Límites de funciones determinadas e indeterminadas
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Trigonométricas:
Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo
rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos
cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:
Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:
Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).
Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).
A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
(Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).
1. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS:
En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa. Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del
cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto
contiguo.
sen(B) = AC/BC cos(B) = BA/BC tan(B) = AC/BA
Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA:
Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido antihorario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ).
Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).
3. PROPIEDADES IMPORTANTES:
Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental
de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)
b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)
c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.
4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo (¿las tangentes existen para cualquier ángulo?), dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente. Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales. A continuación mostramos un applet que permite ver como se genera la gráfica de la función seno (sinusoide) al ir variando el ángulo:
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Logarítmicas:
La función logarítmica de base a es la inversa de la función exponencial de base a. Los valores de la función loga se denotan como loga (x) y puesto que loga y la función
exponencial con base a son inversas se puede afirmar que:
f(x) = loga (x) si y sólo si x = ay
El dominio de la función es el conjunto de números reales positivos y su ámbito o recorrido es el conjunto de los números reales.
1) La función f(x)=loga(x)
La siguiente escena recrea el comportamiento de la función f(x) = loga (x). Analiza el
comportamiento de la función a medida que modificas los valores de x. Observa también como cambia la gráfica, a medida que modificas la base a.
Determina algunos logaritmos, por ejemplo, los logaritmos de 2, 4, 8, 16 en base dos y los logaritmos en base diez de algunas potencias de este número.
Relación entre la función logarítmica y la función exponencial
La siguiente escena modela el comportamiento de la función exponencial y su inversa la función logarítmica para diferente valores de la base. Observa que las dos gráficas son reflexiones mutuas con respecto a la recta y=x.
Utiliza la escena para comparar el comportamiento de las funciones para diferentes bases. En particular:
a) Representa la gráfica de la función y= log2(x)
• Analiza el comportamiento de las dos funciones para valores de x cercanos al cero.
• ¿Está la función logarítmica definida para los reales negativos? ¿Y para el valor cero?
• ¿Observas alguna simetría con respecto a la recta y=x?
• ¿Cuál es el comportamiento de las funciones cuando x aumenta sin límites? ¿Cundo x tiende a cero?
b) Representa la gráfica de la función y= log1/2 (x)
• Analiza el comportamiento de las dos funciones para valores de x cercanos al cero.
• ¿Está la función logarítmica definida para los reales negativos? ¿Y para el valor cero?
• ¿Observas alguna simetría con respecto a la recta y=x?
• ¿Cuál es el comportamiento de las funciones cuando x aumenta sin límites? ¿Cundo x tiende a cero?
c) Establece diferencias entre las gráficas de las funciones logarítmicas cuando la base (a) es mayor que uno y cuando toma valores entre cero y uno. Verifica que:
• Si a>1 entonces loga (x) aumenta a medida que x aumenta.
• Si 0<a<1, loga (x) disminuye a medida que x aumenta.
• Si a>1 entonces loga (x) es positivo si x>1.
• La función no está definida para x ≤ 0.
• La función logarítmica corta al eje x siempre en x=1.
• loga (x) = 1 si y sólo si x=a
• Si a>1 entonces loga (x) tiende a menos infinito (-∞) a medida que x
tiende a cero por la derecha.
• Si 0<a<1 loga (x) tiende a infinito (∞) a medida que x se acerca a cero por la derecha.
• loga 1 = 0
• loga a = 1.
La función logaritmo Natural o Neperiano
La función logarítmica de base e se le llama función logarítmica natural. La función logarítmica natural es la inversa de la función exponencial natural.
La función logarítmica natural puede denotarse como loge, pero es más común la expresión ln, "logarítmo natural". Los valores de la función ln se denotan como ln x. Puesto que el logaritmo natural y la función exponente natural son inversas, se puede decir que:
ln x =y si x=ey
La escena que sigue muestra las gráficas de las funciones exponencial y logaritmo. Utiliza los controles para encontrar una table de valores de cada una de las funciones f(x)=ln (x) y x=ey.
Al igual que en las otras escenas, compara las dos funciones, determina sus características y la relación entre ellas.
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Exponenciales:
Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la base b, es
una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.
La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función
constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales.
El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos. 1. La función exponencial de base dos: y=f(x)=2x
La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base dos.
X -3 -2 -1 0 1 2 3
F(x) 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
Para graficar esta función se localizan estos puntos en un plano cartesiano, uniéndolos con una curva suave, tal como se modela en la siguiente escena. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función a medida que:
• x crece ilimitadamente
2. La función exponencial de base 1/2
Analicemos ahora el comportamiento de la función exponencial de base 1/2. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función cuando x tiende a +∞ y cuando x tiene a −∞.
y=f(x)=(1/2)x
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 8 4 2 2 1/2 1/4 1/8
3. La función exponencial para cualquier valor de b
Utiliza la siguiente escena para analizar el comportamiento de otras funciones exponenciales, para diferentes valores de b. Usa las flechas para modificar el valor de la base b. Compara el comportamiento de la función para valores de b>1 y valores de comprendidos entre 0<b<1.
Las escenas anteriores permiten deducir que:
• La función exponencial existe siempre para cualquier valor de la
variable independiente x.
• Toma valores positivos para cualquier valor de x.
• El dominio de la función exponencial es todo el conjunto de los
números reales.
• Todas las funciones pasan por el punto (0,1).
• Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx,
con b>1 son crecientes. Los valores de la función crecen cuando x aumenta.
• Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx,
con 0<b<1 son decrecientes. Los valores de la función decrecen cuando x aumenta.
• El eje x es una asíntota horizontal, hacía la izquierda si b>1 y
hacía la derecha si b<1.
• La definición exige que la base sea positiva y diferente de uno.
Determinación de la continuidad de una función (límite)
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Condiciones de continuidad
Una función continua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementos pequeños en la variable dependiente a pequeños incrementos de los elementos del
dominio de dicha función, es decir, , y usando la expresión
, queda donde en este caso,
. Ello quiere decir que , y si este último límite existe
significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos
límites laterales existen y son iguales) que toda función que cumpla con
es continua en el punto .
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Continuidad sobre un intervalo
Una función, es continua en un intervalo , si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:
es continua en un intervalo ⇔
Dado que una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si la función es continua en todos los puntos del intervalo, entonces es continua en el intervalo cerrado [a, b] si y solo si es continua en el intervalo (a, b) y además es continua en el punto a por la derecha y en el punto b por la izquierda.
Co ntinu ida d e n un inte r valo ce r r ado :
Una función f ( x ) e s c o n t i n u a e n u n i n t e r v a l o c e r r a d o [a, b] si:
f e s c o n t i n u a e n x , p a r a t o d o x p e r t e n e c i e n t e al i n t e r v a l o ab i e r t o ( a , b ) f e s c o n t i n u a e n a p o r l a i z q u i e r d a :
f e s c o n t i n u a e n a p o r l a d e r e c h a :
Consecuencia
S i f e s c o n t i n u a e n u n i n t e r v a l o c e r r a d o [ a , b ] , e n t o n c e s f e s t á a c o t a d a e n d i c h o i n t e r v a l o . E s t u di a r l a c o n t i n u i d a d d e e n e l i n t e r v a l o [ 0 , 4 ] . f ( x ) e s c o n t i n u a p o r l a i z q u i e r d a e n x = 0 , y a q u e f ( x ) = x2 p o r s e r u n a f u n c i ó n p o l i n ó m i c a e s c o n t i n u a e n t o d a . f ( x ) e s c o n t i n u a p o r l a d e r e c h a e n x = 4 , y a q u e f ( x ) = 4 p o r s e r u n a f u n c i ó n p o l i n ó m i c a e s c o n t i n u a e n t o d a . P a r a q u e f ( x ) s e a c o n t i n u a e n t o d o s l o s p u n t os d e l i n t e r v a l o ( 0 , 4 ) t e n e m o s q u e e s t u d i a r l a c o n t i n u i d a d e n e l p u nt o x = 2 , q u e e s e l ú n i c o d u d o s o p o r t r a t a r s e d e u n a f u n c i ó n d e f i n i d a a t r o z o s . f ( 2 ) = 4 P o r t a n t o f ( x ) e s c o n t i n u a e n e l i n t e r v a l o [ 0 , 4 ] .*
Teorema de valor intermedio
En análisis real el teorema del valor intermedio o más correctamente teorema de los valores intermedios es una propiedad de las funciones continuas reales en un intervalo. El teorema establece que si una función es continua en un intervalo, la función toma todos los valores intermedios comprendidos entre los valores de la función en los extremos del intervalo. Como consecuencia del teorema de Weierstrass se puede generalizar diciendo que la imagen de un intervalo es otro intervalo, siendo los subconjuntos conexos de los números reales.
Enunciado
El teorema del valor intermedio establece que:
Sea f una función continua en un intervalo [a,b] y supongamos que f(a) < f(b). Entonces para cadau tal que f(a) < u < f(b), existe al menos un c dentro de (a,b) tal que f(c) = u.
La misma conclusión se obtiene para el caso que f(b) < f(a).
Demostración
El teorema puede demostrarse fácilmente aplicando el teorema de Bolzano (que se trata de un caso particular del teorema del valor intermedio cuando u=0) a la función también continua g(x) definida como g(x):=f(x)-z.
