Regresión Lineal. A. Barajas

Regresión Lineal

A. Barajas

Supongamos que realizamos un experimento en el que medimos dos cantidades físicas, con el objetivo de analizar la relación entre ellas. Por ejemplo, medimos la posición de un carro que intenta viajar a velocidad constante y que todas las posiciones son medidas con respecto a un único punto, en este caso, con respecto a un árbol al lado de la calle, como se muestra a continuación

El objetivo del experimento es determinar la velocidad de dicho carro. Los datos recopilados pueden ser como se presentan a continuación:

Posición (m) Tiempo (s) 8,0 1 15,8 2 24,1 3 31,6 4 40,1 5

Al graficar estos puntos en un sistema coordenado observamos que entre ellos existe una relación lineal, es decir, que los datos están ubicados aproximadamente sobre una línea recta

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 1 2 3 4 5 6 Po si ci ó n ( m)

Tiempo (s)

Más aún, teóricamente la relación teórica entre la posición y el tiempo para un objeto que se mueve a velocidad constante, 𝒙 = 𝑣. 𝒕 + 𝑥0, es justamente la ecuación de una línea recta.

¿Cómo determinar la velocidad del carro? Es común que en este tipo de experimentos, se intente hallar la velocidad (o la cantidad que se busca) para cada pareja de datos, y luego promediar todos los resultados, de la siguiente manera

Posición (m/s) Tiempo (s) 𝒗 = 𝒙/𝒕 8,0 1 8,00 15,8 2 7,90 24,1 3 8,03 31,6 4 7,90 40,1 5 8,02 𝒗 ̅ = 7.97

Aunque esto parece razonable, este procedimiento no es en realidad apropiado como se mostrara a continuación: de los datos obtenidos es posible inferir que cuando el tiempo era t=0s, la posición del carro era x=0m, es decir, que el carro estaba pasando justo al lado del árbol. Imaginemos ahora que se repite el mismo experimento, con las mismas condiciones, pero que las posiciones ahora no son medidas con respecto al árbol sino con respecto al hidrante que esta 20 metros más atrás; esto implicaría que los datos de la posición aumentarían 20 metros cada uno. Al intentar realizar el mismo análisis que realizamos anteriormente observaríamos un problema:

Posición (m/s) Tiempo (s) 𝒗 = 𝒙/𝒕 28 1 28,0 35,8 2 17,9 44,1 3 14,7 51,6 4 12,9 60,1 5 12,0 𝒗 ̅ = 17.1

Aunque la velocidad del carro sigue siendo la misma, la velocidad obtenida con nuestro análisis dista mucho del valor correcto. Aunque este problema se podría arreglar restándole a cada posición los 20 metros de la posición inicial, en muchos experimentos no sabemos cuánto es dicha posición inicial, o más aún, nos piden que determinemos cuánto vale esta. Es por este motivo que estadísticamente este tipo de problemas se solucionan con la regresión lineal.

La regresión lineal es un procedimiento que nos dice cuál es la línea recta que mejor representa el comportamiento de los datos, o más específicamente, nos dice cuanto seria la pendiente y el punto de corte con el eje ‘y’ de dicha recta. En general la regresión lineal se puede realizar con una computadora o una calculadora; en internet se pueden encontrar videos sobre cómo hacerlo. Acá nos enfocaremos en cómo se interpretan los resultados obtenidos.

En este caso en particular, al hacer la regresión lineal la posición hace las veces de la variable dependiente (o visto de otra manera la variable en el eje ‘y’) y el tiempo la independiente (la variable en el eje ‘x’). Esto nos da como resultado un valor de la pendiente de 𝐵 = 8 y un punto de corte de 𝐴 = 19,9. Al trazar en la gráfica de posición contra tiempo la línea recta que representa esta ecuación, se obtiene lo siguiente:

Si la regresión lineal se realizó sin errores, la línea recta pasara necesariamente entre los datos experimentales. Las dimensiones del punto de corte y de la pendiente pueden ser halladas por análisis dimensional.

Para interpretar los resultados obtenidos, basta con comparar la ecuación teórica con la ecuación experimental obtenida mediante la regresión lineal

𝒙 = 𝑣 𝒕 + 𝑥0

𝒙 = 8 m/s 𝒕 + 19,9 m

Como asumimos que la ecuación teórica describe adecuadamente el sistema, es razonable afirmar que las pendientes de la ecuación teórica y experimental son iguales, al igual que sus puntos de corte. Es decir, que se tiene que cumplir que (pendientes)

𝑣 = 8 𝑚/𝑠 y que (puntos de corte)

𝑥0= 19,9 𝑚

Como se puede observar, esta comparación nos lleva de forma automática determinar el valor de la velocidad del carro, y su posición inicial; aunque esta última es bastante cercana al valor que debería dar (20m) no coincide exactamente por pequeñas fluctuaciones en los datos experimentales, lo cual es perfectamente normal. Por otro lado, es claro que la velocidad es menor que la que se había hallado realizando un promedio entre velocidades, debido a que la posición

x = 8t + 19,92

P

os

ici

ón

(m)

Tiempo (s)

inicial del carro es de 20m. Esto se puede ver claramente en la gráfica: cuando el tiempo es 0 s, el carro no se encuentra en la posición 0 m.

Miremos un segundo ejemplo. En un experimento se mide la presión de determinado gas a medida que se cambia su temperatura. Los resultados se registran a continuación

P (Pa) T (K) 349000 300 357800 310 365800 320 374000 330 382700 340

La ecuación teórica que relaciona estas dos cantidades, para un gas (ideal), es 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇, en donde 𝑅 = 8.31_{𝑚𝑜𝑙∗𝐾}𝐽 es una constante llamada la constante de los gases, 𝑛 es el número de moles que tiene el gas (el cual es constante), y 𝑉 el volumen que ocupa. Supongamos que el volumen medido del gas es de 1 𝑚3. El objetivo del experimento es hallar el número de moles contenidas en el gas. La presión es la variable dependiente, por tanto es la que despejamos de la ecuación teórica

𝑃 =𝑛𝑅𝑇 𝑉

Se puede observar que la relación entre las variables es lineal. Por tanto procedemos a realizar la regresión lineal

Comparamos las dos ecuaciones

P = 836 Pa/K T+ 98340 Pa

Pr

es

ión

(

P

a)

Temperatura (k)

𝑷 = 𝑛𝑅 𝑉

𝑻

𝑷 = 836 Pa/K 𝑻 + 98340 Pa De la comparación de las pendientes, concluimos que

𝑛𝑅

𝑉 = 836 Pa/K Y por tanto el número de moles será

𝑛 =𝑉 ∗ (836 𝑃𝑎

𝐾 )

𝑅 = 100,6 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠

¿Cómo interpretamos la comparación entre los puntos de corte? En la ecuación teórica, el punto de corte es 0 mientras que en la regresión lineal es de 98340 Pa. Esto indica que en el experimento se presentó un error sistemático: todas las presiones medidas estuvieron aproximadamente 100000 pascales por encima del valor esperado. Generalmente esto es debido a errores de medición (por ejemplo, instrumentos mal calibrados) pero debe ser analizado para cada caso en particular. En todo caso, sin importar cuál es el origen de dicho error, la regresión lineal nos permite aislarlo e identificarlo.

En general la regresión lineal nos permite analizar estadísticamente el comportamiento entre dos variables y realizar deducciones de constantes o cantidades físicas. Si la relación entre las dos variables no es lineal, se pueden realizar otro tipo de regresiones que no son lineales pero que se basan en los mismos principios.

Ejercicios:

1) Un grupo de estudiantes aplicó diferentes voltajes a una resistencia cuyo valor se desconoce, y midió la corriente generada a través de ella. Los datos obtenidos son los siguientes Voltaje (V) Corriente (A x10-3₎ 5 4,2 5,5 4,6 6 5 6,5 5,4 7 5,8 7,5 6,3 8 6,7 8,5 7,1 9 7,5

Teniendo en cuenta que la relación teórica entre voltaje y corriente es 𝑉 = 𝐼𝑅

¿Cuál es el valor de la resistencia? Sol: Aprox. 1200 Ohms

2) En un experimento se calienta una varilla y se mide en cuanto cambia su longitud. El comportamiento de este sistema se rige por la siguiente ecuación

𝐿𝑓= 𝐿0+ 𝛼𝐿0Δ𝑇

En donde 𝐿𝑓 es la longitud final de la varilla luego de ser calentada, 𝐿0 la longitud que tenía antes,

𝛼 el coeficiente de dilatación y Δ𝑇 la diferencia de temperatura entre el estado inicial y final. Los datos 𝐿𝑓 y Δ𝑇 se presentan a continuación

Δ𝑇 (C) 𝐿𝑓 (m) 100 1,1489 120 1,1494 140 1,15 160 1,1506 180 1,1512 200 1,1517 220 1,1523 240 1,1529 260 1,1534 280 1,154 300 1,1546 320 1,1552 340 1,1557 360 1,1563

¿Cuál es la longitud inicial de la varilla, y cuanto es el valor del coeficiente de expansión? Sol: 𝐿0= 1.146, 𝛼 = 2.49𝑥10−5.

3) Un sistema esta descrito por la siguiente ecuación 𝑄 = 3𝛼𝑃 + 𝑓𝛼2 Al cambiar 𝑃 se obtuvieron los siguientes valores de 𝑄

P Q

15 500

25 620 30 680 35 740 40 800 45 860 50 920 55 980

¿Cuáles son los valores de 𝛼 y 𝑓? Sol: 𝛼 = 4, 𝑓 = 20

4) La ecuación teórica entre dos cantidades físicas G y Q, es 𝐺 = 𝛼 ∗ 𝑄 + 𝛼 ∗ 𝛽. A continuación se presentan datos experimentales tomados de estas cantidades físicas

Determine el valor de las constantes 𝛼 y 𝛽 Sol: 𝛼 = 20, 𝛽 = 0.25 Q G 5,6 117 8,6 177 12,5 255 15,9 323 18,6 377