y = mx + b donde: m: es la pendiente o coeficiente angular de la recta ( es el ángulo que forma la recta r con el semieje positivo de las abscisas)

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Definición: Una función f:IRIR tal que f(x)mxb es una función lineal, donde “m” y “b” son números reales constantes.

Su representación gráfica es una recta

Ecuación explícita de la recta

y = mx + b

donde:

m: es la pendiente o coeficiente angular de la recta

tg

m (

 es el ángulo que forma la recta “r” con el semieje positivo de las

abscisas)

b: es la ordenada al origen (valor de “y” cuando x = 0)

Observación:

Si un punto P

x0;y0

pertenece a una recta entonces sus coordenadas satisfacen

su ecuación.

Pendiente de la recta que pasa por dos puntos dados

Sean P

x1;y1

y Q

x2;y2

dos puntos pertenecientes a la recta r, entonces la

pendiente m de r está dada por:

2 1 1 2 1 2 , six x x x y y m    

Si x1 x2 entonces la pendiente no existe, por lo tanto la recta es vertical.

F

(2)

2

Otras formas de la ecuación de la recta

1) Dada la función x 3 4 1 ) x ( f / IR IR : f    a) Halla f(3), f(0) y f(-1)

b) ¿Para qué valor de x se cumple que f(x)5?

2) Sea f:IRIR tal que x 4

3 8 ) x ( f  

a) Grafica la función f(x) en un sistema de coordenadas. b) Indica dominio e imagen.

c) Halla analíticamente C . 0

d) Determina C y C

e) Analiza biyectividad.

3) Escribe las ecuaciones de las rectas cuyas gráficas son:

a) b) c)

Ecuación segmentaria de la recta

1 b y a x   donde:

a: se corresponde a la abscisa del punto de corte con el eje x (raíz o cero)

b: se corresponde a la ordenada del punto de corte con el eje y (ordenada al origen) Ecuación implícita de la recta

ax + by + c = 0 donde a, b y c son números reales.

(3)

4) Indica V (verdadero) o F (falso) y justifica la respuesta:

a) El punto P(0;3) pertenece a la recta cuya ecuación es y2x30 b) El punto Q(1;2) no pertenece a la recta de ecuación y 2x c) El punto M

2;3

verifica la ecuación 3x4y 6

d) Si el punto       0 ; 2 1

pertenece a la recta de ecuación 5ykx10, entonces k2

5) Determina el valor de kIR en la ecuación kx2y13, para que la recta que representa pase por el punto P(1;2).

Posiciones entre rectas en el plano

Sean r1 y r2 dos rectas cuyas ecuaciones explícitas son

2 2 2 1 1 1:y m x b y r :y m x b

r     (con m1 y m2 no nulos), entonces r1 y r2 son:

                               2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 b b y m m dirección misma la tienen es coincident No b b y m m erponen sup se r r es Coincident r // r Paralelas m 1 m pero m m rectos ángulos formar sin tan cor se Oblicuas ) opuestas y inversas pendientes ( m 1 m rectos ángulos formando tan cor se r r lares Perpendicu r r Secantes

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4

6) Determina la ecuación de la recta que satisface las siguientes condiciones: a) pendiente 5 y ordenada al origen –1

b) pendiente 4 3

y pasa por el punto (-3 ; 7) c) tiene coeficiente angular 3 y f(0)2

d) forma un ángulo de 120º con el eje positivo de las abscisas y pasa por el punto (3 ; 2) e) corta al eje de abscisas en x4 y al eje de ordenadas en y 2

f) pasa por los puntos (-2 ; 1) y (-3 ; -2)

g) es paralela a la recta 2x3y40 y pasa por A(-2 ; 4) h) es perpendicular a la recta y2x60 y pasa por B(2 ; 3)

7) Indica, para cada una de las siguientes afirmaciones, si es verdadera o falsa. Justifica todas las respuestas.

a) El punto (-1 ; -2) pertenece a la recta de ecuación 5xy70

b) Los puntos P(2;1),Q(1;0)y R(2;2) están alineados.

c) El triángulo ABC cuyos vértices son A(3;0),B(3;4)y C(2;5) es escaleno.

8) Completa las siguientes proposiciones para que resulten verdaderas. Justifica la respuesta con el desarrollo de cada inciso.

a) La ecuación explícita de la mediatriz correspondiente al segmento de recta determinado por los puntos P(1 ; 0) y Q(-1 ; 6) es ...

Punto medio de un segmento de recta

Las coordenadas del punto medio del segmento de extremos P

x1;y1

y Q

x2;y2

son:         2 y y ; 2 x x M 1 2 1 2

Distancia entre dos puntos en el plano

La distancia entre dos puntos P

x1;y1

y Q

x2;y2

en el plano es:

 

2 2 1 2 2 1 x y y x Q ; P d    

(5)

b) El valor de kIR para que la recta de ecuación 2ykx30 resulte paralela a la recta 0 1 y 2 x 4    es k...

c) La ecuación de la recta que pasa por el punto P(-1 ; 1) y forma un ángulo de 45º con el eje positivo de las abscisas es ...

9) Una represa, cuya capacidad es de 1056 millones de litros de agua, tiene una filtración. Desde el primer día pierde agua de manera uniforme, a razón de 12 millones de litros diarios, aproximadamente.

a) Halla la fórmula de la función que describe la cantidad de agua que permanece en la represa (en millones de litros) cada día.

b) ¿En cuánto tiempo se podría vaciar la represa, en el caso de que no se solucione el problema de la pérdida de agua?

c) ¿En cuánto tiempo la represa tendría 144 millones de litros de agua?

10) Sea f:IRIR tal que

a) Grafica la función f(x) en un sistema de coordenadas. b) Indica dominio e imagen.

c) Halla analíticamente C 0 d) Determina C y C e) Analiza biyectividad.                 4 x si 3 x 2 1 4 x 0 si 3 0 x si 1 x 2 ) x ( f

(6)

6

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

11) Resuelve analíticamente los siguientes sistemas de ecuaciones:

                           2 2 y x 2 x 4 4 y ) c y 3 ) 1 y 2 ( 3 x 14 y 3 3 3 x 6 ) b 2 x 3 1 y 0 3 x 3 y 2 ) a

12) Halla, si existe, kIR para que los siguientes sistemas de ecuaciones resulten compatibles

determinados, compatibles indeterminados o incompatibles.                  14 ky x ) 2 k ( 7 y kx ) b 1 x y 2 kx y ) a

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es de la forma:

          c y b x a c by ax con IRa,a',b,b',c,c' .

Un punto P

x0;y0

es solución del sistema si sus coordenadas satisfacen

simultáneamente ambas ecuaciones.

Cada ecuación del sistema

 

 

          2 1 r c y b x a r c by ax

representa una recta

Cada solución del sistema es un punto en común a ambas rectas.

 Cuando el sistema de ecuaciones tiene solución decimos que es compatible

 Si la solución es única, el sistema es compatible determinado.

Gráficamente, las rectas son secantes.

 Si tiene infinitas soluciones, el sistema es compatible indeterminado.

Gráficamente, las rectas son paralelas coincidentes.

 Cuando el sistema de ecuaciones no tiene solución decimos que es

(7)

13) Plantea y resuelve las siguientes situaciones:

a) Un estudiante de Agronomía debe preparar una mezcla de avena y maíz para alimentar el ganado. Cada onza de avena contiene 4 g de proteínas y 18 g de carbohidratos. Una onza de maíz contiene 3 g de proteínas y 24 g de carbohidratos. Indica cuántas onzas de cada cereal debe incluir en la mezcla para cumplir con los requisitos nutricionales de 200 g de proteínas y 1320 g de carbohidratos por comida.

b) Un micro sale de Buenos Aires con dirección a Miramar a las 10 de la mañana, con una velocidad constante de 90 km/h. Una hora más tarde, sale un auto en la misma dirección a 120 km/h. ¿A qué distancia de Buenos Aires alcanza al micro y a qué hora? Realiza una representación gráfica.

c) Si a un rectángulo cuyo perímetro es de 34 cm, se le quita 1,5 cm a dos de sus lados paralelos, pero se le agrega 1 cm a los otros dos, se obtiene un nuevo rectángulo de 20 cm de perímetro. ¿Cuáles eran las dimensiones del rectángulo original?

d) Hace cuatro años la edad de Felipe era el doble de la de su hermana Victoria. Dentro de seis años, la edad de Felipe será

3 4

de la que entonces tenga Victoria. Calcula la edad actual de cada uno.

e) Marcos ha ahorrado $ 40 en monedas de 25 y 50 centavos. Si en total tiene 122 monedas, ¿cuántas monedas de cada valor posee?

f) En una liquidación, Juli pagó $ 1650 por una remera y un pantalón que costaban $ 2100 entre los dos artículos. En la remera le hicieron un 10% de descuento, y en el pantalón un 30%. ¿Cuál era el precio sin descuento de cada artículo?

(8)

8 14) Dada la siguiente representación gráfica:

a) Escribe el sistema de ecuaciones lineales correspondiente.

b) Resuelve analíticamente el sistema obtenido en el inciso anterior.

15) Escribe el sistema de ecuaciones lineales que se

corresponde con la siguiente representación gráfica, sabiendo que las rectas son perpendiculares.

16) Un grupo de 17 amigos se reúne a cenar. En el restaurant “Costa Bonita” les ofrecen el menú que puede observarse a la derecha.

Los varones deciden comer filet con papas fritas o milanesa con papas fritas pero las mujeres, como conforman un número par, eligen compartir de a dos, lisa a la parrilla.

Por una promoción, la bebida es invitación de la casa. Si en total gastan $2835, ¿cuántas mujeres y cuántos varones hay en el grupo?

(9)

17) En un paralelogramo, la suma entre la mitad de uno de sus ángulos interiores y el 25% de otro, no opuesto con el primero, es igual a 74º. ¿Cuál es la amplitud de los ángulos interiores

del paralelogramo?

18) En la heladería está la siguiente oferta:

“Si compra dos helados iguales, por el segundo paga la mitad”

Ceci y Nacho aprovechan la oferta. Ceci compra dos vasitos y seis cucuruchos; paga en total $375. Nacho compra dos vasitos y dos cucuruchos; paga en total $165. ¿Cuál es el precio de un cucurucho y cuál es el precio de un vasito?

19) Se mezcla aceite de oliva, que cuesta $ 216 el litro, con aceite de girasol, que cuesta $ 48 el litro. Si tenemos 20 litros de mezcla a un precio de $ 90 el litro, ¿cuántos litros de aceite de cada clase se han mezclado?

20) En una tienda, María compra un pantalón con un descuento del 15%. Juana compra un saco $ 100 más costoso que el pantalón, pero con una rebaja del 20%, con lo que solo paga $ 32 más que María. ¿Cuál es el precio de cada prenda sin descuento?

21) Completa las siguientes proposiciones para que resulten verdaderas. Justifica la respuesta con el desarrollo analítico de cada inciso.

a) La distancia exacta del punto P

 

4;2 a la recta r de ecuación y 2x1 es ... b) La ecuación de la función lineal que satisface f(6) 1 y C0  es f(x)...

c) La ecuación explícita de la recta “r” que es paralela a la recta “s” : 1

7 y 4 x y corta la eje de abscisas en x2 es y ...

d) El valor de kIR para que la recta r :

3k1

ykx7 0 forme un ángulo de 135º con el semieje positivo de las abscisas es k ...

e) Si y g(x) es una función lineal cuya gráfica pasa por los puntos

4; 20

  

y 2; 5 , entonces ...g(2)

f) El conjunto solución del sistema

              y 3 x 2 4 2 9 2 y 6 x 3 8 es S ...

(10)

10

h) El valor de aIR para que el sistema

            0 2 1 x 1 a y 1 x 4 y 1 a resulte compatible indeterminado es a...

i) El agua se congela a una temperatura de 0 ºC y hierve a 100 ºC. Si se mide en grados Farenheit, se congela a 32 ºF y hierve a 212 ºF. Sabiendo que se pueden convertir los grados Celsius a Farenheit a través de un modelo lineal, entonces la fórmula es ...

(11)

RESPUESTAS

1) a) f(3) = 4 9  , f(0) = -3 y f(-1) = 4 13  b) x = 32 2) a) Gráfica: b) Dom

 

f IR;Im

 

f IR c)        2 3 C0 d)                 ; 2 3 C y 2 3 ; C e) Es biyectiva. 3) a) yx1 b) x 3 2 3 y   c) xy 3 4) a) V b) V c) F d) V 5) k 6 6) a) y5x1 b) 4 37 x 4 3 y   c) y3x2 d) y 3x23 3 e) x 2 2 1 y   f) y3x7 g) 3 8 x 3 2 y  h) x 2 2 1 y   7) a) F. b) F. c) F. 8) a) x 3 3 1 y  b) k = 4 c) y x2 9) a) y105612x b) 88 días c) 76 días

(12)

12 10) a) Gráfica: b) Dom

 

f IR; Im

  

f  1;

c)        2 1 C0 d)

                   0 ; 2 1 C ; 0 2 1 ; C

e) No es inyectiva ni suryectiva entonces no es biyectiva

11) a) incompatible b) S

 

6;1

c) compatible indeterminado

12)

13) a) 20 onzas de avena y 40 onzas de maíz. b) A 360 km, a las 14 hs.

c) No es posible construir el rectángulo. d) Felipe tiene 14 años y Victoria 9 años.

e) Marcos tiene 84 monedas de 25 centavos y 38 monedas de 50 centavos. f) El precio de la remera era de $ 900 y el del pantalón $ 1200.

14) a)           3 x 2 1 y 4 x 2 y b)              5 8 ; 5 14 S 15)           10 x 2 y 2 x 2 1 y

16) En el grupo hay 9 varones y 8 mujeres. 17) Los ángulos interiores miden 64º y 116º

18) El precio del cucurucho es $ 70 y el del vasito $ 40 19) 5 litros de aceite de oliva y 15 litros de aceite de girasol 20) El precio del pantalón es $ 960 y el precio del saco es $ 1060

1 k : .I 1 k : .I 2 k : .I . C IR k :. I. C 1 k ; 2 k : . D . C ) b 1 k : . D . C ) a          

(13)

21) a) 5 b) 1f(x) c) 2 7 x 4 7 y   d) 4 1 k e) g(2) 5 f) S

2;1

g) 4 15 k  h) a1 i) y1,8x32 ("x":en ºC ; "y":en ºF)

Figure

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Referencias

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