analisis dinamico de un reactor CSTR con codigo en matlab de la resolucion de las ecuaciones diferenciales

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(1)

An´

alisis din´

amico de un CSTR

Laboratorio de Din´

amica y Control

Primavera 2008

exico D.F., 20 de febrero de 2008

Alumnos: Francisco Jos´e Guerra Mill´an fjguerra@prodigy.net.mx Adelwart Struck Garza adelwartsg@hotmail.com Asesor: M.C. Javier L´opez Rubio

javier.lopez@uia.mx

Resumen

En el presente reporte se estudia el comportamiento din´amico de un reactor CSTR. El modelo utilizado [1] presenta tres estados estacionarios y permite realizar un an´alisis tanto de la conducta lineal, como la no lineal del sistema. Asimismo se obuvieron el diagrama de fase y el de bifuraci´on que permiten modelar los puntos de equilibrio y analizar su estabilidad. Realizando variaciones en los par´ametros del sistema se observaron las diferentes respuestas y corrobor´o la estabilidad de algunos estados esta-cionarios. Un an´alisis de sensibilidad permite determinar los par´ametros que mayor influencia tienen en el sistema.

(2)

´

Indice

1. Introducci´on 3

2. Definici´on del Problema 3

3. Actividades, Resultados y An´alisis 4

4. Conclusiones 22

A. C´odigos de Matlab utilizados 24

A.1. Run Estados Estacionarios . . . 24

A.2. Function Estados Estacionarios . . . 24

A.3. Diagrama de Bifurcaci´on . . . 25

A.4. Linealizaci´on . . . 26

A.5. Archivo sys de Simulink . . . 28

A.6. Gr´aficas inciso 4. . . 29

A.7. Gr´aficas inciso 13. . . 36

(3)

1.

Introducci´

on

El modelo matem´atico para un CSTR descrito por [1] presenta tres esta-dos estacionarios, de los cuales, el de menor conversi´on es estable. El an´alisis din´amico permite observar la sensibilidad del sistema respecto a los diferentes par´ametros que se analizan as´ı como la estabilidad de los estados estacionarios. La comparaci´on gr´afica de los modelos lineal y no lineal permite determinar si la aproximaci´on lineal se ajusta correctamente al comportamiento esperado.

2.

Definici´

on del Problema

El modelo matem´atico de un CSTR descrito por Shacham y col.[1] est´a dado por: VdCA dt = Fo(CAo− CA) − V kCA (2.1) ρCpVdT dt = ρCpFo(To− T ) − λV kCA− U A (T − Tj) (2.2) ρjCpjVj dTj dt = ρjCpjFj(Tjo− Tj) + U A (T − Tj) (2.3) (2.4) donde: k = α exp −E RT  (2.5) El sistema presenta tres estados estacionarios bajo los valores nominales de operaci´on que se muestran a continuaci´on:

Tabla 2.1: Informaci´on de dise˜no y operaci´on para el reactor CSTR. Fo = 40 ft3/h λ = -30000 BTU/mol CAo = 0.50 mol/ft3 A = 250 ft2 V = 48 ft3 T jo = 530 R Fj = 49.9 ft3/h To = 530 R R = 1.99 BTU/mol-R Cp = 0.75 BTU/lb-R Vj = 3.85 ft3 Cpj = 1.0 BTU/lb-R α = 7.08E10 1/h ρ = 50 lb/ft3 E = 30000 BTU/mol ρj = 62.3 lb/ft3 U = 150 BTU/h-ft2-R

(4)

3.

Actividades, Resultados y An´

alisis

An´

alisis de la conducta no lineal del sistema

1. Obtener los tres estados estacionarios presentes y determinar su estabilidad.

Los estados estacionarios (EE) se obtuvieron con los c´odigos de Matlab que se muestran en los Ap´endices A.1 y A.2. Los resultados obtenidos se muestran en la Tabla 3.1.

Tabla 3.1: Estados Estacionarios.

CA T Tj mol ft3  [R] [R] EE1 0.4739 0.2451 0.0591 EE2 537.1641 599.9909 651.0596 EE3 536.6157 594.6328 641.792

Para determinar la estabilidad de los estados estacionarios, es necesario ob-tener los valores propios de la matriz A. Si la parte real de todos los valores propios es estrictamente negativa, el estado es estable. De lo contrario, el estado estacionario en cuesti´on ser´a inestable. Los eigenvalores obtenidos se muestran en la Tabla 3.2.

Tabla 3.2: Valores propios de la matriz A para los estados estacionarios. Estado Estacionario 1 Estado Estacionario 2 Estado Estacionario 3

-188.7001 -188.0728 -187.72

-1.2667 3.0497 0.07 - 0.0275i -0.9757 -0.5321 0.07 + 0.0275i

Dado que la parte real de todos los valores propios para el EE1 es estric-tamente negativa, el estado es estable. Dado que la parte real de uno de los valores propios para el EE2 es positiva, el estado es inestable. Dado que dos de los valores propios para el EE3 son positivos, el estado es inestable. Cabe destacar que dos de los valores propios del EE3 son muy cercanos a cero, lo que indica la presencia de un punto de Hoff. Esto se analizar´a a detalle a lo largo del reporte.

2. Obtener el diagrama de fase entre CA y T .

(5)

des-crito por [1], correctamente despejado, se obtiene el diagrama que se muestra en la Figura 3.1.

Figura 3.1: Diagrama de Fase entre CAy T .

A partir del diagrama que se muestra en la Figura 3.1 se obtienen los pun-tos de equilibrio. Los estados estacionarios estn indicados con un punto en el Diagrama de Fase.

Si se observa detalladamente la Figura 3.1 es posible notar que los puntos de equilibrio encontrados se localizan donde convergen muchas l´ıneas. El punto que se encuentra en (0.0591,651.0596) corresponde al punto de Hoff.

Los valores propios de cada punto de equilibrio se muestran en la Figura 3.2. De esta forma se confirma que hay tres estados estacionarios de los cuales uno es estable y los otros dos inestables.

3. Obtener el diagrama de continuaci´on de la temperatura (T ) em-pleando el ujo del medio de enfriamiento (Fj) como par´ametro de

bifurcaci´on.

El diagrama de bifurcaci´on fue obtenido mediante el programa de Matlab que se muestra en el Ap´endice A.3 y se muestra en la Figura 3.3.

(6)

Figura 3.2: Valores propios de los puntos de equilibrio.

(7)

El diagrama de bifurcaci´on obtenido presenta hist´eresis. Los tres cambios de pendiente que se observan, indica la presencia de tres estados estacionarios. Los tres estados estacionarios del sistema se muestran como puntos sobre la curva. El estado estacionario estable es el de menor conversi´on ya que presenta una pendiente ligeramente negativa, y se localiza en la parte inferior de la gr´afica. Los otros dos estados estacionarios son inestables, el segundo se encuentra en la parte de la gr´afica con pendiente positiva y el tercero en la parte superior en el tercer cambio de pendiente. El punto correspondiente al EE3 es un punto de Hoff, pues si bien estrictamente se considera inestable debido al criterio aplicable a los valores propios, el sistema din´amico oscilar´a alrededor del estado estacionario. 4. Tomando como punto nominal de operaci´on el estado estacionario de menor conversi´on obtener la respuesta din´amica del sistema no lineal para los siguientes casos:

(a) los valores iniciales de CA, T y Tj corresponden al estado

estacio-nario

(b) el valor inicial de CA es ±10 % el valor nominal

(c) el valor inicial de Fj es ±15 % el valor nominal

(d) el valor inicial de Fo es ±15 % el valor nominal.

Mostrar gr´acamente las respuestas din´amicas de los estados CA y T .

En las dos primeras gr´acas unir los resultados de los incisos 4a y 4b y en otras dos gr´acas los resultados de los incisos 4a, 4c y 4d.

El estado estacionario de menor conversi´on (EE1) es cuando CA=0.4739molft3,

T =537.1641R y Tj=536.6157R. En las Figuras 3.4 - 3.7 se muestran los

resul-tados obtenidos.

En la Figura 3.4 se observa la respuesta din´amica para CA con variaciones

de ±10 % para valores de CA. Cabe mencionar que incluso con las variaciones

mencionadas el sistema tiende al estado estacionario, situaci´on que es alcanzada tr´as aproximadamente 5 horas.

En la Figura 3.5 se observa la respuesta din´amica para T con variaciones de ±10 % para valores de CA. Si bien al inicio la respuesta tiende a alejarse del

estado estacionario, incluso con las variaciones mencionadas el sistema tiende al estado estacionario, situaci´on que es alcanzada tr´as aproximadamente 7 horas. En la Figura 3.6 se observa la respuesta din´amica para CAcon variaciones de

±15 % para valores de Fjy Fo. Estas variaciones conducen al sistema a un nuevo

estado estacionario muy similar al original e igualmente estable. Si se observa minuciosamente la escala, se puede concluir que el sistema pr´acticamente no se mueve del estado estacionario. Con base en los resultados es posible afirmar que la concentraci´on CA es un poco m´as sensible a Fo, puesto que una variaci´on de

(8)

Figura 3.4: Respuesta din´amica no lineal de CA para el EE1.

(9)

Figura 3.6: Respuesta din´amica no lineal de CA para el EE1.

(10)

En la Figura 3.7 se observa la respuesta din´amica para T con variaciones de ±15 % para valores de Fjy Fo. Estas variaciones conducen al sistema a un nuevo

estado estacionario muy similar al original e igualmente estable. Si se observa minuciosamente la escala, se puede concluir que el sistema pr´acticamente no se mueve del estado estacionario. Con base en los resultados es posible afirmar que la temperatura T es un poco m´as sensible a Fj, puesto que una variaci´on de la

misma magnitud produce mayores cambios que Fo.

Las respuestas discutidas anteriormente corresponden a un estado estaciona-rio estable. Repitiendo el inciso, con el estado estacionaestaciona-rio de mayor conversi´on, se observa el comportamiento din´amico para un estado estacionario inestable.

El estado estacionario de mayor conversi´on (EE3) es cuando CA=0.0591molft3,

T =651.0596R y Tj=641.792R. Este estado estacionario corresponde al punto

de Hoff y con base en los resultados se podr´a corroborar lo mencionado con anterioridad respecto a este punto. Los resultados obtenidos se muestran en las Figuras 3.8 - 3.11.

Figura 3.8: Respuesta din´amica no lineal de CA para el EE3.

Como se ha mencionado con anterioridad, un punto de Hoff, es aqu´el, en el que al menos uno de los valores propios sea igual a 0. Si bien los valores propios del EE3 no son iguales a 0, se puede considerar como tal, al presentar valores muy cercanos.

(11)

Figura 3.9: Respuesta din´amica no lineal de T para el EE3.

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Figura 3.11: Respuesta din´amica no lineal de T para el EE3.

±10 % para valores de CA. La gr´afica muestra c´omo el perfil de concentraciones

oscila alrededor del estado estacionario. Esto se conoce como un punto de Hoff. En la Figura 3.9 se observa la respuesta din´amica para T con variaciones de ±10 % para valores de CA. La gr´afica muestra c´omo el perfil de temperatura

oscila alrededor del estado estacionario. Esto se conoce como un punto de Hoff. En la Figura 3.10 se observa la respuesta din´amica para CA con variaciones

de ±15 % para valores de Fj y Fo. Estas variaciones conducen al sistema a un

nuevo estado estacionario diferente al original. Con base en los resultados es posible afirmar que la concentraci´on CA es m´as sensible a variaciones positivas

en Fj y negativas en Fo. Para estos casos la ganancia es positiva.

En la Figura 3.11 se observa la respuesta din´amica para T con variaciones de ±15 % para valores de Fjy Fo. Estas variaciones conducen al sistema a un nuevo

estado estacionario diferente al original, pero igualmente estable. Con base en los resultados es posible afirmar que la concentraci´on CAes m´as sensible a

varia-ciones positivas en Fjy negativas en Fo. Para estos casos la ganancia es negativa.

5. Con base en los resultados obtenidos en el inciso 4 analizar los siguientes puntos:

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Observando las Figuras 3.4 - 3.7 se puede afirmar que se est´a operando en un estado estacionario estable, ya que aunque se observan variaciones con respecto al estado estacionario, ´estas son muy peque˜nas. Con esto se corrobora lo que se hab´ıa mencionado en el inciso 1. respecto a la estabilidad de cada estado estacionario.

Para el caso de la variaci´on en la concentraci´on (Figuras 3.4 y 3.5) es posible observar c´omo despu´es de 5 y 7 horas la concentraci´on CA y la temperatura T

respectivamente, regresan a los valores del estado estacionario. Esto es. En la Figura 3.5 se observa c´omo en un principio, los alores se alejan considerable-mente del valor del estado estacionario, sin embargo, estos vuelven a converger. En las Figuras 3.6 y 3.7 pareciera que los valores obtenidos con modifica-ciones a Fj y Fo, distan del estado estacionario, sin embargo observando

cuida-dosamente la escala se lee que la variaci´on es menor a 0.004molft3 y ligeramente

mayor a 1R para la concentraci´on y temperatura respectivamente. Esto tambi´en prueba que se trabaja en un estado estacionario estable ya que se queda muy pr´oximo a las valores del mismo.

Para el caso de las temperaturas al cambiar las concentraciones se puede observar en la grfica 2 que las temperaturas aumentan en un principio pero a partir de la hora siete vuelven a converger en el valor del estado estacionario. As se vuelve a comprobar que estamos trabajando con un estado estacionario esta-ble. Al modificar los flujos se observa un cambio en la temperatura de nicamente 1 R, al quedarse muy cercano al valor del estado estacionario se comprueba que es un estado estacionario estable.

En las Figuras 3.8 y 3.9 se observa c´omo si se realizan modificaciones a CA,

el perfil de concentraci´on y temperatura oscilan alrededor del estado estaciona-rio. Esto se debe a que el EE3 es un estado estacionario inestable, considerado como punto de Hoff, gracias a la presencia valores igual a cero (o muy cercanos) en los valores propios de la matriz A.

En las Figuras 3.10 y 3.11 se puede observar c´omo una variaci´on en cual-quiera de los flujos Fj y Fo, ya sea positiva o negativa, lleva a valores lejanos al

estado estacionario.

Para el perfil de concentraci´on la m´ınima variaci´on se obtiene variando Foen

un 15 %, mientras que la mayor variaci´on se produce al variar Fjen un 15 %.

Es-ta variaci´on produce un cambio en la concentraci´on de aproximadamente 900 %. En el primer caso, la respuesta es inversa, mientras que en el segundo resulta proporcional.

Para el perfil de temperatura la m´ınima variaci´on se obtiene variando Foen

(14)

Esta variaci´on produce un cambio de aproximadamente -15 %. En el primer caso, la respuesta es proporcional, mientras que en el segundo resulta inversa. (b) la dependencia de CA y T a cambios en Fo y Fj

Como se menciona en el inciso 5. (a) y se observa en la Figura 3.6, un incre-mento en los flujos Fo y Fj se traduce en un incremento de la concentraci´on.

Asimismo se puede observar un mayor cambio en CA cuando se var´ıan los

valo-res de Fo

Para el caso de la temperatura se observa en la Figura 3.7 que un incremento en Fo o Fj se traduce en una disminuci´on de la temperatura y viceversa. La

respuesta es m´as sensible a Fj, pues un incremento de la misma magnitud se

traduce en una variaci´on mayor.

(c) ¿c´omo se relacionan las respuestas din´amicas obtenidas con la in-formaci´on proporcionada por el diagrama de continuaci´on obtenido en el inciso 3?

El diagrama de bifurcaci´on obtenido en el inciso 3. presenta hist´eresis, es decir, es un sistema que puede estar en un determinado n´umero de estados. Cada cambio de pendiente representa un estado diferente. La pendiente ligera-mente negativa indica la presencia de un estado estacionario estable. Es decir, dentro de esa zona, una variaci´on en Fj dar´a como resultado un ligero

incre-mento en T . Sin embargo, la pendiente positiva indica la presencia de un estado inestable. Variaciones en Fj se traducir´an en cambios de magnitud

considera-ble en T . Dentro de la zona de pendiente fuertemente negativa se encuentra lo que se conoce como punto de Hoff. Esto se manifiesta de forma gr´afica en una simulaci´on lineal, como oscilaciones del perfil analizado alrededor del estado es-tacionario.

Este an´alisis corresponde al comportamiento obtenido gr´aficamente para las respuestas din´amicas que se muestran en las Figuras 3.4 - 3.11. Como se ha mencionado, el EE1 es un estado estacionario estable, e incluso las variaciones aplicadas son insuficientes para llevar al sistema a otro estado estacionario. En el caso del EE3 se sabe que es un estado estacionario inestable, que se comporta como punto de Hoff, lo que se hace manifiesto en las Figuras 3.8 y 3.9, donde los perfiles correspondientes oscilan alrededor de los valores del estado estacionario.

(15)

An´

alisis de conducta lineal

Tomando como salida la temperatura (T ) y como entradas el flujo de alimentaci´on (Fo) y el flujo del medio de enfriamiento (Fj):

6. Representar el sistema en t´erminos de notaci´on de espacio de es-tado alrededor del punto nominal de operaci´on (estado estacionario de menor conversi´on).

El estado estacionario de menor conversi´on (EE1) es cuando CA=0.4739molft3,

T =537.1641R, Tj=536.6157 R.

La notaci´on de espacio de estado se define como: d¯x dt = A¯x + B¯u (3.1) ¯ y = C¯x + D¯u (3.2) donde: ¯ x =   CA T Tj   ¯ y = T  ¯ u =  Fo Fj 

Las matrices A, B, C y D para el EE1 se presentan a continuaci´on.

A =   −0.8792 −0.0011 0 36.7077 −20.7578 20.8333 0 156.3445 −169.3055   B =   0.0005 0 −0.1493 0 0 −1.7184   C = 0 1.0000 0  D = 0 0 

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7. Obtener las funciones de transferencia de la respuesta del sistema a lazo abierto con respecto a cada entrada.

Las funciones de transferencia, obtenidas con la funci´on de Matlab SS2TF se muestran a continuaci´on:

T (s) Fo(s) = −0.1493s 2− 25.38s − 18.84 s3+ 190.9s2+ 424.4s + 233.2 (3.3) T (s) Fj(s) = −35.8s − 31.84 s3+ 190.9s2+ 424.4s + 233.2 (3.4) (3.5)

8. Calcular los polos, los ceros, la ganancia en estado estacionario y el orden global de cada respuesta del sistema.

Con ayuda del c´odigo de Matlab presentado en el Ap´endice A.4 se obtienen los siguientes resultados para el EE1.

Polos Los valores obtenidos para los polos se muestran a continuaci´on.

polos =   −188.7001 −1.2667 −0.9757  

Los valores de los tres polos son negativos, lo cual indica como ya se hab´ıa predicho con los eigenvalores, que el estado estacionario es estable. El sistema es estable a lazo abierto.

Ceros Los valores obtenidos para los ceros de la funci´on de transferencia

T (s)

Fo(s) se muestran a continuaci´on.

ceros = 

−169.3055 −0.7455



Los valores obtenidos para los ceros de la funci´on de transferencia FT (s)

j(s) se

muestran a continuaci´on.

ceros =

−0.8792 

Todos los ceros que se obtuvieron son negativos. Por ende, los sistemas son de fase m´ınima, esto decir, no cambian. La primera funci´on de transferencia,

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T (s)

Fo(s), presenta dos ceros, lo que indica que es doblemente inversa o bien que

cambia dos veces de pendiente.

Ganancia en estado estacionario Las ganancias para las funciones de transferencia FT (s)

o(s) y

T (s)

Fj(s) respectivamente se muestran a continuaci´on.

GT (s) Fo(s) = −0.0808 (3.6) GT (s) Fj (s) = −0.1350 (3.7)

Al analizar el valor absoluto de las ganancias, se observa que la mayor, es aquella con respecto al flujo Fj. Esto quiere decir que la entrada que m´as afecta

a la salida es Fj.

´

Ordenes globales El orden global se calcula restando el orden del poli-nomio del numerador al orden del polipoli-nomio del denominador de las funciones de transferencia correspondientes. Los resultados se muestran a continuaci´on.

OT (s) Fo(s) = 3 − 2 = 1 (3.8) OT (s) Fj (s) = 3 − 2 = 1 (3.9)

Ambas funciones son de primer orden.

9. Obtener el diagrama de bloques del sistema lineal en t´erminos de las funciones de transferencia obtenidas en el inciso 7.

El diagrama se muestra en la Figura 3.12.

10. Aproximar la respuesta del sistema no lineal a un sistema de fun-ciones de transferencia de primer orden (puede emplearse el paquete Control Station).

Con ayuda del c´odigo de Matlab que se muestra en el Ap´endice A.4 y utili-zando las funciones PADE y STEP se obtienen los siguientes resultados.

Para el caso de Fose obtienen los resultados de la Figura 3.13. Para el caso

de Fj se obtienen los resultados de la Figura 3.14.

Como se observa en las Figuras 3.13 y 3.14 los ajustes realizados correspon-den de forma bastante precisa a las respuestas originales.

(18)

Figura 3.12: Diagrama de bloques del sistema lineal en Simulink.

Figura 3.13: Aproximaci´on del sistema lineal a una FT de 1er orden para F o.

(19)

Figura 3.14: Aproximaci´on del sistema lineal a una FT de 1er orden para Fj.

Las funciones de transferencia (FT) ajustadas se muestran en las ecuaciones (3.10) y (3.11). T (s) Fo(s) = −0.0810 0.5160 · s + 1e (−0.0384·s) (3.10) T (s) Fj(s) = −0.1348 0.6717 · s + 1e (−0.0256·s) (3.11)

11. Determinar la ganancia y la constante de tiempo de cada respues-ta a lazo abierto.

Con ayuda del c´odigo de Matlab que se presenta en el Ap´endice A.4 se obtiene la ganancia y la constante de tiempo para cada funci´on de transferen-cia. Los resultados se muestran en la Tabla 3.3.

Como se observa en la Tabla 3.3, las ganancias para Fo y Fj son negativas.

No obstante, en magnitud, los valores para Fj son mayores. Con base en esto

se puede afirmar que la temperatura es m´as sensible a cambios en el flujo del refrigerante. La constante de tiempo a lazo abierto es menor para Fo, lo que

indica que si hay perturbaciones en esa entrada, el sistema regresar´a al estado estacionario m´as r´apido que si hay perturbaciones en Fj.

(20)

Tabla 3.3: Ganancia y constante de tiempo para las respuestas de Fo y Fj.

Ganancia Constante de Tiempo

G τ

Fo -0.0810 0.5160

Fj -0.1348 0.6717

12. Obtener el diagrama de bloques del sistema lineal en t´erminos de las funciones de transferencia obtenidas en el inciso 10.

El diagrama se muestra en la Figura 3.15.

Figura 3.15: Diagrama de bloques del sistema lineal en Simulink.

13. Obtener la respuesta din´amica de los sistemas lineales obtenidos en los incisos 9 y 12 para cambios de ±15 % el valor nominal de cada una de las entradas. Mostrar simult´aneamente estas respuestas con las obtenidas empleando el sistema no lineal (incisos 4c y 4d) para los cambios de cada entrada (total de 2 gr´acas). Analizar detalladamente los resultados.

Con ayuda del c´odigo de Matlab que se muestra en el Ap´endice A.7 se obtiene la respuesta din´amica de los sistemas lineales y no lineales. Los resul-tados se muestran en las Figuras 3.16 y 3.17, donde NL se refiere al sistema no lineal, TF la funci´on de transferencia y Ajustado al sistema ajustado.

En las dos gr´aficas anteriores se puede observar que cualquiera de los dos m´etodos lineales, ya sea obteniendo las funciones de transferencia en Matlab o utilizando el programa Control Station, son muy similares al sistema real.

(21)

Figura 3.16: Respuesta din´amica de los sistemas lineales y no lineales.

(22)

en los todos los casos es casi igual ya sea que se aumente el flujo de entrada en un 15 % o que ´este sea disminuido en un 15 %. Sin embargo, analizado de forma minuciosa es posible notar que el perfil no lineal difiere ligeramente de los perfiles de FT y Ajustado. No obstante, gracias a la escala se puede considerar como una desviaci´on despreciable.

En la Figura 3.17 se muestra que nuevamente el sistema lineal difiere ligera-mente de los otros. Para el caso de Fjse puede observar que cuando se disminuye

el flujo de enfriamiento en un 15 % es cuando se obtiene una mayor variaci´on del sistema no lineal con respecto a los otros, sin embargo esta variaci´on es me-nor a medio grado Rankine, con lo cual se puede considerar como una buena aproximaci´on.

4.

Conclusiones

Los diagrams de bifurcaci´on son sumamente ´utiles para tener una idea visual y de forma general sobre el comportamiento del sistema en cuesti´on. Permite de forma r´apida determinar una zona de operaci´on estable y en su caso los puntos de Hoff, que si bien son estados estacionarios estrictamente hablando inestables, bajo ciertas condiciones podr´ıan ser ´utiles, ya que oscilan al rededor del valor del estado estacionario.

El modelo din´amico nos permite visualizar el comportamiento del CSTR y su sensibilidad respecto a ciertos par´ametros. Esto es importante, pues es pr´ acti-camente imposible operar un porceso sin sufrir variaciones en el sistema.

La linealizaci´on del modelo y su ajuste a una funci´on de transferencia de pri-mer orden resultan muy similares, lo que nos permite utilizar el modelo lineal para c´alculos y an´alisis posteriores. Con este modelo m´as sencillo, se esperar´ıa agilizar estos procesos.

Al graficar laas respuestas din´amicas de los modelos lineales y no lineales se corrobora la afirmaci´on respecto a la similitud entre los mismos, factor deter-minante para la aplicaci´on de un mecanismo de control.

La herramienta Matlab resulta sumamente ´util para realizar todo este tipo de simulaciones y facilita c´alculos que hace unos a˜nos hubieran tomado largas sesiones de trabajo.

Al finalizar el reporte se pudo constatar la utilidad de las funciones de trans-ferencia para poder realizar simulaciones dinmicas de un sistema y observar co-mo pueden afectar las entradas de un sistema a sus salidas y cual las afecta en mayor cantidad y as poderlo controlar de manera mas efectiva.

(23)

conversi´on. No obstante, por lo general, los puntos de operaci´on de alta conver-si´on suelen ser inestables. Esto se puede observar perfectamente en referencia al modelo discutido a lo largo del reporte, siendo el ´unico estado estacionario estrictamente estable, el de menor conversi´on. En este punto es donde entra la aplicaci´on de sistemas de control para forzar la operaci´on de un determinado proceso en estados inestables o parcialmente estables, como lo son los puntos de Hoff.

Con base en lo analizado se reconoce la importanica de los sitemas de con-trol y el papel fundamental del Ingeniero Qu´ımico para lo optimiaci´on de los procesos.

(24)

Referencias

[1] M. Shacham, N. Brauner, and M.B. Cutlip. Exothermic CSTR - Just How Stable are the Multiple Steady States? Chem. Eng. Educ., 28(1):30–35, 1994.

A.

odigos de Matlab utilizados

A.1.

Run Estados Estacionarios

%% Run SS clc; clear all; %% SS1

x01 = [1 530 530];

[res1 feval1 flag1]= fsolve(’funcion_ss’,x01) %% SS2

x02 = [0.25 590 590];

[res2 feval2 flag2]= fsolve(’funcion_ss’,x02) %% SS3

x03 = [3 800 800];

[res3 feval3 flag3]= fsolve(’funcion_ss’,x03)

A.2.

Function Estados Estacionarios

%% Archivo de funcin para los EE function f = funcion_ss(x) %% Definicin de variables Ca = x(1);

T = x(2); Tj = x(3);

%% Definicin de parmetros constantes F0 = 40; Ca0 = 0.5; V = 48; Fj = 49.9; R = 1.99; Vj = 3.85; alfa = 7.08e10; E = 30000; U = 150;

(25)

lambda = -30000; A = 250; Tj0 = 530; T0 = 530; Cp = 0.75; Cpj = 1; rho = 50; rhoj = 62.3;

%% Definicn de ecuaciones auxiliares k = alfa*exp(-E/(R*T));

%% Definicin de funciones f(1) = (F0*(Ca0-Ca)-V*k*Ca)/V;

f(2) = (rho*Cp*F0*(T0-T)-lambda*V*k*Ca-U*A*(T-Tj))/(rho*Cp*V); f(3) = (rhoj*Cpj*Fj*(Tj0-Tj)+U*A*(T-Tj))/(rhoj*Cpj*Vj);

A.3.

Diagrama de Bifurcaci´

on

%% Archivo para obtener el diagrama de bifurcacin clc; clear all;

%% Declaracin de las variables de manera simblica. syms Vj Cpj alfa Tj F0 lambda Ca0 A V Tj0 Fj T0 R Cp ...

rho E rhoj U Ca T %% Parmetros F0=40; %ft3/h lambda=-30000; %BTU/mol Ca0=0.50; %mol/ft3 A =250; %ft2 V =48; %ft3 Tj0=530; %oR T0=530; %oR R=1.99; %BTU/mol-oR Cp=0.75; %BTU/lb-oR Vj=3.85; %ft3 Cpj=1.0; %BTU/lb-oR alfa=7.08E10; %1/h rho=50; %lb/ft3 E=30000; %BTU/mol rhoj=62.3; %lb/ft3 U=150; %BTU/h-ft2-oR

(26)

%% Ecuaciones auxiliares k=alfa*exp(-E/(R*T)); %% Definicin de ecuaciones: % Se deben igualar a 0 Ca=(Ca0*F0)/(F0+k*V); Tj=((Cpj*Fj*rhoj*Tj0)+(A*T*U))/((Cpj*Fj*rhoj)+(A*U)); % Como el diagrama es de la T se declara como funcin fun2=((rho*Cp*F0*(T0-T))-...

(lambda*V*k*Ca)-(U*A*(T-Tj)))/(rho*Cp*V); %% Plot

% ezplot vara los valores de los ejes en x,y para % poder construir el diagrama

figure(1) ezplot(fun2,[20,60,480,800]) hold %SS (Fj,Ti) plot(49.9,537.1641,’ro’,... 49.9,599.9909,’gx’,... 49.9,651.0596,’k+’,’LineWidth’,2) hold

title(’\bf Diagrama de Bifurcacin’,’FontSize’,12) xlabel(’F_j [ft^3/h]’)

ylabel(’T [R]’)

legend(’Curva de Bifurcacin’,’EE1’,’EE2’,’EE3’,0) grid

A.4.

Linealizaci´

on

%% Archivo para linealizar un sistema no lineal clc; clear all;

%% Entradas u0 = [40 49.9]; %% SS

(27)

x0 = [0.00473906010232 ... 5.37164117705135 ... 5.36615674740771]*1e2; % ss1 % x0 = [0.00245070804692 ... % 5.99990935763463 ... % 5.94632838944146]*1e2; % ss2 % x0 = [0.00059062644133 ... % 6.51059567590563 ... % 6.41791954906443]*1e2; % ss3 [A B C D] = linmod(’linsim’,x0,u0) valp = eigs(A)

%% Clculo de las funciones de trasnferencia trans = tf(ss(A,B,C,D))

%% Otra forma de calcular las funciones de transferencia [num1 den] = ss2tf(A,B,C,D,1)

[num2 den] = ss2tf(A,B,C,D,2) g11 = tf(num1(1,:),den) % T/F0 g21 = tf(num2(1,:),den) % T/Fj %% Polos polos = roots(den) %% Ceros ceros1 = roots(num1(1,:)) ceros2 = roots(num2(1,:)) %% Ganancia G0 = -C*(inv(A)*B) %% Ajuste g11 [y t]=step(g11); K1 = y(end) t1 = interp1(y,t,0.353*K1) t2 = interp1(y,t,0.853*K1) theta1 = 1.3*t1-0.29*t2 tau1 = 0.67*(t2-t1) % Ajuste del retardo

(28)

[num,den] = pade(theta1,1); gr = tf(num,den); gn = tf(K1,[tau1,1]); g11n = gn*gr figure(1) step(g11); hold step(g11n); hold legend(’Original’, ’Ajustada’,0) grid %% Ajuste g21 [y t]=step(g21); K21 = y(end) t1 = interp1(y,t,0.353*K21) t2 = interp1(y,t,0.853*K21) theta21 = 1.3*t1-0.29*t2 tau21 = 0.67*(t2-t1) % Ajuste del retardo

[num,den] = pade(theta21,1); gr = tf(num,den); gn = tf(K21,[tau21,1]); g21n = gn*gr figure(2) step(g21); hold step(g21n); hold legend(’Original’, ’Ajustada’,0) grid

A.5.

Archivo sys de Simulink

function [sys,x0] = rep2sys(t,x,u,flag) if flag==0

sys= [3 0 1 2 0 0]; %[#estados 0 #salidas #entradas 0 0]; x0 = [0.00473906010232 ... 5.37164117705135 ... 5.36615674740771]*1e2; % ss1 % x0 = [0.00245070804692 ... % 5.99990935763463 ... % 5.94632838944146]*1e2; % ss2 % x0 = [0.00059062644133 ... % 6.51059567590563 ... % 6.41791954906443]*1e2; % ss3

(29)

elseif flag==1 % Declaracin de parmetros F0 = u(1); Fj = u(2); % F0=40; Fj=49.9; Ca = x(1); T = x(2); Tj = x(3); % Definicin de parmetros Ca0 = 0.5; V = 48; R = 1.99; Vj = 3.85; alfa = 7.08e10; E = 30000; U = 150; lambda = -30000; A = 250; Tj0 = 530; T0 = 530; Cp = 0.75; Cpj = 1; rho = 50; rhoj = 62.3;

% Definicn de ecuaciones auxiliares k = alfa*exp(-E/(R*T)); % Definicin de funciones f(1) = (F0*(Ca0-Ca)-V*k*Ca)/V; f(2) = (rho*Cp*F0*(T0-T)-lambda*V*k*Ca-U*A*(T-Tj))/(rho*Cp*V); f(3) = (rhoj*Cpj*Fj*(Tj0-Tj)+U*A*(T-Tj))/(rhoj*Cpj*Vj); sys = f’; elseif flag==3 sys=[x(2)]; elseif flag==9 sys=[]; end

A.6.

Gr´

aficas inciso 4.

function graficasinciso4 clear all; clc; format long tr = linspace(0,10,100); % EE1

x0 = [0.00473906010232 ... 5.37164117705135 ... 5.36615674740771]*1e2;

(30)

x01 = [0.00473906010232*1.1 ... 5.37164117705135 ... 5.36615674740771]*1e2; x02 = [0.00473906010232*0.9 ... 5.37164117705135 ... 5.36615674740771]*1e2; % % EE3 % x0 = [0.00059062644133 ... % 6.51059567590563 ... % 6.41791954906443]*1e2; % x01 = [0.00059062644133*1.1 ... % 6.51059567590563 ... % 6.41791954906443]*1e2; % x02 = [0.00059062644133*0.9 ... % 6.51059567590563 ... % 6.41791954906443]*1e2; [t11,res11]= ode15s(@funcion_in4a,tr,x0); [t12,res12]= ode15s(@funcion_in4a,tr,x01); [t13,res13]= ode15s(@funcion_in4a,tr,x02); [t14,res14]= ode15s(@funcion_in4d,tr,x0); [t15,res15]= ode15s(@funcion_in4e,tr,x0); [t16,res16]= ode15s(@funcion_in4f,tr,x0); [t17,res17]= ode15s(@funcion_in4g,tr,x0); figure(1) plot(t11,res11(:,1),’-o’,... t12,res12(:,1),’-x’,... t13,res13(:,1),’-+’)

title(’EE1: Respuesta dinmica del sistema no lineal.’,... ’FontWeight’,’Bold’,’FontSize’,12) xlabel(’Tiempo [h]’) ylabel(’C_A [mol/ft^3]’) legend(’EE’,’C_{A,EE} +10%’,’C_{A,EE} -10%’,0) grid figure(2) plot(t11,res11(:,3),’-o’,... t12,res12(:,3),’-x’,... t13,res13(:,3),’-+’)

title(’EE1: Respuesta dinmica del sistema no lineal.’,... ’FontWeight’,’Bold’,’FontSize’,12)

xlabel(’Tiempo [h]’) ylabel(’T [R]’)

(31)

grid figure(3) plot(t11,res11(:,1),’-.’,... t14,res14(:,1),’-o’,... t15,res15(:,1),’-x’,... t16,res16(:,1),’-+’,... t17,res17(:,1),’-*’)

title(’EE 1: Respuesta dinmica del sistema no lineal.’,... ’FontWeight’,’Bold’,’FontSize’,12)

xlabel(’Tiempo [h]’) ylabel(’C_A [mol/ft^3]’)

legend(’EE’,’F_j +15%’,’F_j -15%’,’F_o +15%’,’F_o -15%’,0) grid figure(4) plot(t11,res11(:,3),’-.’,... t14,res14(:,3),’-o’,... t15,res15(:,3),’-x’,... t16,res16(:,3),’-+’,... t17,res17(:,3),’-*’)

title(’EE 1: Respuesta dinmica del sistema no lineal.’,... ’FontWeight’,’Bold’,’FontSize’,12)

xlabel(’Tiempo [h]’) ylabel(’T [R]’)

legend(’EE’,’F_j +15%’,’F_j -15%’,’F_o +15%’,’F_o -15%’,0) grid %% Valores Originales function f = funcion_in4a(t,x) % Definicin de variable Ca = x(1); T = x(2); Tj = x(3);

% Definicin de parmetros constantes F0 = 40; Ca0 = 0.5; V = 48; Fj = 49.9; R = 1.99; Vj = 3.85; alfa = 7.08e10; E = 30000; U = 150; lambda = -30000; A = 250;

(32)

Tj0 = 530; T0 = 530; Cp = 0.75; Cpj = 1; rho = 50; rhoj = 62.3;

% Definicn de ecuaciones auxiliares k = alfa*exp(-E/(R*T)); % Definicin de funciones f(1) = (F0*(Ca0-Ca)-V*k*Ca)/V; f(2) = (rho*Cp*F0*(T0-T)-lambda*V*k*Ca-U*A*(T-Tj))/(rho*Cp*V); f(3) = (rhoj*Cpj*Fj*(Tj0-Tj)+U*A*(T-Tj))/(rhoj*Cpj*Vj); f = f’; %% + 10% Ca function f = funcion_in4b(t,x) % Definicin de variable Ca = x(1); T = x(2); Tj = x(3);

% Definicin de parmetros constantes F0 = 40; Ca0 = 0.5*1.1; V = 48; Fj = 49.9; R = 1.99; Vj = 3.85; alfa = 7.08e10; E = 30000; U = 150; lambda = -30000; A = 250; Tj0 = 530; T0 = 530; Cp = 0.75; Cpj = 1; rho = 50; rhoj = 62.3;

% Definicn de ecuaciones auxiliares k = alfa*exp(-E/(R*T)); % Definicin de funciones f(1) = (F0*(Ca0-Ca)-V*k*Ca)/V; f(2) = (rho*Cp*F0*(T0-T)-lambda*V*k*Ca-U*A*(T-Tj))/(rho*Cp*V); f(3) = (rhoj*Cpj*Fj*(Tj0-Tj)+U*A*(T-Tj))/(rhoj*Cpj*Vj); f = f’;

(33)

%% - 10% Ca function f = funcion_in4c(t,x) % Definicin de variable Ca = x(1); T = x(2); Tj = x(3);

% Definicin de parmetros constantes F0 = 40; Ca0 = 0.5*0.9; V = 48; Fj = 49.9; R = 1.99; Vj = 3.85; alfa = 7.08e10; E = 30000; U = 150; lambda = -30000; A = 250; Tj0 = 530; T0 = 530; Cp = 0.75; Cpj = 1; rho = 50; rhoj = 62.3;

% Definicn de ecuaciones auxiliares k = alfa*exp(-E/(R*T)); % Definicin de funciones f(1) = (F0*(Ca0-Ca)-V*k*Ca)/V; f(2) = (rho*Cp*F0*(T0-T)-lambda*V*k*Ca-U*A*(T-Tj))/(rho*Cp*V); f(3) = (rhoj*Cpj*Fj*(Tj0-Tj)+U*A*(T-Tj))/(rhoj*Cpj*Vj); f = f’; %% +15% Fj function f = funcion_in4d(t,x) % Definicin de variable Ca = x(1); T = x(2); Tj = x(3);

% Definicin de parmetros constantes F0 = 40; Ca0 = 0.5; V = 48; Fj = 49.9*1.15; R = 1.99; Vj = 3.85; alfa = 7.08e10;

(34)

E = 30000; U = 150; lambda = -30000; A = 250; Tj0 = 530; T0 = 530; Cp = 0.75; Cpj = 1; rho = 50; rhoj = 62.3;

% Definicn de ecuaciones auxiliares k = alfa*exp(-E/(R*T)); % Definicin de funciones f(1) = (F0*(Ca0-Ca)-V*k*Ca)/V; f(2) = (rho*Cp*F0*(T0-T)-lambda*V*k*Ca-U*A*(T-Tj))/(rho*Cp*V); f(3) = (rhoj*Cpj*Fj*(Tj0-Tj)+U*A*(T-Tj))/(rhoj*Cpj*Vj); f = f’; %% -15% Fj function f = funcion_in4e(t,x) % Definicin de variable Ca = x(1); T = x(2); Tj = x(3);

% DEfinicin de parmetros constantes F0 = 40; Ca0 = 0.5; V = 48; Fj = 49.9*0.85; R = 1.99; Vj = 3.85; alfa = 7.08e10; E = 30000; U = 150; lambda = -30000; A = 250; Tj0 = 530; T0 = 530; Cp = 0.75; Cpj = 1; rho = 50; rhoj = 62.3;

% Definicn de ecuaciones auxiliares k = alfa*exp(-E/(R*T));

% Definicin de funciones f(1) = (F0*(Ca0-Ca)-V*k*Ca)/V;

(35)

f(2) = (rho*Cp*F0*(T0-T)-lambda*V*k*Ca-U*A*(T-Tj))/(rho*Cp*V); f(3) = (rhoj*Cpj*Fj*(Tj0-Tj)+U*A*(T-Tj))/(rhoj*Cpj*Vj); f = f’; %% + 15% F0 function f = funcion_in4f(t,x) % Definicin de variable Ca = x(1); T = x(2); Tj = x(3);

% DEfinicin de parmetros constantes F0 = 40*1.15; Ca0 = 0.5; V = 48; Fj = 49.9; R = 1.99; Vj = 3.85; alfa = 7.08e10; E = 30000; U = 150; lambda = -30000; A = 250; Tj0 = 530; T0 = 530; Cp = 0.75; Cpj = 1; rho = 50; rhoj = 62.3;

% Definicn de ecuaciones auxiliares k = alfa*exp(-E/(R*T)); % Definicin de funciones f(1) = (F0*(Ca0-Ca)-V*k*Ca)/V; f(2) = (rho*Cp*F0*(T0-T)-lambda*V*k*Ca-U*A*(T-Tj))/(rho*Cp*V); f(3) = (rhoj*Cpj*Fj*(Tj0-Tj)+U*A*(T-Tj))/(rhoj*Cpj*Vj); f = f’; %% - 15% F0 function f = funcion_in4g(t,x) % Definicin de variable Ca = x(1); T = x(2); Tj = x(3);

% DEfinicin de parmetros constantes F0 = 40*0.85;

Ca0 = 0.5; V = 48;

(36)

Fj = 49.9; R = 1.99; Vj = 3.85; alfa = 7.08e10; E = 30000; U = 150; lambda = -30000; A = 250; Tj0 = 530; T0 = 530; Cp = 0.75; Cpj = 1; rho = 50; rhoj = 62.3;

% Definicn de ecuaciones auxiliares k = alfa*exp(-E/(R*T)); % Definicin de funciones f(1) = (F0*(Ca0-Ca)-V*k*Ca)/V; f(2) = (rho*Cp*F0*(T0-T)-lambda*V*k*Ca-U*A*(T-Tj))/(rho*Cp*V); f(3) = (rhoj*Cpj*Fj*(Tj0-Tj)+U*A*(T-Tj))/(rhoj*Cpj*Vj); f = f’;

A.7.

Gr´

aficas inciso 13.

load res_rep2 figure(1) plot(TcompF0(:,1),TcompF0(:,2),’.-’,... TcompF0(:,1),TcompF0(:,3),’o-’,... TcompF0(:,1),TcompF0(:,4),’x-’,... TcompF0(:,1),TcompF0(:,5),’+-’,... TcompF0(:,1),TcompF0(:,6),’*-’,... TcompF0(:,1),TcompF0(:,7))

title(’Respuesta dinmica (+/-15% F_o)’,... ’FontSize’,12,’FontWeight’,’Bold’) xlabel(’Tiempo [h]’)

ylabel(’Temperatura [R]’)

legend(’F_o +15% NL’,’F_o +15% FT’,’F_o +15% Ajustado’,... ’F_o -15% NL’,’F_o -15% FT’,’F_o -15% Ajustado’,0) grid figure(2) plot(TcompFj(:,1),TcompFj(:,2),’.-’,... TcompFj(:,1),TcompFj(:,3),’o-’,... TcompFj(:,1),TcompFj(:,4),’x-’,... TcompFj(:,1),TcompFj(:,5),’+-’,...

(37)

TcompFj(:,1),TcompFj(:,6),’*-’,... TcompFj(:,1),TcompFj(:,7)) title(’Respuesta dinmica +/- 15% F_j’,... ’FontSize’,12,’FontWeight’,’Bold’) xlabel(’Tiempo [h]’) ylabel(’Temperatura [R]’) legend(’F_j +15% NL’,’F_j +15% FT’,’F_j +15% Ajustado’,... ’F_j -15% NL’,’F_j -15% FT’,’F_j -15% Ajustado’,0) grid

Figure

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Referencias

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