07.1- ANOVA

Texto completo

(1)Facultad de Ciencias Naturales, UNSa Área de Estadística Material de apoyo didáctico elaborado por Silvia Sühring. ANÁLISIS DE LA VARIANZA. En las Ciencias Naturales se utilizan los modelos a modo de abstracción y simplificación de la realidad, los que se deducen de conocimientos científicos previos. Un modelo estadístico idealiza la situación real mediante una función que relaciona variables, consta de una parte determinística y de una estocástica. La porción estocástica esta representada por el término de error, que corresponde a la diferencia entre lo observado y lo esperado por el modelo, y es la que justifica la utilización de técnicas estadísticas de inferencia. ei = valor observado - valor esperado Para un conjunto de observaciones experimentales podemos definir un modelo para explicar el comportamiento de la variable de respuesta (Y). Supongamos un experimento sencillo en el que se evalúa el efecto de un factor con tres niveles sobre la variable dependiente Y. Las observaciones (valores de Y), constituyen una muestra de una población de referencia de unidades experimentales, la que muchas veces es una población conceptual o virtual. Se supone que existe una población de referencia para cada nivel de un factor (o tratamiento), se supone además que estas poblaciones tienen la misma varianza (σ2), pero se espera que tengan diferentes valores de media (μi). Una observación cualquiera de la variable de respuesta podría expresarse mediante el modelo:. y ij = µ i + ε ij donde yij = j-ésima observación del i-ésimo grupo, µi = valor de la media de la i-ésima población y εij = error residual, variación debida a diferencias entre las UE de un mismo grupo. Este modelo supone que la media poblacional del grupo es diferente a la de otros grupos, es decir, refleja que existe una relación entre la variable Y (dependiente) y la variable que define los grupos o tratamientos (X): es un modelo completo. Si no hay diferencias entre las medias de los tratamientos se utiliza un modelo con un número reducido de parámetros, que establece que todas las observaciones corresponden a la misma población con media μ. Este modelo reducido sería:. y ij = µ + ε ij Para cada modelo podemos calcular la suma de cuadrados estimada para el error experimental (SCEE), que es una medida de qué tan bien se ajustan los datos al modelo. t. r. SCEE = ∑∑ ε ij2 i =1 j =1. Análisis de Varianza - 2016. 1.

(2) µ una misma población Ho : µ1 = µ2 = µ3 = µ modelo reducido y ij = µ + ε ij ε ij = y ij - µ SCEER =Σ ΣΣ (y ij - µ)2. µ1 µ2 distintas poblaciones H1 : µ1 ≠ µ2 ≠ µ3 modelo completo y ij = µ i + ε ij ε ij = y ij - µi SCEEC = ΣΣ (y ij - µi)2. µ3. Se pueden usar las diferencias de las SCEE para que los dos modelos sean una partición de la variación total del experimento. Ambas sumas de cuadrados serán diferentes, las SCEE para el modelo reducido será mayor que la SCEE para el modelo completo, ya que por lógica las diferencias entre las observaciones y la media de su grupo serán menores que las diferencias entre las observaciones y la media general (la media de todos los grupos). t. La diferencia (SCEER – SCEEC) = ΣΣ (y ij - µ)2 - ΣΣ (y ij - µi)2 =. r. ∑∑ i =1 j =1. ( µi − µ ) 2. Esta cantidad corresponde a la suma de cuadrados de tratamientos (SCTr), ya que representa cuánto se redujo la suma de cuadrados del error cuando se incluyó el efecto de los tratamientos en el modelo. Si trabajamos con valores muestrales, en los que Y⋅⋅ estima a µ y Yi estima a µi : t. r. t. r. t. r. ∑∑ ( yij − Y ..) 2 − ∑∑ ( yij − Yi ) 2 = ∑∑ (Yi − Y ..) 2 i =1 j =1. i =1 j =1. i =1 j =1. Reacomodando los términos: t. r. t. r. ∑∑ ( yij − Y ..) 2 =∑∑ (Yi − Y ..) 2 + i =1 j =1. i =1 j =1. t. r. ∑∑ ( y i =1 j =1. ij. − Yi ) 2. SCTotal = SCTratamientos + SCErrorExperimental SCEER puede considerarse suma de cuadrados total (SCT), ya que es la diferencia de cada observación respecto de la media general. Así, se ha hecho una partición de la variación total en dos partes cada una atribuible a una fuente de variación independiente y aditiva. Las fórmulas de las SC se derivan de la igualdad:. ( yij − y.. ) = ( yi − y.. ) + ( yij − yi ) Estas sumas de cuadrados son aditivas (cumplen esta propiedad aditiva ya que los efectos de los factores son independientes).. Material de apoyo didáctico. S. Sühring.

(3) Los grados de libertad representan el número de términos con información independiente en las sumas de cuadrados. Para la SCT: δ = (n – 1) ← se estimó un parámetro (µ) Para la SCEEc: δe = (n – t) ← se estimaron t parámetros (µ1, µ2, ..., µt) Para SCTr: δt = (n – 1) – (n – t) = (t – 1) ← se deduce por diferencia Los grados de libertad asociados a las sumas de cuadrados también son aditivos: En este caso: δ total = δ tratamientos + δ error experimental Los cuadrados medios (varianzas) se obtienen dividiendo cada suma de cuadrados por sus respectivos grados de libertad. CM = SC / gl Los cuadrados medios (CM) no son aditivos (algebraicamente (a+b)/(c+d) ≠ a/c + b/d). El método de ANOVA es un procedimiento aritmético mediante el cual la variación total de un conjunto de datos se particiona o se divide en dos o más componentes, cada uno de los cuales se puede atribuir a una fuente o factor identificable (fuente de variación). Dos de los componentes estarán siempre presentes: la variación que explica el efecto de factores experimentales (tratamientos) y el resto de la variación, que es la debida a las fuentes de variación no controladas (error experimental). Además puede haber otra/s parte/s que corresponden a la variación debida a factores externos que han sido controlados de alguna manera en el experimento. El ANOVA permite probar si las medias de las poblaciones (de los diferentes grupos, o de los diferentes niveles del factor), son iguales. ANOVA A UN CRITERIO DE CLASIFICACIÓN Las hipótesis que se plantean son: Ho : µ1 = µ2 = µ3 =... = µt = µ Hi : alguna de las medias es diferente µi = µ ⇒ µi - µ = 0 µi - µ = τ i = efecto del tratamiento o factor (variación debida a la variable explicativa principal). Si la Ho es V : Si la Ho es F :. Como dijimos antes una observación cualquiera puede definirse con el modelo: Si µi - µ = τ i. y ij = µ i + ε ij. ⇒. µi = µ + τ i entonces la expresión anterior puede escribirse como:. y ij = µ + τ i + ε ij. Análisis de Varianza - 2016. MODELO ESTADÍSTICO LINEAL DEL ANOVA I. 3.

(4) y ij = una observación cualquiera µ = media general τ i = efecto del tratamiento o factor ε ij = error experimental, se supone que ε ij ∼ n (0, σ2) i = 1, 2, 3, ..., t t = nº de grupos o tratamientos j = 1, 2, 3, ..., r ri = nº de repeticiones del i-ésimo tratamiento r1 + r2 + r3 + ... + rt = n Para este modelo se supone: 1.- Que los εij son independientes y tienen una distribución normal con media cero y varianza constante: εij ∼ n (0, σ2). 2.- a) Cuando planteamos un modelo de efectos fijos supone que los τi son parámetros t desconocidos pero cumplen que ∑τ i = 0 i =1. b) Cuando planteamos un modelo de efectos aleatorios los efectos se denotan como Ai y se supone que los Ai son independientes y tienen distribución normal con media cero y varianza σ2A : Ai ∼ n (0, σ2A) La notación y forma de presentar los datos para realizar el análisis es:. repeticiones 1 2 3 ... R Totales nº de repeticiones Medias. 1 y11 y12 y13 ... y1r Y 1. r1. 2 y21 y22 y23 ... y2r Y 2. r2. grupos o tratamientos 3 ... i y31 ... yi1 y32 ... yi2 y33 ... yi3 ... ... ... y3r ... yir Y 3. ... Yi. r3 ... ri. Y1. Y2. Y3. ... ... ... ... ... ... .... Yi. t yt1 yt2 yt3 ... ytr Yt. rt. Y ... Yt. Los puntos indican a lo largo de qué subíndice se realizó la sumatoria. Por ejemplo Y1. = se sumaron los valores de la variable de respuesta del tratamiento 1 a través del subíndice j, es decir a través de las réplicas. Mediante el procedimiento de ANOVA se obtienen de manera sencilla los valores de sumas de cuadrados (SC) correspondientes a cada término. Las fórmulas de trabajo para calcular estas SC son: t t. r. SCT = ∑∑ Yij2 − C 1. 2 i.. 1. 1. SCEE = SCT – SCTr. Material de apoyo didáctico. SCTr =. ∑Y. TC = C =. r. −C. (Y ..) 2 n. S. Sühring.

(5) Si se dividen las sumas de cuadrados por sus correspondientes grados de libertad se obtienen los cuadrados medios (varianzas). CMT: cuadrado medio total, mide la dispersión total de los datos. Si no hay efecto de tratamientos (la Ho es verdadera), es un buen estimador de la σ2 común. CMEE: dispersión media de los datos de cada grupo respecto de la media de ese grupo. Es una estimación insesgada de σ2 común siempre (Ho verdadera o no)!! Se lo llama varianza residual y representa la variabilidad entre UE tratadas igual. CMTr: dispersión entre las medias de los distintos grupos o tratamientos, es decir, dispersión de la media de cada grupo respecto de la media general. Si la Ho es verdadera, es decir que no existe diferencia entre las medias (o sea que no hay efectos añadidos debidos a tratamientos, o componentes añadidos de la varianza diferentes para cada grupo) el CMTr es un buen estimador de σ2. Si existe diferencia entre las medias de los grupos, entonces CMTr no será un buen estimados de σ2 ya que:. σ. 2. τ + r ∑. 2 i. t −1. =σ. 2. + r ∑. (µi − µ )2 =σ t −1. 2. + r ⋅σ. 2 A. donde (r. σ2A) es la componente añadida a la varianza entre grupos Para probar si existe una componente añadida de la varianza, se utiliza la prueba F que compara dos varianzas para ver si la varianza del error (CMEE) y la varianza entre grupos (CMTr) son homogéneas. El estadístico de prueba es:. Fc =. CMTr ≈ Fδ t ,δ e CMEE. Si el valor de Fc es significativo, es porque el CMTr es mayor que el CMEE, es decir que n.σ2A no es un término nulo ⇒ algunas µi son diferentes Podemos determinar la magnitud relativa de la variación resultante de diferentes orígenes y señalar si una parte particular de la variación es mayor de lo que se espera por la hipótesis de nulidad. Probando las diferencias entre las varianzas de cada componente comprobamos si existen diferencias entre las medias de los grupos comparados. Para poder trabajar en forma ordenada, luego de calcular las SC podemos construir una tabla que resume los datos y la prueba: TABLA o CUADRO DE ANOVA I Fuentes de Variación Tratamientos. Error experimental Total. Análisis de Varianza - 2016. gl. SC. CM. F. Ftabla. t-1. SCTr. CMTr= SCTr/(t - 1). Fc = CMTr/CMEE. Fδ t ,δ e ;α. t (r – 1) = (n - t) t.r - 1. SCEE SCT. CMEE = SCEE/(n - t). 5.

(6) ANOVA A DOS CRITERIOS DE CLASIFICACIÓN Corresponde al caso en que los datos pueden agruparse o clasificarse de acuerdo a dos criterios (factores) A es un factor con a niveles B es otro factor con b niveles. y ij = µ + α i +β βj + ε ij MODELO MATEMÁTICO DEL ANOVA II El término αj corresponde al efecto del i-ésimo nivel del factor A El término βj corresponde al efecto del j-ésimo nivel del factor B El resto de los términos se interpretan igual que en el modelo de ANOVA I. Se supone que ε ij ∼ n (0, σ2) i = 1, 2, 3, ..., a a = niveles del factor A j = 1, 2, 3, ..., b b = niveles del factor B En algunos casos ambos son factores que se quieren evaluar (constituyen los objetivos de la investigación). En otros casos A es un factor que se quiere evaluar y B corresponde a los diferentes niveles de un factor ambiental medible que se quiere controlar (por ejemplo en el Diseño en bloques completos al azar). Las hipótesis planteadas son: 1) Ho : µ1. = µ2. = µ3. = ... = µa. ó αi = 0 2) Ho : µ.1 = µ.2 = µ.3 = ... = µ.b ó βj = 0. Hi : alguna es µi. diferente ó αi ≠ 0 Hi : alguna es µ.j diferente ó βj ≠ 0. Los estadísticos de prueba son: Para el factor A. Fc =. CMA ≈ F(δ a ,δ e ) CMEE. Para el factor B. Fc =. CMB ≈ F(δ b ,δ e ) CMEE. donde : δa = (a – 1) y δb = (b – 1). Material de apoyo didáctico. S. Sühring.

(7) Los datos se presentan de la siguiente forma para poder realizar el análisis: factor b. factor A o tratamiento 3 ... i y31 ... yi1. 1. 1 y11. 2 y21. ... .... a ya1. totales Y.1. medias. 2. y12. y22. y32. .... yi2. .... ya2. Y.2. Y.2. 3. y13. y23. y33. .... yi3. .... ya3. Y.3. Y.3. ... j. ... y1j. ... y2j. ... y3j. ... .... ... yij. ... .... ... yaj. ... Y.j. Y. j. ... b. ... y1b. ... y2b. ... y3b. ... .... ... yib. .... ... yab. ... Y.b. Y.b. Totales Medias. Y 1.. Y 2.. Y 3.. Yi.. Y ... Y2.. Y3.. ... .... Ya.. Y1.. ... .... Yi.. Y.1. Ya.. Y... La suma de cuadrados total (SCT) se particiona en: SCA : variación debida al factor A SCB : variación debida al factor B SCEE : variación residual, no explicada ni por A ni por B. Los cálculos se realizan con las siguientes fórmulas: b. a a. b. SCT = ∑ ∑ y ij2 − C 1. SCA =. 1. ∑ Yi.2 1. b. ∑Y. 2 .j. −C. SCB =. j. a. −C. (Y ..) 2 TC = C = n. SCEE = SCT – SCA - SCB CUADRO DE ANOVA DE DOS FACTORES Fuentes de variación Factor A Factor B Error Experimental Total. gl a -1 b-1 (a -1)(b - 1) ab - 1. SC SCA SCB SCEE SCT. CM CMA CMB CMEE. F Fa = CMA/CMEE Fb = CMB/CMEE. PRECISIÓN y CONFIABILIDAD DEL EXPERIMENTO Para evaluar la precisión de un experimento y la confiabilidad de las conclusiones del ANOVA se calcula el coeficiente de variación. El CV expresa la variación relativa a la media (en unidades de media). Mide la variabilidad del error, es decir, qué porcentaje de la variabilidad no fue controlada por el experimento.. Análisis de Varianza - 2016. 7.

(8) CV =. CMEE .100 Y... OTRA CLASIFICACIÓN DE ANOVA Existen dos tipos básicos de modelos lineales de ANOVA a un criterio de clasificación: de efectos fijos y aleatorios, dependiendo de la naturaleza aleatoria o no de los efectos de tratamiento. Modelo de efectos fijos: Se toman k niveles de un factor (o tratamientos) para ser comparados, estos niveles son fijados (seleccionados específicamente) por el investigador y son repetibles. Generalmente corresponde a datos que surgen de experimentos cuidadosamente diseñados con el propósito de contestar a una pregunta particular. Las inferencias se refieren exclusivamente a los k niveles y no se pueden hacer extensivas a otros que no fueron incluidos. El interés se centra en evaluar si algún tratamiento produce en promedio efectos diferentes a otro, por lo que se efectúan comparaciones de medias. En este caso los efectos del factor (αi) son “constantes” desconocidas (parámetros). Las hipótesis que se plantean se refieren a estos parámetros, tal como se plantearon más arriba. Ejemplos: se realiza un experimento para evaluar el efecto de tres tipos de aditivos de la dieta sobre la ganancia de peso de cerdos; se realiza un experimento para evaluar que efectos tienen tres productos químicos para curar semillas sobre la proporción de semillas germinadas. Modelo de efectos aleatorios: Cuando los niveles del factor de interés son muchos y el investigador selecciona al azar k de esos niveles, el análisis de varianza se denomina de efectos aleatorios. La idea básica es que el investigador no tiene interés en niveles particulares del factor que incluyó en el experimento, sino que desea realizar inferencia que puedan extenderse a toda la población de niveles del factor. Dado que los efectos son aleatorios no interesa calcular la magnitud de estos efectos (Ai), ni comparar sus medias. Dado que los niveles del factor han sido seleccionados aleatoriamente de una población, los efectos observados son valores de variables aleatorias Ai, respectivamente. Se asume que las Ai son normales, con media igual a cero y con varianza σ2A. Además se supone que las Ai son independientes de los términos de error εi. Este último es el parámetro de interés, dado que si los efectos de todos los niveles del factor son iguales entonces σ2A es cero. Si los efectos son muy diferentes, entonces σ2A es muy grande. Las hipótesis se plantean como: Ho: σ2A = 0 ⇒ no existe variabilidad en Y debida al los distintos niveles del factor H1: σ2A > 0 ⇒ existe variabilidad en Y aportada por el factor En este caso cuando el ANOVA es significativo, no se realizan comparaciones entre las medias, sino que se calcula la magnitud de la componente añadida de la varianza entre Material de apoyo didáctico. S. Sühring.

(9) grupos o tratamientos y su porcentaje de contribución a la variación total de los datos. Las conclusiones extraídas del análisis no se remiten a los casos estudiados, sino que se hacen extensivos a toda la población de niveles del factor. Ejemplo: Se desea evaluar si el rendimiento de algún cultivo se ve afectado por variaciones edáficas y climáticas presentes entre diferentes localidades. Para ello se realiza un experimento en el que analiza el rendimiento del cultivo en 6 de esas localidades seleccionadas al azar. El tipo de efecto se verá reflejado en el modelo estadístico del ANOVA: cuando los factores sean de efectos fijos aparecerán en la fórmula como parámetros (con letras griegas), cuando los factores sean de efectos aleatorios, aparecerán como variables aleatorias (con letras mayúsculas latinas). En el caso del ANOVA I el tipo de efecto del factor no afecta los cálculos ni el análisis, pero la interpretación de los resultados y el alcance de las conclusiones son diferentes. El modelo de efectos aleatorios tendrá mayor validez externa, ya que se aplica a la población de niveles del factor. Modelo para un factor de efectos fijos: y ij = µ + α i + ε ij donde ε ij ∼ n (0, σ2) Modelo para un factor de efectos aleatorios: y ij = µ + A i + ε ij donde ε ij ∼ n (0, σ2) y A i ∼ n (0, σA2) Cuando se utilizan dos factores, cada uno con varios niveles, podemos definir tres tipos de modelos: Modelo I o de efectos fijos (ambos factores son de efectos fijos), Modelo II o de efectos aleatorios (ambos factores son de efectos aleatorios) y Modelo III o mixto (uno de los factores es de efectos fijos y el otro de efectos aleatorios. Comparación del modelo de efectos fijos y de efectos aleatorios Efectos Fijos yij =. Modelo. +. i. i. =0. Supuestos. +. Efectos Aleatorios ij. yij =. + Ai +. ij. Ai ∈ N. ε ij ∼ n (0, σ2). ε ij ∼ n (0, σ2) A i ∼ n (0, σA2) εij son independientes de Ai. Los efectos son. parámetros desconocidos. variables aleatorias. la respuesta media. en la variabilidad. Influyen en Objetivo Los niveles. estimar. i. son predeterminados. estimar. A. 2. se eligen al azar de una población de niveles. El contraste. Análisis de Varianza - 2016. H0 :. i. = 0, i. H0 :. A. 2. =0. 9.

(10) EJEMPLO ANOVA DE UN FACTOR Se realizó un experimento en un establecimiento dedicado a la producción de cerdos, en el que se evaluaron 5 raciones. Se consideró que las unidades experimentales (36 cerdos) eran homogéneas, por lo que se asignaron al azar a cada ración de manera que el experimento resultara balanceado. Se desea probar si el aumento de peso promedio es diferente entre las distintas raciones. Los aumentos logrados se midieron en kg y fueron los siguientes: Raciones alimentarias. Yi.. 1. 2. 3. 4. 5. 15. 12. 18. 9. 16. 9. 9. 16. 11. 13. 13. 16. 17. 10. 19. 8. 11. 21. 15. 24. 12. 13. 14. 11. 28. 10. 15. 22. 8. 25. 67. 76. 108. 64. 125. Variable explicativa principal: ración, con 5 niveles (factor de efectos fijos) Variable de respuesta: aumento de peso en kg Modelo estadístico:. y ij = µ + τ i + ε ij. donde: y ij = valor de aumento de peso para el j-ésimo cerdo que recibió la i-ésima ración µ = media general de aumento de peso τ i = efecto de la i-ésima ración ε ij = error o residuo del el j-ésimo cerdo que recibió la i-ésima ración i = 1 a 5 (5: nº de raciones); j = 1 a 6 (6: nº de cerdos tratados con cada ración) Las hipótesis que se plantean son: Ho : µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 ó τ i = 0 ⇒ el aumento de peso promedio es el mismo para todas las raciones ó no hay efecto del factor ración sobre el aumento de peso. Hi : alguna µi es diferente ó τ i ≠ 0. ⇒ alguna ración es mejor ya que produce un aumento. de peso promedio mayor ó hay efecto del factor ración sobre el aumento de peso Estadístico de prueba:. Criterio de decisión: 1,0. CMTr ≈ F(δ t ,δ e ) CMEE. 0,8. Densidad. Fc =. F de Snedecor(4,25,0): p(evento)=0,0500. 0,5. 0,3. Material de apoyo didáctico. 0,0 0,00. S. Sühring 2,00. 4,00. Variable. 6,00. 8,00.

(11) CÁLCULOS (Y ..) 2 440 2 TC = C = = = 6453,3333 n 30 t. r. 1. 1. SCT = ∑∑ Yij2 − C = 15 2 + 9 2 + 13 2 + ... + 28 2 + 25 2 − TC = 7252 − 6453,333 = 798,67 t. SCTr =. ∑Y. 2 i.. 1. r. [. ]. − C = (67 2 + 76 2 + 108 2 + 64 2 + 125 2 ) / 6 − TC = 42650 / 6 − TC = 488,33. SCEE = SCT – SCTr = 798,67 – 488,33 = 310,33 Cuadro de ANOVA FV SC Ración 488,34 Error 310,33 Total 798,67. Gl t-1=4 t(n-1)=25 tn-1=29. CM 122,08 12,41. Fc 9,44**. F5% 2,76. F1% 4.177. Decisión Rechazo la Ho con una P(eΙ) = 0,01. Conclusión Existe efecto de la ración sobre el aumento de peso de los cerdos. Alguna ración es mejor y produce un aumento de peso promedio mayor. CMEE 12,41 CV = .100 CV = .100 = 24,01% Y.. 14,67 Los datos son precisos, la variabilidad del aumento de peso de los cerdos no controlada por el experimento corresponde a un 24% del promedio.. Análisis de Varianza - 2016. 11.

(12) EJEMPLO DE ANOVA DE DOS FACTORES Se realizó un ensayo experimental empleando cuatro sistemas de lucha biológica contra la mosquita del sorgo: a) empleando un microhimenóptero parásito b) Eliminando las gramíneas muertas, c) empleando un hongo patógeno para la plaga y d) utilizando la protección por escape. Se consideró un testigo sin tratamiento. Una réplica de cada tratamiento fue dispuesta al azar en cada uno de 5 establecimientos de la zona de producción. Se registró como variable de respuesta el rendimiento en kg/ha. Se espera que si el sistema de lucha es bueno el rendimiento en sorgo sea mayor.. establecimiento 1 2 3 4 5 Yi.. T 92 90 88 87 89 446. Sistema de lucha A B 98 96 94 90 93 91 89 92 95 90 469 459. C 97 95 91 90 94 467. D 91 93 95 95 97 471. Y.j 474 462 458 453 465. Variable explicativa principal: sistema de lucha (tratamiento), con 5 niveles, factor de efectos fijos Variable de respuesta: rendimiento en kg/ha Variable controlada: establecimiento, con 5 niveles, factor de efectos aleatorios. yij = µ + αi + Bj + εij y ij = un valor cualquiera de kg de rendimiento por ha de sorgo µ = media general de kg de rendimiento por ha de sorgo α i = efecto del del i-ésimo sistema de lucha (factor A) βj = efecto del j-ésimo establecimiento (factor B) i=1a5 j=1a5 Las hipótesis que se plantean son: Para sistema de lucha (factor A) Ho : µA = µB = µC = µD = µT ó αi = 0 ⇒ el rendimiento en kg MS/ha de sorgo es en promedio el mismo para los diferentes sistemas de lucha ó no hay efecto del sistema de lucha sobre el rendimiento promedio en kg MS/ha del cultivo. Hi : alguna de las µi (medias de rendimiento) es diferente ó αi ≠ 0 ⇒ algún sistema de lucha es mejor, existe efecto del sistema de lucha sobre el rendimiento en kg MS/ha del sorgo Para establecimiento (factor B) Ho: Bj = 0 ó σB2 = 0 ⇒ no existe efecto del establecimiento sobre el rendimiento del sorgo Hi: Bj ≠ 0 ó σB2 > 0 ⇒ existe efecto del establecimiento sobre el rendimiento del sorgo. Material de apoyo didáctico. S. Sühring.

(13) Estadísticos de prueba: Para sistema de lucha. Para establecimientos. CMA ≈ F(δ a ,δ e ) CMEE. Fc =. Fc =. CMB ≈ F(δ b ,δ e ) CMEE. Cálculos TC = C =. (Y ..) 2 2312 2 = = 213813,63 n 25. a. b. 1. 1. SCT = ∑∑ y ij2 − C = (92 2 + 90 2 + 88 2 + ... + 95 2 + 97 2 ) − TC = 220,24 a. SCA =. ∑Y. 2 i.. 1. b. −C =. (446 2 + 469 2 + 459 2 + 467 2 + 4712 ) − TC = 1069488 / 5 − TC = 83,84 5. b. SCB =. ∑Y. 2 .j. 1. a. (474 2 + 462 2 + 458 2 + 453 2 + 465 2 ) −C = − TC = 1069318 / 5 − TC = 49,84 5. SCEE = SCT – SCA – SCB =220,24 – 83,48 – 49,84 = 86,56. Cuadro de ANOVA FV Establecimiento Tratamiento Error Total. SC 49.84 83.84 86.56 220.24. Gl (b-1) = 4 (a -1) = 4 (a-1)(b -1)=16 24. CM 12.46 20.96 5.41. Fc 2.30 3.87*. F5% 3.006 3.006. F1% 4.77 4.77. Decisión Rechazo la Ho referida a tratamiento con un P(eΙ) = 0,05 y no rechazo la Ho referida a establecimientos. Conclusiones El sistema de lucha incide en el rendimiento del sorgo, la media de rendimiento de alguno de los sistemas es diferente. El establecimiento no incide en el rendimiento del cultivo.. CV =. CMEE .100 Y... CV =. 5,41 .100 = 2,51 % 92,48. Los datos son muy precisos, la variabilidad del rendimiento no controlada en el experimento corresponde a un 2,5 % del promedio. Análisis de Varianza - 2016. 13.

(14)