FACULTAD de INGENIERÍA Análisis Matemático A. TRABAJO PRÁCTICO N 4: Aplicaciones de la derivada. Estudio de funciones

TRABAJO PRÁCTICO N° 4: Aplicaciones de la derivada. Estudio de funciones

1) Analice si las siguientes funciones satisfacen las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo indicado, en cuyo caso halle los valores de ‘c’ correspondientes.

a) f(x)=x3−12x en [0,2 3] b) f(x)=x2(x−2)2 en [ 0,2 ] c) 3 2

2

)

(

)

(

x

=

x

−

f

en [ 1 , 3 ] d) f(x) = | x | en [ -1 , 1 ]

2) Analice si las siguientes funciones satisfacen las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo indicado, en cuyo caso halle los valores de ‘c’ correspondientes.

a) 3 4 ) (x x f = en [−1,1] b) f(x)=(x−1)2 en [0,1] c) f(x) = xn en [ 0 , d ] n∈ N , n > 2

3) Sea f(x)=ax2+bx+c. Demuestre que en cualquier intervalo [p,q] el valor de c cuya existencia garantiza el teorema del valor medio es el punto medio del intervalo.

4) Dada f(x) = x 3 , halle, utilizando el Teorema de Lagrange, el punto en el que la recta tangente es paralela a la recta secante que une los puntos (-1,-1) y (2,8).

5) Ídem al (1) para el Teorema de Cauchy, siendo:

a) f(x) = x 2 + 2 g(x) = x 3 - 1 en [1,2]

b) f(x) = sen x g(x) = cos x en [0,π] 6) Calcule los siguientes límites utilizando la regla de L'Hospital.

a) _{n n} a x

_x

_a

a

x

lím

−

−

→ g)



_









−

−

−

→

_x

₁

1

1

x

2

lím

₂ 1 x b)

x

sen

x

x

x

tg

lím

0 x

−

−

→ h) _     − − → _lnx 1 1 x x lím 1 x c)

x

2

g

cot

x

g

cot

lím

0 x→ i) x tg 2 x ) x sen ( lím π →

d) _x x _e x lím ln ∞ + → j)

(

)

x x 0 xlím→ a −1 e) lím x.lnsenx 0 x→ k)

(

)

x ln 1 0 x

lím

→

cot

g

x

f)

lím

(

1

tg

x

)

.

sec

2

x

4 x

−

π →

7) Sea f : R → R una función dos veces derivable tal que: f(0) = 2 , f ’(0) =

6

5

y f ” (0) = 5. Definimos g : R → R por g(x) =     = ≠ − 0 1 0 5 2 6 x si x si x x f( ) . Calcule: a) lím g(x) x→0 b) g ’(0)

8) a) Desarrolle en potencias de x hasta la derivada de cuarto orden inclusive la función f(x) = sen x y utilice este desarrollo para calcular sen

9

π

.

b) Desarrolle en potencias de x hasta la derivada de cuarto orden inclusive la función f(x) = cos x y utilice este desarrollo para calcular cos

4

π

.

c) Desarrolle en potencias de x hasta la derivada de cuarto orden inclusive la función f(x) = x+1 y utilice este desarrollo para calcular 1,1

9) Desarrolle f(x) = x 5 + 2 x 4 – x 2 + x + 1 en potencias de (x + 1).

10) a) Desarrolle f(x) = ln x en potencias de (x - 1) hasta la derivada de orden 5, y calcule aproximadamente ln 1,1.

b) Desarrollar f(x) = ln ( x + 1) en potencias de x hasta la derivada de cuarto orden, y calcule aproximadamente ln1,01.

11) Si f : R → R es una función cuatro veces derivable en R y su polinomio de Taylor de orden 3 en x 0 = 2 es P 3 (x) = - 2 + 3 ( x – 2) – 3 ( x – 2) 2 + ( x – 2) 3 y g : R → R una función cuatro veces derivable en R donde su polinomio de Taylor de orden 3 en x 0 = 2 es Q 3 (x) = 5 + 12 ( x – 2) + ( x – 2) 2 – 7 ( x – 2) 3 . Halle el polinomio de Taylor de orden 2 en x 0 = 2 de la función f . g.

12) Marque la opción correcta:

Si P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + D es el polinomio de Taylor de grado menor o igual a 3 de la función f(x) = e - x . cosx en x0 = 0 entonces :

a) 1 3

1

= = y D

A b) B = 0 y C = 1 c) ninguna de las anteriores

13) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de las siguientes funciones: a) f(x) = 1 – 4x – x 2 h) f(x) = ln x b) f(x) =

x

1

i) f(x) =    > + − ≤ − − 2 x si 4 x 2 x si 2 x 2 x 2 2 c) f(x) = ( x - 1 ) 3

_x

2 _{j) g(x) = |x | . x – 1} d) f (x) = 2 sen x + cos 2x (0 ≤ x ≤ 2π) e) f (x) = x 2 +

x

2

f) f (x) = 3 x x 2 3 + g) f (x) = 3 – 2 3 _x+₁

14) Sea f : R → R, una función derivable en todo punto; encuentre todos los máximos y mínimos relativos de f(x) justificando la respuesta, sabiendo que la función cumple simultáneamente : ♦ f ’(-1) = f ’(

2

1

−

) = f ’ (0) = f ’ (

2

3

) = 0. ♦ {x ∈R / f ’(x) > 0 } = (-∞ , -1) ∪ ( 0 ,

2

3

). ♦ {x ∈R / f ’(x) < 0 } = (-1,

2

1

−

) ∪ (

2

1

−

, 0) ∪ (

2

3

, +∞ ).

15) Determine analíticamente el valor de

k

∈

R

tal que la función

1 2 + + = x k x x f( ) alcance un extremo relativo en x=2. ¿Es máximo o mínimo?

16) Sea f(x) = ax3 + bx2 + cx + d , un polinomio que cumple f(1) = 0 y f ‘ (0) = 2 y tiene dos extremos relativos en x = 1 y x = 2 ;

a) Determine a, b, c y d

17) Plantee y resuelva los siguientes problemas:

a) Descomponga 64 en dos sumandos de producto máximo.

b) Entre todos los rectángulos con un área dada A, encuentre las dimensiones del que tiene perímetro mínimo.

c) Dado un alambre de 10 m de longitud se desea cortarlo en dos partes y hacer con los trozos dos cuadrados tales que la suma de las áreas encerrada sea mínima.

d) Halle dos números cuya suma sea a y tal que la suma de sus cuadrados mínima.

e) Se quiere construir una caja de cartón de base cuadrada, abierta (sin tapa) de 32

dm

3de volumen. Halle las dimensiones para que dicha caja tenga superficie mínima.

18) Para las funciones que se indican, grafique f(x) y f ’(x) (en un mismo gráfico) para mostrar que f ’(x) es creciente en los intervalos en que la gráfica de f(x) es cóncava hacia arriba y que f ’(x) es decreciente en los intervalos donde la gráfica de f(x) es cóncava hacia abajo: a) f (x) = 2 x 2 b) f (x) = 3 x 3 x3− c) f (x) = sen x [ -π.π]

19) Para las siguientes funciones determine intervalos de concavidad y puntos de inflexión:

a) f (x) =

3

x

6

2

+

b) f (x) = 4 x 1 x 2 2 − + c)f(x)=x3−6x2+3x d)    > + − ≤ − − = 2 4 2 2 2 2 2 x x x x x x f si si ) ( e)_f(x)=3 _(x−₁₎

20) Calcule los coeficientes a,b, cy ddel polinomio

P

( )

x

=

ax

3

+

bx

2

+

cx

+

d

, sabiendo que:

a)

P

tiene un mínimo en x =3 b)

P

tiene un punto de inflexión x =2 c) P

( )

0 =1, P

( )

1 =25

21) Efectúe el estudio completo (dominio, intersecciones con los ejes coordenados, discontinuidades, asíntotas, intervalos de crecimiento, extremos, puntos de inflexión, concavidad, gráfico aproximado, imagen) de las siguientes funciones.

a) 2 2 x x x f( )= + d) f(x) =

(

2+x2

)

.e−x2

b) 4 2 2 3 − = x x x f( ) e)     ≤ < ≤ = 2 3π x 0 si cosx 0 x si x e f(x) c) _f(x)=ex_x−1 _{f) f(x)}=_lnx

22) La figura adjunta muestra la gráfica de la derivada de una función f(x) con dominio en R (reales) y continua para todo x. Determine justificando sus respuestas:

• Intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de f(x). • Extremos relativos de f(x).

• Intervalos de concavidad de f(x) • Puntos de inflexión de f(x).

• Grafique una función f(x) que cumpla los incisos anteriores sabiendo que los ceros de f(x) son x = 0 y x= 3.

Propuestos

23) Dara f ( x ) =  x - 1, podemos afirmar que existe c ∈ ( 0 ; 2 ) tal que f ’ ( c ) = 2 ) 0 ( f ) 2 ( f − = 0.? Justifique 24) La función _f(_x)= _x3−9_x+1

verifica el Teorema de Rolle en el intervalo

[ ]

0;b , ¿Cuál es el valor de b?

a) Halle el punto intermedio cuya existencia asegura el teorema.

b) Enuncie el Teorema de Rolle y justifique gráficamente en la función propuesta.

25) Determine si existe el valor de la constante k∈Rpara que:

(

)

3 1 0 x e e lím kx x x = + + → .

26) Seleccione y justifique analíticamente la respuesta correcta.

Sea f: R → R, derivable y L =

lim

(

)

(

)

x a

f senx

f sena

x a

→

−

−

entonces: • L puede no existir • L = f ‘ (sen a) • L = f ‘ (sena) cos a • L = + ∞ •

27) Sea f : (2,7)→R una función tres veces derivable en el intervalo (2,7) y sea

P(x)= 3 – (x-5) + 9(x-5)2 el polinomio de Taylor de orden 2 de f(x) en x0=5. Calcule g‘(1) sabiendo que g(x) = ln(f(5x)).

28) Marque y justifique la respuesta correcta.

Dada f(x) = - x, el coeficiente de (x-1)3 del polinomio de Taylor es:

1/16 -1/16 3/8 -3/8

29) Dada la f₍x₎=3x23 −4x_{, halle intervalos de crecimiento y decrecimiento. Analice,}

además, la existencia de extremos relativos.

30) Sea f:R-{0}→R f(x)=

(

)

k

R

x

k

x

+

2

_∈

3

a) Halle los valores de k ∈R para los cuales f(x) tiene un punto crítico en x=2. b) Para el mayor valor de k hallado en a), determine intervalos de crecimiento y de

decrecimiento y extremos relativos de f(x).

31) a) Defina máximo relativo y mínimo relativo de una función y = f(x)

b) Sea f: R → R / su derivada es f' ( )x =e−x (senx−2)x2 . Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de y = f(x). Determine, si existen, sus extremos relativos. 32) Dada la función







−

<

−

≥

+

−

−

=

₊

2

.

5

2

1

8

)

(

2 2 3

x

si

e

x

si

x

x

x

x

f

x .

a) Complete, si es posible, sobre la línea de puntos para que las siguientes proposiciones resulten verdaderas:

a1) Intervalos de concavidad hacia arribaXXXXXXXXXXXX a2) Intervalos de concavidad hacia abajoXXXXXXXXXXX a3) Punto/s de inflexiónXXXXX

b) Enuncie las definiciones y criterios usados en la resolución del inciso a.

33) Determine las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en el triángulo como se indica en la figura

RESPUESTAS

1) a) c = 2 b) c = 1 c) No satisface las hipótesis d) No satisface las hipótesis 2) a) c = 0 b) c = ½ c) 1 −

=

n

n

d

c

3) --- 4) P ( 1,1 ) 5) a) c =

9

14

b) c =

2

π

6) a) _{n 1}

a

n

1

− e) 0 i) 1 b) 2 f) 1 j) 1 c) 2 g) -

2

1

k) e – 1 d) 0 h)

2

1

7) a) 1 b) 18. 8) a) P4(x) = x - 3 x 3! sen

9

π

= 0,3419770812 b) P4(x) = 1 - 2 4 x x 2! + 4! cos

4

π

= 0,70743

a) P4(x) = 1 + 2 3 4 x x x 5x 2 − 8 + 16 −128 1 , 1 = 1 , 0488085 9) P(x) = (x + 1 ) 2 + 2( x + 1 ) 3 - 3( x + 1 ) 4 + ( x + 1 ) 5 10) a) P5(x) = (x-1) - 2 3 4 5 (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) 2 3 4 5 − − − − + − + f(1,1) ≅ 0,095308 b) P4(x) = x - 2 3 4 x x x 2 + 3 − 4 ln 1,01 = 0,009950333083 11) Q 2 (x) = -10 - 9 (x – 2 ) + 19 ( x – 2 ) 2 12) Respuesta a)

13) a) f(x) crece en (-

∞

, - 2) y decrece en (- 2,+

∞

). Máximo en P(-2,5) b) f(x) decrece en todo su dominio. No tiene extremos

c)

(

)























 +∞

∞

−

5

2

,

0

:

;

,

5

2

0

,

:

U

decrece

en

en

Crece

Max. Rel.:

( )

0,0 ; Min. rel:

























5

2

,

5

2

f

d) Crece en : 0, U ,5 U 3 ,2 ; decrece en : , U 5 ,3 6 2 6 2 6 2 6 2 π π π π _π π π π π                               Mínimos relativos P (

2

π

, 1 ) y P (

2

3

π

, -3 ).Máximos relativos P (

6

π

,

2

3

) y P (

6

5

π

,

2

3

).

e) f(x) crece en(1,+

∞

) y decrece en (-

∞

,0)U(0,1) . Mínimo relativo en P ( 1 , 3 ). f) f(x) crece en todo su dominio. No tiene extremos.

g) f(x) decrece en todo su dominio.No tiene extremos

h) f(x) crece en todo su dominio. No tiene extremos i) f(x) crece en (

2

1

, 2 ). y decrece en (-

∞

,

2

1

) ∪ ( 2,+

∞

).Mínimo relativo P (

2

1

,-

2

5

) Máximo relativo P ( 2 , 2 ).

j) g(x) crece en todo su dominio. No tiene extremos.

14) En x = - 1 máximo relativo, pues en su entorno la función pasa de ser creciente a decreciente.

En x = -

2

1

no hay extremo, en su entorno no hay cambio de signo de la derivada primera.

En x = 0 mínimo relativo, pues en su entorno la función pasa de ser decreciente a creciente. En x =

2

3

máximo relativo 15)k ,esmáximo 4 3 − = 16) 6 5 2 2 3 3 1 _{=− = = −} = b c d

a ; ; ; En x=1 hay máximo y en x=2 un mínimo.

17) a) x = 32 e y = 32.

b) x = A e y = A.(cuadrado) c) x = 5 (se corta a la mitad)

b) x =

2

a

e y =

2

a

. c) x= 4 dm y = 2 dm 18) ---

19) a) Cóncava hacia arriba: (-

∞

, - 1) ∪ ( 1, +

∞

). Cóncava hacia abajo: (-1, 1).

Puntos de inflexión: P (- 1 ,

2

3

) y P ( 1 ,

2

3

). . b) Cóncava hacia arriba: (-

∞

, - 2) ∪ ( 2, +

∞

). Cóncava hacia abajo: (-2, 2).

No tiene puntos de inflexión.

c) Cóncava abajo. (-

∞

,2) Cóncava arriba. . (2,

∞

) P(2,-10) pto. de inflexión

d) No tiene puntos de inflexión. Cóncava arriba en (−∞, 2) . e) Cóncava abajo (1,

∞

) Cóncava arriba. (-

∞

,1) P(1,0) pto. de inflexión 20) a = 6 , b = -36, c = 54 y d = 1 21) a) • Dom f(x) = R-{0} , Im f(x) = R-(-2,2) • Intersecciones : no tiene • Discontinua no evitable en x =0 • X =0 Asíntota vertical ;

y

x

2

1

=

Asíntota oblicua

• Crece en : (-

∞

,-2)U(2,

∞

) . Decrece en:

(

−2,0

) ( )

∪ 0,2

• No tiene puntos de inflexión .

• (-

∞

,0) Cóncava abajo. (0,

∞

) Cóncava arriba

b)

• Dom f(x) = R-{-2,2} ; Im f(x) = R

• Intersecciones: x = 0; y = 0

• Discontinua no evitable en x =-2 y x = 2

• x = - 2 y x = 2 asíntotas verticales ; y = 2x asíntota oblicua

• Extremos:

(

2 3,6 3

)

mínimo y

(

−2 3,−6 3

)

máximo

•

(

−2 3,−2

)

U(-2,2)U

( )

2,2 3 decrece ;

(

−∞,−2 3

)

U

(

2 3,∞

)

crece

• Pto. de inflexión: (0,0)

• (-

∞

,-2)U (0,2) Cóncava abajo. (-2,0)U(2,

∞

) Cóncava arriba

c)

• Dom f(x) = R - {0} ; Im f(x) =

(

−∞,0

) ( )

∪ e,∞

• Intersecciones: no tiene

• Discontinua no evitable en x =0

• AV: x=0 ; AH: y= 0 ( a izquierda)

• Extremos: (1,e) mínimo

• (-

∞

,0) y (0,1) decrece, (1,

∞

) crece

• Ptos de inflexión: no tiene

• (-

∞

,0) C. abajo y (0.

∞

) Cóncava arriba

d) • Dom(f) = R ; Im (f) = (0 , 2 ] • Asíntotas: y = 0 horizontal • Máximo en (0,2) • Crece en (-∞,0) . Decrece en (0,+∞) • Puntos de inflexión:            − e y e 3 , 1 3 , 1

• Cóncava hacia arriba: (-∞,-1)U(1,+∞) • Cóncava hacia abajo: (-1,1)

e) • Dom f(x) =  _   ∞− 2 3π , , Im f(x) = [ - 1 , 1 ] • Intersecciones: y = 1 ; x=π/2 y x=3π/2

• Continua en todo su dominio

• y = 0 Asíntota horizontal (a izquierda)

• Extremos: (π , - 1) Mínimo, ( 0, 1) Máximo

• (-

∞

,0)U(π,3π/2) crece ; (0,π) decrece

• ( π/2 , 0 ) punto de inflexión .

• (0,π/2) cónc. abajo, (-

∞

,0)U( π/2 , 3π/2 ) cónc. arriba

f)

• Dom f(x) = ℜ −

{ }

0 , Im f(x) = Dom f(x) = ℜ

• Intersecciones: x = 1 y x = - 1

• Discontinua inevitable en x=0

• x = 0 Asíntota vartical

• Crece en (0,+∞) . Decrece en (-∞,0) . No tiene extremos.

• Cóncava hacia abajo en (-∞,0) U (0,+∞).No tiene puntos de inflexión

22) f(x) crece en (-∞,0) U (0,2) y decrece en (2,+∞). Puntos críticos: x = 0 y x = 2.

En x = 0 no hay extremo En x = 2 hay máximo relativo.

f(x) es cóncava hacia arriba en (-∞,0) U (2,+∞) y hacia abajo (0,2) En x = 0 hay punto de inflexión.

23) No es aplicable el Teorema de Lagrange, no es derivable en x =1

24) b = 3 , c = √ 3 25) K = 2 26) L = f ‘ (sena) cos a. 27) g ‘ (1) = -5/3 28) -1/16 29) Crece en (0, 1 8) Decrece en (-

∞

,0) ∪ (1 8,+

∞

) Mínimo en x = 0. Máximo en x =1 8. 30) a) k= -6 y k = 6 b) Crece en (-

∞

,-2) ∪ (2,+

∞

) Decrece en (-2,0) ∪ (0,2) Máximo en x = -2. Mínimo en x = 2.

31) Decrece en todo su dominio. No tiene extremos.

32) Cóncava hacia arriba en (-

∞

,-2) ∪ (1

3,+

∞

)

Cóncava hacia abajo en (-2, 1

3)

Punto de inflexión en x = 1/3