Solución de problemas de optimización topológica empleando el Algoritmo Simulated Annealing Modificado

w w w . e l s e v i e r . e s / r i m n i

Revista

Internacional

de

Métodos

Numéricos

para

Cálculo

y

Diseño

en

Ingeniería

Solución

de

problemas

de

optimización

topológica

empleando

el

Algoritmo

Simulated

Annealing

Modificado

C.

Millán

Páramo

_y

_O.

_Begambre

_Carrillo

a_{ProfesorDepartamentodeIngenieríaCivil,UniversidaddeSucre,Sincelejo,Colombia}

b_{ProfesorEscueladeIngenieríaCivil,UniversidadIndustrialdeSantander,Bucaramanga,Colombia}

i n f o r m a c i ó n

d e l

a r t í c u l o

Historiadelartículo:

Recibidoel5deseptiembrede2014 Aceptadoel21denoviembrede2014 On-lineel13demarzode2015 Palabrasclave: Optimizacióntopológica Simulatedannealing

AlgoritmoSimulatedAnnealingModificado

r

e

s

u

m

e

n

EstetrabajoproponeelempleodelatécnicaestocásticadeoptimizaciónASAMparasustituirelcriterio deoptimalidadutilizadodentrodelmétododeoptimizacióntopológicapropuestoporAndreassen.Para evaluaryvalidareldesempe ˜nodelastécnicasplanteadas,seabordaron3problemasdeelasticidad planareportadosenlaliteraturaespecializada.CadaproblemafueanalizadoempleandoelMétodode ElementosFinitos(MEF)con3tiposdemallasdiferentes,conelfindecompararlosresultadosobtenidos encuantoatopologías,valordeenergíadedeformaciónytiemposdeejecuciónpromedio.Selogró establecerqueelprocedimientoqueinvolucraaASAMarrojamenorestiemposcomputacionalesamedida queseanalizanlosproblemasconmallasmásrefinadas.Finalmente,lasdistribucionesdematerialen eldominiodedise ˜noyvaloresdeenergíaobtenidosfueronsimilaresalosreportadoseneltrabajode Andreassen,dandovalidezalapropuestaaquípresentada.

©2014CIMNE(UniversitatPolitècnicadeCatalunya).PublicadoporElsevierEspaña,S.L.U.Esteesun artículoOpenAccessbajolalicenciaCCBY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

Solving

topology

optimization

problems

using

the

Modified

Simulated

Annealing

Algorithm

Keywords:

Topologicaloptimization Simulatedannealing

ModifiedSimulatedAnnealingAlgorithm

a

b

s

t

r

a

c

t

ThisworkproposestheuseoftheMSAAstochasticoptimizationtechniquetoreplacetheoptimality criterionusedinthetopologyoptimizationmethodproposedbyAndreassen.Toevaluateandvalidatethe MSAAperformancewestudiedthreeplaneelasticityproblemsreportedintheliterature.Eachproblem wasanalyzedwiththreedifferentfiniteelementmeshtypesinordertocomparetheresultsobtained intermsoftopology,strainenergyvalueandaverageruntimes.Itwasestablishedthattheprocedure involvingtheMSAA,yieldslowercomputationaltimesinproblemswithmorerefinedmeshes.Finally, thematerialdistributionandtheenergyvaluesobtainedweresimilartothosereportedintheworkof Andreassengivingvaliditytotheworkpresentedhere.

©2014CIMNE(UniversitatPolitècnicadeCatalunya).PublishedbyElsevierEspaña,S.L.U.Thisisan openaccessarticleundertheCCBY-NC-NDlicense (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

1. Introducción

ElproblemadeOptimizaciónTopológica(OT)consisteen bus-carunadistribuciónóptimadematerialenundominiodedise ˜no quesatisfagalassolicitacionesylascondicionesdebordedefinidas.

∗ _{Autorparacorrespondencia.}

Correoelectrónico:[email protected](C.MillánPáramo).

Generalmente,laOThasidoformuladaentérminosdeminimizar laenergíadedeformacióndelaestructuraanalizada.

Enlamayoría detrabajos sobreOT reportadosse encuentra que los métodosdeoptimizacióncomúnmente empleados son: elcriteriodeOptimalidadEstándar(OptimalityCriteria)[1–3],el MétododelaCurvadeNivel(LevelSetMethod)[4]ylaeficiencia dePareto(ParetoOptimalTracing)[5],entreotros.Sinembargo,se deberecordarquelaOTesunproblemaconmúltiplesmínimos localessusceptibledesolucióna travésdemétodosestocásticos http://dx.doi.org/10.1016/j.rimni.2014.11.005

0213-1315/©2014CIMNE(UniversitatPolitècnicadeCatalunya).PublicadoporElsevierEspaña,S.L.U.EsteesunartículoOpenAccessbajolalicenciaCCBY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

dise ˜nadosparaidentificarmínimosglobales.Porlotanto,se pro-poneenesteestudioemplearelAlgoritmoSimulatedAnnealing Modificado(ASAM)[6]debidoasunotabledesempe ˜noen compa-racióncontécnicascomoHarmonySearch,AlgoritmosGenéticos yPSO-DE(Particleswarmoptimization-differentialevolution),entre otras.Paramayoresdetallesserecomiendaconsultar[6].Deforma general,todasestastécnicasexploranelespaciodebúsquedade una maneracontroladay tienenlaventaja denodepender del cálculodederivadasparallevaracaboelprocesodeoptimización. Ensuprimeraparteestetrabajopresentaladescripcióndel pro-blemadeOTylosejemplosnuméricosdebenchmarkaanalizar. SeguidamentesedescribebrevementelatécnicaASAM,sus funda-mentosylosparámetrosquelacontrolan.Finalmente,semuestran losresultadosobtenidosconlaimplementacióndeestemétodoy secomparanconresultadosdelaliteraturainternacional. 2. Descripcióndelproblema

Conlafinalidaddeencontrarladistribuciónóptimadematerial paracadaunadelasestructurasmostradasseprocedióa discreti-zareldominiodedise ˜nomedianteelMétododeElementosFinitos (MEF).EnesteestudioseemplearonelementosfinitostipoC4[7],y acadaelemento(e)seleasignóunadensidadXe.Elsiguientepaso

fueutilizarlaecuación(1)definidaenelmétodoSIMPmodificado [1](porsusiglaeninglés,SolidIsotropicMaterialwithPenalization) paradefinirelmódulodeelasticidaddecadaelemento.

Ee:Ee(xe)=Emin+xpe(E0−Emin) (1)

dondexeε[0,1] esladensidaddelmaterial,Emin esunvalorde

densidadmuypeque ˜noasignadoparaanularelementosconelfin dequelamatrizderigideznoseconviertaensingular,ypesun factordepenalización(generalmentep=3)introducidopara garan-tizarsolucionesblancoynegro(black-and-white).Laformulación matemáticadelproblemadeoptimizaciónsebasaenunaley poten-cial,dondeelobjetivoesminimizarlaenergíadedeformación,yse describeasí[1]: minx=c(x)=UTKU=

dondeceslaenergíadedeformaciónaminimizar,UyFsonlos vectoresdedesplazamientoyfuerzasglobales,respectivamente,K

eslamatrizderigidezglobal,ueeselvectordesplazamientodel elemento,Eeestádadoporlaecuación1,k0eslamatrizderigidez

delelemento,xeselvectordevariablesdedise ˜no(esdecir,las densidadesdeloselementos)yNeselnúmerodeelementosusados paradiscretizareldominiodedise ˜no,V(x)yV0sonelvolumendel

materialyelvolumendeldominiodedise ˜no,respectivamente,yf

eslafraccióndevolumen.Lafraccióndevolumeneslacantidadde materialquesedeseaquequedeenelelemento.Comosepuede verenlaecuación(1),elproblemadadoesconvexoparap=1y noconvexoparap>1.Portratarseentoncesdeunproblemano convexo(conmúltiplesmínimoslocales),sejustificaelusodelas técnicasestocásticas.

Conelobjetodeevitarproblemasdeinestabilidadnumérica,el algoritmodeOTempleaunatécnicadefiltradodedensidad, des-critoporAndreassen[1],elcualproduceunalisadodelasenergías dedeformacióndeloselementos,teniendoencuentaelvalordela energíadeloselementosvecinos,yasíencontrarsoluciones razona-bles.Paraespecificarloselementosvecinos(vecindario),sedefine

Inicio Cálculo k modificada Análisis MEF Cálculo de la energía de deformación Filtro de imagen Criterio de parada Oprimización: actualización de variables de diseño mediante ASAM

Figura1. ProcesodelalgoritmodeOT.

eláreadeinfluenciaempleandounradio(equivaleaun porcen-tajedelanchodelelemento3-4%)paraseleccionarelvecindariode cadaelemento,queinfluiráenelvalordeladerivadadelaenergía dedeformación(conrespectoaxe)deeste.

Laestructurabásica delalgoritmopropuestoporAndreassen conlaadiciónpropuestaenestetrabajo(verpunto6)sepresenta acontinuación:

1)Dise ˜noinicial.Serealizaunadistribuciónhomogéneadel mate-rialenlageometríadetrabajo.

2)Secalculalamatrizderigidezglobalteniendoencuentalaactual distribucióndelmaterial.

3)Secalculamediante elementosfinitos elcampode desplaza-mientosparaciertoestadodecargas.

4)Secalculalaenergíadedeformaciónconrespectolavariablede dise ˜no(densidades).

5)Seaplicaunfiltroconelobjetodeencontrarsolucionesmenos pixeladasymáscontinuas,todoestoconelfindeevitar proble-masdeinestabilidadmencionadosanteriormente.

6)Finalmente,medianteunatécnicaestocástica(ASAM),se calcu-lanlasnuevasdensidades.

7)Sevuelvealpaso2.

De esta forma,el procesocontinúa iterando hastaun punto enqueelvalordelasdensidadesnocambiasignificativamentey elbucletermina.Laestructuradelalgoritmoenunciada anterior-menteserepresentamedianteeldiagramadeflujorepresentado enlafigura1.

2.1. ProblemaspropuestosdeOptimizaciónTopológica

Paraevaluarelcomportamientodelosalgoritmosde optimiza-ciónenproblemasdeOT,serealizaron3problemasdebenchmark

reportadosenlaliteratura(fig.2). 3. Técnicasestocásticas

Las técnicas estocásticas están entre los desarrollos más recientes en métodosaproximados para resolver problemasde optimización.Estosmétodosusanconceptosbasadosen inteligen-ciaartificial,biología,matemáticas,cienciafísicasynaturales.Esta secciónpresentalosfundamentosdelAlgortimoSimulated Annea-lingModificado(ASAM).

Problema I MBB-Beam

Problema II Viga en voladizo

Problema III Viga en voladizo con hueco

Figura2. Problemasdeoptimización[1].

3.1. AlgoritmoSimulatedAnnealingModificado

AntesdesintetizarlascaracterísticasdelASAM,valelapena des-cribirbrevementefuncionamientodelSimulatedAnnealingbásico. ElSimulatedAnnealingcomienzaconunciertoestadoS.Através deunprocesoúnicocreaunestadovecinoS’alestadoinicial.Sila energíaolaevaluacióndelestadoS’sonmenoresqueelestadoS, cambiaelestadoSporS’.SilaevaluacióndeS’esmayorquelade

Spuedeestarempeorando,porloqueeligeS’envezdeSconuna ciertaprobabilidadquedependedelasdiferenciasenlas evalua-cionesylatemperaturaTdelsistema.Laprobabilidaddeaceptar unestadopeorsecalculaporlasiguienteecuación:

P(f,T)=e(f/T) ₍₆₎

donde:

P:probabilidaddeaceptarelnuevoestado.

f:diferenciadelasevaluacionesdelafunciónparacadaestado.

T:temperaturadelsistema.

e:númerodeEuler.

Inicialmente,convaloresgrandesdeT,frecuentementese acep-tansolucionesconunmayorvalordefunciónobjetivo;amedida queelvalordeTdisminuye,taltipodesolucionesraramentese aceptan, ycuando T se acerca a cero,solo se aceptan aquellas solucionesquemejoranlaanterior.Lafunciónparareducciónde temperaturamásutilizadaes:Tk+1=Tk·˛,dondeTk+1eselnuevo

valorajustadodeT,TkcorrespondealpreviovalordeTy˛esuna

constantequeestácomprendidaenelintervalo[0,8,0,99]. ElSimulatedAnnealingcomienzaconunasolucióninicial esco-gidaaleatoriamenteenelespaciodebúsquedaylacomparacon otraquetambiénseseleccionaestocásticamenteenelespaciode búsqueda,loqueafectaalalgoritmocuandosetienenfunciones

Problema I MBB-Beam

Figura3. VigaMBB.

altamentedimensionalesymodalesgenerandomayorestiempos debúsquedaysolucionessubóptimas.Además,laprobabilidadde aceptación de una solución peor se encuentraen un intervalo deentre0y1,locualcausaqueatemperaturasinicialeselalgoritmo acepteungrannúmerodesolucionesdepeorcalidad(aumentando elriesgodequedaratrapadoenunóptimolocal).

Enestecontexto,elalgoritmoASAM,desarrolladoporMillán, BegambreyMillán[6],tiene3característicasfundamentalesque lohacendiferenterespectoalSimulatedAnnealingbásico.Dichas característicassonlassiguientes:

3.1.1. Exploraciónpreliminar

Enestaetapaelalgoritmorealizauna exploraciónentodoel espaciodebúsquedaquevienedadoporlasiguientematriz:

XPxN=IPxNXmin+randPxN(Xmax−Xmin) (7)

donde:

P:númerodepuntos(estados)que sedeseanenel espaciode búsqueda.

N:númerodedimensionesdelproblema.

IPxN:matrizidentidaddetama ˜noPxN. Xmin:límiteinferiordelproblema.

Xmax:límitesuperiordelproblema.

randPxN:matrizPxNdenúmerosaleatorios (aleatoriedadpura)

entre0y1.

ParacomenzarelprocesodeoptimizaciónconASAMseevalúan todoslospuntosgeneradosconlaec.(7)mediantelafunción obje-tivodelproblemayseescogeelquetengamenorvalor(enelcaso deestarbuscandoelvalormínimodelafunción)comopuntoinicial delabúsqueda.

3.1.2. Pasodebúsqueda

Apartirdelpuntoinicialdeterminadoenlaetapaanterior,se generaunpasodebúsquedaparadeterminarelestadovecino.Este pasodependedeunradiodeacciónquesereducegradualmente amedidaquedesciendelatemperaturadelsistema(verecuación 8).Esdecir,cuandoelalgoritmoestáendeterminadatemperatura, conradiodeaccióndefinidoporlaec.(7)paraesatemperatura,la transicióndelpuntoinicialalnuevopunto(pasodebúsqueda)se realizamediantelaadiciónalpuntoinicialdenúmerosaleatorios queestáncomprendidosentreceroyelvalordelradio.Estopermite queelalgoritmorealiceunaexploraciónglobalatemperaturasaltas yunaexploraciónlocalatemperaturasbajas,dandounequilibrio entrelaexploraciónylaexplotacióndelalgoritmo.

Ri+1=Ri·˛ (8)

donde:

Ri:radioinicialciclo.

˛:coeficientedereduccióndelradio.

3.1.3. Probabilidaddeaceptación

Enestapropuestalaprobabilidaddeaceptacióndeunapeor solución(estado)vienedadapor:

P= 1 1+e

⁄

P:probabilidaddeaceptarelnuevoestado.

f:diferenciadelasevaluacionesdelafunciónparacadaestado.

T:temperaturadelsistema.

Iteraciones Iteraciones Iteraciones Iteraciones Iteraciones

Iteraciones

Iteraciones Iteraciones Iteraciones

Problema I-malla 60x20

Problema II-malla 80x50

Problema III-malla 75x50 Problema III-malla 150x100 Problema III-malla 225x150 Problema II-malla 240x150 Problema I-malla 300x100 Problema I-malla 150x50 Problema II-malla 160x100 Energía de deformación (c) Energía de deformación (c) Energía de deformación (c) Energía de deformación (c) Energía de deformación (c) Energía de deformación (c) Energía de deformación (c) Energía de deformación (c) Energía de deformación (c)

Figura4.ConvergenciaASAM.

Estaprobabilidadseencuentraenunintervaloentre0y½,lo quepermitealalgoritmotenerunrangomenordeaceptaciónde peoressoluciones.

Enresumen,las3modificacionespropuestasaquítienenla fina-lidaddemejorarlaexploracióninicial,permitirunbalanceentre

exploracióninicialyfinalycontrolarlaconvergenciaenlaetapa finaldelabúsqueda.

4. Resultadosnuméricos

Losresultadosobtenidosfueroncomparadosconlosreportados porAndreassen[1].Laimplementacióndelosalgoritmos propues-tosfuerealizadaenMATLAB®_{,bajoelsistemaoperativoWindows} 7.CabemencionarqueelequipoutilizadofueunIntelCoreTM₂

Duo-1.33GHz,2.00GB(RAM).

Elprimer problemasimuladoes lallamadaviga MBB-Beam, denominaciónoriginadaporlaempresaalemana Messerschmitt-Bolkow-Blohm. Las condiciones de contorno predeterminadas correspondenalamitaddelaMBB-Beam(fig.3).Lacargaseaplica verticalmenteenlaesquinasuperiorizquierda;haycondicionesde contornosimétricasalolargodelbordeizquierdo,ylaestructura seapoyahorizontalmenteenlaesquinainferiorderecha.

Laestructurafuediscretizadacon3tiposdemallas,comose indicaaseguir:a)60×20(60elementosendirecciónhorizontal y20elementosendirecciónvertical);b)150×50,yc)300×100. Elproblemaiieslavigaenvoladizo(fig.1), conocidaenla

lite-raturainternacionalcomoelvoladizodeMichell.Esteproblema

C TIEMPO (seg) TOPOLOGÍA C TIEMPO (seg) TOPOLOGÍA 60 x 20 233.71 22.00 239.14 114.02 150 X 50 235.73 375.85 241.83 112.95 300 X 100 238.31 5531.50 241.47 240.81 80 X 50 63.07 91.33 63.85 271.69 160 X 100 64.76 1213.50 66.10 135.65 240 X 150 65.62 6223.93 70.53 472.76 75 X 50 54.23 80.49 56.86 56.91 150 X 100 55.05 1021.90 57.22 136.40 225 X 150 55.52 3009.85 57.68 288.01 ASAM PROBLEMA MALLA ANDREASSEN [1] I

se modeló con 3 tipos de mallas: a)80×50; b)160×100, y c)240×150.Porúltimo,elproblemaiii,llamadovigaenvoladizo conhueco(fig.1),seanalizóconlasmallas:a)75×50;b)150×100, yc)225×150.

Con el fin de evaluar el desempe ˜no de la metodologíaaquí empleada,inicialmenteserealizaronlosexperimentosnuméricos obteniendo:lastopologías,susvalorescorrespondientesde ener-gíadedeformación(c)ylostiemposdeejecuciónpromediopara cadaejemplo.Estosvaloresseencuentranresumidosenlafigura5. Finalmente,enlafigura4sepresentanlasgráficasdeconvergencia deASAMparacadaproblema.

Sepuedeobservar,paraelproblemai,queASAMtieneunbuen comportamientoencuantoadistribucióndelmaterialyenergía. Encuantoatiemposdeejecución,sepuededecirqueamedida queaumentaelnúmerodeelementosfinitos(discretización),el ASAM(empleadoaquíporprimeravezenproblemasdeOT)emplea menostiempoencomparaciónconlareferencia[1]y,además,se puedenobservarsolucionesmássuavizadas(esdecir,menos den-tadas).

Paraelproblemaii,ASAM,encontrótopologíasbastantes

simi-laresalareferencia,variandounpocoenelgrosordeloselementos; estosevereflejadoenlosvaloresdeenergíadedeformación,los cualesdifieren mínimamente. Por último, en el problemaiii se

puedeobservarqueASAMobtienetopologíasendondeadiciona unpeque ˜noorificioyunabarradelgada(fig.5)quepocoalteranlos valoresdeenergíadedeformaciónenrelaciónconlosdela referen-cia[1],evidenciandolacapacidaddeASAMparaencontrarpuntos óptimosglobalesencualquiertipodeproblema.

5. Conclusiones

Sehaconseguidoevaluareldesempe ˜nodelAlgoritmo Simula-tedAnnealingModificado(ASAM)enelproblemadeoptimización topológicadeestructurasbidimensionalesenrégimenelástico.Las topologías,losvaloresdeenergíaylostiemposdecómputo obteni-dosporASAMfueroncomparadosconlosresultadospresentados porAndreassen[1],mostrandoquesoncoherentesysatisfactorios

(comosemuestraenlafig.5),dandoasívalidezaltrabajoaquí realizado.

Encuantoalatécnicaempleada,sepuedeobservarqueASAM tieneunaversatilidadparaenfrentardiversostiposdeproblemas, condiferentestiposdemallas.Estosevereflejadoenlas distribu-cionesdematerial,valoresdeenergíaytiemposlogrados.Además, muestragranventajaentiemposdeejecución,cuandolos proble-massondiscretizadosconmallasrefinadas(aumentodenúmero deelementos).

Finalmente,encuantoaltipodemalla,sepuedeafirmarque unrefinamientodeestaconllevaaunamejoraenlasolución(más suavizadaymenosdentada),masnoaunatopologíadiferente. Agradecimientos

LosautoresagradecenalaUIS,algrupodeinvestigaciónINME yalaEscueladeIngenieríaCivil-UISporelsoporteofrecido.

Elsegundo autor agradeceel apoyo dela VIE-UIS(proyecto FM-2013-2:Optimizacióntopológicadeelementosestructurales empleandoelementosfinitosgeneralizadosenformulación varia-cionalmixtaytécnicasdeoptimizaciónestocástica).

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