2010 3 ESO SM Abaco - 3 POTENCIAS Y RAÍCES.pdf

A C T I V I D A D E S D E L O S E P Í G R A F E S

Potencias de exponente entero

Ejercicio resuelto

Expresa con una sola potencia.

a) 2 1

5

b) 56 ₅2 _{c) 7}4_{: 7}3 _{d) 13}2 ₄2 _{e) 36}2_{: 4}2 _f)

₍

₇2

₎

4

a) Pasamos la potencia al numerador cambiando el signo del exponente: 2 1

5 2 5

b) Dejamos la misma base y sumamos los exponentes: 56₅2 ₅6 (2) ₅4 c) Dejamos la misma base y restamos los exponentes: 74₇3 ₇4 (3) ₇7 d) Multiplicamos las bases y dejamos el mismo exponente: 132

42

(13 4)2

522 e) Dividimos las bases y dejamos el mismo exponente: 362₄2 _{(36 4)}2 ₉2

f) Dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes:

(

72

)

4

72 4₇8

P A R A P R A C T I C A R

Expresa como potencia de exponente positivo.

a) 2 1

1 d) ₃

1

2

b) 35 _{e) 8}3

c) 62 _{f) 5}1

a) 21 _{d) 3}2

b)

1 3

5

e)

1 8

3

c)

1 6

2

f) 1 5

Expresa como potencia de exponente negativo.

a) —

5 1 4

— b) 105 _{c) 3}7 _{d) —}1

9—

a) 54 b)

1 1

0

5

c)

1 3

7

d) 32

Expresa las siguientes fracciones en forma de producto de potencias.

a) —

9 5

3

2

— b) —

1 2

1—8 c) —

4 3

5

2

— d) —

7 1 6

—

a) 53₉2 _{b) 2 11}8 _{c) 4}5₃2 _{d) 1 7}6

Multiplica las potencias y luego calcula su valor.

a) 32 ₃5 _{d) 4}7 ₄5

b) 53 ₅2 _{e) 2}2 ₂4

c) (8)2 ₍₈₎5 _{f) (2)}1 ₍₂₎3

a) 32

35

33

27 d) 47

45

412

16 777 216 b) 53

52

51

5 e) 22

24

22

0,25 c) (8)2

(8)5

(8)3 _{512 f) (}

2)1

(2)3

(2)4

0,0625

Divide las potencias y luego calcula su valor.

a) 54

: 52 _{d) 3}2

: 33 b) 25

: 23 _{e) 7}2

:72

c) (3)3_{: (3)}1 _{f) (4)}2 _:(4)3

a) 54₅2₅2_{25 d) 3}2₃3₃5₂₄₃

b) 25₂3₂2 _{0,25 e) 7}2₇2 ₇4 _{2 401}

c) (3)3₍₃₎1 ₍₃₎4_{81 f) (4)}2₍₄₎3₍₄₎1 _0,25

Expresa como un producto de potencias.

a) —2

5 3 6 5 2 4 4 7 7 8

— b) —

4 4 1 5 5 4 6 6 1 —

a) 2

5 3 6 5 2 4 4 7 7 8

21₅2₇9 _b)

4 4 1 5 5 4 6 6 1

42₅3₆2

Expresa como potencia única y calcula el resultado. a) 35

33

32 _{c) (8}5

: 87₎ : 83 b) (103

: 103_{) 10}6 _{d) (5}3 ₅3₎

: 52

a) 35₃3₃2 ₃4 _{81 c) (8}5 ₈7_{) 8}3 ₈1_0,125

b) (103₁₀3_{) 10}6 ₁₀6_{1 000 000 d) (5}3 ₅3_{) 5}2₅4 ₆₂₅

Expresa como potencia única y calcula el resultado. a) 104

102

102 _{c) (2}2

: 23₎

25 b) 43

: (42

: 42_{) d) 6}4 ₍₆1

: 63₎

a) 104₁₀2₁₀2 ₁₀4 _{10 000 c) (2}2₂3_{) 2}5 ₂5₂5 ₂10_{1 024}

b) 43(42₄2_{) 4}3₄4 ₄7_{0,000061035 d) 6}4₍₆1₆3_{) 6}4₆4 ₆0 ₁

Realiza las operaciones.

a) 62 ₅2 ₁₀2 _{c) 3}2 ₁₀2_{: 15}2

b) 254

: 54 ₄4 _{d) 125}4

: 54 : 54

a) 62₅2₁₀2₃₀2₁₀2₃2 _{9 c) 3}2₁₀2₁₅2 ₃₀2₁₅2_{4 15}4 _{202 500}

b) 254₅4₄4₅4₄4 _{(5 4)}4 _{2,44140625 d) 125}4₅4₅4₂₅4₅4₂₅4₅4₁₂₅4_{244 140 625}

P A R A A P L I C A R

En un museo, la sección dedicada a las matemáticas se instala en un pabellón cuyas dimensiones en me-tros son: 26_{de largo, 2}5_{de ancho y 2}3 _{de alto.}

¿Cuál es el volumen del pabellón matemático?

Vlargo ancho alto 26₂5₂3 ₂14 _{16 384 m}

Una sonda espacial se mueve a una velocidad de 104 _{metros por segundo, y un tren de alta velocidad} viaja a 360 kilómetros por hora.

¿Cuántas veces más rápida es la sonda?

Para comparar las dos velocidades, se ponen en las mismas unidades, transformando las de la velocidad del tren en m/s.

Vtren 360 km/h (360 km/h) (10

3_{m/km) (1 h/3 600 s) 100 m/s 10}2_m/s

El radio de un átomo mide 1010 _{metros, aproximadamente. Si pudiéramos colocar átomos uno a} conti-nuación de otro formando una recta, ¿cuántos necesitaríamos para cubrir una longitud de 1 milímetro?

Si ponemos un átomo a continuación de otro a lo largo de una recta, su ocupación es de su diámetro: 2 1010m 2 107mm

El número de átomos que se pueden poner a lo largo de 1 mm es: 1 (2 107_{) 5 000 000 átomos}

Si un número lo elevas al cuadrado, y el resultado, al cubo, ¿obtienes el mismo resultado que si lo ele-vas al cubo, y el resultado, al cuadrado?

Se elige un número xcualquiera. Primer proceso, cubo del cuadrado:

(

x2

₎

3

x23

x6 Segundo proceso, cuadrado del cubo:

(

x3

₎

2

x32 _x6 Como se ve, el resultado es el mismo.

Escribe los diez primeros números naturales. a) ¿En qué cifra terminan sus cuadrados? b) ¿Y sus cubos?

c) Deduce qué número tiene por cubo el número 1 331.

Números naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

a) Terminaciones de los cuadrados: 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1

Hay cuatro parejas de cifras finales que tienen la misma terminación. b) Terminaciones de los cubos: 0, 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9

No hay dos parejas de números que terminen en la misma cifra.

c) Cubo que termina en 1: Sólo puede ser 11, porque 13_{no llega y 21}3_{se pasa.}

Dos depósitos de agua tienen forma de cubo. Si la arista del mayor es el triple que la del menor, ¿cuántas veces es mayor la capacidad del depósito grande que la del pequeño?

Aristas de los cubos:ay 3a

Volúmenes de los cubos:a3_{y 27a}3

Capacidad del grande: 27 veces mayor que la del pequeño.

Notación científica

P A R A P R A C T I C A R

Escribe en notación científica las siguientes cantidades.

a) 1 decena, 1 centena, 1 millar b) 1 décima, 1 centésima, 1 milésima

a) 101_{, 10}2_{, 10}3 b) 101_{, 10}2_{, 10}3

Expresa en notación científica las siguientes cantidades.

a) 1 millón, 1 billón, 1 trillón

b) 1 millonésima, 1 billonésima, 1 trillonésima

a) 106_{, 10}12_{, 10}18 b) 106_{, 10}12_{, 10}18 3.18

Halla la expresión en notación científica de los siguientes números.

a) 0,00724 c) 0,000123

b) 0,0000012 d) 0,27546

a) 7,24 103 _{c) 1,23 10}4

b) 1,2 106 d) 2,7546 101

Expresa los siguientes números en notación científica.

a) 1 245 000 c) 33 420

b) 510 000 000 d) 504 000

a) 1,245 106 _{c) 3,342 10}4

b) 5,1 108 _{d) 5,04 10}5

Escribe las siguientes cantidades utilizando notación científica.

a) 2 321 102 _{d) 13 500 10}3

b) 0,00078 106 _{e) 0,0352}

102

c)471 103 _{f) 0,15 10}4

a) 2 321 102

2,321 103

102

2,321 105 _{d) 13 500}

103

1,35 104

103

1,35 101 b) 0,00078 106 _{7,8 10}4₁₀6_{7,8 10}2 _{e) 0,0352 10}2 _{3,52 10}2₁₀2_{3,52 10}4 c) 471 103 _{4,71 10}2₁₀3 _{4,71 10}5 _{f) 0,15 10}4 _{1,5 10}1₁₀4 _{1,5 10}3

Ejercicio resuelto

Haz las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica.

a) 2103 _{5,1 10}4 _{b) 8,3 10}3 _{3 10}5

a) Se multiplican o dividen los números para que los exponentes de las potencias sean iguales al menor de ellos, se opera y se expresa el resultado en notación científica.

2 103 _{5,1 10}4 _{2 10}3 _{51 10}3_{(2 51) 10}3 _{53 10}3_{5,3 10}4 b) Se procede igual que en a.

8,3 103_{3 10}5_{830 10}5 _{3 10}5 _{(830 3) 10}5 _{827 10}5_{8,27 10}3

Realiza las operaciones siguientes y da el resultado en notación científica.

a) 5106 _{3 10}8 _{c) 2,7 10}1 _{1,5 10}2

b) 8,15 104 _{4,2 10}3 _{d) 6,5 10}4 _{9 10}5

a) 5 106_{3 10}8_{5 10}6 _{300 10}6_{305 10}6 _{3,05 10}8 b) 8,15 104_{4,2 10}3_{81,5 10}3 _{4,2 10}3 _{77,3 10}3 _{7,73 10}4 c) 2,7 101 1,5 102 2,7 1010,15 1012,55 101

d) 6,5 104_{9 10}5_{6,5 10}4 _{0,9 10}4 _{7,4 10}4

Haz las siguientes operaciones.

a) (3,74 1010_{) (1,8 10}18_{) d) (3,75 10}10_{) (2,8 10}18₎

b) (5,42 108₎

: (6,8 1012_{) e) (4,35 10}12₎

: (1,25 107₎

c) (3,1 102_{) (7,3 10}4_{) f) (8,5 10}4₎

: (1,5 102₎

a) 6,732 108 _{d) 1,05 10}9

b) 7,97 105 _{e) 3,48 10}5

c) 2,263 107 _{f) 5,67 10}2

P A R A A P L I C A R

Indica el orden de magnitud de las siguientes medidas. a) Año luz: 9,46 1012 _kilómetros

b) Masa de la Luna: 7,34 1023 _kilogramos c) Tamaño de un virus: 1,2 109_metros d) Radio del universo: 1,49 1023 _kilómetros

a) 12 b) 23 c) 9 d) 23

Una finca rectangular tiene unas dimensiones de 4,3103

8,5102_{metros, respectivamente. Si en cada} metro cuadrado nacen un total de 3,6 102 _{flores, ¿cuántas flores producirá en total la finca?}

Afinca 4,3 10

3_{8,5 10}2_{3,655 10}6_m2 3,655 106_{3,6 10}2_{1,3158 10}9_flores

En un cultivo de laboratorio, 1 mililitro del mismo contiene alrededor de 500 millones de bacterias. Si en total el volumen del cultivo es de 1,52 103 _{litros, ¿cuántas bacterias viven en el cultivo,} aproxima-damente?

1 mL 103_L

1,52 103_{L 500 10}6_bacterias/103_{L 7,6 10}8_bacterias

El radio del universo conocido se estima en 15 000 millones de años luz. Si un año luz equivale a 9,46 1012 _{kilómetros, ¿cuánto mide aproximadamente el radio del universo en kilómetros?}

15 000 106_{años luz 9,46 10}12_{km/año luz 1,419 10}23_km

Calcula el volumen aproximado de la Tierra, tomando como radio 6 500 kilómetros y suponiendo que la Tierra tiene forma esférica. Utiliza 3,14.

V 4

3 r

3

1,15 1012_km

Raíz de un número

P A R A P R A C T I C A R

Ejercicio resuelto

Calcula por tanteo las posibles raíces.

a)

481

b)

3125

c)

2

16

a) Tanteamos con valores sencillos: 2, 3, 4 … y calculamos las potencias correspondientes.

4 81

tiene dos raíces: 3 y 3, ya que: 34 _{81 y (3)}4 _81. b)

3125

tiene una raíz: 5, ya que 53_125.

c)

2

16 no tiene raíz, ya que ningún número al cuadrado es negativo.

Calcula a tu modo las siguientes raíces y comprueba el resultado.

a)

416

c)

5

32

b)

6

64 d)

5243

a)

416

2, ya que ( 2)4_{16 c)}

5

32

2, ya que (2)5 ₃₂

b)

6

64no tiene raíz d)

5243

3, ya que 35₂₄₃

Calcula directamente las siguientes raíces expresando el resultado en forma de potencia.

a)

339

c)

3212

b)

5710

d)

458

Se divide el exponente por el índice.

a)

339

33 _{27 c)}

3 212

24 ₁₆

b)

5710

72

49 d)

458

52

25

Indica cuántos resultados tiene cada raíz y calcúlalos.

a)

4625

c)

3

27

b)

25 d)

51 024

a) Tiene dos raíces, una positiva y otra negativa. Raíces: 5 y 5 b) No tiene raíces.

c) Tiene una raíz:3 d) Tiene una raíz positiva: 4

Indica el número de resultados que tiene cada radical.

a)

123

c)

4

345

b)

3

234 d)

5456

a) Tiene dos raíces. c) No tiene raíces.

b) Tiene una raíz. d) Tiene una raíz.

Ejercicio resuelto

Comprueba si son equivalentes radicales

376

y

74

.

Primero se reducen a índice común. En cada caso, se multiplican el índice y el exponente del radicando por el número adecua-do para obtener el mínimo común múltiplo de los antiguos índices (que va a ser el nuevo índice común).

3 76

32

76 2

6

712

74

23

74₃

6

71

2 Como se obtiene el mismo resultado, los radicales son equivalentes.

Expresa los siguientes pares de radicales con el mismo índice. ¿Son equivalentes?

a)

7

y

372

b)

35

y

625

a)

673

,

674

b)

35

652

No son equivalentes, ya que 73 ₇4_{. Son equivalentes.}

Expresa cada base como una potencia y calcula el resultado.

a) 62514 c) 128

1 7

b) 72916 d) 729

1 3

a) 6251₄

₅4

₅1_{5 c) 128}1₇

₂7

₂1₂

b) 7291₆

₃6

₃1 _{3 d) 512}1₃

₂9

₂3 ₈

Escribe las bases en forma de potencia y calcula el resultado.

a) 491

2 c) 125

2 3

b) 271

3 d) 81

3 4

a) 491

2

72

717 c) 125

2

3

53

5225

b) 271₃

₃3

₃1 _{3 d) 81}3₄

₃4

₃3 ₂₇

3

4 1

3

2

₃

1

₂

3.38

1

₃

1

6

1

₇

1

₄

Calcula las raíces pasando previamente los radicales a forma potencial.

a)

81

c)

3125

b)

1 296

d)

481

a)

81

92

_{9 c)}

3 125

53

₅

b)

1 296

362

36 d)

481

34

3

Comprueba si los siguientes radicales son iguales o equivalentes pasándolos a potencias fraccionarias.

a)

5112

y

10116

b)

3132

y

12138

a) Para pasar del primer índice, 5, al segundo, 10, se multiplica por 2. Para pasar del primer exponente, 2, al segundo, 6, se multiplica por 3. Por tanto, no son equivalentes.

Observa también que 2 5 1

6 0

b) Para pasar del primer índice, 3, al segundo, 12, se multiplica por 4. Para pasar del primer exponente, 2, al segundo, 8, se multiplica por 4. Por tanto, son equivalentes.

Observa también que 2 3 1

8 2

P A R A A P L I C A R

Un ganadero ha comprado un terreno cuadrado de 1 600 m2_{. Si quiere cercarlo con tres vueltas de} alam-bre, ¿cuántos metros de alambre se necesitará?

Lado del cuadrado:

1 600

40 m Perímetro del cuadrado: 40 4 160 m Medida de las tres vueltas: 3 160 480 m

El área de la cara de un cubo es el cuadrado de la arista, y el volumen es el cubo de la arista. Calcula el área de una cara de los cubos cuyo volumen es:

a) 8 cm3 _{c) 81 cm}3

b) 125 cm3 _{d) 64 cm}3

a) Arista: 2 cm; área de la cara: 4 cm2 _{c) Arista: 81}1

3 4,33 cm; área de la cara:

(

81 1 3

)

2

18,74 cm2 b) Arista: 5 cm; área de la cara: 25 cm2 _{d) Arista: 4 cm; área de la cara: 16 cm}2

El lado de un cuadrado mide 10 centímetros.

Calcula el área del cuadrado construido sobre la diagonal. ¿Qué relación hay entre las áreas de ambos cuadrados?

Sea d la diagonal.

Por el teorema de Pitágoras tenemos:

d2 ₁₀2 ₁₀2 _{2 10}2 d

2 102

10

2

cm

Área del cuadrado mayor:

10

2

2200 cm2

Es mayor el área del cuadrado construido sobre la diagonal. 3.43

3.42 3.41 3.40

1

4 1

₂

1

₃

1

₂

3.39

10 cm

Los lados de dos cuadrados miden

5

y

311

centímetros, respectivamente. Sin calcular el área, encuentra cuál de los dos tiene mayor superficie.

Para comparar las áreas, comparamos los lados.

Radicales equivalentes:

653

y

6112

Medida de los lados:

6125

y

6121

Luego es mayor el primer lado, y, por tanto, también su área.

Operaciones con radicales

Ejercicio resuelto

Calcula

33

324

5

4

.

Se simplifican los radicales extrayendo factores de los radicandos y se operan aquellos radicales que resulten ser semejantes, ex-trayendo la parte radical como factor común.

3 3

3

24

5

4

33

323₃

5

4

33

2

33

5

4

(1 2)

33

5

4

3

33

5

4

P A R A P R A C T I C A R

Extrae del radical el mayor número de factores.

a)

75

c)

3270

b)

72

d)

480

a)

75

25

3

5

3

c)

3270

327

310

3

310

b)

72

36

2

6

2

d)

480

416

45

2

45

Introduce dentro del radical los factores externos.

a) 2

3

c) 10

32

b) 3

5

d) 2

46

a) 2

3

4

3

12

c) 10

32

31 000

32

32 000

b) 3

5

9

5

45

d) 2

46

416

46

496

Expresa con un único radical.

a) 2

5

3

5

5

b) 17

46

2

46

8

46

a) 2

5

3

5

5

4

5

b) 17

46

2

46

8

46

7

46

Calcula.

a)

316

354

5

3

40 b)

32

18

5

4640

a)

316

354

5

340

2

32

3

32

10

35

5

32

10

35

b)

32

18

5

4640

4

2

3

2

10

440

2

10

440

Extrae factores de los radicales y opera.

a)

316

4

464

5

6

128 b)

10

3

160

5

4640

a)

316

4

464

5

6128

2

32

8

44

10

62

2

3

2 4

44

5

62

b)

10

3

160

5

4640

10

12

10

10

440

13

10

10

440

3.50

Calcula los siguientes productos.

a)

25

36

c)

481

4625

b)

38

364

d)

664

6729

a)

25

36

5 6 30 c)

481

4625

3 5 15

b)

38

364

2 4 8 d)

664

6729

2 3 6

Realiza las siguientes operaciones.

a)

3

5

c)

2

8

b)

21

:

7

d)

2

3

a)

3

5

15

c)

2

8

16

4

b)

21

7

3

d)

2

3

2

2

2

2

2

Realiza las siguientes operaciones.

a)

3

34

c)

35

43

b)

33

:

9

d)

624

3

Las reducimos a común índice.

a) Índice común: 6 c) Índice común: 12

3

34

633

6

42

6

27 16

6 432

3 5

4 3

12 54

12 33

12 16 875

b) Índice común: 6

3 3

9

6

9

6729

6 8 1

1

d)

624

3

24 6

3

21 6 2

₂2 ₄

Ejercicio resuelto

Ordena los radicales siguientes de menor a mayor:

46

,

66

y

362

.

Índice común de los radicales: 12

Radicales equivalentes:

1263

,

1262

y

1268

Orden creciente:

1262

12

63

12

68

Por tanto:

66

46

362

Ordena los siguientes radicales en orden creciente.

524

,

423

y

625

Exponente fraccionario: 24_{5, 2}3_{4, 2}5₆

Orden creciente según los exponentes: 23_{4 2}4_{5 2}5₆

Por tanto:

423

5

24

6

25

Expresa como una sola potencia.

a)

5

535 c) 5

3 7

74

3

b)

5112

: 1113 d) 12

1 5 _:

53

a) 51

2 535 52135 51101 c) 537437 (5 4)37 2037 b) 112_{5 11}1_{3 11}2₅1_{3 111}1_{5 d) 12}1_{5 3}1_{5 (12 3)}1_{5 4}1₅

Expresa el resultado con un solo radical. a)

7

72

3 c) 6 3 4

45

3

b)

583

: 81

2 d) 21

1 3 _:

37

a) 71 2 7

2 3 7

1 2

2 3 7

7

6 c) 6 3 45

3

4 (6 5) 3 4 30

3 4 b) 83

Utiliza las propiedades de las potencias para calcular la raíz séptima de 1 280 000 000.

Se expresa en número, si es posible, en potencias de 7. 1 280 000 000 128 107₂7₁₀7

Raíz séptima: 2 10 20

P A R A A P L I C A R

Calcula la superficie de chapa que se ha necesitado para construir el depósito de la figura.

Área de la chapa:A 2

13

7

13

40

7

40

Operamos:A14

13

2

520

14

40

184,61 m2

La arista de un monumento que tiene forma de cubo mide

5

metros.

a) ¿Cuánto mide su área? b) ¿Cuánto mide su volumen?

a) Área del cubo: 6

5

5

30 m2 b) Volumen:

5

5

5

5

5

11,18 m3

Calcula el área del cuadrado cuyo lado mide:

a) 3

2

cm b) 131

2 dm c) 8 3

2 m d)

10

km

a)

3

2

218 cm2 _c)

₈3₂

2₈3_m2 _{512 m}2 b)

131₂

2 _{13 dm}2 _d)

10

2 10 km2

Calcula el área total de la figura. Las dimensiones están dadas en metros.

Rectángulo 1:

2

5

10

Rectángulos 2 3 4, intermedios:

10

2

5

330

20

50

10

330

Rectángulo 5, inferior:

420

5

330

Suma total:

10

20

50

10

3

30

420

5

420

330

3.62

3.61 3.60 3.59 3.58

40m

13m 7 m

20

4

10 2

5

30

3

2 ₁

3

2 4