₋ ++

∑

== 55 1 1 6 6 1 1 4 4 1 1 5 5 1 1 3 3 1 1 4 4 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 1 1 2 2 1 1 k k 1 1 1 1 k k 1 1 5 5 1 1 kk = =   −−   11   __  == −− 6 6 11 5 5 6 6

(4)

BIOMATEMATICAS I

BIOMATEMATICAS I LICENCIATURA EN LICENCIATURA EN BIOTECNOLOGIABIOTECNOLOGIA

E Ejjeempmpllo 2 o 2 :: 500 500 0 0 500 500 )) 1 1 n n n n (( n n 1 1 k k == −− == −− −−

∑

== EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS RESUELTOS

Verifique las sumas siguientes: Verifique las sumas siguientes:

1) 1) tt 131355..454500 600 600 300 300 k k

=

∑

= = 2) 2) 44kk((kk 11)) nn ((nn 11)) ((nn 22)) ((nn 11)) n n 300 300 k k 2 2

₋

₌

⋅⋅

₊

⋅⋅

₊

⋅⋅

₋

∑

= = Solución : Solución : 1) 1)

∑

= = = = = =

−

=

292999 1 1 k k 6 60000 1 1 k k 6 60000 30 3000 k k tt tt

tt _{(esto es necesario porque las formulas son válidas a partir de 1).}_{(esto es necesario porque las formulas son válidas a partir de 1).}

154 154 .. 135 135 2 2 300 300 299 299 2 2 601 601 600 600 == −− ==

⋅⋅

2) 2)

∑

== ==

−−

==

−−

nn 1 1 k k 3 3 n n 1 1 k k 2 2 ₁₁₎₎ ₍₍₄₄_k_k ₄₄_k_k₎₎ k k (( k k 4 4













₋₋

==

∑

∑ ∑

∑

= = == n n 1 1 k k n n 1 1 k k 3 3 k k k k 4 4 )) 1 1 n n (( )) 2 2 n n (( )) 1 1 2 2 2 2 )) 1 1 2 2 1 1 2 2 )) 1 1 n n (( n n 2 2 )) 1 1 n n (( n n 4 4 2 2 )) 1 1 2 2 )) 1 1 4 4 n n (( n n n n n n n n (( n n n n (( n n n n (( n n 2 2 2 2 − − + + ⋅⋅ + +         + + = =     ++ ₋₋ + + = =         ₊₊              ++ = =

⋅⋅

=

−

+

⋅⋅

−−

(5)

EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS I.

I. Calcula, usando propiedades de sumatoriaCalcula, usando propiedades de sumatoria

1)

1) La suma de los naturales comprendidos entre 1.000 y 2.000, ambos incluidos.La suma de los naturales comprendidos entre 1.000 y 2.000, ambos incluidos. 2)

2) La suma de los 80 primeros naturales pares.La suma de los 80 primeros naturales pares. 3)

3) El número de los primeros impares positivos que se deben sumar para obtener 9.409El número de los primeros impares positivos que se deben sumar para obtener 9.409 4)

4) La suma de los números positivos múltiplos de 5, menores a 300.La suma de los números positivos múltiplos de 5, menores a 300.

II.- Pruebe las siguientes identida II.- Pruebe las siguientes identidades :des :

1) 1) ( ( )) 6 6 )) 1 1 n n 2 2 )( )( 1 1 n n (( n n 1 1 k k n n 1 1 k k 2 2

−−

==

−−

∑

== 2) 2) ( ( tt 11)) 323288..353500 100 100 1 1 tt 2 2

==

−−

∑

== (usando lo anterior) (usando lo anterior) 3) 3)

( (

))

nn((nn 11)()(nn 33nn 44)) 4 4 1 1 1 1 k k 22 n n 1 1 k k 3 3

₋₋

₌₌

₋₋

₊₊

∑

== 4) 4)

( (

22 22

))

22nn 11 n n 1 1 1 1 kk kk

₋₋

₌₌

₋₋

∑

−− 5) 5) ₍₍

−

₎₎ ++

= −

= =

⋅⋅

∑

11 11 550000 1 1 1000 1000 k k t t k k 6) 6) 25 2522 95 95 2 2 kk 5 5 3 3 kk 5 5 25 25 7 7 kk

−−

==

 

 

 



 

 

++

−−

++

∑

== 7) 7)

∑

+

n n 2 2 n n 2 2 3 3_n_n₍₍_n_n ₁₁₎₎ = = k k 8) 8)

∑

= =

−

n n 1 1 ii 2 2 2) 2) + + 1)(n+)(n 1)(n+)(n --n(n n(n = = )) 1 1 ii (( ii 4 4

(6)

BIOMATEMATICAS

BIOMATEMATICAS I I LICENCIATURA LICENCIATURA ENEN BIOTECNOLOGIA

BIOTECNOLOGIA

III.

III. - Se define el número combinatorio- Se define el número combinatorio

nn

k k







 

 

 

que se lee “que se lee “n sobre k n sobre k ”, del siguiente modo :”, del siguiente modo :

!!kk) ) !!kk

nn((

!!nn

kk

nn

−−

==









Calcule las siguientes sumas : Calcule las siguientes sumas :

1) 1)

∑

_⋅

6 6 1 1 !! k k k k ₂₎₂₎

∑∑











66

11 kk

55

(7)

3) 3)

∑∑













−−

⋅⋅⋅⋅

66

11 kk

kk

66 kk))11((

4)4)

∑∑

















44

11 kk

44

11 kk

IV

IV.- .- Si eSi en la sun la sucecesisión fón fininititaa

{ { }}

aann nn₌₌11,,22,...,,...,88 , , sse e ttiienene e qquuee ((aa )) ==2525 yy aa 1212

8 8 1 1 ii 8 8 1 1 i= i= ii 2 2 ii ==

∑

== ,, determine k de manera que

determine k de manera que ((44 22 ))22 11 88 a a k k ii ii −− ==

∑

= = 4400

SOLUCION EJERCICIOS PROPUESTOS

SOLUCION EJERCICIOS PROPUESTOS I.

I. 1)1) 1.501.500 1.501.500 2) 2) 6.480 6.480 3)3) 138 138

4)

4) 8.850 8.850

II.

II. (Prueba tú mismo las identidades dadas)(Prueba tú mismo las identidades dadas) III.

III. 1)1) 55..003399 22) ) 3322 33) ) 2255 44) ) 332 2

IV.