FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
TESIS
DESARROLLO DE SOFTWARE PARA LA COMPRESIÓN DE
REDES EN LA RELACIÓN TIEMPO-COSTO EN LA
CONSTRUCCIÓN
PARA OBTENER EL TÍTULO PROFESIONAL DE INGENIERO CIVIL
ELABORADO POR
FRANK YVIDIO ROSALES PALACIOS
ASESOR
ING. JUAN CARLOS UBILLUS CALMET
LIMA – PERÚ
ÍNDICE
Pág.
RESUMEN ... 4
ABSTRACT ... 5
PROLOGO ... 6
LISTA DE TABLAS ... 7
LISTA DE FIGURAS ... 8
LISTA DE SIMBOLOS Y SIGLAS ... 11
CAPÍTULO I. INTRODUCCIÓN ... 13
1.1. GENERALIDADES ... 13
Antecedentes Históricos ... 13
1.1.1. Antecedentes Bibliográficos ... 14
1.1.2. 1.2. PROBLEMÁTICA ... 15
1.3. OBJETIVOS ... 15
Objetivo General ... 15
1.3.1. Objetivos Específicos. ... 16
1.3.2. 1.4. JUSTIFICACIÓN ... 16
1.5. HIPÓTESIS ... 16
CAPÍTULO II. FUNDAMENTO TEÓRICO ... 17
2.1. PLANEAMIENTO DE OBRA ... 17
Estructura de desglose de trabajo – EDT ... 17
2.1.1. 2.2. PROGRAMACION DE OBRA ... 19
Método CPM de programación ... 20
2.2.1. 2.3. COSTOS Y PRESUPUESTO DE OBRA ... 23
Metrados ... 23
2.3.1. Costos directos... 24
2.3.2. Costos indirectos ... 28
2.3.3. Rendimientos de mano de obra ... 29
2.3.4. Presupuesto de obra ... 29
2.3.5. 2.4. RELACIÓN DEL TIEMPO – COSTO ... 31
2.5. MÉTODO SIMPLEX ... 34
Introducción ... 34
2.5.1. Algoritmo Simplex ... 34
2.5.2. Método Simplex tabulado ... 39
2.5.3. Algoritmo Simplex de las Dos Fases ... 42
2.5.4. 2.6. MODELO DE RED ... 45
Definición de términos ... 45
2.6.1. Diagrama de redes ... 47
2.6.2. Método de precedencia mejorado ... 50
2.6.3. Desarrollo de una red de precedencia ... 53
2.6.4. 2.7. COMPRESION DE REDES ... 54
Crashing ... 56
2.7.2. 2.8. CALCULO DE VALORES NORMAL – CRASHING ... 57
Tiempo y Costo Normal ... 57
2.8.1. Tiempo y Costo Crashing ... 59
2.8.2. 2.9. PROCEDIMIENTO PARA LA COMPRESIÓN DE RED - CRASHING .... 66
CAPÍTULO III. DISEÑO DE SOFTWARE ... 72
3.1. METODOLOGIA DE DESARROLLO ... 72
3.2. DIAGRAMA DE PROCESO DE DATOS... 73
3.3. DIAGRAMA DE CASO DE USOS ... 74
3.4. DIAGRAMA DE FLUJO ... 74
3.5. MODELO MATEMÁTICO DE LA COMPRESIÓN Y ALGORITMO DE ORDENAMIENTO DE LA RED ... 77
Plantear el modelo matemático de la compresión de red. ... 77
3.5.1. Ordenación en niveles del grafico ... 82
3.5.2. 3.6. SOFTWARE RP PROJECT 2018 ... 84
Pantalla de inicio ... 87
3.6.1. Divisiones de la barra de herramientas del Software ... 87
3.6.2. Menú contextual en la cuadricula. ... 94
3.6.3. Barra de estado. ... 95
3.6.4. 3.7. DATOS – FORMATO COMPATIBLE ... 95
3.8. DATOS – CONSIDERACIONES PARA EL USO DEL SOFWARE “RP PROJECT 2018”. ... 96
CAPÍTULO IV. APLICACIÓN PRÁCTICA DEL SOFTWARE Y COMPROBACIÓN DE LA HIPÓTESIS ... 97
4.1. DESCRIPCIÓN DE LA OBRA ... 97
4.2. ELABORACIÓN DE DATOS DE ENTRADA DEL SOFTWARE ... 98
EDT ... 98
4.2.1. Presupuesto de obra ... 98
4.2.2. Cronograma de obra – Ms Project 2010 ... 98
4.2.3. 4.3. RECOPILACIÓN DE DATOS ... 99
Del Ms Project 2010 ... 99
4.3.1. Del presupuesto de obra ... 100
4.3.2. Tiempo Crash – Costo Crash ... 102
4.3.3. Entrada de datos al software ... 103
4.3.4. 4.4. SALIDA DE DATOS ... 108
Lista de actividad con sus tiempos y costos óptimos ... 108
4.4.1. Reporte de la Compresión de Red ... 109
4.4.2. Reportes Rutas ... 109
4.4.3. Reporte ASAP ... 109
4.4.4. Grafica ... 109
4.4.5. Modelo matemático de compresión de red ... 109
4.4.6. Analizando los resultados ... 109
4.4.7. 4.5. VALIDACIÓN DE RESULTADO ... 114
CONCLUSIONES ... 115
RECOMENDACIONES ... 117
BIBLIOGRAFÍA ... 119
RESUMEN
La tesis que se presenta a continuación tiene como propósito fundamental de ayudar en la planificación y programación de los proyectos de construcción mediante el desarrollo de una herramienta computacional (software RP Project 2018). Este proyecto abarcó el estudio de la relación tiempo-costo y la mejora del costo de la reducción del plazo del proyecto a ejecutar.
Al querer reducir el plazo del proyecto de un cronograma ya realizado, se tienen numerosas posibles combinaciones que cumplan con el nuevo plazo requerido. El problema surge en encontrar la mejor combinación de tiempos de las actividades manteniendo su interrelación lógica.
Para solucionar este problema se desarrolló un software, cuyos datos de entrada son un listado de actividades con sus respectivos tiempos, costos y sus relaciones de precedencia. Con lo cual genera un modelo matemático para hallar los tiempos “As soon as possible” (Tan pronto como sean posible) ASAP. Luego realiza un modelo grafico basado en el modelo de redes (CPM) cuya actividad está en los nodos y los nodos son bloques (red de precedencia mejorada o red orientada a los nodos), lo que permite visualizar las actividades con sus respectivos tiempos. Para la compresión de red, que es la compresión del cronograma del proyecto, se basó en la técnica presentada en la Guía del PMBOK del PMI “Crashing” (Intensificación) generando otro modelo matemático que tiene como función el costo de compresión de la red. Para las optimizaciones se aplicaran algoritmos matemáticos, principalmente el método simplex. Como resultado se presenta el listado de actividades con sus respectivos tiempos óptimos y el costo total de compresión, que es el costo requerido para cumplir los nuevos tiempos.
ABSTRACT
The presented thesis has as fundamental purpose of assisting in the planning and scheduling of construction projects by developing a computational tool (software RP Project 2018). This project includes the study of the time-cost relationship and the improvement of the reduction of the term of the project to be executed.
To wanting to reduce the term of the project of a schedule already made, many possible combinations that meet the new required deadline. The problem arises in finding the best combination of activity times maintaining its logical interrelationship.
To solve this problem, software was developed, whose input data is a list of activities with their respective times, costs and their precedence relationships. With which generates a mathematical model to find the times "As soon as possible" (As soon as possible) ASAP. Then make a graphic model based on network model (CPM) whose activity is modified in nodes and nodes are blocks (precedence improved network nodes or network-oriented). This allows for viewing the activities with their respective times. For network compression, that is the compressing the project schedule, with base on the technique presented in the Guide PMBOK PMI (Crashing), generating another mathematical model whose function is the compression cost of the network. For the mathematical algorithms of optimization, the simplex method is mainly applied. As a result the list of activities with their respective optimal times and total cost of compression, which is the cost required to meet the new times.
PROLOGO
El trabajo de investigación “Desarrollo de software para la compresión de redes en la relación tiempo-costo en la construcción”, nace de la necesidad de reducir el plazo del proyecto generando el menor costo.
Además, se estudió la técnica de Crashing presentada por en PMI en su guía de buenas prácticas del PMBOK para la reducción del plazo del proyecto (compresión de red). La cual sirvió para el modelamiento matemático de la compresión de red que se planteó como un problema de programación lineal cuya función objetivo es “Minimizar el costo de compresión cumpliendo el plazo requerido del proyecto”.
En la primera parte de esta tesis, se describen los fundamentos teóricos que son usados como base para el desarrollo del software. Hay conceptos, métodos, técnicas y procedimientos relacionado con el costo – tiempo en proyectos de construcción. Y luego se detalla los fundamentos de la modelación y el procedimiento de la compresión de redes con la técnica Crashing.
El siguiente capítulo llamado “Diseño de software” se plasma el desarrollo y se explican las funciones del software llamado “RP Project 2018”, y se describe el modelo matemático de la compresión de red expresado en variables.
La parte final de la tesis, se realiza la implementación en un edificio comercial de 7 pisos y semisótano; desde el procedimiento de la obtención de datos disponibles en el cronograma y presupuesto hasta llegar al resultado de la compresión de red, la lista de actividades con sus tiempos óptimos, al menor costo y cumpliendo con el plazo requerido. Luego se presenta un análisis de los resultados.
LISTA DE TABLAS
Pág.
Tabla 2-1: Salarios y beneficios sociales pliego nacional 2017 – 2018 ... 25
Tabla 2-2: Método Simplex tabulado... 40
Tabla 2-3: Método simplex tabulado – Antes de pivotear. ... 41
Tabla 2-4: Método simplex tabulado – Después de pivotar. ... 41
Tabla 2-5: Tipos de relaciones de precedencias. ... 53
Tabla 2-6: Tabla de rendimientos – Colocado de concreto en cuneta. ... 62
Tabla 2-7: Tabla de duraciones – Colocado de concreto en cuneta. ... 63
Tabla 2-8: Tabla de duraciones – Colocado de concreto en cuneta. ... 65
Tabla 2-9: Ejemplo – Lista de actividades con sus tiempos y costos. ... 67
Tabla 2-10: Ejemplo – Diferencia de tiempo y pendiente costo-tiempo. ... 68
Tabla 2-11: Ejemplo – Desarrollo del Ciclo 1. ... 68
Tabla 2-12: Ejemplo – Desarrollo del Ciclo 2. ... 69
Tabla 2-13: Ejemplo – Llenado del cuadro de reducciones. ... 70
Tabla 3-1: Descripción de las etapas en el desarrollo del software. ... 73
Tabla 4-1: Resumen de presupuesto de obra ... 97
Tabla 4-2: Costos de las actividades no incluidas ... 102
Tabla 4-3: Costos de las actividades constantes ... 109
Tabla 4-4: Costo directo correspondiente para diferentes plazos. ... 111
Tabla 4-5: Costo indirecto correspondiente para diferentes plazos. ... 112
LISTA DE FIGURAS
Pág.
Figura Nº 2-1: Descripción general de la Programación. ... 18
Figura Nº 2-2: Programación. ... 20
Figura Nº 2-3: Fases para la planificación de un proyecto con CMP. ... 22
Figura Nº 2-4: Presupuesto de obra ... 30
Figura Nº 2-5: Modelos Tiempo – Costo para una actividad. ... 32
Figura Nº 2-6: Costos totales, directos e indirectos. ... 33
Figura Nº 2-7: Diagrama de flujo del método simplex ... 44
Figura Nº 2-8: Ilustraciones de las definiciones. ... 46
Figura Nº 2-9: Método de Diagramación por Flechas. ... 47
Figura Nº 2-10: Actividad Ficticia. ... 48
Figura Nº 2-11: Método de Diagramación por Precedencia. ... 48
Figura Nº 2-12: Comparación entre ADM y PDM. ... 49
Figura Nº 2-13: Nomenclatura. ... 50
Figura Nº 2-14: Método ASAP. ... 52
Figura Nº 2-15: Método ALAP. ... 52
Figura Nº 2-16: Modelo Crashing en la relación Tiempo – Costo. ... 57
Figura Nº 2-17: Cuneta triangular Tipo I – Cronograma. ... 58
Figura Nº 2-18: Cuneta triangular Tipo I – Presupuesto Interno. ... 58
Figura Nº 2-19: Cuneta triangular Tipo I – Presupuesto Oferta. ... 58
Figura Nº 2-20: Cuneta triangular Tipo I – Análisis de Precios Unitarios ... 59
Figura Nº 2-21: Subpartida Colocación de concreto con dosificadora para cunetas – Análisis de Precios Unitarios. ... 60
Figura Nº 2-22: Cuneta triangular Tipo I – Plano. ... 61
Figura Nº 2-23: Cuneta triangular Tipo I – Cunetera. ... 62
Figura Nº 2-24: Cuneta triangular Tipo I – Cunetera. ... 62
Figura Nº 2-25: Cuneta triangular Tipo I con CUNETERA – Análisis de Precios Unitarios. ... 64
Figura Nº 2-26: Cuneta triangular Tipo I – Tiempo vs Tiempo ... 65
Figura Nº 2-27: Ejemplo de compresión – Red PDM. ... 67
Figura Nº 2-28: Costo Indirecto, Directo y Total en la gráfica Costo-Tiempo. ... 71
Figura Nº 3-1: Ciclo de vida de desarrollo de sistemas lineal/espiral ... 72
Figura Nº 3-3: Diagrama de flujo general de la función Comprimir red del
proyecto. ... 75
Figura Nº 3-4: Diagrama de flujo de la función Colocar lista de actividades. ... 76
Figura Nº 3-5: Representación de la actividad Inicial. ... 78
Figura Nº 3-6: Representación de la relación Comienzo – Comienzo. ... 79
Figura Nº 3-7: Representación de la relación Fin – Comienzo. ... 79
Figura Nº 3-8: Representación de la relación Fin – Fin. ... 80
Figura Nº 3-9: Representación de la relación Comienzo – Fin. ... 81
Figura Nº 3-10: Representa el diagrama de flujo de datos del proceso. ... 82
Figura Nº 3-11 Matriz de adyacencia cuadrada de dimensión n. ... 82
Figura Nº 3-12: Matriz de adyacencia y el vector V1. ... 83
Figura Nº 3-13: Matriz del Algoritmo de Demoucron. ... 84
Figura Nº 3-14: Diagrama de red de precedencia ordenada en niveles. ... 84
Figura Nº 3-15: Software, Simplex Dos Fases. ... 85
Figura Nº 3-16: Vista diseño del software, divisiones y sus elementos. ... 86
Figura Nº 3-17: Vista en ejecución del software. ... 86
Figura Nº 3-18: Pantalla de inicio. ... 87
Figura Nº 3-19: División Archivo. ... 88
Figura Nº 3-20: Propiedades del proyecto. ... 88
Figura Nº 3-21: Formulario Abrir. ... 88
Figura Nº 3-22: División Edición... 89
Figura Nº 3-23: División Edición con tiempos PERT. ... 89
Figura Nº 3-24: División Tiempo. ... 90
Figura Nº 3-25: División Calcular. ... 90
Figura Nº 3-26: Listado de rutas posibles del proyecto. ... 91
Figura Nº 3-27: El tiempo de inicio y de fin de los métodos ASAP. ... 91
Figura Nº 3-28: Formulario para visualizar la red de precedencia. ... 91
Figura Nº 3-29: Formulario de compresión de red. ... 92
Figura Nº 3-30: División Reporte... 92
Figura Nº 3-31: Formulario para visualizar el modelo matemático. ... 93
Figura Nº 3-32: Formulario para visualizar las interacciones del método simplex dos fases. ... 93
Figura Nº 3-33: División Ayuda. ... 94
Figura Nº 3-34: Menú contextual en la cuadricula. ... 94
Figura Nº 4-1: Vista 3D del proyecto. ... 98
Figura Nº 4-2: Vista de selección de datos a transferir. ... 99
Figura Nº 4-3: Vista de la hoja de Microsoft Excel con los datos transferidos. ... 99
Figura Nº 4-4: Vista del presupuesto total – Costo directo. ... 100
Figura Nº 4-5: Vista de la hoja de Microsoft Excel con sus costos. ... 100
Figura Nº 4-6: Vista de la hoja de Microsoft Excel – buscar y reemplazar. ... 101
Figura Nº 4-7: Vista de selección de filas a eliminar... 101
Figura Nº 4-8: Vista de lista de Tiempo Normal y Costo Normal. ... 102
Figura Nº 4-9: Hoja Excel de actividades con sus tiempos y costos. ... 103
Figura Nº 4-10: Cuadro emergente del botón Abrir. ... 103
Figura Nº 4-11: Vista del software con los datos cargados. ... 104
Figura Nº 4-12: Cuadro emergente del botón Proyecto. ... 104
Figura Nº 4-13: Formulario con la lista de las rutas generada. ... 105
Figura Nº 4-14: Formulario con los tiempos inicio y termino de cada actividad, y su holgura. ... 105
Figura Nº 4-15: Grafico de la red de precedencia. ... 106
Figura Nº 4-16: Mensaje emergente con el plazo mínimo requerido. ... 106
Figura Nº 4-17: Formulario de la compresión de red. ... 107
Figura Nº 4-18: Reporte de la compresión de red. ... 107
Figura Nº 4-19: Aplicar los datos obtenidos. ... 110
Figura Nº 4-20: Nuevas rutas críticas. ... 110
LISTA DE SIMBOLOS Y SIGLAS
Función objetivo del problema de programación lineal. Vector correspondiente a las variables de la solución.
∀ Existe.
∅ Conjunto vacío.
∈ Pertenece.
Operación entre conjunto: Unión.
\ Operación entre conjunto: Diferencia.
ℝ Conjunto de números reales.
ℕ Conjunto de números naturales.
El número de días que hay desde el día 0 hasta el día que se termina la Actividad i considerando una reducción de Y días a la duración inicial de la Actividad i.
El número de días que se puede reducir la duración de la .
La duración de la .
El número de días de desfase entre la y .
El número de días de desfase entre la ! y .
SUPERÍNDICE
Transpuesta.
−1 Inversa.
∗ Nuevo.
SUBÍNDICE
Relacionado a la ruta crítica.
% Relacionado a la solución no básica.
& Relacionado a la solución básica. Elemento en la posición .
Elemento en la posición .
' Elemento en la posición '.
(, * Dimensión de orden ( o *.
+ La posición de la variable de salida. Relacionado a la variable artificial.
SIGLAS
CPM “Critical Path Method", Método del camino crítico.
PERT “Programa Evaluation Review Technique”, Evaluación de Programa
y Técnico de Revisión.
ASAP “As Soon As Possible”, como Tan pronto como sea posible.
ALAP “As Late As Possible”, como Tan tarde como sea posible.
RHS “Right-Hand Side”, Lado derecho.
ADM “Arrow Diagramming Method”, Método de diagramación por flechas.
PDM “Precedence Diagram Method”, Método del diagrama de
precedencia.
CAPÍTULO I. INTRODUCCIÓN
1.1. GENERALIDADES
Antecedentes Históricos 1.1.1.
En el sector de la construcción, ante la necesidad de planear, programar y controlar mejor el desarrollo de los proyectos, han venido surgiendo técnicas, métodos y estructuras de trabajos. Ante esta necesidad, Henry L. Gantt desarrolló un diagrama de barras y lo dio a conocer en el año 1910 en Engineering Magazine Co en New York. El diagrama de Gantt proporcionó un medio gráfico de planificación y control del trabajo y dio lugar a siguientes métodos de planificación (CMI, 2002, p. 3-4).
En la década de 1950, la compañía norteamericana de productos químicos DuPont, y junto a la empresa Remington Rand tenían que desarrollar nuevas formas de programar sus proyectos de las plantas industriales, para controlar el mantenimiento de las plantas, buscando el control y la optimización de los costos de las actividades mediante la planeación de las mismas. Se creó el: "Critical Path Method", Método del camino crítico, conocido por sus siglas en inglés CPM, es un método racional, secuencial y simple. Fue así como el método CPM salvó a la compañía, ahorrándose millones de dólares en el primer año de uso (Acuña, 2010, p. 7).
Tanto la Ruta Crítica como el PERT han sido ampliamente usados en el sector de la construcción y su uso se ha extendido a casi todo el mundo. Se ha continuado con investigaciones en búsqueda de mejores métodos o técnicas de planeación, teniendo como resultados ciertos sistemas de control de recurso, o creación de modelos para analizar el funcionamiento de un proceso constructivo, pero la base sigue siento la Ruta Crítica y el PERT, los cuales son complementados con dichos sistemas y modelos (Ahuja, 1994, p. 314).
Antecedentes Bibliográficos 1.1.2.
Luego de buscar y revisar investigaciones realizadas en años anteriores, en American Society of Civil Engineers, el articulo presentado por Liu, Burns y Feng (1995) titulado “Construction Time-Cost trade-off analysis using LP/IP hybrid method”, presenta un algoritmo que utiliza la programación lineal y entera, para proporcionar una herramienta fácil de usar, para resolver problemas de relación de tiempo-costo de un proyecto de construcción usando modelos matemáticos y a la vez recomienda a futuras investigaciones desarrollar un “interfaz para vincular aplicaciones de cronograma de proyectos existentes, como Microsoft Project y Primavera”, con un aplicación de optimización, “para que la descripción de la actividad del cronograma, identificación de actividad, duración, costo y precedencia puedan importarse directamente” a la aplicación de optimización.
diagramación de la red de precedencia y la facilidad de importación de datos de entrada mediante Microsoft Excel.
Agyei (2015) presentó el artículo titulado “Project Planning And Scheduling Using PERT And CPM Techniques With Linear Programming: Case Study”, tuvo como objetivo encontrar una solución entre la relación tiempo-costo mínimo que se requerirá para completar un proyecto de edificación mediante la aplicación de la técnica de Crashing con un modelo de programación lineal cuyo resultado es: “el proyecto puede completarse con un 10% de disminución en la duración del proyecto, pero para lograrlo, se debe incurrir en un costo adicional de 3,30%, lo cual es bastante apreciable”.
1.2. PROBLEMÁTICA
En proyectos de construcción, los principales objetivos son completar el proyecto a tiempo y dentro del presupuesto. En caso de querer reducir el plazo del proyecto se deben adecuar la selección de un mayor número de recursos para las actividades con efecto de reducir la duración de estas, lo que genera sobrecostos. Si bien existe la técnica Crashing para la optimización del costo por tiempo con el fin de tener un plazo menor al inicial; “sin embargo, esto podría ser un proceso muy largo si se hace manualmente” (Shrestha, 2016, p. 1), dependiendo del número actividades, se vuelve difícil encontrar el menor costo directo para la reducción de plazo. En este trabajo se propone una herramienta computacional que resuelva estos cálculos.
1.3. OBJETIVOS
Objetivo General 1.3.1.
Objetivos Específicos. 1.3.2.
Desarrollar una herramienta con base a un modelo matemático de programación lineal para la compresión de red de los proyectos de construcción.
Investigar el algoritmo del método simplex para la compresión de redes y dar una mejor solución en la relación tiempo-costo de los proyectos de construcción.
1.4. JUSTIFICACIÓN
La investigación se realiza con el fin de proporcionar una herramienta para ingenieros civiles responsables de proyectos de construcción que deseen reducir el plazo generando el menor costo directo. También se puede aplicar la herramienta para el ahorro de tiempo, para finalizar antes del plazo, lo cual proporciona beneficios a todas las partes involucradas en el proyecto. Para encontrar esta mejor combinación es necesario formular modelos matemáticos de programación lineal en base a la técnica Crashing, y ser resuelta por medio de algoritmos matemáticos, estos cálculos se resolverán más rápidos a través de esta herramienta computacional que si se hace manualmente.
1.5. HIPÓTESIS
CAPÍTULO II. FUNDAMENTO TEÓRICO
2.1. PLANEAMIENTO DE OBRA
La planeación de una obra de construcción consiste fijar un conjunto de decisiones con anticipación y así crear un plan a seguir, orientada a los objetivos, donde indique el orden que se debe desarrollar de manera eficiente, previendo todas las acciones, y también determinar los tiempos y el mejor costo para su realización.
Una buena planificación, nos facilita resolver los posibles problemas o causas de retraso que se encontrarían en el desarrollo de la ejecución de la obra, que se deban corregir o evitar, y así culminar a tiempo y dentro del presupuesto.
Estructura de desglose de trabajo – EDT 2.1.1.
Una vez iniciada la planificación, uno de los primeros pasos es identificar las actividades que comprenderán el cronograma del proyecto. Para planificar una obra, se debe descomponer el alcance en partes más pequeñas.
El resultando que se obtiene es una estructura jerárquica, tomando el nombre de Estructura de Desglose de Trabajo, EDT (Work Breakdown Structure, WBS), y lo
define así en la guía del PMBOK en la quinta edición de la siguiente manera: Es una descomposición jerárquica del alcance total del trabajo a realizar por el equipo del proyecto para cumplir con los objetivos del proyecto y crear los entregables requeridos. La EDT/WBS organiza y define el alcance total del proyecto y representa el trabajo especificado en el enunciado del alcance del proyecto aprobado y vigente.
La definición implica que una EDT tiene las siguientes características:
El nivel más bajo de los componentes de la EDT son los paquetes de trabajo.
El paquete de trabajo cuenta con el nivel de detalle suficiente para ser estimado en términos de alcance, tiempo y costo
El trabajo en el contexto de la EDT, se refiere a los productos o entregables de la actividad realizada, y no a la actividad en sí misma.
Figura Nº 2-1: Descripción general de la Programación.
Fuente: Project Management Institute, 2013, Pág. 144.
2.2. PROGRAMACION DE OBRA
La programación de la obra se obtiene con el resultado de la planificación del proyecto. Permite tener un control de obra y una eficiente administración del proyecto porque establece cómo se realizará la obra, y asignar los recursos necesarios para cada actividad. Al asignar los recursos se prevé la disponibilidad de estos.
La programación de obra tiene como finalidad mostrar los tiempos de inicio, fin y duración de las actividades que abarcan el proyecto, manteniendo una secuencia lógica, y el plazo del proyecto. La estimación de los tiempos de las actividades para la programación, se puede determinar en base a tres factores: la cantidad de trabajo a ejecutar, los recursos asignados por su disponibilidad y por último la experiencia del responsable de la programación de obra. Estos valores se presentan en barras Gantt o en un diagrama de redes.
Una programación de obra debe contener los siguientes puntos:
Duración estimada de cada actividad.
El tiempo de inicio y terminación de cada actividad y el plazo del proyecto. Los tiempos más tempranos en que se puede empezar y terminar cada
actividad (ASAP).
Los tiempo más tardíos en que se tiene que iniciar y terminar cada actividad (ALAP).
Las holguras totales o libres de cada actividad. La(s) ruta(s) crítica(s).
Figura Nº 2-2: Programación.
Fuente: Suarez, 2002, Pág. 336.
En un proyecto de construcción es importante contar con una programación de obra, con base a esta programación se supervisa el desarrollo de la ejecución de la obra, si se va a finalizar dentro del plazo establecido o no. El avance real se compara con lo planificado en la programación de obra permitiendo identificar si hay avances o retrasos en la obra, para tomar decisiones o en caso, tomar medidas correctivas. Estas medidas correctivas repercuten en los tiempos de las actividades, modificando el proyecto, dando la necesidad de corregir o hacer una nueva programación para supervisar la obra.
Método CPM de programación 2.2.1.
El modelo de red se puede utilizar como ayuda en programación de proyectos complejos de gran tamaño que consisten de muchas actividades. Si la duración de cada actividad se conoce con certeza, entonces Método del Camino Critico (CPM, por sus siglas en inglés) se utiliza para determinar la longitud del tiempo requerido para culminar el proyecto y la clasificación de las actividades según su criticidad. El CPM también se utiliza para determinar cuánto puede retardar cada
Programación de obra
Valuación de tiempos. (Tabla de tiempos)
Obtención de la ruta crítica. (Tabla de holguras)
Análisis y reducciones
Inicio Terminación Inicio Terminación Jornadas
Días, horas, etc.
ASAP
ALAP
actividad del proyecto sin retrasar la terminación del mismo. Si la duración de las actividades no se conoce con certeza, la técnica de Program Evaluation Review Technique (PERT) se utiliza para estimar la probabilidad de que el proyecto se complete en una fecha específica (Wayne, 2004, p. 431).
Estos métodos se implementan en la planificación, programación y control de proyectos, y para su desarrollo se requieren ciertos pasos, primero unos procedimientos previos donde se analizan las actividades como:
La elaboración del EDT, donde se descompone el proyecto en niveles y subniveles en forma ordenada, y cada uno de estos en las actividades que lo conforman.
La descripción detallada de las actividades.
La asignación de recursos necesarios y la duración estimada de cada actividad.
Figura Nº 2-3: Fases para la planificación de un proyecto con CMP.
Fuente: Taha, 2012, Pág. 247.
Estimación de duraciones
El método de CPM infiere que los tiempos de las actividades son de forma determinísticas (estimación única) y se pueden variar aplicando mayores cantidades de recursos.
Ventajas de CPM
Permite conocer que actividades son primeros y cuando se deben realizar la habilitación de recursos requeridos para su ejecución.
Permite conocer la situación del proyecto que está en desarrollo en relación con el plazo programado.
Permite conocer las actividades críticas, siendo estas las actividades que determinar la duración del proyecto.
Permite conocer las actividades no críticas y el tiempo de holgura.
Permite analizar las consecuencias de retrasado del proyecto, el tiempo y el costo produce al aplicar mayores cantidades de recursos.
Permite una planificación y programación de un proyecto en una duración óptima en función de un costo mínimo.
Facilita la asignación de personal responsable a cada actividad.
2.3. COSTOS Y PRESUPUESTO DE OBRA
Es importante mencionar el concepto de “Partida”, también se menciona como “Actividad” en este trabajo, porque estas constituyen el presupuesto de obra.
Según la “Norma Técnica de Metrados para obras de edificación y Habilitaciones Urbanas” aprobada por la Resolución Directoral N° 073-2010/VIVIENDA/VMCS-DNC de 04-05-2010 en el Titulo I. Generalidades. Numeral 5.11 se define como:
Partida
Cada uno de los productos o servicios que conforman el presupuesto de una Obra. Las partidas pueden jerarquizarse de la siguiente manera:
Partidas de primer orden. Agrupan partidas de características similares. Pueden ser llamadas Partidas Titulo.
Partidas de segundo orden. Agrupan partidas genéricas, que nombran una labor en general o sin precisar detalle. Estas pueden ser llamadas Partidas Sub-títulos o Partidas Básicas.
Partidas de tercer orden. Son partidas específicas que indican mayor precisión de trabajo. Estas pueden ser llamadas Partidas Básicas.
Partidas de cuarto orden. Son partidas para casos excepcionales, de mayor especificidad.
Metrados 2.3.1.
La “Norma Técnica de Metrados para obras de edificación y Habilitaciones Urbanas” aprobada por la Resolución Directoral N° 073-2010/VIVIENDA/VMCS-DNC de 04-05-2010 en el Titulo I. Generalidades. Numeral 5.9 define como Metrados, en conformidad con el Reglamento de la Ley de Contrataciones del Estado, es el cálculo o la cuantificación por partidas de la cantidad de obra a ejecutar.
Costos directos 2.3.2.
El costo directo es la suma de los costos de los elementos (material, mano de obra, herramientas/equipo, subcontrata y otros) necesarios para la ejecución de una obra.
Se calcula multiplicando el metrado por el costo unitario ,2 − 1. de cada una de las partidas que conforman una obra.
/01 0 2 +3 0 4 5 63 + 0 /01 0 * + 0
Siendo calculados los costos unitarios ,2 − 2. con la siguiente sumatoria:
/01 0 * + 0 4 6 *0 3 07+ 8 6 3+ '31 893++ ( 3* 1/;<= >01
El aporte unitario es la cantidad de recursos (material, mano de obra y herramientas/equipo) requerido para realizar unidad de trabajo determinada (m, m2, m3, kg, pto, etc)
Costo de materiales
El costo de los materiales consisten en una cotización adecuada de los materiales a utilizar en una determinada actividad, esta cotización debe ser diferenciada por el tipo de material y buscando al proveedor más conveniente. El precio a considerar debe ser el puesto en obra, por lo tanto, este proceso debe ser afectado por varios factores tales como: costo de transporte, formas de pago, volúmenes de compra, ofertas del momento, etc. (Quezada, 2014, p. 29)
Costo de mano de obra
El análisis de costo diario de un obrero de construcción está compuesto por la suma de: jornal básico, bonificaciones, gratificaciones, asignación escolar, liquidación, seguros y las aportaciones. De este análisis se calcula el Costo por Hora Hombre (hh). Con la consideración que el cálculo de la bonificación por movilidad acumulada depende de la ubicación de la obra, porque los pasajes son diferentes en las ciudades del Perú.
,2 − 1.
Estos valores se acuerdan entre Cámara Peruana de Construcción (Capeco) y la Federación de Trabajadores en Construcción Civil del Perú (FTCCP), y concluye con la firma del Acta Final de Negociación Colectiva en Construcción Civil. La siguiente Tabla 2-1 se encuentra en el Acta Final de Negociación Colectiva en Construcción Civil 2017 – 2018 con vigencia del 01/06/2017 al 31/05/2018.
Tabla 2-1: Salarios y beneficios sociales pliego nacional 2017 – 2018
Fuente:CONAFOVICER
En Tabla 2-1 muestra las horas extras y sus remuneraciones en porcentajes con respecto al jornal básico. A continuación se presenta un ejemplo del cálculo del costo de las horas hombre de un operario considerando 5 horas extras en condiciones normales.
lndemnizac. vacaciones
Jornal 64.3 * 6 días 385.80 Diario 9.65 6.43
Jornal Dominical 10.72 * 6 días 64.30 Semanal 57.87 38.58
BUC 32% 20.58 * 6 días 123.46 Bonif. Por Movilidad 7.20 * 6 días 43.20
Fiest. Patri. Fiest. Navid.
Total Salarios 616.76 Diario 12.25 17.15
Descuento ONP 13% 74.56 Mensual 367.43 514.40
Descuento CONAF. 2% 9.00 Total 2572.00 2572.00
Pago Neto Semanal 533.19 Ley Nº 29351, Exonera a tas gratif. del descuento del SNP o SPP. El 9%, correspondiente a EsSalud se paoa al trabajador
lndemnizac. vacaciones
Jornal 52.00 * 6 días 312.00 Diario 7.80 5.20
Jornal Dominical 8.67 * 6 días 52.00 Semanal 46.80 31.20
BUC 30% 15.60 * 6 días 93.60
Bonif. Por Movilidad 7.20 * 6 días 43.20
Fiest. Patri. Fiest. Navid.
Total Salarios 500.80 diario 9.90 13.87
Descuento ONP 13% 59.49 mensual 297.14 416.00
Descuento CONAF. 2% 7.28 Total 2080.00 2080.00
Pago Neto Semanal 434.03 Ley Nº 29351, Exonera a tas gratif. del descuento del SNP o SPP. El 9%, correspondiente a EsSalud se paoa al trabajador
lndemnizac. vacaciones
Jornal 46.50 * 6 días 279.00 Diario 6.98 4.65
Jornal Dominical 7.75 * 6 días 46.50 Semanal 41.85 27.90
BUC 30% 13.95 * 6 días 83.70
Bonif. Por Movilidad 7.20 * 6 días 43.20
Fiest. Patri. Fiest. Navid.
Total Salarios 452.40 diario 8.86 12.40
Descuento ONP 13% 53.20 mensual 265.71 372.00
Descuento CONAF. 2% 6.51 Total 1860.00 1860.00
Pago Neto Semanal 392.69 Ley Nº 29351, Exonera a tas gratif. del descuento del SNP o SPP. El 9%, correspondiente a EsSalud se paoa al trabajador
Simples 60% 100% lndemniz.
OPERARIO 8.04 12.86 16.08 1.21
OFICIAL 6.50 10.40 13.00 0.98
PEON 5.81 9.30 11.63 0.87
HORAS EXTRAS TABLA DE SALARIOS Y BENEFICIOS SOCIALES
PLIEGO NACIONAL 2017- 2018 (Del 01.06.2017 al 31.05.2018)
OPERARIO OFICIAL PEON mensual 160.75 130.00 116.25 Asianación Escolar por un hiio
diario
Como se muestra en la Tabla 2-1 el jornal básico de un operario es S/. 64.30 y las horas extras; las dos primeras horas es 60% y a partir de las tercera hora es 100% adicional con respecto de la hora del jornal básico. Recordando que el trabajo de sobretiempo es voluntario. Los siguientes cálculos tienen vigencia del 01/06/2017 al 31/05/2018.
Operario:
Jornal básico (JB) S/. 64.30
BUC (Bonificación unificada de la
construcción) 32% (del JB) S/. 20.58
BAE (Bonificación por Alta Especialización) Ver Anexo A.01 S/. -
Leyes sociales 123.7% (del JB) Ver Anexo A.01 S/. 79.54
Leyes sociales 12% (del BUC y BAE) Ver Anexo A.01 S/. 2.47
Movilidad S/. 7.20
Overol S/. 0.60
Seguro de vida S/. 0.20
Indemnización 15% ( del JB) S/. 9.65
Total bruto salario día S/. 184.53
Descuentos:
JB S/. 64.30
Dominical (17.36% del JB) Ver Anexo A.01 S/. 11.16
BUC (32% del JB) S/. 20.58
Vacaciones (11.34% del JB) Ver Anexo A.01 S/. 7.29
Suma S/. 103.33
Descuento SNP (13% de la Suma) S/. 13.43
JB S/. 64.30
Dominical (17.3% del JB) Ver Anexo A.01 S/. 11.16
Suma S/. 75.46
Descuento CONAFOVICER (2% de la suma) S/. 1.51
Total bruto salario día S/. 184.53
Descuento SNP 13% S/. 13.43
Descuento CONAFOVICER 2% S/. 1.51
Pago Neto Diario S/. 169.59
Pago Hora Hombre en C.N. S/. 21.20
Horas extras:
JB - Día S/. 64.30
JB - Hora S/. 8.04
Sobretasa + Pago 2 HH en C.N. S/. 52.04
Sobretasa por las 3 horas siguientes - 3 x (100% del JB) S/. 24.11
Sobretasa + Pago 3 HH en C.N. S/. 87.71
Pago por las 5 horas extras S/. 139.75
Pago Neto Diario S/. 169.59
Pago por las 5 horas extras S/. 139.75
Pago total S/. 309.34
Se observa que el costo horas extras se incrementa considerablemente por las sobretasas aplicadas. Por eso se debe tener en cuenta el costo beneficio de las horas extras.
Por otro lado se puede optar por un sistema de contrato, la cual consiste pagar una determinada suma por un específico trabajo terminado.
Costo de equipo de construcción y herramientas Costo de equipos de construcción
En caso de equipos de construcción hay dos posibilidades al momento de realizar el análisis: equipos propios y equipos alquilados.
Equipos propios, se debe considerar la cantidad de dinero invertido en adquirirla, hacerla funcionar, realizar el trabajo, y mantenerla en buen estado de operación. También tener en cuenta los costos de depreciación del equipo.
En caso de utilizar equipos alquilados, se considera el precio del alquiler del equipo más el costo de adquirir lo necesario para su funcionamiento en caso de no estar incluido en el precio del alquiler, como son los costos del operario, mantenimiento o accesorios.
Costo de herramientas
9( 4 ? 6
Dónde:
Hm: es el costo directo de herramienta en la partida.
M: es el costo de directo de mano de obra de dicha partida, considerando el jornal básico y porcentajes sobres el mismo.
h: representa el coeficiente (porcentaje expresado en forma decimal) estimado en función a la incidencia de utilización de las herramientas en la partida en estudio según la experiencia en obras similares. Este coeficiente o porcentaje generalmente varia de 1% a 5% (0.01 a 0.05).
Costos indirectos 2.3.3.
Según Quezada (2014, p. 30), los costos indirectos son aquellos gastos que no son fácilmente cuantificables como para ser cobrados directamente al cliente.
Los costos indirectos incluyen: Gastos generales.
Utilidades. Impuesto.
Gastos generales
Son aquellos gastos no incluidos en los costos directos y son muy variables, dependiendo de aspectos como el lugar donde se debe realizar la obra. Así por ejemplo, las obras locales tienen los gastos generales más bajos que los que están en el campo y también es obvio que una empresa grande tiene gastos generales mayores que la de una empresa pequeña.
También tiene influencia el tipo de garantía (boletas bancaria o pólizas de seguro). El monto de contratos anuales y la magnitud de la empresa constructora. Por otra parte, existe dentro de los gastos generales costos fijos que representas un porcentaje permanente del costo total de la mano de obra como son los aportes a entidades.
Depende entonces de cada empresa constructora determinar el porcentaje de gastos generales para cada uno de sus obras. Los gastos generales no son un porcentaje de los costos directos, se le expresa como porcentaje solamente como un artificio matemático, para distribuir el gasto en cada uno de las partidas de la obra, ya que la certificación de la obra, se realiza mediante medición del volumen de cada partida multiplicado por su precio unitario.
Utilidades
Las utilidades deben ser calculadas en base a la política empresarial de cada empresa, al mercado de la construcción, a la dificultad de ejecución de la obra y a su ubicación geográfica (urbana o rural).
Impuestos
Debe ser aplicado sobre los componentes de la estructura del presupuesto. Una vez analizado todos los componentes del presupuesto del proyecto, es necesario preparar el presupuesto definitivo.
Rendimientos de mano de obra 2.3.4.
Es la cantidad de obra ejecutada, de una actividad, por una cuadrilla. Se expresa como la relación entre la cantidad de obra ejecutada por una cuadrilla y su tiempo de ejecución.
Presupuesto de obra 2.3.5.
El presupuesto de obra es una herramienta que tiene objetivo determinar anticipadamente el costo total de ejecución del proyecto de construcción.
Según Quezada (2014, p. 24), todo presupuesto tiene cuatro características fundamentales:
Es aproximado porque se acerca más o menos al costo real de la obra. Es singular, como lo es cada obra, por eso cada obra requiere un
Es temporal porque los precios que sirvieron de base para su elaboración tienen un periodo de vigencia.
Sirve como herramienta de control, permite correlacionar la ejecución presupuestal con el avance físico, su comparación con el costo real permite detectar y corregir fallas y prevenir causales de variación por ajuste en alcances o cambios en actividades.
Para el cálculo del presupuesto de obra, se obtiene de la suma del costo directo, gastos generales, utilidad y los impuestos. Como se muestra en la Figura 2-4.
Figura Nº 2-4: Presupuesto de obra
2.4. RELACIÓN DEL TIEMPO – COSTO
Los proyectos de construcción son divisibles en un número de procesos o actividades y cada uno de estos se definen mediante las diferentes combinaciones de los métodos de construcción, del equipo, de los numero de las cuadrillas de trabajadores y las horas de trabajo. Siendo las restricciones más importantes para la selección de la óptima combinación, el tiempo o el costo.
En búsqueda de la combinación óptima se modifican el tiempo y el costo de cada actividad para minimizar el costo total. En el proceso de reducir el costo al mínimo, se generan varias alternativas de soluciones, cada una con una duración de proyecto diferente y su costo asociado.
Se selecciona la solución más adecuada. Los criterios para la selección de una solución dependen del equilibrio entre los parámetros de tiempo y costo que el planificador desea lograr.
Por ejemplo, en un proyecto de construcción un gerente de proyecto puede estar pagando intereses sobre una inversión en la construcción de un edificio de apartamentos. Por cada día que este edificio no está en uso, puede estar perdiendo los ingresos de alquiler también. Con el fin de acelerar el proyecto sin aumentar indebidamente los costos de la inversión, el gerente del proyecto quiere determinar la duración del proyecto que dará el máximo rendimiento.
En el mundo de los negocios es imprescindible, o al menos muy deseable, tener un producto en el mercado antes de que el competidor lo haga. Como resultado, el criterio puede ser maximizar la probabilidad de comercializarlo tan pronto como sea posible minimizando al mismo tiempo el aumento del costo (Ahuja, 1994, p. 164).
Para lograr los objetivos discutidos en la sección anterior, se utiliza la técnica “Crashing” que se detalla dentro del Capítulo 3.6. (Compresión de redes). También se requiere comprender el comportamiento del costo y el tiempo.
tiempo – costo que se pueden dar. La reducción del tiempo de ejecución de una actividad puede motivar:
Incremento lineal del costo (mod. A), que corresponde con aquellas tareas o actividades que pueden ser realizadas eficientemente aumentando los recursos utilizados.
Costos constantes (mod. B) que no varían con el tiempo, como suele ocurrir, por ejemplo, con las actividades subcontratadas para la que se ha establecido un tiempo mínimo.
Aumento brusco del costo directo (mod. C) en un momento dado.
Incremento más que proporcional del costo (mod. D) a medida que se reduce el tiempo, comportamiento muy corriente y que se produce para aquellas actividades con ciertas limitaciones que impiden que un incremento en los recursos asignados produzca un rendimiento proporcional.
Relaciones discontinuas costo-tiempo (mod. E) que se producen, por ejemplo, en actividades de tiempo de reparto, donde solo existe un costo para el tiempo corriente y otro para el urgente.
Figura Nº 2-5: Modelos Tiempo – Costo para una actividad.
En cuanto a los costos indirectos (/A), las principales fuentes son los gastos generales, utilidad, etc. Esta clase de costos suelen variar (tal como se detalla en la Figura Nº 2-6) más que proporcionalmente a medida que aumenta el tiempo de realización de la actividad.
El costo total (/B) es, por tanto, la suma del costo directo (/C) y del costo indirecto (/A), es decir,
/B4 /C8 /A
y cuya representación gráfica, considerando una variación más que proporcional para los costos directos e indirectos (Ver Figura 2-6):
Figura Nº 2-6: Costos totales, directos e indirectos.
Fuente: Ahuja (1994), p. 178
Entonces de la Figura Nº 2-5, en el modelo A, C y D, si una actividad se acelera, se aumenta su costo directo. En cambio si el proyecto se acelera (se incrementan los recursos a emplear, los turnos de trabajo, horas extras, etc.), su costo directo aumenta también pero a la vez disminuye su costo indirecto. El equilibrio entre los parámetros tiempo y costo del proyecto, el costo total óptimo (Ver Figura Nº 2-6), sirve como referencia para la selección de la combinación tiempo – costo del proyecto.
,2 − 4.
/01 0
3(>0 /C
3(>0óFG HI /A /B
/0
1
0óFG
H
2.5. MÉTODO SIMPLEX
Introducción 2.5.1.
Según Labrecciosa (2009, p. 9). El método Simplex, trabaja sobre una región formada por las restricciones del problema, la cual en general es un poliedro. Este es un método sistemático que busca ir de un vértice a otro en dicha región por iteración, siempre buscando mejoras en la solución conforme va moviéndose entre dichos vértices. En cada iteración se selecciona una variable del problema que produce mayor progreso hacia el óptimo. Dicha selección depende de la regla de variable entrante y es uno de los lugares en donde se efectúan cambios en el algoritmo para poder mejorarlo, buscando siempre desarrollar una metodología que produzca un recorrido más eficiente. Para poder desplazarse de un vértice a otro en la región, el algoritmo requiere la información de las restricciones, así usa las mismas para obtener direcciones que produzcan mejoría y a través de los bordes de la región se produce el movimiento hasta llegar a la optimización.
El Algoritmo Simplex y el Algoritmo Simplex Dos Fases han sido explicados en un material didáctico de la Universidad de Valencia (2016, p. 12-19 y p.24-26) que se presentan a continuación.
Algoritmo Simplex 2.5.2.
El algoritmo del simplex es una técnica para la resolución de problemas de programación lineal. La expresión general de una Programación Lineal es:
6 *,J. 4 K K8 L L8 ⋯ 8 N N
KK K8 KL L8 ⋯ 8 KN NO 7K
⋮
Inialización
El problema de programación lineal se puede expresar como:
6 *,J. 4 G Sea:
4 7 R 0N
Donde A es una matriz ( *, 7 ∈ ℝN, ∈ ℝN, con * > ( y + *U, , 7. 4 + *U, . 4 (. Además ∈ V, en donde V ≠ ∅.
Para obtener una solución básica inicial.
Si en V todas las restricciones eran del tipo “ O ” y el “Z9V R 0”, al añadir las variables de holgura se obtiene automáticamente una solución básica inicial a tomando las variables originales como no básicas y las variables de holgura como básicas.
En otro caso aplicaremos el Algoritmo de las Dos Fases.
Se puede descomponer en partes básicas y no básicas.
4 ,&, %., 4 [ \
]^ , 4 [
\ ]^ Dónde:
&: Las columnas de A de coeficientes de las variables básicas de las restricciones.
%: Las columnas de A de coeficientes de las variables no básicas de las restricciones.
\: Variable básica. \: Coeficiente básico.
]: Variable no básica. ]: Coeficiente no básico.
Reemplazando ,2 − 7. en ,2 − 5. y despejando, se obtiene:
J − \G \− ]G ]4 0 ,2 − 8.
,2 − 7. ,2 − 5.
Y reemplazando ,2 − 7. en ,2 − 6. se obtiene: & \8 % ]4 7
\R 0, ]R 0
Multiplicando en ambos lados ,&dK. de la ecuación ,2 − 9. y despejando: &dK,&
\8 % ]. 4 &dK7
,&dK&.
\8 ,&dK%. ]4 &dK7 \8 &dK% ]4 &dK7 \4 &dK7 − &dK% ]
\R 0, ]R 0
7 4 &dK7 4
f g g g h 7K
⋮ 7 ⋮ 7Hi
j j j k ,
l 4 &dK Q
7 : Valor de la variable básica asociada a la ecuación i-ésima.
lQ: Coeficiente de la variable no básica j-ésima en la ecuación i-ésima.
Reemplazando ,2 − 10. en ,2 − 8. se obtiene:
J 4 \G,&dK7 − ,&dK%. ]. 8 ]G ]
J 4 \G,&dK7. − , \G&dK% − ]G. ]
De la ecuación ,2 − 11., \G,&dK7. representa el Valor Objetivo y \G&dK% − ]G los Costos Reducidos.
En cualquier iteración del Simplex el problema está expresado por las ecuaciones ,2 − 11. y ,2 − 10.:
6 * J 4 \G,&dK7. − , \G&dK% − ]G. ]
,2 − 9.
,2 − 10.
\8 &dK% ]4 &dK7 \R 0, ]R 0 Y tiene asociada la siguiente Solución Básica:
4 [ \
]^ 4 m
&dK7
0 n
Como valor objetivo:
J 4 \G,&dK7.
Costos reducidos: Coeficientes de las variables en la expresión de la función
objetivo dada en una interacción del Simplex. Si la variable Q es:
Una variable básica:
0 Una variable no básica:
JQ− Q4 \G&dK Q− Q
Criterio de optimalidad: Una solución es óptima ,2 − 14.si: JQ− Q O 0 ∀Q
Porque al introducir una variable no básica origina un incremento negativo de la función objetivo por lo tanto no se puede mejorar, se puede concluir que ha encontrado la solución óptima.
Criterio para elegir la nueva variable básica: Aquélla que tiene el mayor costo
reducido.
JNopqI4 JrsGort− ,JQ− Q. Q
Dónde:
Si Q> 0 y JQ− Q > 0, entonces: JNopqI< JrsGort Si Q> 0 y JQ− Q < 0, entonces:
JNopqI> JrsGort
De la ecuación ,2 − 12. se hacen las igualdades correspondientes y se obtiene:
\4 &dK7 R 0H ]4 0NdH
Iteración
Paso 1: Sean las ecuaciones ,2 − 16. y ,2 − 17. la solución básica actual. Hacer, 7 4 &dK7, y reemplazando la ecuación ,2 − 12. en ,2 − 13. sale J 4 \G \. Ir al Paso 2.
Paso 2: Calcular los costos reducidos de la variables no básicas. JQ− Q 4 \G&dK Q− Q, ∀Q∈ %
Siendo Q la columna asociado a la variable Q en .
Si JQ− Q O 0, ∀Q∈ ℕ. Criterio de optimalidad. Detener.
\∗ 4 &dK7 ]4 0NdH
J∗4
\G&dK7
En otro caso, elegir v como nueva variable básica entrante, siendo ! el índice para el que se alcanza el máximo de los costos reducidos:
Jv− v4 maxQ∈]yJQ− Qz
Ir al Paso 3.
Paso 3: Obtener la columna asociada a la variable que se hace básica en el
sistema actual. Sea lv 4 &dK v.
Si lv O 0H. Detener.
Podemos incrementar el valor de v tanto como queramos sin que se haga cero ninguna variable básica, sin alcanzar ningún otro vértice del poliedro adyacente al actual. El problema es No Acotado y el valor óptimo es J∗ 4 −∞.
,2 − 18. ,2 − 16.
En otro caso. Ir al Paso 4.
Paso 4: Elegir la variable que deja de ser básica (Criterio de la razón mínima).
|}
~}•4 minK• •H‚
|ƒ
~ƒ• ∶ lv> 0… & 4 &\‡ ˆ‰ ‡ v‰
% 4 %\‡!‰ ‡+‰ Ir al Paso 1.
Método Simplex tabulado 2.5.3.
El Método Simplex se implementa en programas de ordenador (software) y para llegar a la solución, se recomienda la forma tabular del método. La forma tabular es matemáticamente equivalente a la forma algebraica, con la ventaja que simplifica las operaciones y cálculos que describe el método, por ahorrar pasos y símbolos de las variables por su forma compacta.
Según Hillier (2010, p. 94), La forma tabular del Método Simplex registra sólo la información esencial, a saber:
Los coeficientes de las variables.
Las constantes del lado derecho de las ecuaciones. Las variables básicas que aparecen en cada ecuación.
Esta forma evita tener que escribir los símbolos de las variables en cada ecuación, pero es más importante el hecho de que permite hacer hincapié en los números que se usan en los cálculos aritméticos y registrarlos en forma muy compacta.
Para aplicar el algoritmo en el caso de minimización, se considera el problema de Programación Lineal de la siguiente forma.
6 * J
4 7 R 0 Sea: J − G 4 0
Si lo escribimos en términos de una solución básica asociada a una base &: 6 * J
J − \G \− ]G ]4 0
& \8 % ]4 7
\R 0H, ]R 0NdH
Se ordenan las ecuaciones ,2 − 8. y ,2 − 9. tomando la siguiente forma: J 8 0 \8 , \G&dK% − ]G. ]4 \G&dK7
0 8 \ 8 &dK% ] 4 &dK7
Esta forma se mantiene y se distribuye en cuatro columnas como se muestra en la Tabla 2-2.
Tabla 2-2: Método Simplex tabulado.
J \ ] Z9V
1 0 \G&dK% − ]G
JQ− Q4 \G&dK Q− Q \ G&dK7
0 ŠH &dK%, ,lv4 &dK v. &dK7, ,7 .
Fuente: http://www.uv.es/martinek/material/Tema3.pdf
Se construye la tabla inicial a partir del sistema de inecuaciones que forman las restricciones. A esto se añade los coeficientes de la función objetivo (segunda fila). En la parte superior aparecen las variables. La tabla inicial presentaría el aspecto de la Tabla 2-2.
Tabla 2-3: Método simplex tabulado – Antes de pivotear.
\‹ ⋯ \} ⋯ \Œ ⋯ Q ⋯ v ⋯ Z9V 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ JQ− Q ⋯ Jv− v ⋯ \7
1 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 1 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 ⋯ 1
⋯ lKQ ⋯ lKv ⋯
⋮ ⋮ ⋯ lˆQ ⋯ lˆv ⋯
⋮ ⋮ ⋯ lHQ ⋯ lHv ⋯
7K ⋮ 7ˆ ⋮ 7H Fuente: http://www.uv.es/martinek/material/Tema3.pdf
Variable de entrada , v.:
Jv− v4 maxQ∈]yJQ− Qz ⟶ v
Variable de salida , \}.: 7ˆ
lˆv 4 minK• •HŽ
7
lv ∶ lv> 0• ⟶ \}
Tabla 2-4: Método simplex tabulado – Después de pivotar.
\‹ ⋯ \} ⋯ \Œ ⋯ Q ⋯ v ⋯ Z9V 0 ⋯ vl− Jv
ˆv ⋯ 0 ⋯ ,JQ− Q. −
lˆQ
lˆv,Jv− v. ⋯ 0 ⋯ \7 − ,Jv− v.
7ˆ
lˆv
1 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 1 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 ⋯ 1
⋯ lKQ− llˆQ
ˆvlKv ⋯ 0 ⋯
⋮ ⋮ ⋯ llˆQ
ˆv ⋯ 1 ⋯
⋮ ⋮ ⋯ lHQ− llˆQ
ˆvlHv ⋯ 0 ⋯
7K−llKv ˆv7ˆ
⋮ 7ˆ
lˆv
⋮ 7H−llHv
ˆv 7ˆ
Fuente: http://www.uv.es/martinek/material/Tema3.pdf
De esta forma se obtiene una nueva solución básica adyacente a la anterior, y el ciclo se repite hasta encontrar la solución óptima:
Algoritmo Simplex de las Dos Fases 2.5.4.
Este algoritmo se utiliza en caso de minimización cuando hay igualdades o desigualdades del tipo R, y en caso de maximización cuando hay igualdades o desigualdades del tipo O. En estos dos casos se añaden necesariamente variables artificiales. Para resolver con este algoritmo un problema de programación, el algoritmo presenta dos fases: La primera fase se minimiza la suma de las variables artificiales, hasta volver todas las variables artificiales igual a cero. Si en caso, la suma de las variables artificiales (la nueva función objetivo) es diferente de cero el problema no tiene solución. La segunda fase es aplicar el algoritmo Simplex.
Fase 1: Construir el problema auxiliar y minimizar la nueva función objetivo, que
se obtiene incorporando al objetivo las variables artificiales con coeficientes uno y asignando coeficiente cero al resto:
Resolver el problema auxiliar con el algoritmo del Simplex. Sea , ∗, r∗. la solución óptima obtenida.
Si la solución óptima es igual a cero se pasa a la Fase 2, si es diferente de cero el problema original no tiene solución.
Fase 2: Utilizar la solución básica obtenida al final de la Fase 1 para resolver el
problema inicial. Sean \ las variables básicas en dicha solución.
Consideremos la tabla óptima al final de la Fase 1 se puede encontrar con estos dos casos:
Si en \ no hay variables artificiales: eliminando las columnas asociadas a las variables artificiales y actualizando convenientemente la fila asociada a
6 * J 4 5 r N
N•K
R 0 , rR 0
la función objetivo obtenemos la tabla inicial para resolver el problema original con el algoritmo Simplex.
Si en \ hay variables artificiales: tratamos de obtener una solución básica sin variables artificiales.
El procedimiento para obtener una solución básica sin variables artificiales:
Eliminar de la tabla las columnas asociadas a las variables artificiales no básicas.
Actualizar la fila asociada a la función objetivo considerando que los coeficientes en la función objetivo de las variables artificiales en el problema original son 0.
Eliminar secuencialmente variables artificiales básicas pivotando sobre elementos de la tabla:
lQ 4 0
En donde:
4 Fila asociada a la variable básica artificial. 4 Columna asociada a las variables no artificiales.
Si lQ 4 0; ∀ ≠ la ecuación i-ésima es redundante. Eliminar la ecuación y la variable artificial.
El algoritmo Simplex de los Dos Fases se utiliza para la optimización de los modelos matemáticos que se generan en el software que se presenta en esta tesis. Porque estos modelos tienen igualdades y desigualdades de tipo R o O en combinación.
Figura Nº 2-7: Diagrama de flujo del método simplex
2.6. MODELO DE RED
Uno de los problemas más frecuentes es la aplicación y análisis de redes que surgen a partir de diferentes situaciones. Algunas de las aplicaciones más comunes de modelos de redes están en producción, distribución, planeación de proyectos, localización de instalaciones, administración de recursos, planeación financiera, redes de transporte, redes eléctricas y redes de comunicaciones. Esto es debido a que, una representación de redes proporciona un panorama general y una ayuda conceptual para visualizar las relaciones entre las componentes de los sistemas que se usan. Rincón (2001, p 119).
En este trabajo de investigación abarca la aplicación de modelo de redes en programación de proyectos, la cual se basa en la Teoría de Redes, o de Grafos, esta permite representar y a la vez brinda un soporte matemático para resolver.
Definición de términos 2.6.1.
Grafo: Es un conjunto de puntos llamados nodos que van unidos por unas líneas
llamadas arcos o aristas.
Red: Es un grafo que presenta algún tipo de flujo en sus aristas.
Cadena: Es una secuencia de aristas, de modo que cada arista tiene un extremo
común con la arista precedente y otra con la arista sucesora.
Ruta: Serie de elementos que corresponde a los nodos que constituyen una
cadena.
Ramal orientado: Es aquel que tiene un sentido determinado, es decir que
posee un nodo fuente y un nodo destino.
Grafo orientado: Es aquella en la cual todas sus aristas tienen asignada una
dirección.
Nodo fuente: Aquel nodo en el cual todas sus aristas se encuentran orientados
Nodo destino: Aquel nodo en el cual todas sus aristas se encuentran orientados
hacia él.
Figura Nº 2-8: Ilustraciones de las definiciones.
Fuente: Elaboración propia.
Una de las rutas que representa a la cadena en la Figura Nº 2-8 es: Z= : 1 − 2 − 5 − 7
1
2
3
4
5
7 6
2
1
5
7 3
4
6
1
2
5
7
3 7
1 7
‘+ ’0
Z3 ‘+ ’0 0+ 3* 0
Z ( ' 0+ 3* 0 / 3*
%0 0 ’=3* 3 %0 0 31 *0
A C
E
D B
F
G
Diagrama de redes 2.6.2.
Un diagrama de red de proyecto es un grafo donde se esquematiza las actividades del proyecto y sus relaciones lógicas.
Existen dos formatos para elaborar diagrama de red del proyecto. El primero es Método de Diagramación por Flechas (“Arrow Diagramming Method” – ADM) o Actividad en el Flecha (“Activity on Arrow” – AOA) en el cual se representa las actividades sobre los arcos, además es utilizado por el método PERT – CPM. El segundo es Método de Diagramación por Precedencia (“Precedence Diagramming Method” – PDM) o Actividad en el Nodo (“Activity on Node” – AON) que representa las actividades en los nodos, además es utilizado por el método ROY.
Método de Diagramación por Flechas (ADM).
El ADM es un método que consiste en construir un diagrama de red del proyecto donde las actividades son representadas por los flechas y están conectadas con nodos que representan sus relaciones entre actividades.
La Figura Nº 2-9 es un diagrama de red de proyecto aplicando ADM. Para ello cada nodo cuenta con una numeración única, no necesariamente correlativa pero si el número del nodo fuente debe ser menor que el número del nodo destino. Las actividades ficticias (o “dummy”) se representan con línea punteadas y cuentan con duración nula y no consumen recursos, son un recurso grafico para evitar algunos inconvenientes gráficos y solo es un nexo entre actividades (Véase la Figura Nº 2-10).
Figura Nº 2-9: Método de Diagramación por Flechas.
Figura Nº 2-10: Actividad Ficticia.
Fuente: Elaboración propia.
El inconveniente del método ADM es que solo puede representar actividades en secuencia, actividades con relación tipo Fin – Comienzo (Ver Tabla 2-5).
Método de Diagramación por Precedencia (PDM).
El PDM es un método que consiste en construir un diagrama de red del proyecto donde las actividades son representadas por los nodos y están conectadas con flechas que representan sus relaciones entre actividades.
Es este método de diagramación es el más utilizado y a la vez es el más usados en software de gestión de proyecto, porque en un proyecto lo más importante son las actividades y este método es más fácil de interpretar por quienes no son expertos en el tema.
La Figura Nº 2-11 es un diagrama de red de proyecto aplicando PDM.
Figura Nº 2-11: Método de Diagramación por Precedencia.
Fuente: Elaboración propia.
Otra característica del PDM es que sus diagramas son más compactos que los diagramas generados por ADM. Por eso tiene más flexibilidad para la modelación de grandes proyectos y además se evita la necesidad de utilizar el enlace de las actividades ficticias.
2 7
D
G
2 7
5 D
G
Permite mostrar diferentes tipos relaciones de actividad como; Fin – Comienzo, Comienzo – Comienzo, Fin – Fin, Comienzo – Fin (Ver Tabla 2-5). Estas relaciones son muy aplicadas para indicar características de secuencia y concurrencia o traslape, propias de las obras de construcción.
Comparación entre ADM y PDM: Diagramación
Figura Nº 2-12: Comparación entre ADM y PDM.
Fuente: Elaboración propia.
A
C
2
A B 3
1 A B
Z3' ó* 3 >+3 3 3* ' *3 '
Z3' ó* 3 >+3 3 3* 0* 3+U3* 31
4
B D 5
2 1
3
B D
A
C
2 B
1 D 4
3 5 C A B D 3 C B D
1 A
5 4 2 C D B A
Z3' ó* 3 >+3 3 3* 3+U3* 31
/ 10 26 − ’
