Acerca de la existencia de formas de argumentación construidas fuera de escenarios escolares que llegan al aula de matemática

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ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

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ACERCADELAEXISTENCIADEFORMASDEARGUMENTACIÓNCONSTRUIDASFUERADE ESCENARIOSESCOLARESQUELLEGANALAULADEMATEMÁTICA

CeciliaCrespoCrespo,RosaM.Farfán,JavierLezama InstitutoSuperiordelProfesorado“Dr.JoaquínV.González”.

CentrodeInvestigacionesenCienciaAplicadayTecnologíaAvanzada. CICATA–IPN Cinvestav,IPN Argentina México México crccrespo@gmail.com,rfarfan@cinvestav.mx,jlezamaipn@gmail.com

Campodeinvestigación: Pensamientológico,Socioepistemología Nivel: Superior

Resumen.Estetrabajoformapartedeunainvestigaciónenmarcadaenlaperspectiva socioepistemológicayseorientaaanalizardesdeestemarcoteórico,lascaracterísticasdelas demostracionesyargumentacionespresentesenelauladematemática.Elobjetivodela investigaciónescomprenderelcaráctersocioculturaldelasargumentacionesmatemáticas, mostrándolascomoresultadodeaccionesdeunacomunidadenunescenariosociocultural. Nuestracultura,conbasearistotélica,haconstruidoformasdeargumentaciónbasadasen estalógica,ydurantesiglossehanconsideradasinnatas.Sinembargo,enelaulaseponende manifiestoalgunassituacionesnosujetasalalógicaquesehaconsideradoinnata,que evidencian elcarácter deconstrucción social delaargumentación matemática y que consideramostienenquesertenidasencuentaeneldiscursomatemáticoescolar.

Palabrasclave:argumentación,construcciónsociocultural,escenario

Introducción

Avecesesposibledetectarenelauladematemática,ciertosmodosderazonamientoque realizanlosalumnosquenosonacordesconlatradiciónaristotélica.Setrataenmuchas oportunidades de la transferenciaaescenariosacadémicos escolaresde formasde argumentarquesonutilizadosenescenarioscotidianos,quehansidoconstruidosen escenariosnoacadémicos.Lavisiónsocioepistemológicadelamatemáticadebeteneren cuentaestasformasderazonamiento,lamaneraenlasquesonrealizadasycómose reflejanenelaprendizajeyvalidaciónderesultadosmatemáticos,yaquedenotanla transferenciadelosmismosdeunosescenariosaotros.Eninvestigacionesrealizadas,se hanpuesto demanifiestoque las argumentaciones como recurso de validación de resultadosenmatemática,surgenconelcarácterdeproductocultural(CrespoCrespo, 2005;CrespoCrespo&Farfán,2005).

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Enestetrabajosepresentanalgunasdeestasformasdeargumentaciónyseabren preguntas,cuyasrespuestasconduciránanuevasinvestigaciones.Lafinalidaddeeste artículoesmostrarqueenloscursosdematemática,notodaslasmanerasderazonarque seponendemanifiestosondeductivas.Deestamanera,laargumentacióndeductivade origenaristotélicovuelveamostrarsecomounaconstrucciónsociocultural,queconvive conotrasformasdeargumentaciónquetambiénhansidoconstruidassocioculturalmente.

Argumentacionesabductivas

El término abducción fue introducido por Pierce (Panizza, 2005), para designar razonamientosdelasiguienteforma:pq,qōp.

Enlalógicaclásicaesteesunrazonamientonoválido.Estafalaciasuele,sinembargo, utilizarseenciertosescenariosparalaproduccióndeconocimiento.Enescenariosno académicosesusadaennumerosassituacionesenlasquesebuscaunaexplicación.Enla vidacotidiana,enmúltiplesoportunidades,serazonaapartirdeevidenciasysobrela basedelosconocimientosqueseposee,seformulaunahipótesisacercadecuálpuede serlacausadelhechoobservado.Enalgunoscasoslaconclusióninferidatienemayor probabilidaddeserciertaqueenotros.Laconclusiónseenunciaavecespormediodeun “talvez”oun“quizá”.Lafuerzadelascreenciasacercadelamaneraenlaquese desarrollanloshechosoelvalordelaspruebasalasquesesometenlasconclusiones resultanfundamentalesenelmomentodeafirmarlaconclusión.

Veamosunejemplodepensamientoabductivo,quesepresentóenalumnosdeprimer añodeingenieríaensistemas.Sepresentóalosestudiantes:

"Probarquesielcuadradodeunnúmeronaturalespar,dichonúmeroespar"

Lademostraciónpresentadaporvariosalumnosfue: aespar,entoncessepuedeescribira=2k

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827 Elcuadradodeaes:a2=(2k)2=4k2 queespar. Alcorregirestetipodedemostraciones,sesueleafirmarquesetratadeunaconfusiónde lahipótesisylatesisdelteorema.Setrata,enrealidaddeunrazonamientoabductivo. Laconcepcióndeloscondicionalesenlosestudiantessuelesercausalyescomúnqueal preguntarleslaexplicacióndeciertoprocesoquehayanutilizadoenlaresolucióndeun problema,acudanarazonamientosabductivos.Estoquizásedebaaqueconfundanla estructura condicional con la bicondicional y de esta manera asignan a las argumentacionesabductivascarácterdeválidas.

Enescenarioscotidianos,losrazonamientosabductivossonbastanteutilizados.Esta formadeargumentaciónselereconocegranvalorparalograrargumentosexplicativos. Algunaspreguntasqueseabrenantelassituacionesenqueselosutilizaenescenarios académicosson:¿Existerealmenteunaconfusiónentrelatesisylahipótesisdelteorema? o,¿asumencomoválidoslosrazonamientosabductivos,basándoseenlaimplicaciónde Diodoro,envezdelareconocidaporAristóteles?¿Considerancomoválidosúnicamente losrazonamientossólidos?

Argumentacionesinductivas

Tambiénesfrecuenteencontrarenelaulaargumentacionesinductivas.Losalumnosa veces,anteunenunciadodeunapropiedadmatemática,pruebanunacantidadfinita,e inclusonomuygrande,decasosaislados,concretos,ydeesoconcluyenquecierta proposición.

Estasituaciónserepiteendistintoscursosyendistintasramasdelamatemática.Esmuy usualquelosalumnosextraiganconclusionesapartirderazonamientosinductivos.Los razonamientosinductivosconducenaconclusionesmásomenosprobables.Nootorgan

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garantíadela verdadde laproposición.Losrazonamientosinductivosnodependen únicamentedelacantidaddecasosensayadosyobservados.

Porejemplo,preguntamosaungrupodealumnosdesegundoañodeescuelamedia: “¿Dequécuadriláterosetratasitienesusdiagonalesiguales,perpendicularesyquesecorten

mutuamenteenpartesiguales?”

Losalumnoscomenzaronatrazarsegmentosperpendicularesqueverificanlascondiciones solicitadas:perpendiculares,quesecortenmutuamenteenpartesigualesyquesean iguales entre sí. Cada uno probó en uno o dos casos, compararon resultados, y respondieron:‘Setratadeuncuadrado’”.

Estasituaciónserepiteendistintoscursosyendistintasramasdelamatemática.Esmuy usualquelosalumnosextraiganconclusionesapartirderazonamientosinductivos.El esquemainductivoesunodelosmáshabitualesentrelosestudiantes.Ademáséstosno sonconscientesdesuslimitaciones,yaquenodanpruebasdesurechazocuandoseles presentaunaargumentacióninductiva.Suspruebasinductivasconsistenmuchasvecesen lapresentacióndeunejemploodos,raravezmuestranuncontraejemplo,einclusono expresanqueésteinvalidelaprueba.

Argumentacionesnomonotónicas

Unacaracterísticadelalógicaclásicaeslamonotonicidad.Estosignificaqueagregando nuevas proposiciones (premisas) a un razonamiento, nunca se invalidan viejas conclusiones.Oseaqueelconjuntodeconclusionesoteoremascrecemonótonamente conelconjuntodepremisas.Dichodeotramanera:siunaproposiciónesposiblequesea inferidaapartir de ciertoconjunto depremisas,pormásque seagreguennuevas premisas,laproposiciónseguirásiendoinferida.Enlapráctica,dehecho,noseutilizan muchasvecestodaslaspremisasdelasquesedisponenparallegaraunaconclusión.Por ejemplocuandoenmatemáticasedemuestraunteorema,noseaplicantodoslos

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conocimientosypropiedadesqueyahansidodemostradospreviamenteparalogrardicha demostración.

Lalógicaclásicapermiterealizarinferenciassegurasyconsistentes,noobstante,los razonamientoshumanosnosiempresonconsistentes,porlasinferenciasquerealizanlos alumnosenelaulaavecestampocoloson,yaquetransfierenestaformaderazonar desdeunescenarionoacadémicoaunoquesíloes.ElparadigmainferencialdelanoͲ monotonicidadotorgaunanociónde“racionalidadútil”quenoconsistesolamenteen razonarcorrectamentegarantizandoelprocesodededucciónlógica,laracionalidadútil tomaencuentanosólolospropósitosdeunagenterazonadordeterminadosinotambién eldominioenelcualésteopera.Lainferenciaclásicaseexplicaatravésdelanociónde consecuencialógica,mientrasquelainferencianoͲmonotónicaasumecompromisosmuy distintosrespectoasucontraparteclásica,enespecialabandonalanocióndeconsistencia y devalidez, asumiendo que elcontexto de la información es importantepara la representacióndelasinferenciasracionales.Elrequisitoderacionalidadquerequierenlas inferenciasdesentidocomúnparececentrarseenlaspropiedadesformalesquedebe poseerlarelacióndeconsecuencianoͲmonotónica.

Lanomonotonicidaddelasargumentacionestambiénapareceenoportunidadesenlas aulas. El uso decontraejemplos está relacionado con estetipo de argumentación. Volvamosalejemploquesepresentóenelcasodelasargumentacionesabductivas,pero enunciemosdedistintamaneralapropiedad:"Probarquesielcuadradodeunnúmeroes par,dichonúmeroespar",unalumnopresentólasiguientedemostración:

Seaa2=2k.Entoncesatienequeserpar,puescomo2esprimoyladescomposiciónen númerosprimosdeaesúnicaentoncesatieneunfactor2,entoncesktieneque tenerunfactor2paraelotroa.Entoncesa=2u(siendou=k/2)yporlotantoaespar. Pero2espary ₂noesparpuesnoesentero.Entonceslapropiedadesfalsa.

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Lademostraciónpresentadatienedospartes.Enlaprimerautilizaunaargumentación deductiva.Enlasegunda,descubreuncontraejemployapartirdeahíafirmaquela propiedadesfalsa.Sinembargo,enelexamenpresentaambasargumentaciones,comosi lapropiedadhubierasidoválidahastalaaparicióndelcontraejemplo.

Cabepreguntar:¿Quépapeldesempeñanloscontraejemplosparalosalumnos?¿Acaso venalamatemáticacomounaconstrucciónnomonotónicaynoreconocenelcarácter deductivoqueledalalógicaaristotélica?

Argumentacionesvisuales

Existenestudiosactualesacercadelosaportesquepuedenhacerlasdemostraciones visualesalacomprensióndelademostraciónmatemática,basadasenlavisualización (Hanna,2000).Estassesustentanenlautilizaciónderepresentacionesvisuales,elusode diagramasyotroselementosqueayudenavisualizarlaspropiedadesquesedesea demostrar.

Sonconocidaslasdemostracionesdepropiedadesaritméticasqueprovienendelaépoca de Pitágoras. Otro tipo de argumentaciones visuales son las que utilizan recursos computacionales. Pueden mencionarse como ejemplos las construcciones en Cabri Geomètre de los puntos notables de un triángulo. Los alumnos utilizan estas construccionesparavisualizarlaspropiedadescorrespondientesdelasubicacionesde estospuntos.Quienesutilizanestosrecursosenelaula,defiendenqueenrealidadal experimentarconlosgráficosobtenidos,seestánprobandolosmismosparaunacantidad infinitadecasosyqueapartirdeellos,esposiblereferirseademostracionesvisuales.Sin embargo, se preguntan otros cómo extraer la información implícita de las representacionesvisualesquepermitanconstruirunademostraciónválida(Hanna,2000). Paralosestudiantes,quizáestasealamaneraquemenosaceptandeargumentaciónno deductiva,yaquecomosepresentaenalgunasinvestigaciones(CrespoCrespo,2007),"no

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831 creen"enlosgráficosdebidoalacantidaddevecesquehanoídoquelosdibujospueden

engañar.

Preguntasquesurgenson:¿Quétiposdeargumentacionesgráficaspuedenconsiderarse

deductivas?¿Cuálessonenrealidadinductivas?¿Creeríanlosestudiantesenellassino

recibieranelcontinuomensajedequenosonválidas?

Argumentacionesaconocimientocero

Haceunosaños,hasurgidolaexpresión"demostracionesaconocimientocero"para

identificar ciertasformasdeargumentación(Hanna,1997). Se trata de una prueba

interactivabasadaenprotocolosdeconocimientocero.Enella,unapersonatratade

demostraraotraquesabealgo,sinenseñarleotransmitírselo.Esunaformadepresentar

unapropiedadmatemáticaauninterlocutor,convenciéndolodelaveracidaddelteorema

correspondienteydequeeldemostradorconocelamisma.Duranteestacomunicaciónse

buscaelconvencimientoylaaceptacióndelotro.

Esta forma de demostración es sustancialmente distinta a la que se aplica en la

matemática clásica, sin embargo resulta interesante desde el punto de vista

socioepistemológico en cuanto caracteriza una práctica social constituida por el

intercambiodeopinionesacercadeideasmatemáticasenescenariosacadémicosenlos

quenosepresentalademostracióncompleta,peroquesurgedeellalaaceptacióndel

resultado.

Suaplicaciónenelaulaserealizacongranfrecuencia,inclusoconfinesdidácticos.Por ejemplo cuando se deseaque losestudiantes comprendan yaceptenun resultado matemático,peroeldocentenosefocalizaenlapresentacióndelademostraciónensídel resultado.

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Algunasreflexionesacercadelasargumentacionesdelosestudiantes

Avecesenlatareadocentepreocupaquelosestudiantesnolleguenalosresultadosque como profesores quisiéramos, no se entiende cómo no realizan argumentaciones deductivascorrectas,esposibleoírdealgúndocente,laexpresión“norazonan”.

“Perolosalumnosrazonansiempre.Dichodeotramanera,losalumnosnorazonansolamente porquelatarealodemanda[.].Losalumnosestablecenespontáneamenteanalogías,generalizan,se danexplicaciones,encuentranregularidades,etc.”.(Panizza,2005,p.94)

Enefecto,loqueocurreesquesusformasderazonarnocoincidenconlamanera deductiva clásica, fundamentada en la tradición aristotélica. Están transfiriendo al escenario del aula formas de argumentación que son propias de escenarios no académicos,delamaneraqueutilizamosconfrecuenciaenrazonamientoscotidianos. Lasmanerasdeargumentarenmatemáticanosehanmantenidoestáticas,ydebenser comprendidascomoconstruccionessocioculturales.Estacomprensión,podráayudara tenerunamayorpercepcióndelasformasdeargumentaciónenelaulayunmejor aprovechamientoenlareconstruccióndeldiscursomatemáticoescolar.

Lacomprensióndelasdemostracionesmatemáticascomoprácticassociales,conducede inmediatoaanalizarlasmanerasdeargumentarqueestánpresentesenelaulayapensar acercadelascausasporlasquesurgenydequémaneraadquierenonoaceptaciónpor partedelosalumnos.Elanálisisdelvalorsocialdeestasformasdeargumentar,puede darluzacercadelacomprensióndelosmecanismosdevalidaciónyexplicacióndelas construccionesmatemáticasenelaula.

Consideramosqueresultaindispensableunamiradasobrelaescuelaactualenfunciónde lasargumentaciones.Lasinstitucioneseducativassemantienenenlaactualidad,oal menosintentanmantenerse,concaracterísticasquelesfueronpropiashaceaños.Intenta mantener sus tareas de manera disciplinadamente racional, esto es “que permitan distinguirconclaridadlosespaciosdelquesabeydelqueaprende,delquemandaydel

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queobedece,asícomoquiéneselqueevalúaalaprendiz,ycuándoycómo”(Barbero, 2006,p.2).

Sinembargoestasinstitucioneseducativasestánentrandoenunperíododecrisisque

deberádesembocarenunreplanteodesusactividades,delosrolesqueenellasse

desempeñan.Barberoplanteaclaramentequelacausadelacrisisesquenoesposible

pensarunmodeloescolarquemarquelosespaciosytiemposdeaprendizajeenla

sociedadactual.“Estamospasandodeunasociedadconsistemaeducativoaunasociedad educativa”(Barbero,2006,p.3).Estaideapareceesencial,yaquellamalaatencióna

buscarfueradelaescuelalosconocimientosqueseconstruyenyatratardeidentificarla

maneraenlaqueselosconstruyen.Laescuelapasaaser,bajoestaconcepción,una

instanciamásdeaprendizaje,peronolaúnica,seencuentrainmersaenunasociedaden

lacualseconstruyeconocimiento.

Enelcasodelasargumentaciones,nuestroesquemaactualdeescuela,haintentado,

siguiendoelesquemaaristotélicodeciencia,enseñarformasdeargumentardeductivas.

Sin embargo, no ha logrado con los estudiantes actuales resultados satisfactorios.

Acabamosdemostrarlapresenciaenelauladealgunasformasdeargumentarno

deductivas.Éstasenalgunasoportunidadespareceninclusomásconvincentesparalos

estudiantes.Indudablementehansidoconstruidasenescenariosnoacadémicos.Son

utilizadasenlasociedadparacomunicarse,justificar,inferir,defenderideas.

La escuela actual intenta ignorarlas, pero no podemos ignorar que el modelo de

comunicaciónescolaractualesdistintodelasdinámicascomunicativasdelasociedad

actual,delescenarioenelquelosestudiantessedesenvuelven,enlaqueseutilizan recursos orales, gestuales, sonoros, visuales, musicales y escritos. Estos recursos contribuyenalaconstruccióndeargumentacionesfueradelaescuela,enescenariosno académicos.Laescuelanopuedeignorarlos.Conelreconocimientodequenoshallamos

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enunasociedadeducativa,losdocentesdeberemosprestaratenciónaestasformasde argumentaciónyasuconstrucción.

Lasocioepistemologíaalreconocerlaconstrucciónsocialdelconocimientoycomprender queéstesellevaacaboenunescenariodeterminadoyavecessetransfiereaotros escenarios,estudialamaneraenlaqueseproduceesatransferencia.Enelcasoparticular delobjetodenuestroestudio,lasargumentaciones,hemospodidodetectarquelas argumentacionesutilizadasporlosalumnosenlaescuelaavecessonconstruidasfuera de ella. El alumno actúa en escenarios académicos y no académicos, trae argumentacionesconstruidasenlossegundosalosprimeros.Silaescuelasemantiene conlaconviccióndequeellaconstituyeelsistemaeducativoynoreconoce,segúnlas palabrasdeBarberoquemencionamosanteriormente,laexistenciadeunasociedad educativa,nopodrárepensarseenlareconstruccióndeldiscursomatemáticoescolar.

Referenciasbibliográficas

Barbero,J.(2006).Dinámicasurbanasdelaculturayculturaescolar.EnNuevostiemposy temasenlaagendadepolíticaeducativa.Laescuelavistadesdeafuera.BuenosAires, Argentina.

Cantoral,R.(2001).Sobrelaarticulacióndeldiscursomatemáticoescolarysusefectos didácticos.EnG.Beitía(Ed.),ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa14.(pp.64Ͳ 75).México:Iberoamericana.

CrespoCrespo,C.(2005).Elpapeldelasargumentacionesmatemáticaseneldiscurso escolar.Laestrategiadededucciónporreducciónalabsurdo.TesisdeMaestríasin publicar.CICATAͲIPN,México.

Crespo Crespo, C. (2007). Las argumentaciones matemáticas desde la visión de la

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CrespoCrespo,C.yFarfán,R.(2005).Unavisióndelasargumentacionesporreducciónal absurdocomoconstrucciónsociocultural.RelimeVol.8(3),pp.287Ͳ317.

Hanna,G.(1997).Theongoingvalueofproof.EnA.GutiérrezyL.Puig(Ed.),Proceedingof

PME20.1(pp.21Ͳ34).Valencia.

Hanna,G.(2000).Proof,explanationandexploration:anoverview.EducationalStudiesin Mathematics,44,5–23.

Panizza,M.(2005).Razonaryconocer.BuenosAires:LibrosdelZorzal.