Implicaciones epistemológicas en la comprensión de probabilidad en tercer grado de secundaria

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ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

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IMPLICACIONESEPISTEMOLÓGICASENLACOMPRENSIÓNDEPROBABILIDADEN TERCERGRADODESECUNDARIA

SaúlElizarrarásBaena,AnaMaríaOjedaSalazar

SecretaríadeEducación.GEM.Cinvestav.DME.IPN México

[email protected],[email protected]

Campodeinvestigación: Pensamientorelacionadocon

probabilidad,estadística

Nivel: Básico

Resumen.Sepresentanresultadosdelaaplicacióndeuncuestionario,antesydespuésdeuna enseñanza,diseñadoparaestudiarvariacionesenlosconocimientosde40alumnosde13Ͳ15 añosdeedad,sobrelosenfoquesclásicoyfrecuencialdelaprobabilidadyprobabilidad condicional.Laestrategiadeenseñanzapusoenjuegounapropuestainstitucional(SEP,2006; Filloyetal,2006);sinembargo,pararemontarlasdificultadesdecomprensióndeideas fundamentalesdeestocásticos(Heitele,1975)evidenciadasporlosalumnosserequierela implementacióndeunaestrategiasimilaryunseguimientoalolargodetodalaeducación básicaenestocásticos.Particularmente,convienediseñarestrategiasdeenseñanzaque presentensignificativamentesituacionesazarosasdemanerasencillaygradual.

Palabrasclave:probabilidad,epistemología,cognición,secundaria

Introducción

Estudiosprevios(Elizarrarás,2004;Vázquez,2004;Carballo,2004)pusierondemanifiesto queelpredominiodelpensamientodeterministacoartaeldesarrollodelpensamientode

loposibledelosalumnosdeeducaciónbásica;portanto,esteúltimoseprometemás

difícilenlosniveleseducativosmediosuperiorysuperior(Ojeda,1994).

Elementosteóricos

Laperspectivadelainvestigaciónponeenjuegoaspectosepistemológicosycognitivos sobrelacomprensióndeprobabilidaddeestudiantesdetercerodesecundaria.

1.1.Epistemológicos.Heitele(1975)proponeunalistadediezideasfundamentales

deestocásticosparauncurriculumenespiral:medidadeprobabilidad,espaciomuestra, regladelaadición,regladelproductoeindependencia,equidistribuciónysimetría,

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combinatoria,modelodeurnaysimulación,variableestocástica,leydelosgrandes númerosymuestra.Sucarácterdefundamentalradicaenqueproporcionanalindividuo modelosexplicativosencadaetapadesudesarrollo,quesediferencianensuforma lingüísticayensusnivelesdeelaboración,peronoensuestructura.Señalatambiénquela enseñanza de estocásticos debe iniciar tan pronto como sea posible, mediante el desarrollodeconexionessignificantesdelaexperienciadelalumnoconlarealidad.Por otrolado,segúnPiageteInhelder(1951)laideadeazarnoesinnata,sinoqueseoriginay evolucionaencorrespondenciaconlasoperacioneslógicoͲaritméticas,yseleadvierteen elperíododelasoperacionesformales(12Ͳ15años),lascualesconstituyenunsistemade accionesinterrelacionadassiemprebajouncaminorigurosoyreversible.

1.2.Cognitivos.Fischbein(1975)haenfatizadoquelaadquisicióntempranade

intuicionesequivocadassobreestocásticossedebeprevenirconlaenseñanza,puesafalta deéstasetornandemásenmásdifícilesdedesarraigaryobstaculizanelpensamiento analíticoyreflexivo.Ensu opinión,lacoincidencia delafrecuenciarelativaconla probabilidaddeuneventorequieredetiempo,puesesparalelaaldesarrollointelectual general(14Ͳ15añosaproximadamente).EstadeclaraciónnosremiteaFrawley(1999), quienconsideraalserhumanoalavezcomomáquinaycomopersona,pueslaparte internaylaexternadelamentehumanaconfluyensimultáneamente.Deaquíque caractericetrestiposdesubjetividad:elprocesamientonoconsciente,laconcienciayla metaconciencia.

Algunosestudioshanseñaladoqueelenfoquefrecuencialdelaprobabilidadpermiteun acercamientomásnaturalhacialaideadeazary,cuandosepresentalainformación numéricaenformatodefrecuencias(porejemplo,enporcentajes)enlugardelformato estándardeprobabilidad,seactivademaneranaturalelrazonamientoprobabilísticoen lossujetos(GigerenzeryHoffrage,1995).

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Elementosdemétodo

Esteestudioespredominantementedeordencualitativo(Eisner,1998).

2.1. Escenarios. La investigación atendió a la propuesta institucional (plany

programasdeestudioylibrodetexto),alaulayaldesempeñodelalumno.Enlosdos últimosparticipóungrupode40estudiantes(14Ͳ15años)deltercergradodesecundaria pública;lainvestigacióndesarrolladaenelprimeroproveyódeunreferenteparaeldiseño delaestrategiadeenseñanzaquesepusoenjuegoenelsegundoescenario.

2.2.Criteriosdeanálisis.Loselementosteóricosdevinieroncriteriosdeanálisis,

tanto de programa de estudios y libros de texto como de datos recogidos. Se consideraron: ideas fundamentales de estocásticos, otros conceptos matemáticos, recursos semióticos de la información, términos utilizados, situación planteada y estructuradelalección.

2.3.Aula.Esteinvestigador,duranteseissesionesde50minutoscadauna,utilizó cuatroleccionespropuestasparaestocásticosentercergradodeeducaciónsecundariade unlibrodetexto(Filloy,etal,2006),comopartedelaestrategiadeenseñanzaque desarrollódemaneradirectaconelgrupodealumnos;elprofesortitularsólofue observador.Lassesionesfueronvideograbadasytranscritasparasuanálisisposterior;en bitácoraescritaseanotóinformaciónfueradecintayloqueseconsideróconveniente señalar.Laestrategiadeenseñanza,basadaenlaslecciones,consistióencoordinarla lecturadecadauna;losestudiantesleíanenformaalternadayrespondíanpreguntas planteadas en el texto; se confrontaron las respuestas incorrectas; las dificultades evidenciadassefueronremontandoconformeseibaavanzandoenlalección.Sóloendos sesionesserealizaronefectivamenteensayosindependientesdeBernoulli(lanzamientos dedados)paradosdelaslecciones,unadelascualesproponedosruletasnumeradasdel unoalseisquesesustituyeroncondados.

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2.4.Desempeñodelalumno.Seaplicóuncuestionariopreviamentealasseis

sesionesdeenseñanza.Unmesdespuésdelaprimeraaplicación,seadministrótalcualel mismocuestionario,paraidentificarvariacioneseneldesempeñodelosestudiantes. El cuestionario consistió en cinco problemas para el enfoque clásico, uno sobre probabilidadcondicionalycuatrosobreelfrecuencial.Conformatodeopciónmúltiple (cuatroopciones)paracadaunodelosdiezproblemasplanteados,sesolicitójustificación escrita de cada selección realizada y se permitió la corrección de respuestas; su presentacióninsinuólajustificaciónenlenguanatural.Lacontestación,individual,requirió de60minutosensuprimeraaplicaciónyde80minutosenlasegunda.Sealternaronlos problemas,detalmodo,quesepresentabaunoreferidoalenfoqueclásicoyenseguida otroalfrecuencial(porejemplo,verrespectivamenteproblemas1y2enlaFigura1). Lasopcionespropuestasenelproblema1completanlasposibilidadesconlasfichasde dominó:conelinciso a se consideraron respuestas incorrectasrespecto al espacio muestraycombinatoria,porlainfluenciadelusodeunatablasimilarparaelcasodel lanzamientodedosdados;conelincisob(correcto)seconsideróeleventoqueincluye todosloscasosfavorablesenrelaciónaloscasosposibles;conelincisocseprevióla dificultaddeconsiderarsólodemaneracorrectaaloscasosfavorables;yelincisod

manifiestadificultadesconlasideasdeespaciomuestraycombinatoria,queincluyena una prevalencia de la operatividad aritmética. Para el problema 2, los incisos se propusieronporlosiguiente:elincisoaconsiderórespuestasquesólotomanencuenta lospartidosganados,mientrasqueelincisobtomóencuentalasrespuestasbasadas exclusivamenteenlospartidosempatados;elincisoc(correcto)considerólospartidos empatadosoganadosyenelincisodsóloseconsideraronlospartidosperdidos.

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1. Considerandolas28fichasdeundominócon lacaradesuspuntoshacíaabajo.Completa

la tabla para que identifiques todas las

parejasordenadasquecorrespondenalos

puntosdesusfichas.

¿Cuáleslaprobabilidaddequealvoltearuna fichaalazar,lasumadesuspuntosseamayora

ocho? 36 12 A) 28 6 B) 25 6 C) 49 12 D) ¿Porqué? x 0 1 2 3 4 5 6 0 1 (0,1) 2 3 (3,3) 4 (2,4) 5 (4,5) 6 (0,6) (6,6)

2. En lagráficasiguientesemuestran los

resultados obtenidos por el equipo de

fútbol“Halcones”luegodequehajugado 50partidos:

Completa la gráfica y calcula: ¿cuál es la probabilidaddequeensusiguientejuegono

pierdaelequipo“Halcones”? A)44% B)40% 84%

)

C D)16%

¿Porqué?

Figura1.Ejemplosdeproblemaspropuestosenelcuestionario.

Resultadosdelanálisisdelapropuestainstitucionalparaprobabilidad

LaTabla1presentaresultadosdelanálisisdedoslecciones(63y64)dellibrodetexto citadocomoejemplodelexamenalquesesometiólapropuestainstitucional.

Tabla1.Análisisdeleccionespropuestasenellibrodetexto(Filloyetal.,2006).

JUEGOS J.P.J.E.J.G. FRECUENCIA 40 32

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388 Criterio Lección

Ideasfundamentales Otrosconceptos

matemáticos Recursos semióticosde lainformación Términos utilizados Lección63 Medidadelaprobabilidad. Espaciomuestra. Regladelaadición Regladelproductoe

independencia

Equidistribuciónysimetría

Combinatoria.

Variablealeatoria,muestrayley delosgrandesnúmeros

Números naturalesy racionales. Operaciones elementalesde números racionales. Equivalenciay ordenenlas fracciones. Tabladedoble entrada. Expresiones numéricas. Imágenes. Lenguanatural Frecuencia Probable, Eventos Enfoqueclásico dela probabilidad. Oportunidades Ventaja,posibles resultados,azar, esperas. Lección64 Medidadelaprobabilidad. Espaciomuestra. Regladelaadición Regladelproductoe

independencia Combinatoria. Variablealeatoria. Números naturales. Operacionescon números naturales. Tablasde dobleentrada. Diagramade árbol. Imágenes Lenguanatural Experiencia aleatoria. Fórmulaclásica. Experiencias repetidas.

Lasleccionesdeprobabilidad(Filloyetal,2006)satisfacenlospropósitosycontenidosdel

PlanyProgramasdeEstudiodeMatemáticas(SEP,2006).Engeneral,estánestructuradas

apartirdeunaintroducción,luegoseplanteaunproblemaoactividadparaaplicar conocimientos previos (Practicolo que he aprendido), enseguida setrata elnuevo contenido(Conozcomás)y,finalmente,seproponenalgunosproblemasdistintosala situaciónpropuestacentral(Practicoloqueaprendí).Delasleccionesempleadas,sólouna proponeensayosindependientesmedianteelusodedados,sinpretenderunanálisis completodelasfrecuenciasabsolutasyrelativasobtenidasporlosestudiantes.

Resultadosdelaenseñanzaenaula

Algunasdelasdificultadesqueevidenciaronlosestudiantesrespectoalacomprensiónde ideasfundamentalesfueronremontadas,incluso,desdesuplenoytotaldesconocimiento

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(según resultados de la primera aplicación del cuestionario), como en el caso del predominiodelaoperaciónaritméticasobreladistinciónentreespaciomuestraylos valoresrespectivosdelavariablealeatoria:

I:Escriban(sobrelaslíneas)porquélosjóvenesnopuedenganarelpremiomáscaro.

A:Porquetienenqueatinarledosvecesal“seis”odosvecesal“uno”ysoncuatroposibilidadesde doce.

I:¿Porquésoncuatroposibilidadesdedoce? A:Porqueseríaunoyuno,yseisyseis. I:¿Cuántasposibilidadesson?

A:…¡Ah,no!¡Veinticuatro!

Unadificultadparalaenseñanzafuelanulacomprensióndelosalumnosdelcálculodela frecuenciarelativaparaestimarlaprobabilidaddeeventos.Losestudiantes,desdeun principio,manifestaronpocafamiliaridadconelllenadodetablasygráficas.Paralaúltima sesión,10alumnostodavíateníandificultadesparacompletarunatabladedobleentrada, deloscualesdostambiénactivaronunrazonamientoaritméticoyconelloevidenciaron dificultadesconlaideadeespaciomuestra(verFigura2).

Figura2.Ejemplosdedificultadesmostradasporlosestudiantesalcompletarunatabladedobleentrada.

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Resultadosgeneralesdelcuestionario

Engeneral,enlaprimeraaplicaciónlosalumnosevidenciarondificultadesparacompletar tablas como las que se propusieron en el cuestionario; sólo tres alumnos (15 %) consideraroncorrectamentelosdatosproporcionadosenlatablaeidentificaronlas parejasordenadasqueconformabanelespaciomuestra.Enlasegundaaplicación,delos ocho alumnos (20 %) que contestaron correctamente el problema 1, sólo cuatro completaroncorrectamentelatablaproporcionadaydieronevidenciasdesudominiode lasideasfundamentalesimplicadasenlasituaciónpropuesta;otroscuatroalumnosla completaronincorrectamente,perosurespuestafuecorrecta.LasFiguras3y4muestran losresultadosobtenidosconelcuestionariodeambasaplicaciones.

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40%

Problema 1 Problema 3 Problema 5 Problema 6 Problema 8 Problema 10

Respuestas correctas

1a. Aplicación 2a. Aplicación

Figura3.Resultadosobtenidosenelenfoqueclásico(antesydespuésdelaenseñanza).

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391 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%

Problema 2 Problema 4 Problema 7 Problema 9 Respuestas correctas

1a. Aplicación 2a. Aplicación

Figura4.Resultadosobtenidosenelenfoquefrecuencial(antesydespuésdela

enseñanza).

Para el problema 2, hasta la segunda aplicación sólo cuatro alumnos (10 %) proporcionaronunarespuestacorrecta fundamentadaenlacomplementacióndela gráfica presentada; otros cuatro estudiantes (10 %), aunque también respondieron correctamente,nocompletaronlagráfica.Enlasegundaaplicación,diezalumnos(25%) completaronlagráficacorrectamente,perosurespuestafueincorrecta;mientrasque,en laprimeraaplicación,lacompletaronincorrectamente.

Comentariosgenerales

Laenseñanzayeltratamientodelenfoquefrecuencialpudohabercontribuidoparaque enlasegundaaplicacióndelcuestionario,losalumnossistematizaransusrespuestasal completartablasporsuinclusiónenlecciones;además,algunosalumnos,aunqueno lograroncompletarlastablasdemaneracorrecta,enlaprimeraaplicaciónnisiquiera identificabanlainformaciónrequerida.Laenseñanzadeprobabilidadenelaulaofrecela oportunidadparaaplicarotroscontenidosdelasdistintasáreasdelprograma,yasea

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geometríaoaritmética,peroserequiereconservarenprimerplanolaideadeazarylasde estocásticosimplicadas(Heitele,1975).

Setuvocomoprincipallimitacióneldesarrollodesólocuatroleccionesdellibrodetexto empleadocomomediodeenseñanza,lascualessedesarrollaronenseissesionesenun períodocorto deun mes.La problemática complejaque revisteel tratamiento de estocásticosenlaeducaciónbásicarequiererealizarunestudiomásamplioencuantoal númerodesesionesydeleccionesqueseponganenpráctica,detalmaneraquesepueda proveeralosalumnosdemáselementosdeestocásticosensuformación.Tambiénes necesariounseguimientodelosestudiantesylarealizacióndeestudiosclínicos.

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